数列

1 已知数列公差等差数列数列公等数列．
（Ⅰ）数列前项求整数值
（Ⅱ）（Ⅰ）条件试问数列中否存项恰表示该数列中连续项？请说明理
（Ⅲ）（中（）（）约数）
求证：数列中项数列中项
解：（Ⅰ）题意知
……3分
解整数………………………………………………………5分
（Ⅱ）假设数列中存项满足
∴（*）…………8分

（*）式矛盾 项存……11分
（Ⅲ） ………………12分


（）（）约数整数………14分
数列中项（里讨情形）


正整数定数列项……………16分

2 已知项均整数数列满足：前12项次成等差数列第11项起次成等数列．
（1）求数列通项公式
（2）存正整数：请找出序数证明结
．
解：（1）设前12项构成等差数列公差第11项起构成等数列公
（3分）
数列项均整数 （6分）
（2）数列：
均负数时
显然奇数项偶数9负数项
时验算符合时
时验算没符合
均负数时存序数符合求． （8分）
均正数时


1奇数某1奇数（）整存1奇约数
均正数时存符合求序数 （11分）
中正数负数中含0时

（方法）设负数项正数项
应
验算：
时时
时时
时时
时均存符合求正整数
中正数负数时存三组序数符合求
（方法二）负数项九项负数项分类：
含1负数项时符合时
含2负数项时符合时
含34负数项时验算存符合求
含5负数项时 符合时
含66负数项时验算存符合求
中正数负数时存三组序数符合求
综存四组序数符合求． （16分）
（注：找出序数说明程序数1分）

3 已知项均整数数列满足前6项次成等差数列第5项起次成等数列．
(I)求数列通项公式
(II)求出正整数m ．
解：(I) 设数列前6项公差(整数)
成等数列
…………………………………………………………4 分
时…………………………………………………………………6 分
数列第5 项起构成等数列公2
时
…………………………………………………………………8分
(II)(I)知数列 ：－3－2－10124816…
时等式成立
时等式成立……………………………………10分
时等式成立………………………………………………………………12分
m≥5 时
……………14分
方程解

求．…………………………………………………………………16分


4 设数列{an}正数组成等数列公qSn前n项．
（1）证明
（2）设记数列前n项Tn试较q2SnTn
证明
（1）题设知a1>0q>0． ………………………………………………1分
(i)q1时Snna1 Sn·Sn+2－na1·(n+2)a1－(n+1)2－<0 ………3分
(ii)q≠1时
Sn·Sn+2－． ……………7分
(i)(ii)Sn·Sn+2－<0．Sn·Sn+2<． …………8分
(2) 方法： …………………………11分
Tn
Tn－q2Sn …………………………………………13分
＝≥2>0 …………………………………15分
Tn>q2S． ……………………………………………………………………………16分
方法二：Tn ……………11分
…………………………………………………13分
（仅时取号）

Tn>q2S ………………………………………………16分
题考查数列概念等数列数列前n项求法等式等知识考查学生分析问题解决问题力运算力．讲评时第（1）题注意公q分类讨第（2）题通通项分解利数列前n项定义避免利等数列求时分类讨问题问题化关q项式正负判断．题
样解：令f(q)4q3－15q2＋12q＋60qq2f(q)区间［0+∞)值fmin(q)min{f(0)f(2)}2>0q>0Tn－q2Sn≥2>0Tn>q2S．

17．（题满分15分）
设等数列首项a1公qq>0q≠1
（1）a1qmm∈Zm≥－1求证：数列中意两项积数列
中项
（2）数列中意两项积数列中项求证：存整数m
m≥－1a1qm
证明：（1）设等数列中两项
．………………………………………2分
．
数列第项． …………………………………6分
（2）等数列中意两项积数列中项
令
．
令整数．…………………………………………9分
证整数．
设整数．令
题设取
．……………12分
q>0q≠1矛盾
．…………………………………………………………………15分
19．(题满分16分)
已知等数列公首项前项．数列前项
数列前项．
（1）求通项公式
（2）①奇数时较
②偶数时问否存常数（n关）等式恒成立存求出
值存说明理．
19．解 (1) ∵
∴ ∴ ………………2分
∴ ……………………………………4分
(2) ∵常数 常数
∴数列均等数列首项分公分． ………………………………6分
①奇数时
时
∴
时
∴ ……………………………………8分
时 设


∴．
综述奇数时 ……………………10分
②偶数时
存常数等式恒成立． ……11分
∵
∴．
∴


． ………………………………14分
题设偶数n恒成立
∴． ………………………………16分
∴存常数等式恒成立．
20．设函数数列满足．
⑴求数列通项公式
⑵设恒成立求实数取值范围
⑶否存首项公数列数列中项数列中项存求出满足条件数列通项公式存说明理．
20．（题满分16分第1题 4分第2题6分第3题6分）
解：⑴
．…………………………………………………………………………2分
数列1首项公差等差数列．
．…………………………………………………………………………4分
⑵①时



．…………………………………………………………………………6分
②时


．…………………………………………8分

恒成立
．

实数取值范围．……………………………………………………10分
⑶知数列中项偶数．
①存首项公24数列
时中项第项外偶数存首项公偶数数列．………………………12分
②时显然存样数列．
时存首项公3数列．
．
满足条件数列通项公式．……………………………………16分
20．（题满分16分）
设首项1正项数列前n项数列前n项中常数
（1）求值
（2）求证：数列等数列
（3）证明：数列成等差数列中xy均整数充条件 ．
解：（1）n 1时p 02（2分）
p 0时
时解
p 0符合题意p 2（5分）
（2）p 2时 ①②
②①化简 ③ ④
④③（）易
数列{an}等数列（10分）
（3）充分性：x 1y 2知次
满足an2xan+12yan+2成等差数列（12分）
必性：假设成等差数列中xy均整数

化简
显然设
xy均整数时
时式成立证． （16分）
20．（题满分16分）
已知数列项均正等数列公q．
（1）q＝时数列中：
①项1～100间？
②项1～100间整数？
（2）q＞1时数列中项100～1000间整数？
（参考数：lg30477lg20301）．
解：（1）①妨设≥1设数列n项1100间
≤100．≤100．
两边取数 （n－1）（ lg3－lg2）≤2．解 n≤1237．
n值12数列中12项1100间．……………5分
②妨设1≤…≤100中 … 均整数2倍数．3≤100n≤5．………8分
1624365481满足题设求5项．
q＝时5项1100间整数．…………………………10分
（2）设等数列满足100≤aaq…≤1000
中aaq…均整数显然q必理数．…………11分
设qt＞s≥1ts互质
整数a倍数．………………………………12分
令ts+1数列满足 100≤a＜a·＜…＜a·≤100．
果s≥31000≥a·≥（q+1）n－1≥4n－1n≤5．
果s11000≥a·≥100·n≤4．
果s21000≥a·≥100·n≤6．……………………………13分
方面数列128192288432648972满足题设条件6数
q＞1时6项1001000间整数．………………………16分
19．（题满分16分）
已知直角坐标系中中数列递增数列
（1）判断直线否行
（2）数列正项等差数列设四边形面积．
求证：等差数列
（3）记直线斜率数列前8项次递减求满足条件数列数
19． ⑴题意．
∴． …………………………………（2分）
∴行． ……………………………………（4分）
⑵等差数列设公差分
题意．……………………………（6分）
∴
…………………………………………（8分）
∴∴关常数
∴数列等差数列． ……………………………………（10分）
⑶∴．
数列前项次递减
∴成立成立．………………（12分）
数列递增数列∴时．
联立等式作出行域（右图示）易．…………（14分）
时解
时解．∴数列．（16分）
解：直接．．
19．(题满分16分)
已知数列{an}满足：a1a2a32an+1a1a2…an1(n≥3)记
(n≥3)．
(1)求证数列{bn}等差数列求通项公式
(2)设数列{}前n项Sn求证：n解：(1)方法 n≥3时①
②． ……………………………………2分
②① bn1bn21常数
数列{bn}等差数列． …………………………………………………………5分
b14 bnn+3． ……………………………………8分
方法二 n≥3时a1a2…an1+an+1a1a2…anan+11+an+2
两式相变形 ．……………………………………2分
n∈N*时



．
a4a1a2a317bnn+3(n∈N*)．
数列{bn}等差数列bnn+3． ………………………………………………8分
(2) 方法 …………………12分
．
………15分
n＜Sn＜n+1． ………………………………………………………………………16分
方法二 >1．……………………10分

<<
<．……………………………………16分
综合考查解决基数列基方法(定义法分组裂项求等)考查运算力．第(2)问结果美观Sn放缩范围放较宽改求Sn正整数求Sn正整数．
题（2）方法二错误请采
注意
<<
<．
（步推理错误）

20．(题满分16分)
已知数列满足．
（1）求数列通项公式
（2）意定否存（）成等差数列？存分表示（写出组）存请说明理
（3）证明：存穷三边成等数列互相似三角形边长．
解（1）时
时

综述． …………3分
（2）时存pr成等差数列
数列正数相矛盾时存……5分
时设 …………7分
令时


综述时存pr时存满足题设
（3）作构造：中
次数列中第项第项第项 ……12分
显然成等数列组成三角形．
意性样三角形穷． …………14分
面反证法证明中意两三角形相似：
三角形相似
整理条件相矛盾
意两三角形相似．
命题成立． …………16分
注1．第（2）题ak质数时pr解唯
2 第（3）题构造：妨设符合题意公>1三项均整数约分数含方数子验证仅含时合
3．第（3）题构造形式唯．

20． 设数列{}项均正数意存成立称
数列{}Jk型数列．
（1）数列{}J2型数列求
（2）数列{}J3型数列J4型数列证明：数列{}等数列
解：（1）题意…成等数列公
．………………………4分
（2）证明：{}型数列
…成等数列设公………6分
{}型数列
…成等数列设公
…成等数列设公
…成等数列设公
．
妨记． ………12分



{}等数列．……………………16分
第20题（2）解法：
题设知n≥8时
an－6an－3anan＋3an＋6成等数列
an－6an－2an＋2an＋6成等数列．
n≥8时an2＝an－3an＋3＝an－6an＋6． （*）
an－6an＋6＝an－2an＋2．
n≥8时an2＝an－2an＋2．
n≥9时an－3an－1an＋1an＋3成等数列
an－3an＋3＝an－1an＋1（*）式知an2＝an－1an＋1
．
n≥9时设．
2≤m≤9时m＋6≥8（*）式知am＋62＝amam＋12
am＋72＝am＋1am＋13

．
意n≥2成立．

．
数列{an}等数列．
19．（题满分16分）
已知数列奇数行项公差等差数列偶数项公差等差数列数列前项．
（1）求
（2）已知意恒成立求证：数列等差数列
（3）存正整数．求时数列通项公式

19设数列前项满足(t常数)
（1）时求
（2）等数列求t值
（3）求
19（Ⅰ）
解 2分
理 解 4分
（Ⅱ）时
5分
两式相减：（**） 6分

t＝0时显然等数列 7分
时令
等数列等数列
时恒成立 8分
恒成立
化简 恒成立
解
综合述 9分
（Ⅲ）时（**）
数列1首项1公差等差数列
10分
时（**）
设（k常数）
整理
显然 12分

数列首项公等数列



16分
19 （题满分16分）
设数列前项已知
⑴求
⑵设切均求实数取值范围

19













18（题满分16分）
已知数列{an}中a21前n项Sn．
（1）求a1
（2）证明数列{an}等差数列写出通项公式
（3）设试问否存正整数pq(中1解：(1)令n1a1S10． ……3分
(2) ①
． ②
②－① ． ③
． ④
③+④． ………7分
a10a21a2－a11
数列{an}0首项1公差等差数列．
ann－1． …………………………………9分
(3)假设存正整数数组(pq)b1bpbq成等数列lgb1lgbplgbq成等差数列
． ……………11分
(☆)．
易知(pq)(23)方程(☆)组解． ……………13分
p≥3p∈N*时<0数列{}(p≥3)递减数列
≤<0时方程(☆)正整数解．
综存唯正整数数(pq)(23)b1bpbq成等数列． ……16分
注 ③式两边相利累法通项公式说明等差数列相应评分．做法程中未n≥2情形予说明扣1分．
第18题 题考查等差数列等数列基础知识基运算考查创新力．两基数列属C求属高考必考容属级类考试重点．
第(3)问中数列{an}等差数列数列{}(k>0k≠1)等数列反数列{an}等数列数列{}(a>0a≠1)等差数列．
第(3)问中果问题改否存正整数mpq(中m 第(2)问关系式：变形进累法(迭法)先行数列{an}通项公式等差数列定义证明等差数列．需说明n≥2．
考虑全市第次考考生进入高三轮复完成进行第次规模检测评分标准制定始终着学生分原例题中第(1)问4分设置障碍基学生分．

19．已知数列首项1公差等差数列数列首项1公等数列．
（1）求数列前项
（2）存正整数．试较说明理．
解：（1）题意


令 ①
②
①②


．
（2）






（ⅰ）时知




（ⅱ）时知




综述时时时．
（注：仅出时时2分．）
20．（题满分16分）
设穷数列满足：记
（1）求证：2求值
（2）公差1等差数列问否等差数列证明结．
解（1）矛盾
矛盾． …………………4分
． ……………………7分
（2）公差1等差数列证明： ………………………9分
时
………………………………13分
题设
等差数列．…………………………16分
第20题 题考查等差数列基性质考查分析探究逻辑推理力第(2)题反证法证明

20．（题满分16分）
已知αβ方程x2－x－10两根α＜β．数列{an}{bn}满足a11a2β
an+2an+1+anbnan+1－αan(n∈N*)
（1）求b2－a2值
（2）证明：数列{bn}等数列
（3）设c11c21cn+2+cn+1cn（n∈N*）证明：n≥3时an(1)n－1（αcn2+βcn）．
解：αβ方程x2－x－10两根α+β1α·β1β2β+1
（1）b2 a3－αa2 a1+a2－αa21+ a2－αβ2+ a2b2－a22 ……4分
（2）
β …………8分
b1 a2－αa1β－α≠0{bn}首项β－α公β等数列． ……10分
（3）（2）知 an+1－αan（β－α）βn－1． ①
理 an+1－βanα（an－βan1）．a2－βa10an+1－βan0． ②
①② anβ n－1…………………13分
面证明：n≥3时 (1) n－1（αcn2+βcn） β n－1．
－－－
－－β．
c11c21c32n3时(1)2(αc1+βc3) (α+2β)1+ββ2
{(1) n－1 (αcn2+βcn)}β2首项β公等数列．
(1) n－1 (αcn2+βcn)第n－2项
(1) n－1 (αcn2+βcn) β2·βn－3βn－1 an……16分

20．设数列项正数前项意正整数恒成立．
（1）求数列通项公式
（2）求证：数列等数列．
20．解：（1）条件．①
①中令．②
令．③
③÷②（）．记
数列公等数列．
∴（n≥2）．④ …… 2分
时．⑤
④ ⑤（）．（*） …… 4分
①中令．
∴．．∴．
∵∴． …… 6分
①中令．
．⑥
①中令．
．⑦
⑥⑦解 …… 8分
（）
（）
∵∴适合式∴（）． …… 10分
（2）①中令．
．∴． …… 12分
①中令．
∴．
．q 2．
代入（*）（）．（*） …… 14分
条件．
∵∴．（）
∵∴适合式∴（）．
∴数列等数列． …… 16分

19已知数列中
(1) 求满足正整数n集合
（2）n16求数列值值
（3）记数列前 n项求满足（m19 (1)an+1｜bn｜n－15｜n－15｜n≥15时an+1｜bn｜恒成立
n<15时n－15－(n－15) n15 n集合{n｜n≥15n∈N*}
(2)
(i)n>16时n取偶数1+
n18时（）max值
n取奇数时1
n17时（）min2值 ……………………………………………………………8分
(ii)n<16时
n偶数时1
n14时（）max（）min
n奇数 1+ n1 （）max1
n15（）min0 ………………………………………………………………………11分
综值（n18）值2（n17）……………12分
(3)n≤15时bn(1)n1(n15)a2k1b2k1+a2kb2k2 (162k)≥0 n>15时bn(1)n(n15)a2k1b2k1+a2kb2k2 (2k16) >0中a15b15+a16b160 S16S14 m7 n8

．（题满分16分）已知数列意n≥2间插入n数
构成新数列成等差数列记间插入n数均值
(1)求
(2)(1)条件否存常数λ{λ}等差数列？果存求出满足条件λ果存请说明理
(3)求出满足条件数列
20．解：(1)题意a12a21a35a410
∴a1a2间插入10C1 …………………………1′
a2a3间插入234C23…………………………2′
a3a4间插入6789C3…………………………3′
(2)an1an间插入n数构成等差d1
∴Cn1…………………………5′
假设存λ{Cn+1λCn}等差数列
∵(Cn+1λCn)(CnλCn1)
Cn+1Cnλ(CnCn1)
λ·
(1λ)n+ λ常数
∴λ1时{Cn+1λCn}等差数列…………………………8′
(3)题意满足条件数列{an}应满足
…………………………10′
∴
∴·……·
·……·

∴an+1an(a2a1)·(n+2) …………………………12′
∴anan1(a2a1) ·(n+1)
…
a3a2(a2a1)×4
a2a1(a2a1)×3
∴ana1(a2a1)·（）
∴an(a2a1)(n1)(n+4)+a1（）…………………………14′
∵时满足条件…………………………15′
∴形数列均满足条 ……………………16′

20．(题满分16分)
记等差数列{an}前n项Sn．
（1）求证：数列{}等差数列
（2）a1＝1意正整数nk(n＞k)＋＝2成立求数列{an}通项公式
（3）记bn＝a (a＞0)求证：≤．
20．解（1）设等差数列{an}公差dSn＝na1＋d＝a1＋d．
n≥2时－＝(a1＋d)－(a1＋d)＝．
数列{}等差数列． ……………………… 2分
（2）意正整数nk(n＞k)＋＝2成立
＋＝2数列{}等差数列． ……………………… 4分
设数列{}公差d1＝＋(n－1)d1＝1＋(n－1)d1
Sn＝[1＋(n－1)d1]2n≥2时
an＝Sn－Sn－1＝[1＋(n－1)d1]2－[1＋(n－2)d1]2＝2dn－3d＋2d1
{an}等差数列a2－a1＝a3－a2
(4d－3d＋2d1)－1＝(6d－3d＋2d1)－(4d－3d＋2d1)
d1＝1an＝2n－1．
an＝2n－1时Sn＝n2＋＝2意正整数nk(n＞k)成立
an＝2n－1． ……………………… 7分
（3）设等差数列{an}公差dan＝a1＋(n－1)dbn＝a
＝a－＝ad
数列{bn}公0首项0等数列． ……………………… 9分
记公q(q＞0)．
证明：b1＋bn≥bp＋bk中pk正整数p＋k＝1＋n．
(b1＋bn)－(bp＋bk)＝b1＋b1qn－1－b1qp－1－b1qk－1＝b1(qp－1－1)( qk－1－1)．
q＞1时y＝qx增函数p－1≥0k－1≥0
qp－1－1≥0qk－1－1≥0b1＋bn≥bp＋bk．
q＝1时b1＋bn＝bp＋bk．
0＜q＜1时y＝qx减函数p－1≥0k－1≥0
qp－1－1≤0qk－1－1≤0b1＋bn≥bp＋bk．
综b1＋bn≥bp＋bk中pk正整数p＋k＝1＋n．………………… 14分
n(b1＋bn)＝(b1＋bn)＋(b1＋bn)＋…＋(b1＋bn)
≥(b1＋bn)＋(b2＋bn－1)＋(b3＋bn－2)＋…＋(bn＋b1)
＝(b1＋b2＋…＋bn)＋(bn＋bn－1＋…＋b1)
≤． …………………… 16分

20．(题满分16分)
数列首项 公差6等差数列数列前项
(1)求数列通项公式
(2)数列等数列 试证明 意 均存正整数 求数列前项
(3)设数列满足 中存样项 时成立（中 ） 试求实数取值范围．
20．解 (1)等差数列……………………………2分
数列前项时
………………………………………………………4分
(2)证明等数列 ………………5分
意
令命题成立 ……………………………7分
数列前项 …………………………………………9分
(3)易
时
①时递增数列题意
解…………………13分
②时递增数列
题意解………………………………………14分
③
时递减数列 时递增数列
题意解……………………15分
综述取值范围……………16分
19（题满分16分）
已知穷数列中首项公差等差数列首项公等数列（中）意均成立．
（1）时求
（2）试求值
（3）判断否存（）成立？存试求出值存请说明理．

19 解（1）时数列周期．
∵等数列中项
∴ …………………………………………4分
（2）设第周期中等数列中第项．
∵∴等数列中少项周期中少16项．
∴第二周期中项． …………………………………………7分
第周期中项．
∴
第二周期中项∴整数
综． …………………………………………………10分
（3）数列周期
∴表示64周期等差数列前3项．
∴时． ………………………………………………12分
∵
时
时
时＝29＜．
∴时取值
取值． ……………………………15分
知存（）成立． …………16分

19．(题满分16分)
设数列前n项
（I）求
（II）求证：数列等差数列
（Ⅲ）否存正整数mk成立？存求出mk存说明理
19解：（I）n1时…………………………………………2分
（II） 时

定值等差数列…10分
（Ⅲ）
……………………………………12分
假设存正整数mk




…………………………………………………………16分

19．设项均正数数列{an}前n项Sn满足a＝4Sn＋4n＋1n∈N*a2a5a14构成等数列．数列满足意正整数m等式成立n中值．
（1）求数列{an}通项公式
（2）时求数列前2m项
（3）否存实数存求出满足条件实数存请说明理．

解 （1）n≥2时4Sn－1＝a－4(n－1)－1∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4
a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2
an>0∴an＋1＝an＋2∴n≥2时{an}公差2等差数列．
a2a5a14成等数列．∴a＝a2·a14(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)解a2＝3．
(1)知a1＝1．a2－a1＝3－1＝2∴数列{an}首项a1＝1公差d＝2等差数列．∴an＝2n－1．
（2）（1）正整数n．
根定义知
时
时．
∴

．
（3）存理：
证法1：假设存实数满足条件等式．
∵根定义知意正整数m
意正整数m成立．
（）时（）述结矛盾．
时解．
∴ 存正实数．

证法2：分离变量求值做假设存实数满足条件等式．
∵根定义知意正整数m
意正整数成立
矛盾存．

24．已知数集A＝{a1a2…an}(0≤a1＜a2＜…＜ann≥2n∈N*)具性质P：ij(1≤i≤j≤n)
ai＋ajaj－ai两数中少属A．
(1)分判断数集{1234}否具性质P说明理
(2)证明：a1＝0
*(3)证明：n＝5时a1a2a3a4a5成等差数列．
证明 (1)4＋44－4均属数集{1234}该数集具性质P．
(2)A＝{a1a2…an}具性质Pan＋anan－an中少属A
an＋an＞anan＋anAan－an∈A0∈Aa1≥0a2＞0a1＝0
(3) n＝5时取j＝5i≥2时ai＋a5＞a5
A具性质Pa5－ai∈Ai＝1时a5－a1∈Aa5－ai∈Ai＝12345．
0＝a1＜a2＜a3＜a4＜a5a5－a1＞a5－a2＞a5－a3＞a5－a4＞a5－a5＝0
a5－a1＝a5a5－a2＝a4 a5－a3＝a3
a2＋a4＝a5a5＝2a3a2＋a4＝2a30＜a4－a3＝a3－a2＜a3
a3＋a4＞a2＋a4＝a5a3＋a4Aa4－a3∈Aa4－a3＝a2＝a2－a1．
a5－a4＝a2＝a2－a1a5－a4＝a4－a3＝a3－a2＝a2－a1＝a2
a1a2a3a4a5首项0公差a2等差数列．
说明题考查集合等差数列性质考查运算力推理证力题数列等式综合题．复杂数列问题特殊情况入手找解题突破口．
25．设MN*正项数列{an}前项积Tnk∈Mn＞k 时＝TnTk成立．
(1)M＝{1}a1＝a2＝3求数列{an}前n项
(2)M＝{34}a1＝求数列{an}通项公式．
解：(1)n≥2时M＝{1}＝TnT1an＋1＝ana1＝a1＝3(n≥2)．
a1＝a2＝3{an}公3等数列
{an}前n项＝·3－．
(2)n＞k时＝TnTk＝Tn＋1Tk
＝＝an＋1
M＝{34}取k＝3n＞3时an＋4an－2＝an＋1
取k＝4n＞4时an＋5an－3＝an＋1．
an＋5an－3＝an＋1知
数列a2a6a10a14a18a22…a4n－2…等数列设公q．………………①
an＋4an－2＝an＋1 知
数列a2a5a8a11a14a17…a3n－1…等数列设公q1………………②
数列a3a6a9a12a15a18…a3n…成等数列设公q2…………………③
数列a4a7a10a13a16a19a22…a3n＋1…成等数列设公q3…………④
①②＝q＝q1q1＝q
①③＝q＝q2q2＝q
①④＝q＝q3q3＝q
q1＝q2＝q3＝q．
①③a6＝a2qa6＝a3q2＝＝q
①④a10＝a2qa10＝a4q3＝＝q
a2a3a4公q等数列{an}(n≥2)公q等数列．
n＝4k＝3时T7T1＝T4T3n＝5k＝4时T9T1＝T5T4
(q)＝2a2(q)＝2a2q＝2a2＝2．
a1＝{an}(n∈N*)公q等数列．
数列{an}通项公式an＝2·．
说明题考查等数列性质考查运算力推理证力分分类讨等数学思想方法．
*26．已知数列{an}前n项Sn数列{Mn}满足条件：M1 Sn≥2时Mn S－S中数列{tn}单调递增tn∈N*．
（1）an＝n
①试找出组t1t2t3M22＝M1M3
②证明：数列an＝n定存数列{tn}数列{Mn}中数均整数方
（2）an＝2n－1否存穷数列{tn}{Mn}等数列．存写出满足条件数列{tn}存说明理．
解：（1）an＝nSn＝
①取M1＝S1＝1M2＝S4－S1＝9M3＝S13－S4＝81满足条件M22＝M1M3
时t1＝1t2＝4t3＝13．
②①知t1＝1t2＝1＋3t3＝1＋3＋32M1＝1M2＝32M3＝92
般取tn＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝
时S＝S＝
M＝S－S＝－＝(3n－1)2
M整数方．
存数列{tn}数列{Mn}中数均整数方．
（3）假设存数列{tn}{Mn}等数列设公q．
Sn＝n2S＝tn2M1＝t12n≥2时Mn＝tn2－tn－12＝qn－1 t12
q正理数设q＝(rs正整数rs约)．
tn2－tn－12必正整数t12∈N*rs约必正整数．
s≥2{tn}穷数列n＞logst12＋1时＜1正整数相矛盾．
s＝1q正整数．
注意t32＝M3＋M2＋M1＝M1(1＋q＋q2)＝t12 (1＋q＋q2)＝1＋q＋q2．
1＋q＋q2∈N*∈N*．
理数必整数1＋q＋q2整数方．
q2＜1＋q＋q2＜(q＋1) 21＋q＋q2整数方．
存满足条件数列{tn}．
说明题考查等差等数列性质考查阅读理解力运算求解力推理证力．新构造函数尝试列举解构造程含义中观察发现规律寻找突破口．存性问题考虑先特殊情况入手寻找突破口．

20． （题满分16分）知数列公差零等差数列数列等数列．
（1）（n∈N*）求证：等数列
（2）设（n∈N*）中公差2整数项数列
时递减数列求数列通项公式
20（1）证明：设公差公
常数等数列………3分
（2）题意：恒成立恒成立…5分
恒成立 ………… ……7分
恒成立 ………… ……9分

………… ……10分

19．(题满分16分)
已知项均正数两穷数列满足．
（1）数列常数列（项相等数列）时求数列通项公式
（2）设公差0等差数列求证：数列穷数列惟确定
（3）设求证：．
19．（1）数列常数列…①…②①②……2分
说明数列序号奇数项序号偶数项均原序构成公差2等差数列 …………………4分
（2）设公差分通项公式代入n恒等式解…………7分
取穷非零实数数列穷数列惟确定………8分
（3）
…………10分
．
．………………14分
．．……………16分

20．（1）设3正整数公差1等差数列…首项1等数列…满足…求正整数值
（2）意定3正整数证明：存正整数等差数列：
…等数列：…
满足…．
解：（1）设题意
…
…… 2分
…
①②③④
⑤…①②③④
①②③④⑤存正整数值5 …… 6分
（2）题意2…
方面时
结合公等数列
…
意12… …… 11分
方面
(12…中定
3正整数)

…
…(＊)
显然(＊)式左边关次式右边关次式
正整数充分(＊) 式成立12…时．
综必存正整数满足…． …… 16分

19（题满分16分）
数列满足(≥3)
记(≥3)
(1)求证数列等差数列求通项式
(2)设数列{}前n项求证<<
19解：解(1)方法 n≥3时①
② 2分
②① bn1bn21常数数列{bn}等差数列 5分
b14 bnn+3 8分
方法二 n≥3时a1a2an1+an+1 a1a2anan+11+an+2 两式相变形 n∈N*时

5分
a4a1a2a317bnn+3(n∈N*)
数列{bn}等差数列bnn+3 8分
(2) 10分
12分

n< 16分

19．（题满分16分）
已知数列{an}等差数列{bn}等数列满足a1＋a2＋a3＝9b1b2b3＝27
（1）a4＝b3b4－b3＝m
①m＝18时求数列{an}{bn}通项公式
②数列{bn}唯求m值
（2）a1＋b1a2＋b2a3＋b3均正整数成等数列求数列{an}公差d
值
19．解析：（1）①数列{an}等差数列a1＋a2＋a3＝9a2＝3
数列{bn}等数列b1b2b3＝27b2＝3．
设数列{an}公差d数列{bn}公q
m＝18
解
{an}{bn}通项公式
② 题设b4－b3＝m3q2－3q＝m3q2－3q－m＝0（*）．
数列{bn}唯
q0m0检验知m0时q10（舍）满足题意
q≠0(－3)2＋12 m＝0解m＝－代入（*）式解q＝
b2＝3{bn}唯等数列符合题意．
m0－ ．
（2）题意36＝(a1＋b1) (a3＋b3)
设{bn}公q36＝(3－d＋)(3＋d＋3q) （**）
记m＝3－d＋n＝3＋d＋3qmn36．
（**）中q消整理： d2＋(m－n)d＋3(m＋n)－36＝0 d根 ＝
mn∈N* (mn)取值：
(136)(218)(312)(49)(66)(94)(123)(182)(361) ．
m＝1n＝36时d值 ．
20．数列穷数列记．
⑴等差数列证明：意[源Z&xx&kCom]
⑵意证明：等差数列
⑶数列满足构成新数列设新数列前项写成称．问中否存存求出存说明理．
⑴错位相减⑵作差⑶逆等数列求公式

18．设公差零等差数列项均整数Sn前n项满足．
（1）求数列通项公式
（2）试求正整数m数列中项．
解（1）等差数列．………2分
设公差d
化简解
知满足数列项均整数．………5分
．……………………………………………………7分
（2） ……10分
数列中项必须3倍数
中取值
3倍数．
． …………………………………………13分
时时．
求m值34．…………………………………………………………16分
解：
 
数列中项必须3倍数
取1．（略）

19．(题满分16分)
设数列{an}首项零前n项Sn意rtN*．
（1）求数列{an}通项公式（a1表示）
（2）设a11b13求证：数列等数列
（3）（2）条件求．
解（1）令．… 2分
时时式成立．
数列{an}通项公式． …………… 5分
（2）时（1）知Sn＝n2．
题意时 ……… 7分

数列首项1公2等数列． …………… 10分
（3）（2）． ……… 12分
． ……… 15分
． ……… 16分

20．项均正数数列{an}中设
．
（1）设证明数列{bn}等数列
（2）设求集合．
解（1）时
解． ……………………………2分
①
时 ②
①②（）……………………………4分


数列{an}项均正数数列单调递减．
（）．

数列{bn}等数列． ……………………………6分
（2）（1）知．
（*）
时数列第2项开始次递减． …………8分
（Ⅰ）时
（*）式成立． ……………………………10分
令
存满足题设数组（）．……… 13分
（Ⅱ）时存
时（*）式成立．
综述求集合（）． ………………16分
（注：列举出组2分组3分）
第20题 综合考查数列通项公式前n项等知识第（2）问关键寻找．

19．（题满分16分）
设数列{an}a11．数列{bn}．正数数列{dn}．
(1)求证：数列{bn}等差数列
(2)设数列{bn}{dn}前n项分BnDn求数列{bnDn+dnBnbndn}前n项Sn．
解：(1)．
．·······························································3分
b1a11数列{bn}1首项1公差等差数列．·····················4分
(2)(1)Bn．·············································6分

．
dn>0．
． ······································································10分
n≥2时
bnDn+dnBnbndn(BnBn1)Dn+(DnDn1)Bn(BnBn1)(DnDn1)BnDnBn1Dn1
Sn(BnDnBn1Dn1)+(Bn1Dn1Bn2Dn2)+…+(B2D2B1D1)+B1D1BnDn．··········14分
S1b1D1+d1B1b1d1B1D1适合式意n∈N*SnBnDn．
SnBnDn． ···································16分
19．题考查数列概念基础知识考查运学知识分析问题解决问题力．
数列问题考查递推形式出构造特殊关系基数列(等差等)进行证明然利基数列解决问题．

19．（题满分16分）
已知数列{an}满足an+1+ an＝4n－3(n∈N*) ．
（1）数列{an}等差数列求a1值
（2）a1＝2时求数列{an}前n项Sn
（3）意n∈N*≥20n－15成立求a1取值范围．
19．（1）数列{an}等差数列an ＝a1+ (n－1)dan+1 ＝a1 + nd．
an+1+ an＝4n－3(a1+nd) + [ a1+(n－1)d] ＝4n－32d＝42a1－d＝4－3
解d＝2a1＝－．
（2）an+1+ an＝4n－3 an+2 + an+1＝4n + 1(n∈N*)．
两式相减an+2－an＝4．
数列{a2n1}首项a1公差4等差数列 [
数列{a2n}首项a2公差4等差数列
a2 + a1＝1a1＝2a2＝－1． an＝
①n奇数时an＝2nan+1＝2n－3．
Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+ …+(an2+an1)+an
＝1+9+…+(4n－11)+2n＝．
②n偶数时
Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+ …+(an1+an)
＝1+9+…+(4n－7)＝．Sn＝
（3）（2）知an＝
①n奇数时an＝2n－2+a1an+1＝2n－1－a1．
≥20n－15a12－a1≥－4n2+ 16n－10．
－4n2+ 16n－10＝－4(n－2)2+6≤2
n＝13时[－4(n－2)2+6]max＝2． a12－a1≥2．解 a1≥2a1≤－1．
②n偶数时an＝2n－a1－3an＝2n+a1．
≥20n－15a12 + 3a1≥－4 n2+16n－12．
－4 n2+ 16n－12＝－4(n－2)2+4≤4．n＝2时[－4(n－2)2 + 4]max＝4．
a12 + 3a1≥4解a1≥1a1≤－4．
综合①②a1取值范围(－∞－4]∪[2+∞)．

19 1数列{xn}果存正整数m意n(n∈N*)xm+n＝xn成立样类数列{xn}称作周期m周期数列m值称作数列{xn}正周期简称周期 例xn＝2时{xn}周期1周期数列yn＝sin时{yn}周期4周期数列
(1)设数列{an}满足an+2＝an+1－an(n∈N*)a1＝aa2＝b(ab时0)求证：数列{an}周期6周期数列求数列{an}前2013项S2013
(2)设数列{an}前n项Sn4Sn＝(an＋1)2
① an＞0试判断数列{an}否周期数列说明理
② anan+1＜0试判断数列{an}否周期数列说明理
(3)设数列{an}满足an+2＝an+1－an＋1(n∈N*)a1＝2a2＝3数列{an}前n项Sn试问否存pq意n∈N*p≤(－1)n≤q成立存求出pq取值范围存说明理
（1）证明：周期6周期数列

解：（2）时
时

①等差数列
意周期数列…………………10分
②数列等数列
存意成立
时周期2周期数列
（3）假设存满足题设

周期6周期数列前6项分
（）
时
时
时
时
恒成立
综假设存满足题设
19 2设数列前项已知（常数）．
（1）求数列通项公式（2）求满足等式成立正整数．
解（1）题意求．
①时 ②
①－②（）数列首项公等数列．
通项公式（）．
（2）（1）
化简
．（*）
．
时（*）正整数解
时（*）正整数解
时（*）．
综知存符合条件正整数．

20．（题满分16分）
已知数列中
(1)求数列前6项
(2)证明数列意相邻三项中仅1项偶数
(3)否存成等数列？写出证明结
20．解(1)

数列前6项0 ……………4分
(2)证偶数奇偶
……6分
①奇数注意奇+奇偶奇+偶奇项奇偶性次奇奇偶奇奇偶
数列意相邻三项中仅1项偶数 ……10分
②偶数理证：数列意相邻三项中仅1项偶数 ……11分
(3)假存成等数列
(2)知必偶数偶数奇数 成立
存成等数列 …………………………16分

19．（题满分16分）
设数列{an}公差零等差数列a5＝6．
（1）a3＝3时请数列{an}中找项am(m＞5)a3a5am成等数列
（2）a3＞1时果存然数m1m2…mt…满足5＜m1＜m2＜…＜mt＜…a3a5amam…am…构成等数列求a3切值
（3）（2）中a3取正整数值时求证：＜．
19．题考查等差等数列概念通项公式求公式等基础知识考查运算求解分析探究力综合思维力．满分16分．
（1）a52＝a3amam＝＝12．
设数列{an}公差d．
am＝a3＋(m－3)d＝3＋(m－3)×＝12
m＝9． ………………… 5分
（2）数列{an}公差零等差数列a5＝6
am＝a3＋(mt－3)×( mt＞5mtÎN*)
am＝a3()t＋1
a3()t＋1＝a3＋(mt－3)×
＝(mt－3)×
＝(mt－3)×．
a3≠a5a3≠6．
mt＝5＋2[()t＋()t－1＋…＋()]tÎN*．
t＝1时m1＝5＋2×＝5＋．
m1ÎN*a3＞1
＝1234567891011．
t＝2时m2＝5＋2×[()2＋]
奇数时m2整数符合．
＝246810．a3＝632
数列{an}公差零等差数列a3≠6．
a3＝32．检验均满足题意． ………………… 12分
（3）（2）a3取整数a3＝2
mt＝5＋2(3t＋3t－1＋…＋3)＝5＋2×＝3t＋1＋2．
＝＝(－)
＝(－)
＝(－)＜×＝． ………………… 16分

20．（题满分16分）
数列列条件确定：
①
②满足条件：
时
时
（1）果试求
（2）证明：数列等数列
（3）设()满足…整数证明：
20解：（1）∵∴
∵∴……………………4分
（2）证明：时
①时
②时
∴时
∴数列首项公等数列……………………10分
（3）证明：（2）
∵∴()
∴∴
∴∴


∴
∴满足()整数相矛盾
∴满足整数
∴结成立………16分

20．(题满分16分)
数列首项（）前项（）．设（）．
（1）求数列通项公式
（2）时意恒成立求取值范围
（3）时试求三正数组值等数列成等差数列．
20．解：（1） ①
时 ②
①—②（） …………………………2分

首项公等数列（）．……4分
（2）时
（*） …………6分
时时（*）成立
时（*）等价 （**）
时（**）成立．
时恒成立．
时．时． ………9分
综取值范围． …………………………10分
（3）时
………12分
时数列等数列 ………14分
成等差数列
解． ．
时数列等数列．……16分

18．设数列公差零等差数列．
（1）时然数满足
等数列求
（2）时存然数满足
等数列求证：整数必12正约数
（3）中含1试探究：数列中否存三项构成等数列．
18．解：（1）时
． … 5分
（2）

整数必12正约数． … 11分
（3）存正整数．
假设数列中存三项构成等数列方便起见
设




整理
均理数．
假设矛盾存三项构成等数列

20．（题满分16分）
已知数列单调递增项非负正整数意（≤≤≤）
中项称数列项减数列．
（1）已知数列首项2公2等数列数列项减数
列试确定值
（2）求证：数列项减数列前项
（3）已知项非负递增数列写出（2）逆命题判断该逆命题真假
说明理．
20．解：（1）设
易数列定2项减数列
值2． ………………………5分
（2）数列项减数列
必定数列中项 ……………………………7分
递增数列
必


．
定义知数列项减数列
． ……………………………10分
（3）（2）逆命题：
已知数列项非负递增数列前项满足
该数列定项减数列该逆命题真命题． ……………………………12分
理：≤≤≥时
两式相减 （）
时（）
（）－（）
数列首项0递增等差数列．
设公差
意≤≤≤
≤中项
数列项减数列． …………………………… 16分

19 已知数列中（）前项恒正值时．
（1）求证：数列等数列 求
（2）成等差数列求值
（3）（2）条件设定正整数现方法构造项数穷数列：
①时
②时．
求数列前项（）．
19．（1）解：∵时．
∴．………1分
∴．…………………3分
∵
∴数列首项1公a等数列．
∴．……………………………4分
∴ ．……………6分
（2）解：∵成等差数列
∴
∴
…………………8分

∵ ∴
（3）解：
时．…………11分
时．……………………12分
∴时

．……14分
时
……………………15分
．…………16分

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