页 1 第

数学（理科）
（时间：120 分钟 满分：150 分）
第（Ⅰ）卷（选择题 60 分）
．选择题题 12 题题 5 分 60 分题正确选项
1．已知 i虚数单位复数 2
1
iz i  ||z （ ）
A． 2 B．2 C． 5 D． 22
2．已知集合 { | ( 1)( 2) 0}A x x x    { || 1| 2}B x x   ABI （ ）
A． ( 31) B．( 32) C．( 11) D． ( 12)
3．双曲线
22
221 ( 0 0)xy abab    渐线方程 2yx 双曲线离心率（ ）
A． 5
5 B． 25
5 C． 5
2 D．
4．已知某批零件长度误差（单位：毫米）服正态分布 2(12 )N中机取件．长度误差落区间
(35) 概率（ ）
（附：机变量 服正态分布 2()N  ( ) 6826P         
( 2 2 ) 9544)P         
A． 456 B．1359 C． 2718 D．3174
5．已知 m n 两条直线   三面列命题正确（ ）
A． mn mn
B．     
C． mn mn
D． mn mn
6．△ABC 中角 ABC 边分 abc cos cosa A b B AB （ ）条件
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件

7． 24
2
1( 2)( 1)x x展开式常数项（ ） 页 2 第
A． 4 B． 2 C．2 D．4
8．函数 ( ) sin(2 )4f x x 图象函数 ( ) cos2g x x 图象（ ）
A．左移
4
 单位 B．左移
8
 单位
C．右移
4
 单位 D．右移 单位
9．意 xR函数 ()fx满足 (2 ) ( )f x f x 1x… 时函数 ()f x lnx
3
2(2 )af

2
1(log )4bf ()c f e abc关系（ ）
A． c b a B． c a b C． b c a D． bac
10．曲线 2() 2
xkf x x e  (02) 存单增区间 k 取值范围（ ）
A．()e  B．[)e  C．
2
()2
e  D．
2
[)2
e 
11．空间四面体 ABCD 中 ABCD3ACBD4ADBC 11 四面体 ABCD 外接球表面积
（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
12．设函数 2 2( ) ln ( )f x x x x g x x ax     意 1
1[ 2]4x  存 2 [24]x  12( ) ( ) 1f x g x
成立实数 a 取值范围（ ）
A．( 3 4ln2) B． 9( 4ln 2)2 C． 9 7 1( ln 2)2 4 8   D． 71( 3 ln 2)48  
第（Ⅱ）卷（选择题 60 分）
二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．答案填答题卡．
13．已知 2 1  a b a b b 垂直 a b 夹角
14．已知 1cos( ) (0 )4 3 4
   cos2
15．已知函数
2 2 1( 0)() ln ( 0)
x x xfx xx
   
„ a b c d   ()()()()f a f b f c f d   ab cd 取
值范围
16．已知抛物线 2 6yx 焦点 F点 直线l 抛物线交 AB 两点O 坐标原点
1
4OM OB
uuur uuur 1 4OA ON
uur uuur 点 MN 分抛物线准线作垂线垂足分点 CD CD
值 页 3 第
三．解答题： 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤 第 17 题～第 21 题必考题试
题考生必须作答第 22 题～第 23 题选考题考生根求作答
（）必考题： 60 分
17．（题满分 12 分）已知等数列{}na 前 n 项 nS 7 127S  8a 216a 514a 等差中项．
（1）求数列 通项公式
（2） 2 0a  时令 2
2logn n nb a a 求数列{}nb 前 n 项．

18（题满分 12 分）中央电视台综合频道( 1)CCTV 唯众传媒联合制作开讲啦中国首档青年
电视公开课．期节目位知名士讲述事分享生活生命感悟予中国青年
现实讨心灵滋养讨青年生问题时讨青春中国社会问题受青年观众
喜爱解观众节目喜爱程度电视台机调查 AB 两区 100 名观众 22
列联表已知调查 100 名观众中机抽取 1 名该观众 B 区中非常满意观众概率
04．
非常满意 满意 合计
A 35 10
B x y
合计
（1）现 100 名观众中分层抽样方法抽取 20 名进行问卷调查应抽取非常满意 AB 区
数少．
（2）完成述表格根表格判断否95 握认观众满意程度区关系．
2
0()P K k 0050 0010 0001
0k 3841 6635 10828
附：参考公式：
2
2 ()
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d b d a c
    

（3）抽样调查频率概率 A 两区机抽取 2 设抽观众非常满意数
X求 X 分布列期．

页 4 第


19（题满分 12 分）图四棱锥中 P ABCD 底面 ABCD 直角梯
形 AD BC 90ADC   面 PAD 底面 ABCD PA PD
2AD BC
（1）求证：面 PBC 面 PCD 垂直
（2） 2PA  1BC  3CD  求二面角 A PB C余弦值

20 （题满分 12 分）
已知动直线l 垂直 x 轴椭圆
22
1 142
xyC 交 AB两点点 P 直线l 1PA PB  
uur uur

（1）求点 P 轨迹 2C 方程
（2）直线 1l 椭圆 1C 相交 DE曲线 相切点 MO 坐标原点求 DE OM 取值范
围

21．（题满分 12 分）
已知函数 ( ) e ( 1)xf x a x + + (中 aR e 然数底数)
(1)意 xR ( ) 0fx 求 a 取值范围
(2)设 33( ) ln ( 1)g x x x m x + ( mR )值 ()m 0m < 时证明
11 1331 e e ( ) 03
mm m   


（二）选考题： 10 分请考生选题作答果做做第题计分
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系 xOy 中曲线 1C 参数方程 6cos (4sin
x
y
 

 
参数)曲线 1C 点横坐标
变原 1
3 坐标变原 1
2 曲线 2C
（1）求曲线 2C 普通方程
（2）点  11P 倾斜角 直线l 曲线 2C 交 AB两点求 AB 取值时 值
B
C
D
A
P页 5 第


23 （题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 2( ) | 2 | ( ) 3| | 1f x x g x x m    
（1） 0m  时解等式 ( )+ ( ) 5f x g x 
（2）存 aR ( ) 3 ( )g a f a 求实数 m 取值范围 页 6 第


数学试卷（理科）解析
（时间：120 分钟 满分：150 分）
．选择题题12 题题5 分60 分题正确选项 1．已
知 i虚数单位复数 2
1
iz i 
| | (z  )
A． 2 B．2 C． 5 D． 22
答案：A
2．已知集合 { | ( 1)( 2) 0}A x x x    { || 1| 2}B x x   ABI （ ）
A． ( 31) B． ( 32) C．( 11) D． ( 12)
答案：C
3．双曲线
22
221 ( 0 0)xy abab    渐线方程 2yx 双曲线离心率（ ）
A． 5
5 B． 25
5 C． 5
2 D．
答案：D
4．已知某批零件长度误差（单位：毫米）服正态分布 2(12 )N中机取件．长度误差落区间
(35) 概率（ ）
（附：机变量 服正态分布 2()N  ( ) 6826P         
( 2 2 ) 9544)P         
A． 456 B．1359 C． 2718 D．3174
答案：B
5．已知 m n 两条直线   三面列命题正确 (
A． mn mn
B．     
C． mn mn
D． mn mn 页 7 第
答案：D
6．△ABC 中角 ABC 边分 abc cos cosa A b B AB （ ）条件
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案：B
7． 24
2
1( 2)( 1)x x展开式常数项 ( )
A． 4 B． 2 C．2 D．4
答案：B
8．函数 ( ) sin(2 )4f x x 图象函数 ( ) cos2g x x 图象 ( )
A．左移
4
 单位 B．左移
8
 单位
C．右移
4
 单位 D．右移 单位
答案：D
9．意 xR 函数 ()fx满足 (2 ) ( )f x f x 1x… 时函数 ()f x lnx
3
2(2 )af

2
1(log )4bf ()c f e a b c 关系 ( )
A． c b a B． c a b C． b c a D． bac
答案：C
10．曲线 2() 2
xkf x x e  (02) 存单增区间 k 取值范围 ( )
A．()e  B．[)e  C．
2
()2
e  D．
2
[)2
e 
答案：A
11．空间四面体 ABCD 中 ABCD3ACBD4ADBC 11 四面体 ABCD 外接球表面积
（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
答案：D
12 ． 设 函 数 2 2( ) ln ( )f x x x x g x x ax     意 1
1[ 2]4x  存
2 [24]x  12( ) ( ) 1f x g x成立实数 a 取值范围 ( )
A．( 3 4ln2) B． 9( 4ln 2)2
z
y
x
D
B
C
A页 8 第
C． 9 7 1( ln 2)2 4 8   D． 71( 3 ln 2)48  
答案：B
二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．已知 2 1  a b a b b 垂直 a b 夹角
答案：
3

14．已知 1cos( ) (0 )4 3 4
 cos2
答案： 42
9

15．已知函数
2 2 1( 0)() ln ( 0)
x x xfx xx
   
„ a b c d   ()()()()f a f b f c f d   ab cd 范
围
答案：[12)
16．已知抛物线 2 6yx 焦点 F点 直线l 抛物线交 AB 两点O 坐标原点 1
4OM OB
uuur uuur
1 4OA ON
uur uuur 点 MN 分抛物线准线作垂线垂足分点 CD CD 值
答案：6
三．解答题： 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤 第 17 题～第 21 题必考题试
题考生必须作答第 22 题～第 23 题选考题考生根求作答
（）必考题： 60 分
17．解析（1） 8a 216a 514a 等差中项 2 + a1q7 8a1q + 7a1q4
q6－7q3－8 0 33( 8)( 1) 0qq   解公 2q  1q  ． ………2 分
时
7
1
71
(1 ) 127 11
aqSaq
   
12n
na 
1q  时
7
1
71
(1 ) 127 1271
aqSaq
   
1127 ( 1)n
na    ……………6 分
（2） 2 0a  时知 12n
na  21
2log 4 1n
n n nb a a n    
数列 }{ nb 前 n 项 (14) ( 1) 4 1 ( 1)
1 4 2 3 2
nn
n
n n n nT       
． …………………12 分
18 解析（1）题意： 04100
x  解 40x  页 9 第
A 抽取 2035 7100 B 抽取 2040 8100． ……………2 分
（2）完成表格：
非常满意 满意 合计
A 35 10 45
B 40 15 55
合计 75 25 100
2
2 ()
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d b d a c
    
2100(35 15 40 10) 100 384175 25 55 45 297
      
……………7 分
没 95 握认观众满意程度区关系．
（3） AB 两区机抽取 1 抽观众非常满意概率 3
4

机抽取 2 X 取值 012
211(X 0) ( )4 16P   
1
2
3 1 3(X 1) ( )( )4 4 8PC  
239(X 2) ( )4 16P   
X 分布列：
X 0 1 2
P 1
16 3
8 9
16
1 3 9 3(X) 0 1 216 8 16 2E        ． ……………12 分
19解析 (1)证明：作 BQ PC 点Q假设面 PBC  面 PCD
BQ  面 ∴ CD
直角梯形 ABCD 中 90ADC   AD BC ∴ BC CD
BQ BC BI ∴ CD  面 PBC ∴CD PC
∵ 面 PAD 底面 面 PAD I 底面 ABCD AD
∴ 面 PAD ∴ PD 页 10 第
PCD 中两直角假设成立 ………………5 分
（2）作 PO AD 点O∵ PA PD ∴ AD 中点连接OB
∵ 面 PAD 底面 ABCD ∴ PO  底面
直角梯形 中 90ADC   2AD BC ∴OB AD
OAOP 直线分 x y z 轴建立图示空间直角坐标系O xyz
∵ 2PA  1BC  3CD 
∴ (100)A(0 30)B( 1 30)C  (00 3)P
( 10 3)AP 
uuur
( 1 30)AB 
uuur
(0 3 3)BP 
uur
( 100)BC 
uuur

设面 PBA 法量 1 ()n x y z
ur

1
1
30
30
n AP x z
n AB x y
     
    
ur uuur
ur uuur 取 1 ( 311)n 
ur

理面 PBC 法量 2 (011)n 
uur
………………10 分
∴ 12
12
12
2 10cos 552| | | |
nnnn
nn
   

ur uurur uur
ur uur ………………11 分
图形知求二面角钝角∴二面角 A PB C余弦值 10
5 ………………12 分

20 解析(Ι)设 11( ) ( )P x y A x y 题知 11()B x y 1xx
11(0 ) (0 )PA y y PB y y    
uur uur
22
1 1 1( )( ) 1 1PA PB y y y y y y         
uur uur

11()A x y 椭圆
22
1 142
xyC 
22
11142
xy
221 142
xy
点 P 轨迹 2C 方程
2
2 12
x y ……………5 分
（II）直线 1l 斜率存时 22DE OM
直线 斜率存时设方程 1 1 2 2 0 0()( ) ( )y kxmDxy Exy Mxy
2 2 22
2 (2 1) 4 2 2 0
12
y kx m
k x kmx mx y
       
220 2 1km     ………7 分 页 11 第
002
2 2 1
21
km kxyk m m
   
21()kM mm
 ……………8 分
12 2
2 2 222
2
12 22
44
21(2 1) 4 2 4 0
2 4 41 242 21
km ky kx m xx kmk x kmx mxy mxx km
              

22
2 2 2
1 2 1 2 1 222
2 2 2 2
22
1 4 1 41 1 ( ) 4
1 1 4 1 1 42 2 2 2 21
kkDEOM kxx kxx xxmm
k k k k
mk
        
   
……10 分
令 22 1 1kt  
22
2
2
(2 1)( 1)1 1 4 1 12 2 2 2 ( ) 221
ttkkDE OM k t t t
      
1 (01]t 
11
2t  时 2 1
2k  时 DE OM 取值 3 1 1t  时 0k  时 DE OM 取
值 22综： DE OM 取值范围[2 23] ……………12 分
21解析(1)()fx定义域() () xf x e a¢ +
(i) 0a > 时 xRÎ 时( ) 0fx¢ > ()fx 递增 x 时()fx ( ) 0fx³ 恒．成
立 0a > 符合条件(1 分)
(ii) 0a 时( ) 0xf x e> 0a 符合条件(2 分)
(iii) 0a < 时令 ( ) 0fx¢ ()lnxa ( ln( ))xa 时() 0fx¢ < ()fx( ln( ))a 递减
(ln( ) )xa + 时 () 0fx¢ > (ln( ) )a + 递增
ln( )
min( ) (ln( )) [ln( ) 1] [ln( ) 1] 0af x f a e a a a a a + ++ + ln( ) 0a 1a (4 分)
综 a 取值范围[ 10](5 分)
(2) ()gx定义域(0 )+ () 2 2 23 ln 3g x x x x mx¢ + + 2 (3ln 1 3 ) 0x x m + + 1
3m
xe


1
30 m
xe骣琪Î 琪桫
时( ) 0gx¢ < ()gx递减
1
3 m
xe骣琪 琪桫
时( ) 0gx¢ > ()gx递增

1
3() m
m g ej 骣琪琪桫
3 1 3 1 3 13 1 1( 1)33
m m mm e m e m e+ + (7 分)
31( ) 1 0mmej ¢ 1
3m 1 3m
骣琪琪桫 时( ) 0mj ¢ > ()mj 递增 103m
骣琪 琪桫
时( ) 0mj ¢ < 递减 max
1( ) 03mjj
骣琪 琪桫 (9 分) 页 12 第
()
11 3131
3
mmm e ej +
骣琪琪桫

11 31 03
mme+
等价 11 33 mme+
等价 1ln( 3 ) 1 3m m
(1)知 1a 时 1xex 1x > 时 ln( 1)xx+ 1x 代 x ln 1xx 1
x 代 x
11 ln 1xxx＃(仅 1x 时取等号) 取 3xm 显然 1ln( 3 ) 1 3m m 成立(11 分)
综知
11 3131 ( ) 03
mme e mj+
骣琪 ＃琪桫
(12 分)

（二）选考题： 10 分请考生选题作答果做做第题计分
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
解析(1)曲线 1C 参数方程 6cos (4sin
x
y
 

 
参数)参数消直角坐标方程
22
136 16
xy设 1C
意点 00()xy伸缩变换坐标()xy题意：
0
0
0
0
1
33
21
2
xx xx
yyyy
      
2C 直角坐标方程 224xy ………5 分
（2）点  11P 倾斜角 直线l 参数方程： 1 cos (1 sin
xt
yt
 

 
参数)带入 方程 224xy
： 2 2(cos sin ) 2 0tt   
记 AB参数分 12tt  12
12
2 cos sin
2
tt
tt
     
………8 分
2
12 4(cos sin ) 8 2 3 sin 2AB t t         
3
4  时 min 22AB  ………10 分
23 （题满分 10 分）选修 45：等式选讲
解析（1）题知 2 +3 4xx 0x  时 2 3 4xx   解 1 02 x  
02x时 2 +3 4xx解01x 2x  时 2+3 4xx等式解
综等式解集 1{ | 1}2xx   ………5 分
（ 2 ） 题 知 存 aR
2 12 3
maa   成 立
2
max
1 ( 2 )3
m aa   
2 ( 2) 2a a a a     
2 1 23
m   [ 5 5]m ………10 分 页 13 第





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