第二章 数列极限
u 引言
第章中已指出数学分析课程研究象定义实数集函数数学分析什方法研究实数集函数呢？质说方法极限极限思想方法贯穿数学分析课程始终概念离开极限数学分析课程基础
§１ 数列极限概念
教学容：数列极限概念应定义证明简单数列极限穷数列
教学求：学生逐步建立起数列极限定义清晰概念深刻理解数列发散单调界穷数列等关概念会应数列极限定义证明数列关命题运语言正确表述数列某实数极限等相应陈述
教学重点：数列极限概念
教学难点：数列极限定义应
教学方法：讲授
教学学时：2学时
数列概念：
１．数列定义：
简单说数列列数定规律定次序性列数
函数定义域全体正整数集合称数列
记数列写作：简记中称该数列通项
２．数列例子：
（1） （2）
（3） （4）
二数列极限概念：
１．引言：
问题先例子：古代哲学家庄周著庄子 天篇引句话：尺棰日取半万世竭天截部分长度列出（单位尺）：
第１天截第２天截第３天截…第天截…
数列：：
难出数列通项着n限增限接零
般说数列n限增时限接某常数称数列收敛数列常数称极限具种特性数列收敛数列称发散数列
说数列收敛数列０极限
数列发散数列
需提出面关收敛数列说法严格定义仅种描述性说法数学语言精确定义进步分析
例观察出该数列具特性：
着n限增限接1着n限增１距离限减少着n限增限减少会意n充分
：
正数会存数列项该项时
找Ｎ？（Ｎ存？）解面数学式子：取样时
综述数列通项n限增限接１意定正数总存正整数Ｎ时１极限精确定义
2．数列极限定义：
定义1 设数列a实数正数总存正整数N时 称数列收敛a实数a称数列极限记作
读作：n趋穷时极限等a趋an限取正整数数列极限记号中写成
数列没极限称收敛称发散数列
３．举例说明定义验证数列极限：
例１．证明
证明：时便
（注：里取整保证非负整数保证正整数）
例２．证明
证明：（妨设）时便
(注：里限制保证正数影响证明程定整数)
例３．证明
证明：时便
例４．证明
证明 时便
例５．证明 中
证明：时结显然成立现设记
时便
情形留作练
４．关数列极限定义点说明：
（１） 关：① 意性定义１中正数作衡量数列通项常数a接程度越表示接越正数
意说明常数a接程度②暂时固定性意性出暂时确定便求出Ｎ③值性意正数等等样意正数定义１中等式中等代代④正意正数限定确定正数
（２） 关Ｎ：① 相应性般Ｎ变变常Ｎ定作强调Ｎ赖定找Ｎ②Ｎ值性Ｎ相应性意味着Ｎ唯确定定时时更数时等式然成立Ｎ唯事实许场合重Ｎ存性值基实际中Ｎ必限然数Ｎ正数改妨③取值定必须正整数正数满足条件正数果存正整数必条件成立
（３）数列极限理解：定义１中时时 时 标Ｎ项落邻域外数列中项Ｎ（限）反外数列中项限设限项标Ｎ时时写出数列极限种等价定义（邻域定义）：
定义 外数列中项限称数列收敛极限a
见：１）存某数列中穷项落外定a极限２）应该注意数列中项限说明数列收敛极限a
例6 证明发散数列
分析：证数列极限利定义
证明：取数列中满足项（穷）显然 外极限数列发散数列
取外中奇数项（穷项）1极限取外中偶数项（穷项）
极限极限发散数列
例7 设作数列： 证明
证明：数列外项限数列中落外项限
例8 设定数列增加减少改变限项数列证明：数列时收敛发散收敛时两者极限相等
证明：设收敛数列数列中落外项限数列增加减少改变限项数列某项开始中项中确定项中落外项限证数列收敛
现设发散数列收敛成增加减少改变限项数列前面证明知收敛数列矛盾发散时发散
三穷数列：
收敛数列中类重数列称穷数列定义：
定义２ 称穷数列
穷数列
定理２１ 数列收敛a 充条件：穷数列
证明：数列极限定义容易证明
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u 引言
第章中已指出数学分析课程研究象定义实数集函数数学分析什方法研究实数集函数呢？质说方法极限极限思想方法贯穿数学分析课程始终概念离开极限数学分析课程基础
§１ 数列极限概念
教学容：数列极限概念应定义证明简单数列极限穷数列
教学求：学生逐步建立起数列极限定义清晰概念深刻理解数列发散单调界穷数列等关概念会应数列极限定义证明数列关命题运语言正确表述数列某实数极限等相应陈述
教学重点：数列极限概念
教学难点：数列极限定义应
教学方法：讲授
教学学时：2学时
数列概念：
１．数列定义：
简单说数列列数定规律定次序性列数
函数定义域全体正整数集合称数列
记数列写作：简记中称该数列通项
２．数列例子：
（1） （2）
（3） （4）
二数列极限概念：
１．引言：
问题先例子：古代哲学家庄周著庄子 天篇引句话：尺棰日取半万世竭天截部分长度列出（单位尺）：
第１天截第２天截第３天截…第天截…
数列：：
难出数列通项着n限增限接零
般说数列n限增时限接某常数称数列收敛数列常数称极限具种特性数列收敛数列称发散数列
说数列收敛数列０极限
数列发散数列
需提出面关收敛数列说法严格定义仅种描述性说法数学语言精确定义进步分析
例观察出该数列具特性：
着n限增限接1着n限增１距离限减少着n限增限减少会意n充分
：
正数会存数列项该项时
找Ｎ？（Ｎ存？）解面数学式子：取样时
综述数列通项n限增限接１意定正数总存正整数Ｎ时１极限精确定义
2．数列极限定义：
定义1 设数列a实数正数总存正整数N时 称数列收敛a实数a称数列极限记作
读作：n趋穷时极限等a趋an限取正整数数列极限记号中写成
数列没极限称收敛称发散数列
３．举例说明定义验证数列极限：
例１．证明
证明：时便
（注：里取整保证非负整数保证正整数）
例２．证明
证明：（妨设）时便
(注：里限制保证正数影响证明程定整数)
例３．证明
证明：时便
例４．证明
证明 时便
例５．证明 中
证明：时结显然成立现设记
时便
情形留作练
４．关数列极限定义点说明：
（１） 关：① 意性定义１中正数作衡量数列通项常数a接程度越表示接越正数
意说明常数a接程度②暂时固定性意性出暂时确定便求出Ｎ③值性意正数等等样意正数定义１中等式中等代代④正意正数限定确定正数
（２） 关Ｎ：① 相应性般Ｎ变变常Ｎ定作强调Ｎ赖定找Ｎ②Ｎ值性Ｎ相应性意味着Ｎ唯确定定时时更数时等式然成立Ｎ唯事实许场合重Ｎ存性值基实际中Ｎ必限然数Ｎ正数改妨③取值定必须正整数正数满足条件正数果存正整数必条件成立
（３）数列极限理解：定义１中时时 时 标Ｎ项落邻域外数列中项Ｎ（限）反外数列中项限设限项标Ｎ时时写出数列极限种等价定义（邻域定义）：
定义 外数列中项限称数列收敛极限a
见：１）存某数列中穷项落外定a极限２）应该注意数列中项限说明数列收敛极限a
例6 证明发散数列
分析：证数列极限利定义
证明：取数列中满足项（穷）显然 外极限数列发散数列
取外中奇数项（穷项）1极限取外中偶数项（穷项）
极限极限发散数列
例7 设作数列： 证明
证明：数列外项限数列中落外项限
例8 设定数列增加减少改变限项数列证明：数列时收敛发散收敛时两者极限相等
证明：设收敛数列数列中落外项限数列增加减少改变限项数列某项开始中项中确定项中落外项限证数列收敛
现设发散数列收敛成增加减少改变限项数列前面证明知收敛数列矛盾发散时发散
三穷数列：
收敛数列中类重数列称穷数列定义：
定义２ 称穷数列
穷数列
定理２１ 数列收敛a 充条件：穷数列
证明：数列极限定义容易证明
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