O x
y
1
6
11
12
2020 届高三月考
文 科 数 学 试 卷
时 量 ： 120 分 钟 满 分 ： 150 分
命 题 ： 仇 武 君 审 题 ： 刘 坚 刘 慧 英
选 择 题 ： 题 12 题 题 5 分 60 分 题 出 四 选
项 中 项 符 合 题 目 求
1已 知 全 集 01234 123 013U A B 列 结 正 确 ( )
A． B A B． {0 }4U AC ＝ C． 13A B D． 02A B
2 复 数 |1 3 |
1
iz i
z 虚 部 （ ）
A． i B． i C． 1 D． 1
3已 知 抛 物 线 24y x 焦 点 F 准 线 l 列 说 法 正 确 （ ）
A焦 点 F 准 线 l 距 离 1 B焦 点 F 坐 标 (10)
C准 线 l 方 程 1
16y D 称 轴 x 轴
4 ABC 中 BD DC E AD 中 点 BE （ ）
A 3 1
4 4AB AC
B 3 1
4 4AB AC
C 2 1
3 3AB AC
D 2 1
3 3AB AC
5函 数 sin 0 0 2f x A x A
部 分 图 象 图 示 函 数
y f x 应 解 析 式 （ ）
A cos 2 6y x
B cos 2 6y x
C sin 2 6y x
D sin 2 6y x 2
6函 数 x
xy e
区 间 [0 ]e 值 （ ）
A 0 B e
e
e
C 1e D 2
ee
7 ABC 角 A B C 边 分 a b c 2(sin sin )A B 2sin sin sinC A B
角 C （ ）
A．
6
B．
3
C． 2
3
D． 5
6
8已 知 椭 圆 E ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
右 焦 点 (30)F 点 F 直 线 交 E A
B 两 点 ． AB 中 点 坐 标 (1 1) 椭 圆 E 离 心 率 ( )
A 1
2
B 2
2
C 3
2
D 2
3
9已 知 三 棱 锥 P ABC 顶 点 球 O 球 面 PC 球 O 直 径 ． 面
PAC ⊥ 面 PBC PA AC PB BC 三 棱 锥 P ABC 体 积 8
3
球 O 体
积 （ ）
A 36 B 16 C 12 D 32
3
10已 知 数 列 { }na 递 增 数 列 *n N 2
na n n 实 数 取 值 范
围 ( )
A ( 2] B． ( 1] C． ( 2) D． ( 3)
11已 知 O 坐 标 原 点 1 2F F 分 双 曲 线
2 2
14 3
x y 左 右 焦 点 点 P 双 曲
线 左 支 点 （ 双 曲 线 顶 点 ） ． 线 段 2PF 取 点 Q 1PQ PF
作 1 2F PF 分 线 交 线 段 1FQ 点 M | O |M （ ）
A． 1
2
B． 2 C． 4 D． 13
12 已 知 函 数
22log ( 1)0 1
( ) 1 1
x x
f x xx
关 x 方 程 1( ) ( )4f x x m m R 恰
两 互 异 实 数 解 实 数 m 取 值 范 围 （ ）
A． 5 9( ] {1}4 4
B． 5 9[ ] {1}4 4
C． 5 9[ ]4 4
D． 5 9( ]4 4
二 填 空 题 ： 题 4 题 题 5 分 20 分
13 曲 线 2y mx 点 （ 1 m ） 处 切 线 直 线 4 5 0x y 垂 直 m
14已 知 等 数 列 na 中 12 72 5a a a nb 等 差 数 列 7 7b a 3 11b b
15已 知 变 量 x y 满 足
2
( )
3 6
x y
f x y x
x y
1y
x
值
16关 x 方 程 2 2 2 2x x kx k 两 等 实 数 根 实 数 k 取 值 范 围
三 解 答 题 ： 题 6 题 70 分 解 答 应 写 出 必 文 字 说 明 证 明 程
演 算 步 骤
17（ 题 满 分 12 分 ） 记 S n 等 数 列 na 前 n 项 已 知 S 2 −4 S 3 12．
（ 1） 求 na 通 项 公 式
（ 2） 求 S n
（ 3） 判 断 S n +1 S n S n +2 否 成 等 差 数 列 写 出 证 明 程 说 明
理 4
18（ 题 满 分 12 分 ） 图 四 棱 锥 P－ ABCD 中 PA⊥ 面 ABCD底 面 ABCD
等 腰 梯 形 AD∥ BC AC⊥ BD
(1)证 明 ： BD⊥ 面 PAC
(2) AD＝ 8 BC＝ 4 设 AC∩ BD＝ O ∠ DPO＝ π
6
求 四 棱 锥 P－ ABCD 体 积 ．5
19． （ 题 满 分 12 分 ） 已 知 椭 圆 E： x 2
a 2
＋ y 2
b 2
＝ 1(a>b>0) 点 A(0 3 ) 右 焦
点 直 线 x＝ a 2
c
距 离 3
(1)求 椭 圆 E 标 准 方 程
(2) 点 A 作 两 条 互 相 垂 直 直 线 l 1 l 2 分 交 椭 圆 M N 两 点 ． 求 证 ： 直 线
MN 恒 定 点 P 3(0 )7
6
20（ 题 满 分 12 分 ） 衡 阳 市 创 全 国 文 明 城 市 (简 称 创 文 )活 动 中 市
教 育 局 市 A B C D 四 高 中 学 校 校 数 分 层 抽 样 机 抽 查 200
调 查 情 况 进 行 整 理 制 成 表 ：
假 设 名 高 中 学 生 否 参 创 文 活 动 相 互 独 立 ．
(1) 市 8000 名 高 中 学 生 估 计 C 学 校 参 创 文 活 动 数
(2) 表 中 A B 两 校 没 参 创 文 活 动 学 中 机 抽 取 2 求 恰
A B 两 校 1 没 参 创 文 活 动 概 率
(3) 机 抽 查 200 名 高 中 学 生 中 进 行 文 明 素 养 综 合 素 质 测 评（ 满 分 100 分 ）
频 率 分 布 直 方 图 中 a＝ 4b求 a b 值 估 计 参 测 评 学 生
分 中 位 数 ． (计 算 结 果 保 留 两 位 数 )
学 校 A B C D
抽 查 数 10 15 100 75
创 文 活 动 中 参 数 9 10 80 497
21（ 题 满 分 12 分 ） 已 知 函 数 f(x)＝ aln x g(x)＝ x 2 － 1
2a(a∈ R)．
(1)令 F(x)＝ f(x)－ g(x) 讨 F(x) 单 调 性
(2) f(x)≤g(x) 求 a 取 值 范 围 ．8
请 考 生 第 2223 题 中 选 题 作 答 ． 果 做 做 第 题 计 分 ．作
答 时 请 写 清 题 号 ．
22． ( 题 满 分 10 分 )选 修 4－ 4： 坐 标 系 参 数 方 程
面 直 角 坐 标 系 xOy 中 原 点 O 极 点 x 轴 正 半 轴 极 轴 建 立 极 坐 标
系 曲 线 C 极 坐 标 方 程 ρ(1－ cos2θ)＝ 8cosθ
(1)求 曲 线 C 普 通 方 程
(2)直 线 l 参 数 方 程 1 cos
sin
x t
y t
(t 参 数 ) 直 线 l y 轴 交 点 F 曲 线
C 交 点 A B |FA|·|FB|取 值 时 求 直 线 l 直 角 坐 标 方 程 ．
23． ( 题 满 分 10 分 )选 修 4－ 5： 等 式 选 讲
已 知 函 数 f(x)＝ |x－ 1|＋ |x＋ 1|＋ m
(1) m＝ － 5 时 求 等 式 f(x) 2 解 集
(2) 二 次 函 数 y＝ － x 2 ＋ 2x＋ 3 函 数 y＝ f(x) 图 象 恒 公 点 求 实 数 m 取
值 范 围 ．
选择题（题 5 分 60 分）
二填空题（题 5 分 20 分）
三解答题（题 6 题 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤）
注意事项：
1 选择题作答必须 2B 铅笔修改时塑料橡皮擦干
净笔答题作答必须黑色签字笔填写答题
超出答题框
2 保持卡面清洁折叠弄破
姓名 班级： 学号：
13 14
15 16
数学(文)答题卡
17（ 题满分 12 分）
18（题满分 12 分）
19（题满分 12 分）
条形码粘贴处
文科数学答题卡 第 1 页 2 页
1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12
20（题满分 12 分）
请考生 2223 题中选题作答果做做第题记分
22 23 （题满分 10 分）
21（题满分 12 分）
文科数学答题卡 第 2 页 2 页 1
O x
y
1
6
11
12
参考答案
1已 知 全 集 01234 123 013U A B 列 结 正 确 ( B )
A． B A B． {0 }4U AC ＝ C． 13A B D． 02A B
2 复 数 |1 3 |
1
iz i
z 虚 部 （ C ）
A． i B． i C． 1 D． 1
3已 知 抛 物 线 24y x 焦 点 F 准 线 l 列 说 法 正 确 （ C ）
A焦 点 F 准 线 l 距 离 1 B焦 点 F 坐 标 (10)
C准 线 l 方 程 1
16y D 称 轴 x 轴
4 ABC 中 BD DC E AD 中 点 BE （ A ）
A 3 1
4 4AB AC
B 3 1
4 4AB AC
C 2 1
3 3AB AC
D 2 1
3 3AB AC
5函 数 sin 0 0 2f x A x A
部 分 图 象 图 示 函 数
y f x 应 解 析 式 （ C）
A cos 2 6y x
B cos 2 6y x
C sin 2 6y x
D sin 2 6y x
6函 数 x
xy e
区 间 [0 ]e 值 （ C ）
A 0 B e
e
e
C 1e D 2
ee
7 ABC 角 A B C 边 分 a b c 2 2(sin sin ) sin sin sinA B C A B
角 C （ B ）2
A．
6
B．
3
C． 2
3
D． 5
6
8已 知 椭 圆 E ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
右 焦 点 (30)F 点 F 直 线 交 E A
B 两 点 ． AB 中 点 坐 标 (1 1) 椭 圆 E 离 心 率 ( A)
A 2
2
B 1
2
C 3
2
D 2
3
9已 知 三 棱 锥 P ABC 顶 点 球 O 球 面 PC 球 O 直 径 ． 面
PAC ⊥ 面 PBC PA AC PB BC 三 棱 锥 P ABC 体 积 8
3
球 O 体
积 （ D ）
A 36 B 16 C 12 D 32
3
10已 知 数 列 { }na 递 增 数 列 *n N 2
na n n 实 数 取 值 范
围 ( D )
A ( 2] B． ( 1] C． ( 2) D． ( 3)
11已 知 O 坐 标 原 点 1 2F F 分 双 曲 线
2 2
14 3
x y 左 右 焦 点 点 P 双 曲
线 左 支 点 （ 双 曲 线 顶 点 ） ． 线 段 2PF 取 点 Q 1PQ PF
作 1 2F PF 分 线 交 线 段 1FQ 点 M | O |M （ B）
A． 1
2
B． 1 C． 2 D． 4
12 已 知 函 数
22log ( 1)0 1
( ) 1 1
x x
f x xx
关 x 方 程 1( ) ( )4f x x m m R 恰
两 互 异 实 数 解 实 数 m 取 值 范 围 （ A ）
A． 5 9( ] {1}4 4
B． 5 9[ ] {1}4 4
C． 5 9[ ]4 4
D． 5 9( ]4 43
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 B C C A C C B A D D B A
13 曲 线 2y mx 点 （ 1 m ） 处 切 线 直 线 4 5 0x y 垂 直 m
2
14已 知 等 数 列 na 中 12 72 5a a a nb 等 差 数 列 7 7b a 3 11b b
10
15已 知 变 量 x y 满 足
2
( )
3 6
x y
f x y x
x y
1y
x
值 1
2
16关 x 方 程 2 2 2 2x x kx k 两 等 实 数 根 实 数 k 取 值 范 围
3( 1]4
17（ 12 分 ） 记 S n 等 数 列 na 前 n 项 已 知 S 2 −4 S 3 12．
（ 1） 求 na 通 项 公 式
（ 2） 求 S n
（ 3） 判 断 S n +1 S n S n +2 否 成 等 差 数 列 写 出 证 明 程 说 明
理
答 案 （ 1） 1( 2)n
na （ 2）
2
14 2( 1)3 3
n
n
nS
(3) 证 明 ：
3 4
2 3
1 2
8 2 2( 1) ( 1)3 3 3
n n
n n
n nS S
3 4
18 2 2( 1) [ ]3 3 3
n n
n
3
18 2( 1)3 3
n
n
2
14 22[ ( 1) ] 23 3
n
n
nS
S n+1 S n S n +2 成 等 差 数 列
18． 图 四 棱 锥 P－ ABCD 中 PA⊥ 面 ABCD 底 面 ABCD
等 腰 梯 形 AD∥ BC AC⊥ BD4
(1)证 明 ： BD⊥ 面 PAC
(2) AD＝ 8BC＝ 4设 AC∩BD＝ O ∠ DPO＝ π
6
求 四 棱 锥 P－ ABCD
体 积 ．
解 (1)证 明 ： PA⊥ 面 ABCD BD⊂ 面 ABCD
PA⊥ BD
AC⊥ BD PA∩AC＝ A PA⊂ 面 PAC AC⊂ 面 PAC
BD⊥ 面 PAC
(2) 图 连 接 OP (1)知 BD⊥ 面 PAC
PO⊂ 面 PAC 知 BD⊥ PO Rt△ POD 中
∠ DPO＝ π
6
PD＝ 2DO
四 边 形 ABCD 等 腰 梯 形 AC⊥ BD
△ AOD △ BOC 均 等 腰 直 角 三 角 形 ．
梯 形 ABCD 高 1
2AD＋ 1
2BC＝ 6
梯 形 ABCD 面 积 S＝ 1
2
×(8＋ 4)×6＝ 365
等 腰 直 角 三 角 形 AOD 中 OD＝ 2
2 AD＝ 4 2
PD＝ 2OD＝ 8 2 PA＝ PD 2 － AD 2＝ 8
四 棱 锥 P－ ABCD 体 积 V＝ 1
3S·PA＝ 1
3
×36×8＝ 96
19．已 知 椭 圆 E： x2
a2
＋ y2
b2
＝ 1(a>b>0) 点 A(0 3 )右 焦 点 直 线 x＝ a 2
c
距 离 3
(1)求 椭 圆 E 标 准 方 程
(2) 点 A 作 两 条 互 相 垂 直 直 线 l1 l2 分 交 椭 圆 MN 两 点 ．求 证 ：
直 线 MN 恒 定 点 P 3(0 )7
解 (1) 题 意 知 a 2
c
－ c＝ 3 b＝ 3 a2＝ b 2＋ c2
解 a＝ 2 b＝ 3 c＝ 1
椭 圆 标 准 方 程
2 2
14 3
x y
(2)证 明 ： 显 然 直 线 l 1 l2 斜 率 存 ．
设 直 线 l 1 方 程 y＝ kx＋ 1
联 立 方 程 组 2 2
3
14 3
y kx
x y
(4k2＋ 3)x2＋ 8 3kx＝ 0
解 x1＝ － 2
8 3
4 3
k
k
x2＝ 0
xM ＝ － 2
8 3
4 3
k
k
yM＝
2
2
4 3 3 3
4 3
k
k
6
l 1 l 2 垂 直 直 线 l 2 方 程 y＝ － 1
kx＋ 1
－ 1
k
换 前 式 中 k xN＝ 2
8 3
3 4
k
k yN＝
2
2
3 3 4 3
3 4
k
k
kMP ＝
2
2
2
4 3 3 3 3
4 3 7
8 3
4 3
k
k
k
k
＝
23 3
7
k
kNP ＝
2
2
2
3 3 4 3 3
3 4 7
8 3
3 4
k
k
k
k
＝
23 3
7
k
kMP ＝ kNP 直 线 MN 恒 定 点 P 3(0 )7
20 衡 阳 市 创 全 国 文 明 城 市 (简 称 创 文 )活 动 中 市 教 育 局 市 AB
C D 四 高 中 学 校 校 数 分 层 抽 样 机 抽 查 200 调 查 情 况 进
行 整 理 制 成 表 ：
假 设 名 高 中 学 生 否 参 创 文 活 动 相 互 独 立 ．
(1) 市 8000 名 高 中 学 生 估 计 C 学 校 参 创 文 活 动 数
(2) 表 中 A B 两 校 没 参 创 文 活 动 学 中 机 抽 取 2 求
恰 A B 两 校 1 没 参 创 文 活 动 概 率
(3) 机 抽 查 200 名 高 中 学 生 中 进 行 文 明 素 养 综 合 素 质 测 评（ 满 分 100
分 ） 频 率 分 布 直 方 图 中 a＝ 4b求 a b 值 估 计 参
测 评 学 生 分 中 位 数 ． (计 算 结 果 保 留 两 位 数 )
解 (1)C 学 校 高 中 生 总 数 100÷ 200
8000
＝ 4000
学 校 A B C D
抽 查 数 10 15 100 75
创 文 活 动 中 参 数 9 10 80 497
C 学 校 参 创 文 活 动 数 4000× 80
100
＝ 3200
(2)A 校 没 参 创 城 活 动 1 记 A 1 B 校 没 参 创
文 活 动 5 分 记 B 1B 2B 3B 4B5 取 2 15 种 情 况
：A 1B1 A 1B 2A 1B3A 1A 1B 4 A 1B 5B1 B2B 1B 3B 1B 4 B 1B5 B 2B 3
B2B 4 B 2B5 B 3B 4 B 3B 5 B4B 5 15 种 情 况 发 生 性 相 等 ．
设 事 件 N 抽 取 2 中 A B 两 校 1 没 参 创 文 活 动
A 1B 1 A 1B 2 A 1B3A 1 A 1B4 A 1B 5 5 种 情 况 ．
P(N)＝ 5
15
＝ 1
3 恰 AB 两 校 1 没 参 创 文 活 动 概 率
1
3
(3) 题 意 (a＋ 0008＋ 0035＋ 0027＋ b)×10＝ 1 a＋ b＝ 003
a＝ 4b a＝ 0024 b＝ 0006
008＋ 024<05008＋ 024＋ 035>05 中 位 数 第 三 组
中 位 数 70＋ 05－ 008－ 024
0035
≈7514
21已 知 函 数 f(x)＝ aln x g(x)＝ x 2－ 1
2a(a∈ R)．
(1)令 F(x)＝ f(x)－ g(x) 讨 F(x) 单 调 性
(2) f(x)≤g(x) 求 a 取 值 范 围 ．
解 (1)F′(x)＝ a
x
－ 2x＝ a－ 2x2
x
a≤0 时 f′(x)<0 F(x) (0 ＋ ∞) 单 调 递 减
a>0 时 令 F′(x)＝ 0 x＝ a
2(负 根 舍 )．8
令 F′(x)>0 0
令 F′(x)<0 x> a
2
∴ F(x) 0 a
2 单 调 递 增
a
2
＋ ∞ 单 调 递 减 ．
（ 2） f(x)≤g(x) F(x)≤0
a＝ 0 时 F(x)＝ － x2<0 符 合 题 意 ．
a>0 时 F(x)ma x ＝ F
a
2
＝ aln a
2
－ a
2
＋ a
2
＝ aln a
2
≤0
∵ a>0 ∴ ln a
2
≤0 ∴ 0< a
2
≤1 ∴ 0
2a (0 ＋ ∞) 单 调 递 减
y＝ aln x y＝ x2 － 1
2a 图 象 (0 ＋ ∞) 交 点 设 交 点
(x0 y0)
x∈ (0 x 0)时 F(x)>0 a<0 时 满 足 F(x)≤0
综 a 取 值 范 围 [02]．
请 考 生 第 2223 题 中 选 题 作 答 ． 果 做 做 第 题 计 分 ．作
答 时 请 写 清 题 号 ．
22． ( 题 满 分 10 分 )选 修 4－ 4： 坐 标 系 参 数 方 程
面 直 角 坐 标 系 xOy 中 原 点 O 极 点 x 轴 正 半 轴 极 轴 建 立 极
坐 标 系 曲 线 C 极 坐 标 方 程 ρ(1－ cos2θ)＝ 8cosθ
(1)求 曲 线 C 普 通 方 程
(2)直 线 l 参 数 方 程 1 cos
sin
x t
y t
(t 参 数 ) 直 线 l y 轴 交 点 F
曲 线 C 交 点 A B |FA|·|FB|取 值 时 求 直 线 l 直 角 坐 标 方 程 ．9
解 (1) 题 意 ρ(1＋ cos2θ)＝ 8sinθ
2ρcos 2θ＝ 8sinθ ρ 2cos 2θ＝ 4ρsinθ
∵ x＝ ρcosθ y＝ ρsinθ
∴ y2＝ 4x 曲 线 C 普 通 方 程 y2＝ 4x
(2) 题 意 知 直 线 l x 轴 交 点 F(10) 抛 物 线 C 焦 点
令 |FA|＝ |t1| |FB|＝ |t2|
直 线 l 参 数 方 程 1 cos
sin
x t
y t
代 入 C 普 通 方 程 y 2＝ 4x 中
整 理 t 2sin 2α－ 4tcosα－ 4＝ 0
题 意 sinα≠0 根 根 系 数 关 系
t1＋ t2＝ 2
4cos
sin
t 1t 2＝ 2
4
sin
∴ |FA||FB|＝ |t1||t2|＝ |t1t2|＝ 2
4
sin
≥4( 仅 sin 2α＝ 1 时 等 号 成
立 )
∴ |FA|·|FB|取 值 时 直 线 l 直 角 坐 标 方 程 x＝ 1
23． ( 题 满 分 10 分 )选 修 4－ 5： 等 式 选 讲
已 知 函 数 f(x)＝ |x－ 1|＋ |x＋ 1|＋ m
(1) m＝ － 5 时 求 等 式 f(x) 2 解 集
(2) 二 次 函 数 y＝ － x 2 ＋ 2x＋ 3 函 数 y＝ f(x) 图 象 恒 公 点 求 实 数 m
取 值 范 围 ．
解 (1) m＝ － 5 时
2 5( 1)
( ) 3( 1 1)
2 5( 1)
x x
f x x
x x
f(x) 2 等 式 解 集 3{ | 2x x 3}2x 10
(2) 二 次 函 数 y＝ － x2＋ 2x＋ 3＝ － (x＋ 1) 2＋ 2
知 函 数 x＝ － 1 处 取 值 2
2 ( 1)
( ) 2( 1 1)
2 ( 1)
x m x
f x m x
x m x
f(x) ＝
m＋ 2xx<－ 1
m－ 2－ 1≤x≤1
m－ 2xx>1
x ＝ － 1 处
取 值 m－ 2
二 次 函 数 y＝ － x2 ＋ 2x＋ 3 函 数 y＝ f(x) 图 象 恒 公
点 需 m－ 2 2 m 4
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