第章 复数
1 1 欧拉公式 zx+iy
实部Re z 虚部 Im z
2运算 ①
②
③
④
⑤ 轭复数
轭技巧
运算律 P1页
3代数表示
z面点应量应
辐角 z≠0时量zx轴正间夹角θ记作θArg z k±1±2±3…
位π＜≤π做Arg z辐角值 记作
4寻找arg z
例：z1i
zi
z1+i
z1 π
5 极坐标：
利欧拉公式
6 高次幂n次方
满足方程ω值称zn次方根记作
第二章解析函数
1极限
2函数极限
① 复变函数
应
注：实际情况相定义域值域变化
例
② 称时A极限
☆ 时连续
例1 证明点连续
证：
点连续
3导数
例2 时
证：
例3证明导
解：令
时存导
定理：处导uv处微满足CR条件
例4证明导
解： 中 uv 关xy微
满足CR条件 点导
例5
解：
满足CR条件 点导
例6：
解： 中
根CR条件
该函数处导
4解析
邻域导时称处解析
CR条件必须明确uv
四运算
☆
例：证明
解：
点处满足CR条件
处处解析
练：求列函数导数
解
根CR方程
时存导数导数0点存导数
初等函数
Ⅰ常数
Ⅱ指数函数
① 定义域 ② ③ ④
Ⅲ数函数 称满足做数函数记作
分类：类求法（验）
目标：寻找 幅角值
：
程：
例：求 值
Ⅳ幂函数 意复数时
例1：求值
解：
例2：求
Ⅴ三角函数
定义：意复数关系式余弦函数正弦函数
例：求
解：
第三章复变函数积分
1复积分
定理31 设C复面逐段光滑曲线C连续C积
注：①C线 ②方式元样
方法：思路：复数→实化
函数微分相
方法二：参数方程法 ☆核心：C参数
C：
例： 求 ①C：0→直线段②
解：①C：
②
★ 结果样
2柯西积分定理
例：
C：a圆心ρ半径圆方：逆时针
解：C：
☆ 积分路径关：①单联通 ②处处解析
例：求中C连接O点摆线：
解：已知直线段LC构成条闭曲线全面解析
函数曲线C积分化着直线段L积分
★关键：①恰参数 ②合适准确带入z
3定积分
定义32 设函数区域D连续D函数满足条件
定理37 式
例： 计算
解：
练：计算
解：
4柯西积分公式
定理 处处解析简单闭曲线C围成区域
例1：
解：
例2：
解：
例3：
解：
注：①C：
② 次分式
③找 D处处解析
例4：
解：5 解析函数高阶导数
公式： n12……
应点：①
②
③精准分离
例：
6 调函数
满足称做D调函数
D解析
称轭调函数
第四章 级数理
1复数 距离
谈极限
时 极限点 记作
推广：度量空间谈极限
2 极限性质
3
4 级数问题
部分数列
收敛反发散
性质：1 收敛收敛
2收敛发散推出发散
3
绝收敛
收敛 条件收敛
等级数 ：
时收敛发散
幂级数
求收敛域
例：求收敛半径收敛圆
解： 级数收敛半径R1收敛圆
泰勒级数
泰勒定理：设函数圆K：解析K展成幂级数
中 （n012……）展式唯
例 1：求处泰勒展式
解 ：全面解析
处泰勒展式
例2： 函数展成幂级数
解：
罗朗级数
罗朗定理 函数圆环D：解析
时
中
例：函数圆环（1） （2）
展成罗朗级数
解：（1）
（2）
孤立奇点
定义：函数心邻域解析点解析称孤立奇点
例 ： 奇点
级极点
性奇点
第5章 留数理（残数）
定义： 设函数限项点孤立奇点心邻域解析称积分值函数点处留数
记作：
中C方逆时针
例1：求函数处留数
解：级零点级极点
例2：求函数处留数
解：性奇点
第7章 傅里叶变换
通种途径复杂问题简单化便研究
定义：满足某条件函数 定义称
傅里叶变换
时 傅里叶逆变换
注：①傅里叶变换函数变函数
②傅里叶逆变换函数变函数
③求傅里叶变换傅里叶逆变换关键计算积分
④两种常见积分方法：凑微分分部积分
复积分：①
②
③
④
⑤
注：
例1：求
解：
例2：求
解：
函数
定义：果意区间连续函数恒称函数
例1：求函数
解：
例2：求正弦函数傅氏变换
解：
☆
第8章 拉普拉斯变换
设时定义
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1 1 欧拉公式 zx+iy
实部Re z 虚部 Im z
2运算 ①
②
③
④
⑤ 轭复数
轭技巧
运算律 P1页
3代数表示
z面点应量应
辐角 z≠0时量zx轴正间夹角θ记作θArg z k±1±2±3…
位π＜≤π做Arg z辐角值 记作
4寻找arg z
例：z1i
zi
z1+i
z1 π
5 极坐标：
利欧拉公式
6 高次幂n次方
满足方程ω值称zn次方根记作
第二章解析函数
1极限
2函数极限
① 复变函数
应
注：实际情况相定义域值域变化
例
② 称时A极限
☆ 时连续
例1 证明点连续
证：
点连续
3导数
例2 时
证：
例3证明导
解：令
时存导
定理：处导uv处微满足CR条件
例4证明导
解： 中 uv 关xy微
满足CR条件 点导
例5
解：
满足CR条件 点导
例6：
解： 中
根CR条件
该函数处导
4解析
邻域导时称处解析
CR条件必须明确uv
四运算
☆
例：证明
解：
点处满足CR条件
处处解析
练：求列函数导数
解
根CR方程
时存导数导数0点存导数
初等函数
Ⅰ常数
Ⅱ指数函数
① 定义域 ② ③ ④
Ⅲ数函数 称满足做数函数记作
分类：类求法（验）
目标：寻找 幅角值
：
程：
例：求 值
Ⅳ幂函数 意复数时
例1：求值
解：
例2：求
Ⅴ三角函数
定义：意复数关系式余弦函数正弦函数
例：求
解：
第三章复变函数积分
1复积分
定理31 设C复面逐段光滑曲线C连续C积
注：①C线 ②方式元样
方法：思路：复数→实化
函数微分相
方法二：参数方程法 ☆核心：C参数
C：
例： 求 ①C：0→直线段②
解：①C：
②
★ 结果样
2柯西积分定理
例：
C：a圆心ρ半径圆方：逆时针
解：C：
☆ 积分路径关：①单联通 ②处处解析
例：求中C连接O点摆线：
解：已知直线段LC构成条闭曲线全面解析
函数曲线C积分化着直线段L积分
★关键：①恰参数 ②合适准确带入z
3定积分
定义32 设函数区域D连续D函数满足条件
定理37 式
例： 计算
解：
练：计算
解：
4柯西积分公式
定理 处处解析简单闭曲线C围成区域
例1：
解：
例2：
解：
例3：
解：
注：①C：
② 次分式
③找 D处处解析
例4：
解：5 解析函数高阶导数
公式： n12……
应点：①
②
③精准分离
例：
6 调函数
满足称做D调函数
D解析
称轭调函数
第四章 级数理
1复数 距离
谈极限
时 极限点 记作
推广：度量空间谈极限
2 极限性质
3
4 级数问题
部分数列
收敛反发散
性质：1 收敛收敛
2收敛发散推出发散
3
绝收敛
收敛 条件收敛
等级数 ：
时收敛发散
幂级数
求收敛域
例：求收敛半径收敛圆
解： 级数收敛半径R1收敛圆
泰勒级数
泰勒定理：设函数圆K：解析K展成幂级数
中 （n012……）展式唯
例 1：求处泰勒展式
解 ：全面解析
处泰勒展式
例2： 函数展成幂级数
解：
罗朗级数
罗朗定理 函数圆环D：解析
时
中
例：函数圆环（1） （2）
展成罗朗级数
解：（1）
（2）
孤立奇点
定义：函数心邻域解析点解析称孤立奇点
例 ： 奇点
级极点
性奇点
第5章 留数理（残数）
定义： 设函数限项点孤立奇点心邻域解析称积分值函数点处留数
记作：
中C方逆时针
例1：求函数处留数
解：级零点级极点
例2：求函数处留数
解：性奇点
第7章 傅里叶变换
通种途径复杂问题简单化便研究
定义：满足某条件函数 定义称
傅里叶变换
时 傅里叶逆变换
注：①傅里叶变换函数变函数
②傅里叶逆变换函数变函数
③求傅里叶变换傅里叶逆变换关键计算积分
④两种常见积分方法：凑微分分部积分
复积分：①
②
③
④
⑤
注：
例1：求
解：
例2：求
解：
函数
定义：果意区间连续函数恒称函数
例1：求函数
解：
例2：求正弦函数傅氏变换
解：
☆
第8章 拉普拉斯变换
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