摘 初等数学中许重等式数学分析中许积分形式推广文介绍均值等式等式等式等式等式等式等式间定联系利等式推导出均值等式推广形式利均值等式证明等式等式成等式推广等式基础证明 等式文总结研究典等式积分形式推广易难等式数学分析中着广泛运研究积分等式时候生活知识结合起
关键词 均值等式 等式 等式 等式 等式 等式
Abstract There are many important inequalities in elementary mathematicsand they have many generalizations of integral forms in mathematical analysis This paper mainly introduces mean inequalityCauchy Schwarz inequalityJensen inequalityYoung inequalityHölder inequality and Minkowski inequalitywhich are also related to each other The generalization of mean inequality can be deduced by Jensen inequality In the form of mean inequalitywe can prove Young inequalityHölder inequality can be regarded as the generalization of Cauchy inequality and on the basis of Hölder inequalitywe can prove Minkowski inequality This paper mainly summarizes and studies the integral forms and generalizations of these classical inequalities from easy to difficult These inequalities are widely used in mathematical analysis When we study integral inequality we can combine it with life knowledge
Key words Mean inequality Cauchy Schwarz inequality Jensen inequality Young inequality Hölder inequality Minkowski inequality
目 录
摘 2
Abstract 2
1 均值等式 5
11均值等式概念 5
12均值等式积分形式 5
13均值等式应 7
2 Cauchy—Schwarz等式 10
21 Cauchy—Schwarz等式基形式 11
22 Cauchy—Schwarz等式应 13
3Jensn等式 16
31 Jensen等式基形式 17
32 Jensen等式应 18
4Young等式 18
41 Young等式基形式 18
42 Young等式推广 19
5Hölder等式 19
51 Hölder等式基形式 19
511离散Hölder等式 20
512 Hölder等式积分形式 21
513 Hölder等式级数形式 22
52 Hölder等式应——Minkowski等式 22
参考文献 24
致谢 24
引言
积分等式数学分析中十分重部分求解积分等式探究应数学学研究中热门话题推广等式探索应等问题值关注学生言证明等式具定难度尤应等式解决问题更挑战性元函数积分学中会遇许等式等式应分析中着重位然文介绍简单性质定理更结研究推广需停探索等式形式应研究然永停止
早西元前6世纪毕达哥拉斯学派已知道算术中项中项调中项中算术中项中项定义天致相两正数称算术中项称中项分称算术均数均数两者相结合等式(仅时取)作基等式[1]
1 均值等式
11均值等式概念
均值等式包含范围广例高中时学基等式 众周知高中时基等式考查重中重均值等式意义仅学科利基等式便利计算解决部分值问题较问题证明等式等等
高中时学二元均值等式:时仅时算术均均相等
二元均值等式推导出三元均值等式:
推断出元均值等式等正数
12均值等式积分形式
定义 设函数定义面出现积分意义记
加权(次幂)算数均
记
分称加权算数均加权(次幂)算数均加权均中称权函数
取代称标准化2
注 述定义明显出:
1) (时)
2) αβ常数
3)
定理:设证积分意义
(包括情况)
证
()
时证明程里中等号仅常数时成立
证毕
13均值等式应
例题 现出样道题目:已知(限数)
(1)
(2)
证明 (1)(i)限数时:意存正整数N时固定正整数N知道
存正整数时
时
说明
(ii)a时意知存时固定
存时
时
(iii)时知(ii)知
(2)方法 取然数
(i)时时(1)知
证
(ii)时知(1)知
(iii)时知(1)知
方法二 均值等式
时
(1)知
迫敛性出
时时需写成0样利(1)相应结果
注1 然命题中例数列
1 12233nn
显然
会发现
说明发散会
均值定理数学分析中重广泛求数列极限时候减少语言求出数列极限接道例题
例题 利均值等式证明
证明 记时
()
2 Cauchy—Schwarz等式
21 等式基形式
积分等式中等式应广泛等式
等式高等数学微积分中具体介绍外样概率线性代数等方面着重研究意义表现形式相形式实数域中微积分中概率空间中维欧氏空间中4种十分重等式等式十分灵活利等式够帮助解决数学难题例证明等式求方差协方差求解方程值求函数值问题等先定理推
定理3 设积
证明 (i)零妨设前者零时构造函数显然展开
述成关元二次等式判式
(ii)时根均值等式
综合(i)(ii)知定理成立
需注意均连续函数时知道Schwarz等式取等号充条件线性相关(存全零实数)
推1 非负积
均连续函数时等式取等号充条件全零非负实数
推2 积
连续函数时等式仅常值函数时取等号
推3 积
连续函数时等式仅正常值函数时取等号
推广1 [4] 设二元函数面区域积
证明 中意实数
述关元二次方程判式
推广2 设二元函数面区域非负积
推广3 设二元函数面区域非负积面区域积函数
22 等式应
设连续微证明
(1)
(2)
证明 (1)分部积分公式结合知
(2)(1)结合Schwarz等式知
例题:设积证明
(选谢惠民数学分析题课讲义)
证明: 设
称性知令
凸函数时取
题目证明等式相够精确分析右端方启发算数均值—均值等式
时充分利凸性估计观察特点代
取凸性
等式证
例题 设区间连续证明:
证明 Cauchy—Schwarz等式
基等式
条件
例题 设区间连续导求证:
等号仅时成立中常数
证明 分部积分
根NewtonLeibniz公式
根Cauchy积分等式
等号成立仅积分
例题 已知连续意实数求证:
证明: 求等式左边利Cauchy—Schwarz等式
理
两式相加
例题 设阶连续导数试证:
证明
导连续
等式:
等式数学分析中学重点难点然等式公式记忆起困难应灵活变需仔细分辨
3Jensn等式
31 等式基形式
等式作数学分析常等式等式推导出系列等式等式证明简洁快速
定理 函数积函数连续凸函数
连续凸函数时
面出条凸函数性质:
(1)函数区间定义区间称凸函数
(2)函数区间定义区间称凸函数
(3)函数区间定义区间称凸函数
定理 函数区间凸函数
严格凸函数等式成立仅
32 等式应
例题 设函数连续证明
分析 证明题目时采方式利导数判断函数凹凸性然利凸(凹)函数性质完成证明.道题目中需先构造凸函数利等式性质证明题目证明问题.
证明 取
取时凸函数
例题 设函数区间积试证明等式
证明 先等式法证明等式: 等式
设区间等分述等式
令 注意函数区间积性函数 连续性
积分等式
4Young等式
41 等式基形式[5]
等式数学分析中占重席等式推广处许等式例Hölder等式等式等式等等早等式数学家WHYoung1912年出:
定理 设单调递增函数连续表示反函数中等号仅时成立
常Young等式:意(称样轭实数)等号成立充分必条件:
该式分清楚积分等曲边梯形面积发生三种情况图示时中表示图形面积
证 证明 ①
递增连续递增连续①式意义
等分记分点相应点()构成分划:
连续致连续时分划讲
①式获证
①式知中等号成立
连续性知存
时作反函数结
联系知定理成立
42 等式推广
等式条件做出变形列推广形式6
(1) 时讨等号变化
结:时意成立等号成立条件
(2) 扩展维数设讨
结:设
(3) (0实数)时讨等式变化
结:时意成立仅等号成立充分必条件
例题 证明时等式成立
证明 令单调递增连续
应等式
例题 设试证:
证明 设单调递增连续
利等式
等号仅时成立原式获证
5Hölder等式
51 等式基形式
等式作等式般形式基础数学中等式般形式言着十分重作数学分析实变函数泛函分析证明中体现
常见等式两种形式种离散等式种积分形式等式面介绍两种形式等式应
511离散等式
设(12)实数:
()时
(1)
()时
(2)
中等号成立条件:仅成例(全零()时成立)[7]
证 (1)时[时]
≤中等号成立条件:仅时成立
(2)时注意时
现利刚刚证明式子(1)分作(1)式中
等式两边时开次根号够
等式中等号成立条件:仅成例时等号成立
512 等式积分形式
定理 设积分意义1轭实数()
(1)()时
(2)()时
连续中等号仅成例(全零)时成立8
513 等式级数形式
设
仅时等号成立9
面应定义完成道证明题
试证明
分析 形式等式两积分积分区间样前面积分教材介绍等式变积分等式需结果
证明 令
等式左端化成
证毕
例题 设函数连续微求
证明 Hölder等式中取
52 Hölder等式应——等式
等式[2]P387388 意实数()
时 (1)
时 (2)
中等号成立条件:仅成例时等号成立[:全零时成立]
式子(1)称距离等式时式子(1)表示中三角形边外两边式子(1)称三角等式10
证 时记
令式右端Hölder等式进步
式子两边时
中(1)式证中等号成立条件:仅成例
情况完全类似证
等式积分形式[2]P388 设定义面积分意义
时
时
参考文献
[1] 匡继昌般等式研究中国新进展[J]北京联合学学报(然科学版)20053
[2] 裴礼文数学分析中典型问题方法[M]2版高等教育出版社20064
[3] 李静 CauchySchwarz等式四种形式证明应[J]宿州学院学报2008(06)
[4] 孙晓莉柯西—施瓦茨等式推广应 [D] 合肥工业学 2013
[5] 薛建明周旋Young等式应[J]贵州学学报(然科学版)2016(03)
[6] 汪云峰王丹丹刘建波关Young等式点推广[J]唐山师范学院学报2014(02)
[7] 马琼华Hölder等式简单应[J]科技风2018(01)
[8] 高云天积分形式离散形式 Hölder等式逆 Hölder等式证明[J]佳木斯学学报(然科学版)2016(05)
[9] 黄颖瑞关两种形式Hölder等式证明[J]数学学研究(教研版)2009(08)
[10] 乔建斌Hölder等式离散形式积分形式推广[J]河南科学2013(02)
致 谢
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