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学

试卷 4 页150 分考试时长 120 分钟考生务必答案答答题纸试卷作答效考
试结束试卷答题纸交回
第部分（选择题 40 分）
选择题 10 题题 4 分 40 分题列出四选项中选出符合题目求项
（1）已知集合  123 456U   135A   23 4B  集合 UABI ð
（A）1356} （B）135} （C）13} （D）15}
（2）抛物线 2 4yx 焦点坐标
（A） (01) （B） (1 0) （C） (0 1 ) （D） ( 10)
（3）列直线圆 22( 1) ( 1) 2xy    相切
（A） yx （B） yx （C） 2yx （D） 2yx
（4）已知 ab RÎ ab>
（A） 11
ab
< （B）sin sinab> （C） 11()()
33
ab< （D） 22ab>
（5） 51()x
x
 展开式中 3x 系数
（A） 5 （B）5 （C） 10 （D）10
（6）已知面量 a b c 满足    0a b c | | | | | | 1  a b c ab值
（A） 1
2
（B） 1
2
（C） 3
2
（D） 3
2

（7）已知   三面 mI nI mn∥ ∥
（A）充分必条件 （B）必充分条件
（C）充分必条件 （D）充分必条件
（8）已知等边△ ABC 边长 3 点 D BC 边 BD CD 7AD  列结中错误
（A） 2BD
CD  （B） 2ABD
ACD
S
S


 （C）cos 2cos
BAD
CAD
  （D） sin 2sin
BAD
CAD
 
（9）声音等级 ()fx（单位：dB）声音强度 x （单位： 2Wm ）满足 12( ) 10 lg
1 10
xfx 

喷气式飞
机起飞时声音等级约 140dB般说话时声音等级约 60dB喷气式飞机起飞时声音
强度约般说话时声音强度 2
（A） 610 倍 （B） 810 倍 （C） 1010 倍 （D） 1210 倍
（10）点 N 点 M 面a 正投影记 ()N f Ma 图棱长
1 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中记面 11AB C D b 面 ABCD
g 点 P 棱 1CC 动点 （ C 1C 重合）
1 [ ( )]Q f f Pgb 2 [ ( )]Q f f Pbg 出列三结：
①线段 2PQ 长度取值范围 12[)22

②存点 P 1PQ ∥面
③存点 P 12PQ PQ^
中正确结序号
（A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）①②
第二部分（非选择题 110 分）
二填空题 6 题题 5 分 30 分
（11）等差数列 na 中 2 5a  5 2a  7a  _________
（12）复数 1i
i
z + ||z _________
（13）已知点 A(0 3) 点 BC 分双曲线
22
2 1
3
xy
a
 ( 0)a  左右顶点 △ABC 正三角形
该双曲线离心率_________
（14）已知函数 () af x x
x
区间 (14) 存值实数 a 取值范围_________
（15）五 点法 作
函数
( ) sin( )f x A x图象时列表：
( 1)f _________ 1(0) ( )
2
ff   _________
（16）已知曲线 C： 4 4 2 2 1x y mx y   （ m 常数）
（i）出列结：
①曲线 C 中心称图形
②曲线 C 轴称图形
③ 1m  时点 ()P x y 曲线C | | 1x  | | 1y 
x 1
4 1
2 5
4 2 11
4
x 0
2
  3
2
 2
()fx 2
1A 1B
1C1D
AB
CD
P 3
中正确结序号
（ii） 2m  时曲线C 围成区域面积  m 值 （写出
）

三解答题 6 题 80 分解答应写出文字说明演算步骤证明程
（17）（题 13 分）
已知函数 2 1( ) cos 3 sin cos
2
f x x x x  
（Ⅰ）求函数 ()fx单调递增区间
（Ⅱ） ()fx区间[0 ]m 值1求 值

（18）（题 13 分）
图三棱锥V ABC 中面VAC  面 ABC △ ABC △
VAC 均等腰直角三角形 AB BC 2AC CVMN 分
VA VB 中点
（Ⅰ）求证： AB 面CMN
（Ⅱ）求证： AB VC
（Ⅲ）求直线VB 面CMN 成角正弦值

（19）（题 13 分）
某市城市总体规划（2016—2035 年）提出 2035 年实现15 分钟社区生活圈全覆盖
目标教育文化医疗养老交通购物休闲健身 4 方面构建 15 分钟社区生活圈
指标体系15 分钟社区生活圈指数高低区划分：优质区（指数 06~1）良
区（指数 04~06）中等区（指数 02~04）改进区（指数 0 ~02）4 等级
面三区 4 方面指标调查数：
区
指标值
权重

A 区

B 区

C 区
教育文化（020） 07 09 01
医疗养老（020） 07 06 03
交通购物（032） 05 07 02
休闲健身（028） 05 06 01
注：区15 分钟社区生活圈指数 1 1 2 2 3 3 4 4T wT w T w T w T    中 1 2 3 4w w w w 该区
四方面权重 1 2 3 4TTTT 该区四方面指标值（区方面指标值 0~1 间
数值）
现 100 区15 分钟社区生活圈指数数整理频数分布表：
NM
V
C
B
A 4
分组 [002） [0204） [0406） [0608） [081]
频数 10 20 30 30 10
（Ⅰ）分判断 ABC 三区否优质区说明理
（Ⅱ） 100 区优质区良区中等区改进区进行分层抽样抽取 10
区进行调查抽取 10 区中机选取 2 区做深入调查记 2 区中优
质区数 ξ求 ξ 分布列数学期

（20）（题 14 分）
已知椭圆
22
221xyC ab( 0)ab 右顶点  20A离心率 3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C 方程
（Ⅱ）设O 原点点 直线l 椭圆C 交两点 PQ直线 AP AQ 分直线 4x  交
点 MN．求△ APQ △ AMN 面积值


（21）（题 13 分）
已知函数 2( ) e ( 1) ( 0)xf x ax a  
（Ⅰ）求曲线 ()y f x 点(0 (0))f 处切线方程
（Ⅱ）函数 ()fx极值求证： 极值1



（22）（题 14 分）
定整数 ( 2)nn 数列 2 1 1 2 2 1nnA x x xL： 项均整数 21nA  中掉项 kx 剩
数分 成 数 相 两组中组数外组数差值记
km ( 12 2 1)knL 1 2 2 1 nm m m L 中值称数列 21nA  特征值
（Ⅰ）已知数列 5 12333A写出 1 2 3m m m 值 5A 特征值
（Ⅱ） 1 2 2 1nx x x   L[ ( 1)][ ( 1)] 0i n j n     中 {12 2 1}i j nL ij 时判
断||ijmm ||ijxx 关系说明理
（Ⅲ）已知数列 21nA  特征值 1n  求
1 2 1
||ij
i j n
xx
   
 值 5

参考答案
数 学
阅卷须知
1评分参考中注分数表示考生正确做步应累加分数
2正确解法参评分标准相应步骤分
选择题：题 10 题题 4 分 40 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C A A B C B D
二填空题题 6 题题 5 分 30 分
题号 11 12 13 14 15 16
答案 0 2 2 (116) 2 0 ① ②③ 2m  均
三解答题 6 题 80 分解答应写出文字说明演算步骤证明程
（17）解：（Ⅰ） 1 cos 2 3 1( ) sin 22 2 2
xf x x  
31sin 2 cos 222xx
πsin(2 )6x
sinyx 单调递增区间 π π2 π 2 π ()22k k k  
Z
令 π π π22π 2 π ()6 2 2x k k k    
Z
π ππ π ()36x k k k   
Z
()fx单调递增区间 π ππ π ()36k k k  
Z
（Ⅱ）方法 1： [0 ]xm
π π π2 [ 2 ]6 6 6xm  
值 1 6
π π2 62m
解 π
6m 
m 值 π
6
方法 2：（Ⅰ）知：
仅 π π ()6x k kZ 时 ()fx取值 1
()fx区间[0 ]m 值1

值
（18）解：（Ⅰ）△VAB 中MN 分 VAVB 中点
MN 中位线
MN AB
AB  面CMN MN  面
AB 面CMN
（Ⅱ）等腰直角三角形△VAC 中 AC CV
VC AC
面VAC  面 ABC 面VAC I 面
ABC AC VC  面VAC
VC 面
AB 面 ABC
AB VC
（Ⅲ）面 ABC 点 C 做CH 垂直 AC
（Ⅱ）知 面
CH  面
VC CH
图C 原点建立空间直角坐标系C xyz
(000)C(002)V(110)B(101)M 11( 1)22N
(11 2)VB 
uur
(101)CM 
uuuur

11( 1)22CN 
uuur

A
B
C
V
M
N
H
y
x
z 7
设面CMN 法量 ()x y zn

0
0
CM
CN
  
uuuur
uuur
n
n


0
11 022
xz
x y z
   

令 1x  1y  1z 
(11 1)n
直线VB 面CMN 成角
22sin | cos | 3| || |
VBVB
VB
     
uuruur
uurnn
n

直线VB 面CMN 成角正弦值 22
3
（19）解：（Ⅰ）方法 1
A 区指数 07 02 07 02 05 032 05 028 058T         
058 060 A 区优质区
B 区指数 09 02 06 02 07 032 06 028 0692T         
0692 060 B 区优质区
C 区指数 01 02 03 02 02 032 01 028 0172T         
0172 060 C 区优质区
方法 2
A 区指数
A 区优质区
B 区指数 09 02 06 02 07 032 06 028T        
06 02 06 02 06 032 06 028 06        
B 区优质区
C 区指数 01 02 03 02 02 032 01 028T        
06 02 06 02 06 032 06 028 06        
C 区优质区
（ ABC 区做说明时必须出现 06 较说明项中结 1 分计算说
明理 1 分） 8
（Ⅱ）题意抽取 10 区中优质区 30 1010 4100
区10 4 6
题意 ξ 取值 012
2
6
2
10
C 15 1( 0) C 45 3P     
11
46
2
10
CC 24 8( 1) C 45 15P     
2
4
2
10
C 62( 2) C 45 15P     
 分布列：
 0 1 2
P 1
3
8
15
2
15

1 8 2 40 1 23 15 15 5E       
（20）解：（Ⅰ）解：题意
2 2 2 ( 0)
2
3 2
ab
a
c
a
c a b 

 

 

解 2
1
a
b

 

椭圆 C 方程
2
2 14
x y
（Ⅱ）设点 00()Q x y 题意点 P 坐标 00()xy
满足
2
20
0 14
x y（ 022x   0 0y  ）
直线QA方程 0
0
( 2)2
yyxx
令 4x  0
0
2
2
yy x 
0
0
2(4 )2
yN x 
直线 PA 方程 0
0
( 2)2
yyxx
理 0
0
2(4 )2
yM x  9
设 B 4x  x 轴交点
11| | | | | | | |22APQ AMN P Q M NS S OA y y AB y y        
00
0
00
2211 2 | 2 | 2 | |2 2 2 2
yyy xx      
00
00
112 | | 2 | | | |22yyxx   
002
0
42 | | 2 | | | |4yyx   
22
0044xy 0 0y 
002
0
12| | 2 | |APQ AMNS S y y y    0
0
22| | 4||y y
仅 0 1y  取等号 APQ AMNSS 值 4
（21）解：（Ⅰ）已知 2( ) e ( 2 1)xf x ax ax   
(0) 1f (0) 1f ¢
直线l 方程 1yx+
（Ⅱ）（ i）01a< 时 222 1 ( 1) 1 0ax ax a x a      
2( ) e ( 2 1) 0xf x ax ax     （仅 1a  1x  时等号成立）
()fx R 单调递增函数
极值
（ii） 1a > 时元二次方程 2 2 1 0ax ax   判式 4 ( 1) 0aa   
记 12xx方程两根妨设 12xx

12
12
2 0
1 0
xx
xx a
    

120xx
时 ()fx x 变化：
x 1()x 1x 12()xx 2x 2()x + 10
()fx + 0 0 +
()fx ↗ 极值 ↘ 极值 ↗
极值 2()fx
2[ 0]x 单调递增
2( ) (0) 1f x f<
极值1
22 解：（Ⅰ）题知：
1 (3 3) (2 3) 1m     
2 (3 3) (3 1) 2m     
3 3m 
5A 特征值 1
（Ⅱ）| | ijmm ||ijxx
理：
[ ( 1)][ ( 1)] 0i n j n     分列两种情况讨：
○1 {12 1}i j nL 时
根定义知：
2 1 2 2 1 1()()i n n n n n im x x x x x x x          LL
2 1 2 2 1 1 ( ) ( )n n n n n ix x x x x x x         LL
理： 2 1 2 2 1 1( ) ( )j n n n n n jm x x x x x x x         LL
i j i jm m x x  
| | | |i j i jm m x x
○2 { 1 2 2 1}i j n n n   L 时○1 理：
2 1 2 1 1 1()()i n n n i n nm x x x x x x x          LL
2 1 2 1 1 1 ( ) ( )n n n n n ix x x x x x x         LL 11
2 1 2 1 1 1( ) ( )j n n n n n jm x x x x x x x         LL
i j j im m x x  
| | | |i j i jm m x x
综：| | ijmm ||ijxx
（Ⅲ）妨设 1 2 2 1nx x x   L

1 2 1
||ij
i j n
xx
   


 2 1 2 2 1 12 (2 2) 2 0 2 2n n n n nnx n x x x x nx          LL
2 1 1 2 2 22( )(22)( ) 2( )n n n nn x x n x x x x       L
显然 2 1 1 2 2 2n n n nx x x x x x     L
2 1 2 2 1 1()n n n n nx x x x x x        LL
1 2 1 2 2 1()()n n n nx x x x x m       LL
仅 1 2 1nnxx 时取等号

2 2 1 2 3 1 1()()n n nx x x x x m         LL
仅 11nxx 时取等号
（Ⅱ）知 1 2 1 nmm 较值 1n 
2 1 2 2 1 1( ) 1n n n n nx x x x x x n          LL
仅 1 1 2 1nnx x x 时取等号
时数列 21nA  常数列特征值 0符合题意必
2 1 2 2 1 1()n n n n nx x x x x x n         LL
证： 0pq 2 kn总(2 2 ) ( 1)( )n k p kq n p q     
证明：(2 2 ) ( 1)( )n k p kq n p q     
( 1 ) ( 1 )n k p n k q     12
( 1 )( )n k p q    0
(2 2 ) ( 1)( )n k p kq n p q     

1 2 1
||ij
i j n
xx
   

2 1 1 2 2 22( )(22)( ) 2( )n n n nn x x n x x x x       L
2 1 2 2 1 1( 1)( )n n n n nn x x x x x x          LL
( 1)nn
0 1
1 1 2 1k
knx n k n
     
时
取值 ( 1)nn 符合题意

1 2 1
||ij
i j n
xx
   
 值






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