2010年全国统高考数学试卷（理科）（新课标）
选择题（12题题5分满分60分）
1．（5分）已知集合A{x∈R||x|≤2}}A∩B（ ）
A．（02） B．[02] C．{02} D．{012}
2．（5分）已知复数z轭复数（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（5分）曲线y点（﹣1﹣1）处切线方程（ ）
A．y2x+1 B．y2x﹣1 C．y﹣2x﹣3 D．y﹣2x﹣2
4．（5分）图质点P半径2圆周逆时针运动初始位置P0（﹣）角速度1点Px轴距离d关时间t函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知命题p1：函数y2x﹣2﹣xR增函数p2：函数y2x+2﹣xR减函数命题q1：p1∨p2q2：p1∧p2q3：（￢p1）∨p2q4：p1∧（￢p2）中真命题（ ）
A．q1q3 B．q2q3 C．q1q4 D．q2q4
6．（5分）某种种子粒发芽概率09现播种1000粒没发芽种子粒需补种2粒补种种子数记XX数学期（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
7．（5分）果执行图框图输入N5输出数等（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）{x|f（x﹣2）＞0}（ ）
A．{x|x＜﹣2x＞4} B．{x|x＜0x＞4}
C．{x|x＜0x＞6} D．{x|x＜﹣2x＞2}
9．（5分）α第三象限角（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
10．（5分）设三棱柱侧棱垂直底面棱长a顶点球面该球表面积（ ）
A．πa2 B． C． D．5πa2
11．（5分）已知函数abc互相等f（a）f（b）f（c）abc取值范围（ ）
A．（110） B．（56） C．（1012） D．（2024）
12．（5分）已知双曲线E中心原点P（30）E焦点P直线lE相交AB两点AB中点N（﹣12﹣15）E方程式（ ）
A． B． C． D．
二填空题（4题题5分满分20分）
13．（5分）设yf（x）区间[01]连续函数恒0≤f（x）≤1机模拟方法似计算积分先产生两组（组N）区间[01]均匀机数x1x2…xNy1y2…yNN点（xiyi）（i12…N）数出中满足yi≤f（xi）（i12…N）点数N1机模拟方案积分似值 ．
14．（5分）正视图三角形体 （写出三种）
15．（5分）点A（41）圆C直线x﹣y1相切点B（21）圆C方程 ．
16．（5分）△ABC中D边BC点BDDC∠ADB120°AD2△ADC面积∠BAC ．
三解答题（8题满分90分）
17．（12分）设数列满足a12an+1﹣an3•22n﹣1
（1）求数列{an}通项公式
（2）令bnnan求数列{bn}前n项Sn．
18．（12分）图已知四棱锥P﹣ABCD底面等腰梯形AB∥CDAC⊥BD垂足HPH四棱锥高EAD中点
（Ⅰ）证明：PE⊥BC
（Ⅱ）∠APB∠ADB60°求直线PA面PEH成角正弦值．
19．（12分）调查某区老年否需志愿者提供帮助简单机抽样方法该区调查500位老年结果表：
性
否需志愿者
男
女
需
40
30
需
160
270
（1）估计该区老年中需志愿者提供帮助例
（2）否99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关？
（3）根（2）结否提出更调查方法估计该区老年中需志愿者提供帮助老年例？说明理．
P（K2≥k）
0050
0010
0001
3841
6635
10828
附：K2．
20．（12分）设F1F2分椭圆左右焦点F1斜率1直线ℓE相交AB两点|AF2||AB||BF2|成等差数列．
（1）求E离心率
（2）设点P（0﹣1）满足|PA||PB|求E方程．
21．（12分）设函数f（x）ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）a0求f（x）单调区间
（2）x≥0时f（x）≥0求a取值范围．
22．（10分）图：已知圆弧C点圆切线BA延长线交E点证明：
（Ⅰ）∠ACE∠BCD．
（Ⅱ）BC2BE•CD．
23．（10分）已知直线C1（t参数）C2（θ参数）
（Ⅰ）α时求C1C2交点坐标
（Ⅱ）坐标原点O做C1垂线垂足APOA中点α变化时求P点轨迹参数方程指出什曲线．
24．（10分）设函数f（x）|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数yf（x）图象：
（Ⅱ）等式f（x）≤ax解集非空求a取值范围．
2010年全国统高考数学试卷（理科）（新课标）
参考答案试题解析
选择题（12题题5分满分60分）
1．（5分）已知集合A{x∈R||x|≤2}}A∩B（ ）
A．（02） B．[02] C．{02} D．{012}
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11：计算题．
分析先化简集合AB注意集合B中元素整数根两集合交集意义求解．
解答解：A{x∈R||x|≤2}{x∈R|﹣2≤x≤2}
A∩B{012}．
应选D．
点评题考查集合间交集运算集合表示方法涉绝值等式幂函数等知识属基础题．
2．（5分）已知复数z轭复数（ ）
A． B． C．1 D．2
考点A5：复数运算．菁优网版权
分析先求|z|求值．
解答解：．
解：
选：A．
点评命题意图：题考查复数运算涉复数轭复数知识利复数运算性质简化运算．
3．（5分）曲线y点（﹣1﹣1）处切线方程（ ）
A．y2x+1 B．y2x﹣1 C．y﹣2x﹣3 D．y﹣2x﹣2
考点6H：利导数研究曲线某点切线方程．菁优网版权
专题1：常规题型11：计算题．
分析欲求点（﹣1﹣1）处切线方程须求出斜率值先利导数求出x﹣1处导函数值结合导数意义求出切线斜率．问题解决．
解答解：∵y
∴y′
ky′|x﹣12切线斜率2k2
曲线yf（x）点（﹣1﹣1）处切线方程：
y+12×（x+1）y2x+1．
选：A．
点评题考查直线斜率导数意义利导数研究曲线某点切线方程等基础知识考查运算求解力．属基础题．
4．（5分）图质点P半径2圆周逆时针运动初始位置P0（﹣）角速度1点Px轴距离d关时间t函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
考点3A：函数图象图象变换．菁优网版权
分析题求解利排法根某具体时刻点P位置x轴距离确定答案．
解答解：通分析知t0时点Px轴距离d排答案AD
根时知点Px轴时点Px轴距离d0排答案B
选：C．
点评题考查函数图象排法应数形结合思想属基础题．
5．（5分）已知命题p1：函数y2x﹣2﹣xR增函数p2：函数y2x+2﹣xR减函数命题q1：p1∨p2q2：p1∧p2q3：（￢p1）∨p2q4：p1∧（￢p2）中真命题（ ）
A．q1q3 B．q2q3 C．q1q4 D．q2q4
考点2E：复合命题真假4Q：指数函数数函数关系．菁优网版权
专题5L：简易逻辑．
分析先判断命题p1真命题P2假命题p1∨p2真命题（﹣p2）真命题p1∧（﹣p2）真命题．
解答解：易知p1真命题p2：y′2xln2﹣ln2ln2（）
x∈[0+∞）时ln2＞0y′≥0函数单调递增
理x∈（﹣∞0）时函数单调递减p2假命题．
知q1真q2假q3假q4真．
选：C．
点评p1P2真命题时p1∧p2真命题．p1p2中少真命题p1∨p2真命题．
6．（5分）某种种子粒发芽概率09现播种1000粒没发芽种子粒需补种2粒补种种子数记XX数学期（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
考点CH：离散型机变量期方差CN：二项分布n次独立重复试验模型．菁优网版权
专题11：计算题12：应题．
分析首先分析题目已知某种种子粒发芽概率09现播种1000粒发芽率01没发芽种子数ξ服二项分布ξ～B（100001）．没发芽补种2补种种子数记X2ξ根二项分布期公式求出结果．
解答解：题意知播种1000粒没发芽种子数ξ服二项分布ξ～B（100001）．
粒需补种2粒补种种子数记X
X2ξEX2Eξ2×1000×01200．
选：B．
点评题考查二项分布期机变量性质考查解决应问题力．属基础性题目．
7．（5分）果执行图框图输入N5输出数等（ ）
A． B． C． D．
考点EF：程序框图．菁优网版权
专题28：操作型．
分析分析程序中变量语句作根流程图示序知：该程序作累加输出S值．
解答解：分析程序中变量语句作
根流程图示序知：
该程序作累加输出S值．
∵S1﹣
选：D．
点评根流程图（伪代码）写程序运行结果算法模块重题型处理方法：：①分析流程图（伪代码）流程图（伪代码）中分析出计算类型分析出参计算数（果参运算数较表格数进行分析理）⇒②建立数学模型根第步分析结果选择恰数学模型③解模．
8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）{x|f（x﹣2）＞0}（ ）
A．{x|x＜﹣2x＞4} B．{x|x＜0x＞4} C．{x|x＜0x＞6} D．{x|x＜﹣2x＞2}
考点3K：函数奇偶性性质判断．菁优网版权
专题11：计算题．
分析偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）f（x）f（|x|）2|x|﹣4根偶函数性质函数转化绝值函数求解等式答案．
解答解：偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）f（x）f（|x|）2|x|﹣4
f（x﹣2）f（|x﹣2|）2|x﹣2|﹣4f（|x﹣2|）＞0需2|x﹣2|﹣4＞0|x﹣2|＞2
解x＞4x＜0．
应选：B．
点评题考查偶函数性质等式解法相应运算力解答题关键利偶函数性质函数转化绝值函数简化计算．
9．（5分）α第三象限角（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
考点GF：三角函数恒等变换化简求值GW：半角三角函数．菁优网版权
专题11：计算题．
分析欲求式中正切化成正余弦注意条件中角α求式中角差注意消间．
解答解：α第三象限角
∴
应选A．
点评题考查三角恒等变换中倍角公式灵活运角三角函数关系等知识相应运算力．
10．（5分）设三棱柱侧棱垂直底面棱长a顶点球面该球表面积（ ）
A．πa2 B． C． D．5πa2
考点LR：球接面体．菁优网版权
专题11：计算题．
分析题意知底面中心连线中点球心求出球半径求出球表面积．
解答解：根题意条件知三棱柱棱长a正三棱柱底面中心连线中点球心外接球半径
球表面积
选：B．
点评题考查空间体中位置关系球正棱柱性质相应运算力空间形象力．
11．（5分）已知函数abc互相等f（a）f（b）f（c）abc取值范围（ ）
A．（110） B．（56） C．（1012） D．（2024）
考点3A：函数图象图象变换3B：分段函数解析式求法图象作法4H：数运算性质4N：数函数图象性质．菁优网版权
专题13：作图题16：压轴题31：数形结合．
分析画出函数图象根f（a）f（b）f（c）妨a＜b＜c求出abc范围．
解答解：作出函数f（x）图象图
妨设a＜b＜c
ab1
abcc∈（1012）．
选：C．
点评题考查分段函数数运算性质利数形结合解决问题力．
12．（5分）已知双曲线E中心原点P（30）E焦点P直线lE相交AB两点AB中点N（﹣12﹣15）E方程式（ ）
A． B． C． D．
考点KB：双曲线标准方程KH：直线圆锥曲线综合．菁优网版权
专题11：计算题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析已知条件易直线l斜率1设双曲线方程AB点坐标代入方程联立相减x1+x2﹣24根求ab关系根c3求ab进答案．
解答解：已知条件易直线l斜率kkPN1
设双曲线方程
A（x1y1）B（x2y2）
两式相减结合x1+x2﹣24y1+y2﹣30
k1
4b25a2
a2+b29
解a24b25
选：B．
点评题考查双曲线标准方程．考查学生综合分析问题解决问题力．
二填空题（4题题5分满分20分）
13．（5分）设yf（x）区间[01]连续函数恒0≤f（x）≤1机模拟方法似计算积分先产生两组（组N）区间[01]均匀机数x1x2…xNy1y2…yNN点（xiyi）（i12…N）数出中满足yi≤f（xi）（i12…N）点数N1机模拟方案积分似值 ．
考点69：定积分应CE：模拟方法估计概率CF：概型．菁优网版权
专题11：计算题．
分析求∫f（x）dx似值利概型求概率结合点数．
解答解：题意知
积分似值．
答案：．
点评题考查概型模拟估计定积分值定积分面积中简单应属基础题．
14．（5分）正视图三角形体 三棱锥三棱柱圆锥（正确答案样分） （写出三种）
考点L7：简单空间图形三视图．菁优网版权
专题21：阅读型．
分析三棱锥侧面正视图条线段情形圆锥四棱锥两侧面正视图线段情形回答题．
解答解：正视图三角形体三棱锥三棱柱（放倒情形）圆锥四棱锥等等．
答案：三棱锥圆锥三棱柱．
点评题考查三视图常见空间体三视图考查空间想象力．
15．（5分）点A（41）圆C直线x﹣y1相切点B（21）圆C方程 （x﹣3）2+y22 ．
考点J1：圆标准方程J9：直线圆位置关系．菁优网版权
专题16：压轴题．
分析设圆标准方程点A（41）B两点坐标适合方程圆直线相切圆心直线距离等半径求圆方程．
解答解：设圆方程（x﹣a）2+（y﹣b）2r2
（4﹣a）2+（1﹣b）2r2（2﹣a）2+（1﹣b）2r2﹣1
解a3b0r求圆方程（x﹣3）2+y22．
答案：（x﹣3）2+y22．
点评命题意图：题考查利题意条件求解圆方程通常助定系数法求解．
16．（5分）△ABC中D边BC点BDDC∠ADB120°AD2△ADC面积∠BAC 60° ．
考点HR：余弦定理．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析先根三角形面积公式利△ADC面积求DC进根三角形ABC面积求BDBC进根余弦定理求AB．三角形ABC中利余弦定理求cos∠BAC求∠BAC值．
解答解：△ADC面积
解．
AB2AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°
．
∠BAC60°．
点评题考查解三角形中边角关系面积等基础知识技分析问题解决问题力相应运算力．
三解答题（8题满分90分）
17．（12分）设数列满足a12an+1﹣an3•22n﹣1
（1）求数列{an}通项公式
（2）令bnnan求数列{bn}前n项Sn．
考点8E：数列求8H：数列递推式．菁优网版权
专题11：计算题．
分析（Ⅰ）题意an+1[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a13（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+222（n+1）﹣1．知数列{an}通项公式an22n﹣1．
（Ⅱ）bnnann•22n﹣1知Sn1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1入手知答案．
解答解：（Ⅰ）已知n≥1时an+1[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1
3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+23×+222（n+1）﹣1．
a12
数列{an}通项公式an22n﹣1．
（Ⅱ）bnnann•22n﹣1知Sn1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①
22Sn1•23+2•25+…+n•22n+1②
①﹣②（1﹣22）•Sn2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．
．
点评题考查数列累加法（叠加法）求数列通项错位相减法求数列等知识相应运算力．
18．（12分）图已知四棱锥P﹣ABCD底面等腰梯形AB∥CDAC⊥BD垂足HPH四棱锥高EAD中点
（Ⅰ）证明：PE⊥BC
（Ⅱ）∠APB∠ADB60°求直线PA面PEH成角正弦值．
考点MA：量数量积判断量线垂直MI：直线面成角．菁优网版权
专题11：计算题13：作图题14：证明题35：转化思想．
分析H原点HAHBHP分xyz轴线段HA长单位长建立空间直角坐标系．
（1）表示计算证明PE⊥BC．
（2）∠APB∠ADB60°求出CP坐标求面PEH法量
求量然求面PEH法量数量积求直线PA面PEH成角正弦值．
解答解：H原点HAHBHP分xyz轴线段HA长单位长
建立空间直角坐标系图A（100）B（010）
（Ⅰ）设C（m00）P（00n）（m＜0n＞0）
．
．
PE⊥BC．
（Ⅱ）已知条件mn1C（﹣）
设（xyz）面PEH法量
取
直线PA面PEH成角正弦值．
点评题考查空间体中位置关系线面成角等知识考查空间想象力利量法研究空间位置关系线面角问题力．
19．（12分）调查某区老年否需志愿者提供帮助简单机抽样方法该区调查500位老年结果表：
性
否需志愿者
男
女
需
40
30
需
160
270
（1）估计该区老年中需志愿者提供帮助例
（2）否99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关？
（3）根（2）结否提出更调查方法估计该区老年中需志愿者提供帮助老年例？说明理．
P（K2≥k）
0050
0010
0001
3841
6635
10828
附：K2．
考点BL：独立性检验．菁优网版权
专题11：计算题5I：概率统计．
分析（1）样频率率估计总体概率
（2）求K2观测值查表结
（3）99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关性分层抽样．
解答解：（1）调查500位老年中70位需志愿者提供帮助该区老年中需帮助老年例估计值
（2）K2观测值
9967＞6635P（K2≥6635）001
99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关．
（3）根（2）结知该区老年否需志愿者提供帮助性关样数够出该区男性老年女性老年中需帮助例明显差异调查时先确定该区老年中男女例老年分成男女两层采取分层抽样方法简单机抽样方法更．
点评题考查抽样目独立性检验方法抽样方法选取属基础题．
20．（12分）设F1F2分椭圆左右焦点F1斜率1直线ℓE相交AB两点|AF2||AB||BF2|成等差数列．
（1）求E离心率
（2）设点P（0﹣1）满足|PA||PB|求E方程．
考点83：等差数列性质K3：椭圆标准方程K4：椭圆性质KH：直线圆锥曲线综合．菁优网版权
专题11：计算题．
分析（I）根椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|4a进根|AF2||AB||BF2|成等差数表示出|AB|进知直线l方程设A（x1y1）B（x2y2）代入直线椭圆方程联立消y根韦达定理表示出x1+x2x1x2进根求ab关系进求ac关系离心率．
（II）设AB中点N（x0y0）根（1）分表示出x0y0根|PA||PB|推知直线PN斜率根求c进求ab椭圆方程．
解答解：（I）椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|4a2|AB||AF2|+|BF2|
l方程yx+c中．
设A（x1y1）B（x2y2）AB两点坐标满足方程组
化简（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）0
直线AB斜率1|AB||x1﹣x2|
a22b2
E离心率
（II）设AB中点N（x0y0）（I）知．
|PA||PB|kPN﹣1
c3
椭圆E方程．
点评题考查圆锥曲线中椭圆性质直线椭圆位置关系涉等差数列知识考查利方程思想解决问题力运算力
21．（12分）设函数f（x）ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）a0求f（x）单调区间
（2）x≥0时f（x）≥0求a取值范围．
考点6B：利导数研究函数单调性．菁优网版权
专题32：分类讨．
分析（1）先函数f（x）求导导函数0时原函数单调递增导函数0时原函数单调递减．
（2）根ex≥1+x等式f′（x）≥x﹣2ax（1﹣2a）x知1﹣2a≥0时f′（x）≥0判断出函数f（x）单调性答案．
解答解：（1）a0时f（x）ex﹣1﹣xf′（x）ex﹣1．
x∈（﹣∞0）时f＇（x）＜0x∈（0+∞）时f＇（x）＞0．
f（x）（﹣∞0）单调减少（0+∞）单调增加
（II）f′（x）ex﹣1﹣2ax
（I）知ex≥1+x仅x0时等号成立．f′（x）≥x﹣2ax（1﹣2a）x
1﹣2a≥0时f′（x）≥0（x≥0）f（0）0
x≥0时f（x）≥0．
ex＞1+x（x≠0）e﹣x＞1﹣x（x≠0）．
时f′（x）＜ex﹣1+2a（e﹣x﹣1）e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a）
x∈（0ln2a）时f＇（x）＜0f（0）0x∈（0ln2a）时f（x）＜0．
综合a取值范围．
点评题考查利导数研究函数性质等式恒成立问题参数取值范围问题考查分类讨转化划解题思想相应运算力．
22．（10分）图：已知圆弧C点圆切线BA延长线交E点证明：
（Ⅰ）∠ACE∠BCD．
（Ⅱ）BC2BE•CD．
考点N9：圆切线判定定理证明NB：弦切角．菁优网版权
专题14：证明题．
分析（I）先根题中条件：∠BCD∠ABC．根EC圆切线∠ACE∠ABC出结．
（II）欲证BC2BE x CD．证．须证明△BDC～△ECB．
解答解：（Ⅰ）
∠BCD∠ABC．
EC圆相切点C
∠ACE∠ABC
∠ACE∠BCD．（5分）
（Ⅱ）∠ECB∠CDB∠EBC∠BCD
△BDC～△ECB
．
BC2BE×CD．（10分）
点评题考查圆切线判定定理证明弦切角应三角形相似等基础知识考查运化转化思想．属基础题．
23．（10分）已知直线C1（t参数）C2（θ参数）
（Ⅰ）α时求C1C2交点坐标
（Ⅱ）坐标原点O做C1垂线垂足APOA中点α变化时求P点轨迹参数方程指出什曲线．
考点J3：轨迹方程JE：直线圆方程应Q4：简单曲线极坐标方程QJ：直线参数方程QK：圆参数方程．菁优网版权
专题15：综合题16：压轴题．
分析（I）先消参数曲线C1C2参数方程化成普通方程联立方程组求出交点坐标
（II）设P（xy）利中点坐标公式P点轨迹参数方程消参数普通方程普通方程出什类型曲线．
解答解：（Ⅰ）α时C1普通方程C2普通方程x2+y21．
联立方程组
解C1C2交点（10）．
（Ⅱ）C1普通方程xsinα﹣ycosα﹣sinα0①．
OA方程xcosα+ysinα0②
联立①②xsin2αy﹣cosαsinα
A点坐标（sin2α﹣cosαsinα）
α变化时P点轨迹参数方程：
P点轨迹普通方程．
P点轨迹圆心半径圆．
点评题考查直线圆参数方程参数方程普通方程互化利参数方程研究轨迹问题力．
24．（10分）设函数f（x）|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数yf（x）图象：
（Ⅱ）等式f（x）≤ax解集非空求a取值范围．
考点3A：函数图象图象变换7E：等式解法R5：绝值等式解法．菁优网版权
专题11：计算题13：作图题16：压轴题．
分析（I）先讨x范围函数f（x）写成分段函数然根分段函数分段画出函数图象
（II）根函数yf（x）函数yax图象知先寻找满足f（x）≤ax零界情况求出a范围．
解答解：（Ⅰ）f（x）
函数yf（x）图象图示．
（Ⅱ）函数yf（x）函数yax图象知极值点（21）
仅a＜﹣2a≥时函数yf（x）函数yax图象交点．
等式f（x）≤ax解集非空时
a取值范围（﹣∞﹣2）∪[+∞）．
点评题考查函数图象利函数图象解等式时考查数形结合数学思想属基础题．
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选择题（12题题5分满分60分）
1．（5分）已知集合A{x∈R||x|≤2}}A∩B（ ）
A．（02） B．[02] C．{02} D．{012}
2．（5分）已知复数z轭复数（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（5分）曲线y点（﹣1﹣1）处切线方程（ ）
A．y2x+1 B．y2x﹣1 C．y﹣2x﹣3 D．y﹣2x﹣2
4．（5分）图质点P半径2圆周逆时针运动初始位置P0（﹣）角速度1点Px轴距离d关时间t函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知命题p1：函数y2x﹣2﹣xR增函数p2：函数y2x+2﹣xR减函数命题q1：p1∨p2q2：p1∧p2q3：（￢p1）∨p2q4：p1∧（￢p2）中真命题（ ）
A．q1q3 B．q2q3 C．q1q4 D．q2q4
6．（5分）某种种子粒发芽概率09现播种1000粒没发芽种子粒需补种2粒补种种子数记XX数学期（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
7．（5分）果执行图框图输入N5输出数等（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）{x|f（x﹣2）＞0}（ ）
A．{x|x＜﹣2x＞4} B．{x|x＜0x＞4}
C．{x|x＜0x＞6} D．{x|x＜﹣2x＞2}
9．（5分）α第三象限角（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
10．（5分）设三棱柱侧棱垂直底面棱长a顶点球面该球表面积（ ）
A．πa2 B． C． D．5πa2
11．（5分）已知函数abc互相等f（a）f（b）f（c）abc取值范围（ ）
A．（110） B．（56） C．（1012） D．（2024）
12．（5分）已知双曲线E中心原点P（30）E焦点P直线lE相交AB两点AB中点N（﹣12﹣15）E方程式（ ）
A． B． C． D．
二填空题（4题题5分满分20分）
13．（5分）设yf（x）区间[01]连续函数恒0≤f（x）≤1机模拟方法似计算积分先产生两组（组N）区间[01]均匀机数x1x2…xNy1y2…yNN点（xiyi）（i12…N）数出中满足yi≤f（xi）（i12…N）点数N1机模拟方案积分似值 ．
14．（5分）正视图三角形体 （写出三种）
15．（5分）点A（41）圆C直线x﹣y1相切点B（21）圆C方程 ．
16．（5分）△ABC中D边BC点BDDC∠ADB120°AD2△ADC面积∠BAC ．
三解答题（8题满分90分）
17．（12分）设数列满足a12an+1﹣an3•22n﹣1
（1）求数列{an}通项公式
（2）令bnnan求数列{bn}前n项Sn．
18．（12分）图已知四棱锥P﹣ABCD底面等腰梯形AB∥CDAC⊥BD垂足HPH四棱锥高EAD中点
（Ⅰ）证明：PE⊥BC
（Ⅱ）∠APB∠ADB60°求直线PA面PEH成角正弦值．
19．（12分）调查某区老年否需志愿者提供帮助简单机抽样方法该区调查500位老年结果表：
性
否需志愿者
男
女
需
40
30
需
160
270
（1）估计该区老年中需志愿者提供帮助例
（2）否99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关？
（3）根（2）结否提出更调查方法估计该区老年中需志愿者提供帮助老年例？说明理．
P（K2≥k）
0050
0010
0001
3841
6635
10828
附：K2．
20．（12分）设F1F2分椭圆左右焦点F1斜率1直线ℓE相交AB两点|AF2||AB||BF2|成等差数列．
（1）求E离心率
（2）设点P（0﹣1）满足|PA||PB|求E方程．
21．（12分）设函数f（x）ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）a0求f（x）单调区间
（2）x≥0时f（x）≥0求a取值范围．
22．（10分）图：已知圆弧C点圆切线BA延长线交E点证明：
（Ⅰ）∠ACE∠BCD．
（Ⅱ）BC2BE•CD．
23．（10分）已知直线C1（t参数）C2（θ参数）
（Ⅰ）α时求C1C2交点坐标
（Ⅱ）坐标原点O做C1垂线垂足APOA中点α变化时求P点轨迹参数方程指出什曲线．
24．（10分）设函数f（x）|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数yf（x）图象：
（Ⅱ）等式f（x）≤ax解集非空求a取值范围．
2010年全国统高考数学试卷（理科）（新课标）
参考答案试题解析
选择题（12题题5分满分60分）
1．（5分）已知集合A{x∈R||x|≤2}}A∩B（ ）
A．（02） B．[02] C．{02} D．{012}
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11：计算题．
分析先化简集合AB注意集合B中元素整数根两集合交集意义求解．
解答解：A{x∈R||x|≤2}{x∈R|﹣2≤x≤2}
A∩B{012}．
应选D．
点评题考查集合间交集运算集合表示方法涉绝值等式幂函数等知识属基础题．
2．（5分）已知复数z轭复数（ ）
A． B． C．1 D．2
考点A5：复数运算．菁优网版权
分析先求|z|求值．
解答解：．
解：
选：A．
点评命题意图：题考查复数运算涉复数轭复数知识利复数运算性质简化运算．
3．（5分）曲线y点（﹣1﹣1）处切线方程（ ）
A．y2x+1 B．y2x﹣1 C．y﹣2x﹣3 D．y﹣2x﹣2
考点6H：利导数研究曲线某点切线方程．菁优网版权
专题1：常规题型11：计算题．
分析欲求点（﹣1﹣1）处切线方程须求出斜率值先利导数求出x﹣1处导函数值结合导数意义求出切线斜率．问题解决．
解答解：∵y
∴y′
ky′|x﹣12切线斜率2k2
曲线yf（x）点（﹣1﹣1）处切线方程：
y+12×（x+1）y2x+1．
选：A．
点评题考查直线斜率导数意义利导数研究曲线某点切线方程等基础知识考查运算求解力．属基础题．
4．（5分）图质点P半径2圆周逆时针运动初始位置P0（﹣）角速度1点Px轴距离d关时间t函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
考点3A：函数图象图象变换．菁优网版权
分析题求解利排法根某具体时刻点P位置x轴距离确定答案．
解答解：通分析知t0时点Px轴距离d排答案AD
根时知点Px轴时点Px轴距离d0排答案B
选：C．
点评题考查函数图象排法应数形结合思想属基础题．
5．（5分）已知命题p1：函数y2x﹣2﹣xR增函数p2：函数y2x+2﹣xR减函数命题q1：p1∨p2q2：p1∧p2q3：（￢p1）∨p2q4：p1∧（￢p2）中真命题（ ）
A．q1q3 B．q2q3 C．q1q4 D．q2q4
考点2E：复合命题真假4Q：指数函数数函数关系．菁优网版权
专题5L：简易逻辑．
分析先判断命题p1真命题P2假命题p1∨p2真命题（﹣p2）真命题p1∧（﹣p2）真命题．
解答解：易知p1真命题p2：y′2xln2﹣ln2ln2（）
x∈[0+∞）时ln2＞0y′≥0函数单调递增
理x∈（﹣∞0）时函数单调递减p2假命题．
知q1真q2假q3假q4真．
选：C．
点评p1P2真命题时p1∧p2真命题．p1p2中少真命题p1∨p2真命题．
6．（5分）某种种子粒发芽概率09现播种1000粒没发芽种子粒需补种2粒补种种子数记XX数学期（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
考点CH：离散型机变量期方差CN：二项分布n次独立重复试验模型．菁优网版权
专题11：计算题12：应题．
分析首先分析题目已知某种种子粒发芽概率09现播种1000粒发芽率01没发芽种子数ξ服二项分布ξ～B（100001）．没发芽补种2补种种子数记X2ξ根二项分布期公式求出结果．
解答解：题意知播种1000粒没发芽种子数ξ服二项分布ξ～B（100001）．
粒需补种2粒补种种子数记X
X2ξEX2Eξ2×1000×01200．
选：B．
点评题考查二项分布期机变量性质考查解决应问题力．属基础性题目．
7．（5分）果执行图框图输入N5输出数等（ ）
A． B． C． D．
考点EF：程序框图．菁优网版权
专题28：操作型．
分析分析程序中变量语句作根流程图示序知：该程序作累加输出S值．
解答解：分析程序中变量语句作
根流程图示序知：
该程序作累加输出S值．
∵S1﹣
选：D．
点评根流程图（伪代码）写程序运行结果算法模块重题型处理方法：：①分析流程图（伪代码）流程图（伪代码）中分析出计算类型分析出参计算数（果参运算数较表格数进行分析理）⇒②建立数学模型根第步分析结果选择恰数学模型③解模．
8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）{x|f（x﹣2）＞0}（ ）
A．{x|x＜﹣2x＞4} B．{x|x＜0x＞4} C．{x|x＜0x＞6} D．{x|x＜﹣2x＞2}
考点3K：函数奇偶性性质判断．菁优网版权
专题11：计算题．
分析偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）f（x）f（|x|）2|x|﹣4根偶函数性质函数转化绝值函数求解等式答案．
解答解：偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）f（x）f（|x|）2|x|﹣4
f（x﹣2）f（|x﹣2|）2|x﹣2|﹣4f（|x﹣2|）＞0需2|x﹣2|﹣4＞0|x﹣2|＞2
解x＞4x＜0．
应选：B．
点评题考查偶函数性质等式解法相应运算力解答题关键利偶函数性质函数转化绝值函数简化计算．
9．（5分）α第三象限角（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
考点GF：三角函数恒等变换化简求值GW：半角三角函数．菁优网版权
专题11：计算题．
分析欲求式中正切化成正余弦注意条件中角α求式中角差注意消间．
解答解：α第三象限角
∴
应选A．
点评题考查三角恒等变换中倍角公式灵活运角三角函数关系等知识相应运算力．
10．（5分）设三棱柱侧棱垂直底面棱长a顶点球面该球表面积（ ）
A．πa2 B． C． D．5πa2
考点LR：球接面体．菁优网版权
专题11：计算题．
分析题意知底面中心连线中点球心求出球半径求出球表面积．
解答解：根题意条件知三棱柱棱长a正三棱柱底面中心连线中点球心外接球半径
球表面积
选：B．
点评题考查空间体中位置关系球正棱柱性质相应运算力空间形象力．
11．（5分）已知函数abc互相等f（a）f（b）f（c）abc取值范围（ ）
A．（110） B．（56） C．（1012） D．（2024）
考点3A：函数图象图象变换3B：分段函数解析式求法图象作法4H：数运算性质4N：数函数图象性质．菁优网版权
专题13：作图题16：压轴题31：数形结合．
分析画出函数图象根f（a）f（b）f（c）妨a＜b＜c求出abc范围．
解答解：作出函数f（x）图象图
妨设a＜b＜c
ab1
abcc∈（1012）．
选：C．
点评题考查分段函数数运算性质利数形结合解决问题力．
12．（5分）已知双曲线E中心原点P（30）E焦点P直线lE相交AB两点AB中点N（﹣12﹣15）E方程式（ ）
A． B． C． D．
考点KB：双曲线标准方程KH：直线圆锥曲线综合．菁优网版权
专题11：计算题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析已知条件易直线l斜率1设双曲线方程AB点坐标代入方程联立相减x1+x2﹣24根求ab关系根c3求ab进答案．
解答解：已知条件易直线l斜率kkPN1
设双曲线方程
A（x1y1）B（x2y2）
两式相减结合x1+x2﹣24y1+y2﹣30
k1
4b25a2
a2+b29
解a24b25
选：B．
点评题考查双曲线标准方程．考查学生综合分析问题解决问题力．
二填空题（4题题5分满分20分）
13．（5分）设yf（x）区间[01]连续函数恒0≤f（x）≤1机模拟方法似计算积分先产生两组（组N）区间[01]均匀机数x1x2…xNy1y2…yNN点（xiyi）（i12…N）数出中满足yi≤f（xi）（i12…N）点数N1机模拟方案积分似值 ．
考点69：定积分应CE：模拟方法估计概率CF：概型．菁优网版权
专题11：计算题．
分析求∫f（x）dx似值利概型求概率结合点数．
解答解：题意知
积分似值．
答案：．
点评题考查概型模拟估计定积分值定积分面积中简单应属基础题．
14．（5分）正视图三角形体 三棱锥三棱柱圆锥（正确答案样分） （写出三种）
考点L7：简单空间图形三视图．菁优网版权
专题21：阅读型．
分析三棱锥侧面正视图条线段情形圆锥四棱锥两侧面正视图线段情形回答题．
解答解：正视图三角形体三棱锥三棱柱（放倒情形）圆锥四棱锥等等．
答案：三棱锥圆锥三棱柱．
点评题考查三视图常见空间体三视图考查空间想象力．
15．（5分）点A（41）圆C直线x﹣y1相切点B（21）圆C方程 （x﹣3）2+y22 ．
考点J1：圆标准方程J9：直线圆位置关系．菁优网版权
专题16：压轴题．
分析设圆标准方程点A（41）B两点坐标适合方程圆直线相切圆心直线距离等半径求圆方程．
解答解：设圆方程（x﹣a）2+（y﹣b）2r2
（4﹣a）2+（1﹣b）2r2（2﹣a）2+（1﹣b）2r2﹣1
解a3b0r求圆方程（x﹣3）2+y22．
答案：（x﹣3）2+y22．
点评命题意图：题考查利题意条件求解圆方程通常助定系数法求解．
16．（5分）△ABC中D边BC点BDDC∠ADB120°AD2△ADC面积∠BAC 60° ．
考点HR：余弦定理．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析先根三角形面积公式利△ADC面积求DC进根三角形ABC面积求BDBC进根余弦定理求AB．三角形ABC中利余弦定理求cos∠BAC求∠BAC值．
解答解：△ADC面积
解．
AB2AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°
．
∠BAC60°．
点评题考查解三角形中边角关系面积等基础知识技分析问题解决问题力相应运算力．
三解答题（8题满分90分）
17．（12分）设数列满足a12an+1﹣an3•22n﹣1
（1）求数列{an}通项公式
（2）令bnnan求数列{bn}前n项Sn．
考点8E：数列求8H：数列递推式．菁优网版权
专题11：计算题．
分析（Ⅰ）题意an+1[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a13（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+222（n+1）﹣1．知数列{an}通项公式an22n﹣1．
（Ⅱ）bnnann•22n﹣1知Sn1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1入手知答案．
解答解：（Ⅰ）已知n≥1时an+1[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1
3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+23×+222（n+1）﹣1．
a12
数列{an}通项公式an22n﹣1．
（Ⅱ）bnnann•22n﹣1知Sn1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①
22Sn1•23+2•25+…+n•22n+1②
①﹣②（1﹣22）•Sn2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．
．
点评题考查数列累加法（叠加法）求数列通项错位相减法求数列等知识相应运算力．
18．（12分）图已知四棱锥P﹣ABCD底面等腰梯形AB∥CDAC⊥BD垂足HPH四棱锥高EAD中点
（Ⅰ）证明：PE⊥BC
（Ⅱ）∠APB∠ADB60°求直线PA面PEH成角正弦值．
考点MA：量数量积判断量线垂直MI：直线面成角．菁优网版权
专题11：计算题13：作图题14：证明题35：转化思想．
分析H原点HAHBHP分xyz轴线段HA长单位长建立空间直角坐标系．
（1）表示计算证明PE⊥BC．
（2）∠APB∠ADB60°求出CP坐标求面PEH法量
求量然求面PEH法量数量积求直线PA面PEH成角正弦值．
解答解：H原点HAHBHP分xyz轴线段HA长单位长
建立空间直角坐标系图A（100）B（010）
（Ⅰ）设C（m00）P（00n）（m＜0n＞0）
．
．
PE⊥BC．
（Ⅱ）已知条件mn1C（﹣）
设（xyz）面PEH法量
取
直线PA面PEH成角正弦值．
点评题考查空间体中位置关系线面成角等知识考查空间想象力利量法研究空间位置关系线面角问题力．
19．（12分）调查某区老年否需志愿者提供帮助简单机抽样方法该区调查500位老年结果表：
性
否需志愿者
男
女
需
40
30
需
160
270
（1）估计该区老年中需志愿者提供帮助例
（2）否99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关？
（3）根（2）结否提出更调查方法估计该区老年中需志愿者提供帮助老年例？说明理．
P（K2≥k）
0050
0010
0001
3841
6635
10828
附：K2．
考点BL：独立性检验．菁优网版权
专题11：计算题5I：概率统计．
分析（1）样频率率估计总体概率
（2）求K2观测值查表结
（3）99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关性分层抽样．
解答解：（1）调查500位老年中70位需志愿者提供帮助该区老年中需帮助老年例估计值
（2）K2观测值
9967＞6635P（K2≥6635）001
99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关．
（3）根（2）结知该区老年否需志愿者提供帮助性关样数够出该区男性老年女性老年中需帮助例明显差异调查时先确定该区老年中男女例老年分成男女两层采取分层抽样方法简单机抽样方法更．
点评题考查抽样目独立性检验方法抽样方法选取属基础题．
20．（12分）设F1F2分椭圆左右焦点F1斜率1直线ℓE相交AB两点|AF2||AB||BF2|成等差数列．
（1）求E离心率
（2）设点P（0﹣1）满足|PA||PB|求E方程．
考点83：等差数列性质K3：椭圆标准方程K4：椭圆性质KH：直线圆锥曲线综合．菁优网版权
专题11：计算题．
分析（I）根椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|4a进根|AF2||AB||BF2|成等差数表示出|AB|进知直线l方程设A（x1y1）B（x2y2）代入直线椭圆方程联立消y根韦达定理表示出x1+x2x1x2进根求ab关系进求ac关系离心率．
（II）设AB中点N（x0y0）根（1）分表示出x0y0根|PA||PB|推知直线PN斜率根求c进求ab椭圆方程．
解答解：（I）椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|4a2|AB||AF2|+|BF2|
l方程yx+c中．
设A（x1y1）B（x2y2）AB两点坐标满足方程组
化简（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）0
直线AB斜率1|AB||x1﹣x2|
a22b2
E离心率
（II）设AB中点N（x0y0）（I）知．
|PA||PB|kPN﹣1
c3
椭圆E方程．
点评题考查圆锥曲线中椭圆性质直线椭圆位置关系涉等差数列知识考查利方程思想解决问题力运算力
21．（12分）设函数f（x）ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）a0求f（x）单调区间
（2）x≥0时f（x）≥0求a取值范围．
考点6B：利导数研究函数单调性．菁优网版权
专题32：分类讨．
分析（1）先函数f（x）求导导函数0时原函数单调递增导函数0时原函数单调递减．
（2）根ex≥1+x等式f′（x）≥x﹣2ax（1﹣2a）x知1﹣2a≥0时f′（x）≥0判断出函数f（x）单调性答案．
解答解：（1）a0时f（x）ex﹣1﹣xf′（x）ex﹣1．
x∈（﹣∞0）时f＇（x）＜0x∈（0+∞）时f＇（x）＞0．
f（x）（﹣∞0）单调减少（0+∞）单调增加
（II）f′（x）ex﹣1﹣2ax
（I）知ex≥1+x仅x0时等号成立．f′（x）≥x﹣2ax（1﹣2a）x
1﹣2a≥0时f′（x）≥0（x≥0）f（0）0
x≥0时f（x）≥0．
ex＞1+x（x≠0）e﹣x＞1﹣x（x≠0）．
时f′（x）＜ex﹣1+2a（e﹣x﹣1）e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a）
x∈（0ln2a）时f＇（x）＜0f（0）0x∈（0ln2a）时f（x）＜0．
综合a取值范围．
点评题考查利导数研究函数性质等式恒成立问题参数取值范围问题考查分类讨转化划解题思想相应运算力．
22．（10分）图：已知圆弧C点圆切线BA延长线交E点证明：
（Ⅰ）∠ACE∠BCD．
（Ⅱ）BC2BE•CD．
考点N9：圆切线判定定理证明NB：弦切角．菁优网版权
专题14：证明题．
分析（I）先根题中条件：∠BCD∠ABC．根EC圆切线∠ACE∠ABC出结．
（II）欲证BC2BE x CD．证．须证明△BDC～△ECB．
解答解：（Ⅰ）
∠BCD∠ABC．
EC圆相切点C
∠ACE∠ABC
∠ACE∠BCD．（5分）
（Ⅱ）∠ECB∠CDB∠EBC∠BCD
△BDC～△ECB
．
BC2BE×CD．（10分）
点评题考查圆切线判定定理证明弦切角应三角形相似等基础知识考查运化转化思想．属基础题．
23．（10分）已知直线C1（t参数）C2（θ参数）
（Ⅰ）α时求C1C2交点坐标
（Ⅱ）坐标原点O做C1垂线垂足APOA中点α变化时求P点轨迹参数方程指出什曲线．
考点J3：轨迹方程JE：直线圆方程应Q4：简单曲线极坐标方程QJ：直线参数方程QK：圆参数方程．菁优网版权
专题15：综合题16：压轴题．
分析（I）先消参数曲线C1C2参数方程化成普通方程联立方程组求出交点坐标
（II）设P（xy）利中点坐标公式P点轨迹参数方程消参数普通方程普通方程出什类型曲线．
解答解：（Ⅰ）α时C1普通方程C2普通方程x2+y21．
联立方程组
解C1C2交点（10）．
（Ⅱ）C1普通方程xsinα﹣ycosα﹣sinα0①．
OA方程xcosα+ysinα0②
联立①②xsin2αy﹣cosαsinα
A点坐标（sin2α﹣cosαsinα）
α变化时P点轨迹参数方程：
P点轨迹普通方程．
P点轨迹圆心半径圆．
点评题考查直线圆参数方程参数方程普通方程互化利参数方程研究轨迹问题力．
24．（10分）设函数f（x）|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数yf（x）图象：
（Ⅱ）等式f（x）≤ax解集非空求a取值范围．
考点3A：函数图象图象变换7E：等式解法R5：绝值等式解法．菁优网版权
专题11：计算题13：作图题16：压轴题．
分析（I）先讨x范围函数f（x）写成分段函数然根分段函数分段画出函数图象
（II）根函数yf（x）函数yax图象知先寻找满足f（x）≤ax零界情况求出a范围．
解答解：（Ⅰ）f（x）
函数yf（x）图象图示．
（Ⅱ）函数yf（x）函数yax图象知极值点（21）
仅a＜﹣2a≥时函数yf（x）函数yax图象交点．
等式f（x）≤ax解集非空时
a取值范围（﹣∞﹣2）∪[+∞）．
点评题考查函数图象利函数图象解等式时考查数形结合数学思想属基础题．
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