高中数学教A版必修第册第二册综合拔高试卷8
第I卷（选择题）
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单选题
1．已知列关系中成立
A． B． C． D．
2．奔驰定理：已知点面积分．奔驰定理面量中非常优美结定理应图形奔驰轿车（Mercedes benz）logo相似形象称奔驰定理锐角点三角点满足必（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数已知图象称中心直线图象条称轴单调递减．记满足条件值值（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数f（x）（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）述四结：①f（x）偶函数②f（x）（）单调递减③θ∈[]时|f（x）|④θ∈[]时|f＇（x）|中真命题编号
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
5．已知矩形中点直线翻折成直线面成角时线段长
A． B． C． D．
6．已知四点均半径（常数）球球面运动四面体体积值球表面积（ ）
A． B． C． D．
二选题
7．已知函数列说法正确（ ）
A．函数4零点实数k取值范围
B．关x方程解
C．实数等式恒成立
D．时函数图象x轴围成图形面积1
8．表示值域函数组成集合表示具性质函数组成集合：函数存正数函数值域包含区间．例时．列命题中正确：
A．设函数定义域充条件
B．函数充条件值值
C．函数定义域相
D．函数值
第II卷（非选择题）
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三填空题
9．已知面量值_______值_______
10．已知定义偶函数满足．时．意实数取值范围___________．
11．已知存成立正整数6取值范围________
12．已知函数列四组关函数关系：①②③④中函数取相值函数关系______
四解答题
13．已知定义区间奇函数时．
（1）判断函数单调性定义证明
（2）解等式
（3）恒成立求实数取值范围．
14．已知穷集合AB记定义：满足时称集合AB互完美加法补集
（Ⅰ）已知集合判断20192020否属集合说明理
（Ⅱ）设集合
（ⅰ）求证：集合AB互完美加法补集
（ⅱ）记分表示集合AB中n（）元素数写出满足元素n集合（需写出结果需证明）
15．已知函数性质：果常数该函数区间减函数增函数．
（1）果函数（）值域求b值
（2）研究函数（常数）定义域单调性说明理
（3）函数（常数）作出推广推广函数特例．研究推广函数单调性（须写出结必证明）求函数（n正整数）区间值值（利研究结）．
16．定义尔赛函数已知．
（1）求关a表达式求值．
（2）时函数唯零点求a取值范围．
（3）已知存a意恒成立求b取值范围．
参考答案
1．C
分析
利数式特殊值解数方程较xyz关系．
详解
题意知
解．
理解
较xy：取
较xz：取
较yz：取
综述：选C．
点睛
数式特殊值结合数式指数式互化解决特殊数方程．构造指数幂较．
2．C
分析
利已知条件垂心根四边形角顶角相等根数量积定义投影定义例关系进求出值结合奔驰定理答案
详解
图
理
垂心
四边形角互补
．
理
．
．
．
奔驰定理
选C．
点睛
题考查面量新定义考查逻辑推理力运算求解力求解程中注意连式子变形运属难题
3．A
分析
条称轴称中心单调递减算出致范围验证
详解
题意知：
∴
∴
∵单调递减∴
∴
①时取知
时时
满足单调递减∴符合
取时时时满足单调递减∴符合
时舍时舍
②时取知
时时
时单调递增舍
时舍时舍
综：2
选：A
点睛
题考查三角函数图象性质难度较易错点已知条称轴称中心分两种情况分析
4．D
分析
①直接进行奇偶性判断②③④换元法转化成二次函数图性质进行判断
详解
①函数定义域R
∵f（﹣x）（cosθ+1）cos2（﹣x）+cosθ[cos（﹣x）+1]（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）f（x）
∴f（x）偶函数①正确
②f（x）2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1
设tcosxf（t）2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1
∵2（cosθ+1）0∴二次函数开口
函数称轴tt正负cosθ取值关
∴f（x）（）定单调递减②错误
③θ∈[]时cosθ∈[]
f（x）2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1
设tcosxt∈
f（t）2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1
∵2（cosθ+1）0∴二次函数开口
函数称轴t
③错误
④θ∈[]时cosθ∈[]
④成立
选：D
点睛
题考查函数单调性奇偶性判断考查求函数值时考查转化思想计算力属难题
5．C
分析
取中点连接交中点进面点作点证面连接设直线面成角面面成角根条件知面通边长关系求出利余弦定理求出出根角三角函数关系换元法令出根基等式时出时取值求出线段长
详解
解：取中点连接交中点
矩形中中点
四边形正方形
面面点作点
面连接
设直线面成角
设面面成角
中
中
余弦定理出：
令
：
直线面成角时
取值时仅
时
选：C
点睛
题考查线面角二面角定义运余弦定理利基等式求值涉角三角函数关系换元法考查转化思想化简运算力
6．C
分析
题意四面体体积底面投影恰底面三角形外接圆圆心外接球球心求出三棱锥体积均值等式值进求出外接球表面积．
详解
作
中点
四面体体积值时面外接球球心设
设外接球半径连接
仅时取等号
三棱锥体积
外接球表面积
选：C．
点睛
题考查体体积表面积公式利基等式求值属较难题
7．AC
分析
根函数表达式作出函数图AC利数形结合进行判断BD利特值法进行判断
详解
时 时
次类推作出函数图：
A函数4零点4交点图直线斜率应该直线m n间A正确
B时3交点符合B错误
C实数等式恒成立恒成立图知函数顶点曲线恒成立C正确
D 取时函数图x轴围成图形面积D错误
选：AC
点睛
方法点睛：已知函数零点(方程根)求参数值(取值范围)常方法：
（1）直接法：直接求解方程方程根通解等式确定参数范围
（2）分离参数法：先参数分离转化成求函数值域问题加解决
（3）数形结合法：先解析式变形进构造两函数然面直角坐标系中画出函数图象利数形结合方法求解
8．ACD
分析
A选项中根函数定义域值域定义转化成简易逻辑语言表示出
B选项中举反例保证函数值域集合子集值域开区间说明函数没值C选项中集角度认识函数值域发现发现命题正确D选项中极限角度证明均成立求出函数值域命题D正确
详解
A函数值域表示函数中意取值：设函数定义域充条件命题A真命题
B函数存正数函数值域包含区间．
．例：函数满足时值值．命题B函数值值．假命题
C函数定义域相值域存正数．命题C真命题．
D函数值假设时题意符 假设时题意符函数时时时．
命题D真命题．
选ACD
点睛
题新定义概念问题背景考查函数值域概念基等式充条件双勾函数等知识综合考查极限思想数形结合思想分类讨思想综合应计算量较定思维难度属难题．
9．
分析
设 易进表示作图分析讨利分类讨投影正负垂直垂直作分界线分三类讨单调性求分值求答案
详解
设 易
外绝值结果样面讨前者整理
图象中出顶角部分（阴影部分非阴影部分）称讨
①投影均非负时显然垂直第分界线
值11值16
②投影负投影正时显然垂直第二分界线
显然第四象限
区间应单调递减
③投影均负时
①中
区间应单调递减
综述值16值
答案：(1)(2)
点睛
题考查面量背景转化三角函数求值涉量数量积坐标运算表示考查分类讨思想属难题
10．
分析
先求值求值证周期周期函数转化根周期性称性转化结合求取值范围
详解
令时时偶函数周期周期函数时时结合周期周期函数画出图图示（）意成立时解意成立时递减递增综述取值范围
答案：
点睛
题考查函数奇偶性单调性周期性考查函数解析式求法考查等式恒成立问题求解考查数形结合数学思想方法考查分类讨数学思想方法综合性强属难题
11．
分析
题意分类讨作出函数图象求值解等式组
详解
原问题等价
时函数图象图
时
解：
时函数图象图
时
解：
时函数图象图
时
解：
时函数图象图
时
解：
综满足条件取值范围
答案：
点睛
题考查勾函数图象性质函数值求解存性问题求解等考查分类讨转化化思想
12．①②④
分析
先求取值时值点值代入题目四函数关系判断出正确结
详解
题意令①取值时取值
（i）时
（ii）时：①分母化简
方程解整理元二次等式解整理解
综述值
化简
时取值取值
点代入①②③④进行验证：
①符合
②符合
③符合
④符合
点满足①②④满足③
答案：①②④
点睛
题考查二元分式型函数值求法考查化转化数学思想方法属难题
13．
（1）增函数证明见解析
（2）
（3）
分析
（1）已知变形设利函数奇偶性已知条件结合单调性定义证结
（2）利函数单调性解等式解
（3）已知变形恒成立设恒成立 解等式组求取值范围
（1）
已知
变形
取
已知
增函数
（2）
增函数
等式解集
（3）
增函数
恒成立
等价意恒成立
设恒成立
点睛
题考查元二次方程根分布系数关系函数单调性判断证明函数恒成立问题体现转化数学思想根函数恒成立问题求取值范围解题难点
14．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）
分析
（Ⅰ）a奇数b偶数奇数判断20192020否属集合
（Ⅱ）（ⅰ）意然数p表示唯数组（……）中11…k11…k考虑然数p数证证
中111…k反证法证
（ⅱ）考虑集合中元素奇数
详解
（Ⅰ）奇数
时
（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：意然数p表示唯数组（……）
中11…k
11…k
种形式然数p数超
11…k两种
种形式然数p结果
证
中111…k
假设存中取i数j
综意正整数p唯表示
显然
满足集合AB互完美加法补集
（ⅱ）
点睛
题考查集合新定义性质探索关键理解集合新定义运整数集性质证属难度题
15．（1）（2）该函数减函数区间增函数理见解析（3）区间减函数区间增函数值值．
分析
（1）结合单调性求函数值结合时值求
（2）结合函数奇偶性函数单调性定义判断出函数单调性
（3）结合函数奇偶性单调性进行合情推理结合单调性求区间值值
详解
（1）题意知时函数（）取值．
（2）设．
时函数增函数
时函数区间减函数
偶函数该函数减函数区间增函数．
（3）函数推广（常数）中n正整数n奇数时函数减函数区间增函数增函数区间减函数
n偶数时函数区间减函数增函数减函数区间增函数．
．
区间减函数区间增函数．
时取值时取值．
点睛
利解决题源头函数函数图性质题函数引申出研究学性问题说学类函数程中原始基函数图性质必须掌握牢固理解透彻助解决类函数难题．
16．（1）（2）（3）
分析
（1）题意表示出分析单调性（2）：令
坐标系中分画出两函数图象数形结合（3）题目转化意恒成立分类讨
详解
（1）
时减函数时增函数
时值
（2）时函数
时
：令
坐标系中分画出两函数图象图示：
图知两函数仅交点唯零点
（3）时
意恒成立
意恒成立
单调递增时取值
值
①
②
③
综述
点睛
题考查知识点分段函数应数形结合思想分类讨思想难度较
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第I卷（选择题）
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单选题
1．已知列关系中成立
A． B． C． D．
2．奔驰定理：已知点面积分．奔驰定理面量中非常优美结定理应图形奔驰轿车（Mercedes benz）logo相似形象称奔驰定理锐角点三角点满足必（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数已知图象称中心直线图象条称轴单调递减．记满足条件值值（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数f（x）（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）述四结：①f（x）偶函数②f（x）（）单调递减③θ∈[]时|f（x）|④θ∈[]时|f＇（x）|中真命题编号
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
5．已知矩形中点直线翻折成直线面成角时线段长
A． B． C． D．
6．已知四点均半径（常数）球球面运动四面体体积值球表面积（ ）
A． B． C． D．
二选题
7．已知函数列说法正确（ ）
A．函数4零点实数k取值范围
B．关x方程解
C．实数等式恒成立
D．时函数图象x轴围成图形面积1
8．表示值域函数组成集合表示具性质函数组成集合：函数存正数函数值域包含区间．例时．列命题中正确：
A．设函数定义域充条件
B．函数充条件值值
C．函数定义域相
D．函数值
第II卷（非选择题）
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三填空题
9．已知面量值_______值_______
10．已知定义偶函数满足．时．意实数取值范围___________．
11．已知存成立正整数6取值范围________
12．已知函数列四组关函数关系：①②③④中函数取相值函数关系______
四解答题
13．已知定义区间奇函数时．
（1）判断函数单调性定义证明
（2）解等式
（3）恒成立求实数取值范围．
14．已知穷集合AB记定义：满足时称集合AB互完美加法补集
（Ⅰ）已知集合判断20192020否属集合说明理
（Ⅱ）设集合
（ⅰ）求证：集合AB互完美加法补集
（ⅱ）记分表示集合AB中n（）元素数写出满足元素n集合（需写出结果需证明）
15．已知函数性质：果常数该函数区间减函数增函数．
（1）果函数（）值域求b值
（2）研究函数（常数）定义域单调性说明理
（3）函数（常数）作出推广推广函数特例．研究推广函数单调性（须写出结必证明）求函数（n正整数）区间值值（利研究结）．
16．定义尔赛函数已知．
（1）求关a表达式求值．
（2）时函数唯零点求a取值范围．
（3）已知存a意恒成立求b取值范围．
参考答案
1．C
分析
利数式特殊值解数方程较xyz关系．
详解
题意知
解．
理解
较xy：取
较xz：取
较yz：取
综述：选C．
点睛
数式特殊值结合数式指数式互化解决特殊数方程．构造指数幂较．
2．C
分析
利已知条件垂心根四边形角顶角相等根数量积定义投影定义例关系进求出值结合奔驰定理答案
详解
图
理
垂心
四边形角互补
．
理
．
．
．
奔驰定理
选C．
点睛
题考查面量新定义考查逻辑推理力运算求解力求解程中注意连式子变形运属难题
3．A
分析
条称轴称中心单调递减算出致范围验证
详解
题意知：
∴
∴
∵单调递减∴
∴
①时取知
时时
满足单调递减∴符合
取时时时满足单调递减∴符合
时舍时舍
②时取知
时时
时单调递增舍
时舍时舍
综：2
选：A
点睛
题考查三角函数图象性质难度较易错点已知条称轴称中心分两种情况分析
4．D
分析
①直接进行奇偶性判断②③④换元法转化成二次函数图性质进行判断
详解
①函数定义域R
∵f（﹣x）（cosθ+1）cos2（﹣x）+cosθ[cos（﹣x）+1]（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）f（x）
∴f（x）偶函数①正确
②f（x）2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1
设tcosxf（t）2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1
∵2（cosθ+1）0∴二次函数开口
函数称轴tt正负cosθ取值关
∴f（x）（）定单调递减②错误
③θ∈[]时cosθ∈[]
f（x）2（cosθ+1）cos2x+cosθcosx﹣1
设tcosxt∈
f（t）2（cosθ+1）t2+tcosθ﹣1
∵2（cosθ+1）0∴二次函数开口
函数称轴t
③错误
④θ∈[]时cosθ∈[]
④成立
选：D
点睛
题考查函数单调性奇偶性判断考查求函数值时考查转化思想计算力属难题
5．C
分析
取中点连接交中点进面点作点证面连接设直线面成角面面成角根条件知面通边长关系求出利余弦定理求出出根角三角函数关系换元法令出根基等式时出时取值求出线段长
详解
解：取中点连接交中点
矩形中中点
四边形正方形
面面点作点
面连接
设直线面成角
设面面成角
中
中
余弦定理出：
令
：
直线面成角时
取值时仅
时
选：C
点睛
题考查线面角二面角定义运余弦定理利基等式求值涉角三角函数关系换元法考查转化思想化简运算力
6．C
分析
题意四面体体积底面投影恰底面三角形外接圆圆心外接球球心求出三棱锥体积均值等式值进求出外接球表面积．
详解
作
中点
四面体体积值时面外接球球心设
设外接球半径连接
仅时取等号
三棱锥体积
外接球表面积
选：C．
点睛
题考查体体积表面积公式利基等式求值属较难题
7．AC
分析
根函数表达式作出函数图AC利数形结合进行判断BD利特值法进行判断
详解
时 时
次类推作出函数图：
A函数4零点4交点图直线斜率应该直线m n间A正确
B时3交点符合B错误
C实数等式恒成立恒成立图知函数顶点曲线恒成立C正确
D 取时函数图x轴围成图形面积D错误
选：AC
点睛
方法点睛：已知函数零点(方程根)求参数值(取值范围)常方法：
（1）直接法：直接求解方程方程根通解等式确定参数范围
（2）分离参数法：先参数分离转化成求函数值域问题加解决
（3）数形结合法：先解析式变形进构造两函数然面直角坐标系中画出函数图象利数形结合方法求解
8．ACD
分析
A选项中根函数定义域值域定义转化成简易逻辑语言表示出
B选项中举反例保证函数值域集合子集值域开区间说明函数没值C选项中集角度认识函数值域发现发现命题正确D选项中极限角度证明均成立求出函数值域命题D正确
详解
A函数值域表示函数中意取值：设函数定义域充条件命题A真命题
B函数存正数函数值域包含区间．
．例：函数满足时值值．命题B函数值值．假命题
C函数定义域相值域存正数．命题C真命题．
D函数值假设时题意符 假设时题意符函数时时时．
命题D真命题．
选ACD
点睛
题新定义概念问题背景考查函数值域概念基等式充条件双勾函数等知识综合考查极限思想数形结合思想分类讨思想综合应计算量较定思维难度属难题．
9．
分析
设 易进表示作图分析讨利分类讨投影正负垂直垂直作分界线分三类讨单调性求分值求答案
详解
设 易
外绝值结果样面讨前者整理
图象中出顶角部分（阴影部分非阴影部分）称讨
①投影均非负时显然垂直第分界线
值11值16
②投影负投影正时显然垂直第二分界线
显然第四象限
区间应单调递减
③投影均负时
①中
区间应单调递减
综述值16值
答案：(1)(2)
点睛
题考查面量背景转化三角函数求值涉量数量积坐标运算表示考查分类讨思想属难题
10．
分析
先求值求值证周期周期函数转化根周期性称性转化结合求取值范围
详解
令时时偶函数周期周期函数时时结合周期周期函数画出图图示（）意成立时解意成立时递减递增综述取值范围
答案：
点睛
题考查函数奇偶性单调性周期性考查函数解析式求法考查等式恒成立问题求解考查数形结合数学思想方法考查分类讨数学思想方法综合性强属难题
11．
分析
题意分类讨作出函数图象求值解等式组
详解
原问题等价
时函数图象图
时
解：
时函数图象图
时
解：
时函数图象图
时
解：
时函数图象图
时
解：
综满足条件取值范围
答案：
点睛
题考查勾函数图象性质函数值求解存性问题求解等考查分类讨转化化思想
12．①②④
分析
先求取值时值点值代入题目四函数关系判断出正确结
详解
题意令①取值时取值
（i）时
（ii）时：①分母化简
方程解整理元二次等式解整理解
综述值
化简
时取值取值
点代入①②③④进行验证：
①符合
②符合
③符合
④符合
点满足①②④满足③
答案：①②④
点睛
题考查二元分式型函数值求法考查化转化数学思想方法属难题
13．
（1）增函数证明见解析
（2）
（3）
分析
（1）已知变形设利函数奇偶性已知条件结合单调性定义证结
（2）利函数单调性解等式解
（3）已知变形恒成立设恒成立 解等式组求取值范围
（1）
已知
变形
取
已知
增函数
（2）
增函数
等式解集
（3）
增函数
恒成立
等价意恒成立
设恒成立
点睛
题考查元二次方程根分布系数关系函数单调性判断证明函数恒成立问题体现转化数学思想根函数恒成立问题求取值范围解题难点
14．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）
分析
（Ⅰ）a奇数b偶数奇数判断20192020否属集合
（Ⅱ）（ⅰ）意然数p表示唯数组（……）中11…k11…k考虑然数p数证证
中111…k反证法证
（ⅱ）考虑集合中元素奇数
详解
（Ⅰ）奇数
时
（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：意然数p表示唯数组（……）
中11…k
11…k
种形式然数p数超
11…k两种
种形式然数p结果
证
中111…k
假设存中取i数j
综意正整数p唯表示
显然
满足集合AB互完美加法补集
（ⅱ）
点睛
题考查集合新定义性质探索关键理解集合新定义运整数集性质证属难度题
15．（1）（2）该函数减函数区间增函数理见解析（3）区间减函数区间增函数值值．
分析
（1）结合单调性求函数值结合时值求
（2）结合函数奇偶性函数单调性定义判断出函数单调性
（3）结合函数奇偶性单调性进行合情推理结合单调性求区间值值
详解
（1）题意知时函数（）取值．
（2）设．
时函数增函数
时函数区间减函数
偶函数该函数减函数区间增函数．
（3）函数推广（常数）中n正整数n奇数时函数减函数区间增函数增函数区间减函数
n偶数时函数区间减函数增函数减函数区间增函数．
．
区间减函数区间增函数．
时取值时取值．
点睛
利解决题源头函数函数图性质题函数引申出研究学性问题说学类函数程中原始基函数图性质必须掌握牢固理解透彻助解决类函数难题．
16．（1）（2）（3）
分析
（1）题意表示出分析单调性（2）：令
坐标系中分画出两函数图象数形结合（3）题目转化意恒成立分类讨
详解
（1）
时减函数时增函数
时值
（2）时函数
时
：令
坐标系中分画出两函数图象图示：
图知两函数仅交点唯零点
（3）时
意恒成立
意恒成立
单调递增时取值
值
①
②
③
综述
点睛
题考查知识点分段函数应数形结合思想分类讨思想难度较
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