20192020届市第中学高三学期12月月考数学（理）试题
单选题
1．已知集合集合求（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析解出集合利集合交集运算律求出集合
详解
解等式解
解等式解
选：B
点睛
题考查集合交集运算解出等式出两集合解题关键考查计算力属基础题
2．列等式定成立（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析试题分析：ABC三选项关系法判断错误选D
考点（者等式证明）
3．列命题说法错误（ ）
A．命题p：∀x∈Rx2+x+1＞0¬p：∃x0∈Rx02+x0+1≤0．
B．x1x2﹣3x+20充分必条件．
C．ac2＜bc2a＜b必充分条件．
D．命题x2﹣3x+20x1逆否命题：x≠1x2﹣3x+2≠0．
答案C
解析命题p∀x∈Rx2+x+1>0¬p ∃x0∈Rx02+x0+1≤0真命题
x1x2−3x+20充分必条件真命题
c0时成立假命题
命题x2−3x+20x1逆否命题：x≠1x2−3x+2≠0真命题
选：C
4．已知等差数列前n项
A．140 B．70 C．154 D．77
答案D
解析利等差数列前n项公式等差数列性质求出结果
详解
等差数列前n项
选D
点睛
题考查等差数列前n项求法等差数列性质属基础题
5．已知双曲线（a>0b>0）离心率椭圆离心率（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析双曲线（a>0b>0）离心率：
∴椭圆离心率
选：C
点睛：解决椭圆双曲线离心率求值范围问题关键确立关abc方程等式根abc关系消掉bac关系式建立关abc方程等式充分利椭圆双曲线性质点坐标范围等
6．函数致图象（ ）
A． B．
C． D．
答案B
解析判断函数奇偶性排选项AC然取特殊值计算判断结果
详解
定义域关原点称
∵
偶函数图象关轴称排AC
时排D选B．
点睛
题考查函数图象判断应考查函数零点特殊值计算中档题已知函数解析式选择正确图象高考中高频考点采排法常见排出方式根函数定义域值域单调性奇偶性周期性等性质时特殊点处应函数值符号中包括等
7．函数图象左移单位长度移新函数图象称轴方程( )
A． B．
C． D．
答案A
解析利图左右移规律移函数图应解析式结合余弦函数图形称性应整体角思维结果
详解
函数图象左移单位长度
令解
移图称轴方程
选A
点睛
该题考查关函数图移变换图性质结合余弦曲线称轴求结果
8．中边中线长（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析题意点睛
题考查面量基定理量拆分需选择合适基底量基底表示
9．某体三视图图示该体体积（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析试题分析：三视图分析知体底面直角三角形中条侧棱垂直底面三棱锥底面三角形两直角边分34棱锥高6棱锥体积A正确
考点1三视图2棱锥体积公式
10．已知点圆意点面积值 （ ）
A．8 B． C．12 D．
答案C
解析三角形面积公式需求出直线距离值结果
详解
两点间距离公式
两点式直线方程
圆心直线距离
圆半径
点直线距离值
面积值选C
点睛
题考查圆方程性质点直线距离公式应解析求值属中档题解决解析中值问题般两种方法：意义特圆锥曲线定义面关结解决非常巧妙二解析中值问题转化函数问题然根函数特征选参数法配方法判式法三角函数界法函数单调性法均值等式法
11．函数函数（中然数底数）函数两零点实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析先分离变量转化求应函数单调性值域确定结果
详解
令
时
时
时函数两零点选C
点睛
题考查利导数研究函数零点考查综合分析求解力属中档题
12．已知双曲线原点作条倾斜角直线分交双曲线左右两支PQ两点线段PQ直径圆右焦点F双曲线离心率
A． B． C．2 D．
答案B
解析求直线方程联立直线方程双曲线方程求两点坐标关系根列方程化简求离心率
详解
设题意直线方程代入双曲线方程化简 设焦点坐标直径圆点两边解选B
点睛
题考查直线双曲线交点考查圆直径关性质考查运算求解力属中档题
二填空题
13．已知满足约束条件值_____．
答案
解析作出等式组应面区域利意义结．
详解
解：作出满足约束条件应面区域图：
移直线
图象知直线点时直线截距
时解
时
答案：．
点睛
题考查线性规划基应利数形结合结合目标函数意义解决类问题基方法．
14．动点椭圆作轴垂线垂足点满足点轨迹方程______
答案
解析设根题意列出等式然根椭圆代入
详解
解：令
代入
答案：
点睛
题考查相关点法求轨迹方程属基础题
15．已知直角梯形中直角梯形折叠面面三棱锥外接球体积__________．
答案
解析结合题意画出折叠三棱锥图示条件底面中取AB中点OAC中点E连OCOE
∵
∴
∵面面
∴面
∴
∴
∴
∴点O三棱锥外接球球心球半径2
∴答案：
点睛：
（1）题道关求三棱锥外接球体积题目外接球球心位置解题关键结合题意取AB中点O易OAOBOCOD2进确定三棱锥外接球半径然利球体积公式进行计算
（2）折叠性问题注意折叠前两图形中量（位置关系数量关系）发生变化没发生变化
16．已知函数数列通项公式__________．
答案
解析先证明函数奇函数图关称表达式两两组合求然求表达式
详解
函数奇函数图关称
点睛
题考查函数奇偶性称性考查特殊数列求方法——分组求法属中档题
三解答题
17．已知函数．
（1）求函数单调增区间
（2）求方程(0]解．
答案（1）（2）
解析先进行恒等变换化正弦型函数（1）直接利正弦函数单调增区间解x范围
（2）令解x值k进行赋值x落结果
详解
（1）解：
∴函数单调增区间
（2）解：
∵∴．
点睛
题考查三角函数求值运算问题考查三角恒等变换正弦函数单调性基础题．
18．已知数列等差数列前项．
（1）求．
（2）设求数列前项．
答案(1) (2)
解析(1)数列等差数列解解 求数列通项公式
(2)（1）利公错位相减求解数列前n项．
详解
(1)题意数列等差数列
解
数列通项公式．
(2)（1）
两式相减
．
点睛
题考查等差通项公式错位相减法求应类题目数列问题中常见题型解答中确定通项公式基础准确计算求关键易错点错位求时弄错等数列项数较考查考生数形结合思想逻辑思维力基计算力等
19．中角边分已知
（Ⅰ）求角
（Ⅱ）求面积
答案（1）（2）
解析（Ⅰ）正弦定理三角形角间关系解进结果（Ⅱ）结合余弦定理代入参数值根三角形面积公式结果
详解
（Ⅰ）根正弦定理
整理
解
（Ⅱ）根余弦定理
解
点睛
题考查正弦定理边角互化余弦定理应特殊角三角函数属简单题 余弦定理定熟记两种形式：（1）（2）时熟练掌握运两种形式条件外解三角形三角函数关问题时需记住等特殊角三角函数值便解题中直接应
20．图四棱锥中底面菱形点中点
（1）求证：面
（2）求面面成二面角正弦值
答案(1)证明见解析(2)
解析（1）求出数量关系根勾股定理证正三角形根直线面垂直判定定理证面
（2）建立空间直角坐标系求出两面法量成余弦值求出面面成二面角正弦值
详解
（1）证明：连结底面菱形
中点
中中点
设
（通证明）
面面
面
（2）
面面
（1）面面
直线两两互相垂直
坐标原点直线轴轴轴图建系
设
（1）知面
取行量作面法量
设面法量
令
设面面成二面角
面面成二面角正弦值
点睛
题考查线面垂直判定空间量法求二面角属综合题
21．已知椭圆离心率短轴端点右焦点距离2
（1）试求椭圆方程
（2）斜率直线椭圆交两点点椭圆点记直线斜率直线斜率试问：否定值？请证明结
答案（1）（2）见解析
解析分析：（1）条件ac解b椭圆标准方程（2）设CD坐标根斜率公式设直线方程椭圆方程联立方程组利韦达定理代入化简定值
详解：（1）．椭圆方程
（2）设直线方程：
联立直线方程椭圆方程：
（1）代入（2）：
化简：………（3）
时
时直线椭圆两交点
韦达定理：
点睛：直线圆锥曲线位置关系般转化直线方程圆锥曲线方程组成方程组利韦达定理求根公式进行转化
22．已知函数点处切线方程
（1）求实数值
（2）存满足求实数取值范围
答案(1) 实数值
(2)
解析分析：（1）根导数意义求曲线点处切线方程．（2）问题转化解令结合导数实数取值范围．
详解：（1）函数定义域
∵
∴
∴
∴求切线方程
函数点处切线方程
∴
实数值
（2）题意
问题转化解
令
令
时
函数区间单调递减
区间单调递减
实数取值范围
点睛：恒成立成立问题常解法分离参数转化求函数值问题处理．解题时注意常结：解解．函数值存时利函数值域端点值代解题时特注意等式中等号否成立．
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单选题
1．已知集合集合求（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析解出集合利集合交集运算律求出集合
详解
解等式解
解等式解
选：B
点睛
题考查集合交集运算解出等式出两集合解题关键考查计算力属基础题
2．列等式定成立（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析试题分析：ABC三选项关系法判断错误选D
考点（者等式证明）
3．列命题说法错误（ ）
A．命题p：∀x∈Rx2+x+1＞0¬p：∃x0∈Rx02+x0+1≤0．
B．x1x2﹣3x+20充分必条件．
C．ac2＜bc2a＜b必充分条件．
D．命题x2﹣3x+20x1逆否命题：x≠1x2﹣3x+2≠0．
答案C
解析命题p∀x∈Rx2+x+1>0¬p ∃x0∈Rx02+x0+1≤0真命题
x1x2−3x+20充分必条件真命题
c0时成立假命题
命题x2−3x+20x1逆否命题：x≠1x2−3x+2≠0真命题
选：C
4．已知等差数列前n项
A．140 B．70 C．154 D．77
答案D
解析利等差数列前n项公式等差数列性质求出结果
详解
等差数列前n项
选D
点睛
题考查等差数列前n项求法等差数列性质属基础题
5．已知双曲线（a>0b>0）离心率椭圆离心率（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析双曲线（a>0b>0）离心率：
∴椭圆离心率
选：C
点睛：解决椭圆双曲线离心率求值范围问题关键确立关abc方程等式根abc关系消掉bac关系式建立关abc方程等式充分利椭圆双曲线性质点坐标范围等
6．函数致图象（ ）
A． B．
C． D．
答案B
解析判断函数奇偶性排选项AC然取特殊值计算判断结果
详解
定义域关原点称
∵
偶函数图象关轴称排AC
时排D选B．
点睛
题考查函数图象判断应考查函数零点特殊值计算中档题已知函数解析式选择正确图象高考中高频考点采排法常见排出方式根函数定义域值域单调性奇偶性周期性等性质时特殊点处应函数值符号中包括等
7．函数图象左移单位长度移新函数图象称轴方程( )
A． B．
C． D．
答案A
解析利图左右移规律移函数图应解析式结合余弦函数图形称性应整体角思维结果
详解
函数图象左移单位长度
令解
移图称轴方程
选A
点睛
该题考查关函数图移变换图性质结合余弦曲线称轴求结果
8．中边中线长（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析题意点睛
题考查面量基定理量拆分需选择合适基底量基底表示
9．某体三视图图示该体体积（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析试题分析：三视图分析知体底面直角三角形中条侧棱垂直底面三棱锥底面三角形两直角边分34棱锥高6棱锥体积A正确
考点1三视图2棱锥体积公式
10．已知点圆意点面积值 （ ）
A．8 B． C．12 D．
答案C
解析三角形面积公式需求出直线距离值结果
详解
两点间距离公式
两点式直线方程
圆心直线距离
圆半径
点直线距离值
面积值选C
点睛
题考查圆方程性质点直线距离公式应解析求值属中档题解决解析中值问题般两种方法：意义特圆锥曲线定义面关结解决非常巧妙二解析中值问题转化函数问题然根函数特征选参数法配方法判式法三角函数界法函数单调性法均值等式法
11．函数函数（中然数底数）函数两零点实数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析先分离变量转化求应函数单调性值域确定结果
详解
令
时
时
时函数两零点选C
点睛
题考查利导数研究函数零点考查综合分析求解力属中档题
12．已知双曲线原点作条倾斜角直线分交双曲线左右两支PQ两点线段PQ直径圆右焦点F双曲线离心率
A． B． C．2 D．
答案B
解析求直线方程联立直线方程双曲线方程求两点坐标关系根列方程化简求离心率
详解
设题意直线方程代入双曲线方程化简 设焦点坐标直径圆点两边解选B
点睛
题考查直线双曲线交点考查圆直径关性质考查运算求解力属中档题
二填空题
13．已知满足约束条件值_____．
答案
解析作出等式组应面区域利意义结．
详解
解：作出满足约束条件应面区域图：
移直线
图象知直线点时直线截距
时解
时
答案：．
点睛
题考查线性规划基应利数形结合结合目标函数意义解决类问题基方法．
14．动点椭圆作轴垂线垂足点满足点轨迹方程______
答案
解析设根题意列出等式然根椭圆代入
详解
解：令
代入
答案：
点睛
题考查相关点法求轨迹方程属基础题
15．已知直角梯形中直角梯形折叠面面三棱锥外接球体积__________．
答案
解析结合题意画出折叠三棱锥图示条件底面中取AB中点OAC中点E连OCOE
∵
∴
∵面面
∴面
∴
∴
∴
∴点O三棱锥外接球球心球半径2
∴答案：
点睛：
（1）题道关求三棱锥外接球体积题目外接球球心位置解题关键结合题意取AB中点O易OAOBOCOD2进确定三棱锥外接球半径然利球体积公式进行计算
（2）折叠性问题注意折叠前两图形中量（位置关系数量关系）发生变化没发生变化
16．已知函数数列通项公式__________．
答案
解析先证明函数奇函数图关称表达式两两组合求然求表达式
详解
函数奇函数图关称
点睛
题考查函数奇偶性称性考查特殊数列求方法——分组求法属中档题
三解答题
17．已知函数．
（1）求函数单调增区间
（2）求方程(0]解．
答案（1）（2）
解析先进行恒等变换化正弦型函数（1）直接利正弦函数单调增区间解x范围
（2）令解x值k进行赋值x落结果
详解
（1）解：
∴函数单调增区间
（2）解：
∵∴．
点睛
题考查三角函数求值运算问题考查三角恒等变换正弦函数单调性基础题．
18．已知数列等差数列前项．
（1）求．
（2）设求数列前项．
答案(1) (2)
解析(1)数列等差数列解解 求数列通项公式
(2)（1）利公错位相减求解数列前n项．
详解
(1)题意数列等差数列
解
数列通项公式．
(2)（1）
两式相减
．
点睛
题考查等差通项公式错位相减法求应类题目数列问题中常见题型解答中确定通项公式基础准确计算求关键易错点错位求时弄错等数列项数较考查考生数形结合思想逻辑思维力基计算力等
19．中角边分已知
（Ⅰ）求角
（Ⅱ）求面积
答案（1）（2）
解析（Ⅰ）正弦定理三角形角间关系解进结果（Ⅱ）结合余弦定理代入参数值根三角形面积公式结果
详解
（Ⅰ）根正弦定理
整理
解
（Ⅱ）根余弦定理
解
点睛
题考查正弦定理边角互化余弦定理应特殊角三角函数属简单题 余弦定理定熟记两种形式：（1）（2）时熟练掌握运两种形式条件外解三角形三角函数关问题时需记住等特殊角三角函数值便解题中直接应
20．图四棱锥中底面菱形点中点
（1）求证：面
（2）求面面成二面角正弦值
答案(1)证明见解析(2)
解析（1）求出数量关系根勾股定理证正三角形根直线面垂直判定定理证面
（2）建立空间直角坐标系求出两面法量成余弦值求出面面成二面角正弦值
详解
（1）证明：连结底面菱形
中点
中中点
设
（通证明）
面面
面
（2）
面面
（1）面面
直线两两互相垂直
坐标原点直线轴轴轴图建系
设
（1）知面
取行量作面法量
设面法量
令
设面面成二面角
面面成二面角正弦值
点睛
题考查线面垂直判定空间量法求二面角属综合题
21．已知椭圆离心率短轴端点右焦点距离2
（1）试求椭圆方程
（2）斜率直线椭圆交两点点椭圆点记直线斜率直线斜率试问：否定值？请证明结
答案（1）（2）见解析
解析分析：（1）条件ac解b椭圆标准方程（2）设CD坐标根斜率公式设直线方程椭圆方程联立方程组利韦达定理代入化简定值
详解：（1）．椭圆方程
（2）设直线方程：
联立直线方程椭圆方程：
（1）代入（2）：
化简：………（3）
时
时直线椭圆两交点
韦达定理：
点睛：直线圆锥曲线位置关系般转化直线方程圆锥曲线方程组成方程组利韦达定理求根公式进行转化
22．已知函数点处切线方程
（1）求实数值
（2）存满足求实数取值范围
答案(1) 实数值
(2)
解析分析：（1）根导数意义求曲线点处切线方程．（2）问题转化解令结合导数实数取值范围．
详解：（1）函数定义域
∵
∴
∴
∴求切线方程
函数点处切线方程
∴
实数值
（2）题意
问题转化解
令
令
时
函数区间单调递减
区间单调递减
实数取值范围
点睛：恒成立成立问题常解法分离参数转化求函数值问题处理．解题时注意常结：解解．函数值存时利函数值域端点值代解题时特注意等式中等号否成立．
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