2020届市高级中学高三1月调研考试数学（理）试题
单选题
1．已知复数轭复数中虚数单位（ ）
A．1 B． C． D．
答案D
解析轭复数概念解方程进求出
详解
题意解
答案D
点睛
题考查轭复数知识考查复数模属基础题．
2．已知集合（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析求出直线交点答案
详解
题意解
答案A
点睛
题考查集合交集两直线交点属基础题
3．已知单位量夹角量（ ）
A．9 B．10 C．3 D．
答案C
解析先夹角正切值余弦值然利数量积公式利量模公式计算答案
详解
量夹角
量单位量
选：C
点睛
题考查量模计算方法属基础题
4．列说法正确( )
A．命题均真命题命题真命题
B．否命题
C．充条件
D．命题否定
答案D
解析利复合命题真假四种命题逆否关系命题否定充条件判断选项正误．
详解
A：命题p￢q均真命题q假命题命题p∧q假命题A正确
B：否命题B正确
C：△ABC中 ⇔A+B⇔AB⇒sinAcosB
反sinAcosBA+BA+BC定成立
∴CsinAcosB成立充分必条件C正确
D：命题p：∃x0∈Rx02x05＞0否定￢p：∀x∈Rx2x5≤0D正确．
选：D．
点睛
题考查命题真假判断应涉充条件四种命题逆否关系命题否定等知识基知识考查．
5．已知正项等数列前项
A． B．
C． D．
答案B
解析利正项等数列前项公式通项公式列出方程组求出求出值
详解
正项等数列前项
易知时成立
解
．
选：B．
点睛
题考查等数列前项公式运考查等数列性质等基础知识考查运算求解力基础题
6．已知函数等式解集中整数数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析进行变形令整数数3函数图函数图写出限制条件答案
详解
设
中时
时
符合求
时单调递减
单调递增极值
三整数解整数解者
①解集包含时时
需满足解
②解集包含时需满足
整理解集该情况成立
综述①②范围
选D项
点睛
利导数研究函数图两函数图位置关系解析式间关系数形结合数学思想题目较综合考查容较属难题
7．已知程序框图图输出i值
A．7 B．9 C．11 D．13
答案D
解析已知中程序框图知：该程序功利循环结构计算输出变量值模拟程序运行程答案．
详解
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
输出
选
点睛
题考查知识点程序框图循环次数规律时常采模拟循环方法解答
8．曲线条切线l轴三条直线围成三角形记外接圆面积值
A． B． C． D．
答案C
解析设直线l曲线切点坐标（）求出函数导数切线斜率方程联立直线y＝x求A坐标y轴交点B坐标运两点距离公式基等式AB值正弦定理外接圆半径进求面积值．
详解
设直线l曲线切点坐标（）
函数导数．
直线l方程
求直线ly＝x交点A（）y轴交点
△OAB中
仅2＝2时取等号．
正弦定理△OAB外接圆半径
△OAB外接圆面积
选：C．
点睛
题考查导数运：求切线方程考查导数意义时考查正弦定理运基等式运：求值化简整理运算力属中档题．
9．已知实数函数单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析函数求导求出a然解等式答案
详解
解a2
解
函数单调递增区间
选：B
点睛
题考查导函数正负原函数单调性间关系导函数0时原函数单调递增导函数0时原函数单调递减基础题．
10．定义函数方程区间实数根接列数（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析∵f（x+2）f（x）∴函数f（x）周期2周期函数
∵g（x）∴g（x）关直线x2称．
分作出函数f（x）g（x）[﹣59]图象
图象知两函数交点数8设8交点横坐标x1x2x3x4x5x6 8交点接点（20）称
（x1+x8）2x1+x84
x1+x2+x3+x4+x5+x6 4（x1+x8）4×416称
图象知x1+ x8＞4x2+x7＞4
第五交点空心等3∴x1+x2+x4+x5+x6 接14．
选A．
点睛：题目考查导数研究函数极值零点问题中应函数零点问题方程根问题两函数交点问题问题互相转化转化两函数交点时果常函数非常函数注意非常函数式子量简单注意函数图画准确
11．图某住宅区面图呈圆心角120°扇形该区出入口区里条行路．已知某走2分钟着走3分钟．步行速度分钟50米该扇形半径长度
A． B． C． D．
答案B
解析试题分析：设该扇形半径r米连接CO．
题意CD150（米）OD100（米）∠CDO60°
△CDO中
解（米）．
考点1．扇形面积公式2．余弦定理求三角形边长
12．定义奇函数均已知时 列结正确（ ）
A．图象关称 B．值1
C．5零点 D．时
答案C
解析∵f（x）定义R奇函数∀x∈R均f（x+2）f（x）函数周期2f（x）图象关（10）点称A错误f（x）∈（11）值B错误整数均函数零点f（x）[13]5零点C正确x∈[23）时x2∈[01）f（x）f（x2）2x21x3时f（x）0D错误
选C
点睛题函数性质综合应已知称中心周期推出称中心根某区间解析式结合周期性称性周期中函数图象关值零点等问题解决
二填空题
13．中已知周长取值范围__________．
答案
解析题中条件先求出然余弦定理利基等式三角形中两边第三边取值范围周长范围
详解
题意
化
设角边分
余弦定理
（仅时取）
周长取值范围
点睛
题考查三角函数恒等变换余弦定理解三角形中运利基等式求值三角形性质考查学生分析问题解决问题力计算力属中档题
14．曲线点（00）处切线方程______________
答案
解析通求导切线斜率点斜式切线方程
详解
．
点睛
题考查导数意义属基础题
15．项均正数等数列前项已知______
答案10
解析根等数列项性质列方程解结果
详解
题意成等数列90项均正数>
点睛
解决等差等数列运算问题时常采巧性质整体考虑减少运算量方法
16．已知______
答案1
解析整理：
问题解
详解
整理：
点睛
题考查两角正弦公式两角差余弦公式考查计算力考查三角恒等式属基础题
三解答题
17．中角边分已知．
求
面积求值．
答案（1）（2）
解析（1）正弦定理三角函数恒等变换应化简已知等式tanA结合范围A∈（0π）求A值．
（2）已知利三角形面积公式求c值进求b值根余弦定理a值．
详解
（1）∵
∴b2a（cosCcos+sinCsin）：bacosC+asinC
正弦定理：sinBsinAcosC+sinAsinC
：sin（A+C）sinAcosC+cosAsinCsinAcosC+sinAsinC
：cosAsinA：tanA
∵A∈（0π）
∴A
（2）∵△ABC面积bcsinA2c×c×
∴解：c2b4
∴余弦定理：a2b2+c22bccosA48+42××2×28解：a2
点睛
题考查正弦定理三角函数恒等变换应三角形面积公式余弦定理解三角形中综合应考查计算力转化思想属基础题．
18．中
(1) 求角
(2)垂足求面积值
答案（1）（2）
解析试题分析：（1）两边方整理（2）直角直角中中 根三角函数界性面积值
试题解析：（1）两边方
（2）直角中
直角中
仅时
19．中角边分三边成等数列面积1等差数列中公差
（1）求数列通项公式
（2）数列满足设数列前项求取值范围
答案（1）（2）
解析（1）解数列通项公式
（2）（1）利裂项相消法前项取值范围
详解
解：（1）∵
∴
（2）∵
∴
∵关n增函数
∴
点睛
裂项相消法难握求方法原时难找裂项方突破难点方法根式子结构特点常见裂项技巧：
(1)（2） （3）（4） 外需注意裂项相消程中容易出现丢项项问题导致计算结果错误
20．某拟规划种植批芍药美观种植区域（区域Ⅰ）设计成半径扇形中心角．方便观赏增加收入种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）休闲区（区域Ⅲ）外围区域图示方案扩建成正方形中点分边．已知种植区观赏区休闲区方千米年收入分10万元20万元20万元．
（1）观赏区年收入低5万元求值
（2）试问：少时年总收入？
答案（1）（2）
解析（1）全等
根面积公式求观赏区面积观赏区年收入低5万元求解等式求出结果
（2）题意种植区面积正方形面积设年总收入万元
利导数函数单调性中应求出结果
详解
（1）∵全等
观赏区面积
观赏区年收入低5万元求结合知值
（2）种植区面积
正方形面积
设年总收入万元
中求导
时递增时递增
时取值时年总收入
点睛
题考查三角函数恒等变换应正弦函数图象性质应考查数形结合思想导数求值应
21．已知函数
(1)时求函数值
(2)函数恒成立求实数取值范围
答案(1)4
(2)
解析试题分析：
（Ⅰ）结合题意利基等式求解．（Ⅱ）题意恒成立转化恒成立．构造函数求函数值结．
试题解析：
（Ⅰ）时
仅时等号成立
．
（Ⅱ）题意恒成立
恒成立
恒成立
恒成立
设单调递减单调递增
∴
解
实数取值范围．
22．已知函数
（1）求函数极值
（2） 时判断函数区间零点数
答案(1)详见解析(2)详见解析
解析详解试题分析：（1）求导数函数单调性进求极值
（2）分两种情况判断函数单调性然根零点存定理判断函数零点数
试题解析：
（1）∵
∴
x变化时变化情况表：
1
0
0
递增
极值
递减
极值
递增
表时极值极值
时极值极值
（2）（1）
∵ ∴
① 时单调递增递减
（01）（12）零点
两零点
② 时单调递增递减递增
零点没零点
零点
综：
时两零点
时零点
点睛：利导数研究方程根（函数零点）方法
研究方程根（函数零点）情况通导数研究函数单调性值值变化趋势等根题目求画出函数图象走势规律标明函数极()值位置通数形结合思想分析问题问题求解清晰直观整体展现
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单选题
1．已知复数轭复数中虚数单位（ ）
A．1 B． C． D．
答案D
解析轭复数概念解方程进求出
详解
题意解
答案D
点睛
题考查轭复数知识考查复数模属基础题．
2．已知集合（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析求出直线交点答案
详解
题意解
答案A
点睛
题考查集合交集两直线交点属基础题
3．已知单位量夹角量（ ）
A．9 B．10 C．3 D．
答案C
解析先夹角正切值余弦值然利数量积公式利量模公式计算答案
详解
量夹角
量单位量
选：C
点睛
题考查量模计算方法属基础题
4．列说法正确( )
A．命题均真命题命题真命题
B．否命题
C．充条件
D．命题否定
答案D
解析利复合命题真假四种命题逆否关系命题否定充条件判断选项正误．
详解
A：命题p￢q均真命题q假命题命题p∧q假命题A正确
B：否命题B正确
C：△ABC中 ⇔A+B⇔AB⇒sinAcosB
反sinAcosBA+BA+BC定成立
∴CsinAcosB成立充分必条件C正确
D：命题p：∃x0∈Rx02x05＞0否定￢p：∀x∈Rx2x5≤0D正确．
选：D．
点睛
题考查命题真假判断应涉充条件四种命题逆否关系命题否定等知识基知识考查．
5．已知正项等数列前项
A． B．
C． D．
答案B
解析利正项等数列前项公式通项公式列出方程组求出求出值
详解
正项等数列前项
易知时成立
解
．
选：B．
点睛
题考查等数列前项公式运考查等数列性质等基础知识考查运算求解力基础题
6．已知函数等式解集中整数数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析进行变形令整数数3函数图函数图写出限制条件答案
详解
设
中时
时
符合求
时单调递减
单调递增极值
三整数解整数解者
①解集包含时时
需满足解
②解集包含时需满足
整理解集该情况成立
综述①②范围
选D项
点睛
利导数研究函数图两函数图位置关系解析式间关系数形结合数学思想题目较综合考查容较属难题
7．已知程序框图图输出i值
A．7 B．9 C．11 D．13
答案D
解析已知中程序框图知：该程序功利循环结构计算输出变量值模拟程序运行程答案．
详解
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
时满足退出循环条件
输出
选
点睛
题考查知识点程序框图循环次数规律时常采模拟循环方法解答
8．曲线条切线l轴三条直线围成三角形记外接圆面积值
A． B． C． D．
答案C
解析设直线l曲线切点坐标（）求出函数导数切线斜率方程联立直线y＝x求A坐标y轴交点B坐标运两点距离公式基等式AB值正弦定理外接圆半径进求面积值．
详解
设直线l曲线切点坐标（）
函数导数．
直线l方程
求直线ly＝x交点A（）y轴交点
△OAB中
仅2＝2时取等号．
正弦定理△OAB外接圆半径
△OAB外接圆面积
选：C．
点睛
题考查导数运：求切线方程考查导数意义时考查正弦定理运基等式运：求值化简整理运算力属中档题．
9．已知实数函数单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析函数求导求出a然解等式答案
详解
解a2
解
函数单调递增区间
选：B
点睛
题考查导函数正负原函数单调性间关系导函数0时原函数单调递增导函数0时原函数单调递减基础题．
10．定义函数方程区间实数根接列数（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析∵f（x+2）f（x）∴函数f（x）周期2周期函数
∵g（x）∴g（x）关直线x2称．
分作出函数f（x）g（x）[﹣59]图象
图象知两函数交点数8设8交点横坐标x1x2x3x4x5x6 8交点接点（20）称
（x1+x8）2x1+x84
x1+x2+x3+x4+x5+x6 4（x1+x8）4×416称
图象知x1+ x8＞4x2+x7＞4
第五交点空心等3∴x1+x2+x4+x5+x6 接14．
选A．
点睛：题目考查导数研究函数极值零点问题中应函数零点问题方程根问题两函数交点问题问题互相转化转化两函数交点时果常函数非常函数注意非常函数式子量简单注意函数图画准确
11．图某住宅区面图呈圆心角120°扇形该区出入口区里条行路．已知某走2分钟着走3分钟．步行速度分钟50米该扇形半径长度
A． B． C． D．
答案B
解析试题分析：设该扇形半径r米连接CO．
题意CD150（米）OD100（米）∠CDO60°
△CDO中
解（米）．
考点1．扇形面积公式2．余弦定理求三角形边长
12．定义奇函数均已知时 列结正确（ ）
A．图象关称 B．值1
C．5零点 D．时
答案C
解析∵f（x）定义R奇函数∀x∈R均f（x+2）f（x）函数周期2f（x）图象关（10）点称A错误f（x）∈（11）值B错误整数均函数零点f（x）[13]5零点C正确x∈[23）时x2∈[01）f（x）f（x2）2x21x3时f（x）0D错误
选C
点睛题函数性质综合应已知称中心周期推出称中心根某区间解析式结合周期性称性周期中函数图象关值零点等问题解决
二填空题
13．中已知周长取值范围__________．
答案
解析题中条件先求出然余弦定理利基等式三角形中两边第三边取值范围周长范围
详解
题意
化
设角边分
余弦定理
（仅时取）
周长取值范围
点睛
题考查三角函数恒等变换余弦定理解三角形中运利基等式求值三角形性质考查学生分析问题解决问题力计算力属中档题
14．曲线点（00）处切线方程______________
答案
解析通求导切线斜率点斜式切线方程
详解
．
点睛
题考查导数意义属基础题
15．项均正数等数列前项已知______
答案10
解析根等数列项性质列方程解结果
详解
题意成等数列90项均正数>
点睛
解决等差等数列运算问题时常采巧性质整体考虑减少运算量方法
16．已知______
答案1
解析整理：
问题解
详解
整理：
点睛
题考查两角正弦公式两角差余弦公式考查计算力考查三角恒等式属基础题
三解答题
17．中角边分已知．
求
面积求值．
答案（1）（2）
解析（1）正弦定理三角函数恒等变换应化简已知等式tanA结合范围A∈（0π）求A值．
（2）已知利三角形面积公式求c值进求b值根余弦定理a值．
详解
（1）∵
∴b2a（cosCcos+sinCsin）：bacosC+asinC
正弦定理：sinBsinAcosC+sinAsinC
：sin（A+C）sinAcosC+cosAsinCsinAcosC+sinAsinC
：cosAsinA：tanA
∵A∈（0π）
∴A
（2）∵△ABC面积bcsinA2c×c×
∴解：c2b4
∴余弦定理：a2b2+c22bccosA48+42××2×28解：a2
点睛
题考查正弦定理三角函数恒等变换应三角形面积公式余弦定理解三角形中综合应考查计算力转化思想属基础题．
18．中
(1) 求角
(2)垂足求面积值
答案（1）（2）
解析试题分析：（1）两边方整理（2）直角直角中中 根三角函数界性面积值
试题解析：（1）两边方
（2）直角中
直角中
仅时
19．中角边分三边成等数列面积1等差数列中公差
（1）求数列通项公式
（2）数列满足设数列前项求取值范围
答案（1）（2）
解析（1）解数列通项公式
（2）（1）利裂项相消法前项取值范围
详解
解：（1）∵
∴
（2）∵
∴
∵关n增函数
∴
点睛
裂项相消法难握求方法原时难找裂项方突破难点方法根式子结构特点常见裂项技巧：
(1)（2） （3）（4） 外需注意裂项相消程中容易出现丢项项问题导致计算结果错误
20．某拟规划种植批芍药美观种植区域（区域Ⅰ）设计成半径扇形中心角．方便观赏增加收入种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）休闲区（区域Ⅲ）外围区域图示方案扩建成正方形中点分边．已知种植区观赏区休闲区方千米年收入分10万元20万元20万元．
（1）观赏区年收入低5万元求值
（2）试问：少时年总收入？
答案（1）（2）
解析（1）全等
根面积公式求观赏区面积观赏区年收入低5万元求解等式求出结果
（2）题意种植区面积正方形面积设年总收入万元
利导数函数单调性中应求出结果
详解
（1）∵全等
观赏区面积
观赏区年收入低5万元求结合知值
（2）种植区面积
正方形面积
设年总收入万元
中求导
时递增时递增
时取值时年总收入
点睛
题考查三角函数恒等变换应正弦函数图象性质应考查数形结合思想导数求值应
21．已知函数
(1)时求函数值
(2)函数恒成立求实数取值范围
答案(1)4
(2)
解析试题分析：
（Ⅰ）结合题意利基等式求解．（Ⅱ）题意恒成立转化恒成立．构造函数求函数值结．
试题解析：
（Ⅰ）时
仅时等号成立
．
（Ⅱ）题意恒成立
恒成立
恒成立
恒成立
设单调递减单调递增
∴
解
实数取值范围．
22．已知函数
（1）求函数极值
（2） 时判断函数区间零点数
答案(1)详见解析(2)详见解析
解析详解试题分析：（1）求导数函数单调性进求极值
（2）分两种情况判断函数单调性然根零点存定理判断函数零点数
试题解析：
（1）∵
∴
x变化时变化情况表：
1
0
0
递增
极值
递减
极值
递增
表时极值极值
时极值极值
（2）（1）
∵ ∴
① 时单调递增递减
（01）（12）零点
两零点
② 时单调递增递减递增
零点没零点
零点
综：
时两零点
时零点
点睛：利导数研究方程根（函数零点）方法
研究方程根（函数零点）情况通导数研究函数单调性值值变化趋势等根题目求画出函数图象走势规律标明函数极()值位置通数形结合思想分析问题问题求解清晰直观整体展现
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