专题八 立体
第二十三讲 空间中点直线面间位置关系
2019年
1(2019全国III文8）图点N正方形ABCD中心△ECD正三角形面ECD⊥面ABCDM线段ED中点
A．BMEN直线BMEN 相交直线
B．BM≠EN直线BMEN 相交直线
C．BMEN直线BMEN 异面直线
D．BM≠EN直线BMEN 异面直线
2（2019全国1文19）图直四棱柱ABCD–A1B1C1D1底面菱形AA14AB2∠BAD60°EMN分BCBB1A1D中点
（1）证明：MN∥面C1DE
（2）求点C面C1DE距离．
3（2019全国II文7）设αβ两面α∥β充条件
A．α数条直线β行
B．α两条相交直线β行
C．αβ行条直线
D．αβ垂直面
4（2019北京文13）已知lm面外两条直线．出列三断：
①l⊥m②m∥③l⊥．
中两断作条件余断作结写出正确命题：__________．
5（2019江苏16）图直三棱柱ABC－A1B1C1中DE分BCAC中点ABBC．
求证：（1）A1B1∥面DEC1
（2）BE⊥C1E．
6（2019全国II文17）图长方体ABCD–A1B1C1D1底面ABCD正方形点E棱AA1BE⊥EC1
（1）证明：BE⊥面EB1C1
（2）AEA1EAB3求四棱锥体积．
7(2019全国III文19）图1矩形ADEBABC菱形BFGC组成面图形中AB1BEBF2∠FBC60°ABBC折起BEBF重合连结DG图2
（1）证明图2中ACGD四点面面ABC⊥面BCGE
（2）求图2中四边形ACGD面积
8（2019北京文18）图四棱锥中面ABCD底部ABCD菱形ECD中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC
（Ⅱ）∠ABC60°求证：面PAB⊥面PAE
（Ⅲ）棱PB否存点FCF∥面PAE？说明理．
9（2019天津文17）图四棱锥中底面行四边形等边三角形面面
（Ⅰ）设分中点求证：面
（Ⅱ）求证：面
（Ⅲ）求直线面成角正弦值
10（2019江苏16）图直三棱柱ABC－A1B1C1中DE分BCAC中点ABBC．
求证：（1）A1B1∥面DEC1
（2）BE⊥C1E．
11（2019浙江19）图已知三棱柱面面分ACA1B1中点
（1）证明：
（2）求直线EF面A1BC成角余弦值
12（2019北京文18）图四棱锥中面ABCD底部ABCD菱形ECD中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC
（Ⅱ）∠ABC60°求证：面PAB⊥面PAE
（Ⅲ）棱PB否存点FCF∥面PAE？说明理．
13（2019全国1文16）已知∠ACB90°P面ABC外点PC2点P∠ACB两边ACBC距离均P面ABC距离___________．
14（2019全国1文19）图直四棱柱ABCD–A1B1C1D1底面菱形AA14AB2∠BAD60°EMN分BCBB1A1D中点
（1）证明：MN∥面C1DE
（2）求点C面C1DE距离．
15（2019天津文17）图四棱锥中底面行四边形等边三角形面面
（Ⅰ）设分中点求证：面
（Ⅱ）求证：面
（Ⅲ）求直线面成角正弦值
16（2019浙江8）设三棱锥VABC底面正三角形侧棱长均相等P棱VA点（含端点）记直线PB直线AC成角α直线PB面ABC成角β二面角PACB面角γ
A．β<γα<γ B．β<αβ<γ
C．β<αγ<α D．α<βγ<β
17（2019浙江19）图已知三棱柱面面分ACA1B1中点
（1）证明：
（2）求直线EF面A1BC成角余弦值
20102018年
选择题
1．(2018全国卷Ⅱ)正方体中棱中点异面直线成角正切值
A． B． C． D．
2．(2018浙江)已知面直线满足∥∥
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
3．（2017新课标Ⅰ）图列四正方体中正方体两顶点棱中点四正方体中直接面行
4．（2017新课标Ⅲ）正方体中棱中点
A． B． C． D．
5．（2016年全国I卷）面正方体ABCDA1B1C1D1顶点A∥面CB1D1面ABCDm面ABB1 A1nmn成角正弦值
A． B． C． D．
6．（2016年浙江）已知互相垂直面 交直线l．直线mn满足m∥αn⊥β
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
7．（2015新课标1）九章算术国古代容极丰富数学名著书中问题：委米垣角周八尺高五尺问积米？意思：屋墙角处堆放米（图米堆圆锥四分）米堆底部弧长8尺米堆高5尺问米堆体积堆放米少？已知1斛米体积约162立方尺圆周率约3估算出堆放米约
A．斛 B．斛 C．斛 D．斛
8．（2015新课标2）已知球球面两点该球面动点．三棱锥体积值36球表面积
A． B． C． D．
9．（2015广东）直线异面直线面面面面交线列命题正确
A．相交 B．相交
C．中条相交 D．少中条相交
10．（2015浙江）图已知中点直线翻折成成二面角面角
11．（2014广东）空间中四条两两直线满足面结定正确
A． B． C．垂直行 D．位置关系确定
12．（2014浙江）设两条直线两面
A． B．
C． D．
13．（2014辽宁）已知表示两条直线表示面列说法正确
A． B．
C． D．
14．（2014浙江）图某垂直水面墙面前点处进行射击训练已知点墙面距离某目标点墙面射击线移动准确瞄准目标点需计算点观察点仰角（仰角直线面成角）值
A． B． C． D．
15．（2014四川）图正方体中点线段中点设点线段直线 面成角取值范围
A． B． C． D．
16．（2013新课标2）已知异面直线⊥面⊥面．直线满足
A． B．⊥⊥
C．相交交线垂直 D．相交交线行
17．（2013广东）设两条直线两面列命题中正确
A．
B．
C．
D．
18．（2012浙江）设直线两面
A．∥∥∥ B．∥⊥⊥
C．⊥⊥⊥ D．⊥ ∥⊥
19．（2012浙江）已知矩形．矩形角线直线进行翻折翻折程中
A．存某位置直线直线垂直
B．存某位置直线直线垂直
C．存某位置直线直线垂直
D．意位置三直线均垂直
20．（2011浙江）列命题中错误
A．果面面定存直线行面
B．果面垂直面面定存直线垂直面
C．果面面
D．果面面直线垂直面
21．（2010山东）空间列命题正确
A．行直线行投影重合
B．行直线两面行
C．垂直面两面行
D．垂直面两条直线行
二填空题
22．(2018全国卷Ⅱ)已知圆锥顶点母线互相垂直圆锥底面成角面积该圆锥体积_____．
三解答题
23．（2018全国卷Ⅱ）图三棱锥中
中点．
(1)证明：面
(2)点棱求点面距离．
24．（2018全国卷Ⅲ）图矩形面半圆弧面垂直异点．
(1)证明：面面
(2)线段否存点面？说明理．
25．（2018北京）图四棱锥中底面矩形面⊥面⊥分中点．
(1)求证：⊥
(2)求证：面⊥面
(3)求证：∥面．
26．（2018天津）图四面体中等边三角形面⊥面点棱中点．
(1)求证：⊥
(2)求异面直线成角余弦值
(3)求直线面成角正弦值．
27．(2018江苏)行六面体中．
求证：(1)面
(2)面面．
28．(2018浙江)图已知面体均垂直面．
(1)证明：⊥面
(2)求直线面成角正弦值．
29．（2017新课标Ⅱ）图四棱锥中侧面等边三角形垂直底面．
(1)证明：直线∥面
(2)面积求四棱锥体积
30．（2017新课标Ⅲ）图四面体中正三角形．
(1)证明：
(2)已知直角三角形．棱重合点求四面体四面体体积．
31．（2017天津）图四棱锥中面．
（Ⅰ）求异面直线成角余弦值
（Ⅱ）求证：面
（Ⅲ）求直线面成角正弦值．
32．（2017山东）四棱柱截三棱锥体图示四边形正方形交点中点面
（Ⅰ）证明：∥面
（Ⅱ）设中点证明：面面．
33．（2017北京）图三棱锥中线段中点线段点．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：面面
（Ⅲ）∥面时求三棱锥体积．
34．（2017浙江）图已知四棱锥斜边等腰直角三角形中点．
（Ⅰ）证明：∥面
（Ⅱ）求直线面成角正弦值．
35．（2017江苏）图三棱锥中AB⊥ADBC⊥BD面ABD⊥面BCD点EF（EAD重合）分棱ADBDEF⊥AD．
求证：（1）EF∥面ABC
（2）AD⊥AC．
36．（2017江苏）图水放置正四棱柱形玻璃容器Ⅰ正四棱台形玻璃容器Ⅱ高均32cm容器Ⅰ底面角线长10cm容器Ⅱ两底面角线长分14cm62cm． 分容器Ⅰ容器Ⅱ中注入水水深均12cm． 现根玻璃棒长度40cm．（容器厚度玻璃棒粗细均忽略计）
（1）放容器Ⅰ中端置点处端置侧棱求没入水中部分长度
（2）放容器Ⅱ中端置点处端置侧棱求没入水中部分长度．
37．（2016年山东）图示体中DAC中点EF∥DB
（I）已知ABBCAEEC求证：AC⊥FB
（II）已知GH分ECFB中点求证：GH∥面ABC
38．（2016年天津）图四边形ABCD行四边形面AED面ABCDEFABAB2BCEF1AEDE3∠BAD60ºGBC中点
(Ⅰ)求证：FG面BED
(Ⅱ)求证：面BED面AED
(Ⅲ)求直线EF面BED成角正弦值
39．（2016年全国I卷）图已知正三棱锥侧面直角三角形顶点面正投影点面正投影点连结延长交点．
（I）证明：中点
（II）图中作出点面正投影（说明作法理）求四面体体积．
40．（2016年全国II卷）图菱形角线交点点分交点折位置
(Ⅰ)证明：
(Ⅱ)求五棱锥体积．
41．（2016年全国III卷）图四棱锥中⊥底面线段点中点．
（Ⅰ）证明面
（Ⅱ）求四面体体积．
42．（2015新课标1）图四边形菱形交点面．
（Ⅰ）证明：面面
（Ⅱ）三棱锥体积求该三棱锥侧面积．
43．（2015新课标2）图长方体中点分．点面长方体面相交交线围成正方形．
（Ⅰ）图中画出正方形（必说明画法理）
（Ⅱ）求面该长方体分成两部分体积值．
44．（2014山东）图四棱锥中
分线段中点
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：．
45．(2014江苏)图三棱锥中EF分棱中点．已知
求证：（Ⅰ）直线面
（Ⅱ）面面．
46．（2014新课标2）图四棱锥中底面矩形⊥面中点．
（Ⅰ）证明：∥面
（Ⅱ）设二面角60°1求三棱锥体积．
47．（2014天津）图四棱锥底面行四边形分棱中点．
（Ⅰ）证明 面
（Ⅱ）二面角
（ⅰ）证明：面⊥面
（ⅱ）求直线面成角正弦值．
48．（2013浙江）图四棱锥PABCD中PA⊥面ABCDABBC2ADCDPA∠ABC120°G线段PC点．
（Ⅰ）证明：BD⊥面APC
（Ⅱ）GPC中点求DGAPC成角正切值
（Ⅲ）G满足PC⊥面BGD求 值．
49．（2013辽宁）图圆直径垂直圆面圆点．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）设中点重心求证：面．
50．（2012江苏）图直三棱柱中分棱点（点D点C）中点．
求证：（Ⅰ）面面
（Ⅱ）直线面．
51．(2012广东)图示四棱锥中面中点点中边高．
（Ⅰ）证明：面
（Ⅱ）求三棱锥体积
（Ⅲ）证明：面．
52．（2011江苏）图四棱锥中面PAD⊥面ABCDABAD∠BAD60°EF分APAD中点．
求证：（Ⅰ）直线EF∥面PCD
（Ⅱ）面BEF⊥面PAD．
53．（2011广东）图椎体PABCD中ABCD边长1棱形∠DAB60PB2EF分BCPC中点．
（Ⅰ）证明：AD面DEF
（Ⅱ）求二面角PADB余弦值．
54．（2010天津）图五面体中四边形正方形⊥面∥1∠＝∠＝45°．
（Ⅰ）求异面直线成角余弦值
（Ⅱ）证明⊥面
（Ⅲ）求二面角正切值．
55．（2010浙江）图行四边形中2∠120°．线段中点△直线翻折成△面⊥面线段中点．
（Ⅰ）求证：∥面
（Ⅱ）设线段中点求直线面成角余弦值．
专题八 立体
第二十三讲 空间中点直线面间位置关系
答案部分
2019年
2019年
1解析 图示联结
点正方形中心正三角形面面线段中点面面中边中线中边中线直线相交直线设
．选B．
2解析 （1）连结ME分中点N中点
题设知四边形MNDE行四边形面MN∥面
（2）C作C1E垂线垂足H
已知DE⊥面DE⊥CH
CH⊥面CH长C面距离
已知CE1C1C4
点C面距离
3解析：A数条直线行相交排
B两条相交直线行
C行条直线相交排
D垂直面相交排．
选B．
4解析 ②作面③①
5证明：（1）DE分BCAC中点
ED∥AB
直三棱柱ABCA1B1C1中AB∥A1B1
A1B1∥ED
ED⊂面DEC1A1B1面DEC1
A1B1∥面DEC1
（2）ABBCEAC中点BE⊥AC
三棱柱ABCA1B1C1直棱柱CC1⊥面ABC
BE⊂面ABCCC1⊥BE
C1C⊂面A1ACC1AC⊂面A1ACC1C1C∩ACC
BE⊥面A1ACC1
C1E⊂面A1ACC1BE⊥C1E
6解：（1）已知B1C1⊥面ABB1A1BE面ABB1A1
BE⊥面
（2）（1）知∠BEB190°题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1EAEAB3
作垂足FEF⊥面
四棱锥体积
7解析（1）已知ADBECGBEADCGADCG确定面ACGD四点面．
已知ABBEABBCAB面BCGE．
AB面ABC面ABC面BCGE．
（2）取中点联结
面面
已知四边形菱形面
中
四边形面积4
8解析（Ⅰ）面ABCD面
．
底面ABCD菱形．
面面
面PAC．
（Ⅱ）PA⊥面ABCD面ABCD
PA⊥AE．
底面ABCD菱形∠ABC60°ECD中点
AE⊥CD．
AB⊥AE．
面面AE⊥面PAB．
面面PAB⊥面．
（Ⅲ）棱PB存点F中点CF∥面PAE．
取FPB中点取GPA中点连结CFFGEG．
分中点FG∥ABFGAB．
底面ABCD菱形ECD中点
CE∥ABCEAB．
FG∥CEFGCE．
四边形CEGF行四边形
CF∥EG．
CF面PAEEG面PAE
CF∥面PAE．
9解析 （Ⅰ）连接易知面面面
（Ⅱ）取棱中点连接题意面面面面面面已知面
（Ⅲ）连接（Ⅱ）中面知直线面成角
等边三角形中点
中
直线面成角正弦值
10证明：（1）DE分BCAC中点
ED∥AB
直三棱柱ABCA1B1C1中AB∥A1B1
A1B1∥ED
ED⊂面DEC1A1B1面DEC1
A1B1∥面DEC1
（2）ABBCEAC中点BE⊥AC
三棱柱ABCA1B1C1直棱柱CC1⊥面ABC
BE⊂面ABCCC1⊥BE
C1C⊂面A1ACC1AC⊂面A1ACC1C1C∩ACC
BE⊥面A1ACC1
C1E⊂面A1ACC1BE⊥C1E
11（I）连接A1EA1AA1CEAC中点A1E⊥AC
面A1ACC1⊥面ABCA1E面A1ACC1
面A1ACC1∩面ABCAC
A1E⊥面ABCA1E⊥BC
A1F∥AB∠ABC90°BC⊥A1F
BC⊥面A1EF
EF⊥BC
（Ⅱ）取BC中点G连接EGGFEGFA1行四边形．
A1E⊥面ABCAE1⊥EG行四边形EGFA1矩形．
（I）BC⊥面EGFA1面A1BC⊥面EGFA1
EF面A1BC射影直线A1G
连接A1G交EFO∠EOG直线EF面A1BC成角（补角）
妨设AC4Rt△A1EG中A1E2EG
OA1G中点
．
直线EF面A1BC成角余弦值．
12解析（Ⅰ）面ABCD面
．
底面ABCD菱形．
面面
面PAC．
（Ⅱ）PA⊥面ABCD面ABCD
PA⊥AE．
底面ABCD菱形∠ABC60°ECD中点
AE⊥CD．
AB⊥AE．
面面AE⊥面PAB．
面面PAB⊥面．
（Ⅲ）棱PB存点F中点CF∥面PAE．
取FPB中点取GPA中点连结CFFGEG．
分中点FG∥ABFGAB．
底面ABCD菱形ECD中点
CE∥ABCEAB．
FG∥CEFGCE．
四边形CEGF行四边形
CF∥EG．
CF面PAEEG面PAE
CF∥面PAE．
13 点P作PO⊥面ABC交面ABC点O
点P作PD⊥AC交AC点D作PE⊥BC交BC点E联结ODOCOE
四边形矩形
做辅助线知
矩形边长1正方形
中
点P面ABC距离求距离
14解析 （1）连结ME分中点N中点
题设知四边形MNDE行四边形面MN∥面
（2）C作C1E垂线垂足H
已知DE⊥面DE⊥CH
CH⊥面CH长C面距离
已知CE1C1C4
点C面距离
15解析 （Ⅰ）连接易知面面面
（Ⅱ）取棱中点连接题意面面面面面面已知面
（Ⅲ）连接（Ⅱ）中面知直线面成角
等边三角形中点
中
直线面成角正弦值
16解析：解法：图GAC中点V底面射影OP底面射影D线段AO
作E易P作F
D作交BGH
解法二：值定理记面角(显然)
角定理
解法三特殊图形法：设三棱锥棱长2正四面体PVA中点
易
选B．
17（I）连接A1EA1AA1CEAC中点A1E⊥AC
面A1ACC1⊥面ABCA1E面A1ACC1
面A1ACC1∩面ABCAC
A1E⊥面ABCA1E⊥BC
A1F∥AB∠ABC90°BC⊥A1F
BC⊥面A1EF
EF⊥BC
（Ⅱ）取BC中点G连接EGGFEGFA1行四边形．
A1E⊥面ABCAE1⊥EG行四边形EGFA1矩形．
（I）BC⊥面EGFA1面A1BC⊥面EGFA1
EF面A1BC射影直线A1G
连接A1G交EFO∠EOG直线EF面A1BC成角（补角）
妨设AC4Rt△A1EG中A1E2EG
OA1G中点
．
直线EF面A1BC成角余弦值．
20102018年
1．C解析图连接异面直线成角等相交直线成角．妨设正方体棱长2勾股定理面
选C．
2．A解析∥线面行判定定理知∥．∥定推出∥直线异面∥∥充分必条件．选A．
3．A解析正方体线线关系易知BCD中面 A满足．选A．
4．C解析图连结易知面面选C．
5．A解析点面面行面∥面∥∥∥面∥成角求角成角正弦值选A．
6．C解析选项A时选项B时选项C选项D时选C．
7．B解析圆锥底面半径米堆体积堆放米斛．
8．C解析三棱锥中点面距离底面三角形时直角三角形顶点面距离球半径
中球半径
球表面积．
9．D解析直线异面直线面面面面交线少中条相交选A．
10．B解析解法 设题意知．
空间图形中连结设．
中．
作作垂足分．
作四边形行四边形
连结二面角面角．
中．
理．
显然面．
中．
中
（时取等号）
递减函数
选B．
解法二 时排D时排AC选B．
11．D解析利正方体模型出位置关系确定．选D．
12．C解析选项中均面行垂直斜交面选．
13．B解析选项A相交行异面A错误显然选项B正确选项CC错误选项D相交D错误．选B．
14．D解析作垂足设
余弦定理
时取值值．
15．B解析直线面成角取值范围
取值范围
16．D解析作正方形模型面左侧面
知D正确．
17．D解析A中行垂直异面B中异面C中 应中两条相交直线垂直时结成立选D．
18．B解析利排法选项B正确∵∥⊥．选项A：∥∥时⊥∥选项C：⊥⊥∥选项D：⊥ ⊥∥⊥．
19．B解析点作存某位置面计算垂直A正确翻折时面面样位置存C正确理D正确选B．
20．D解析D面面面某直线垂直面面关系斜交行面余选项易知均正确．
21．D解析两行直线行投影定重合A错空间直线面位置关系线面垂直行判定性质定理知均错误选D．
22．解析题意画出图形图
设底面圆直径连接圆锥高设圆锥母线长
面积8中
题意知．
该圆锥体积．
23．解析(1)中点⊥．
连结．等腰直角三角形
⊥．
知⊥．
⊥⊥知⊥面．
(2)作⊥垂足．(1)⊥⊥面．
长点面距离．
题设知．
．
点面距离．
24．解析(1)题设知面⊥面交线．
⊥面⊥面⊥．
异点直径 ⊥．
⊥面．
面面⊥面．
(2)中点时∥面．
证明：连结交．矩形中点．
连结 中点∥．
面面∥面．
25．解析(1)∵中点∴．
∵底面矩形∴
∴．
(2)∵底面矩形∴．
∵面面∴面．
∴．
∵面∴面面．
(3)图取中点连接．
∵分中点∴．
∵四边形矩形中点
∴
∴∴四边形行四边形
∴．
面面
∴面．
26．解析(1)面⊥面面∩面⊥⊥面⊥．
(2)取棱中点连接．棱中点∥．（补角）异面直线成角．
中．
⊥面⊥．
中．
等腰三角形中．
异面直线成角余弦值．
(3)连接．等边三角形边中点⊥
．面面面
面．直线面成角．
中．
中．
直线面成角正弦值．
27．证明(1)行六面体中．
面面
∥面．
(2)行六面体中四边形行四边形．
四边形菱形
⊥．
⊥∥
⊥．
面面
⊥面．
面
面⊥面．
28．解析(1)
．
．
．
面．
(2)图点作交直线点连结．
面面面
面
面成角．
．
直线面成角正弦值．
29．解析（1）面∥
面面∥面．
（2）取中点连结．∥
四边形正方形．
侧面等边三角形垂直底面面面底面．底面．
设．取中点连结．
面积解（舍）．．
四棱锥体积．
30．解析（1）取中点连结⊥．
正三角形⊥⊥面⊥BD
（2）连结．
（1）题设知．
中．
题设知直角三角形．
正三角形．
BD中点面距离面距离四面体体积四面体体积四面体四面体体积11．
31．解析（Ⅰ）图已知ADBC补角异面直线APBC成角．AD⊥面PDCAD⊥PD．Rt△PDA中已知．
异面直线APBC成角余弦值．
（Ⅱ）证明：AD⊥面PDC直线PD面PDCAD⊥PD．BCADPD⊥BCPD⊥PBPD⊥面PBC．
（Ⅲ）点D作AB行线交BC点F连结PFDF面PBC成角等AB面PBC成角．
PD⊥面PBCPFDF面PBC射影直线DF面PBC成角．
ADBCDFABBFAD1已知CFBC –BF2．AD⊥DCBC⊥DCRt△DCF中Rt△DPF中．
直线AB面PBC成角正弦值．
32．解析（Ⅰ）取中点连接
四棱柱
四边形行四边形
面面
∥面
（Ⅱ）∵．分中点
∴
面面
∵
面
面
面
面面．
33．解析（Ⅰ）面
面．
（Ⅱ）中点
（Ⅰ）知面．
面面．
（Ⅲ）面面面
．
中点．
（Ⅰ）知面面．
三棱锥体积．
34．解析（Ⅰ）图设PA中点F连结EFFB．
EF分PDPA中点EF∥AD
BC∥AD
EF∥BCEFBC
四边形BCEF行四边形CE∥BF
CE∥面PAB．
（Ⅱ）分取BCAD中点MN．连结PN交EF点Q连结MQ．
EFN分PDPAAD中点QEF中点
行四边形BCEF中MQ∥CE．
等腰直角三角形
PN⊥AD．
DC⊥ADNAD中点
BN⊥AD．
AD⊥面PBN
BC∥AD BC⊥面PBN
面PBC⊥面PBN．
点Q作PB垂线垂足H连结MH．
MHMQ面PBC射影∠QMH直线CE面PBC成角．
设CD1．
中PC2CD1PDCE
△PBN中PNBN1PB
中MQ
直线CE面PBC成角正弦值．
35．解析证明：（1）面
面面∥面
（2）面⊥面
面面
面
面
面
面面
⊥面
面
．
36．解析（1）正棱柱定义面
面面．
记玻璃棒端落点处．
．
．
记水交点作垂足
面
．
答：玻璃棒没入水中部分长度16cm
( 果没入水中部分理解水面部分结果24cm)
（2）图正棱台两底面中心
正棱台定义⊥面
面⊥面⊥
理面⊥面⊥
记玻璃棒端落点处
作⊥垂足 32
14 62
设
中正弦定理解
记水面交点作垂足 ⊥面12
答玻璃棒没入水中部分长度20cm
(果没入水中部分理解水面部分结果20cm)
37．解析（Ⅰ）证明：确定面连接 中点理面面．
（Ⅱ）设中点连中中点中中点面面面面．
38．解析（Ⅰ）证明：取中点连接中中点四边形行四边形面面面．
（Ⅱ）证明：中余弦定理进面面面面面面面面面．
（Ⅲ）解：直线面成角直线面成角点作点连接面面（Ⅱ）知面直线面成角中余弦定理中直线面成角正弦值．
39．解析（Ⅰ）面正投影
面正投影
面
已知中点
（Ⅱ）面点作行线交点面正投影
理：已知面点面正投影
连接面正投影正三角形中心
（Ⅰ）知中点
题设面面
已知正三棱锥侧面直角三角形
等腰直角三角形中
四面体体积
40．解析（Ⅰ）已知
（Ⅱ）
（Ⅰ）知
面
面
五边形面积
五棱锥体积
41．解析（Ⅰ）已知取中点连接中点知
行等四边形行四边形
面面面
（Ⅱ）面中点面距离．取中点连结
距离
四面体体积
42．解析（Ⅰ）四边形菱形
面面．
面面面．
（Ⅱ）设菱形中120°
．
中．
面知直角三角形．
已知三棱锥体积．
．
．
面积3面积面积均．
三棱锥侧面积．
43．解析（Ⅰ）交线围成正方形图
（Ⅱ）作垂足．正方形．
．
长方形面分成两高10直棱柱体积值（正确）．
44．解析（Ⅰ）设连结OFEC
EAD中点
四边形ABCE菱形OAC中点FPC中点
中
面BEF面BEF面
（Ⅱ）题意知四边形行四边形
．面PCD．
四边形ABCE菱形
APAC面PAC面．
45．解析（Ⅰ）∵中点∴DE∥PA
∵面DEFDE面DEF∴PA∥面DEF
（Ⅱ）∵中点∴
∵中点∴
∴∴∴DE⊥EF
∵∴
∵∴DE⊥面ABC
∵DE面BDE∴面BDE⊥面ABC．
46．解析（Ⅰ）连接BD交AC点O连结EO．
ABCD矩形OBD中点
EPD中点EO∥PB
EO面AECPB面AECPB∥面AEC
（Ⅱ）PA面ABCDABCD矩形ABADAP两两垂直．
图A坐标原点方轴正方单位长建立空间直角坐标系
设
设面ACE法量
取．
面DAE法量
题设解．
EPD中点三棱锥高．
三棱锥体积．
47．解析（Ⅰ）证明：图取PB中点M连接MFAMFPC中点
MFBCMFBC．已知BCADBCAD．EAD中点
MFAEMFAE四边形AMFE行四边形
EFAMAM面PABEF面PAB
EF面PAB
（Ⅱ）（i）证明：连接PEBE．PAPDBABDEAD中点
PEADBEADPEB二面角PADB面角．三角形PAD中
解PE2．
三角形ABD中解BE1．
三角形PEB中PE2BE1
余弦定理解PBBEPB
BCADBEADBEBCBE面PBC．BE面ABCD
面PBC面ABCD．
（ii）连接BF（i）知BE面PBC．EFB直线EF面PBC成角
PBPAABABP直角MBPBAM
EFBE1直角三角形EBF中
直线EF面PBC成角正弦值．
48．解析（Ⅰ）设点OACBD交点
AB＝BCAD＝CDBD线段AC中垂线．
OAC中点BD⊥AC．
PA⊥面ABCDBD面ABCD
PA⊥BD．BD⊥面APC．
（Ⅱ）连结OG(1)知OD⊥面APCDG面APC射影OG∠OGDDG面APC成角．
题意OG＝PA＝
△ABC中AC＝＝
OC＝AC＝
直角△OCD中OD＝＝2
直角△OGD中tan∠OGD＝
DG面APC成角正切值
（Ⅲ）连结OGPC⊥面BGDOG面BGDPC⊥OG
直角△PAC中PC＝
GC＝
PG＝
49．解析（Ⅰ）AB圆O直径AC⊥BC．
PA⊥面ABCBC面ABCPA⊥BC
PA∩ACAPA面PACAC面PAC
BC⊥面PAC．
（Ⅱ）连OG延长交ACM链接QMQO
G∆AOC重心MAC中点
GPA中点QMPC
OAB中点OMBC
QM∩MOMQM面QMO．
QG面PBC．
50．解析（Ⅰ）直三棱柱面ABC面面面AD面ADE面ADE面
（Ⅱ）中点．面面面
面AD．AD面面面．
51．解析（Ⅰ）面面
面
（Ⅱ）中点点面距离
三棱锥体积
（Ⅲ）取中点连接
面面面面
点棱中点
：面．
52．证明：（Ⅰ）△PAD中EF分APAD中点EFPD．
EF面PCDPD面PCD
直线EF面PCD．
（Ⅱ）连结DBABAD∠BAD60°
△ABD正三角形FAD中点BF⊥AD．
面PAD⊥面ABCDBF面ABCD面PAD面ABCDAD
BF⊥面PAD．BF面BEF面BEF⊥面PAD．
53．解析法：（Ⅰ）证明：取AD中点G连接PGBGBD．PAPD中等边三角形面PBG
PBEFDEGBAD DEAD 面DEF
（Ⅱ）二面角P—AD—B面角
法二：（Ⅰ）取AD中点G
等边三角形
面PBG．
延长BGOPO OB面PBGPO AD
PO 面ABCD．
O坐标原点菱形边长单位长度直线OBOP分轴z轴行AD直线轴建立图示空间直角坐标系．
设
面DEF．
（Ⅱ）
取面ABD法量
设面PAD法量
取
54．解析（Ⅰ）四边形正方形异面直线成角面
△中13
异面直线成角余弦值
（Ⅱ）证明：点作交点面
(Ⅲ)解：（Ⅱ）已知中点取中点连接点作交二面角面角
连接面已知
△中
二面角正切值．
55．解析 (Ⅰ)取中点G连结GFCE条件易知
FG∥CDFGCD．BE∥CDBECD．FG∥BEFGBE．
四边形BEGF行四边形BF∥EG．
面BF面 BF面．
（Ⅱ）解：行四边形ABCD中设BCABCD2ADAEEB
连CE．
△BCE中CE
△ADE中DE
△CDE中CD2CE2+DE2CE⊥DE
正三角形中MDE中点⊥DE
面⊥面BCD
知⊥面BCD ⊥CE
取中点N连线NMNF
NF⊥DENF⊥
DE交M
NF⊥面
∠FMN直线FM面新成角．
Rt△FMN中NF MN FM
cos．
直线面成角余弦值．
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第二十三讲 空间中点直线面间位置关系
2019年
1(2019全国III文8）图点N正方形ABCD中心△ECD正三角形面ECD⊥面ABCDM线段ED中点
A．BMEN直线BMEN 相交直线
B．BM≠EN直线BMEN 相交直线
C．BMEN直线BMEN 异面直线
D．BM≠EN直线BMEN 异面直线
2（2019全国1文19）图直四棱柱ABCD–A1B1C1D1底面菱形AA14AB2∠BAD60°EMN分BCBB1A1D中点
（1）证明：MN∥面C1DE
（2）求点C面C1DE距离．
3（2019全国II文7）设αβ两面α∥β充条件
A．α数条直线β行
B．α两条相交直线β行
C．αβ行条直线
D．αβ垂直面
4（2019北京文13）已知lm面外两条直线．出列三断：
①l⊥m②m∥③l⊥．
中两断作条件余断作结写出正确命题：__________．
5（2019江苏16）图直三棱柱ABC－A1B1C1中DE分BCAC中点ABBC．
求证：（1）A1B1∥面DEC1
（2）BE⊥C1E．
6（2019全国II文17）图长方体ABCD–A1B1C1D1底面ABCD正方形点E棱AA1BE⊥EC1
（1）证明：BE⊥面EB1C1
（2）AEA1EAB3求四棱锥体积．
7(2019全国III文19）图1矩形ADEBABC菱形BFGC组成面图形中AB1BEBF2∠FBC60°ABBC折起BEBF重合连结DG图2
（1）证明图2中ACGD四点面面ABC⊥面BCGE
（2）求图2中四边形ACGD面积
8（2019北京文18）图四棱锥中面ABCD底部ABCD菱形ECD中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC
（Ⅱ）∠ABC60°求证：面PAB⊥面PAE
（Ⅲ）棱PB否存点FCF∥面PAE？说明理．
9（2019天津文17）图四棱锥中底面行四边形等边三角形面面
（Ⅰ）设分中点求证：面
（Ⅱ）求证：面
（Ⅲ）求直线面成角正弦值
10（2019江苏16）图直三棱柱ABC－A1B1C1中DE分BCAC中点ABBC．
求证：（1）A1B1∥面DEC1
（2）BE⊥C1E．
11（2019浙江19）图已知三棱柱面面分ACA1B1中点
（1）证明：
（2）求直线EF面A1BC成角余弦值
12（2019北京文18）图四棱锥中面ABCD底部ABCD菱形ECD中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC
（Ⅱ）∠ABC60°求证：面PAB⊥面PAE
（Ⅲ）棱PB否存点FCF∥面PAE？说明理．
13（2019全国1文16）已知∠ACB90°P面ABC外点PC2点P∠ACB两边ACBC距离均P面ABC距离___________．
14（2019全国1文19）图直四棱柱ABCD–A1B1C1D1底面菱形AA14AB2∠BAD60°EMN分BCBB1A1D中点
（1）证明：MN∥面C1DE
（2）求点C面C1DE距离．
15（2019天津文17）图四棱锥中底面行四边形等边三角形面面
（Ⅰ）设分中点求证：面
（Ⅱ）求证：面
（Ⅲ）求直线面成角正弦值
16（2019浙江8）设三棱锥VABC底面正三角形侧棱长均相等P棱VA点（含端点）记直线PB直线AC成角α直线PB面ABC成角β二面角PACB面角γ
A．β<γα<γ B．β<αβ<γ
C．β<αγ<α D．α<βγ<β
17（2019浙江19）图已知三棱柱面面分ACA1B1中点
（1）证明：
（2）求直线EF面A1BC成角余弦值
20102018年
选择题
1．(2018全国卷Ⅱ)正方体中棱中点异面直线成角正切值
A． B． C． D．
2．(2018浙江)已知面直线满足∥∥
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
3．（2017新课标Ⅰ）图列四正方体中正方体两顶点棱中点四正方体中直接面行
4．（2017新课标Ⅲ）正方体中棱中点
A． B． C． D．
5．（2016年全国I卷）面正方体ABCDA1B1C1D1顶点A∥面CB1D1面ABCDm面ABB1 A1nmn成角正弦值
A． B． C． D．
6．（2016年浙江）已知互相垂直面 交直线l．直线mn满足m∥αn⊥β
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
7．（2015新课标1）九章算术国古代容极丰富数学名著书中问题：委米垣角周八尺高五尺问积米？意思：屋墙角处堆放米（图米堆圆锥四分）米堆底部弧长8尺米堆高5尺问米堆体积堆放米少？已知1斛米体积约162立方尺圆周率约3估算出堆放米约
A．斛 B．斛 C．斛 D．斛
8．（2015新课标2）已知球球面两点该球面动点．三棱锥体积值36球表面积
A． B． C． D．
9．（2015广东）直线异面直线面面面面交线列命题正确
A．相交 B．相交
C．中条相交 D．少中条相交
10．（2015浙江）图已知中点直线翻折成成二面角面角
11．（2014广东）空间中四条两两直线满足面结定正确
A． B． C．垂直行 D．位置关系确定
12．（2014浙江）设两条直线两面
A． B．
C． D．
13．（2014辽宁）已知表示两条直线表示面列说法正确
A． B．
C． D．
14．（2014浙江）图某垂直水面墙面前点处进行射击训练已知点墙面距离某目标点墙面射击线移动准确瞄准目标点需计算点观察点仰角（仰角直线面成角）值
A． B． C． D．
15．（2014四川）图正方体中点线段中点设点线段直线 面成角取值范围
A． B． C． D．
16．（2013新课标2）已知异面直线⊥面⊥面．直线满足
A． B．⊥⊥
C．相交交线垂直 D．相交交线行
17．（2013广东）设两条直线两面列命题中正确
A．
B．
C．
D．
18．（2012浙江）设直线两面
A．∥∥∥ B．∥⊥⊥
C．⊥⊥⊥ D．⊥ ∥⊥
19．（2012浙江）已知矩形．矩形角线直线进行翻折翻折程中
A．存某位置直线直线垂直
B．存某位置直线直线垂直
C．存某位置直线直线垂直
D．意位置三直线均垂直
20．（2011浙江）列命题中错误
A．果面面定存直线行面
B．果面垂直面面定存直线垂直面
C．果面面
D．果面面直线垂直面
21．（2010山东）空间列命题正确
A．行直线行投影重合
B．行直线两面行
C．垂直面两面行
D．垂直面两条直线行
二填空题
22．(2018全国卷Ⅱ)已知圆锥顶点母线互相垂直圆锥底面成角面积该圆锥体积_____．
三解答题
23．（2018全国卷Ⅱ）图三棱锥中
中点．
(1)证明：面
(2)点棱求点面距离．
24．（2018全国卷Ⅲ）图矩形面半圆弧面垂直异点．
(1)证明：面面
(2)线段否存点面？说明理．
25．（2018北京）图四棱锥中底面矩形面⊥面⊥分中点．
(1)求证：⊥
(2)求证：面⊥面
(3)求证：∥面．
26．（2018天津）图四面体中等边三角形面⊥面点棱中点．
(1)求证：⊥
(2)求异面直线成角余弦值
(3)求直线面成角正弦值．
27．(2018江苏)行六面体中．
求证：(1)面
(2)面面．
28．(2018浙江)图已知面体均垂直面．
(1)证明：⊥面
(2)求直线面成角正弦值．
29．（2017新课标Ⅱ）图四棱锥中侧面等边三角形垂直底面．
(1)证明：直线∥面
(2)面积求四棱锥体积
30．（2017新课标Ⅲ）图四面体中正三角形．
(1)证明：
(2)已知直角三角形．棱重合点求四面体四面体体积．
31．（2017天津）图四棱锥中面．
（Ⅰ）求异面直线成角余弦值
（Ⅱ）求证：面
（Ⅲ）求直线面成角正弦值．
32．（2017山东）四棱柱截三棱锥体图示四边形正方形交点中点面
（Ⅰ）证明：∥面
（Ⅱ）设中点证明：面面．
33．（2017北京）图三棱锥中线段中点线段点．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：面面
（Ⅲ）∥面时求三棱锥体积．
34．（2017浙江）图已知四棱锥斜边等腰直角三角形中点．
（Ⅰ）证明：∥面
（Ⅱ）求直线面成角正弦值．
35．（2017江苏）图三棱锥中AB⊥ADBC⊥BD面ABD⊥面BCD点EF（EAD重合）分棱ADBDEF⊥AD．
求证：（1）EF∥面ABC
（2）AD⊥AC．
36．（2017江苏）图水放置正四棱柱形玻璃容器Ⅰ正四棱台形玻璃容器Ⅱ高均32cm容器Ⅰ底面角线长10cm容器Ⅱ两底面角线长分14cm62cm． 分容器Ⅰ容器Ⅱ中注入水水深均12cm． 现根玻璃棒长度40cm．（容器厚度玻璃棒粗细均忽略计）
（1）放容器Ⅰ中端置点处端置侧棱求没入水中部分长度
（2）放容器Ⅱ中端置点处端置侧棱求没入水中部分长度．
37．（2016年山东）图示体中DAC中点EF∥DB
（I）已知ABBCAEEC求证：AC⊥FB
（II）已知GH分ECFB中点求证：GH∥面ABC
38．（2016年天津）图四边形ABCD行四边形面AED面ABCDEFABAB2BCEF1AEDE3∠BAD60ºGBC中点
(Ⅰ)求证：FG面BED
(Ⅱ)求证：面BED面AED
(Ⅲ)求直线EF面BED成角正弦值
39．（2016年全国I卷）图已知正三棱锥侧面直角三角形顶点面正投影点面正投影点连结延长交点．
（I）证明：中点
（II）图中作出点面正投影（说明作法理）求四面体体积．
40．（2016年全国II卷）图菱形角线交点点分交点折位置
(Ⅰ)证明：
(Ⅱ)求五棱锥体积．
41．（2016年全国III卷）图四棱锥中⊥底面线段点中点．
（Ⅰ）证明面
（Ⅱ）求四面体体积．
42．（2015新课标1）图四边形菱形交点面．
（Ⅰ）证明：面面
（Ⅱ）三棱锥体积求该三棱锥侧面积．
43．（2015新课标2）图长方体中点分．点面长方体面相交交线围成正方形．
（Ⅰ）图中画出正方形（必说明画法理）
（Ⅱ）求面该长方体分成两部分体积值．
44．（2014山东）图四棱锥中
分线段中点
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：．
45．(2014江苏)图三棱锥中EF分棱中点．已知
求证：（Ⅰ）直线面
（Ⅱ）面面．
46．（2014新课标2）图四棱锥中底面矩形⊥面中点．
（Ⅰ）证明：∥面
（Ⅱ）设二面角60°1求三棱锥体积．
47．（2014天津）图四棱锥底面行四边形分棱中点．
（Ⅰ）证明 面
（Ⅱ）二面角
（ⅰ）证明：面⊥面
（ⅱ）求直线面成角正弦值．
48．（2013浙江）图四棱锥PABCD中PA⊥面ABCDABBC2ADCDPA∠ABC120°G线段PC点．
（Ⅰ）证明：BD⊥面APC
（Ⅱ）GPC中点求DGAPC成角正切值
（Ⅲ）G满足PC⊥面BGD求 值．
49．（2013辽宁）图圆直径垂直圆面圆点．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）设中点重心求证：面．
50．（2012江苏）图直三棱柱中分棱点（点D点C）中点．
求证：（Ⅰ）面面
（Ⅱ）直线面．
51．(2012广东)图示四棱锥中面中点点中边高．
（Ⅰ）证明：面
（Ⅱ）求三棱锥体积
（Ⅲ）证明：面．
52．（2011江苏）图四棱锥中面PAD⊥面ABCDABAD∠BAD60°EF分APAD中点．
求证：（Ⅰ）直线EF∥面PCD
（Ⅱ）面BEF⊥面PAD．
53．（2011广东）图椎体PABCD中ABCD边长1棱形∠DAB60PB2EF分BCPC中点．
（Ⅰ）证明：AD面DEF
（Ⅱ）求二面角PADB余弦值．
54．（2010天津）图五面体中四边形正方形⊥面∥1∠＝∠＝45°．
（Ⅰ）求异面直线成角余弦值
（Ⅱ）证明⊥面
（Ⅲ）求二面角正切值．
55．（2010浙江）图行四边形中2∠120°．线段中点△直线翻折成△面⊥面线段中点．
（Ⅰ）求证：∥面
（Ⅱ）设线段中点求直线面成角余弦值．
专题八 立体
第二十三讲 空间中点直线面间位置关系
答案部分
2019年
2019年
1解析 图示联结
点正方形中心正三角形面面线段中点面面中边中线中边中线直线相交直线设
．选B．
2解析 （1）连结ME分中点N中点
题设知四边形MNDE行四边形面MN∥面
（2）C作C1E垂线垂足H
已知DE⊥面DE⊥CH
CH⊥面CH长C面距离
已知CE1C1C4
点C面距离
3解析：A数条直线行相交排
B两条相交直线行
C行条直线相交排
D垂直面相交排．
选B．
4解析 ②作面③①
5证明：（1）DE分BCAC中点
ED∥AB
直三棱柱ABCA1B1C1中AB∥A1B1
A1B1∥ED
ED⊂面DEC1A1B1面DEC1
A1B1∥面DEC1
（2）ABBCEAC中点BE⊥AC
三棱柱ABCA1B1C1直棱柱CC1⊥面ABC
BE⊂面ABCCC1⊥BE
C1C⊂面A1ACC1AC⊂面A1ACC1C1C∩ACC
BE⊥面A1ACC1
C1E⊂面A1ACC1BE⊥C1E
6解：（1）已知B1C1⊥面ABB1A1BE面ABB1A1
BE⊥面
（2）（1）知∠BEB190°题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1EAEAB3
作垂足FEF⊥面
四棱锥体积
7解析（1）已知ADBECGBEADCGADCG确定面ACGD四点面．
已知ABBEABBCAB面BCGE．
AB面ABC面ABC面BCGE．
（2）取中点联结
面面
已知四边形菱形面
中
四边形面积4
8解析（Ⅰ）面ABCD面
．
底面ABCD菱形．
面面
面PAC．
（Ⅱ）PA⊥面ABCD面ABCD
PA⊥AE．
底面ABCD菱形∠ABC60°ECD中点
AE⊥CD．
AB⊥AE．
面面AE⊥面PAB．
面面PAB⊥面．
（Ⅲ）棱PB存点F中点CF∥面PAE．
取FPB中点取GPA中点连结CFFGEG．
分中点FG∥ABFGAB．
底面ABCD菱形ECD中点
CE∥ABCEAB．
FG∥CEFGCE．
四边形CEGF行四边形
CF∥EG．
CF面PAEEG面PAE
CF∥面PAE．
9解析 （Ⅰ）连接易知面面面
（Ⅱ）取棱中点连接题意面面面面面面已知面
（Ⅲ）连接（Ⅱ）中面知直线面成角
等边三角形中点
中
直线面成角正弦值
10证明：（1）DE分BCAC中点
ED∥AB
直三棱柱ABCA1B1C1中AB∥A1B1
A1B1∥ED
ED⊂面DEC1A1B1面DEC1
A1B1∥面DEC1
（2）ABBCEAC中点BE⊥AC
三棱柱ABCA1B1C1直棱柱CC1⊥面ABC
BE⊂面ABCCC1⊥BE
C1C⊂面A1ACC1AC⊂面A1ACC1C1C∩ACC
BE⊥面A1ACC1
C1E⊂面A1ACC1BE⊥C1E
11（I）连接A1EA1AA1CEAC中点A1E⊥AC
面A1ACC1⊥面ABCA1E面A1ACC1
面A1ACC1∩面ABCAC
A1E⊥面ABCA1E⊥BC
A1F∥AB∠ABC90°BC⊥A1F
BC⊥面A1EF
EF⊥BC
（Ⅱ）取BC中点G连接EGGFEGFA1行四边形．
A1E⊥面ABCAE1⊥EG行四边形EGFA1矩形．
（I）BC⊥面EGFA1面A1BC⊥面EGFA1
EF面A1BC射影直线A1G
连接A1G交EFO∠EOG直线EF面A1BC成角（补角）
妨设AC4Rt△A1EG中A1E2EG
OA1G中点
．
直线EF面A1BC成角余弦值．
12解析（Ⅰ）面ABCD面
．
底面ABCD菱形．
面面
面PAC．
（Ⅱ）PA⊥面ABCD面ABCD
PA⊥AE．
底面ABCD菱形∠ABC60°ECD中点
AE⊥CD．
AB⊥AE．
面面AE⊥面PAB．
面面PAB⊥面．
（Ⅲ）棱PB存点F中点CF∥面PAE．
取FPB中点取GPA中点连结CFFGEG．
分中点FG∥ABFGAB．
底面ABCD菱形ECD中点
CE∥ABCEAB．
FG∥CEFGCE．
四边形CEGF行四边形
CF∥EG．
CF面PAEEG面PAE
CF∥面PAE．
13 点P作PO⊥面ABC交面ABC点O
点P作PD⊥AC交AC点D作PE⊥BC交BC点E联结ODOCOE
四边形矩形
做辅助线知
矩形边长1正方形
中
点P面ABC距离求距离
14解析 （1）连结ME分中点N中点
题设知四边形MNDE行四边形面MN∥面
（2）C作C1E垂线垂足H
已知DE⊥面DE⊥CH
CH⊥面CH长C面距离
已知CE1C1C4
点C面距离
15解析 （Ⅰ）连接易知面面面
（Ⅱ）取棱中点连接题意面面面面面面已知面
（Ⅲ）连接（Ⅱ）中面知直线面成角
等边三角形中点
中
直线面成角正弦值
16解析：解法：图GAC中点V底面射影OP底面射影D线段AO
作E易P作F
D作交BGH
解法二：值定理记面角(显然)
角定理
解法三特殊图形法：设三棱锥棱长2正四面体PVA中点
易
选B．
17（I）连接A1EA1AA1CEAC中点A1E⊥AC
面A1ACC1⊥面ABCA1E面A1ACC1
面A1ACC1∩面ABCAC
A1E⊥面ABCA1E⊥BC
A1F∥AB∠ABC90°BC⊥A1F
BC⊥面A1EF
EF⊥BC
（Ⅱ）取BC中点G连接EGGFEGFA1行四边形．
A1E⊥面ABCAE1⊥EG行四边形EGFA1矩形．
（I）BC⊥面EGFA1面A1BC⊥面EGFA1
EF面A1BC射影直线A1G
连接A1G交EFO∠EOG直线EF面A1BC成角（补角）
妨设AC4Rt△A1EG中A1E2EG
OA1G中点
．
直线EF面A1BC成角余弦值．
20102018年
1．C解析图连接异面直线成角等相交直线成角．妨设正方体棱长2勾股定理面
选C．
2．A解析∥线面行判定定理知∥．∥定推出∥直线异面∥∥充分必条件．选A．
3．A解析正方体线线关系易知BCD中面 A满足．选A．
4．C解析图连结易知面面选C．
5．A解析点面面行面∥面∥∥∥面∥成角求角成角正弦值选A．
6．C解析选项A时选项B时选项C选项D时选C．
7．B解析圆锥底面半径米堆体积堆放米斛．
8．C解析三棱锥中点面距离底面三角形时直角三角形顶点面距离球半径
中球半径
球表面积．
9．D解析直线异面直线面面面面交线少中条相交选A．
10．B解析解法 设题意知．
空间图形中连结设．
中．
作作垂足分．
作四边形行四边形
连结二面角面角．
中．
理．
显然面．
中．
中
（时取等号）
递减函数
选B．
解法二 时排D时排AC选B．
11．D解析利正方体模型出位置关系确定．选D．
12．C解析选项中均面行垂直斜交面选．
13．B解析选项A相交行异面A错误显然选项B正确选项CC错误选项D相交D错误．选B．
14．D解析作垂足设
余弦定理
时取值值．
15．B解析直线面成角取值范围
取值范围
16．D解析作正方形模型面左侧面
知D正确．
17．D解析A中行垂直异面B中异面C中 应中两条相交直线垂直时结成立选D．
18．B解析利排法选项B正确∵∥⊥．选项A：∥∥时⊥∥选项C：⊥⊥∥选项D：⊥ ⊥∥⊥．
19．B解析点作存某位置面计算垂直A正确翻折时面面样位置存C正确理D正确选B．
20．D解析D面面面某直线垂直面面关系斜交行面余选项易知均正确．
21．D解析两行直线行投影定重合A错空间直线面位置关系线面垂直行判定性质定理知均错误选D．
22．解析题意画出图形图
设底面圆直径连接圆锥高设圆锥母线长
面积8中
题意知．
该圆锥体积．
23．解析(1)中点⊥．
连结．等腰直角三角形
⊥．
知⊥．
⊥⊥知⊥面．
(2)作⊥垂足．(1)⊥⊥面．
长点面距离．
题设知．
．
点面距离．
24．解析(1)题设知面⊥面交线．
⊥面⊥面⊥．
异点直径 ⊥．
⊥面．
面面⊥面．
(2)中点时∥面．
证明：连结交．矩形中点．
连结 中点∥．
面面∥面．
25．解析(1)∵中点∴．
∵底面矩形∴
∴．
(2)∵底面矩形∴．
∵面面∴面．
∴．
∵面∴面面．
(3)图取中点连接．
∵分中点∴．
∵四边形矩形中点
∴
∴∴四边形行四边形
∴．
面面
∴面．
26．解析(1)面⊥面面∩面⊥⊥面⊥．
(2)取棱中点连接．棱中点∥．（补角）异面直线成角．
中．
⊥面⊥．
中．
等腰三角形中．
异面直线成角余弦值．
(3)连接．等边三角形边中点⊥
．面面面
面．直线面成角．
中．
中．
直线面成角正弦值．
27．证明(1)行六面体中．
面面
∥面．
(2)行六面体中四边形行四边形．
四边形菱形
⊥．
⊥∥
⊥．
面面
⊥面．
面
面⊥面．
28．解析(1)
．
．
．
面．
(2)图点作交直线点连结．
面面面
面
面成角．
．
直线面成角正弦值．
29．解析（1）面∥
面面∥面．
（2）取中点连结．∥
四边形正方形．
侧面等边三角形垂直底面面面底面．底面．
设．取中点连结．
面积解（舍）．．
四棱锥体积．
30．解析（1）取中点连结⊥．
正三角形⊥⊥面⊥BD
（2）连结．
（1）题设知．
中．
题设知直角三角形．
正三角形．
BD中点面距离面距离四面体体积四面体体积四面体四面体体积11．
31．解析（Ⅰ）图已知ADBC补角异面直线APBC成角．AD⊥面PDCAD⊥PD．Rt△PDA中已知．
异面直线APBC成角余弦值．
（Ⅱ）证明：AD⊥面PDC直线PD面PDCAD⊥PD．BCADPD⊥BCPD⊥PBPD⊥面PBC．
（Ⅲ）点D作AB行线交BC点F连结PFDF面PBC成角等AB面PBC成角．
PD⊥面PBCPFDF面PBC射影直线DF面PBC成角．
ADBCDFABBFAD1已知CFBC –BF2．AD⊥DCBC⊥DCRt△DCF中Rt△DPF中．
直线AB面PBC成角正弦值．
32．解析（Ⅰ）取中点连接
四棱柱
四边形行四边形
面面
∥面
（Ⅱ）∵．分中点
∴
面面
∵
面
面
面
面面．
33．解析（Ⅰ）面
面．
（Ⅱ）中点
（Ⅰ）知面．
面面．
（Ⅲ）面面面
．
中点．
（Ⅰ）知面面．
三棱锥体积．
34．解析（Ⅰ）图设PA中点F连结EFFB．
EF分PDPA中点EF∥AD
BC∥AD
EF∥BCEFBC
四边形BCEF行四边形CE∥BF
CE∥面PAB．
（Ⅱ）分取BCAD中点MN．连结PN交EF点Q连结MQ．
EFN分PDPAAD中点QEF中点
行四边形BCEF中MQ∥CE．
等腰直角三角形
PN⊥AD．
DC⊥ADNAD中点
BN⊥AD．
AD⊥面PBN
BC∥AD BC⊥面PBN
面PBC⊥面PBN．
点Q作PB垂线垂足H连结MH．
MHMQ面PBC射影∠QMH直线CE面PBC成角．
设CD1．
中PC2CD1PDCE
△PBN中PNBN1PB
中MQ
直线CE面PBC成角正弦值．
35．解析证明：（1）面
面面∥面
（2）面⊥面
面面
面
面
面
面面
⊥面
面
．
36．解析（1）正棱柱定义面
面面．
记玻璃棒端落点处．
．
．
记水交点作垂足
面
．
答：玻璃棒没入水中部分长度16cm
( 果没入水中部分理解水面部分结果24cm)
（2）图正棱台两底面中心
正棱台定义⊥面
面⊥面⊥
理面⊥面⊥
记玻璃棒端落点处
作⊥垂足 32
14 62
设
中正弦定理解
记水面交点作垂足 ⊥面12
答玻璃棒没入水中部分长度20cm
(果没入水中部分理解水面部分结果20cm)
37．解析（Ⅰ）证明：确定面连接 中点理面面．
（Ⅱ）设中点连中中点中中点面面面面．
38．解析（Ⅰ）证明：取中点连接中中点四边形行四边形面面面．
（Ⅱ）证明：中余弦定理进面面面面面面面面面．
（Ⅲ）解：直线面成角直线面成角点作点连接面面（Ⅱ）知面直线面成角中余弦定理中直线面成角正弦值．
39．解析（Ⅰ）面正投影
面正投影
面
已知中点
（Ⅱ）面点作行线交点面正投影
理：已知面点面正投影
连接面正投影正三角形中心
（Ⅰ）知中点
题设面面
已知正三棱锥侧面直角三角形
等腰直角三角形中
四面体体积
40．解析（Ⅰ）已知
（Ⅱ）
（Ⅰ）知
面
面
五边形面积
五棱锥体积
41．解析（Ⅰ）已知取中点连接中点知
行等四边形行四边形
面面面
（Ⅱ）面中点面距离．取中点连结
距离
四面体体积
42．解析（Ⅰ）四边形菱形
面面．
面面面．
（Ⅱ）设菱形中120°
．
中．
面知直角三角形．
已知三棱锥体积．
．
．
面积3面积面积均．
三棱锥侧面积．
43．解析（Ⅰ）交线围成正方形图
（Ⅱ）作垂足．正方形．
．
长方形面分成两高10直棱柱体积值（正确）．
44．解析（Ⅰ）设连结OFEC
EAD中点
四边形ABCE菱形OAC中点FPC中点
中
面BEF面BEF面
（Ⅱ）题意知四边形行四边形
．面PCD．
四边形ABCE菱形
APAC面PAC面．
45．解析（Ⅰ）∵中点∴DE∥PA
∵面DEFDE面DEF∴PA∥面DEF
（Ⅱ）∵中点∴
∵中点∴
∴∴∴DE⊥EF
∵∴
∵∴DE⊥面ABC
∵DE面BDE∴面BDE⊥面ABC．
46．解析（Ⅰ）连接BD交AC点O连结EO．
ABCD矩形OBD中点
EPD中点EO∥PB
EO面AECPB面AECPB∥面AEC
（Ⅱ）PA面ABCDABCD矩形ABADAP两两垂直．
图A坐标原点方轴正方单位长建立空间直角坐标系
设
设面ACE法量
取．
面DAE法量
题设解．
EPD中点三棱锥高．
三棱锥体积．
47．解析（Ⅰ）证明：图取PB中点M连接MFAMFPC中点
MFBCMFBC．已知BCADBCAD．EAD中点
MFAEMFAE四边形AMFE行四边形
EFAMAM面PABEF面PAB
EF面PAB
（Ⅱ）（i）证明：连接PEBE．PAPDBABDEAD中点
PEADBEADPEB二面角PADB面角．三角形PAD中
解PE2．
三角形ABD中解BE1．
三角形PEB中PE2BE1
余弦定理解PBBEPB
BCADBEADBEBCBE面PBC．BE面ABCD
面PBC面ABCD．
（ii）连接BF（i）知BE面PBC．EFB直线EF面PBC成角
PBPAABABP直角MBPBAM
EFBE1直角三角形EBF中
直线EF面PBC成角正弦值．
48．解析（Ⅰ）设点OACBD交点
AB＝BCAD＝CDBD线段AC中垂线．
OAC中点BD⊥AC．
PA⊥面ABCDBD面ABCD
PA⊥BD．BD⊥面APC．
（Ⅱ）连结OG(1)知OD⊥面APCDG面APC射影OG∠OGDDG面APC成角．
题意OG＝PA＝
△ABC中AC＝＝
OC＝AC＝
直角△OCD中OD＝＝2
直角△OGD中tan∠OGD＝
DG面APC成角正切值
（Ⅲ）连结OGPC⊥面BGDOG面BGDPC⊥OG
直角△PAC中PC＝
GC＝
PG＝
49．解析（Ⅰ）AB圆O直径AC⊥BC．
PA⊥面ABCBC面ABCPA⊥BC
PA∩ACAPA面PACAC面PAC
BC⊥面PAC．
（Ⅱ）连OG延长交ACM链接QMQO
G∆AOC重心MAC中点
GPA中点QMPC
OAB中点OMBC
QM∩MOMQM面QMO．
QG面PBC．
50．解析（Ⅰ）直三棱柱面ABC面面面AD面ADE面ADE面
（Ⅱ）中点．面面面
面AD．AD面面面．
51．解析（Ⅰ）面面
面
（Ⅱ）中点点面距离
三棱锥体积
（Ⅲ）取中点连接
面面面面
点棱中点
：面．
52．证明：（Ⅰ）△PAD中EF分APAD中点EFPD．
EF面PCDPD面PCD
直线EF面PCD．
（Ⅱ）连结DBABAD∠BAD60°
△ABD正三角形FAD中点BF⊥AD．
面PAD⊥面ABCDBF面ABCD面PAD面ABCDAD
BF⊥面PAD．BF面BEF面BEF⊥面PAD．
53．解析法：（Ⅰ）证明：取AD中点G连接PGBGBD．PAPD中等边三角形面PBG
PBEFDEGBAD DEAD 面DEF
（Ⅱ）二面角P—AD—B面角
法二：（Ⅰ）取AD中点G
等边三角形
面PBG．
延长BGOPO OB面PBGPO AD
PO 面ABCD．
O坐标原点菱形边长单位长度直线OBOP分轴z轴行AD直线轴建立图示空间直角坐标系．
设
面DEF．
（Ⅱ）
取面ABD法量
设面PAD法量
取
54．解析（Ⅰ）四边形正方形异面直线成角面
△中13
异面直线成角余弦值
（Ⅱ）证明：点作交点面
(Ⅲ)解：（Ⅱ）已知中点取中点连接点作交二面角面角
连接面已知
△中
二面角正切值．
55．解析 (Ⅰ)取中点G连结GFCE条件易知
FG∥CDFGCD．BE∥CDBECD．FG∥BEFGBE．
四边形BEGF行四边形BF∥EG．
面BF面 BF面．
（Ⅱ）解：行四边形ABCD中设BCABCD2ADAEEB
连CE．
△BCE中CE
△ADE中DE
△CDE中CD2CE2+DE2CE⊥DE
正三角形中MDE中点⊥DE
面⊥面BCD
知⊥面BCD ⊥CE
取中点N连线NMNF
NF⊥DENF⊥
DE交M
NF⊥面
∠FMN直线FM面新成角．
Rt△FMN中NF MN FM
cos．
直线面成角余弦值．
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