2021年北京市中考数学试卷
选择题（16分题2分）题均四选项符合题意选项
1．（2分）图某体展开图该体（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
2．（2分）十八坚持教育扶贫作脱贫攻坚优先务．2014﹣2018年中央财政累计投入全面改善贫困区义务教育薄弱学校基办学条件专项补助资金1692亿元169200000000科学记数法表示应（ ）
A．01692×1012 B．1692×1012
C．1692×1011 D．1692×1010
3．（2分）图点O直线ABOC⊥OD．∠AOC＝120°∠BOD（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（2分）列边形中角（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）实数ab数轴应点位置图示列结中正确（ ）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
6．（2分）时抛掷两枚质均匀硬币枚硬币正面枚硬币反面概率（ ）
A． B． C． D．
7．（2分）已知432＝1849442＝1936452＝2025462＝2116．n整数nn+1n值（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
8．（2分）图绳子围成周长10m矩形记矩形边长xm邻边长ym矩形面积Sm2．x定范围变化时ySx变化变化yxSx满足函数关系分（ ）
A．次函数关系二次函数关系
B．反例函数关系二次函数关系
C．次函数关系反例函数关系
D．反例函数关系次函数关系
二填空题（16分题2分）
9．（2分）实数范围意义实数x取值范围 ．
10．（2分）分解式：5x2﹣5y2＝ ．
11．（2分）方程解 ．
12．（2分）面直角坐标系xOy中反例函数y（k≠0）图象点A（12）点B（﹣1m）m值 ．
13．（2分）图PAPB⊙O切线AB切点．∠P＝50°∠AOB＝ ．
14．（2分）图矩形ABCD中点EF分BCADAF＝EC．需添加条件证明四边形AECF菱形条件 （写出）．
15．（2分）甲乙两组数表示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲乙两组数方差分s甲2s乙2s甲2 s乙2（填＞＜＝）．
16．（2分）某企业AB两条加工相原材料生产线．天A生产线加工a吨原材料加工时间（4a+1）时天B生产线加工b吨原材料加工时间（2b+3）时．第天该企业5吨原材料分配AB两条生产线两条生产线天完成加工加工时间相分配A生产线吨数分配B生产线吨数 ．第二天开工前该企业第天分配结果分配5吨原材料A生产线分配m吨原材料B生产线分配n吨原材料．两条生产线天加工完分配原材料加工时间相值 ．
三解答题（68分第1720题题5分第2122题题6分第23题5分第24题6分第25题5分第26题6分第2728题题7分）解答应写出文字说明演算步骤证明程
17．（5分）计算：2sin60°|﹣5|﹣（π）0．
18．（5分）解等式组：．
19．（5分）已知a2+2b2﹣1＝0求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）值．
20．（5分）淮南子・天文训中记载种确定东西方方法意：日出时面点A处立根杆面着杆影子方取点BBA两点间距离10步（步古代种长度单位）点B处立根杆日落时面着点B处杆影子方取点CCB两点间距离10步点C处立根杆．取CA中点D直线DB表示方东西方．
（1）述方法中杆面影子直线点ABC位置图示．直尺圆规图中作CA中点D（保留作图痕迹）
（2）图中确定直线DB表示方东西方．根南北方东西方互相垂直判断直线CA表示方南北方完成证明．
证明：△ABC中BA＝ DCA中点
∴CA⊥DB（ ）（填推理）．
∵直线DB表示方东西方
∴直线CA表示方南北方．
21．（6分）已知关x元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总两实数根
（2）m＞0该方程两实数根差2求m值．
22．（6分）图四边形ABCD中∠ACB＝∠CAD＝90°点EBCAE∥DCEF⊥AB垂足F．
（1）求证：四边形AECD行四边形
（2）AE分∠BACBE＝5cosB求BFAD长．
23．（5分）面直角坐标系xOy中次函数y＝kx+b（k≠0）图象函数yx图象移1单位长度．
（1）求次函数解析式
（2）x＞﹣2时x值函数y＝mx（m≠0）值次函数y＝kx+b值直接写出m取值范围．
24．（6分）图⊙O△ABC外接圆AD⊙O直径AD⊥BC点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD
（2）连接BO延长交AC点F交⊙O点G连接GC．⊙O半径5OE＝3求GCOF长．
25．（5分）解甲乙两座城市邮政企业4月份收入情况两座城市邮政企业中机抽取25家邮政企业获4月份收入（单位：百万元）数数进行整理描述分析．面出部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入数频数分布直方图（数分成5组：6≤x＜88≤x＜1010≤x＜1212≤x＜1414≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入数10≤x＜12组：
100 100 101 109 114 115 116 118
c．甲乙两座城市邮政企业4月份收入数均数中位数：
均数
中位数
甲城市
108
m
乙城市
110
115
根信息回答列问题：
（1）写出表中m值
（2）甲城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数p1．乙城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数p2．较p1p2说明理
（3）乙城市200家邮政企业估计乙城市邮政企业4月份总收入（直接写出结果）．
26．（6分）面直角坐标系xOy中点（1m）点（3n）抛物线y＝ax2+bx（a＞0）．
（1）m＝3n＝15求该抛物线称轴
（2）已知点（﹣1y1）（2y2）（4y3）该抛物线．mn＜0较y1y2y3说明理．
27．（7分）图△ABC中AB＝AC∠BAC＝αMBC中点点DMC点A中心线段AD时针旋转α线段AE连接BEDE．
（1）较∠BAE∠CAD等式表示线段BEBMMD间数量关系证明
（2）点M作AB垂线交DE点N等式表示线段NEND数量关系证明．
28．（7分）面直角坐标系xOy中⊙O半径1．点A线段BC出定义：线段BC绕点A旋转⊙O弦B′C′（B′C′分BC应点）称线段BC⊙O点A中心关联线段．
（1）图点AB1C1B2C2B3C3横坐标整数．线段B1C1B2C2B3C3中⊙O点A中心关联线段
（2）△ABC边长1等边三角形点A（0t）中t≠0．BC⊙O点A中心关联线段求t值
（3）△ABC中AB＝1AC＝2．BC⊙O点A中心关联线段直接写出OA值值相应BC长．
2021年北京市中考数学参考答案试题解析
选择题(16分题2分)第18题均四选项符合题意选项
1．（2分）图某体展开图该体（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
分析展开图两圆长方形易圆柱展开图．
解答解：∵圆柱展开图两圆长方形
∴展开图体圆柱．
选：B．
点评题考查展开图体关键考查学空间想象力．
2．（2分）十八坚持教育扶贫作脱贫攻坚优先务．2014﹣2018年中央财政累计投入全面改善贫困区义务教育薄弱学校基办学条件专项补助资金1692亿元169200000000科学记数法表示应（ ）
A．01692×1012 B．1692×1012
C．1692×1011 D．1692×1010
分析科学记数法表示形式a×10n形式中1≤|a|＜10n整数．确定n值时原数变成a时数点移动少位n绝值数点移动位数相．原数绝值≥10时n正整数原数绝值＜1时n负整数．
解答解：169200000000科学记数法表示应1692×1011．
选：C．
点评题考查科学记数法表示方法表示时关键正确确定a值n值．
3．（2分）图点O直线ABOC⊥OD．∠AOC＝120°∠BOD（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
分析根角意义求出∠BOC度数根垂直意义求出答案．
解答解：∵∠AOC+∠BOC＝180°∠AOC＝120°
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°
∵OC⊥OD
∴∠COD＝90°
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°
选：A．
点评题考查角垂直意义理解互相垂直意义解决问题关键．
4．（2分）列边形中角（ ）
A． B． C． D．
分析根边形角公式求解．
解答解：A．三角形角180°
B．四边形角360°
C．五边形角：（5﹣2）×180°＝540°
D．六边形角：（6﹣2）×180°＝720°
选：D．
点评题考查边形角外角熟记边形角公式解题关键．
5．（2分）实数ab数轴应点位置图示列结中正确（ ）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
分析根图象逐项判断错．
解答解：A．图象点A﹣2左侧
∴a＜﹣2A选项错误符合题意．
B．∵a0距离b0距离
∴|a|＞bB选项正确符合题意．
C．∵|a|＞ba＜0
∴﹣a＞b
∴a+b＜0C选项错误符合题意．
D．∵b＞a
∴b﹣a＞0D选项错误符合题意．
选：B．
点评题考查数轴绝值解题关键掌握数轴点意义绝值含义．
6．（2分）时抛掷两枚质均匀硬币枚硬币正面枚硬币反面概率（ ）
A． B． C． D．
分析画树状图4种等结果枚硬币正面枚硬币反面2种结果概率公式求解．
解答解：画树形图：
树形图知4种等结果枚硬币正面枚硬币反面2种结果
∴枚硬币正面枚硬币反面概率
选：C．
点评题考查求机事件概率知识点：概率＝求情况数总情况数．求情况数解决题关键．
7．（2分）已知432＝1849442＝1936452＝2025462＝2116．n整数nn+1n值（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
分析先写出2021范围写范围n值．
解答解：∵1936＜2021＜2025
∴4445
∴n＝44
选：B．
点评题考查理数估算理数估算常夹逼法理数夹逼理数解题关键．
8．（2分）图绳子围成周长10m矩形记矩形边长xm邻边长ym矩形面积Sm2．x定范围变化时ySx变化变化yxSx满足函数关系分（ ）
A．次函数关系二次函数关系
B．反例函数关系二次函数关系
C．次函数关系反例函数关系
D．反例函数关系次函数关系
分析矩形周长2（x+y）＝10x表示y代入S＝xy中S关x函数关系式代简出答案．
解答解：题意
2（x+y）＝10
∴x+y＝5
∴y＝5﹣x
yx次函数关系．
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x
∴矩形面积满足函数关系S＝﹣x2+5x
满足二次函数关系
选：A．
点评题考查二次函数实际问题中应理清题中数量关系熟练掌握二次函数解析式形式解题关键．
二填空题(16分题2分)
9．（2分）实数范围意义实数x取值范围 x≥7 ．
分析根二次根式开方数非负数列出等式解等式答案．
解答解：题意：x﹣7≥0
解：x≥7
答案：x≥7．
点评题考查二次根式意义条件掌握二次根式开方数非负数解题关键．
10．（2分）分解式：5x2﹣5y2＝ 5（x+y）（x﹣y） ．
分析提公式利方差公式．
解答解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）
答案：5（x+y）（x﹣y）．
点评题考查提公式法公式法分解式掌握方差公式结构特征正确应前提．
11．（2分）方程解 x＝3 ．
分析先分式化整数然求解检验．
解答解：方程两边时x（x+3）：
2x＝x+3
解x＝3
检验：x＝3时x（x+3）≠0
∴方程解x＝3．
答案：x＝3．
点评题考查解分式方程解题关键先分式方程化整式方程求解然检验增根情况．
12．（2分）面直角坐标系xOy中反例函数y（k≠0）图象点A（12）点B（﹣1m）m值 ﹣2 ．
分析利反例函数图象点坐标特征﹣m＝1×2然解关m方程．
解答解：∵反例函数y（k≠0）图象点A（12）点B（﹣1m）
∴﹣m＝1×2解m＝﹣2
m值﹣2．答案﹣2．
点评题考查反例函数图象点坐标特征：反例函数y（k常数k≠0）图象双曲线图象点（xy）横坐标积定值kxy＝k．
13．（2分）图PAPB⊙O切线AB切点．∠P＝50°∠AOB＝ 130° ．
分析先根切线性质∠OAP＝∠OBP＝90°然根四边形角计算∠AOB度数．
解答解：∵PAPB⊙O切线AB切点
∴OA⊥PAOB⊥PB
∴∠OAP＝∠OBP＝90°
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
答案130°．
点评题考查切线性质：圆切线垂直切点半径．
14．（2分）图矩形ABCD中点EF分BCADAF＝EC．需添加条件证明四边形AECF菱形条件 AE＝AF （写出）．
分析根矩形性质AD∥BCAF∥CE推出四边形ABCD行四边形根菱形判定定理结．
解答解：条件AE＝AF
理：∵四边形ABCD矩形
∴AD∥BC
AF∥CE
∵AF＝EC
∴四边形ABCD行四边形
∵AE＝AF
∴四边形AECF菱形答案：AE＝AF．
点评题考查矩形性质行四边形判定性质菱形判定熟练掌握菱形判定定理解题关键．
15．（2分）甲乙两组数表示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲乙两组数方差分s甲2s乙2s甲2 ＞ s乙2（填＞＜＝）．
分析根均数计算公式求出甲乙均数根方差公式进行计算出答案．
解答解：（11+12+13+14+15）＝13
s甲2[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2
（12+12+13+14+14）＝13
s乙2[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝08
∵2＞08
∴s甲2＞s乙2．
答案：＞．
点评题考查方差定义：般设n数x1x2…xn均数方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]反映组数波动方差越波动性越反成立．
16．（2分）某企业AB两条加工相原材料生产线．天A生产线加工a吨原材料加工时间（4a+1）时天B生产线加工b吨原材料加工时间（2b+3）时．第天该企业5吨原材料分配AB两条生产线两条生产线天完成加工加工时间相分配A生产线吨数分配B生产线吨数 2：3 ．第二天开工前该企业第天分配结果分配5吨原材料A生产线分配m吨原材料B生产线分配n吨原材料．两条生产线天加工完分配原材料加工时间相值 ．
分析设分配 生产线吨数x吨分配B生产线吨数（5﹣x）吨题意4x+1＝2（5﹣x）+3然求解题意第二天开工时问方程4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3进求解出答案．
解答解：设分配 生产线吨数x吨分配B生产线吨数（5﹣x）吨题意：
4x+1＝2（5﹣x）+3
解：x＝2
∴分配B生产线吨数5﹣2＝3（吨）
∴分配 生产线吨数分配 生产线吨数2：3
∴第二天开工时 生产线分配（2+m）吨原材料 生产线分配（3+n）吨原材料
∵加工时间相
∴4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3
解：mn
∴
答案：2：3．
点评题考查元次方程二元次方程应例基性质熟练掌握元次方程应例基性质解题关键．
三解答题（68分第1720题题5分第2122题题6分第23题5分第24题6分第25题5分第26题6分第2728题题7分）解答应写出文字说明演算步骤证明程
17．（5分）计算：2sin60°|﹣5|﹣（π）0．
分析直接利零指数幂性质二次根式性质绝值性质特殊角三角函数值分化简出答案．
解答解：原式＝225﹣1
25﹣1
＝34．
点评题考查零指数幂性质二次根式性质绝值性质特殊角三角函数值等知识正确化简数解题关键．
18．（5分）解等式组：．
分析分求出等式解集根口诀：取取中间找找确定等式组解集．
解答解：解等式4x﹣5＞x+1：x＞2
解等式x：x＜4
等式组解集2＜x＜4．
点评题考查解元次等式组正确求出等式解集基础熟知取取中间找找原解答题关键．
19．（5分）已知a2+2b2﹣1＝0求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）值．
分析根完全方公式单项式项式运算法原式化简已知等式变形代入．
解答解：原式＝a2﹣2ab+b2+2ab+b2
＝a2+2b2
∵a2+2b2﹣1＝0
∴a2+2b2＝1
∴原式＝1．
点评题考查整式化简求值灵活运整体思想掌握整式混合运算法解题关键．
20．（5分）淮南子・天文训中记载种确定东西方方法意：日出时面点A处立根杆面着杆影子方取点BBA两点间距离10步（步古代种长度单位）点B处立根杆日落时面着点B处杆影子方取点CCB两点间距离10步点C处立根杆．取CA中点D直线DB表示方东西方．
（1）述方法中杆面影子直线点ABC位置图示．直尺圆规图中作CA中点D（保留作图痕迹）
（2）图中确定直线DB表示方东西方．根南北方东西方互相垂直判断直线CA表示方南北方完成证明．
证明：△ABC中BA＝ BC DCA中点
∴CA⊥DB（ 三线合 ）（填推理）．
∵直线DB表示方东西方
∴直线CA表示方南北方．
分析（1）作BD⊥ACD．
（2）利等腰三角形三线合性质解决问题．
解答解：（1）图点D求．
（2）△ABC中BA＝BCDCA中点
∴CA⊥DB（三线合）
∵直线DB表示方东西方
∴直线CA表示方南北方．
答案：BC三线合．
点评题考查作图﹣应设计作图等腰三角形性质等知识解题关键理解题意学会利等腰三角形性质解决问题．
21．（6分）已知关x元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总两实数根
（2）m＞0该方程两实数根差2求m值．
分析（1）根方程系数结合根判式出△＝4m2利偶次方非负性出4m2≥0△≥0利△≥0时方程两实数根证出结
（2）利式分解法求出x1＝mx2＝3m．题意出m方程解方程出答案．
解答（1）证明：∵a＝1b＝﹣4mc＝3m2
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵m取值时4m2≥0△≥0
∴原方程总两实数根．
（2）解：∵x2﹣4mx+3m2＝0（x﹣m）（x﹣3m）＝0
∴x1＝mx2＝3m．
∵m＞0该方程两实数根差2
∴3m﹣m＝2
∴m＝1．
点评题考查根判式偶次方非负性式分解法解元二次方程解题关键：（1）牢记△≥0时方程实数根（2）利式分解法求出方程解．
22．（6分）图四边形ABCD中∠ACB＝∠CAD＝90°点EBCAE∥DCEF⊥AB垂足F．
（1）求证：四边形AECD行四边形
（2）AE分∠BACBE＝5cosB求BFAD长．
分析（1）证AD∥CEAE∥DC出结
（2）先锐角三角函数定义求出BF＝4勾股定理求出EF＝3然角分线性质EC＝EF＝3行四边形性质求解．
解答（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°
∴AD∥CE
∵AE∥DC
∴四边形AECD行四边形
（2）解：∵EF⊥AB
∴∠BFE＝90°
∵cosB
∴BFBE5＝4
∴EF3
∵AE分∠BACEF⊥AB∠ACE＝90°
∴EC＝EF＝3
（1）：四边形AECD行四边形
∴AD＝EC＝3．
点评题考查行四边形判定性质锐角三角函数定义角分线性质勾股定理等知识熟练掌握锐角三角函数定义证明四边形AECD行四边形解题关键．
23．（5分）面直角坐标系xOy中次函数y＝kx+b（k≠0）图象函数yx图象移1单位长度．
（1）求次函数解析式
（2）x＞﹣2时x值函数y＝mx（m≠0）值次函数y＝kx+b值直接写出m取值范围．
分析（1）根移规律求．
（2）根点（﹣2﹣2）结合图象求．
解答解：（1）函数yx图象移1单位长度yx﹣1
∵次函数y＝kx+b（k≠0）图象函数yx图象移1单位长度
∴次函数表达式yx﹣1．
（2）x＝﹣2代入yx﹣1求y＝﹣2
∴函数y＝mx（m≠0）次函数yx﹣1交点（﹣2﹣2）
点（﹣2﹣2）代入y＝mx求m＝1
∵x＞﹣2时x值函数y＝mx（m≠0）值次函数yx﹣1值
∴m≤1．
点评题考查次函数图象变换次函数系数关系数形结合解题关键．
24．（6分）图⊙O△ABC外接圆AD⊙O直径AD⊥BC点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD
（2）连接BO延长交AC点F交⊙O点G连接GC．⊙O半径5OE＝3求GCOF长．
分析（1）根垂径定理根圆周角定理证明结
（2）根勾股定理求出BE根垂径定理求出BC根圆周角定理∠BCG＝90°根勾股定理求出GC证明△AFO∽△CFG根相似三角形性质求出OF．
解答（1）证明：∵AD⊙O直径AD⊥BC
∴
∴∠BAD＝∠CAD
（2）解：Rt△BOE中OB＝5OE＝3
∴BE4
∵AD⊙O直径AD⊥BC
∴BC＝2BE＝8
∵BG⊙O直径
∴∠BCG＝90°
∴GC6
∵AD⊥BC∠BCG＝90°
∴AE∥GC
∴△AFO∽△CFG
∴
解：OF．
点评题考查圆周角定理垂径定理相似三角形判定性质掌握相似三角形判定定理性质定理垂径定理解题关键．
25．（5分）解甲乙两座城市邮政企业4月份收入情况两座城市邮政企业中机抽取25家邮政企业获4月份收入（单位：百万元）数数进行整理描述分析．面出部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入数频数分布直方图（数分成5组：6≤x＜88≤x＜1010≤x＜1212≤x＜1414≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入数10≤x＜12组：
100 100 101 109 114 115 116 118
c．甲乙两座城市邮政企业4月份收入数均数中位数：
均数
中位数
甲城市
108
m
乙城市
110
115
根信息回答列问题：
（1）写出表中m值
（2）甲城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数p1．乙城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数p2．较p1p2说明理
（3）乙城市200家邮政企业估计乙城市邮政企业4月份总收入（直接写出结果）．
分析（1）根中位数意义求出甲城市抽样25家邮政企业4月份营业额排列出处第13位数
（2）根p1p2表示意义结合两城市抽取邮政企业4月份营业额具体数出答案
（3）根乙城市邮政企业4月份营业额均数企业数量进行计算．
解答解：（1）甲城市抽取25家邮政企业4月份营业额排列处中间位置数101
中位数101m＝101
（2）题意p1＝5+3+4＝12（家）
乙城市抽取25家邮政企业4月份营业额均数110中位数115
抽取25家邮政企业4月份营业额115占半
p2值12
∴p1＜p2
（3）110×200＝2200（百万元）
答：乙城市200家邮政企业4月份总收入约2200百万元．
点评题考查频数分布直方图均数中位数掌握均数中位数意义正确解答前提．
26．（6分）面直角坐标系xOy中点（1m）点（3n）抛物线y＝ax2+bx（a＞0）．
（1）m＝3n＝15求该抛物线称轴
（2）已知点（﹣1y1）（2y2）（4y3）该抛物线．mn＜0较y1y2y3说明理．
分析（1）点（13）（315）代入解析式求解．
（2）分类讨b正负情况根mn＜0称轴x直线x间根点称轴距离判断y值．
解答解：（1）∵m＝3n＝15
∴点（13）（315）抛物线
（13）（315）代入y＝ax2+bx：
解
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1
∴抛物线称轴直线x＝﹣1
（2）∵y＝ax2+bx（a＞0）
∴抛物线开口原点
b＝0时抛物线顶点原点x＞0时yx增增n＞m＞0满足题意
b＞0时抛物线称轴y轴左侧理n＞m＞0满足题意
∴b＜0抛物线称轴y轴右侧x＝1时m＜0x＝3时n＞0
∴抛物线称轴直线x直线x间
∴2﹣（）（﹣1）
∴y2＜y1＜y3．
点评题考查二次函数性质解题关键熟练掌握定系数法求函数解析式根数形结合求解．
27．（7分）图△ABC中AB＝AC∠BAC＝αMBC中点点DMC点A中心线段AD时针旋转α线段AE连接BEDE．
（1）较∠BAE∠CAD等式表示线段BEBMMD间数量关系证明
（2）点M作AB垂线交DE点N等式表示线段NEND数量关系证明．
分析（1）∠DAE＝∠BAC∠BAE＝∠CAD然SAS证△ABE≌△ACD
（2）作EH⊥AB交BCH证△BEF≌△BHFBF＝BH证MH＝MD助MN∥HF行线分线段成例证出．
解答解：（1）∵∠DAE＝∠BAC＝α
∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD
∠BAE＝∠CAD
△ABE△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴BE＝CD
∵MBC中点
∴BM＝CM
∴BE+MD＝BM
（2）图作EH⊥AB交BCH
（1）△ABE≌△ACD：∠ABE＝∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC
∴∠ABE＝∠ABD
△BEF△BHF中
∴△BEF≌△BHF（ASA）
∴BE＝BH
（1）知：BE+MD＝BM
∴MH＝MD
∵MN∥HF
∴
∴EN＝DN．
点评题考查等腰三角形性质全等三角形判定性质角分线称性等知识作EH⊥AB构造出全等三角形解题关键．
28．（7分）面直角坐标系xOy中⊙O半径1．点A线段BC出定义：线段BC绕点A旋转⊙O弦B′C′（B′C′分BC应点）称线段BC⊙O点A中心关联线段．
（1）图点AB1C1B2C2B3C3横坐标整数．线段B1C1B2C2B3C3中⊙O点A中心关联线段 B2C2
（2）△ABC边长1等边三角形点A（0t）中t≠0．BC⊙O点A中心关联线段求t值
（3）△ABC中AB＝1AC＝2．BC⊙O点A中心关联线段直接写出OA值值相应BC长．
分析（1）利旋转性质点A圆点距离范围结合图形判断求出答案．
（2）利旋转性质关联线段定义等边三角形性质求出B′C′位置求出t值．
（3）利旋转性质关联线段定义知四边形AB′OC′边长利四边形稳定性画出OA时图形利等腰三角形性质勾股定理求出答案．
解答解：（1）旋转旋转知：AB＝AB′AC＝AC′∠BAB′＝∠CAC′
图知点A圆点距离d范围1≤d1
∵AC1＝3＞d
∴点 C1′圆
∴B1C1⊙OA中心关联线段
∵AC2＝1AB2
∴C2′（01）B2′（10）
∴B2C2⊙OA中心关联线段
∵AC3＝2AB3
B3′圆时B3′（10）（0﹣1）
图知时C3′圆
∴B3C3⊙OA中心关联线段．
答案B2C2．
（2）∵△ABC边长1等边三角形
根旋转性质知△AB′C′边长1等边三角形
∵A（0t）
∴B′C′⊥y轴B′C′＝1
∴AOB′C′边高高长
∴t．
（3）旋转性质关联线段定义
知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1AC′＝AC＝2图1
利四边形稳定性知
AOC′直线时OA值1图2
时OA＝OB′＝OC′
∴∠AB′C＝90°
∴B′C′．
AB′O直线时OA图3
时OA＝2点A作AE⊥OC′E点C′作C′F⊥OAF．
∵AO＝AC′＝2AE⊥OC′
∴OE＝EC′
∴AE
∵S△AOC′•AO•C′F•OC′•AE
∴C′F
∴OF
∴FB′＝OB′﹣OF
∴B′C′．
综OA值1时时BC长OA值2时BC长．
点评题属圆综合题考查旋转关新定义题利旋转性质等腰三角形等边三角形勾股定理等知识点题关键画出OA时图形属中考压轴题
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选择题（16分题2分）题均四选项符合题意选项
1．（2分）图某体展开图该体（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
2．（2分）十八坚持教育扶贫作脱贫攻坚优先务．2014﹣2018年中央财政累计投入全面改善贫困区义务教育薄弱学校基办学条件专项补助资金1692亿元169200000000科学记数法表示应（ ）
A．01692×1012 B．1692×1012
C．1692×1011 D．1692×1010
3．（2分）图点O直线ABOC⊥OD．∠AOC＝120°∠BOD（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（2分）列边形中角（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）实数ab数轴应点位置图示列结中正确（ ）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
6．（2分）时抛掷两枚质均匀硬币枚硬币正面枚硬币反面概率（ ）
A． B． C． D．
7．（2分）已知432＝1849442＝1936452＝2025462＝2116．n整数nn+1n值（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
8．（2分）图绳子围成周长10m矩形记矩形边长xm邻边长ym矩形面积Sm2．x定范围变化时ySx变化变化yxSx满足函数关系分（ ）
A．次函数关系二次函数关系
B．反例函数关系二次函数关系
C．次函数关系反例函数关系
D．反例函数关系次函数关系
二填空题（16分题2分）
9．（2分）实数范围意义实数x取值范围 ．
10．（2分）分解式：5x2﹣5y2＝ ．
11．（2分）方程解 ．
12．（2分）面直角坐标系xOy中反例函数y（k≠0）图象点A（12）点B（﹣1m）m值 ．
13．（2分）图PAPB⊙O切线AB切点．∠P＝50°∠AOB＝ ．
14．（2分）图矩形ABCD中点EF分BCADAF＝EC．需添加条件证明四边形AECF菱形条件 （写出）．
15．（2分）甲乙两组数表示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲乙两组数方差分s甲2s乙2s甲2 s乙2（填＞＜＝）．
16．（2分）某企业AB两条加工相原材料生产线．天A生产线加工a吨原材料加工时间（4a+1）时天B生产线加工b吨原材料加工时间（2b+3）时．第天该企业5吨原材料分配AB两条生产线两条生产线天完成加工加工时间相分配A生产线吨数分配B生产线吨数 ．第二天开工前该企业第天分配结果分配5吨原材料A生产线分配m吨原材料B生产线分配n吨原材料．两条生产线天加工完分配原材料加工时间相值 ．
三解答题（68分第1720题题5分第2122题题6分第23题5分第24题6分第25题5分第26题6分第2728题题7分）解答应写出文字说明演算步骤证明程
17．（5分）计算：2sin60°|﹣5|﹣（π）0．
18．（5分）解等式组：．
19．（5分）已知a2+2b2﹣1＝0求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）值．
20．（5分）淮南子・天文训中记载种确定东西方方法意：日出时面点A处立根杆面着杆影子方取点BBA两点间距离10步（步古代种长度单位）点B处立根杆日落时面着点B处杆影子方取点CCB两点间距离10步点C处立根杆．取CA中点D直线DB表示方东西方．
（1）述方法中杆面影子直线点ABC位置图示．直尺圆规图中作CA中点D（保留作图痕迹）
（2）图中确定直线DB表示方东西方．根南北方东西方互相垂直判断直线CA表示方南北方完成证明．
证明：△ABC中BA＝ DCA中点
∴CA⊥DB（ ）（填推理）．
∵直线DB表示方东西方
∴直线CA表示方南北方．
21．（6分）已知关x元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总两实数根
（2）m＞0该方程两实数根差2求m值．
22．（6分）图四边形ABCD中∠ACB＝∠CAD＝90°点EBCAE∥DCEF⊥AB垂足F．
（1）求证：四边形AECD行四边形
（2）AE分∠BACBE＝5cosB求BFAD长．
23．（5分）面直角坐标系xOy中次函数y＝kx+b（k≠0）图象函数yx图象移1单位长度．
（1）求次函数解析式
（2）x＞﹣2时x值函数y＝mx（m≠0）值次函数y＝kx+b值直接写出m取值范围．
24．（6分）图⊙O△ABC外接圆AD⊙O直径AD⊥BC点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD
（2）连接BO延长交AC点F交⊙O点G连接GC．⊙O半径5OE＝3求GCOF长．
25．（5分）解甲乙两座城市邮政企业4月份收入情况两座城市邮政企业中机抽取25家邮政企业获4月份收入（单位：百万元）数数进行整理描述分析．面出部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入数频数分布直方图（数分成5组：6≤x＜88≤x＜1010≤x＜1212≤x＜1414≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入数10≤x＜12组：
100 100 101 109 114 115 116 118
c．甲乙两座城市邮政企业4月份收入数均数中位数：
均数
中位数
甲城市
108
m
乙城市
110
115
根信息回答列问题：
（1）写出表中m值
（2）甲城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数p1．乙城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数p2．较p1p2说明理
（3）乙城市200家邮政企业估计乙城市邮政企业4月份总收入（直接写出结果）．
26．（6分）面直角坐标系xOy中点（1m）点（3n）抛物线y＝ax2+bx（a＞0）．
（1）m＝3n＝15求该抛物线称轴
（2）已知点（﹣1y1）（2y2）（4y3）该抛物线．mn＜0较y1y2y3说明理．
27．（7分）图△ABC中AB＝AC∠BAC＝αMBC中点点DMC点A中心线段AD时针旋转α线段AE连接BEDE．
（1）较∠BAE∠CAD等式表示线段BEBMMD间数量关系证明
（2）点M作AB垂线交DE点N等式表示线段NEND数量关系证明．
28．（7分）面直角坐标系xOy中⊙O半径1．点A线段BC出定义：线段BC绕点A旋转⊙O弦B′C′（B′C′分BC应点）称线段BC⊙O点A中心关联线段．
（1）图点AB1C1B2C2B3C3横坐标整数．线段B1C1B2C2B3C3中⊙O点A中心关联线段
（2）△ABC边长1等边三角形点A（0t）中t≠0．BC⊙O点A中心关联线段求t值
（3）△ABC中AB＝1AC＝2．BC⊙O点A中心关联线段直接写出OA值值相应BC长．
2021年北京市中考数学参考答案试题解析
选择题(16分题2分)第18题均四选项符合题意选项
1．（2分）图某体展开图该体（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
分析展开图两圆长方形易圆柱展开图．
解答解：∵圆柱展开图两圆长方形
∴展开图体圆柱．
选：B．
点评题考查展开图体关键考查学空间想象力．
2．（2分）十八坚持教育扶贫作脱贫攻坚优先务．2014﹣2018年中央财政累计投入全面改善贫困区义务教育薄弱学校基办学条件专项补助资金1692亿元169200000000科学记数法表示应（ ）
A．01692×1012 B．1692×1012
C．1692×1011 D．1692×1010
分析科学记数法表示形式a×10n形式中1≤|a|＜10n整数．确定n值时原数变成a时数点移动少位n绝值数点移动位数相．原数绝值≥10时n正整数原数绝值＜1时n负整数．
解答解：169200000000科学记数法表示应1692×1011．
选：C．
点评题考查科学记数法表示方法表示时关键正确确定a值n值．
3．（2分）图点O直线ABOC⊥OD．∠AOC＝120°∠BOD（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
分析根角意义求出∠BOC度数根垂直意义求出答案．
解答解：∵∠AOC+∠BOC＝180°∠AOC＝120°
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°
∵OC⊥OD
∴∠COD＝90°
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°
选：A．
点评题考查角垂直意义理解互相垂直意义解决问题关键．
4．（2分）列边形中角（ ）
A． B． C． D．
分析根边形角公式求解．
解答解：A．三角形角180°
B．四边形角360°
C．五边形角：（5﹣2）×180°＝540°
D．六边形角：（6﹣2）×180°＝720°
选：D．
点评题考查边形角外角熟记边形角公式解题关键．
5．（2分）实数ab数轴应点位置图示列结中正确（ ）
A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
分析根图象逐项判断错．
解答解：A．图象点A﹣2左侧
∴a＜﹣2A选项错误符合题意．
B．∵a0距离b0距离
∴|a|＞bB选项正确符合题意．
C．∵|a|＞ba＜0
∴﹣a＞b
∴a+b＜0C选项错误符合题意．
D．∵b＞a
∴b﹣a＞0D选项错误符合题意．
选：B．
点评题考查数轴绝值解题关键掌握数轴点意义绝值含义．
6．（2分）时抛掷两枚质均匀硬币枚硬币正面枚硬币反面概率（ ）
A． B． C． D．
分析画树状图4种等结果枚硬币正面枚硬币反面2种结果概率公式求解．
解答解：画树形图：
树形图知4种等结果枚硬币正面枚硬币反面2种结果
∴枚硬币正面枚硬币反面概率
选：C．
点评题考查求机事件概率知识点：概率＝求情况数总情况数．求情况数解决题关键．
7．（2分）已知432＝1849442＝1936452＝2025462＝2116．n整数nn+1n值（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
分析先写出2021范围写范围n值．
解答解：∵1936＜2021＜2025
∴4445
∴n＝44
选：B．
点评题考查理数估算理数估算常夹逼法理数夹逼理数解题关键．
8．（2分）图绳子围成周长10m矩形记矩形边长xm邻边长ym矩形面积Sm2．x定范围变化时ySx变化变化yxSx满足函数关系分（ ）
A．次函数关系二次函数关系
B．反例函数关系二次函数关系
C．次函数关系反例函数关系
D．反例函数关系次函数关系
分析矩形周长2（x+y）＝10x表示y代入S＝xy中S关x函数关系式代简出答案．
解答解：题意
2（x+y）＝10
∴x+y＝5
∴y＝5﹣x
yx次函数关系．
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x
∴矩形面积满足函数关系S＝﹣x2+5x
满足二次函数关系
选：A．
点评题考查二次函数实际问题中应理清题中数量关系熟练掌握二次函数解析式形式解题关键．
二填空题(16分题2分)
9．（2分）实数范围意义实数x取值范围 x≥7 ．
分析根二次根式开方数非负数列出等式解等式答案．
解答解：题意：x﹣7≥0
解：x≥7
答案：x≥7．
点评题考查二次根式意义条件掌握二次根式开方数非负数解题关键．
10．（2分）分解式：5x2﹣5y2＝ 5（x+y）（x﹣y） ．
分析提公式利方差公式．
解答解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）
答案：5（x+y）（x﹣y）．
点评题考查提公式法公式法分解式掌握方差公式结构特征正确应前提．
11．（2分）方程解 x＝3 ．
分析先分式化整数然求解检验．
解答解：方程两边时x（x+3）：
2x＝x+3
解x＝3
检验：x＝3时x（x+3）≠0
∴方程解x＝3．
答案：x＝3．
点评题考查解分式方程解题关键先分式方程化整式方程求解然检验增根情况．
12．（2分）面直角坐标系xOy中反例函数y（k≠0）图象点A（12）点B（﹣1m）m值 ﹣2 ．
分析利反例函数图象点坐标特征﹣m＝1×2然解关m方程．
解答解：∵反例函数y（k≠0）图象点A（12）点B（﹣1m）
∴﹣m＝1×2解m＝﹣2
m值﹣2．答案﹣2．
点评题考查反例函数图象点坐标特征：反例函数y（k常数k≠0）图象双曲线图象点（xy）横坐标积定值kxy＝k．
13．（2分）图PAPB⊙O切线AB切点．∠P＝50°∠AOB＝ 130° ．
分析先根切线性质∠OAP＝∠OBP＝90°然根四边形角计算∠AOB度数．
解答解：∵PAPB⊙O切线AB切点
∴OA⊥PAOB⊥PB
∴∠OAP＝∠OBP＝90°
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
答案130°．
点评题考查切线性质：圆切线垂直切点半径．
14．（2分）图矩形ABCD中点EF分BCADAF＝EC．需添加条件证明四边形AECF菱形条件 AE＝AF （写出）．
分析根矩形性质AD∥BCAF∥CE推出四边形ABCD行四边形根菱形判定定理结．
解答解：条件AE＝AF
理：∵四边形ABCD矩形
∴AD∥BC
AF∥CE
∵AF＝EC
∴四边形ABCD行四边形
∵AE＝AF
∴四边形AECF菱形答案：AE＝AF．
点评题考查矩形性质行四边形判定性质菱形判定熟练掌握菱形判定定理解题关键．
15．（2分）甲乙两组数表示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲乙两组数方差分s甲2s乙2s甲2 ＞ s乙2（填＞＜＝）．
分析根均数计算公式求出甲乙均数根方差公式进行计算出答案．
解答解：（11+12+13+14+15）＝13
s甲2[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2
（12+12+13+14+14）＝13
s乙2[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝08
∵2＞08
∴s甲2＞s乙2．
答案：＞．
点评题考查方差定义：般设n数x1x2…xn均数方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]反映组数波动方差越波动性越反成立．
16．（2分）某企业AB两条加工相原材料生产线．天A生产线加工a吨原材料加工时间（4a+1）时天B生产线加工b吨原材料加工时间（2b+3）时．第天该企业5吨原材料分配AB两条生产线两条生产线天完成加工加工时间相分配A生产线吨数分配B生产线吨数 2：3 ．第二天开工前该企业第天分配结果分配5吨原材料A生产线分配m吨原材料B生产线分配n吨原材料．两条生产线天加工完分配原材料加工时间相值 ．
分析设分配 生产线吨数x吨分配B生产线吨数（5﹣x）吨题意4x+1＝2（5﹣x）+3然求解题意第二天开工时问方程4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3进求解出答案．
解答解：设分配 生产线吨数x吨分配B生产线吨数（5﹣x）吨题意：
4x+1＝2（5﹣x）+3
解：x＝2
∴分配B生产线吨数5﹣2＝3（吨）
∴分配 生产线吨数分配 生产线吨数2：3
∴第二天开工时 生产线分配（2+m）吨原材料 生产线分配（3+n）吨原材料
∵加工时间相
∴4（2+m）+1＝＝2（3+n）+3
解：mn
∴
答案：2：3．
点评题考查元次方程二元次方程应例基性质熟练掌握元次方程应例基性质解题关键．
三解答题（68分第1720题题5分第2122题题6分第23题5分第24题6分第25题5分第26题6分第2728题题7分）解答应写出文字说明演算步骤证明程
17．（5分）计算：2sin60°|﹣5|﹣（π）0．
分析直接利零指数幂性质二次根式性质绝值性质特殊角三角函数值分化简出答案．
解答解：原式＝225﹣1
25﹣1
＝34．
点评题考查零指数幂性质二次根式性质绝值性质特殊角三角函数值等知识正确化简数解题关键．
18．（5分）解等式组：．
分析分求出等式解集根口诀：取取中间找找确定等式组解集．
解答解：解等式4x﹣5＞x+1：x＞2
解等式x：x＜4
等式组解集2＜x＜4．
点评题考查解元次等式组正确求出等式解集基础熟知取取中间找找原解答题关键．
19．（5分）已知a2+2b2﹣1＝0求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）值．
分析根完全方公式单项式项式运算法原式化简已知等式变形代入．
解答解：原式＝a2﹣2ab+b2+2ab+b2
＝a2+2b2
∵a2+2b2﹣1＝0
∴a2+2b2＝1
∴原式＝1．
点评题考查整式化简求值灵活运整体思想掌握整式混合运算法解题关键．
20．（5分）淮南子・天文训中记载种确定东西方方法意：日出时面点A处立根杆面着杆影子方取点BBA两点间距离10步（步古代种长度单位）点B处立根杆日落时面着点B处杆影子方取点CCB两点间距离10步点C处立根杆．取CA中点D直线DB表示方东西方．
（1）述方法中杆面影子直线点ABC位置图示．直尺圆规图中作CA中点D（保留作图痕迹）
（2）图中确定直线DB表示方东西方．根南北方东西方互相垂直判断直线CA表示方南北方完成证明．
证明：△ABC中BA＝ BC DCA中点
∴CA⊥DB（ 三线合 ）（填推理）．
∵直线DB表示方东西方
∴直线CA表示方南北方．
分析（1）作BD⊥ACD．
（2）利等腰三角形三线合性质解决问题．
解答解：（1）图点D求．
（2）△ABC中BA＝BCDCA中点
∴CA⊥DB（三线合）
∵直线DB表示方东西方
∴直线CA表示方南北方．
答案：BC三线合．
点评题考查作图﹣应设计作图等腰三角形性质等知识解题关键理解题意学会利等腰三角形性质解决问题．
21．（6分）已知关x元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总两实数根
（2）m＞0该方程两实数根差2求m值．
分析（1）根方程系数结合根判式出△＝4m2利偶次方非负性出4m2≥0△≥0利△≥0时方程两实数根证出结
（2）利式分解法求出x1＝mx2＝3m．题意出m方程解方程出答案．
解答（1）证明：∵a＝1b＝﹣4mc＝3m2
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵m取值时4m2≥0△≥0
∴原方程总两实数根．
（2）解：∵x2﹣4mx+3m2＝0（x﹣m）（x﹣3m）＝0
∴x1＝mx2＝3m．
∵m＞0该方程两实数根差2
∴3m﹣m＝2
∴m＝1．
点评题考查根判式偶次方非负性式分解法解元二次方程解题关键：（1）牢记△≥0时方程实数根（2）利式分解法求出方程解．
22．（6分）图四边形ABCD中∠ACB＝∠CAD＝90°点EBCAE∥DCEF⊥AB垂足F．
（1）求证：四边形AECD行四边形
（2）AE分∠BACBE＝5cosB求BFAD长．
分析（1）证AD∥CEAE∥DC出结
（2）先锐角三角函数定义求出BF＝4勾股定理求出EF＝3然角分线性质EC＝EF＝3行四边形性质求解．
解答（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°
∴AD∥CE
∵AE∥DC
∴四边形AECD行四边形
（2）解：∵EF⊥AB
∴∠BFE＝90°
∵cosB
∴BFBE5＝4
∴EF3
∵AE分∠BACEF⊥AB∠ACE＝90°
∴EC＝EF＝3
（1）：四边形AECD行四边形
∴AD＝EC＝3．
点评题考查行四边形判定性质锐角三角函数定义角分线性质勾股定理等知识熟练掌握锐角三角函数定义证明四边形AECD行四边形解题关键．
23．（5分）面直角坐标系xOy中次函数y＝kx+b（k≠0）图象函数yx图象移1单位长度．
（1）求次函数解析式
（2）x＞﹣2时x值函数y＝mx（m≠0）值次函数y＝kx+b值直接写出m取值范围．
分析（1）根移规律求．
（2）根点（﹣2﹣2）结合图象求．
解答解：（1）函数yx图象移1单位长度yx﹣1
∵次函数y＝kx+b（k≠0）图象函数yx图象移1单位长度
∴次函数表达式yx﹣1．
（2）x＝﹣2代入yx﹣1求y＝﹣2
∴函数y＝mx（m≠0）次函数yx﹣1交点（﹣2﹣2）
点（﹣2﹣2）代入y＝mx求m＝1
∵x＞﹣2时x值函数y＝mx（m≠0）值次函数yx﹣1值
∴m≤1．
点评题考查次函数图象变换次函数系数关系数形结合解题关键．
24．（6分）图⊙O△ABC外接圆AD⊙O直径AD⊥BC点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD
（2）连接BO延长交AC点F交⊙O点G连接GC．⊙O半径5OE＝3求GCOF长．
分析（1）根垂径定理根圆周角定理证明结
（2）根勾股定理求出BE根垂径定理求出BC根圆周角定理∠BCG＝90°根勾股定理求出GC证明△AFO∽△CFG根相似三角形性质求出OF．
解答（1）证明：∵AD⊙O直径AD⊥BC
∴
∴∠BAD＝∠CAD
（2）解：Rt△BOE中OB＝5OE＝3
∴BE4
∵AD⊙O直径AD⊥BC
∴BC＝2BE＝8
∵BG⊙O直径
∴∠BCG＝90°
∴GC6
∵AD⊥BC∠BCG＝90°
∴AE∥GC
∴△AFO∽△CFG
∴
解：OF．
点评题考查圆周角定理垂径定理相似三角形判定性质掌握相似三角形判定定理性质定理垂径定理解题关键．
25．（5分）解甲乙两座城市邮政企业4月份收入情况两座城市邮政企业中机抽取25家邮政企业获4月份收入（单位：百万元）数数进行整理描述分析．面出部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入数频数分布直方图（数分成5组：6≤x＜88≤x＜1010≤x＜1212≤x＜1414≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入数10≤x＜12组：
100 100 101 109 114 115 116 118
c．甲乙两座城市邮政企业4月份收入数均数中位数：
均数
中位数
甲城市
108
m
乙城市
110
115
根信息回答列问题：
（1）写出表中m值
（2）甲城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数p1．乙城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数p2．较p1p2说明理
（3）乙城市200家邮政企业估计乙城市邮政企业4月份总收入（直接写出结果）．
分析（1）根中位数意义求出甲城市抽样25家邮政企业4月份营业额排列出处第13位数
（2）根p1p2表示意义结合两城市抽取邮政企业4月份营业额具体数出答案
（3）根乙城市邮政企业4月份营业额均数企业数量进行计算．
解答解：（1）甲城市抽取25家邮政企业4月份营业额排列处中间位置数101
中位数101m＝101
（2）题意p1＝5+3+4＝12（家）
乙城市抽取25家邮政企业4月份营业额均数110中位数115
抽取25家邮政企业4月份营业额115占半
p2值12
∴p1＜p2
（3）110×200＝2200（百万元）
答：乙城市200家邮政企业4月份总收入约2200百万元．
点评题考查频数分布直方图均数中位数掌握均数中位数意义正确解答前提．
26．（6分）面直角坐标系xOy中点（1m）点（3n）抛物线y＝ax2+bx（a＞0）．
（1）m＝3n＝15求该抛物线称轴
（2）已知点（﹣1y1）（2y2）（4y3）该抛物线．mn＜0较y1y2y3说明理．
分析（1）点（13）（315）代入解析式求解．
（2）分类讨b正负情况根mn＜0称轴x直线x间根点称轴距离判断y值．
解答解：（1）∵m＝3n＝15
∴点（13）（315）抛物线
（13）（315）代入y＝ax2+bx：
解
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1
∴抛物线称轴直线x＝﹣1
（2）∵y＝ax2+bx（a＞0）
∴抛物线开口原点
b＝0时抛物线顶点原点x＞0时yx增增n＞m＞0满足题意
b＞0时抛物线称轴y轴左侧理n＞m＞0满足题意
∴b＜0抛物线称轴y轴右侧x＝1时m＜0x＝3时n＞0
∴抛物线称轴直线x直线x间
∴2﹣（）（﹣1）
∴y2＜y1＜y3．
点评题考查二次函数性质解题关键熟练掌握定系数法求函数解析式根数形结合求解．
27．（7分）图△ABC中AB＝AC∠BAC＝αMBC中点点DMC点A中心线段AD时针旋转α线段AE连接BEDE．
（1）较∠BAE∠CAD等式表示线段BEBMMD间数量关系证明
（2）点M作AB垂线交DE点N等式表示线段NEND数量关系证明．
分析（1）∠DAE＝∠BAC∠BAE＝∠CAD然SAS证△ABE≌△ACD
（2）作EH⊥AB交BCH证△BEF≌△BHFBF＝BH证MH＝MD助MN∥HF行线分线段成例证出．
解答解：（1）∵∠DAE＝∠BAC＝α
∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD
∠BAE＝∠CAD
△ABE△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴BE＝CD
∵MBC中点
∴BM＝CM
∴BE+MD＝BM
（2）图作EH⊥AB交BCH
（1）△ABE≌△ACD：∠ABE＝∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC
∴∠ABE＝∠ABD
△BEF△BHF中
∴△BEF≌△BHF（ASA）
∴BE＝BH
（1）知：BE+MD＝BM
∴MH＝MD
∵MN∥HF
∴
∴EN＝DN．
点评题考查等腰三角形性质全等三角形判定性质角分线称性等知识作EH⊥AB构造出全等三角形解题关键．
28．（7分）面直角坐标系xOy中⊙O半径1．点A线段BC出定义：线段BC绕点A旋转⊙O弦B′C′（B′C′分BC应点）称线段BC⊙O点A中心关联线段．
（1）图点AB1C1B2C2B3C3横坐标整数．线段B1C1B2C2B3C3中⊙O点A中心关联线段 B2C2
（2）△ABC边长1等边三角形点A（0t）中t≠0．BC⊙O点A中心关联线段求t值
（3）△ABC中AB＝1AC＝2．BC⊙O点A中心关联线段直接写出OA值值相应BC长．
分析（1）利旋转性质点A圆点距离范围结合图形判断求出答案．
（2）利旋转性质关联线段定义等边三角形性质求出B′C′位置求出t值．
（3）利旋转性质关联线段定义知四边形AB′OC′边长利四边形稳定性画出OA时图形利等腰三角形性质勾股定理求出答案．
解答解：（1）旋转旋转知：AB＝AB′AC＝AC′∠BAB′＝∠CAC′
图知点A圆点距离d范围1≤d1
∵AC1＝3＞d
∴点 C1′圆
∴B1C1⊙OA中心关联线段
∵AC2＝1AB2
∴C2′（01）B2′（10）
∴B2C2⊙OA中心关联线段
∵AC3＝2AB3
B3′圆时B3′（10）（0﹣1）
图知时C3′圆
∴B3C3⊙OA中心关联线段．
答案B2C2．
（2）∵△ABC边长1等边三角形
根旋转性质知△AB′C′边长1等边三角形
∵A（0t）
∴B′C′⊥y轴B′C′＝1
∴AOB′C′边高高长
∴t．
（3）旋转性质关联线段定义
知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1AC′＝AC＝2图1
利四边形稳定性知
AOC′直线时OA值1图2
时OA＝OB′＝OC′
∴∠AB′C＝90°
∴B′C′．
AB′O直线时OA图3
时OA＝2点A作AE⊥OC′E点C′作C′F⊥OAF．
∵AO＝AC′＝2AE⊥OC′
∴OE＝EC′
∴AE
∵S△AOC′•AO•C′F•OC′•AE
∴C′F
∴OF
∴FB′＝OB′﹣OF
∴B′C′．
综OA值1时时BC长OA值2时BC长．
点评题属圆综合题考查旋转关新定义题利旋转性质等腰三角形等边三角形勾股定理等知识点题关键画出OA时图形属中考压轴题
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