第章 复数复变函数
第节 复数
1．复数域
复数具形状中虚数单位分称实部虚部分记作
复数相等指实部虚部分相等
果成实数果称虚数果称纯虚数
复数四运算定义：
复数四运算代数结构构成复数域记C
2．复面
C成面称复面
作映射：复数集面建立11应
横坐标轴称实轴坐标轴称虚轴复面般称面w面等
3．复数模辐角
复数等面中量量长度称复数模定义：
量正实轴间夹角称复数辐角定义：
（）
复数轭定义：
复数三角表示定义：
复数加法表示：
设两复数加法减法意义量相加减意义图：
关两复数差模等式：
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
例1．1试复数表示圆方程：
（）
中abcd实常数
解：方程 中
例12设两复数证明
利复数三角表示更简单表示复数法法：设两非零复数
中式子应理解集合相等
理法
式子应理解集合相等
例13设两复数求证：
例14作出复面C两点ab直线线三点 abc圆表示式
解：直线：
圆：
4．复数幂方根
利复数三角表示考虑复数幂：
令
进步
值
例15求值
解：
中
第二节 复面点集
1．初步概念：
设邻域定义
称集合
中心半径闭圆盘记
设
中穷点称极限点
称点
中属点属点称边界点
集全部边界点组成集合称边界记
称闭包记
称孤立点（边界点聚点）
开集：点点集合
闭集：者没聚点者聚点属集合闭包定闭集
果称界集否称界集
复面界闭集称紧集
例16圆盘界开集闭圆盘界闭集
例17集合心半径圆周圆盘 闭圆盘边界
例18复面实轴虚轴界集复面界开集
例19集合掉圆心圆盘圆心孤立点集合聚点
穷远点邻域：集合称穷远点邻域类似聚点点边界点孤立点开集闭集等概念
称点紧化
2．区域曲线
复面C集合果满足：
（1）开集
（2）中意两点限条相衔接线段构成折线连起条折线点完全属
称区域
结合前面定义界区域界区域
性质（2）称连通性区域连通开集
区域边界全部点组成集称闭区域
扩充复面含穷远点区域定义含穷远点区域C区域穷远点邻域集
设已
果闭区间连续称集合条连续曲线
果意两点时端点述集合称条简单连续曲线尔曲线称条简单连续闭曲线尔闭曲线
尔定理 意条尔闭曲线整复面分成两没公点区域：界称区域界称外区域
光滑曲线： 果闭区间连续连续导函数称集合条光滑曲线类似定义分段光滑曲线
设区域复面C果简单闭曲线区域中点属称单连通区域否称连通区域
中区域连通性：果简单闭曲线区域外区域中点属称单连通区域否称连通区域
例110集合半面单连通界区域边界直线
例111集合垂直带形单连通界区域边界直线
例112集合角形单连通界区域边界半射线
例113集合圆环连通界区域边界圆
例114集合分单连通连通界区域边界分
第三节 复变函数
1．复变函数概念
设复面C点集果法应称定义复变数函数简称复变函数记
注解1样定义函数定义域值域
注解2定义传统定义没明确指出否应
注解3复变函数等价两实变量实值函数：等价两二元实变函数
函数称C映射映集合表示复面称面相应函数值表示复面称面
集合观点令记作称映射意映射成集映射成集
称分象称分原象
中点映射成中点称双射
例115考虑映射
解：设面面双射称移
例116考虑映射中
解：令分解两映射复合：
第映射旋转（旋转角）第二映射原点中心相似映射
例117考虑映射
解：分解两映射复合：
映射关实数轴称映射
映射映射成辐角相：
模满足称关单位圆称映射称关单位圆互相称点
规定映射成扩充面扩充面双射
例118考虑映射
解：等价
2．复变函数极限
设函数集合确定聚点复常数果找关正数时
称函数趋时极限记作：
注解：1复变函数极限等价两实变二元函数重极限
2关极限差积商等性质加改变推广复变函数
3．复变函数连续性定义
设函数集合确定聚点果
成立称处连续果中点连续称连续
注解1 果处连续充条件：
复变函数连续性等价两实变二元函数连续性
注解2 连续函数四运算结成立：两复变函数连续加减（分母等零）复变函数连续
注解3 果函数集连续函数值属集集函数连续复合函数连续
4．致连续性
设函数集合确定果找仅关正数时
称函数致连续
定理11设函数简单曲线界闭区域连续致连续
定理12设函数简单曲线界闭区域连续界集界
定理13设函数简单曲线界闭区域连续达模模
5．穷极限
设函数复面区域闭区域确定聚点属果找关正数时
称趋时函数趋穷记作：
设函数复面界区域闭区域确定限复常数果找关正数时
称趋时函数趋极限记作：
第四节 复球面穷远点
点坐标 三维空间中 xOy面作面考虑球面：
取定球面点称球极
建立复面C间11应：
称面映射球极射影
应球极射影引入新非正常复数穷远点称扩充复面记
关实部虚部辐角意义模等基运算（限复数）：
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第节 复数
1．复数域
复数具形状中虚数单位分称实部虚部分记作
复数相等指实部虚部分相等
果成实数果称虚数果称纯虚数
复数四运算定义：
复数四运算代数结构构成复数域记C
2．复面
C成面称复面
作映射：复数集面建立11应
横坐标轴称实轴坐标轴称虚轴复面般称面w面等
3．复数模辐角
复数等面中量量长度称复数模定义：
量正实轴间夹角称复数辐角定义：
（）
复数轭定义：
复数三角表示定义：
复数加法表示：
设两复数加法减法意义量相加减意义图：
关两复数差模等式：
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
例1．1试复数表示圆方程：
（）
中abcd实常数
解：方程 中
例12设两复数证明
利复数三角表示更简单表示复数法法：设两非零复数
中式子应理解集合相等
理法
式子应理解集合相等
例13设两复数求证：
例14作出复面C两点ab直线线三点 abc圆表示式
解：直线：
圆：
4．复数幂方根
利复数三角表示考虑复数幂：
令
进步
值
例15求值
解：
中
第二节 复面点集
1．初步概念：
设邻域定义
称集合
中心半径闭圆盘记
设
中穷点称极限点
称点
中属点属点称边界点
集全部边界点组成集合称边界记
称闭包记
称孤立点（边界点聚点）
开集：点点集合
闭集：者没聚点者聚点属集合闭包定闭集
果称界集否称界集
复面界闭集称紧集
例16圆盘界开集闭圆盘界闭集
例17集合心半径圆周圆盘 闭圆盘边界
例18复面实轴虚轴界集复面界开集
例19集合掉圆心圆盘圆心孤立点集合聚点
穷远点邻域：集合称穷远点邻域类似聚点点边界点孤立点开集闭集等概念
称点紧化
2．区域曲线
复面C集合果满足：
（1）开集
（2）中意两点限条相衔接线段构成折线连起条折线点完全属
称区域
结合前面定义界区域界区域
性质（2）称连通性区域连通开集
区域边界全部点组成集称闭区域
扩充复面含穷远点区域定义含穷远点区域C区域穷远点邻域集
设已
果闭区间连续称集合条连续曲线
果意两点时端点述集合称条简单连续曲线尔曲线称条简单连续闭曲线尔闭曲线
尔定理 意条尔闭曲线整复面分成两没公点区域：界称区域界称外区域
光滑曲线： 果闭区间连续连续导函数称集合条光滑曲线类似定义分段光滑曲线
设区域复面C果简单闭曲线区域中点属称单连通区域否称连通区域
中区域连通性：果简单闭曲线区域外区域中点属称单连通区域否称连通区域
例110集合半面单连通界区域边界直线
例111集合垂直带形单连通界区域边界直线
例112集合角形单连通界区域边界半射线
例113集合圆环连通界区域边界圆
例114集合分单连通连通界区域边界分
第三节 复变函数
1．复变函数概念
设复面C点集果法应称定义复变数函数简称复变函数记
注解1样定义函数定义域值域
注解2定义传统定义没明确指出否应
注解3复变函数等价两实变量实值函数：等价两二元实变函数
函数称C映射映集合表示复面称面相应函数值表示复面称面
集合观点令记作称映射意映射成集映射成集
称分象称分原象
中点映射成中点称双射
例115考虑映射
解：设面面双射称移
例116考虑映射中
解：令分解两映射复合：
第映射旋转（旋转角）第二映射原点中心相似映射
例117考虑映射
解：分解两映射复合：
映射关实数轴称映射
映射映射成辐角相：
模满足称关单位圆称映射称关单位圆互相称点
规定映射成扩充面扩充面双射
例118考虑映射
解：等价
2．复变函数极限
设函数集合确定聚点复常数果找关正数时
称函数趋时极限记作：
注解：1复变函数极限等价两实变二元函数重极限
2关极限差积商等性质加改变推广复变函数
3．复变函数连续性定义
设函数集合确定聚点果
成立称处连续果中点连续称连续
注解1 果处连续充条件：
复变函数连续性等价两实变二元函数连续性
注解2 连续函数四运算结成立：两复变函数连续加减（分母等零）复变函数连续
注解3 果函数集连续函数值属集集函数连续复合函数连续
4．致连续性
设函数集合确定果找仅关正数时
称函数致连续
定理11设函数简单曲线界闭区域连续致连续
定理12设函数简单曲线界闭区域连续界集界
定理13设函数简单曲线界闭区域连续达模模
5．穷极限
设函数复面区域闭区域确定聚点属果找关正数时
称趋时函数趋穷记作：
设函数复面界区域闭区域确定限复常数果找关正数时
称趋时函数趋极限记作：
第四节 复球面穷远点
点坐标 三维空间中 xOy面作面考虑球面：
取定球面点称球极
建立复面C间11应：
称面映射球极射影
应球极射影引入新非正常复数穷远点称扩充复面记
关实部虚部辐角意义模等基运算（限复数）：
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