登录
注册
香当网
文档
PPT
PDF
搜索
热门搜索:
发布会
论文答辩
工作总结
公益
课件
分享赚香币
首页
ppt
ppt课件
第七章 实数的完备性ppt课件
1750
0
嵌入分享
PPT 内容
PPT 图集
1. 第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 首页ק2 闭区间上连续函数性质的证明
2. 首页ק1 关于实数集完备性的基本定理 一、区间套定理与柯西收敛准则 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性
3. 若 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点 , 构成区间套的闭区间列是前一个套者后一个, 一、区间套定理与柯西收敛准则 (i)(ii)或简称区间套. 这里的性质(i)表明, 即各闭区间的端点满足如下不等式 (1) 定理7.1(区间套定理) 使得 即 (2) 设闭区间列 具有如下性质 则称 为闭区间套, 定义1首页×
4. 且有 分析 即要证明闭区间列 有唯一的公共点, 所以首先我们要至少找到一个公共点, 式和单调有界定理可以知道数列 由(1) 和 都存在极限, 只要证明这两个数列极限相等且属于所有的 我们 则找到一个公共点; 然后证明唯一性. 证由(1)式,为递增有界数列, 依单调有界定理,有极限 , (3)同理,递减有界数列也有极限, 并按区间套的条件(ii)有 (4)且 (5)联合(3)、(5)即得(2)式. 最后证明满足(2)的 是唯一的. 设数 也满足 首页×
5. 区间套定理中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理的结论成立.由区间套的条件(ii)得 故有 注1 对于开区间列,有可能不成立,如 , 虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个, 且 , 但不存在属于所有开区间的公共点. 则由(2)式有 首页×
6. 前者是区间套定理本身条件的要求 保证诸区间 后者则把 证明整个区间 上所具有某性质的问题归结为 点邻域 的性质, 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题, 恰 当地构造区间套.注2 一方面,这样的区间套必须是闭、缩、套, 即闭区间列 .满足(i)(ii)另一方面,也是最重要的,要把欲证命题的本质属性保留在 区间套的每一个闭区间中, 存在唯一公共点 ,实现完满整体向局部的转化. 由(4)容易推的如下很有用的区间套性质 . 首页×
7. 使得在每个 外只有数列 中有限项. 要使用区间套定理证明充 分性,关键是如何构造合适的区间套,使其公共点正好是数列 的极限. 对任给的 ,存在 , 使得对 ,的 , 存在 ,使得当 时有 作为区间套定理的应用,我们来证明第二章中叙述而未证明的 “数列的柯西收敛准则"(定理2.10).即 数列 收敛的充要条件是:有 . 分析 由数列极限定义易证得必要性; 我们将对柯西列 构造区间套 推论 若 是区间套所确定的点则对任给 首页×
8. 在区间 内含有 中几乎所有的项, 存在 ,使得对一切 有 , 即在区间 内含有 中几乎所有的项 对任给的 , 存在 ,当 时有 证[必要性]设 由数列极限定义,因而 .[充分性]按假设,对任给的 , (这里及以下,为叙述简单起见,我们用“ 中几乎 所有的项”表示“ 中除有限项外的所项”).据此,令 则存在 ,记这个区间为首页×
9. 则存在 在区间 内含有 中几乎所有的项.再令记它也含有 中几乎所有的项,且满足继续依次令照以上方法得一闭区间列其中每个区间都含 中几乎所有的项,且满足首页×
10. 本证明中的关键是构造合适的区间套,使其公共点正好是数列的极限.即 是区间套. 由区间套定理,存在唯一的一个数 现在证明数 就是数列 的极限. 事实上,由定理7.1的推论, 对任给的 ,存在 使得当 n>N 时有因此在 内含有 中除有限项外的所有项.这就证得 . 注意本证明中构造区间套的方法,我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思想方法.注首页×
11. 若 的临域内都含有 中无穷多个点则称 为集 的一个聚点. 点集 只有一个聚点 存在 在 中至多包含中 有限多个点. 又若 为开区间(a,b)(a,b)内每一点以及端 点a、b都是S的聚点; 任何有限数集也 没有聚点. (它可以属于 也可以不属于 )定义2 设 为数轴上的点集 为定点 点集 有两个聚点 和而正整数集 没有聚点,注1点集的 聚点可以属于 ,也可以不属于 ;注2设 是数集,不是的 聚点 首页×二、聚点定理与有限覆盖定理
12. 则其极限 称为S的一个聚点. 若点 的任何邻域 内都含有 中异于 的点,聚点概念的另两个等价定义如下 定义 对于点集 , 即 , 则 称为S的一个聚点. 定义若存在各项互异的收敛数列 ,关于以上三个定义等价性的证明,我们简述如下.1)定义2 定义 是显然的;2)定义 定义2也不难得到;3)定义 定义 . 首页×
13. 而取 则是为了保证点列的各相互异性.令 , ,则存在 且显然 ……. 则对任给的 ,存在 ,证 设 为 (按定义)的聚点,令 则存在 令 则存在 且 无限地重复以上步骤,得到中各项互异的数列. 且由 , 易见 . 注 本证明中取 , 为了保证数列收敛到 .因此可以取其他的小量;注意这种技巧!首页×
14. 故存在 使得 , 其中必有一子 区间内包含中无限多个点, 因为无限点集,故两个区间中至少有一个含有中无穷多个点,记此子区间为 .把区间 二等分,应用区间套定理来证聚点定理.定理7.2(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.分析 为有界点集, 继续上述步骤,可得一区间套,再证其公共点即为的聚点 .证为有界点集,记现将等分为两个子区间. 且首页×
15. 则其中至少有一个子区间含有无穷多个点,再将 等分为两个子区间,首页×则取出这样的一个子区间,记为 . 将此等分子区间的手续无限地进行下去,得到一个区间列 它满足
16. 且其中每一个闭区间都含 中无穷多个点.即 是区间套,由区间套定理, 存在唯一的一点 于是由定理7.1的推论, 对任给的 ,存在 当 时 从而 内含有 中无穷多个点, 按定义2 为 的聚点. 推论(致密性定理) 有界数列必有收敛子列.证 设 为有界数列. 若 中有无限多个相等的项, 则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的. 首页×
17. 当 有先证明 是有界的.设数列 满足柯西条件. 点集 至少有一个聚点,记为 . 存在 的一个收敛子列(以为其极限). 于是按定义 , 则 在数轴上的 对应的点集必为有界无限点集,若数列 不含有无限多个相等的项,作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性 .首页×故由聚点定理,证 为此,取 则存在正整数N,由此得令
18. 因而当 时得到 于是,由致密性定理,有界数列 必有收敛子列首页×则对一切正整数 对任给的这就证明了
19. 使得 当 时有 . 对每一点 ,都可确定正数 (它依赖于 与 ), 若其中开区间的个数是无限(有限)的,则称 为 的一个无限开覆盖(有限开覆盖). 则称 为 的一个开覆盖,或 称 覆盖 . 若 中任何一点都含在 中至少一个开区间内, (即 的每一个元素都是形如 的开区间).定义3设 为数轴上的点集, 为开区间的集合在具体问题中,一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定.例如,若函数 在 内连续,则给定 ,这样就得到一个开区间集 它是区间 的一个无限开覆盖.首页×
20. 同样,其中至少有一个子区间不能用 中有限个开区间来盖. 则其中至少有一个子区间不能用 中有限个开区间来覆盖. 将 等分为两个子区间, 从而导致区间套中某区间可用一个开区间覆盖的矛盾. 若闭区间不能用有限个开区间覆盖,把这区间二等分, 则从 中可选出有限个开区间来覆盖 . 假设定理的结论不成立,即不能用 中有限个开区间来覆盖 . 设 为闭区间 的一个(无限)开覆盖,首页×定理7.3(海涅—博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理)分析用反证法,其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖,由此可构造区间套,其公共点属于某个开区间, 证用反证法记这个子区间为 ,则 且 再将 等分为两个子区间,
21. 由区间套定理,存在唯一的一点 于是,由定理7.1推论,当n充分大时有 由于 是 的一个开覆盖,故存在开区间 使 . 其中每一个闭区间都不能用 中有限个开区间来覆盖. 即是 区间套,重复上述步骤并不断地进行下去,则得到一个闭区间列 ,记这个子区间为 ,首页×则且 它满足
22. 定理7.3的结论只对闭区间 成立,而对开区间则不一定成立. 但不能从中选出有限个 开区间覆盖 . 例如,开区间集合 构成了开区间 的一个开覆盖, 这与挑选 时的假设“不能用 中有限个区间来覆盖”相矛盾. 有限覆盖定理的妙处在于将“无限”化为“有限”,它的 好处在以后的应用中我们会看到.这表明 只须用 中的一个开区间 就能覆盖,从而证得必存在属于 的有限个开区间能覆盖 .注1注2三、实数完备性基本定理的等价性 至此,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理,即首页×
23. 即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题. 最后用区间套定理分别证明余下的三个定理.首页×1.确界原理(定理1.1);2.单调有界定理(定理2.9);3.区间套定理(定理7.1);4.有限覆盖定理(定理7.3);5.聚点定理(定理7.2);6.柯西收敛准则(定理2.10).在本书中,我们首先证明了确界原理,由它证明单有界定理,再用单调有界定理导出区间套定理,事实上,在实数系中这六个命题是相互等价的,对此,我们可按下列顺序给予证明
24. 使得 为 的上界,而 不是 的上界,故存在 ,使得 . (6) 则对每一个正整数n存在相应的 , 即存在 ,使得 分别取 对任何正数 存在整数 使得 不是 的上界,其中 与 分别见定理2.9,7.1,与7.3;及 请读者作为练习自证(见本节习题8和9);而 见下例.例1 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证设 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,又对正整数 是 的上界,故有 .结合(6)式得 ;同理有首页×
25. 故存在 ,使得 . 首先,对任何 和正整数n有 , 由柯西收敛准则数列 收敛记 (7) 对任何 ,由于 及(7)式,从而得于是,对任给的 存在 ,使得当 时有现在证明 就是 的上确界,由(7)式得 ,即 是 的一个上界,对充分大n的同时有.又因 不是 的上界,结合上式得这说明 为 的上确界.同理可证:若 为非空有下界数集,则必存在下确界.首页×
z***u
下载需要
10
香币
[ 香币充值 ]
亲,您也可以通过
分享原创文档
来获得香币奖励!
服务器/托管费、人工审核、技术维护等都需要很多费用,请您支持香当网的发展
下载PPT
0
推荐
0
收藏
该用户的其他文档
大学学生校外住宿申请表
工程维保手册
施工现场消防安全检查制度
应聘人员登记表
初一有理数知识点
体育专业知识整理
图书馆学专业基础知识
员工福利及津补贴管理办法
幼儿园园长一日工作流程
小学数学3年级公式总结
消防设施验收情况记录表
售后服务部部门组织架构
护士注册健康体检表
内一科分级护理细化标准及服务内涵
生产部管理规章制度
商场造价指标分析
学校安全重点部位日巡查记录表
专项运输方案
绿化养护安全生产操作规程
小学生心理健康辅导记录表
突发道路运输事故应急救援预案
药品基础知识培训考试试题及答案
重症新生儿抢救转诊制度
混凝土道路施工方案
道路清扫保洁服务方案
油漆工程承包合同
高中排球垫球教学设计教案
工程进度管理考核办法
食堂燃气安全操作规程
中专学生仪容仪表基本标准及管理规定
电缆沟施工方案
公司青年员工调查问卷
加油站应急预案演练记录
健身俱乐部健身房薪金制度
学校网络安全建设方案
车辆管理系统实验报告课程设计
flexsim物流仿真软件实训与报告
重症医学科副主任竞聘演讲稿
地胶板施工工艺与技术方案
PPT制作合同
相关PPT
第七章 数组ppt课件
第七章幼儿园教学活动PPT课件
第七章保险PPT
急性心肌梗死护理课件PPT
急性心肌梗死护理PPT课件
电工基础教材PPT 第七章
设备设施完整性管理培训课件ppt
概率ppt课件
力复习课件PPT
云计算ppt课件
相关文档
xxx过敏性紫癜的护理查房 ppt课件
对PPT课件教学的思考
大学课件-水力学题库-第七章明槽恒定流动
「课件」策略性绩效管理-19页
第七章 绩效评估
第七章 战略管理
第七章 力 人教版教案
第七章 产品实现
关于提高行政效率建立健全完备的服务体系的调研方案
中考数学复习考点提分训练——专题十九:实数