高等数学知识济学中应举例
复利贴现问题 2
复利公式 2
实利率虚利率 3
数e济解释 4
贴现问题 4
增长率 4
级数应举例 5
银行通存款放款创造〞货币问题 5
投资费 6
库存问题 8
〔〕 成批货允许短缺库存模型 8
〔二〕 陆续货允许短缺模型 11
〔三〕 成批货允许短缺模型 13
现代化生产开展需济学中定量分析长足进步数学分支数学分析线性代数概率统计微分方程等等已进入济学出现数理统计学济计量学济控制等新分支新分支通常成数量济学数量济学目探索客观济程数量规律便知道客观济实践应数量济学研究客观济现象关键考察象描述成够数学方法解答数学济模型里简单介绍元微积分元微积分济中简单应
复利贴现问题
复利公式
货币者〔债权〕贷出货币款〔债务〕手中报酬称利息利息期〞单位时间〔般年月期〕进行结算期利息总额贷款额〔称金〕成利息率简称利率通常利率百分数表示
果贷款全部期限煤气结算利息初始金规定利率计算种计息方法单利结算利息时果前期利息前期末入前期原金期计算利息新金谓复利通俗说法利滚利〞
面推出福利计息方法复利公式
现金A0年利率rp假设复利计息t年末A0增值At试计算At
假设年期计算利息：
年末利A1A0〔1+r〕
二年末利A2A0〔1+r〕+A0〔1+r〕r A0〔1+r〕2
类推t年末利At A0〔1+r〕t 〔1〕
假设年均分成m期计算利息时期利率认容易推
〔2〕
公式〔1〕〔2〕离散情况——计息期〞确定时间间隔计息次数限——推计算At复利公式
假设计息期〞时间间隔限缩短计息次数时
假设连续复利计算利息复利公式
例1 A0＝100元r8t＝1
年计息1期
年计息2期
年计息4期
年计息12期
年计息100期
连续复利计息
实利率虚利率
例1知年利率相年计息期数时年利息年利率8％年计息1期确实8％计算利息年计息2期实际利息816％计算结果年计息4期实际利息8243％计算年计息12期实际83％计算年计息100次实际利息8325计算利息
样年期复利称年利率8％虚利率名义利率实际计算利息利率称实利率816％年复利2期实利率83％年复利12期实利率8329％年连续复利实利率
记r名义年利率rm年计息m期实利率金A0名义利率年计息m期年末增值A0〔1+〕m实利率计息年末增值A0〔1+rm〕
1+rm＝〔1+〕m离散情况实利率虚利率间关系式
假设记rm连续复利实利率
实利率虚利率间关系
数e济解释
设年利率100连续复利计息元金年末利
说名义利率100连续复利计息元金年末增长e元作数e济解释
实利率约172％
贴现问题
已知道初时金A0年利率rt年末利At年期复利公式年均分m期复利公式 连续复利公式
假设称A0现At未值现值求未值复利问题相反假设未值At求现值A0称贴现问题时利率r称贴现率
复利公式容易推：
离散贴现公式
连续贴现公式
例2 设年利率65％连续复利计算现投资少元16年末1200元
里贴现率r65％未值At1200t16现值
增长率
设变量y时间t函数y f （t）值
函数f （t）时间区间相改变量果f （t）微定义极限
函数f （t）时间点t瞬时增长率
指数函数言该函数时间点t常数率r增长
样关系式 〔*〕
仅作复利公式济学中广泛应企业资金投资国民收入口劳动力等变量时间t函数假设变量较长时间常数率增长〔*〕式描述指数函数中r〞济学中般解释意时刻点t增长率
果函数中r取负值时认瞬时增长率负增长时称r衰减率贴现问题负增长
例3 某国现劳动力两千万预计50年劳动力年增长2问预计2056年少劳动力
未值A02000r002t5050年劳动力
例4 某机械设备折旧率年5％问连续折旧少年价值原价值半
假设原价值A0t年价值里r005假设取易算出t1386〔年〕约1386年机械设备价值原价值半
级数应举例
银行通存款放款创造〞货币问题
商业银行吸收存款必须法定率保存规定数额法定准备金余局部作放款笔贷款企业作活期存款存入家银行银行率保存法定准备金余局部作放款继续银行通存款放款创造〞货币
设R表示初存款D表示存款总额〔初存款创造〞货币总额〕r表示法定准备金占存款例r<1n趋穷时
假设记
称货币创造数显然假设初存款定法定准备率r越低银行存款放款总额越
等级数问题
例 设初存款1000万元法定准备率20求银行存款总额贷款总额
里R1000r02存款总额D1级数
1000+1000（102）+1000（102）2+…
决定
贷款总额D2级数
1000（102）+1000（102）2+…
决定显然
D24000〔万元〕
投资费
里投资费指隔定时期重复次系列效劳购进设备需费现值次费化现值拟间隔时间效劳工程具寿命设备
设初期投资p年利率rt年重复次投资样第次更新费现值第二次更新费现值类推投资费D等级数：
例建造座钢桥费380000元隔10年需油漆次次费40000元桥期寿命40年建造座木桥费200000元隔2年需油漆次次费20000元期寿命15年假设年利率10问建造种桥较济？
钢桥费包括两局部：建桥系列费油漆系列费
建钢桥p380000r01t40建桥费
查表知
样油漆钢桥费
建钢桥总费现值
类似建木桥费
油漆木桥费
建木桥总费现值
计算知建木桥利
现假设价格年百分率i涨价年利率r假设某种效劳工程现费p0时t年费
现值 说明通货膨胀情况计算总费D等级数
例述建桥问题中假设年物价涨7试重新考虑建木桥建钢桥济？
里r01i007ri003
时钢桥建桥费油漆费分
建钢桥总费现值
DD1+D2698100〔元〕
木桥建桥费油漆费分
建钢桥总费现值
DD3+D4895550〔元〕
根计算年通货膨胀7情况建钢桥济
库存问题
库存存贮生产系统商业系统系统中重问题需求库存输出供满足库存输入维持补充库存起调节供需求生产销售间协调作
问题库存数量少时适宜控制存货数量目存货总费降低里假设存货总费包括三方面费：
1 生产准备费订购费：工厂生产产品成批投产次投产支付生产准备费商店外订货次订货支付订购费假设次投产准备费次订购费投产订货数量关
2 货物库存费：货物存放仓库保费假设某时间单位产品库存费变
3 缺货损失费：时满足需求带损失
外假设需求连续均匀单位时间需求常数方案期需求总量简言需求致确定性库存模型
讨模型：
1) 成批货允许短缺库存模型
2) 陆续货允许短缺库存模型
3) 成批货允许短缺库存模型
（） 成批货允许短缺库存模型
谓成批货允许短缺批产品次订购货物整批存入仓库仓库均匀提取〔需求致〕投放市场前批库存提取完批货物立补足种理想情况库存水变动情况图1示：库存量高水逐渐〔线性〕减少0时库存水立达高水循环前程样方案期 均库存量认高库存量半图中t表示存贮循环延续时间
Q〔库存水〕
批数量
O
t
t
t
高库存水
均库存水
T〔时间〕
图1
方案期需求量固定方案期果批投产次订购数量然库存量然库存量库存费时投产订购数少生产准备费订购费少果批投产次订购量少库存费减少投产订购次数然生产准备费订购费增两种费少矛盾情况问题确定批投产次订购数量选择批量两项费
假设
D：方案期需求数量生产订货总量
C1：方案期件产品付库存费
C2：批生产准备费次订购费
Q：批投产次订货数量批量
E：方案期存货总费生产准备费订购费库存费
样方案期始终图1分析库存数量应认库存量恰批量半库存费生产次数订购次数批数应生产准备费订购费存货总费E批数量Q函数关系
现存问题：决策变量Q目标函数取极值
极值存必条件：
〔1〕
式解 〔2〕
极值充分条件：
批量时总费值：
（3）
求优批量总费般表达式〔2〕〔3〕
表达式〔2〕库存理中称济订购量〞济批量〞公式简称EOQ〞公式
注意〔1〕式：〔极值存必条件〕写作：
〔4〕
〔4〕式左端正式方案期库存费右端方案期生产准备费订购费致需求成批货许短缺〞库存模型结：
库存费生产准备费〔订购费〕相等批量济批量
样述库存问题直接公式〔4〕济批量
例1 某厂生产摄影机年产量1000台台钱800元季度台摄影机库存费钱5％工厂分批生产批生产准备费5000元市场产品致需求许缺货产品整批存入仓库试确定济批量年存货总费
解 题设知D＝1000台C2＝5000元年台库存费
C1＝800×5×4＝160〔元〕
存货总费E批生产台数Q函数关系：
〔2〕式济批量
年存货总费
图 2
E E1 + E2
100
200
300
400
250
Q〔台〕
O
2
4
6
8
E〔万元〕
图2知库存费曲线生产准备费曲线：
交点横坐标济批量坐标刚存货总费半
（二） 陆续货允许短缺模型
陆续货批投产次订购数量Q整批货立补足库存库存零时起时间t1全部货
需补充假设
P：单位时间货量货率
u：单位时间需求量需求率
显然假设P>u单位时间净增加存货Pu时刻t1终库存出现顶点时库存量t1（Pu）
历时间t1货总量Q库存量
种库存模型库存水变动情况图3示
T〔时间〕
图3
Q〔库存水〕
O
t
t
t
t1（Pu）
均库存水
t1
t1
t1
样方案期均库存量应库存量半库存费
问题中生产准备费订购费成批货许短缺〞库存模型样存货总费E批数量Q函数关系目标函数
决策变量Q极值必条件充分条件容易算济批量
时库存总费值
优批量Q*表达式〔6〕式：
例2 例1产品陆续存入仓库月货200台试确定济批量正确费
解 条件：
〔5〕〔6〕〔7〕济批量3273台时正确费30550元
（三） 成批货允许短缺模型
前面讨两库存模型允许缺货允许缺货指缺货时未满足需求批货物货时予满足缺货时需求直接输出库存情况模型果缺货带损失会暂时缺货失销售时机缺货现象允许存
允许缺货情况库存水变动情况见图4图中t存贮循环延续时间前批货库存量减少0时间t1库存0批货物达时间t2
Q〔库存水〕
批量Q
O
t2
t
t
高库存水
T〔时间〕
图4
t2
t1
t1
B
Q－B
里尚需补充假设
B：库存补充前允许缺货量
C3：方案期缺件产品损失费
需注意批投产次订购数量Q包括允许缺货量B
库存模型中生产准备费订购费前面模型相：
库存费：货时间t1占存贮循环时间率时机期货时间占率货时库存量QB均库存量图4中 相似三角形易知
方案期库存费
缺货费：缺货时间t2占存贮循环时间率方案期缺货总时间占例缺货量B均缺货量图4相似三角形知方案期缺货量
综方案期库存总费
写作
该问题目标函数
现问题决策两变量QB目标函数取极值
根〔8’〕式二元函数极值存必条件
解该方程组
验证极值存充分条件满足：
代入〔8〕式存货总费值：
拟〔9〕式〔3〕式果缺件产品损失费C3穷〔9〕式〔3〕式说明：允许缺货视缺货损失穷情况式〔10〕式知恰缺货量B*0
例3 某厂年劳动日300天生产率〔单位时间产量〕固定年组装机床1500台假设组装台机床零部件价值14400元年保费价值22％缺零部件停工少装台机床损失费零部件价值50％次订购零部件手续费7500元年存货总费试种情况决策优批量允许缺货量〔果允许缺货话〕计算正确费：
〔1〕次订购数量少立货允许停工料
〔2〕假设订货天货30台机床零部件允许停工料
〔3〕次订货少立货允许停工料缺料时未完成务货占劳动日完成
解 题设知
〔1〕成批货许缺货情况目标函数：
〔2〕式优批量8427取Q*84台目标函数正确费E*＝266985元
〔2〕陆续货许短缺情况目标函数
〔6〕式优批量923取Q*92台正确费E*＝243723元
面拟成批货陆续货两种情况：
成批货
陆续货
优批量
库存水
年订购次数
年总费
Q84
Q84
N18（实1785）
E266985
Q92
Q77
N17（实163）
E243723
显然陆续货总费减少年订购次数减少均库存量减少
〔3〕成批货允许短缺情况目标函数
〔9〕式〔10〕式分优批量缺货量：
知允许停工料情况取正确费E＝222487元种情况第种情况节省存货总费
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高等数学知识济学中应举例
复利贴现问题 2
复利公式 2
实利率虚利率 3
数e济解释 4
贴现问题 4
增长率 4
级数应举例 5
银行通存款放款创造〞货币问题 5
投资费 6
库存问题 8
〔〕 成批货允许短缺库存模型 8
〔二〕 陆续货允许短缺模型 11
〔三〕 成批货允许短缺模型 13
现代化生产开展需济学中定量分析长足进步数学分支数学分析线性代数概率统计微分方程等等已进入济学出现数理统计学济计量学济控制等新分支新分支通常成数量济学数量济学目探索客观济程数量规律便知道客观济实践应数量济学研究客观济现象关键考察象描述成够数学方法解答数学济模型里简单介绍元微积分元微积分济中简单应
复利贴现问题
复利公式
货币者〔债权〕贷出货币款〔债务〕手中报酬称利息利息期〞单位时间〔般年月期〕进行结算期利息总额贷款额〔称金〕成利息率简称利率通常利率百分数表示
果贷款全部期限煤气结算利息初始金规定利率计算种计息方法单利结算利息时果前期利息前期末入前期原金期计算利息新金谓复利通俗说法利滚利〞
面推出福利计息方法复利公式
现金A0年利率rp假设复利计息t年末A0增值At试计算At
假设年期计算利息：
年末利A1A0〔1+r〕
二年末利A2A0〔1+r〕+A0〔1+r〕r A0〔1+r〕2
类推t年末利At A0〔1+r〕t 〔1〕
假设年均分成m期计算利息时期利率认容易推
〔2〕
公式〔1〕〔2〕离散情况——计息期〞确定时间间隔计息次数限——推计算At复利公式
假设计息期〞时间间隔限缩短计息次数时
假设连续复利计算利息复利公式
例1 A0＝100元r8t＝1
年计息1期
年计息2期
年计息4期
年计息12期
年计息100期
连续复利计息
实利率虚利率
例1知年利率相年计息期数时年利息年利率8％年计息1期确实8％计算利息年计息2期实际利息816％计算结果年计息4期实际利息8243％计算年计息12期实际83％计算年计息100次实际利息8325计算利息
样年期复利称年利率8％虚利率名义利率实际计算利息利率称实利率816％年复利2期实利率83％年复利12期实利率8329％年连续复利实利率
记r名义年利率rm年计息m期实利率金A0名义利率年计息m期年末增值A0〔1+〕m实利率计息年末增值A0〔1+rm〕
1+rm＝〔1+〕m离散情况实利率虚利率间关系式
假设记rm连续复利实利率
实利率虚利率间关系
数e济解释
设年利率100连续复利计息元金年末利
说名义利率100连续复利计息元金年末增长e元作数e济解释
实利率约172％
贴现问题
已知道初时金A0年利率rt年末利At年期复利公式年均分m期复利公式 连续复利公式
假设称A0现At未值现值求未值复利问题相反假设未值At求现值A0称贴现问题时利率r称贴现率
复利公式容易推：
离散贴现公式
连续贴现公式
例2 设年利率65％连续复利计算现投资少元16年末1200元
里贴现率r65％未值At1200t16现值
增长率
设变量y时间t函数y f （t）值
函数f （t）时间区间相改变量果f （t）微定义极限
函数f （t）时间点t瞬时增长率
指数函数言该函数时间点t常数率r增长
样关系式 〔*〕
仅作复利公式济学中广泛应企业资金投资国民收入口劳动力等变量时间t函数假设变量较长时间常数率增长〔*〕式描述指数函数中r〞济学中般解释意时刻点t增长率
果函数中r取负值时认瞬时增长率负增长时称r衰减率贴现问题负增长
例3 某国现劳动力两千万预计50年劳动力年增长2问预计2056年少劳动力
未值A02000r002t5050年劳动力
例4 某机械设备折旧率年5％问连续折旧少年价值原价值半
假设原价值A0t年价值里r005假设取易算出t1386〔年〕约1386年机械设备价值原价值半
级数应举例
银行通存款放款创造〞货币问题
商业银行吸收存款必须法定率保存规定数额法定准备金余局部作放款笔贷款企业作活期存款存入家银行银行率保存法定准备金余局部作放款继续银行通存款放款创造〞货币
设R表示初存款D表示存款总额〔初存款创造〞货币总额〕r表示法定准备金占存款例r<1n趋穷时
假设记
称货币创造数显然假设初存款定法定准备率r越低银行存款放款总额越
等级数问题
例 设初存款1000万元法定准备率20求银行存款总额贷款总额
里R1000r02存款总额D1级数
1000+1000（102）+1000（102）2+…
决定
贷款总额D2级数
1000（102）+1000（102）2+…
决定显然
D24000〔万元〕
投资费
里投资费指隔定时期重复次系列效劳购进设备需费现值次费化现值拟间隔时间效劳工程具寿命设备
设初期投资p年利率rt年重复次投资样第次更新费现值第二次更新费现值类推投资费D等级数：
例建造座钢桥费380000元隔10年需油漆次次费40000元桥期寿命40年建造座木桥费200000元隔2年需油漆次次费20000元期寿命15年假设年利率10问建造种桥较济？
钢桥费包括两局部：建桥系列费油漆系列费
建钢桥p380000r01t40建桥费
查表知
样油漆钢桥费
建钢桥总费现值
类似建木桥费
油漆木桥费
建木桥总费现值
计算知建木桥利
现假设价格年百分率i涨价年利率r假设某种效劳工程现费p0时t年费
现值 说明通货膨胀情况计算总费D等级数
例述建桥问题中假设年物价涨7试重新考虑建木桥建钢桥济？
里r01i007ri003
时钢桥建桥费油漆费分
建钢桥总费现值
DD1+D2698100〔元〕
木桥建桥费油漆费分
建钢桥总费现值
DD3+D4895550〔元〕
根计算年通货膨胀7情况建钢桥济
库存问题
库存存贮生产系统商业系统系统中重问题需求库存输出供满足库存输入维持补充库存起调节供需求生产销售间协调作
问题库存数量少时适宜控制存货数量目存货总费降低里假设存货总费包括三方面费：
1 生产准备费订购费：工厂生产产品成批投产次投产支付生产准备费商店外订货次订货支付订购费假设次投产准备费次订购费投产订货数量关
2 货物库存费：货物存放仓库保费假设某时间单位产品库存费变
3 缺货损失费：时满足需求带损失
外假设需求连续均匀单位时间需求常数方案期需求总量简言需求致确定性库存模型
讨模型：
1) 成批货允许短缺库存模型
2) 陆续货允许短缺库存模型
3) 成批货允许短缺库存模型
（） 成批货允许短缺库存模型
谓成批货允许短缺批产品次订购货物整批存入仓库仓库均匀提取〔需求致〕投放市场前批库存提取完批货物立补足种理想情况库存水变动情况图1示：库存量高水逐渐〔线性〕减少0时库存水立达高水循环前程样方案期 均库存量认高库存量半图中t表示存贮循环延续时间
Q〔库存水〕
批数量
O
t
t
t
高库存水
均库存水
T〔时间〕
图1
方案期需求量固定方案期果批投产次订购数量然库存量然库存量库存费时投产订购数少生产准备费订购费少果批投产次订购量少库存费减少投产订购次数然生产准备费订购费增两种费少矛盾情况问题确定批投产次订购数量选择批量两项费
假设
D：方案期需求数量生产订货总量
C1：方案期件产品付库存费
C2：批生产准备费次订购费
Q：批投产次订货数量批量
E：方案期存货总费生产准备费订购费库存费
样方案期始终图1分析库存数量应认库存量恰批量半库存费生产次数订购次数批数应生产准备费订购费存货总费E批数量Q函数关系
现存问题：决策变量Q目标函数取极值
极值存必条件：
〔1〕
式解 〔2〕
极值充分条件：
批量时总费值：
（3）
求优批量总费般表达式〔2〕〔3〕
表达式〔2〕库存理中称济订购量〞济批量〞公式简称EOQ〞公式
注意〔1〕式：〔极值存必条件〕写作：
〔4〕
〔4〕式左端正式方案期库存费右端方案期生产准备费订购费致需求成批货许短缺〞库存模型结：
库存费生产准备费〔订购费〕相等批量济批量
样述库存问题直接公式〔4〕济批量
例1 某厂生产摄影机年产量1000台台钱800元季度台摄影机库存费钱5％工厂分批生产批生产准备费5000元市场产品致需求许缺货产品整批存入仓库试确定济批量年存货总费
解 题设知D＝1000台C2＝5000元年台库存费
C1＝800×5×4＝160〔元〕
存货总费E批生产台数Q函数关系：
〔2〕式济批量
年存货总费
图 2
E E1 + E2
100
200
300
400
250
Q〔台〕
O
2
4
6
8
E〔万元〕
图2知库存费曲线生产准备费曲线：
交点横坐标济批量坐标刚存货总费半
（二） 陆续货允许短缺模型
陆续货批投产次订购数量Q整批货立补足库存库存零时起时间t1全部货
需补充假设
P：单位时间货量货率
u：单位时间需求量需求率
显然假设P>u单位时间净增加存货Pu时刻t1终库存出现顶点时库存量t1（Pu）
历时间t1货总量Q库存量
种库存模型库存水变动情况图3示
T〔时间〕
图3
Q〔库存水〕
O
t
t
t
t1（Pu）
均库存水
t1
t1
t1
样方案期均库存量应库存量半库存费
问题中生产准备费订购费成批货许短缺〞库存模型样存货总费E批数量Q函数关系目标函数
决策变量Q极值必条件充分条件容易算济批量
时库存总费值
优批量Q*表达式〔6〕式：
例2 例1产品陆续存入仓库月货200台试确定济批量正确费
解 条件：
〔5〕〔6〕〔7〕济批量3273台时正确费30550元
（三） 成批货允许短缺模型
前面讨两库存模型允许缺货允许缺货指缺货时未满足需求批货物货时予满足缺货时需求直接输出库存情况模型果缺货带损失会暂时缺货失销售时机缺货现象允许存
允许缺货情况库存水变动情况见图4图中t存贮循环延续时间前批货库存量减少0时间t1库存0批货物达时间t2
Q〔库存水〕
批量Q
O
t2
t
t
高库存水
T〔时间〕
图4
t2
t1
t1
B
Q－B
里尚需补充假设
B：库存补充前允许缺货量
C3：方案期缺件产品损失费
需注意批投产次订购数量Q包括允许缺货量B
库存模型中生产准备费订购费前面模型相：
库存费：货时间t1占存贮循环时间率时机期货时间占率货时库存量QB均库存量图4中 相似三角形易知
方案期库存费
缺货费：缺货时间t2占存贮循环时间率方案期缺货总时间占例缺货量B均缺货量图4相似三角形知方案期缺货量
综方案期库存总费
写作
该问题目标函数
现问题决策两变量QB目标函数取极值
根〔8’〕式二元函数极值存必条件
解该方程组
验证极值存充分条件满足：
代入〔8〕式存货总费值：
拟〔9〕式〔3〕式果缺件产品损失费C3穷〔9〕式〔3〕式说明：允许缺货视缺货损失穷情况式〔10〕式知恰缺货量B*0
例3 某厂年劳动日300天生产率〔单位时间产量〕固定年组装机床1500台假设组装台机床零部件价值14400元年保费价值22％缺零部件停工少装台机床损失费零部件价值50％次订购零部件手续费7500元年存货总费试种情况决策优批量允许缺货量〔果允许缺货话〕计算正确费：
〔1〕次订购数量少立货允许停工料
〔2〕假设订货天货30台机床零部件允许停工料
〔3〕次订货少立货允许停工料缺料时未完成务货占劳动日完成
解 题设知
〔1〕成批货许缺货情况目标函数：
〔2〕式优批量8427取Q*84台目标函数正确费E*＝266985元
〔2〕陆续货许短缺情况目标函数
〔6〕式优批量923取Q*92台正确费E*＝243723元
面拟成批货陆续货两种情况：
成批货
陆续货
优批量
库存水
年订购次数
年总费
Q84
Q84
N18（实1785）
E266985
Q92
Q77
N17（实163）
E243723
显然陆续货总费减少年订购次数减少均库存量减少
〔3〕成批货允许短缺情况目标函数
〔9〕式〔10〕式分优批量缺货量：
知允许停工料情况取正确费E＝222487元种情况第种情况节省存货总费
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