• 1. 第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 首页ק2 闭区间上连续函数性质的证明
    • 2. 首页ק1 关于实数集完备性的基本定理 一、区间套定理与柯西收敛准则 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性
    • 3. 若 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点 , 构成区间套的闭区间列是前一个套者后一个, 一、区间套定理与柯西收敛准则 (i)(ii)或简称区间套. 这里的性质(i)表明, 即各闭区间的端点满足如下不等式 (1) 定理7.1(区间套定理) 使得 即 (2) 设闭区间列 具有如下性质 则称 为闭区间套, 定义1首页×
    • 4. 且有 分析 即要证明闭区间列 有唯一的公共点, 所以首先我们要至少找到一个公共点, 式和单调有界定理可以知道数列 由(1) 和 都存在极限, 只要证明这两个数列极限相等且属于所有的 我们 则找到一个公共点; 然后证明唯一性. 证由(1)式,为递增有界数列, 依单调有界定理,有极限 , (3)同理,递减有界数列也有极限, 并按区间套的条件(ii)有 (4)且 (5)联合(3)、(5)即得(2)式. 最后证明满足(2)的 是唯一的. 设数 也满足 首页×
    • 5. 区间套定理中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理的结论成立.由区间套的条件(ii)得 故有  注1  对于开区间列,有可能不成立,如 , 虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个, 且 , 但不存在属于所有开区间的公共点. 则由(2)式有 首页×
    • 6. 前者是区间套定理本身条件的要求 保证诸区间 后者则把 证明整个区间 上所具有某性质的问题归结为 点邻域 的性质, 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题, 恰 当地构造区间套.注2 一方面,这样的区间套必须是闭、缩、套, 即闭区间列 .满足(i)(ii)另一方面,也是最重要的,要把欲证命题的本质属性保留在 区间套的每一个闭区间中, 存在唯一公共点 ,实现完满整体向局部的转化. 由(4)容易推的如下很有用的区间套性质 . 首页×
    • 7. 使得在每个 外只有数列 中有限项. 要使用区间套定理证明充 分性,关键是如何构造合适的区间套,使其公共点正好是数列 的极限. 对任给的 ,存在 , 使得对 ,的 , 存在 ,使得当 时有 作为区间套定理的应用,我们来证明第二章中叙述而未证明的 “数列的柯西收敛准则"(定理2.10).即 数列 收敛的充要条件是:有 . 分析 由数列极限定义易证得必要性; 我们将对柯西列 构造区间套 推论 若 是区间套所确定的点则对任给 首页×
    • 8. 在区间 内含有 中几乎所有的项, 存在 ,使得对一切 有 , 即在区间 内含有 中几乎所有的项 对任给的 , 存在 ,当 时有 证[必要性]设 由数列极限定义,因而 .[充分性]按假设,对任给的 , (这里及以下,为叙述简单起见,我们用“ 中几乎 所有的项”表示“ 中除有限项外的所项”).据此,令 则存在 ,记这个区间为首页×
    • 9. 则存在 在区间 内含有 中几乎所有的项.再令记它也含有 中几乎所有的项,且满足继续依次令照以上方法得一闭区间列其中每个区间都含 中几乎所有的项,且满足首页×
    • 10. 本证明中的关键是构造合适的区间套,使其公共点正好是数列的极限.即 是区间套. 由区间套定理,存在唯一的一个数 现在证明数 就是数列 的极限. 事实上,由定理7.1的推论, 对任给的 ,存在 使得当 n>N 时有因此在 内含有 中除有限项外的所有项.这就证得 . 注意本证明中构造区间套的方法,我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思想方法.注首页×
    • 11. 若 的临域内都含有 中无穷多个点则称 为集 的一个聚点. 点集 只有一个聚点 存在 在 中至多包含中 有限多个点. 又若 为开区间(a,b)(a,b)内每一点以及端 点a、b都是S的聚点; 任何有限数集也 没有聚点. (它可以属于 也可以不属于 )定义2 设 为数轴上的点集 为定点 点集 有两个聚点 和而正整数集 没有聚点,注1点集的 聚点可以属于 ,也可以不属于 ;注2设 是数集,不是的 聚点 首页×二、聚点定理与有限覆盖定理
    • 12. 则其极限 称为S的一个聚点. 若点 的任何邻域 内都含有 中异于 的点,聚点概念的另两个等价定义如下 定义 对于点集 , 即 , 则 称为S的一个聚点. 定义若存在各项互异的收敛数列 ,关于以上三个定义等价性的证明,我们简述如下.1)定义2 定义 是显然的;2)定义 定义2也不难得到;3)定义 定义 . 首页×
    • 13. 而取 则是为了保证点列的各相互异性.令 , ,则存在 且显然 ……. 则对任给的 ,存在 ,证 设 为 (按定义)的聚点,令 则存在 令 则存在 且 无限地重复以上步骤,得到中各项互异的数列. 且由 , 易见 . 注 本证明中取 , 为了保证数列收敛到 .因此可以取其他的小量;注意这种技巧!首页×
    • 14. 故存在 使得 , 其中必有一子 区间内包含中无限多个点, 因为无限点集,故两个区间中至少有一个含有中无穷多个点,记此子区间为 .把区间 二等分,应用区间套定理来证聚点定理.定理7.2(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.分析 为有界点集, 继续上述步骤,可得一区间套,再证其公共点即为的聚点 .证为有界点集,记现将等分为两个子区间. 且首页×
    • 15. 则其中至少有一个子区间含有无穷多个点,再将 等分为两个子区间,首页×则取出这样的一个子区间,记为 . 将此等分子区间的手续无限地进行下去,得到一个区间列 它满足
    • 16. 且其中每一个闭区间都含  中无穷多个点.即 是区间套,由区间套定理, 存在唯一的一点 于是由定理7.1的推论, 对任给的   ,存在  当  时    从而   内含有 中无穷多个点, 按定义2 为 的聚点. 推论(致密性定理) 有界数列必有收敛子列.证 设 为有界数列. 若 中有无限多个相等的项, 则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的. 首页×
    • 17. 当 有先证明 是有界的.设数列 满足柯西条件. 点集 至少有一个聚点,记为 . 存在 的一个收敛子列(以为其极限). 于是按定义 , 则 在数轴上的 对应的点集必为有界无限点集,若数列 不含有无限多个相等的项,作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性 .首页×故由聚点定理,证 为此,取 则存在正整数N,由此得令
    • 18. 因而当 时得到 于是,由致密性定理,有界数列 必有收敛子列首页×则对一切正整数 对任给的这就证明了
    • 19. 使得 当 时有 . 对每一点 ,都可确定正数 (它依赖于 与 ), 若其中开区间的个数是无限(有限)的,则称 为 的一个无限开覆盖(有限开覆盖). 则称 为 的一个开覆盖,或 称 覆盖 . 若 中任何一点都含在 中至少一个开区间内, (即 的每一个元素都是形如 的开区间).定义3设 为数轴上的点集, 为开区间的集合在具体问题中,一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定.例如,若函数 在 内连续,则给定 ,这样就得到一个开区间集 它是区间 的一个无限开覆盖.首页×
    • 20. 同样,其中至少有一个子区间不能用 中有限个开区间来盖. 则其中至少有一个子区间不能用 中有限个开区间来覆盖. 将 等分为两个子区间, 从而导致区间套中某区间可用一个开区间覆盖的矛盾. 若闭区间不能用有限个开区间覆盖,把这区间二等分, 则从 中可选出有限个开区间来覆盖 . 假设定理的结论不成立,即不能用 中有限个开区间来覆盖 . 设 为闭区间 的一个(无限)开覆盖,首页×定理7.3(海涅—博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理)分析用反证法,其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖,由此可构造区间套,其公共点属于某个开区间, 证用反证法记这个子区间为 ,则 且 再将 等分为两个子区间,
    • 21. 由区间套定理,存在唯一的一点 于是,由定理7.1推论,当n充分大时有 由于 是 的一个开覆盖,故存在开区间 使 . 其中每一个闭区间都不能用 中有限个开区间来覆盖. 即是 区间套,重复上述步骤并不断地进行下去,则得到一个闭区间列 ,记这个子区间为 ,首页×则且 它满足
    • 22. 定理7.3的结论只对闭区间 成立,而对开区间则不一定成立. 但不能从中选出有限个 开区间覆盖 . 例如,开区间集合 构成了开区间 的一个开覆盖, 这与挑选 时的假设“不能用 中有限个区间来覆盖”相矛盾. 有限覆盖定理的妙处在于将“无限”化为“有限”,它的 好处在以后的应用中我们会看到.这表明 只须用 中的一个开区间 就能覆盖,从而证得必存在属于 的有限个开区间能覆盖 .注1注2三、实数完备性基本定理的等价性 至此,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理,即首页×
    • 23. 即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题. 最后用区间套定理分别证明余下的三个定理.首页×1.确界原理(定理1.1); 2.单调有界定理(定理2.9);3.区间套定理(定理7.1); 4.有限覆盖定理(定理7.3); 5.聚点定理(定理7.2); 6.柯西收敛准则(定理2.10). 在本书中,我们首先证明了确界原理,由它证明单有界定理,再用单调有界定理导出区间套定理,事实上,在实数系中这六个命题是相互等价的,对此,我们可按下列顺序给予证明
    • 24. 使得 为 的上界,而 不是 的上界,故存在 ,使得 . (6) 则对每一个正整数n存在相应的 , 即存在 ,使得 分别取 对任何正数 存在整数 使得 不是 的上界,其中 与 分别见定理2.9,7.1,与7.3;及 请读者作为练习自证(见本节习题8和9);而 见下例.例1 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证设 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,又对正整数 是 的上界,故有 .结合(6)式得 ;同理有首页×
    • 25. 故存在 ,使得 . 首先,对任何 和正整数n有 , 由柯西收敛准则数列 收敛记 (7) 对任何 ,由于 及(7)式,从而得于是,对任给的 存在 ,使得当 时有现在证明 就是 的上确界,由(7)式得 ,即 是 的一个上界,对充分大n的同时有.又因 不是 的上界,结合上式得这说明 为 的上确界. 同理可证:若 为非空有下界数集,则必存在下确界.首页×