题 目 定积分求解方法应
定积分求解方法应
摘：数学分析门课程里定积分普遍重容时数学研究中重工具着数学生活中广泛应定积分相关解法应蕴藏巨潜力越越引起关注文定积分基理出发系统阐述牛顿莱布尼茨公式换元法分部积分法凑微分法等种常见求解方法列举相关例子更直观解求解定积分方法精髓外文介绍定积分数学物理学济学中应实现定积分实际生活中应通系列总结进步提升定积分认识学奠定基础
关键词：定积分求解方法应
定积分求解方法
11 定积分概念
定义1 妨设闭区间[]中包含两端点点分…点闭区间[]分割子区间表示子区间[] 12 …点子区间视分割闭区间[]令集合{…}{…}
定义2 假设函数定义域 []区间[]分割分割区间集合{…}区间意取点 12 …该点函数值变量差做积累次相加该式函数定义域[]积分
定义3 假设函数定义域 []定实数假总找某正数正数定义域 []进行意分割分割出区间中意选择点组成集合{}<时存 函数定义域[]积函数定义域定积分积分变量积函数[]称积分区间该定积分限限
12 定积分求法
121 运定义求定积分
先定义法进行解题分三步进行解答：定义域[]分割子区间进分割列出式子取极限
例1 计算定积分
解 （1）分割： 等分块…
（2）似求 令
（3）取极限
解析 题中定义法进行解题通三步法进求出积分极限计算定积分具体程繁琐相面种方法较复杂
122 运意义求定积分
定积分意义：连续函数定义域[]直线xm xn y0组成曲边梯形该图形面积连续函数定义域[]时候该定积分意义指函数图形构成区域面积时时函数图形构成曲变梯形面积负数定义域零零情况定积分值曲线图形构成面积代数中轴方面积正数轴方面积负数
例2 证明定积分
解 设
轴半圆半径x1具体图形详见图1半径1圆面积该图形面积轴方零
解析 函数表达式太复杂表示图形较简单时候函数图形画二维坐标难度找出限范围求出范围图形面积出定积分结果见种方面相直观
123 运牛顿—莱布尼茨公式求定积分
定理1 函数连续函数定义域[]该函数原函数 函数[]积定积分 称牛顿—莱布尼茨公式通常写
(1）
例3 计算定积分
解 函数fxx²定义域[01] 原函数存满足条件公式（1）
解析 知题中函数原函数表示成
牛顿—莱布尼茨公式时候应明确该函数原函数存求出积函数原函数然带入公式（1）出结果种方法定积分计算基础利定积分性质算出结果定积分求解效方法
124 运换元积分法求定积分
定理2 已知函数定义域[]连续函数函数积定积分换元公式表示
（2）
例4 求定积分
解 令时x0 时 x1带入公式（2）中
+
令代入
相互抵消
解析 例4中基函数原函数初等函数写出牛顿莱布尼茨公式法解答利换元积分法够求出原函数部分求出定积分
125 运分部积分法求定积分
定理3 已知连续函数定义域[]微 定义域积分部积分法表示：
（3）
例5 求定积分
解 采分部积分法
解析 例5中令进简便运算
例6 求定积分
解 妨设 分部积分法
例7 求定积分
解 令分部积分法
解析 例题67言积函数形式幂函数指数函数幂函数三角函数构成令幂函数分部积分法
126 运凑微分法求定积分
定理4 已知函数定义域区间存导数果原函数存原函数
例8 求定积分
解
解析 例8中换元令化简积分公式计算
例9 计算
解
解析 积函数三角函数相组成时凑微分法拆开奇次项例9中利进化简关积分公式结果出
二 定积分应
21 定积分数学应
211 求面图形面积
（1）直角坐标系面积计算
①图形围面积连续曲线直线直线y0 轴构成面积
②求两条曲线两条直线围面图形该图面积表示（图2示）
接介绍微元法求面积步骤：
①取积分变量
②区间机取区间该区间长度特该区间围面积视矩形该矩形高宽矩形面积
③写出积分表达式 （5）
例10 求曲线围图形面积
解 画出围图形（图3示）
方程组 两条曲线交点设积分变量
两曲线方程分改写成表示表达式
求面积
解析 面直角坐标系中先求出曲线交点坐标求出变量取值范围次公式（5）代入算出面积
（2）极坐标系面积计算
已知曲线极坐标方程连续函数曲线两条射线围成图面积扇形（图4示）接微元法求面积A
y
视积分变量积分区间区间[+]中应面积够似作扇形面积半径夹角面积
x
曲线谓图形面积
（6）
图5
例11 求双纽线围面图形面积（图5）
解 取值范围图形称性
解析 例11中找出极坐标方程确定极角范围带入公式（6）求出结果
212 面截面面积求体积
设连续函数面图形绕轴旋转周旋转体
取积分变量[]意区间[]见薄片体积视圆柱体底面图图形半径高薄片体积旋转体体积表示 (7)
例12 求面曲线绕轴旋转围成立体体积：
（1）
解 图6示作面图形绕轴旋转成椭球体公式（7）求椭球体体积
（2）绕轴
解 图7示作面绕轴旋转成椭球体公式（7）求椭球体体积
时时旋转体变成球体中
213 求面弧长
（1）直角坐标系弧长计算
定理5 已知面曲线没交点没闭合函数参数方程表示连续微弧长表示 (8)
例14 线拱弧长
解 公式（8）
（2）极坐标系弧长计算
定理6 已知曲线条光滑曲线够极坐标方程表示导函数区间连续函数时零时时弧长表示 （9）
例14 求心形线弧长
解 公式（9）
214 数学建模中简单应
数学建模中会应定积分包括图网络优化模型概率模型等面简单介绍关短路径问题
短路径问题：蚂蚁橄榄球点爬点短距离椭球表面连接两点短距离
述问题抽象：图8曲面意定两点求连接间光滑曲线短长度
问题数学表述：
曲面方程两点求两点曲线该曲线长度短
曲线弧长
曲线长度
短路径问题曲面求曲线条件达
215 初等数学中应
（1）证明等式
根定积分性质利定积分证明等式：设积特时
例16 证明：已知时求证
证明 时
时
综：时
解析 时述结然成立般性结：设时时仅时两边等式成立
（2）求
根积分微分互逆运算性质先式进行积分利已知数列求积分进行求导出结果
例17 求…
解 设…
式积分
…
式求导
（3）式分解
原代数式化简原式中字母成变量余字母作常量原式变成关变量代数式先求导积分确定积分常数式分解
例 18 化简
解 设原式变量常量
求导
积分
确定常数
22 定积分物理应
221 变力直线作功
初等物理知常力方作直线运动物体运动位移时物体受力功
实际物体运动定位移程中受力恒定变成变力做功求整做功中利区间加性定积分
a x x+dx b x
F(x)
图9
图9示设变力作物体轴点移动点方轴方相区间
取区间区间意点力
区间功
段位移变力作功
例19 胡克定律知弹簧产生反力伸长量间正(例系数)已知 F2N时弹簧伸长求伸长量外力做功
解 已知时求
弹簧拉长04m
222液体静压力
物理学知道液体密度水深处水压强中重力加速度假面积薄板防止处薄板水面行时受水压力
薄板曲边梯形时候做出直角坐标系（图10）妨设曲边
设积分变量水深取微段该区域围图形视矩形长宽时水深
该微元受压力
薄板受压力定积分求出
例20 图11示梯形闸门两条底边6m4m高6m时长边水面齐时求闸门受静水压力
解 设直线方程
区间压力微元
定积分
解析 定积分物理学中着广泛应述两方面外包括引力均功率等方面
23 定积分济应
定理7 已知边际成求总成中固定成零
定理8 已知边际收益求总成中称然条件意指销售量0时然收益0
例21 生产某产品边际成函数固定成求生存产品总成函数
解
解析 定积分济学着广泛应述简单介绍成问题中解法包括求利润边际等问题应
三结
通定积分求解方法应篇文写作定积分求解方法总结解决定积分应中遇问题提供效方法定积分求解方法应推广仅需定积分概念相关性质特点融会贯通外应量练做灵活程度外需知识点串联起形成知识面求学者持续探讨断实践解题办法熟练应数学物理学济学等方面
笔者知识面存定足支持文中关定积分应总结分析够全面空间需改进鉴笔者知识储备水局限文中仅介绍种常见定积分题目解答办法思路会继续学关知识争取做更研究中断研究探讨发现更关定积分求解方法应学者提供更帮助方法进步探究
参考文献
[1]华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社201007
[2]复旦学数学系数学分析[M]高等教育出版社200704
[3]梁金荣定积分物理学中应探讨[N]四川文理学院学报201309
[4]李赵旭波定积分等式种典型证法[J]湖南科学学院学报（然科学版）200906
[5]张燕艳苏林茹求定积分干方法[J]阴山学刊（然科学版）201710
[6]杨磊景宇哲定积分意义定积分计算中应[J]高师理科学刊201605
[7]江水普通物理学第册[M]高等教育出版社2007
[8]罗威定积分计算中干技巧[J]沈阳师范学学报（然科学版）201002
[9]马德炎巧换元法求定积分[J]高等数学研究201206
[10]王静方晓峰刘素兵典型定积分计算方法[J]河南教育学院学报（然科学版）201702
DEFINITE INTEGRAL SOLITION METHOD AND ITS APPLICATION
Yang Yang
AbstractIn mathematics analysis definite integral is one of the most common and important content and it is also an important tool in mathematics research With the wide application of mathematics in life related solutions and applications of definite integral The huge potential lies in people＇s attention In this paper starting from the basic theory of definite integrals several common solving methods such as Newton Leibniz formula substitution method partial integration method and subtraction differential method are systematically expounded and related examples are listed which are more intuitive Learn the essence of the solution to definite integration In addition this paper also introduces the application of definite integral in mathematics physics and economics and realizes the application of definite integral in real life Through this series of summaries the understanding of definite points can be further improved laying the foundation for future study
Key words definite integral solution methodapplication
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题 目 定积分求解方法应
定积分求解方法应
摘：数学分析门课程里定积分普遍重容时数学研究中重工具着数学生活中广泛应定积分相关解法应蕴藏巨潜力越越引起关注文定积分基理出发系统阐述牛顿莱布尼茨公式换元法分部积分法凑微分法等种常见求解方法列举相关例子更直观解求解定积分方法精髓外文介绍定积分数学物理学济学中应实现定积分实际生活中应通系列总结进步提升定积分认识学奠定基础
关键词：定积分求解方法应
定积分求解方法
11 定积分概念
定义1 妨设闭区间[]中包含两端点点分…点闭区间[]分割子区间表示子区间[] 12 …点子区间视分割闭区间[]令集合{…}{…}
定义2 假设函数定义域 []区间[]分割分割区间集合{…}区间意取点 12 …该点函数值变量差做积累次相加该式函数定义域[]积分
定义3 假设函数定义域 []定实数假总找某正数正数定义域 []进行意分割分割出区间中意选择点组成集合{}<时存 函数定义域[]积函数定义域定积分积分变量积函数[]称积分区间该定积分限限
12 定积分求法
121 运定义求定积分
先定义法进行解题分三步进行解答：定义域[]分割子区间进分割列出式子取极限
例1 计算定积分
解 （1）分割： 等分块…
（2）似求 令
（3）取极限
解析 题中定义法进行解题通三步法进求出积分极限计算定积分具体程繁琐相面种方法较复杂
122 运意义求定积分
定积分意义：连续函数定义域[]直线xm xn y0组成曲边梯形该图形面积连续函数定义域[]时候该定积分意义指函数图形构成区域面积时时函数图形构成曲变梯形面积负数定义域零零情况定积分值曲线图形构成面积代数中轴方面积正数轴方面积负数
例2 证明定积分
解 设
轴半圆半径x1具体图形详见图1半径1圆面积该图形面积轴方零
解析 函数表达式太复杂表示图形较简单时候函数图形画二维坐标难度找出限范围求出范围图形面积出定积分结果见种方面相直观
123 运牛顿—莱布尼茨公式求定积分
定理1 函数连续函数定义域[]该函数原函数 函数[]积定积分 称牛顿—莱布尼茨公式通常写
(1）
例3 计算定积分
解 函数fxx²定义域[01] 原函数存满足条件公式（1）
解析 知题中函数原函数表示成
牛顿—莱布尼茨公式时候应明确该函数原函数存求出积函数原函数然带入公式（1）出结果种方法定积分计算基础利定积分性质算出结果定积分求解效方法
124 运换元积分法求定积分
定理2 已知函数定义域[]连续函数函数积定积分换元公式表示
（2）
例4 求定积分
解 令时x0 时 x1带入公式（2）中
+
令代入
相互抵消
解析 例4中基函数原函数初等函数写出牛顿莱布尼茨公式法解答利换元积分法够求出原函数部分求出定积分
125 运分部积分法求定积分
定理3 已知连续函数定义域[]微 定义域积分部积分法表示：
（3）
例5 求定积分
解 采分部积分法
解析 例5中令进简便运算
例6 求定积分
解 妨设 分部积分法
例7 求定积分
解 令分部积分法
解析 例题67言积函数形式幂函数指数函数幂函数三角函数构成令幂函数分部积分法
126 运凑微分法求定积分
定理4 已知函数定义域区间存导数果原函数存原函数
例8 求定积分
解
解析 例8中换元令化简积分公式计算
例9 计算
解
解析 积函数三角函数相组成时凑微分法拆开奇次项例9中利进化简关积分公式结果出
二 定积分应
21 定积分数学应
211 求面图形面积
（1）直角坐标系面积计算
①图形围面积连续曲线直线直线y0 轴构成面积
②求两条曲线两条直线围面图形该图面积表示（图2示）
接介绍微元法求面积步骤：
①取积分变量
②区间机取区间该区间长度特该区间围面积视矩形该矩形高宽矩形面积
③写出积分表达式 （5）
例10 求曲线围图形面积
解 画出围图形（图3示）
方程组 两条曲线交点设积分变量
两曲线方程分改写成表示表达式
求面积
解析 面直角坐标系中先求出曲线交点坐标求出变量取值范围次公式（5）代入算出面积
（2）极坐标系面积计算
已知曲线极坐标方程连续函数曲线两条射线围成图面积扇形（图4示）接微元法求面积A
y
视积分变量积分区间区间[+]中应面积够似作扇形面积半径夹角面积
x
曲线谓图形面积
（6）
图5
例11 求双纽线围面图形面积（图5）
解 取值范围图形称性
解析 例11中找出极坐标方程确定极角范围带入公式（6）求出结果
212 面截面面积求体积
设连续函数面图形绕轴旋转周旋转体
取积分变量[]意区间[]见薄片体积视圆柱体底面图图形半径高薄片体积旋转体体积表示 (7)
例12 求面曲线绕轴旋转围成立体体积：
（1）
解 图6示作面图形绕轴旋转成椭球体公式（7）求椭球体体积
（2）绕轴
解 图7示作面绕轴旋转成椭球体公式（7）求椭球体体积
时时旋转体变成球体中
213 求面弧长
（1）直角坐标系弧长计算
定理5 已知面曲线没交点没闭合函数参数方程表示连续微弧长表示 (8)
例14 线拱弧长
解 公式（8）
（2）极坐标系弧长计算
定理6 已知曲线条光滑曲线够极坐标方程表示导函数区间连续函数时零时时弧长表示 （9）
例14 求心形线弧长
解 公式（9）
214 数学建模中简单应
数学建模中会应定积分包括图网络优化模型概率模型等面简单介绍关短路径问题
短路径问题：蚂蚁橄榄球点爬点短距离椭球表面连接两点短距离
述问题抽象：图8曲面意定两点求连接间光滑曲线短长度
问题数学表述：
曲面方程两点求两点曲线该曲线长度短
曲线弧长
曲线长度
短路径问题曲面求曲线条件达
215 初等数学中应
（1）证明等式
根定积分性质利定积分证明等式：设积特时
例16 证明：已知时求证
证明 时
时
综：时
解析 时述结然成立般性结：设时时仅时两边等式成立
（2）求
根积分微分互逆运算性质先式进行积分利已知数列求积分进行求导出结果
例17 求…
解 设…
式积分
…
式求导
（3）式分解
原代数式化简原式中字母成变量余字母作常量原式变成关变量代数式先求导积分确定积分常数式分解
例 18 化简
解 设原式变量常量
求导
积分
确定常数
22 定积分物理应
221 变力直线作功
初等物理知常力方作直线运动物体运动位移时物体受力功
实际物体运动定位移程中受力恒定变成变力做功求整做功中利区间加性定积分
a x x+dx b x
F(x)
图9
图9示设变力作物体轴点移动点方轴方相区间
取区间区间意点力
区间功
段位移变力作功
例19 胡克定律知弹簧产生反力伸长量间正(例系数)已知 F2N时弹簧伸长求伸长量外力做功
解 已知时求
弹簧拉长04m
222液体静压力
物理学知道液体密度水深处水压强中重力加速度假面积薄板防止处薄板水面行时受水压力
薄板曲边梯形时候做出直角坐标系（图10）妨设曲边
设积分变量水深取微段该区域围图形视矩形长宽时水深
该微元受压力
薄板受压力定积分求出
例20 图11示梯形闸门两条底边6m4m高6m时长边水面齐时求闸门受静水压力
解 设直线方程
区间压力微元
定积分
解析 定积分物理学中着广泛应述两方面外包括引力均功率等方面
23 定积分济应
定理7 已知边际成求总成中固定成零
定理8 已知边际收益求总成中称然条件意指销售量0时然收益0
例21 生产某产品边际成函数固定成求生存产品总成函数
解
解析 定积分济学着广泛应述简单介绍成问题中解法包括求利润边际等问题应
三结
通定积分求解方法应篇文写作定积分求解方法总结解决定积分应中遇问题提供效方法定积分求解方法应推广仅需定积分概念相关性质特点融会贯通外应量练做灵活程度外需知识点串联起形成知识面求学者持续探讨断实践解题办法熟练应数学物理学济学等方面
笔者知识面存定足支持文中关定积分应总结分析够全面空间需改进鉴笔者知识储备水局限文中仅介绍种常见定积分题目解答办法思路会继续学关知识争取做更研究中断研究探讨发现更关定积分求解方法应学者提供更帮助方法进步探究
参考文献
[1]华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社201007
[2]复旦学数学系数学分析[M]高等教育出版社200704
[3]梁金荣定积分物理学中应探讨[N]四川文理学院学报201309
[4]李赵旭波定积分等式种典型证法[J]湖南科学学院学报（然科学版）200906
[5]张燕艳苏林茹求定积分干方法[J]阴山学刊（然科学版）201710
[6]杨磊景宇哲定积分意义定积分计算中应[J]高师理科学刊201605
[7]江水普通物理学第册[M]高等教育出版社2007
[8]罗威定积分计算中干技巧[J]沈阳师范学学报（然科学版）201002
[9]马德炎巧换元法求定积分[J]高等数学研究201206
[10]王静方晓峰刘素兵典型定积分计算方法[J]河南教育学院学报（然科学版）201702
DEFINITE INTEGRAL SOLITION METHOD AND ITS APPLICATION
Yang Yang
AbstractIn mathematics analysis definite integral is one of the most common and important content and it is also an important tool in mathematics research With the wide application of mathematics in life related solutions and applications of definite integral The huge potential lies in people＇s attention In this paper starting from the basic theory of definite integrals several common solving methods such as Newton Leibniz formula substitution method partial integration method and subtraction differential method are systematically expounded and related examples are listed which are more intuitive Learn the essence of the solution to definite integration In addition this paper also introduces the application of definite integral in mathematics physics and economics and realizes the application of definite integral in real life Through this series of summaries the understanding of definite points can be further improved laying the foundation for future study
Key words definite integral solution methodapplication
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