20192020中学高三学期10月月考数学试题
单选题
1．（ ）
A B C D
答案D
解析详解
题意 ：：
：
题选择D选项
2．集合集合图中阴影部分表示
A B C D
答案A
解析阴影部分应集合运算表示出然根集合表示元素范围计算结果
详解
阴影部分：
选：A
点睛
题考查根已知集合计算图表示集合难度较易图中阴影部分首先翻译成集合间运算然求解相应值
3．设非零量（ ）
A充分必条件 B必充分条件
C充分必条件 D充分必条件
答案A
解析已知时时充分必条件选A
考点充分必条件量线
4．设
A B C D
答案A
解析根指数函数数函数单调性较数值
详解
选：A
点睛
题考查利指数函数单调性较数值难度般利指数函数单调性较时注意利中间量较常中间量：
5．直线圆截弦长4值（ ）
A．9 B．4 C． D．
答案A
解析圆标准方程：（x+1）2+（y﹣2）2 4
表示（﹣12）圆心半径等2圆
设弦心距d题意 22+d24求d0
直线圆心﹣2a﹣2b+20
a+b1a＞0b＞0
（ ）（a+b）5+≥5+2
仅时取等号∴值9．
选：A．
点睛：题考查基等式难点利三角形边条边高表示接正方形边长基等式求值时应具备三条件：正二定三相等①正：关系式中项均正数②二定：关系式中含变量项积必须定值③三相等：含变量项均相等取值
6．函数图致( )
A B
C D
答案B
解析先判断奇偶性然通计算导函数特殊点导函数值正负判断相应结果
详解
定义域关原点称偶函数排AC时应切线斜率零排D
选：B
点睛
题考查函数图象辨难度般辨函数图象般通奇偶性单调性特殊点位置导数值正负应切线斜率变化等判断
7．图长方体中点分中点异面直线成角余弦值
A B C D
答案D
解析直线轴建立空间直角坐标系坐标进结
详解
直线轴建立空间直角坐标系
设异面直线成角
选D
点睛
题考查异面直线成角属中档题求异面直线成角方法两种：量法根体特殊性质建立空间直角坐标系分求出两直线方量利空间量夹角余弦公式求解二传统法利行四边形三角形中位线等方法找出两直线成角利面性质求解
8．△ABC中∠A∠B∠C边分abc△ABC形状定（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案B
解析△ABC中利二倍角余弦正弦定理已知cos2转化cosA整理判断△ABC形状．
详解
△ABC中∵cos2
∴
∴1+cosA1cosA
∴cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC
∴sinAcosC＝0∵sinA≠0
∴cosC＝0
∴C直角．
选：B．
点睛
题考查三角形形状判断着重考查二倍角余弦正弦定理诱导公式综合运属中档题．
9．函数两极值点实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析求出函数导数结合二次函数性质关a等式组解出．
详解
定义域（0+∞）
函数两极值点
（0+∞）2实数根
解：
选：D．
点睛
题考查函数极值问题考查导数应二次函数性质道中档题．
10．图中已知
A45 B13 C13 D37
答案D
解析先表示出
根表示出根求出值值代入出答案．
详解
∵
∴
整理：
∴
∴
选：D．
点睛
题考查面量数量积运算注意运面量基定理量数量积性质考查运算力属中档题．
11．定义偶函数满足（ ）
A
B
C
D
答案A
解析试题分析：周期函数结合偶函数递增选A．
考点1函数周期性2奇偶性单调性综合．
12．设函数定义域满足条件：存值域称倍缩函数．函数倍缩函数实数取值范围
A（﹣∞ln2﹣1） B（﹣∞ln2﹣1]
C（1﹣ln2+∞） D[1﹣ln2+∞）
答案C
解析∵函数f（x）lnx+t倍缩函数
满足存[ab]⊆Df（x）[ab]值域[]
∴f（x）[ab]增函数
∴ （0+∞）两根
ytg（x）﹣lnx（0+∞）2交点 g′（x）
令g′（x）＞0解：x＞2
令g′（x）＜0解：0＜x＜2
g（x）（02）递减（2+∞）递增
g（x）≥g（2）1﹣ln2t＞1﹣ln2 选C：．
点睛：函数y＝f(x)零点方程f(x)＝0根研究方程关问题时较方程根确定方程根分布证明根存性等方程问题转化函数问题解决类问题切入点助函数零点结合函数图象采数形结合思想加解决
二填空题
13．已知量夹角______．
答案
解析求量模长方开方中间根数量积计算公式计算
详解
点睛
题考查量模长计算难度较易计算两量相加者相减量模长通先模长方开方中间利数量积公式已知条件计算结果
14．xy满足约束条件z3x﹣4y值________．
答案
解析作出等式组应面区域利目标函数意义求目标函数z3x﹣4y值．
详解
z3x﹣4yyx﹣作出等式应行域（阴影部分）
移直线yx﹣移知直线yx﹣
点A（11）时直线yx﹣截距时z取值
A坐标代入z3x﹣4y3﹣4﹣1
目标函数z3x﹣4y值﹣1．
答案：﹣1．
点睛
题考查线性规划应利目标函数意义结合数形结合数学思想解决类问题基方法．
15．△ABC中边abc角分ABCa2＝b2+c2bcsinC＝2cosBB________________
答案
解析先根余弦定理求解值然利三角恒等变换求解
详解
点睛
题考查利余弦定理解三角形三角恒等变换应难度般三角形中已知角出外两角三角函数关系时通角度统然利辅助角公式等完成角度求解
16．已知函数列命题正确______填认正确命题序号
函数单调递增区间函数图关点称
函数图左移单位长度图关y轴称m值
实数m方程恰三实数解．
答案①③④
解析先利辅助角公式函数化简然单调区间称中心图象移函数方程四方面逐项分析
详解
令令单调增区间正确
称中心错误
图左移单位长度偶函数时正确
作出图象图示：
仅三交点：
时关称正确
填写：①③④
点睛
题考查三角函数图象性质综合应难度般（1）称中心处应函数值称轴处应函数值值（2）分析方程解数时助两函数图象交点数分析
三解答题
17．已知函数．
求称轴方程
锐角中角ABC边分abc求b值．
答案（1）（2）
解析（1）根量坐标形式数量积运算写出表达式然根称轴公式求解称轴（2）先根条件计算值根正弦定理计算值
详解
解：令
称轴方程
时
正弦定理 ．
点睛
题考查量数量积三角恒等变换解三角形综合应难度般（1）辅助角公式运熟练：（2）利正余弦定理解三角形时注意边角关系应
18．某机构调查国公民申办奥运会态度选某区100位居民调查结果统计：
支持
支持
合计
年龄50岁
80
年龄50岁
10
合计
70
100
（1）根已数表格数填写完整
（2）否犯错误概率超5前提认年龄支持申办奥运关？
（3）已知调查年龄50岁支持者中5名女性中2位女教师现5名女性中机抽取3求1位女教师概率
附：
0100
0050
0025
0010
2706
3841
5024
6635
答案（1）见解析（2）犯错误概率超5前提认年龄支持申办奥运关
（3）
解析试题分析：（1）根条件中数列出列联表填应数列联表．
（2）假设年龄支持申办奥运关没关系根问做出列联表求数代入求观测值公式求出观测值观测值界值进行较结．（3）列举法确定基事件求出概率．
试题解析：
（1）
（2）
犯错误概率超5前提认年龄支持申办奥运关
（3）记5中表示教师5意抽3等事件：
10中1教师7基事件：
求概率
19．面直角坐标系中原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系直线L：曲线C参数方程（参数）
求直线L曲线C普通方程
曲线C求点QQ直线L距离求出值
答案（1）直线L普通方程：曲线C普通方程（x5）2+y21（2）点Q坐标距离值2
解析（1）根极坐标直角坐标互化普通方程根圆参数方程相关知识普通方程（2）设出点参数形式利点直线距离公式三角函数界性计算点直线距离值
详解
解：（1）∵直线L：ρcosθρsinθ+10
∴直线L普通方程：
∵曲线C参数方程（α参数）
∴曲线C普通方程（x5）2+y21．
（2）设Q（5+cosαsinα）Q直线L距离：
时dmin2
时点Q坐标．
点睛
题考查极坐标方程参数方程直角坐标方程互化求曲线点直线距离值难度般（1）极坐标直角坐标互化公式（2）求解曲线点直线距离值常方法：设出点参数形式（三角函数形式更方便）利点直线距离公式结合三角函数中辅助角公式计算出应距离值时注意取等号条件
20．已知函数．
（）解等式．
（）意成立求实数取值范围．
答案（1）（2）．
解析（1）利||x﹣1|+2|＜5转化﹣7＜|x﹣1|＜3然求解等式．
（2）利条件说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}通函数值列出等式求解．
详解
（）
∴
等式解．
解集：
（）意成立
解
实数取值范围．
点睛
题考查函数恒成立绝值等式解法考查分析问题解决问题力转化思想应．
21．已知椭圆C：（a＞b＞0）两焦点分F1F2离心率F1直线l椭圆C交MN两点△MNF2周长8．
（1）求椭圆C方程
（2）直线y＝kx＋b椭圆C分交AB两点OA⊥OB试问点O直线AB距离否定值证明结．
答案（1） （2）见解析
解析(1)根三角形周长8结合椭圆定义知利求值求椭圆方程(2)分类讨直线斜率斜存时联立关元二次方程利韦达定理量数量积坐标运算求关系利点直线距离公式求点直线距离否定值
详解
（1）题意知4a8a2
椭圆离心率b23．
∴椭圆C方程
（2）题意直线AB斜率存时设A（x0x0）B（x0x0）．
AB两点椭圆C
∴
∴点O直线AB距离
直线AB斜率存时设直线AB方程ykx+b．设A（x1y1）B（x2y2）
联立方程消y（3+4k2）x2+8kbx+4b2120．
已知△＞0x1+x2x1x2
OA⊥OBx1x2+y1y20x1x2+（kx1+b）（kx2+b）0
整理：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b20
∴ ．
∴7b212（k2+1）满足△＞0．
∴点O直线AB距离定值．
综知：点O直线AB距离d定值．
点睛
题考查椭圆定义椭圆标准方程圆锥曲线定值问题点直线距离公式属难题 探索圆锥曲线定值问题常见方法两种：① 特殊入手先根特殊位置数值求出定值证明值变量关② 直接推理计算计算推理程中消变量定值
22．已知函数．
（1）求函数单调区间
（2）时证明：意．
答案（1）函数区间单调递增区间单调递减
（2）见解析
解析详解试题分析：（1）求出导函数参数a进行分类讨出导函数正负判断原函数单调性（2）整理等式exlnx2＞0构造函数h（x）exlnx2知函数h＇（x）（0+∞）单调递增方程h＇（x）0（0+∞）存唯实根x0出函数值h(x)min＝h(x0)＝ex0−lnx0−2＝ex﹣lnx﹣2＞0（0+∞）恒成立原等式成立
试题解析：
解：（1）题意知函数f（x）定义域（0+∞）
已知．
a≤0时f＇（x）＞0函数f（x）（0+∞）单调递增
函数f（x）单调递增区间（0+∞）．
a＞0时f＇（x）＞0f＇（x）＜0
函数f（x）单调递增区间单调递减区间．
综a≤0时函数f（x）单调递增区间（0+∞）
a＞0时函数f（x）单调递增区间单调递减区间．
（2）证明：a1时等式f（x）+ex＞x2+x+2变ex﹣lnx﹣2＞0令h（x）ex﹣lnx﹣2知函数h＇（x）（0+∞）单调递增
方程h＇（x）0（0+∞）存唯实根x0．
x∈（0x0）时h＇（x）＜0函数h（x）单调递减
x∈（x0+∞）时h＇（x）＞0函数h（x）单调递增 ．
ex﹣lnx﹣2＞0（0+∞）恒成立
意x＞0f（x）+ex＞x2+x+2成立．
点睛：题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想考查零点存性定理解零点问题属中档题
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单选题
1．（ ）
A B C D
答案D
解析详解
题意 ：：
：
题选择D选项
2．集合集合图中阴影部分表示
A B C D
答案A
解析阴影部分应集合运算表示出然根集合表示元素范围计算结果
详解
阴影部分：
选：A
点睛
题考查根已知集合计算图表示集合难度较易图中阴影部分首先翻译成集合间运算然求解相应值
3．设非零量（ ）
A充分必条件 B必充分条件
C充分必条件 D充分必条件
答案A
解析已知时时充分必条件选A
考点充分必条件量线
4．设
A B C D
答案A
解析根指数函数数函数单调性较数值
详解
选：A
点睛
题考查利指数函数单调性较数值难度般利指数函数单调性较时注意利中间量较常中间量：
5．直线圆截弦长4值（ ）
A．9 B．4 C． D．
答案A
解析圆标准方程：（x+1）2+（y﹣2）2 4
表示（﹣12）圆心半径等2圆
设弦心距d题意 22+d24求d0
直线圆心﹣2a﹣2b+20
a+b1a＞0b＞0
（ ）（a+b）5+≥5+2
仅时取等号∴值9．
选：A．
点睛：题考查基等式难点利三角形边条边高表示接正方形边长基等式求值时应具备三条件：正二定三相等①正：关系式中项均正数②二定：关系式中含变量项积必须定值③三相等：含变量项均相等取值
6．函数图致( )
A B
C D
答案B
解析先判断奇偶性然通计算导函数特殊点导函数值正负判断相应结果
详解
定义域关原点称偶函数排AC时应切线斜率零排D
选：B
点睛
题考查函数图象辨难度般辨函数图象般通奇偶性单调性特殊点位置导数值正负应切线斜率变化等判断
7．图长方体中点分中点异面直线成角余弦值
A B C D
答案D
解析直线轴建立空间直角坐标系坐标进结
详解
直线轴建立空间直角坐标系
设异面直线成角
选D
点睛
题考查异面直线成角属中档题求异面直线成角方法两种：量法根体特殊性质建立空间直角坐标系分求出两直线方量利空间量夹角余弦公式求解二传统法利行四边形三角形中位线等方法找出两直线成角利面性质求解
8．△ABC中∠A∠B∠C边分abc△ABC形状定（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案B
解析△ABC中利二倍角余弦正弦定理已知cos2转化cosA整理判断△ABC形状．
详解
△ABC中∵cos2
∴
∴1+cosA1cosA
∴cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC
∴sinAcosC＝0∵sinA≠0
∴cosC＝0
∴C直角．
选：B．
点睛
题考查三角形形状判断着重考查二倍角余弦正弦定理诱导公式综合运属中档题．
9．函数两极值点实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析求出函数导数结合二次函数性质关a等式组解出．
详解
定义域（0+∞）
函数两极值点
（0+∞）2实数根
解：
选：D．
点睛
题考查函数极值问题考查导数应二次函数性质道中档题．
10．图中已知
A45 B13 C13 D37
答案D
解析先表示出
根表示出根求出值值代入出答案．
详解
∵
∴
整理：
∴
∴
选：D．
点睛
题考查面量数量积运算注意运面量基定理量数量积性质考查运算力属中档题．
11．定义偶函数满足（ ）
A
B
C
D
答案A
解析试题分析：周期函数结合偶函数递增选A．
考点1函数周期性2奇偶性单调性综合．
12．设函数定义域满足条件：存值域称倍缩函数．函数倍缩函数实数取值范围
A（﹣∞ln2﹣1） B（﹣∞ln2﹣1]
C（1﹣ln2+∞） D[1﹣ln2+∞）
答案C
解析∵函数f（x）lnx+t倍缩函数
满足存[ab]⊆Df（x）[ab]值域[]
∴f（x）[ab]增函数
∴ （0+∞）两根
ytg（x）﹣lnx（0+∞）2交点 g′（x）
令g′（x）＞0解：x＞2
令g′（x）＜0解：0＜x＜2
g（x）（02）递减（2+∞）递增
g（x）≥g（2）1﹣ln2t＞1﹣ln2 选C：．
点睛：函数y＝f(x)零点方程f(x)＝0根研究方程关问题时较方程根确定方程根分布证明根存性等方程问题转化函数问题解决类问题切入点助函数零点结合函数图象采数形结合思想加解决
二填空题
13．已知量夹角______．
答案
解析求量模长方开方中间根数量积计算公式计算
详解
点睛
题考查量模长计算难度较易计算两量相加者相减量模长通先模长方开方中间利数量积公式已知条件计算结果
14．xy满足约束条件z3x﹣4y值________．
答案
解析作出等式组应面区域利目标函数意义求目标函数z3x﹣4y值．
详解
z3x﹣4yyx﹣作出等式应行域（阴影部分）
移直线yx﹣移知直线yx﹣
点A（11）时直线yx﹣截距时z取值
A坐标代入z3x﹣4y3﹣4﹣1
目标函数z3x﹣4y值﹣1．
答案：﹣1．
点睛
题考查线性规划应利目标函数意义结合数形结合数学思想解决类问题基方法．
15．△ABC中边abc角分ABCa2＝b2+c2bcsinC＝2cosBB________________
答案
解析先根余弦定理求解值然利三角恒等变换求解
详解
点睛
题考查利余弦定理解三角形三角恒等变换应难度般三角形中已知角出外两角三角函数关系时通角度统然利辅助角公式等完成角度求解
16．已知函数列命题正确______填认正确命题序号
函数单调递增区间函数图关点称
函数图左移单位长度图关y轴称m值
实数m方程恰三实数解．
答案①③④
解析先利辅助角公式函数化简然单调区间称中心图象移函数方程四方面逐项分析
详解
令令单调增区间正确
称中心错误
图左移单位长度偶函数时正确
作出图象图示：
仅三交点：
时关称正确
填写：①③④
点睛
题考查三角函数图象性质综合应难度般（1）称中心处应函数值称轴处应函数值值（2）分析方程解数时助两函数图象交点数分析
三解答题
17．已知函数．
求称轴方程
锐角中角ABC边分abc求b值．
答案（1）（2）
解析（1）根量坐标形式数量积运算写出表达式然根称轴公式求解称轴（2）先根条件计算值根正弦定理计算值
详解
解：令
称轴方程
时
正弦定理 ．
点睛
题考查量数量积三角恒等变换解三角形综合应难度般（1）辅助角公式运熟练：（2）利正余弦定理解三角形时注意边角关系应
18．某机构调查国公民申办奥运会态度选某区100位居民调查结果统计：
支持
支持
合计
年龄50岁
80
年龄50岁
10
合计
70
100
（1）根已数表格数填写完整
（2）否犯错误概率超5前提认年龄支持申办奥运关？
（3）已知调查年龄50岁支持者中5名女性中2位女教师现5名女性中机抽取3求1位女教师概率
附：
0100
0050
0025
0010
2706
3841
5024
6635
答案（1）见解析（2）犯错误概率超5前提认年龄支持申办奥运关
（3）
解析试题分析：（1）根条件中数列出列联表填应数列联表．
（2）假设年龄支持申办奥运关没关系根问做出列联表求数代入求观测值公式求出观测值观测值界值进行较结．（3）列举法确定基事件求出概率．
试题解析：
（1）
（2）
犯错误概率超5前提认年龄支持申办奥运关
（3）记5中表示教师5意抽3等事件：
10中1教师7基事件：
求概率
19．面直角坐标系中原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系直线L：曲线C参数方程（参数）
求直线L曲线C普通方程
曲线C求点QQ直线L距离求出值
答案（1）直线L普通方程：曲线C普通方程（x5）2+y21（2）点Q坐标距离值2
解析（1）根极坐标直角坐标互化普通方程根圆参数方程相关知识普通方程（2）设出点参数形式利点直线距离公式三角函数界性计算点直线距离值
详解
解：（1）∵直线L：ρcosθρsinθ+10
∴直线L普通方程：
∵曲线C参数方程（α参数）
∴曲线C普通方程（x5）2+y21．
（2）设Q（5+cosαsinα）Q直线L距离：
时dmin2
时点Q坐标．
点睛
题考查极坐标方程参数方程直角坐标方程互化求曲线点直线距离值难度般（1）极坐标直角坐标互化公式（2）求解曲线点直线距离值常方法：设出点参数形式（三角函数形式更方便）利点直线距离公式结合三角函数中辅助角公式计算出应距离值时注意取等号条件
20．已知函数．
（）解等式．
（）意成立求实数取值范围．
答案（1）（2）．
解析（1）利||x﹣1|+2|＜5转化﹣7＜|x﹣1|＜3然求解等式．
（2）利条件说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}通函数值列出等式求解．
详解
（）
∴
等式解．
解集：
（）意成立
解
实数取值范围．
点睛
题考查函数恒成立绝值等式解法考查分析问题解决问题力转化思想应．
21．已知椭圆C：（a＞b＞0）两焦点分F1F2离心率F1直线l椭圆C交MN两点△MNF2周长8．
（1）求椭圆C方程
（2）直线y＝kx＋b椭圆C分交AB两点OA⊥OB试问点O直线AB距离否定值证明结．
答案（1） （2）见解析
解析(1)根三角形周长8结合椭圆定义知利求值求椭圆方程(2)分类讨直线斜率斜存时联立关元二次方程利韦达定理量数量积坐标运算求关系利点直线距离公式求点直线距离否定值
详解
（1）题意知4a8a2
椭圆离心率b23．
∴椭圆C方程
（2）题意直线AB斜率存时设A（x0x0）B（x0x0）．
AB两点椭圆C
∴
∴点O直线AB距离
直线AB斜率存时设直线AB方程ykx+b．设A（x1y1）B（x2y2）
联立方程消y（3+4k2）x2+8kbx+4b2120．
已知△＞0x1+x2x1x2
OA⊥OBx1x2+y1y20x1x2+（kx1+b）（kx2+b）0
整理：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b20
∴ ．
∴7b212（k2+1）满足△＞0．
∴点O直线AB距离定值．
综知：点O直线AB距离d定值．
点睛
题考查椭圆定义椭圆标准方程圆锥曲线定值问题点直线距离公式属难题 探索圆锥曲线定值问题常见方法两种：① 特殊入手先根特殊位置数值求出定值证明值变量关② 直接推理计算计算推理程中消变量定值
22．已知函数．
（1）求函数单调区间
（2）时证明：意．
答案（1）函数区间单调递增区间单调递减
（2）见解析
解析详解试题分析：（1）求出导函数参数a进行分类讨出导函数正负判断原函数单调性（2）整理等式exlnx2＞0构造函数h（x）exlnx2知函数h＇（x）（0+∞）单调递增方程h＇（x）0（0+∞）存唯实根x0出函数值h(x)min＝h(x0)＝ex0−lnx0−2＝ex﹣lnx﹣2＞0（0+∞）恒成立原等式成立
试题解析：
解：（1）题意知函数f（x）定义域（0+∞）
已知．
a≤0时f＇（x）＞0函数f（x）（0+∞）单调递增
函数f（x）单调递增区间（0+∞）．
a＞0时f＇（x）＞0f＇（x）＜0
函数f（x）单调递增区间单调递减区间．
综a≤0时函数f（x）单调递增区间（0+∞）
a＞0时函数f（x）单调递增区间单调递减区间．
（2）证明：a1时等式f（x）+ex＞x2+x+2变ex﹣lnx﹣2＞0令h（x）ex﹣lnx﹣2知函数h＇（x）（0+∞）单调递增
方程h＇（x）0（0+∞）存唯实根x0．
x∈（0x0）时h＇（x）＜0函数h（x）单调递减
x∈（x0+∞）时h＇（x）＞0函数h（x）单调递增 ．
ex﹣lnx﹣2＞0（0+∞）恒成立
意x＞0f（x）+ex＞x2+x+2成立．
点睛：题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想考查零点存性定理解零点问题属中档题
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