高中数学教A版选择性必修第册阶段检测试卷3
第I卷（选择题）
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单选题
1．椭圆左焦点作相互垂直两条直线分交椭圆四点四边形面积值值差（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线：椭圆：公点取值范围（ ）
A． B．
C． D．
3．点作抛物线切线切点分重心坐标P抛物线焦点坐标（ ）
A． B． C． D．
4．图棱长正方体中点面动点满足直线直线成角取值范围（ ） （参考数：
A． B．
C． D．
5．面直线坐标系中定义两点切雪夫距离设点P意点Q称值点P直线切雪夫距离记作出列四命题（ ）
①意三点ABC
②已知点P(31)直线
③原点切雪夫距离等点轨迹正方形
④定点动点满足点P轨迹直线(常数)仅2公点．
中真命题数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知实数满足取值范围（ ）
A． B． C． D．
二选题
7．图四边形边长正方形点分线段动点翻折成面面列说法正确（ ）
A．存点
B．点中点时三棱锥外接球半径
C．三棱锥三棱锥体积值
D．存点面面夹角
8．已知椭圆点P分左､右焦点面积S列选项正确（ ）
A． B．
C．钝角三角形 D．椭圆C接矩形周长范围
第II卷（非选择题）
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三填空题
9．图示底面半径3高8圆柱放半径3球球圆柱底面相切作圆柱底面行面球相切点F面圆柱侧面相交曲线封闭曲线CCF焦点椭圆C离心率值______．
10．已知函数集合实数取值范围___________
11．已知抛物线焦点F点抛物线C点圆M线段MF相交点A直线截弦长___________
12．已知分双曲线左右焦点直径圆双曲线第象限第三象限交点分设四边形周长面积满足该双曲线离心率______
四解答题
13．已知椭圆C：焦距短轴两端点长轴端点构成正三角形
（1）求椭圆C方程
（2）点点直线椭圆C交AB两点直线AE直线交点M试判断直线BM直线DE位置关系说明理
14．面直角坐标系已知抛物线焦点面直角坐标系点抛物线存点称垂足点
（1）点两垂足点求点坐标
（2）否存点点仅三垂足点点双曲线点？存求出点坐标存说明理
15．设直线双曲线交MN两点F右焦点
（1）求双曲线C渐线方程两条渐线夹锐角
（2）时设直线C交MN三角形面积S判断：否存k成立？存求出k值否说明理
16．1面直角坐标系xOy中已知点点M满足记M轨迹C
（1）求C方程
（2）点T直线x4T两条直线分交CAB两点PQ两点|TA|·|TB||TP|·|TQ|求证：定值
参考答案
1．A
分析
条存斜率时直接求四边形面积 存斜率时设出直线方程利弦长公式求求四边形面积表达式求面积取值范围计算出正确结
详解
题意
设点椭圆解
①条存斜率时
②存斜率时设方程：方程：
椭圆联立消化简
理
∴
时取值
综述值值
值值差
选：A
点睛
求解直线圆锥曲线位置关系题目注意判断直线斜率否存必时进行分类讨
2．D
分析
直线：椭圆：公点联立方程化简整理理解双曲线外部点（行域）转化线性规划题然化目标函数直线方程斜截式数形结合取值范围
详解
联立方程化简整理：
直线：椭圆：公点
点满足双曲线外部点行域图示x轴ky轴
变形移直线
图知直线双曲线相切时界条件
联立化简整理：
题知解
行域双曲线右支外部点界条件切线需移
行域双曲线左支外部点界条件切线需移
综知取值范围
选：D
点睛
题考查直线椭圆交点数问题考查双曲线外部点作行域求线性目标函数值考查学生转化化思想数形结合思想运算求解力属难题
3．A
分析
已知设切点坐标利导数写出切线方程联立求出交点坐标代入重心坐标公式利已知条件求出坐标代入抛物线方程求出进求焦点坐标．
详解
设切点坐标
直线方程
理直线方程
联立方程
设重心坐标
坐标
点坐标代入抛物线解
焦点坐标
选：A
点睛
题考查直线抛物线相切问题三角形重心坐标公式抛物线性质考查推理力计算力属难题
4．B
分析
取中点作点面投影作交点连结坐标原点分直线轴建立空间直角坐标系设利求出关系然根范围求角范围
详解
解：取中点作点面投影作交点连结坐标原点分直线轴建立空间直角坐标系图
根题意00
设
0
记直线直线成角直线直线成角
点轨迹面圆心半径圆
锐角直角
直线直线成角取值范围
选：B．
5．A
分析
①讨三点线线情况结合图象新定义判断
②设点直线点讨距离函数性质值
③运新定义求点轨迹方程判断
④讨坐标轴象限情况求轨迹方程判断．
详解
解：①意三点线设
右图结合三角形相似
调
线三角形中锐角钝角矩形矩形
意三点①正确
设点直线点
解
时取值
解
范围．值
综两点切雪夫距离值．
②正确
③题意原点切雪夫距离 等点设
求轨迹正方形③正确
④定点动点
满足
轴线段间成立
解
称性成立两点满足条件
第象限满足
射线
称性第二象限第三象限第四象限条射线
点轨迹直线常数）仅2公点．
④正确
综真命题数4
选
点睛
题考查新定义理解运考查数形结合思想方法运算力推理力属难题．
6．B
分析
实数满足通讨图椭圆双曲线部分组成图形助图分析取值图点直线距离范围2倍求出切线方程根行直线距离公式算出值值极限值出答案
详解
解：实数满足
时图位焦点轴椭圆第象限
时图位焦点轴双曲线第四象限
时图位焦点轴双曲线第二象限
时图存
作出圆锥曲线双曲线图中图：
意点直线距离
结合图范围图点直线距离范围2倍
双曲线中条渐线直线行
通图形曲线点位时取值
曲线点双曲线渐线时取值取等号
设图第象限相切点
（舍）
直线直线距离
时
直线直线距离
时
取值范围
选：B
点睛
三种距离公式：
（1）两点间距离公式：
面意两点间距离公式
（2）点直线距离公式：
点直线距离
（3）两行直线间距离公式：
两条行直线间距离
7．BCD
分析
点坐标原点直线分轴建立空间直角坐标系利空间量法判断A选项正误计算出三棱锥外接球半径判断B选项正误利锥体体积公式判断C选项正误利空间量法结合零点存定理判断D选项正误
详解
A选项点坐标原点直线分轴建立图示空间直角坐标系
点面作连接
已知
面面面面面
面
设
易
点
存点
化简
矛盾存点①错
B选项点中点时点中点
取中点连接
面面面面面
面理证面
三棱锥外接球球心直线设球半径
勾股定理解B
C选项
A选项知面
令
函数单调递增
C
D选项设面法量
取
易知面法量
令
令令
易知函数连续
零点存定理知存
存点面面夹角D
选：BCD
点睛
方法点睛：解决球相关切接问题通法作出截面空间问题转化面问题求解解题思维流程：
（1）定球心：果切球球心切点距离相等球半径果外接球球心接点距离相等半径
（2）作截面：选准佳角度做出截面（截面包含球体种元素体现元素关系）达空间问题面化目
（3）求半径结：根作出截面中元素建立关球半径方程求解
8．ACD
分析
椭圆焦点三角形接矩形等知识分四选项判断
详解
椭圆设
…①
面积
选项A：A正确
选项B：①知（仅点短轴端点时取等号）B错误
选项C：分析知钝角称性妨设钝角先考虑界情况时易时结合图形知钝角时C正确
选项D：令
椭圆接矩形周长中锐角满足
周长范围D正确
选：ACD
点睛
结点睛：椭圆 △面积
9．
分析
根题意找椭圆离心率位置点关键保证该椭圆切点焦点需新加相球圆柱方放入面该球相切通建立面直角坐标系求椭圆离心率
详解
根题意新增半径3球圆柱方放入设面分交两球点点：点点椭圆两焦点
仅圆柱面时时椭圆离心率取值
图示圆柱高球半径然建立坐标原点轴轴面直角坐标系
易知：
圆方程：
设直线斜率该直线方程：
根相切知：点直线距离
：
解：
直线方程：
：
直线方程：
联立直线直线方程：
解：
解：
椭圆离心率：
答案：
点睛
立体圆锥曲线相结合题目难度较先立体转化面进行分析进简化问题然运面知识求解问题
10．
分析
设利角三角函数基关系式化简利线段差意义实数取值范围
详解
设
图
仅三点线间时等号成立
值
集合
答案：
点睛
题考虑理函数值理函数值问题首选方法利导数求单调性次利意义求值题属难题
11．
分析
先点M代入抛物线方程关系式利抛物线定义A焦点距离转化准线距离然根圆弦长公式勾股定理第二关系式进步解出
详解
图示抛物线……①
易知
直线截弦长
中
……②
①②解：
答案：
点睛
题应结合抛物线简单性质定义勾股定理抛物线中应定结合图形找量间联系抛物线题目切记抛物线点焦点距离等准线距离
12．
分析
题首先根题意绘出图设出点坐标然通圆双曲线称性出根点圆双曲线联立方程组出然根图接利双曲线定义出根通化简求值出结果．
详解
图示根题意绘出双曲线圆图设
圆双曲线称性知点点关原点称
圆直径圆半径
点圆双曲线
联立化简整理
联立
圆直径
离心率．
点睛
题考查圆锥曲线相关性质考查双曲线圆相关性质考查双曲线圆定义灵活应考查化转化思想方程思想考查学生计算力体现综合性难题．
13．
（1）
（2）直线BM直线DE行理见解析
分析
（1）根题意建立方程组进解出ab然答案
（2）讨直线AB斜率存存两种请斜率存设方程进求出点M坐标然直线方程代入椭圆化简进结合根系数关系化简进解问题
（1）
已知
解椭圆C标准方程
（2）
直线BM直线DE行
证明：直线AB斜率存时
直线AE方程
直线DE斜率
直线AB斜率存时设方程
设直线AE方程
令点
易知直线BM斜率
综直线BM直线DE行
点睛
题第（2）问运算量较根题意容易想应判断两条直线斜率关系设出直线方程代入椭圆方程化简进运根系数关系解决问题
14．（1）（2）存点坐标（）
（）．
分析
（1）设根垂足点定义应量垂直坐标表示求st点坐标
（2）假设存垂足点定义易三垂足点三相等实根化展开根项式相等列方程求参数数量关系点双曲线代入求参数st
详解
（1）设抛物线焦点垂足点
∴
∴解
∴
（2）假设存满足条件设中垂足点
∴
三垂足点关方程三相等实根
∴方程化形式
∴
点双曲线号化简
（a2﹣4）（4a4﹣17a2﹣32）＝0
解a＝±2a＝±时m＝±1m＝±满足
存P点坐标（）
（）．
点睛
关键点点睛：第二问设点坐标根垂足点定义结合量垂直坐标表示方程根三垂足点知：述关方程实根三进形式利项式相等求参数
15．
（1）双曲线渐线方程夹锐角
（2）存
分析
（1）令出渐线方程求出夹锐角
（2）直线方程代入双曲线方程消x化简进利根系数关系结合三角形面积公式求答案
（1）
题意令双曲线渐线方程易夹锐角
（2）
右焦点F坐标
设联立
化简
三角形面积满足题意存成立
点睛
思考三角形面积步时应该想应该根系数关系接运算问题需注意盲目道题开始写出根系数关系应该结合题目具体求道题底需求什应该先求出什
16．
（1）
（2）证明见解析
分析
（1）椭圆定义答案
（2）设直线AB方程A(x1y1)B(x2y2)根进直线方程代入椭圆方程化简：然通根系数关系求出理根题意求答案
（1）
椭圆定义知M轨迹C焦点长轴长4椭圆
设C方程(a>0b>0)焦距2c
根题意解
C方程
（2）
设T(4t)直线AB方程A(x1y1)B(x2y2)
易知
直线AB方程代入C方程化简整理
根系数关系
∴
理
化简
直线AB斜率直线PQ斜率定值0
点睛
题处理技巧方程化简常规处理方法太样种处理方式般处理直线斜率问题时注意纳总结
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第I卷（选择题）
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单选题
1．椭圆左焦点作相互垂直两条直线分交椭圆四点四边形面积值值差（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线：椭圆：公点取值范围（ ）
A． B．
C． D．
3．点作抛物线切线切点分重心坐标P抛物线焦点坐标（ ）
A． B． C． D．
4．图棱长正方体中点面动点满足直线直线成角取值范围（ ） （参考数：
A． B．
C． D．
5．面直线坐标系中定义两点切雪夫距离设点P意点Q称值点P直线切雪夫距离记作出列四命题（ ）
①意三点ABC
②已知点P(31)直线
③原点切雪夫距离等点轨迹正方形
④定点动点满足点P轨迹直线(常数)仅2公点．
中真命题数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知实数满足取值范围（ ）
A． B． C． D．
二选题
7．图四边形边长正方形点分线段动点翻折成面面列说法正确（ ）
A．存点
B．点中点时三棱锥外接球半径
C．三棱锥三棱锥体积值
D．存点面面夹角
8．已知椭圆点P分左､右焦点面积S列选项正确（ ）
A． B．
C．钝角三角形 D．椭圆C接矩形周长范围
第II卷（非选择题）
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三填空题
9．图示底面半径3高8圆柱放半径3球球圆柱底面相切作圆柱底面行面球相切点F面圆柱侧面相交曲线封闭曲线CCF焦点椭圆C离心率值______．
10．已知函数集合实数取值范围___________
11．已知抛物线焦点F点抛物线C点圆M线段MF相交点A直线截弦长___________
12．已知分双曲线左右焦点直径圆双曲线第象限第三象限交点分设四边形周长面积满足该双曲线离心率______
四解答题
13．已知椭圆C：焦距短轴两端点长轴端点构成正三角形
（1）求椭圆C方程
（2）点点直线椭圆C交AB两点直线AE直线交点M试判断直线BM直线DE位置关系说明理
14．面直角坐标系已知抛物线焦点面直角坐标系点抛物线存点称垂足点
（1）点两垂足点求点坐标
（2）否存点点仅三垂足点点双曲线点？存求出点坐标存说明理
15．设直线双曲线交MN两点F右焦点
（1）求双曲线C渐线方程两条渐线夹锐角
（2）时设直线C交MN三角形面积S判断：否存k成立？存求出k值否说明理
16．1面直角坐标系xOy中已知点点M满足记M轨迹C
（1）求C方程
（2）点T直线x4T两条直线分交CAB两点PQ两点|TA|·|TB||TP|·|TQ|求证：定值
参考答案
1．A
分析
条存斜率时直接求四边形面积 存斜率时设出直线方程利弦长公式求求四边形面积表达式求面积取值范围计算出正确结
详解
题意
设点椭圆解
①条存斜率时
②存斜率时设方程：方程：
椭圆联立消化简
理
∴
时取值
综述值值
值值差
选：A
点睛
求解直线圆锥曲线位置关系题目注意判断直线斜率否存必时进行分类讨
2．D
分析
直线：椭圆：公点联立方程化简整理理解双曲线外部点（行域）转化线性规划题然化目标函数直线方程斜截式数形结合取值范围
详解
联立方程化简整理：
直线：椭圆：公点
点满足双曲线外部点行域图示x轴ky轴
变形移直线
图知直线双曲线相切时界条件
联立化简整理：
题知解
行域双曲线右支外部点界条件切线需移
行域双曲线左支外部点界条件切线需移
综知取值范围
选：D
点睛
题考查直线椭圆交点数问题考查双曲线外部点作行域求线性目标函数值考查学生转化化思想数形结合思想运算求解力属难题
3．A
分析
已知设切点坐标利导数写出切线方程联立求出交点坐标代入重心坐标公式利已知条件求出坐标代入抛物线方程求出进求焦点坐标．
详解
设切点坐标
直线方程
理直线方程
联立方程
设重心坐标
坐标
点坐标代入抛物线解
焦点坐标
选：A
点睛
题考查直线抛物线相切问题三角形重心坐标公式抛物线性质考查推理力计算力属难题
4．B
分析
取中点作点面投影作交点连结坐标原点分直线轴建立空间直角坐标系设利求出关系然根范围求角范围
详解
解：取中点作点面投影作交点连结坐标原点分直线轴建立空间直角坐标系图
根题意00
设
0
记直线直线成角直线直线成角
点轨迹面圆心半径圆
锐角直角
直线直线成角取值范围
选：B．
5．A
分析
①讨三点线线情况结合图象新定义判断
②设点直线点讨距离函数性质值
③运新定义求点轨迹方程判断
④讨坐标轴象限情况求轨迹方程判断．
详解
解：①意三点线设
右图结合三角形相似
调
线三角形中锐角钝角矩形矩形
意三点①正确
设点直线点
解
时取值
解
范围．值
综两点切雪夫距离值．
②正确
③题意原点切雪夫距离 等点设
求轨迹正方形③正确
④定点动点
满足
轴线段间成立
解
称性成立两点满足条件
第象限满足
射线
称性第二象限第三象限第四象限条射线
点轨迹直线常数）仅2公点．
④正确
综真命题数4
选
点睛
题考查新定义理解运考查数形结合思想方法运算力推理力属难题．
6．B
分析
实数满足通讨图椭圆双曲线部分组成图形助图分析取值图点直线距离范围2倍求出切线方程根行直线距离公式算出值值极限值出答案
详解
解：实数满足
时图位焦点轴椭圆第象限
时图位焦点轴双曲线第四象限
时图位焦点轴双曲线第二象限
时图存
作出圆锥曲线双曲线图中图：
意点直线距离
结合图范围图点直线距离范围2倍
双曲线中条渐线直线行
通图形曲线点位时取值
曲线点双曲线渐线时取值取等号
设图第象限相切点
（舍）
直线直线距离
时
直线直线距离
时
取值范围
选：B
点睛
三种距离公式：
（1）两点间距离公式：
面意两点间距离公式
（2）点直线距离公式：
点直线距离
（3）两行直线间距离公式：
两条行直线间距离
7．BCD
分析
点坐标原点直线分轴建立空间直角坐标系利空间量法判断A选项正误计算出三棱锥外接球半径判断B选项正误利锥体体积公式判断C选项正误利空间量法结合零点存定理判断D选项正误
详解
A选项点坐标原点直线分轴建立图示空间直角坐标系
点面作连接
已知
面面面面面
面
设
易
点
存点
化简
矛盾存点①错
B选项点中点时点中点
取中点连接
面面面面面
面理证面
三棱锥外接球球心直线设球半径
勾股定理解B
C选项
A选项知面
令
函数单调递增
C
D选项设面法量
取
易知面法量
令
令令
易知函数连续
零点存定理知存
存点面面夹角D
选：BCD
点睛
方法点睛：解决球相关切接问题通法作出截面空间问题转化面问题求解解题思维流程：
（1）定球心：果切球球心切点距离相等球半径果外接球球心接点距离相等半径
（2）作截面：选准佳角度做出截面（截面包含球体种元素体现元素关系）达空间问题面化目
（3）求半径结：根作出截面中元素建立关球半径方程求解
8．ACD
分析
椭圆焦点三角形接矩形等知识分四选项判断
详解
椭圆设
…①
面积
选项A：A正确
选项B：①知（仅点短轴端点时取等号）B错误
选项C：分析知钝角称性妨设钝角先考虑界情况时易时结合图形知钝角时C正确
选项D：令
椭圆接矩形周长中锐角满足
周长范围D正确
选：ACD
点睛
结点睛：椭圆 △面积
9．
分析
根题意找椭圆离心率位置点关键保证该椭圆切点焦点需新加相球圆柱方放入面该球相切通建立面直角坐标系求椭圆离心率
详解
根题意新增半径3球圆柱方放入设面分交两球点点：点点椭圆两焦点
仅圆柱面时时椭圆离心率取值
图示圆柱高球半径然建立坐标原点轴轴面直角坐标系
易知：
圆方程：
设直线斜率该直线方程：
根相切知：点直线距离
：
解：
直线方程：
：
直线方程：
联立直线直线方程：
解：
解：
椭圆离心率：
答案：
点睛
立体圆锥曲线相结合题目难度较先立体转化面进行分析进简化问题然运面知识求解问题
10．
分析
设利角三角函数基关系式化简利线段差意义实数取值范围
详解
设
图
仅三点线间时等号成立
值
集合
答案：
点睛
题考虑理函数值理函数值问题首选方法利导数求单调性次利意义求值题属难题
11．
分析
先点M代入抛物线方程关系式利抛物线定义A焦点距离转化准线距离然根圆弦长公式勾股定理第二关系式进步解出
详解
图示抛物线……①
易知
直线截弦长
中
……②
①②解：
答案：
点睛
题应结合抛物线简单性质定义勾股定理抛物线中应定结合图形找量间联系抛物线题目切记抛物线点焦点距离等准线距离
12．
分析
题首先根题意绘出图设出点坐标然通圆双曲线称性出根点圆双曲线联立方程组出然根图接利双曲线定义出根通化简求值出结果．
详解
图示根题意绘出双曲线圆图设
圆双曲线称性知点点关原点称
圆直径圆半径
点圆双曲线
联立化简整理
联立
圆直径
离心率．
点睛
题考查圆锥曲线相关性质考查双曲线圆相关性质考查双曲线圆定义灵活应考查化转化思想方程思想考查学生计算力体现综合性难题．
13．
（1）
（2）直线BM直线DE行理见解析
分析
（1）根题意建立方程组进解出ab然答案
（2）讨直线AB斜率存存两种请斜率存设方程进求出点M坐标然直线方程代入椭圆化简进结合根系数关系化简进解问题
（1）
已知
解椭圆C标准方程
（2）
直线BM直线DE行
证明：直线AB斜率存时
直线AE方程
直线DE斜率
直线AB斜率存时设方程
设直线AE方程
令点
易知直线BM斜率
综直线BM直线DE行
点睛
题第（2）问运算量较根题意容易想应判断两条直线斜率关系设出直线方程代入椭圆方程化简进运根系数关系解决问题
14．（1）（2）存点坐标（）
（）．
分析
（1）设根垂足点定义应量垂直坐标表示求st点坐标
（2）假设存垂足点定义易三垂足点三相等实根化展开根项式相等列方程求参数数量关系点双曲线代入求参数st
详解
（1）设抛物线焦点垂足点
∴
∴解
∴
（2）假设存满足条件设中垂足点
∴
三垂足点关方程三相等实根
∴方程化形式
∴
点双曲线号化简
（a2﹣4）（4a4﹣17a2﹣32）＝0
解a＝±2a＝±时m＝±1m＝±满足
存P点坐标（）
（）．
点睛
关键点点睛：第二问设点坐标根垂足点定义结合量垂直坐标表示方程根三垂足点知：述关方程实根三进形式利项式相等求参数
15．
（1）双曲线渐线方程夹锐角
（2）存
分析
（1）令出渐线方程求出夹锐角
（2）直线方程代入双曲线方程消x化简进利根系数关系结合三角形面积公式求答案
（1）
题意令双曲线渐线方程易夹锐角
（2）
右焦点F坐标
设联立
化简
三角形面积满足题意存成立
点睛
思考三角形面积步时应该想应该根系数关系接运算问题需注意盲目道题开始写出根系数关系应该结合题目具体求道题底需求什应该先求出什
16．
（1）
（2）证明见解析
分析
（1）椭圆定义答案
（2）设直线AB方程A(x1y1)B(x2y2)根进直线方程代入椭圆方程化简：然通根系数关系求出理根题意求答案
（1）
椭圆定义知M轨迹C焦点长轴长4椭圆
设C方程(a>0b>0)焦距2c
根题意解
C方程
（2）
设T(4t)直线AB方程A(x1y1)B(x2y2)
易知
直线AB方程代入C方程化简整理
根系数关系
∴
理
化简
直线AB斜率直线PQ斜率定值0
点睛
题处理技巧方程化简常规处理方法太样种处理方式般处理直线斜率问题时注意纳总结
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