第2讲 空间中行垂直
「考情研析」 1具体容：①选择题填空题形式考查利面基性质线线线面面面行垂直判定定理性质定理命题真假进行判断属基础题②解答题形式考查线线线面面面行垂直关系交汇综合命题棱柱棱锥棱台简单组合体载体进行考查． 2高考特点难度中等常道选填题解答题第问考查．
核心知识回顾
1直线面行判定性质
(1)判定
①判定定理：a∥bb⊂αa⊄α⇒a∥α．
②面面行性质：α∥βa⊂α⇒a∥β．
(2)性质：l∥αl⊂βα∩β＝m⇒l∥m．
2．直线面垂直判定性质
(1)判定
①判定定理：a⊥ba⊥cbc⊂αb∩c＝O⇒a⊥α．
②线面垂直判定方法：
a．a∥ba⊥α⇒b⊥α．
b．l⊥αα∥β⇒l⊥β．
c．α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β．
(2)性质
①l⊥αa⊂α⇒l⊥a．
②l⊥αm⊥α⇒l∥m．
3．两面行判定性质
(1)判定
①判定定理：a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒β∥α．
②面面行判定方法：
a．l⊥αl⊥β⇒α∥β．
b．α∥γα∥β⇒β∥γ．
(2)性质：α∥βγ∩α＝aγ∩β＝b⇒a∥b．
4．两面垂直判定性质
(1)判定：a⊂αa⊥β⇒α⊥β．
(2)性质：α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β．
热点考探究
考1 空间线面位置关系判定
例1 (1)(选)(2020·山东省烟台市模拟)已知mn两条重合直线αβ两重合面( )
A．m∥αn∥βα∥βm∥n
B．m⊥αn⊥βα⊥βm⊥n
C．m∥nm⊥αn⊥βα∥β
D．m∥nn⊥αα⊥βm∥β
答案 BC
解析 mn两条重合直线αβ两重合面知：Am∥αn∥βα∥βmn相交行异面错误Bm⊥αn⊥βα⊥β线面垂直面面垂直性质定理m⊥n正确Cm∥nm⊥αn⊥β线面垂直性质定理面面行判定定理α∥β正确Dm∥nn⊥αα⊥βm∥βm⊂β错误．选BC
(2) (选)(2020·山东省实验中学高考预测卷)棱长1正方体ABCD－A1B1C1D1中点M棱CC1列结正确( )
A．直线BM面ADD1A1行
B．面BMD1截正方体截面三角形
C．异面直线AD1A1C1成角
D．MB＋MD1值
答案 ACD
解析 A面ADD1A1∥面BCC1B1BM⊂面BCC1B1判定直线BM面ADD1A1行正确B图1面BMD1截正方体截面四边形错误C图2异面直线AD1A1C1成角∠D1AC判定异面直线AD1A1C1成角正确D图3正方体侧面展开BMD1线时MB＋MD1值值BD1＝＝正确．选ACD
判断空间线面位置关系常方法
(1)根空间线面行垂直关系判定定理性质定理逐项判断解决问题．
(2)必时助空间模型长方体四面体等模型中观察线面位置关系结合关定理进行判断
(选)(2020·山东省聊城市模)正方体ABCD－A1B1C1D1棱长1EFG分BCCC1BB1中点( )
A．直线D1D直线AF垂直
B．直线A1G面AEF行
C．面AEF截正方体截面面积
D．点C点G面AEF距离相等
答案 BC
解析 ∵CC1AF垂直DD1∥CC1∴AFDD1垂直A错误取B1C1中点N连接A1NGN面A1GN∥面AEF直线A1G∥面AEFB正确截面AEF补形四边形AEFD1四边形AEFD1等腰梯形面AEF截正方体截面面积S＝C正确假设点C点G面AEF距离相等面AEFCG分面AEF必CG中点连接CG交EF点HHCG中点假设成立D错误．选BC
考2 空间行垂直关系证明
例2 (2020·山东省青岛市高三期中)图四棱锥P－ABCD中底面ABCD梯形AB∥CDAB⊥BCAB＝2PA＝PD＝CD＝BC＝1面PAD⊥面ABCDEAD中点．
(1)求证：PA⊥BD
(2)线段AB否存点GBC∥面PEG？存请证明结存请说明理．
解 (1)证明：取AB中点F连接DF
∵DC∥ABDC＝AB
∴DC∥BFDC＝BF
∴四边形BCDF行四边形
AB⊥BCBC＝CD＝1
∴四边形BCDF正方形．
Rt△AFD中∵DF＝AF＝1∴AD＝
Rt△BCD中∵BC＝CD＝1∴BD＝
∵AB＝2∴AD2＋BD2＝AB2∴BD⊥AD
∵BD⊂面ABCD面PAD∩面ABCD＝AD面PAD⊥面ABCD
∴BD⊥面PAD∵PA⊂面PAD
∴PA⊥BD
(2)线段AB存点G满足AG＝AB
GAF中点时BC∥面PEG
证明：连接EG∵EAD中点GAF中点∴GE∥DF
DF∥BC∴GE∥BC
∵GE⊂面PEGBC⊄面PEG∴BC∥面PEG
空间行垂直关系证明思想转化通判定定理性质定理线线线面面面间行垂直关系相互转化．
(2020·江苏省泰州中学宜兴中学江中学联考)图四棱锥S－ABCD中已知SA＝SB四边形ABCD行四边形面SAB⊥面ABCD点MN分SCAB中点．
求证：(1)MN∥面SAD
(2)SN⊥AC
证明 (1)取SD中点E连接EMEA
∵MSC中点∴EM∥CDEM＝CD
∵底面ABCD行四边形NAB中点
∴AN∥CDAN＝CD
∴EM∥ANEM＝AN
∴四边形EMNA行四边形
∴MN∥AE
∵MN⊄面SADAE⊂面SAD
∴MN∥面SAD
(2)∵SA＝SBNAB中点∴SN⊥AB
∵面SAB⊥面ABCD
面SAB∩面ABCD＝ABSN⊂面SAB
∴SN⊥面ABCD
∵AC⊂面ABCD∴SN⊥AC
考3 立体中翻折问题
例3 (1)(2020·山东省潍坊市三模)图1四边形ABCD边长10菱形角线AC＝12现△ABC角线AC折起连接BD形成图2四面体ABCD异面直线ACBD成角________图2中设棱AC中点MBD中点N四面体ABCD外接球球心四面体部线段MN长度取值范围________．
答案 (8)
解析 连接BMDM∵四边形ABCD菱形M棱AC中点
∴AC⊥BMAC⊥DM
BM∩DM＝MAC⊥面BMD
∵BD⊂面BMD
∴AC⊥BD异面直线ACBD成角
∵四边形ABCD边长10菱形角线AC＝12
∴MA＝6MB＝8
设O1△ABC外心O1中线BM
设点O1直线l1⊥面ABC易知l1⊂面BMD
设O2△ACD外心O2中线DM
设点O2直线l2⊥面ACD易知l2⊂面BMD
称性易知l1l2交点O直线MN
根外接球性质知点O四面体ABCD外接球球心
O1A2＝O1M2＋MA2O1A＋O1M＝BM＝8
∴(8－O1M)2＝O1M2＋36解O1M＝
令∠BMN＝θ根题意知BD⊥CN
BD⊥ANCN∩AN＝N
∴BD⊥面ACNMN⊂面ACN∴BD⊥MN
∴0<θ<∴MN＝BM cos θ＝8cos θ<8
∵cos θ＝＝
∴OM·MN＝O1M·BM＝×8＝14
OM14∴MN>
∴线段MN长度取值范围(8)
(2)图1直角梯形ABCP中CP∥ABCP⊥BCAB＝BC＝CPDCP中点△PADAD折起点P达点P′位置图2点M棱P′C动点．
①M处时面ADM⊥面P′BC证明
②AB＝2∠P′DC＝135°证明：点C面P′AD距离等点P′面ABCD距离求出该距离
解 ①点MP′C中点时面ADM⊥面P′BC
证明：∵DP′＝DCMP′C中点
∴P′C⊥DM
∵AD⊥DP′AD⊥DCDP′∩DC＝D
∴AD⊥面DP′C∴AD⊥P′C
DM∩AD＝D
∴P′C⊥面ADM∴面ADM⊥面P′BC
②面P′CD作P′H⊥CD延长线点H
①中AD⊥面DP′C
知面P′CD⊥面ABCD
面P′CD∩面ABCD＝CDP′H⊂面P′CDP′H⊥CD
∴P′H⊥面ABCD
题意DP′＝2∠P′DH＝45°
∴P′H＝
VP′－ADC＝VC－P′AD
设点C面P′AD距离h
S△ADC×P′H＝S△P′AD×h
题意知△ADC≌△ADP′S△ADC＝S△P′AD
∴P′H＝h
点C面P′AD距离等点P′面ABCD距离该距离
翻折前位半面直线间位置关系数量关系变翻折前分位两半面(非交线)直线位置关系数量关系般发生变化解翻折问题关键辨析清楚变位置关系数量关系变位置关系数量关系．
图1示直角梯形ABCD∠ADC＝90°AB∥CDAD＝CD＝AB＝2点EAC中点△ACDAC折起折起面ACD面ABC垂直(图2)图2示体D－ABC中
(1)求证：BC⊥面ACD
(2)点F棱CD满足AD∥面BEF求体F－BCE体积．
解 (1)证明：图1中题意知AC＝BC＝2AB＝4AC2＋BC2＝AB2AC⊥BC
图2EAC中点连接DEDE⊥AC
面ADC⊥面ABC面ADC∩面ABC＝ACDE⊂面ACD
ED⊥面ABCED⊥BC
AC⊥BCAC∩ED＝E
BC⊥面ACD
(2)图2取DC中点F连接EFBF
EAC中点EF∥AD
EF⊂面BEFAD⊄面BEF
AD∥面BEF
(1)知DE三棱锥D－ABC高
三棱锥F－BCE高h＝DE＝×＝
S△BCE＝S△ABC＝××2×2＝2
三棱锥F－BCE体积
VF－BCE＝S△BCE·h＝×2×＝
真题押题
『真题检验』
1．(2020·浙江高考)已知空间中点三条直线mnlmnl面mnl两两相交( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
答案 B
解析 题意mnl空间中点三条直线mnl面时m∥n∥l出mnl两两相交．mnl两两相交时设m∩n＝Am∩l＝Bn∩l＝Cmn确定面αB∈m⊂αC∈n⊂α直线BCl⊂αmnl面．综述mnl面mnl两两相交必充分条件．选B
2．(2019·全国卷Ⅱ)设αβ两面α∥β充条件( )
A．α数条直线β行
B．α两条相交直线β行
C．αβ行条直线
D．αβ垂直面
答案 B
解析 α∥βα数条直线β行反成立αβ行条直线αβ行相交αβ垂直面αβ行相交ACD中条件均α∥β充条件．根面面行判定定理知面两条相交直线面行两面行反成立．B中条件α∥β充条件．选B
3．(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1棱长均2∠BAD＝60°D1球心半径球面侧面BCC1B1交线长________．
答案
解析 图示取B1C1中点EBB1中点FCC1中点G∠BAD＝60°直四棱柱ABCD－A1B1C1D1棱长均2△D1B1C1等边三角形D1E＝D1E⊥B1C1四棱柱ABCD－A1B1C1D1直四棱柱BB1⊥面A1B1C1D1BB1⊥D1EBB1∩B1C1＝B1D1E⊥侧面B1C1CB设P侧面B1C1CB球面交线点D1E⊥EP球半径D1E＝EP＝＝＝侧面B1C1CB球面交线点E距离EF＝EG＝侧面B1C1CB球面交线扇形EFG弧∠B1EF＝∠C1EG＝∠FEG＝根弧长公式交线长l＝×＝
4 (2020·全国卷Ⅲ)图长方体ABCD－A1B1C1D1中点EF分棱DD1BB12DE＝ED1BF＝2FB1证明：
(1)AB＝BC时EF⊥AC
(2)点C1面AEF．
证明 (1)连接BDB1D1
∵长方体ABCD－A1B1C1D1中BB1⊥面ABCDAC⊂面ABCD
∴AC⊥BB1
∵AB＝BC
∴四边形ABCD正方形
∴AC⊥BD
∵BB1∩BD＝BBB1BD⊂面BB1D1D
∴AC⊥面BB1D1D
∵EF⊂面BB1D1D
∴EF⊥AC
(2)CC1取点MCM＝2MC1连接DMMFEC1
∵D1E＝2EDDD1∥CC1DD1＝CC1
∴ED＝MC1ED∥MC1
∴四边形DMC1E行四边形∴DM∥EC1
∵长方体ABCD－A1B1C1D1中
BF＝2FB1CM＝2MC1
∴DA∥CBDA＝CBMF∥CBMF＝CB
∴MF∥DAMF＝DA
∴四边形MFAD行四边形
∴DM∥AF∴EC1∥AF
∴点C1面AEF．
5．(2020·江苏高考)三棱柱ABC－A1B1C1中AB⊥ACB1C⊥面ABCEF分ACB1C中点．
(1)求证：EF∥面AB1C1
(2)求证：面AB1C⊥面ABB1
证明 (1)EF分ACB1C中点
EF∥AB1
EF⊄面AB1C1AB1⊂面AB1C1
EF∥面AB1C1
(2)B1C⊥面ABCAB⊂面ABCB1C⊥AB
AB⊥ACAC∩B1C＝CAB⊥面AB1C
AB⊂面ABB1面AB1C⊥面ABB1
『金版押题』
6 (选)正方体ABCD－A1B1C1D1中N底面ABCD中心P线段A1D1动点(包括两端点)M线段AP中点( )
A．CMPN异面直线
B．CM>PN
C．面PAN⊥面BDD1B1
D．PAC三点正方体截面定等腰梯形
答案 BCD
解析 CNA三点线CNPM交点ACMPN面A错误记∠PAC＝θPN2＝AP2＋AN2－2AP·AN cos θ＝AP2＋AC2－AP·AC cos θCM2＝AC2＋AM2－2AC·AM cos θ＝AC2＋AP2－AP·AC cos θAP0CM2>PN2CM>PNB正确正方体ABCD－A1B1C1D1中AN⊥BDBB1⊥面ABCDBB1⊥ANBB1∩BD＝BAN⊥面BDD1B1AN⊂面PAN面PAN⊥面BDD1B1C正确C1D1取点KD1K＝D1P连接KPKCA1C1易知PK∥A1C1正方体ABCD－A1B1C1D1中A1C1∥ACPK∥ACPKAC面PKCAPAC三点正方体截面等腰梯形D正确．选BCD
专题作业
选择题：题出四选项中项符合题目求．
1．(2020·武汉部分学校质量检测)点ABCMN正方体顶点棱中点列图中满足直线MN∥面ABC( )
答案 D
解析 AACMN分棱中点正方体性质知MN∥ACMN⊄面ABCAC⊂面ABCMN∥面ABCB取AC中点E连接BE条件正方体性质知MN∥BEMN⊄面ABCBE⊂面ABCMN∥面ABCC取AC中点E连接BE条件正方体性质知MN∥BEMN⊄面ABCBE⊂面ABCMN∥面ABCD连接AMBN条件正方体性质知四边形AMNB等腰梯形ABMN直线相交推出MN∥面ABC选D
2．(2020·长春高三质量监测)已知直线a面αβ关系：①α⊥β②α∥β③a⊥β④a∥α列命题真( )
A．①③⇒④ B．①④⇒③
C．③④⇒① D．②③⇒④
答案 C
解析 图正方体中直线aAB面α面A1ABB1面β面B1BCC1时α⊥βa⊥βa⊂αA正确直线aDD1面α面A1ABB1面β面B1BCC1时α⊥βa∥αa∥βB正确a⊥βa∥α面面垂直判定定理推出α⊥βC正确直线aA1D1面α面A1ABB1面β面D1DCC1时α∥βa⊥βa⊥αD正确．综述C真命题选C
3 (2020·四川省泸州市模拟)图正方体ABCD－A1B1C1D1中列命题正确( )
AACB1C相交直线垂直
BACA1D异面直线垂直
C．BD1BC相交直线垂直
D．ACBD1异面直线垂直
答案 D
解析 图连接AB1△AB1C正三角形ACB1C相交直线成60°角A错误∵A1D∥B1C∴ACA1D异面直线成60°角B错误BD1BC相交直线成角∠D1BC正切值C错误连接BD知BD⊥ACBD1⊥AC知ACBD1异面直线垂直D正确．选D
4．(2020·河北省石家庄模拟)已知αβ空间两面mn空间两条直线出列说法正确( )
①m∥αn∥βm∥nα∥β
②m∥αn∥βm⊥nα⊥β
③m⊥αn⊥βm∥nα∥β
④m⊥αn⊥βm⊥nα⊥β
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．③④
答案 D
解析 ①m∥αn∥βm∥n时α∥βαβ相交①错误②m∥αn∥βm⊥n时α⊥βα∥βαβ相交垂直②错误③m⊥αn⊥βm∥n时出m⊥βα∥β③正确④m⊥αn⊥βm⊥n时α⊥β成立④正确．综知正确命题序号③④选D
5．(2020·甘肃省靖远县高三第四次联考)正方体ABCD－A1B1C1D1中E棱CD点CE＝2DEF棱AA1中点面BEFDD1交点GB1G面ABCD成角正切值( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 面ABCD∥面A1B1C1D1B1G面ABCD成角B1G面A1B1C1D1成角易知B1G面A1B1C1D1成角∠D1B1G设AB＝6AF＝3DE＝2面BEF∩面CDD1C1＝GEBF∥面CDD1C1知BF∥GE易△FAB∽△GDE＝＝⇒DG＝1D1G＝5Rt△B1D1G中tan ∠D1B1G＝＝＝B1G面ABCD成角正切值选C
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中E棱CC1中点F侧面BCC1B1动点A1F面D1AE垂线垂直图示列说法正确( )
A．点F轨迹条线段
B．A1FBE异面直线
C．A1FD1E行
D．三棱锥F－ABC1体积定值
答案 C
解析 题知A1F∥面D1AE分取B1C1BB1中点HG连接HGA1HA1GBC1HG∥BC1∥AD1A1G∥D1E面A1HG∥面AD1E点F轨迹线段HGA正确异面直线判定定理知A1FBE异面直线B正确FBB1中点时A1FD1E行C正确∵HG∥面ABC1∴F点面ABC1距离变三棱锥F－ABC1体积定值D正确．
7．(2020·长沙模拟)长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝AD＝6AA1＝2M棱BC中点动点P满足∠APD＝∠CPM点P轨迹长方体面DCC1D1交线长等( )
A． B．π
C． D．π
答案 A
解析 图题意知需考虑点P面DCC1D1情况时AD⊥DPMC⊥CPtan ∠APD＝tan∠CPM＝∠APD＝∠CPM＝MBC中点AD＝2MCDP＝2PC面D1DCC1D原点方x轴正方DD1方y轴正方建立面直角坐标系D(00)C(60)设P(xy) ＝2化简y2＋(x－8)2＝42该圆面D1DCC1交线长应圆心角应弧长×4＝
8．(2020·佛山模拟)图矩形ABCD中AB＝1BC＝2点EAD中点△ABEBE折起翻折程中记点A应点A′二面角A′－DC－B面角αα时tan α＝( )
A B．
C． D．
答案 D
解析 图取BC中点F连接AF交BE点OAF⊥BE连接OA′A′FOA′＝OA＝OA′⊥BEOF⊥BEOA′∩OF＝OBE⊥面OA′FBE⊂面ABCD面OA′F⊥面ABCD设A′AF投影M连接A′M设∠A′OM＝βA′M＝sin βOM＝cos β点M作MN⊥CD交CD点N连接A′N∠A′NM＝α易α∈MN＝－cos βα时tan αtan α＝＝令＝tsin β＝3t－t cos β3t＝sin β＋t cos β＝sin (β＋θ)3t≤ t≤tan α≤选D
二选择题：题出选项中项符合题目求
9．(2020·山东省青岛市高三期中)正方体ABCD－A1B1C1D1中列直线面面ACD1行( )
A．直线A1B B．直线BB1
C．面A1DC1 D．面A1BC1
答案 AD
解析 图A1B∥D1CA1B⊄面ACD1D1C⊂面ACD1直线A1B面ACD1行A正确直线BB1∥DD1DD1面ACD1相交直线BB1面ACD1相交B错误显然面A1DC1面ACD1相交C错误A1B∥D1CAC∥A1C1A1B∩A1C1＝A1AC∩D1C＝C面A1BC1面ACD1行D正确．选AD
10．图四正方体中直线AB面CDE垂直( )
答案 BD
解析 A中ABCE夹角45°直线AB面CDE垂直符合题意B中AB⊥CEAB⊥DECE∩DE＝EAB⊥面CDE符合题意C中ABEC夹角60°直线AB面CDE垂直符合题意D中AB⊥DEAB⊥CEDE∩CE＝EAB⊥面CDE符合题意．选BD
11．(2020·海南省高三三模)图四棱锥P－ABCD中面PAD⊥底面ABCD△PAD等边三角形底面ABCD菱形∠BAD＝60°M棱PD中点N菱形ABCD中心列结正确( )
A．直线PB面AMC行
B．直线PB直线AD垂直
C．线段AM线段CM长度相等
D．PBAM成角余弦值
答案 ABD
解析 图连接MN易知MN∥PBMN⊂面AMC∴PB∥面AMCA正确菱形ABCD中∠BAD＝60°∴△BAD等边三角形．设AD中点O连接OBOPOP⊥ADOB⊥AD∴AD⊥面POBPB⊂面POB∴AD⊥PBB正确面PAD⊥面ABCD△POB直角三角形设AD＝4OP＝OB＝2∴PB＝2MN＝PB＝△MAN中AM＝AN＝2MN＝cos ∠AMN＝异面直线PBAM成角余弦值D正确∵cos ∠MNC＝－cos ∠MNA＝－cos ∠AMN＝－NC＝2MN＝∴－＝CM＝2>AMC错误．选ABD
12．(2020·山东省威海市模)图直角梯形ABCD中AB∥CDAB⊥BCBC＝CD＝AB＝2EAB中点DE折痕△ADE折起点A达点P位置PC＝2( )
A．面PED⊥面EBCD
B．PC⊥ED
C．二面角P－DC－B45°
D．PC面PED成角正切值
答案 AC
解析 A项PD＝AD＝＝＝2三角形PDC中PD2＋CD2＝PC2PD⊥CDCD⊥DECD⊥面PEDCD⊂面EBCD面PED⊥面EBCD正确B项PC⊥EDED⊥CDED⊥面PDCED⊥PD∠EDP＝∠EDA＝45°显然矛盾错误C项二面角P－DC－B面角∠PDE∠PDE＝∠ADE＝45°正确D项面分析知∠CPD直线PC面PED成角Rt△PCD中tan ∠CPD＝＝错误．选AC
三填空题
13．正三棱柱ABC－A1B1C1中AB＝AA1＝2MN分AA1BB1中点异面直线BMC1N成角余弦值________．
答案
解析 图连接A1NA1N∥BM异面直线BMC1N成角直线A1NC1N成角．题意A1N＝C1N＝＝△A1C1N中余弦定理cos ∠A1NC1＝＝异面直线BMC1N成角余弦值
14．(2019·北京高考)已知lm面α外两条直线．出列三断：
①l⊥m②m∥α③l⊥α
中两断作条件余断作结写出正确命题：________．
答案 m∥αl⊥αl⊥m(l⊥ml⊥αm∥α)
解析 已知lm面α外两条直线①l⊥m②m∥α推出③l⊥αlα行相交垂直①l⊥m③l⊥α推出②m∥α②m∥α③l⊥α推出①l⊥m正确命题②③⇒①①③⇒②
15．已知四边形ABCD矩形AB＝4AD＝3AC△ADC折起△AD′C面AD′C⊥面ABCFAD′中点EAC点出列结：
①存点EEF∥面BCD′
②存点EEF⊥面ABC
③存点ED′E⊥面ABC
④存点EAC⊥面BD′E
中正确结________(写出正确结序号)
答案 ①②③
解析 ①存AC中点EEF∥CD′利线面行判定定理EF∥面BCD′②点F作EF⊥AC垂足E利面面垂直性质定理EF⊥面ABC③点D′作D′E⊥AC垂足E利面面垂直性质定理D′E⊥面ABC④ABCD矩形AB＝4AD＝3BD′AC射影点存点EAC⊥面BD′E
16．图AB圆锥SO底面圆O直径D圆O异AB意点AO直径圆AD交点CPSD中点．现出结：
①△SAC直角三角形
②面SAD⊥面SBD
③面PAB必圆锥SO某条母线行．
中正确结序号________(写出正确结序号)
答案 ①③
解析 图连接OC∵SO⊥底面圆O∴SO⊥ACCAO直径圆∴AC⊥OC∵OC∩SO＝O∴AC⊥面SOCAC⊥SC△SAC直角三角形①正确假设面SAD⊥面SBD面SAD中点A作AH⊥SD交SD点HAH⊥面SBD∴AH⊥BDBD⊥AD∴BD⊥面SADCO∥BD∴CO⊥面SAD∴CO⊥SC△SOC中SO⊥OC三角形两直角面SAD⊥面SBD成立②错误连接DO延长交圆O点E连接POSE∵PSD中点OED中点∴OP△SDE中位线∴PO∥SESE∥面PAB面PAB必圆锥SO母线SE行．③正确．正确①③
四解答题
17四棱锥P－ABCD中底面ABCD边长6菱形∠ABC＝60°PA⊥面ABCDPA＝6F棱PA动点EPD中点．
(1)求证：面BDF⊥面ACF
(2)AF＝2侧面PAD否存点E条直线直线点MCM∥面BDF存出证明存请说明理．
解 (1)证明：题意知PA⊥面ABCDBD⊥PA底面ABCD菱形BD⊥ACPAAC面PAC两相交直线BD⊥面PACBD面BDF直线面BDF⊥面ACF
(2)侧面PAD存点E条直线直线点MCM∥面BDF
设GPF中点连接EGCGOF
⇒面CEG∥面BDF
直线EG点M满足CM∥面BDF
18 (2020·河北省保定市二模)图四棱锥P－ABCD中底面边长2正方形PA＝PD＝EPA中点点FPDEF⊥面PCDMDC延长线FH∥DM交PM点HFH＝1
(1)证明：EF∥面PBM
(2)求点M面ABP距离
解 (1)证明：取PB中点G连接EGHG
EG∥ABEG＝1
∵FH∥DMFH＝1
AB∥DM∴EG∥FHEG＝FH
四边形EFHG行四边形
∴EF∥GH
EF⊄面PBMGH⊂面PBM
∴EF∥面PBM
(2)∵EF⊥面PCDCD⊂面PCD
∴EF⊥CD
∵AD⊥CDEFAD显然相交EFAD⊂面PAD
∴CD⊥面PADCD⊂面ABCD
∴面ABCD⊥面PAD
取AD中点O连接PO
∵PA＝PD∴PO⊥AD
面ABCD∩面PAD＝ADPO⊂面PAD
∴PO⊥面ABCD
∵AB∥CD∴AB⊥面PAD
∵PA⊂面PAD∴PA⊥AB
等腰三角形PAD中
PO＝＝＝4
设点M面ABP距离h连接AM利等体积VM－ABP＝VP－ABM
××2××h＝××2×2×4
∴h＝＝
∴点M面PAB距离
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「考情研析」 1具体容：①选择题填空题形式考查利面基性质线线线面面面行垂直判定定理性质定理命题真假进行判断属基础题②解答题形式考查线线线面面面行垂直关系交汇综合命题棱柱棱锥棱台简单组合体载体进行考查． 2高考特点难度中等常道选填题解答题第问考查．
核心知识回顾
1直线面行判定性质
(1)判定
①判定定理：a∥bb⊂αa⊄α⇒a∥α．
②面面行性质：α∥βa⊂α⇒a∥β．
(2)性质：l∥αl⊂βα∩β＝m⇒l∥m．
2．直线面垂直判定性质
(1)判定
①判定定理：a⊥ba⊥cbc⊂αb∩c＝O⇒a⊥α．
②线面垂直判定方法：
a．a∥ba⊥α⇒b⊥α．
b．l⊥αα∥β⇒l⊥β．
c．α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β．
(2)性质
①l⊥αa⊂α⇒l⊥a．
②l⊥αm⊥α⇒l∥m．
3．两面行判定性质
(1)判定
①判定定理：a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒β∥α．
②面面行判定方法：
a．l⊥αl⊥β⇒α∥β．
b．α∥γα∥β⇒β∥γ．
(2)性质：α∥βγ∩α＝aγ∩β＝b⇒a∥b．
4．两面垂直判定性质
(1)判定：a⊂αa⊥β⇒α⊥β．
(2)性质：α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β．
热点考探究
考1 空间线面位置关系判定
例1 (1)(选)(2020·山东省烟台市模拟)已知mn两条重合直线αβ两重合面( )
A．m∥αn∥βα∥βm∥n
B．m⊥αn⊥βα⊥βm⊥n
C．m∥nm⊥αn⊥βα∥β
D．m∥nn⊥αα⊥βm∥β
答案 BC
解析 mn两条重合直线αβ两重合面知：Am∥αn∥βα∥βmn相交行异面错误Bm⊥αn⊥βα⊥β线面垂直面面垂直性质定理m⊥n正确Cm∥nm⊥αn⊥β线面垂直性质定理面面行判定定理α∥β正确Dm∥nn⊥αα⊥βm∥βm⊂β错误．选BC
(2) (选)(2020·山东省实验中学高考预测卷)棱长1正方体ABCD－A1B1C1D1中点M棱CC1列结正确( )
A．直线BM面ADD1A1行
B．面BMD1截正方体截面三角形
C．异面直线AD1A1C1成角
D．MB＋MD1值
答案 ACD
解析 A面ADD1A1∥面BCC1B1BM⊂面BCC1B1判定直线BM面ADD1A1行正确B图1面BMD1截正方体截面四边形错误C图2异面直线AD1A1C1成角∠D1AC判定异面直线AD1A1C1成角正确D图3正方体侧面展开BMD1线时MB＋MD1值值BD1＝＝正确．选ACD
判断空间线面位置关系常方法
(1)根空间线面行垂直关系判定定理性质定理逐项判断解决问题．
(2)必时助空间模型长方体四面体等模型中观察线面位置关系结合关定理进行判断
(选)(2020·山东省聊城市模)正方体ABCD－A1B1C1D1棱长1EFG分BCCC1BB1中点( )
A．直线D1D直线AF垂直
B．直线A1G面AEF行
C．面AEF截正方体截面面积
D．点C点G面AEF距离相等
答案 BC
解析 ∵CC1AF垂直DD1∥CC1∴AFDD1垂直A错误取B1C1中点N连接A1NGN面A1GN∥面AEF直线A1G∥面AEFB正确截面AEF补形四边形AEFD1四边形AEFD1等腰梯形面AEF截正方体截面面积S＝C正确假设点C点G面AEF距离相等面AEFCG分面AEF必CG中点连接CG交EF点HHCG中点假设成立D错误．选BC
考2 空间行垂直关系证明
例2 (2020·山东省青岛市高三期中)图四棱锥P－ABCD中底面ABCD梯形AB∥CDAB⊥BCAB＝2PA＝PD＝CD＝BC＝1面PAD⊥面ABCDEAD中点．
(1)求证：PA⊥BD
(2)线段AB否存点GBC∥面PEG？存请证明结存请说明理．
解 (1)证明：取AB中点F连接DF
∵DC∥ABDC＝AB
∴DC∥BFDC＝BF
∴四边形BCDF行四边形
AB⊥BCBC＝CD＝1
∴四边形BCDF正方形．
Rt△AFD中∵DF＝AF＝1∴AD＝
Rt△BCD中∵BC＝CD＝1∴BD＝
∵AB＝2∴AD2＋BD2＝AB2∴BD⊥AD
∵BD⊂面ABCD面PAD∩面ABCD＝AD面PAD⊥面ABCD
∴BD⊥面PAD∵PA⊂面PAD
∴PA⊥BD
(2)线段AB存点G满足AG＝AB
GAF中点时BC∥面PEG
证明：连接EG∵EAD中点GAF中点∴GE∥DF
DF∥BC∴GE∥BC
∵GE⊂面PEGBC⊄面PEG∴BC∥面PEG
空间行垂直关系证明思想转化通判定定理性质定理线线线面面面间行垂直关系相互转化．
(2020·江苏省泰州中学宜兴中学江中学联考)图四棱锥S－ABCD中已知SA＝SB四边形ABCD行四边形面SAB⊥面ABCD点MN分SCAB中点．
求证：(1)MN∥面SAD
(2)SN⊥AC
证明 (1)取SD中点E连接EMEA
∵MSC中点∴EM∥CDEM＝CD
∵底面ABCD行四边形NAB中点
∴AN∥CDAN＝CD
∴EM∥ANEM＝AN
∴四边形EMNA行四边形
∴MN∥AE
∵MN⊄面SADAE⊂面SAD
∴MN∥面SAD
(2)∵SA＝SBNAB中点∴SN⊥AB
∵面SAB⊥面ABCD
面SAB∩面ABCD＝ABSN⊂面SAB
∴SN⊥面ABCD
∵AC⊂面ABCD∴SN⊥AC
考3 立体中翻折问题
例3 (1)(2020·山东省潍坊市三模)图1四边形ABCD边长10菱形角线AC＝12现△ABC角线AC折起连接BD形成图2四面体ABCD异面直线ACBD成角________图2中设棱AC中点MBD中点N四面体ABCD外接球球心四面体部线段MN长度取值范围________．
答案 (8)
解析 连接BMDM∵四边形ABCD菱形M棱AC中点
∴AC⊥BMAC⊥DM
BM∩DM＝MAC⊥面BMD
∵BD⊂面BMD
∴AC⊥BD异面直线ACBD成角
∵四边形ABCD边长10菱形角线AC＝12
∴MA＝6MB＝8
设O1△ABC外心O1中线BM
设点O1直线l1⊥面ABC易知l1⊂面BMD
设O2△ACD外心O2中线DM
设点O2直线l2⊥面ACD易知l2⊂面BMD
称性易知l1l2交点O直线MN
根外接球性质知点O四面体ABCD外接球球心
O1A2＝O1M2＋MA2O1A＋O1M＝BM＝8
∴(8－O1M)2＝O1M2＋36解O1M＝
令∠BMN＝θ根题意知BD⊥CN
BD⊥ANCN∩AN＝N
∴BD⊥面ACNMN⊂面ACN∴BD⊥MN
∴0<θ<∴MN＝BM cos θ＝8cos θ<8
∵cos θ＝＝
∴OM·MN＝O1M·BM＝×8＝14
OM
∴
(2)图1直角梯形ABCP中CP∥ABCP⊥BCAB＝BC＝CPDCP中点△PADAD折起点P达点P′位置图2点M棱P′C动点．
①M处时面ADM⊥面P′BC证明
②AB＝2∠P′DC＝135°证明：点C面P′AD距离等点P′面ABCD距离求出该距离
解 ①点MP′C中点时面ADM⊥面P′BC
证明：∵DP′＝DCMP′C中点
∴P′C⊥DM
∵AD⊥DP′AD⊥DCDP′∩DC＝D
∴AD⊥面DP′C∴AD⊥P′C
DM∩AD＝D
∴P′C⊥面ADM∴面ADM⊥面P′BC
②面P′CD作P′H⊥CD延长线点H
①中AD⊥面DP′C
知面P′CD⊥面ABCD
面P′CD∩面ABCD＝CDP′H⊂面P′CDP′H⊥CD
∴P′H⊥面ABCD
题意DP′＝2∠P′DH＝45°
∴P′H＝
VP′－ADC＝VC－P′AD
设点C面P′AD距离h
S△ADC×P′H＝S△P′AD×h
题意知△ADC≌△ADP′S△ADC＝S△P′AD
∴P′H＝h
点C面P′AD距离等点P′面ABCD距离该距离
翻折前位半面直线间位置关系数量关系变翻折前分位两半面(非交线)直线位置关系数量关系般发生变化解翻折问题关键辨析清楚变位置关系数量关系变位置关系数量关系．
图1示直角梯形ABCD∠ADC＝90°AB∥CDAD＝CD＝AB＝2点EAC中点△ACDAC折起折起面ACD面ABC垂直(图2)图2示体D－ABC中
(1)求证：BC⊥面ACD
(2)点F棱CD满足AD∥面BEF求体F－BCE体积．
解 (1)证明：图1中题意知AC＝BC＝2AB＝4AC2＋BC2＝AB2AC⊥BC
图2EAC中点连接DEDE⊥AC
面ADC⊥面ABC面ADC∩面ABC＝ACDE⊂面ACD
ED⊥面ABCED⊥BC
AC⊥BCAC∩ED＝E
BC⊥面ACD
(2)图2取DC中点F连接EFBF
EAC中点EF∥AD
EF⊂面BEFAD⊄面BEF
AD∥面BEF
(1)知DE三棱锥D－ABC高
三棱锥F－BCE高h＝DE＝×＝
S△BCE＝S△ABC＝××2×2＝2
三棱锥F－BCE体积
VF－BCE＝S△BCE·h＝×2×＝
真题押题
『真题检验』
1．(2020·浙江高考)已知空间中点三条直线mnlmnl面mnl两两相交( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
答案 B
解析 题意mnl空间中点三条直线mnl面时m∥n∥l出mnl两两相交．mnl两两相交时设m∩n＝Am∩l＝Bn∩l＝Cmn确定面αB∈m⊂αC∈n⊂α直线BCl⊂αmnl面．综述mnl面mnl两两相交必充分条件．选B
2．(2019·全国卷Ⅱ)设αβ两面α∥β充条件( )
A．α数条直线β行
B．α两条相交直线β行
C．αβ行条直线
D．αβ垂直面
答案 B
解析 α∥βα数条直线β行反成立αβ行条直线αβ行相交αβ垂直面αβ行相交ACD中条件均α∥β充条件．根面面行判定定理知面两条相交直线面行两面行反成立．B中条件α∥β充条件．选B
3．(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1棱长均2∠BAD＝60°D1球心半径球面侧面BCC1B1交线长________．
答案
解析 图示取B1C1中点EBB1中点FCC1中点G∠BAD＝60°直四棱柱ABCD－A1B1C1D1棱长均2△D1B1C1等边三角形D1E＝D1E⊥B1C1四棱柱ABCD－A1B1C1D1直四棱柱BB1⊥面A1B1C1D1BB1⊥D1EBB1∩B1C1＝B1D1E⊥侧面B1C1CB设P侧面B1C1CB球面交线点D1E⊥EP球半径D1E＝EP＝＝＝侧面B1C1CB球面交线点E距离EF＝EG＝侧面B1C1CB球面交线扇形EFG弧∠B1EF＝∠C1EG＝∠FEG＝根弧长公式交线长l＝×＝
4 (2020·全国卷Ⅲ)图长方体ABCD－A1B1C1D1中点EF分棱DD1BB12DE＝ED1BF＝2FB1证明：
(1)AB＝BC时EF⊥AC
(2)点C1面AEF．
证明 (1)连接BDB1D1
∵长方体ABCD－A1B1C1D1中BB1⊥面ABCDAC⊂面ABCD
∴AC⊥BB1
∵AB＝BC
∴四边形ABCD正方形
∴AC⊥BD
∵BB1∩BD＝BBB1BD⊂面BB1D1D
∴AC⊥面BB1D1D
∵EF⊂面BB1D1D
∴EF⊥AC
(2)CC1取点MCM＝2MC1连接DMMFEC1
∵D1E＝2EDDD1∥CC1DD1＝CC1
∴ED＝MC1ED∥MC1
∴四边形DMC1E行四边形∴DM∥EC1
∵长方体ABCD－A1B1C1D1中
BF＝2FB1CM＝2MC1
∴DA∥CBDA＝CBMF∥CBMF＝CB
∴MF∥DAMF＝DA
∴四边形MFAD行四边形
∴DM∥AF∴EC1∥AF
∴点C1面AEF．
5．(2020·江苏高考)三棱柱ABC－A1B1C1中AB⊥ACB1C⊥面ABCEF分ACB1C中点．
(1)求证：EF∥面AB1C1
(2)求证：面AB1C⊥面ABB1
证明 (1)EF分ACB1C中点
EF∥AB1
EF⊄面AB1C1AB1⊂面AB1C1
EF∥面AB1C1
(2)B1C⊥面ABCAB⊂面ABCB1C⊥AB
AB⊥ACAC∩B1C＝CAB⊥面AB1C
AB⊂面ABB1面AB1C⊥面ABB1
『金版押题』
6 (选)正方体ABCD－A1B1C1D1中N底面ABCD中心P线段A1D1动点(包括两端点)M线段AP中点( )
A．CMPN异面直线
B．CM>PN
C．面PAN⊥面BDD1B1
D．PAC三点正方体截面定等腰梯形
答案 BCD
解析 CNA三点线CNPM交点ACMPN面A错误记∠PAC＝θPN2＝AP2＋AN2－2AP·AN cos θ＝AP2＋AC2－AP·AC cos θCM2＝AC2＋AM2－2AC·AM cos θ＝AC2＋AP2－AP·AC cos θAP
专题作业
选择题：题出四选项中项符合题目求．
1．(2020·武汉部分学校质量检测)点ABCMN正方体顶点棱中点列图中满足直线MN∥面ABC( )
答案 D
解析 AACMN分棱中点正方体性质知MN∥ACMN⊄面ABCAC⊂面ABCMN∥面ABCB取AC中点E连接BE条件正方体性质知MN∥BEMN⊄面ABCBE⊂面ABCMN∥面ABCC取AC中点E连接BE条件正方体性质知MN∥BEMN⊄面ABCBE⊂面ABCMN∥面ABCD连接AMBN条件正方体性质知四边形AMNB等腰梯形ABMN直线相交推出MN∥面ABC选D
2．(2020·长春高三质量监测)已知直线a面αβ关系：①α⊥β②α∥β③a⊥β④a∥α列命题真( )
A．①③⇒④ B．①④⇒③
C．③④⇒① D．②③⇒④
答案 C
解析 图正方体中直线aAB面α面A1ABB1面β面B1BCC1时α⊥βa⊥βa⊂αA正确直线aDD1面α面A1ABB1面β面B1BCC1时α⊥βa∥αa∥βB正确a⊥βa∥α面面垂直判定定理推出α⊥βC正确直线aA1D1面α面A1ABB1面β面D1DCC1时α∥βa⊥βa⊥αD正确．综述C真命题选C
3 (2020·四川省泸州市模拟)图正方体ABCD－A1B1C1D1中列命题正确( )
AACB1C相交直线垂直
BACA1D异面直线垂直
C．BD1BC相交直线垂直
D．ACBD1异面直线垂直
答案 D
解析 图连接AB1△AB1C正三角形ACB1C相交直线成60°角A错误∵A1D∥B1C∴ACA1D异面直线成60°角B错误BD1BC相交直线成角∠D1BC正切值C错误连接BD知BD⊥ACBD1⊥AC知ACBD1异面直线垂直D正确．选D
4．(2020·河北省石家庄模拟)已知αβ空间两面mn空间两条直线出列说法正确( )
①m∥αn∥βm∥nα∥β
②m∥αn∥βm⊥nα⊥β
③m⊥αn⊥βm∥nα∥β
④m⊥αn⊥βm⊥nα⊥β
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．③④
答案 D
解析 ①m∥αn∥βm∥n时α∥βαβ相交①错误②m∥αn∥βm⊥n时α⊥βα∥βαβ相交垂直②错误③m⊥αn⊥βm∥n时出m⊥βα∥β③正确④m⊥αn⊥βm⊥n时α⊥β成立④正确．综知正确命题序号③④选D
5．(2020·甘肃省靖远县高三第四次联考)正方体ABCD－A1B1C1D1中E棱CD点CE＝2DEF棱AA1中点面BEFDD1交点GB1G面ABCD成角正切值( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 面ABCD∥面A1B1C1D1B1G面ABCD成角B1G面A1B1C1D1成角易知B1G面A1B1C1D1成角∠D1B1G设AB＝6AF＝3DE＝2面BEF∩面CDD1C1＝GEBF∥面CDD1C1知BF∥GE易△FAB∽△GDE＝＝⇒DG＝1D1G＝5Rt△B1D1G中tan ∠D1B1G＝＝＝B1G面ABCD成角正切值选C
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中E棱CC1中点F侧面BCC1B1动点A1F面D1AE垂线垂直图示列说法正确( )
A．点F轨迹条线段
B．A1FBE异面直线
C．A1FD1E行
D．三棱锥F－ABC1体积定值
答案 C
解析 题知A1F∥面D1AE分取B1C1BB1中点HG连接HGA1HA1GBC1HG∥BC1∥AD1A1G∥D1E面A1HG∥面AD1E点F轨迹线段HGA正确异面直线判定定理知A1FBE异面直线B正确FBB1中点时A1FD1E行C正确∵HG∥面ABC1∴F点面ABC1距离变三棱锥F－ABC1体积定值D正确．
7．(2020·长沙模拟)长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝AD＝6AA1＝2M棱BC中点动点P满足∠APD＝∠CPM点P轨迹长方体面DCC1D1交线长等( )
A． B．π
C． D．π
答案 A
解析 图题意知需考虑点P面DCC1D1情况时AD⊥DPMC⊥CPtan ∠APD＝tan∠CPM＝∠APD＝∠CPM＝MBC中点AD＝2MCDP＝2PC面D1DCC1D原点方x轴正方DD1方y轴正方建立面直角坐标系D(00)C(60)设P(xy) ＝2化简y2＋(x－8)2＝42该圆面D1DCC1交线长应圆心角应弧长×4＝
8．(2020·佛山模拟)图矩形ABCD中AB＝1BC＝2点EAD中点△ABEBE折起翻折程中记点A应点A′二面角A′－DC－B面角αα时tan α＝( )
A B．
C． D．
答案 D
解析 图取BC中点F连接AF交BE点OAF⊥BE连接OA′A′FOA′＝OA＝OA′⊥BEOF⊥BEOA′∩OF＝OBE⊥面OA′FBE⊂面ABCD面OA′F⊥面ABCD设A′AF投影M连接A′M设∠A′OM＝βA′M＝sin βOM＝cos β点M作MN⊥CD交CD点N连接A′N∠A′NM＝α易α∈MN＝－cos βα时tan αtan α＝＝令＝tsin β＝3t－t cos β3t＝sin β＋t cos β＝sin (β＋θ)3t≤ t≤tan α≤选D
二选择题：题出选项中项符合题目求
9．(2020·山东省青岛市高三期中)正方体ABCD－A1B1C1D1中列直线面面ACD1行( )
A．直线A1B B．直线BB1
C．面A1DC1 D．面A1BC1
答案 AD
解析 图A1B∥D1CA1B⊄面ACD1D1C⊂面ACD1直线A1B面ACD1行A正确直线BB1∥DD1DD1面ACD1相交直线BB1面ACD1相交B错误显然面A1DC1面ACD1相交C错误A1B∥D1CAC∥A1C1A1B∩A1C1＝A1AC∩D1C＝C面A1BC1面ACD1行D正确．选AD
10．图四正方体中直线AB面CDE垂直( )
答案 BD
解析 A中ABCE夹角45°直线AB面CDE垂直符合题意B中AB⊥CEAB⊥DECE∩DE＝EAB⊥面CDE符合题意C中ABEC夹角60°直线AB面CDE垂直符合题意D中AB⊥DEAB⊥CEDE∩CE＝EAB⊥面CDE符合题意．选BD
11．(2020·海南省高三三模)图四棱锥P－ABCD中面PAD⊥底面ABCD△PAD等边三角形底面ABCD菱形∠BAD＝60°M棱PD中点N菱形ABCD中心列结正确( )
A．直线PB面AMC行
B．直线PB直线AD垂直
C．线段AM线段CM长度相等
D．PBAM成角余弦值
答案 ABD
解析 图连接MN易知MN∥PBMN⊂面AMC∴PB∥面AMCA正确菱形ABCD中∠BAD＝60°∴△BAD等边三角形．设AD中点O连接OBOPOP⊥ADOB⊥AD∴AD⊥面POBPB⊂面POB∴AD⊥PBB正确面PAD⊥面ABCD△POB直角三角形设AD＝4OP＝OB＝2∴PB＝2MN＝PB＝△MAN中AM＝AN＝2MN＝cos ∠AMN＝异面直线PBAM成角余弦值D正确∵cos ∠MNC＝－cos ∠MNA＝－cos ∠AMN＝－NC＝2MN＝∴－＝CM＝2>AMC错误．选ABD
12．(2020·山东省威海市模)图直角梯形ABCD中AB∥CDAB⊥BCBC＝CD＝AB＝2EAB中点DE折痕△ADE折起点A达点P位置PC＝2( )
A．面PED⊥面EBCD
B．PC⊥ED
C．二面角P－DC－B45°
D．PC面PED成角正切值
答案 AC
解析 A项PD＝AD＝＝＝2三角形PDC中PD2＋CD2＝PC2PD⊥CDCD⊥DECD⊥面PEDCD⊂面EBCD面PED⊥面EBCD正确B项PC⊥EDED⊥CDED⊥面PDCED⊥PD∠EDP＝∠EDA＝45°显然矛盾错误C项二面角P－DC－B面角∠PDE∠PDE＝∠ADE＝45°正确D项面分析知∠CPD直线PC面PED成角Rt△PCD中tan ∠CPD＝＝错误．选AC
三填空题
13．正三棱柱ABC－A1B1C1中AB＝AA1＝2MN分AA1BB1中点异面直线BMC1N成角余弦值________．
答案
解析 图连接A1NA1N∥BM异面直线BMC1N成角直线A1NC1N成角．题意A1N＝C1N＝＝△A1C1N中余弦定理cos ∠A1NC1＝＝异面直线BMC1N成角余弦值
14．(2019·北京高考)已知lm面α外两条直线．出列三断：
①l⊥m②m∥α③l⊥α
中两断作条件余断作结写出正确命题：________．
答案 m∥αl⊥αl⊥m(l⊥ml⊥αm∥α)
解析 已知lm面α外两条直线①l⊥m②m∥α推出③l⊥αlα行相交垂直①l⊥m③l⊥α推出②m∥α②m∥α③l⊥α推出①l⊥m正确命题②③⇒①①③⇒②
15．已知四边形ABCD矩形AB＝4AD＝3AC△ADC折起△AD′C面AD′C⊥面ABCFAD′中点EAC点出列结：
①存点EEF∥面BCD′
②存点EEF⊥面ABC
③存点ED′E⊥面ABC
④存点EAC⊥面BD′E
中正确结________(写出正确结序号)
答案 ①②③
解析 ①存AC中点EEF∥CD′利线面行判定定理EF∥面BCD′②点F作EF⊥AC垂足E利面面垂直性质定理EF⊥面ABC③点D′作D′E⊥AC垂足E利面面垂直性质定理D′E⊥面ABC④ABCD矩形AB＝4AD＝3BD′AC射影点存点EAC⊥面BD′E
16．图AB圆锥SO底面圆O直径D圆O异AB意点AO直径圆AD交点CPSD中点．现出结：
①△SAC直角三角形
②面SAD⊥面SBD
③面PAB必圆锥SO某条母线行．
中正确结序号________(写出正确结序号)
答案 ①③
解析 图连接OC∵SO⊥底面圆O∴SO⊥ACCAO直径圆∴AC⊥OC∵OC∩SO＝O∴AC⊥面SOCAC⊥SC△SAC直角三角形①正确假设面SAD⊥面SBD面SAD中点A作AH⊥SD交SD点HAH⊥面SBD∴AH⊥BDBD⊥AD∴BD⊥面SADCO∥BD∴CO⊥面SAD∴CO⊥SC△SOC中SO⊥OC三角形两直角面SAD⊥面SBD成立②错误连接DO延长交圆O点E连接POSE∵PSD中点OED中点∴OP△SDE中位线∴PO∥SESE∥面PAB面PAB必圆锥SO母线SE行．③正确．正确①③
四解答题
17四棱锥P－ABCD中底面ABCD边长6菱形∠ABC＝60°PA⊥面ABCDPA＝6F棱PA动点EPD中点．
(1)求证：面BDF⊥面ACF
(2)AF＝2侧面PAD否存点E条直线直线点MCM∥面BDF存出证明存请说明理．
解 (1)证明：题意知PA⊥面ABCDBD⊥PA底面ABCD菱形BD⊥ACPAAC面PAC两相交直线BD⊥面PACBD面BDF直线面BDF⊥面ACF
(2)侧面PAD存点E条直线直线点MCM∥面BDF
设GPF中点连接EGCGOF
⇒面CEG∥面BDF
直线EG点M满足CM∥面BDF
18 (2020·河北省保定市二模)图四棱锥P－ABCD中底面边长2正方形PA＝PD＝EPA中点点FPDEF⊥面PCDMDC延长线FH∥DM交PM点HFH＝1
(1)证明：EF∥面PBM
(2)求点M面ABP距离
解 (1)证明：取PB中点G连接EGHG
EG∥ABEG＝1
∵FH∥DMFH＝1
AB∥DM∴EG∥FHEG＝FH
四边形EFHG行四边形
∴EF∥GH
EF⊄面PBMGH⊂面PBM
∴EF∥面PBM
(2)∵EF⊥面PCDCD⊂面PCD
∴EF⊥CD
∵AD⊥CDEFAD显然相交EFAD⊂面PAD
∴CD⊥面PADCD⊂面ABCD
∴面ABCD⊥面PAD
取AD中点O连接PO
∵PA＝PD∴PO⊥AD
面ABCD∩面PAD＝ADPO⊂面PAD
∴PO⊥面ABCD
∵AB∥CD∴AB⊥面PAD
∵PA⊂面PAD∴PA⊥AB
等腰三角形PAD中
PO＝＝＝4
设点M面ABP距离h连接AM利等体积VM－ABP＝VP－ABM
××2××h＝××2×2×4
∴h＝＝
∴点M面PAB距离
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