2021年福建省中考数学试卷
选择题：题10题题4分40分题出四选项中项符合求
1．（4分）实数0﹣1中数（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
2．（4分）图示六角螺栓俯视图（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）图某研究性学组测量学校A河岸工厂B间距离学校附选点C利测量仪器测∠A＝60°∠C＝90°AC＝2km．求学校工厂间距离AB等（ ）
A．2km B．3km C．km D．4km
4．（4分）列运算正确（ ）
A．2a﹣a＝2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．a6÷a3＝a2 D．（2a3）2＝4a6
5．（4分）某校推荐项作品参加科技创新赛甲乙丙丁四项候选作品进行量化评分具体成绩（百分制）表：
项目作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实性
90
90
95
85
果创新性占60实性占40计算总成绩根总成绩择优推荐应推荐作品（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（4分）某市2018年底森林覆盖率63．贯彻落实绿水青山金山银山发展理念该市力开展植树造林活动2020年底森林覆盖率达68果两年森林覆盖率年均增长率x符合题意方程（ ）
A．063（1+x）＝068 B．063（1+x）2＝068
C．063（1+2x）＝068 D．063（1+2x）2＝068
7．（4分）图点F正五边形ABCDE部△ABF等边三角形∠AFC等（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
8．（4分）图次函数y＝kx+b（k＞0）图象点（﹣10）等式k（x﹣1）+b＞0解集（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1
9．（4分）图AB⊙O直径点PAB延长线PCPD⊙O相切切点分CD．AB＝6PC＝4sin∠CAD等（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）图象A（﹣3y1）B（﹣1y2）C（2y3）D（4y4）四点列说法定正确（ ）
A．y1y2＞0y3y4＞0 B．y1y4＞0y2y3＞0
C．y2y4＜0y1y3＜0 D．y3y4＜0y1y2＜0
二填空题：题6题题4分24分
11．（4分）反例函数y图象点（11）k值等 ．
12．（4分）写出理数x1＜x＜4x （写出满足条件x）
13．（4分）某校1000名学生．解学生中长跑成绩分布情况机抽取100名学生中长跑成绩画出条形统计图图．根学统计知识估计该校中长跑成绩优秀学生数 ．
14．（4分）图AD△ABC角分线．∠B＝90°BD点DAC距离 ．
15．（4分）已知非零实数xy满足y值等 ．
16．（4分）图矩形ABCD中AB＝4AD＝5点EF分边ABBC动点点EAB重合EF＝ABG五边形AEFCD满足GE＝GF∠EGF＝90°点．现出结：
①∠GEB∠GFB定互补
②点G边ABBC距离定相等
③点G边ADDC距离相等
④点G边AB距离值2．
中正确 ．（写出正确结序号）
三解答题：题9题86分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（8分）计算：．
18．（8分）图△ABC中D边BC点DE⊥ACDF⊥AB垂足分EFDE＝DFCE＝BF．求证：∠B＝∠C．
19．（8分）解等式组：．
20．（8分）某公司营某种农产品零售箱该农产品利润70元批发箱该农产品利润40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱种农产品获利润4600元问：该公司月零售批发种农产品箱数分少？
（2）营性质规定该公司零售数量总数量30．现该公司营1000箱种农产品问：应规划零售批发数量总利润？总利润少？
21．（8分）图Rt△ABC中∠ACB＝90°．线段EF线段AB移点F边BC△EFDEF斜边等腰直角三角形点D恰AC延长线．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC
（2）求证：CD＝BF．
22．（10分）图已知线段MN＝aAR⊥AK垂足A．
（1）求作四边形ABCD点BD分射线AKARAB＝BC＝a∠ABC＝60°CD∥AB（求：尺规作图写作法保留作图痕迹）
（2）设PQ分（1）中四边形ABCD边ABCD中点求证：直线ADBCPQ相交点．
23．（10分）田忌赛马事闪烁着国古代先贤智慧光芒．该事意：齐王中三匹马A1B1C1田忌中三匹马A2B2C2六匹马赛中胜负等式表示：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马B马赛A马获胜）．天齐王找田忌赛马约定：匹马出场赛局赛三局胜两局者获整场赛胜利．面劣势田忌事先解齐王三局赛出马序马中马马采孙膑策略：分马马中马齐王马中马马赛助阵（C2A1A2B1B2C1）获整场赛胜利创造弱胜强典案例．
假设齐王事先探田忌出马情况试回答问题：
（1）果田忌事先探齐王首局出马首局应出种马获整场赛胜利？求获胜概率
（2）果田忌事先法探齐王局出马情况否必败疑？请说明理请列出田忌获整场赛胜利阵情况求获胜概率．
24．（12分）图正方形ABCD中EF边AB两三等分点点A关DE称点A′AA′延长线交BC点G．
（1）求证：DE∥A′F
（2）求∠GA′B
（3）求证：A′C＝2A′B．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+cx轴公点．
（1）抛物线点P（01）求a+b值
（2）已知点P1（﹣21）P2（2﹣1）P3（21）中恰两点抛物线．
①求抛物线解析式
②设直线l：y＝kx+1抛物线交MN两点点A直线y＝﹣1∠MAN＝90°点Ax轴垂直直线分交抛物线l点BC．求证：△MAB△MBC面积相等．
2021年福建省中考数学参考答案试题解析
选择题：题10题题4分40分题出四选项中项符合求
1．（4分）实数0﹣1中数（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
分析根正数0负数0较出数．
解答解：∵﹣1＜0
∴﹣1
选：A．
点评题考查实数较知道负数0解题关键．
2．（4分）图示六角螺栓俯视图（ ）
A． B．
C． D．
分析根俯视图面图形答案．
解答解：边正六边形六边形部圆
选：A．
点评题考查简单组合体三视图俯视图面图形注意线画实线线画虚线．
3．（4分）图某研究性学组测量学校A河岸工厂B间距离学校附选点C利测量仪器测∠A＝60°∠C＝90°AC＝2km．求学校工厂间距离AB等（ ）
A．2km B．3km C．km D．4km
分析直接利直角三角形性质出∠B度数进利直角三角形中30°直角边斜边半出答案．
解答解：∵∠A＝60°∠C＝90°AC＝2km
∴∠B＝30°
∴AB＝2AC＝4（km）．
选：D．
点评题考查直角三角形性质正确掌握边角关系解题关键．
4．（4分）列运算正确（ ）
A．2a﹣a＝2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．a6÷a3＝a2 D．（2a3）2＝4a6
分析分根合类项法完全方公式底数幂法法积方运算法逐判断．
解答解：A2a﹣a＝a选项合题意
B．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1选项合题意
C．a6÷a3＝a3选项合题意
D．（2a3）2＝4a6选项符合题意
选：D．
点评题考查合类项完全方公式底数幂法幂方掌握相关公式运算法解答题关键．
5．（4分）某校推荐项作品参加科技创新赛甲乙丙丁四项候选作品进行量化评分具体成绩（百分制）表：
项目作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实性
90
90
95
85
果创新性占60实性占40计算总成绩根总成绩择优推荐应推荐作品（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
分析首先根加权均数含义求法分求出四均成绩少然较判断出谁均成绩高判断出应推荐谁．
解答解：甲均成绩＝90×60+90×40＝90（分）
乙均成绩＝95×60+90×40＝93（分）
丙均成绩＝90×60+95×40＝92（分）
丁均成绩＝90×60+85×40＝88（分）
∵93＞92＞90＞88
∴乙均成绩高
∴应推荐乙．
选：B．
点评题考查加权均数含义求法熟练掌握解答题关键明确：数权够反映数相重程度突出某数需较权权差异结果会产生直接影响．
6．（4分）某市2018年底森林覆盖率63．贯彻落实绿水青山金山银山发展理念该市力开展植树造林活动2020年底森林覆盖率达68果两年森林覆盖率年均增长率x符合题意方程（ ）
A．063（1+x）＝068 B．063（1+x）2＝068
C．063（1+2x）＝068 D．063（1+2x）2＝068
分析设2018年起全市森林覆盖率年均增长率x根2018年2020年全市森林覆盖率出关x元二次方程题解．
解答解：设2018年起全市森林覆盖率年均增长率x
根题意：063（1+x）2＝068．
选：B．
点评题考查实际问题抽象出元二次方程找准等量关系正确列出元二次方程解题关键．
7．（4分）图点F正五边形ABCDE部△ABF等边三角形∠AFC等（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
分析根等边三角形性质AF＝BF∠AFB＝∠ABF＝60°正五边形性质AB＝BC∠ABC＝108°等量代换BF＝BC∠FBC＝48°根三角形角求出∠BFC＝66°根∠AFC＝∠AFB+∠BFC结．
解答解：∵△ABF等边三角形
∴AF＝BF∠AFB＝∠ABF＝60°
正五边形ABCDE中AB＝BC∠ABC＝108°
∴BF＝BC∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°
∴∠BFC66°
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°
选：C．
点评题考查正边形角等边三角形性质等腰三角形性质熟记正边形角求法解题关键．
8．（4分）图次函数y＝kx+b（k＞0）图象点（﹣10）等式k（x﹣1）+b＞0解集（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1
分析先（﹣10）代入y＝kx+bb＝kk（x﹣1）+b＞0化k（x﹣1）+k＞0然解关x等式．
解答解：（﹣10）代入y＝kx+b﹣k+b＝0解b＝k
k（x﹣1）+b＞0化k（x﹣1）+k＞0
k＞0
x﹣1+1＞0
解x＞0．
选：C．
方法二：
次函数y＝kx+b（k＞0）图象右移1单位y＝k（x﹣1）+b
∵次函数y＝kx+b（k＞0）图象点（﹣10）
∴次函数y＝k（x﹣1）+b（k＞0）图象点（00）
图象知x＞0时k（x﹣1）+b＞0
∴等式k（x﹣1）+b＞0解集x＞0
选：C．
点评题考查次函数元次等式点（﹣10）代入解析式求kb关系解题关键．
9．（4分）图AB⊙O直径点PAB延长线PCPD⊙O相切切点分CD．AB＝6PC＝4sin∠CAD等（ ）
A． B． C． D．
分析连接OCODCDCD交PAE图利切线性质切线长定理OC⊥CPPC＝PDOP分∠CPD根等腰三角形性质OP⊥CD∠COB＝∠DOB根圆周角定理∠CAD∠COD∠COB＝∠CAD然求出sin∠COP．
解答解：连接OCODCDCD交PAE图
∵PCPD⊙O相切切点分CD
∴OC⊥CPPC＝PDOP分∠CPD
∴OP⊥CD
∴
∴∠COB＝∠DOB
∵∠CAD∠COD
∴∠COB＝∠CAD
Rt△OCP中OP5
∴sin∠COP
∴sin∠CAD．
选：D．
点评题考查切线性质：圆切线垂直切点半径．考查圆周角定理解直角三角形．
10．（4分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）图象A（﹣3y1）B（﹣1y2）C（2y3）D（4y4）四点列说法定正确（ ）
A．y1y2＞0y3y4＞0 B．y1y4＞0y2y3＞0
C．y2y4＜0y1y3＜0 D．y3y4＜0y1y2＜0
分析观察图知y1＞y4＞y2＞y3结合题目判断．
解答解：图题意称轴x＝1
观察图知y1＞y4＞y2＞y3
y1y2＞0y3y4＞0y3y4＜0选项A符合题意
y1y4＞0y2y3＞0y2y3＜0选项B符合题意
y2y4＜0y1y3＜0选项C符合题意
y3y4＜0y1y2＜0y1y2＞0选项D符合题意
选：C．
点评题考查二次函数图象点坐标特征解题关键学会利图象法解决问题属中考常考题型．
二填空题：题6题题4分24分
11．（4分）反例函数y图象点（11）k值等 1 ．
分析点（11）代反例函数y求出k值．
解答解：∵反例函数y图象点（11）
∴k＝1×1＝1
答案1．
点评题考查定系数法求反例函数解析式熟练掌握定系数法解题关键．
12．（4分）写出理数x1＜x＜4x （写出满足条件x）
分析根14解．
解答解：∵1＜2＜16
∴14
∵理数
答案：．
点评题考查估算理数现实生活中常需估算估算应具备数学力夹逼法估算般方法常方法．
13．（4分）某校1000名学生．解学生中长跑成绩分布情况机抽取100名学生中长跑成绩画出条形统计图图．根学统计知识估计该校中长跑成绩优秀学生数 270 ．
分析总数长跑成绩优秀学生数占百分．
解答解：根题意：
1000270（）
答案：270．
点评题考查条形统计图读懂统计图统计图中必信息解决问题关键．
14．（4分）图AD△ABC角分线．∠B＝90°BD点DAC距离 ．
分析角分线性质求DE＝BD求解．
解答解：图点D作DE⊥ACE
∵AD△ABC角分线．∠B＝90°DE⊥AC
∴DE＝BD
∴点DAC距离
答案．
点评题考查角分线性质掌握角分线点角两边距离相等解题关键．
15．（4分）已知非零实数xy满足y值等 4 ．
分析y：x﹣y＝xy整体代入代数式中求值．
解答解：y：xy+y＝x
∴x﹣y＝xy
∴原式
＝4．
答案：4．
点评题考查分式值条件进行化简x﹣y＝xyx﹣y作整体代入代数式求值解题关键．
16．（4分）图矩形ABCD中AB＝4AD＝5点EF分边ABBC动点点EAB重合EF＝ABG五边形AEFCD满足GE＝GF∠EGF＝90°点．现出结：
①∠GEB∠GFB定互补
②点G边ABBC距离定相等
③点G边ADDC距离相等
④点G边AB距离值2．
中正确 ．（写出正确结序号）
分析根矩形性质出∠B＝90°∠EGF＝90°三角形角360°判断①
G作GM⊥ABGN⊥BC分交ABM交BCN根GE＝GF∠EGF＝90°∠GEF＝∠GFE＝45°求出∠GEM＝∠GFN然证明△GEM≌△GFN判断②
AB＝4AD＝5②结判断③
四边形EBFG正方形时点GAB距离判断④．
解答解：∵四边形ABCD矩形
∴∠B＝90°
∵∠EGF＝90°四边形角360°
∴∠GEB+∠GFB＝180°
①正确
G作GM⊥ABGN⊥BC分交ABM交BCN
∵GE＝GF∠EGF＝90°
∴∠GEF＝∠GFE＝45°
∴∠B＝90°
∴∠BEF+∠EFB＝90°∠BEF＝90°﹣∠EFB
∵∠GEM＝180°﹣∠BEF﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB）＝45°+∠EFB
∠GFN＝∠EFB+∠GFE＝∠EFB+45°
∴∠GEM＝∠GFN
△GEM△GFN中
∴△GEM≌△GFN（AAS）
∴GM＝GN
②正确
∵AB＝4AD＝5②知
点G边ADDC距离相等
③错误：
四边形EBFG正方形时点GAB距离
∵EF＝AB＝4
∴GE＝EB＝BF＝FG＝42
④正确．
答案：①②④．
点评题考查矩形性质全等三角形判定三角形角定理关键知识掌握运．
三解答题：题9题86分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（8分）计算：．
分析直接利算术方根绝值性质负整数指数幂性质分化简出答案．
解答解：原式＝233
．
点评题考查算术方根绝值性质负整数指数幂性质正确化简数解题关键．
18．（8分）图△ABC中D边BC点DE⊥ACDF⊥AB垂足分EFDE＝DFCE＝BF．求证：∠B＝∠C．
分析垂直定义DE＝DFCE＝BF证明△BDF≌△CDE出应角相等．
解答证明：∵DE⊥ACDF⊥AB
∴∠BFD＝∠CED＝90°
△BDF△CDE中
∴△BDF≌△CDE（SAS）
∴∠B＝∠C．
点评题考查全等三角形判定性质够证明△BDF≌△CDE解决问题关键．
19．（8分）解等式组：．
分析分求出等式解集根口诀：取取中间找找确定等式组解集．
解答解：解等式①：x≥1
解等式②：x＜3
等式组解集1≤x＜3．
点评题考查解元次等式组正确求出等式解集基础熟知取取中间找找原解答题关键．
20．（8分）某公司营某种农产品零售箱该农产品利润70元批发箱该农产品利润40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱种农产品获利润4600元问：该公司月零售批发种农产品箱数分少？
（2）营性质规定该公司零售数量总数量30．现该公司营1000箱种农产品问：应规划零售批发数量总利润？总利润少？
分析（1）设该公司月零售种农产品x箱批发种农产品（100﹣x）箱该公司某月卖出100箱种农产品获利润4600元列方程求解．
（2）设该公司月零售种农产品m箱批发种农产品（1000﹣m）箱该公司获利润y元进y关m函数关系式利次函数性质求解．
解答解：（1）设该公司月零售种农产品x箱批发种农产品（100﹣x）箱题意
70x+40（100﹣x）＝4600
解：x＝20
100﹣20＝80（箱）
答：该公司月零售种农产品20箱批发种农产品80箱
（2）设该公司月零售种农产品m箱批发种农产品（1000﹣m）箱题意
m≤1000×30
解m≤300
设该公司获利润y元题意
y＝70m+40（1000﹣m）
y＝30m+40000
∵30＞0y着m增增
∴m＝300时y取值时y＝30×300+40000＝49000（元）
∴批发种农产品数量10000﹣m＝700（箱）
答：该公司零售批发种农产品箱数分300箱700箱时获利润49000元．
点评题考查元次方程次函数应根题意列出函数表达式熟练掌握函数性质根变量取值范围确定函数值解决问题关键．
21．（8分）图Rt△ABC中∠ACB＝90°．线段EF线段AB移点F边BC△EFDEF斜边等腰直角三角形点D恰AC延长线．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC
（2）求证：CD＝BF．
分析（1）∠ACB＝90°∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°△EFDEF斜边等腰直角三角形∠EDF＝90°∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°等量代换∠ADE＝∠DFC
（2）证明四边形ABEF行四边形∠DAE＝∠FCDAE＝BF证△ADE≌△CFDAF＝CD等量代换结．
解答（1）证明：∵∠ACB＝90°
∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°
∵△EFDEF斜边等腰直角三角形
∴∠EDF＝90°DE＝FD
∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°
∴∠ADE＝∠DFC
（2）
连接AE
∵线段EF线段AB移
∴EF∥ABEF＝AB
∴四边形ABEF行四边形
∴AE∥BCAE＝BF
∴∠DAE＝∠BCA＝90°
∴∠DAE＝∠FCD
△ADE△CFD中
∴△ADE≌△CFD（AAS）
∴AE＝CD
∵AE＝BF
∴CD＝BF．
点评题考查三角形全等判定性质等腰直角三角形移性质熟练掌握三角形全等判定性质解题关键．
22．（10分）图已知线段MN＝aAR⊥AK垂足A．
（1）求作四边形ABCD点BD分射线AKARAB＝BC＝a∠ABC＝60°CD∥AB（求：尺规作图写作法保留作图痕迹）
（2）设PQ分（1）中四边形ABCD边ABCD中点求证：直线ADBCPQ相交点．
分析（1）先截取AB＝a分AB圆心a半径画弧两弧交点C然C点作AR垂线CD
（2）证明：设PQ交ADGBC交ADG′利行线分线段成例定理判断点G点G′重合．
解答（1）解：图四边形ABCD作
（2）证明：设PQ交ADGBC交ADG′
∵DQ∥AP
∴
∵DC∥AB
∴
∵PQ分边ABCD中点
∴DC＝2DQAB＝2AP
∴
∴
∴点G点G′重合
∴直线ADBCPQ相交点．
点评题考查作图﹣复杂作图：解决类题目关键熟悉基图形性质结合图形基性质复杂作图拆解成基作图逐步操作．考查行线分线段成例定理．
23．（10分）田忌赛马事闪烁着国古代先贤智慧光芒．该事意：齐王中三匹马A1B1C1田忌中三匹马A2B2C2六匹马赛中胜负等式表示：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马B马赛A马获胜）．天齐王找田忌赛马约定：匹马出场赛局赛三局胜两局者获整场赛胜利．面劣势田忌事先解齐王三局赛出马序马中马马采孙膑策略：分马马中马齐王马中马马赛助阵（C2A1A2B1B2C1）获整场赛胜利创造弱胜强典案例．
假设齐王事先探田忌出马情况试回答问题：
（1）果田忌事先探齐王首局出马首局应出种马获整场赛胜利？求获胜概率
（2）果田忌事先法探齐王局出马情况否必败疑？请说明理请列出田忌获整场赛胜利阵情况求获胜概率．
分析（1）根题意首局齐王出马需三局图表列出出答案．
（2）根题（1）种情况推断出18种阵情况A1C2B1A2C1B2情况田忌获胜利出答案．
解答解：（1）田忌首局应出马获胜
时赛阵：（A1C2B1A2C1B2）（A1C2C1B2B1A2）（A1C2B1B2C1A2）（A1C2B1B2C1A2）四种中获胜两场
田忌获胜概率P．
（2）．
齐王出马序A1B1C1时田忌获胜阵：（A1C2B1A2C1B2）
齐王出马序A1C1B1时田忌获胜阵：（A1C2C1B2B1A2）
齐王出马序B1A1C1时田忌获胜阵：（B1A2A1C2C1B2）
齐王出马序B1C1A1时田忌获胜阵：（C1B2A1C2B1A2）
齐王出马序C1A1B1时田忌获胜阵：（C1B2A1C2B1A2）
齐王出马序C1B1A1时田忌获胜阵：（C1B2B1A2A1C2）
综述田忌获胜阵6种齐王出马序相应6种阵田忌获胜概率P．
点评题考查列表法求概率．列表法适合两步完成事件解题时注意题赛马分三局考虑．知识点：概率＝求情况数总情况数．
24．（12分）图正方形ABCD中EF边AB两三等分点点A关DE称点A′AA′延长线交BC点G．
（1）求证：DE∥A′F
（2）求∠GA′B
（3）求证：A′C＝2A′B．
分析（1）轴称性质AO＝A＇OAA＇⊥DE三等份点AE＝EF三角形中位线定理DE∥A＇F
（2）ASA证△ADE≌△BAGAE＝BG∠GFB＝∠FGB＝45°通证明点F点B点G点A＇四点圆∠GA＇B＝∠GFB＝45°
（3）通证明△A＇FB∽△A＇GC结．
解答证明：（1）图设AGDE交点O连接GF
∵点A关DE称点A′
∴AO＝A＇OAA＇⊥DE
∵EF边AB两三等分点
∴AE＝EF＝BF
∴DE∥A＇F
（2）∵AA＇⊥DE
∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG
∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO
∴∠ADE＝∠EAO
△ADE△BAG中
∴△ADE≌△BAG（ASA）
∴AE＝BG
∴BF＝BG
∴∠GFB＝∠FGB＝45°
∵∠FA＇G＝∠FBG＝90°
∴点F点B点G点A＇四点圆
∴∠GA＇B＝∠GFB＝45°
（3）设AE＝EF＝BF＝BG＝a
∴AD＝BC＝3aFGa
∴CG＝2a
Rt△ADE中DEa＝AG
∵sin∠EAO＝sin∠ADE
∴
∴
∴OEa
∴AOa＝A＇O
∴A＇G
∵AO＝A＇OAE＝EF
∴A＇Faa
∵∠FA＇G＝∠FBG＝90°
∴∠A＇FB+∠A＇GB＝180°
∵∠A＇GC+∠A＇GB＝180°
∴∠A＇FB＝∠A＇GC
∵
∴△A＇FB∽△A＇GC
∴
∴A′C＝2A′B．
点评题考查正方形性质轴称性质全等三角形判定性质勾股定理相似三角形判定性质等知识证明△A＇FB∽△A＇GC解题关键．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+cx轴公点．
（1）抛物线点P（01）求a+b值
（2）已知点P1（﹣21）P2（2﹣1）P3（21）中恰两点抛物线．
①求抛物线解析式
②设直线l：y＝kx+1抛物线交MN两点点A直线y＝﹣1∠MAN＝90°点Ax轴垂直直线分交抛物线l点BC．求证：△MAB△MBC面积相等．
分析（1）点P坐标代入解析式中出ab关系式求出a+b值
（2）①题意出抛物线x轴交点抛物线点侧两点P1P3求出抛物线解析式
（3）根题意先设出点A横坐标然含k式子表示出A横坐标证明AB＝BC出△MAB△MBC面积相等．
解答解：（1）P（01）代入解析式：c＝1
∴y＝ax2+bx+1
∵抛物线x轴公点
∴△＝b2﹣4a＝0
∴
b＝﹣2时a+b值﹣1
（2）①∵抛物线x轴公点
∴抛物线点x轴侧x轴
∴抛物线点P1P3
∵P1P3关y轴称
∴顶点原点（00）
设解析式y＝ax2
代入点P1：
②证明：
联立直线l抛物线：
：x2﹣4kx﹣4＝0
设M（x1kx1+1）N（x2kx2+1）
韦达定理：x1+x2＝4kx1x2＝﹣4
设线段MN中点T设A坐标（m﹣1）
T坐标（2k2k2+1）
∴AT2＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2
题意：
∵△MAN直角三角形MN斜边
∴：
∴16（k4+2k2+1）＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2
解m＝2k
∴A（2k﹣1）
∴B（2kk2）
∴C（2k2k2+1）
∵
∴BAC中点
∴AB＝BC
∵△MAB△MBC高点M直线AC距离
∴△MAB△MBC高相等
∴△MAB△MBC面积相等．
点评题考查二次函数综合知识般求值者值求抛物线顶点坐标题中第问考虑ab字母表示成二次函数形式然求顶点出现直角三角形时般考知识点斜边中线等斜边半．
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选择题：题10题题4分40分题出四选项中项符合求
1．（4分）实数0﹣1中数（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
2．（4分）图示六角螺栓俯视图（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）图某研究性学组测量学校A河岸工厂B间距离学校附选点C利测量仪器测∠A＝60°∠C＝90°AC＝2km．求学校工厂间距离AB等（ ）
A．2km B．3km C．km D．4km
4．（4分）列运算正确（ ）
A．2a﹣a＝2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．a6÷a3＝a2 D．（2a3）2＝4a6
5．（4分）某校推荐项作品参加科技创新赛甲乙丙丁四项候选作品进行量化评分具体成绩（百分制）表：
项目作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实性
90
90
95
85
果创新性占60实性占40计算总成绩根总成绩择优推荐应推荐作品（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（4分）某市2018年底森林覆盖率63．贯彻落实绿水青山金山银山发展理念该市力开展植树造林活动2020年底森林覆盖率达68果两年森林覆盖率年均增长率x符合题意方程（ ）
A．063（1+x）＝068 B．063（1+x）2＝068
C．063（1+2x）＝068 D．063（1+2x）2＝068
7．（4分）图点F正五边形ABCDE部△ABF等边三角形∠AFC等（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
8．（4分）图次函数y＝kx+b（k＞0）图象点（﹣10）等式k（x﹣1）+b＞0解集（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1
9．（4分）图AB⊙O直径点PAB延长线PCPD⊙O相切切点分CD．AB＝6PC＝4sin∠CAD等（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）图象A（﹣3y1）B（﹣1y2）C（2y3）D（4y4）四点列说法定正确（ ）
A．y1y2＞0y3y4＞0 B．y1y4＞0y2y3＞0
C．y2y4＜0y1y3＜0 D．y3y4＜0y1y2＜0
二填空题：题6题题4分24分
11．（4分）反例函数y图象点（11）k值等 ．
12．（4分）写出理数x1＜x＜4x （写出满足条件x）
13．（4分）某校1000名学生．解学生中长跑成绩分布情况机抽取100名学生中长跑成绩画出条形统计图图．根学统计知识估计该校中长跑成绩优秀学生数 ．
14．（4分）图AD△ABC角分线．∠B＝90°BD点DAC距离 ．
15．（4分）已知非零实数xy满足y值等 ．
16．（4分）图矩形ABCD中AB＝4AD＝5点EF分边ABBC动点点EAB重合EF＝ABG五边形AEFCD满足GE＝GF∠EGF＝90°点．现出结：
①∠GEB∠GFB定互补
②点G边ABBC距离定相等
③点G边ADDC距离相等
④点G边AB距离值2．
中正确 ．（写出正确结序号）
三解答题：题9题86分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（8分）计算：．
18．（8分）图△ABC中D边BC点DE⊥ACDF⊥AB垂足分EFDE＝DFCE＝BF．求证：∠B＝∠C．
19．（8分）解等式组：．
20．（8分）某公司营某种农产品零售箱该农产品利润70元批发箱该农产品利润40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱种农产品获利润4600元问：该公司月零售批发种农产品箱数分少？
（2）营性质规定该公司零售数量总数量30．现该公司营1000箱种农产品问：应规划零售批发数量总利润？总利润少？
21．（8分）图Rt△ABC中∠ACB＝90°．线段EF线段AB移点F边BC△EFDEF斜边等腰直角三角形点D恰AC延长线．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC
（2）求证：CD＝BF．
22．（10分）图已知线段MN＝aAR⊥AK垂足A．
（1）求作四边形ABCD点BD分射线AKARAB＝BC＝a∠ABC＝60°CD∥AB（求：尺规作图写作法保留作图痕迹）
（2）设PQ分（1）中四边形ABCD边ABCD中点求证：直线ADBCPQ相交点．
23．（10分）田忌赛马事闪烁着国古代先贤智慧光芒．该事意：齐王中三匹马A1B1C1田忌中三匹马A2B2C2六匹马赛中胜负等式表示：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马B马赛A马获胜）．天齐王找田忌赛马约定：匹马出场赛局赛三局胜两局者获整场赛胜利．面劣势田忌事先解齐王三局赛出马序马中马马采孙膑策略：分马马中马齐王马中马马赛助阵（C2A1A2B1B2C1）获整场赛胜利创造弱胜强典案例．
假设齐王事先探田忌出马情况试回答问题：
（1）果田忌事先探齐王首局出马首局应出种马获整场赛胜利？求获胜概率
（2）果田忌事先法探齐王局出马情况否必败疑？请说明理请列出田忌获整场赛胜利阵情况求获胜概率．
24．（12分）图正方形ABCD中EF边AB两三等分点点A关DE称点A′AA′延长线交BC点G．
（1）求证：DE∥A′F
（2）求∠GA′B
（3）求证：A′C＝2A′B．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+cx轴公点．
（1）抛物线点P（01）求a+b值
（2）已知点P1（﹣21）P2（2﹣1）P3（21）中恰两点抛物线．
①求抛物线解析式
②设直线l：y＝kx+1抛物线交MN两点点A直线y＝﹣1∠MAN＝90°点Ax轴垂直直线分交抛物线l点BC．求证：△MAB△MBC面积相等．
2021年福建省中考数学参考答案试题解析
选择题：题10题题4分40分题出四选项中项符合求
1．（4分）实数0﹣1中数（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
分析根正数0负数0较出数．
解答解：∵﹣1＜0
∴﹣1
选：A．
点评题考查实数较知道负数0解题关键．
2．（4分）图示六角螺栓俯视图（ ）
A． B．
C． D．
分析根俯视图面图形答案．
解答解：边正六边形六边形部圆
选：A．
点评题考查简单组合体三视图俯视图面图形注意线画实线线画虚线．
3．（4分）图某研究性学组测量学校A河岸工厂B间距离学校附选点C利测量仪器测∠A＝60°∠C＝90°AC＝2km．求学校工厂间距离AB等（ ）
A．2km B．3km C．km D．4km
分析直接利直角三角形性质出∠B度数进利直角三角形中30°直角边斜边半出答案．
解答解：∵∠A＝60°∠C＝90°AC＝2km
∴∠B＝30°
∴AB＝2AC＝4（km）．
选：D．
点评题考查直角三角形性质正确掌握边角关系解题关键．
4．（4分）列运算正确（ ）
A．2a﹣a＝2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．a6÷a3＝a2 D．（2a3）2＝4a6
分析分根合类项法完全方公式底数幂法法积方运算法逐判断．
解答解：A2a﹣a＝a选项合题意
B．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1选项合题意
C．a6÷a3＝a3选项合题意
D．（2a3）2＝4a6选项符合题意
选：D．
点评题考查合类项完全方公式底数幂法幂方掌握相关公式运算法解答题关键．
5．（4分）某校推荐项作品参加科技创新赛甲乙丙丁四项候选作品进行量化评分具体成绩（百分制）表：
项目作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实性
90
90
95
85
果创新性占60实性占40计算总成绩根总成绩择优推荐应推荐作品（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
分析首先根加权均数含义求法分求出四均成绩少然较判断出谁均成绩高判断出应推荐谁．
解答解：甲均成绩＝90×60+90×40＝90（分）
乙均成绩＝95×60+90×40＝93（分）
丙均成绩＝90×60+95×40＝92（分）
丁均成绩＝90×60+85×40＝88（分）
∵93＞92＞90＞88
∴乙均成绩高
∴应推荐乙．
选：B．
点评题考查加权均数含义求法熟练掌握解答题关键明确：数权够反映数相重程度突出某数需较权权差异结果会产生直接影响．
6．（4分）某市2018年底森林覆盖率63．贯彻落实绿水青山金山银山发展理念该市力开展植树造林活动2020年底森林覆盖率达68果两年森林覆盖率年均增长率x符合题意方程（ ）
A．063（1+x）＝068 B．063（1+x）2＝068
C．063（1+2x）＝068 D．063（1+2x）2＝068
分析设2018年起全市森林覆盖率年均增长率x根2018年2020年全市森林覆盖率出关x元二次方程题解．
解答解：设2018年起全市森林覆盖率年均增长率x
根题意：063（1+x）2＝068．
选：B．
点评题考查实际问题抽象出元二次方程找准等量关系正确列出元二次方程解题关键．
7．（4分）图点F正五边形ABCDE部△ABF等边三角形∠AFC等（ ）
A．108° B．120° C．126° D．132°
分析根等边三角形性质AF＝BF∠AFB＝∠ABF＝60°正五边形性质AB＝BC∠ABC＝108°等量代换BF＝BC∠FBC＝48°根三角形角求出∠BFC＝66°根∠AFC＝∠AFB+∠BFC结．
解答解：∵△ABF等边三角形
∴AF＝BF∠AFB＝∠ABF＝60°
正五边形ABCDE中AB＝BC∠ABC＝108°
∴BF＝BC∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°
∴∠BFC66°
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°
选：C．
点评题考查正边形角等边三角形性质等腰三角形性质熟记正边形角求法解题关键．
8．（4分）图次函数y＝kx+b（k＞0）图象点（﹣10）等式k（x﹣1）+b＞0解集（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1
分析先（﹣10）代入y＝kx+bb＝kk（x﹣1）+b＞0化k（x﹣1）+k＞0然解关x等式．
解答解：（﹣10）代入y＝kx+b﹣k+b＝0解b＝k
k（x﹣1）+b＞0化k（x﹣1）+k＞0
k＞0
x﹣1+1＞0
解x＞0．
选：C．
方法二：
次函数y＝kx+b（k＞0）图象右移1单位y＝k（x﹣1）+b
∵次函数y＝kx+b（k＞0）图象点（﹣10）
∴次函数y＝k（x﹣1）+b（k＞0）图象点（00）
图象知x＞0时k（x﹣1）+b＞0
∴等式k（x﹣1）+b＞0解集x＞0
选：C．
点评题考查次函数元次等式点（﹣10）代入解析式求kb关系解题关键．
9．（4分）图AB⊙O直径点PAB延长线PCPD⊙O相切切点分CD．AB＝6PC＝4sin∠CAD等（ ）
A． B． C． D．
分析连接OCODCDCD交PAE图利切线性质切线长定理OC⊥CPPC＝PDOP分∠CPD根等腰三角形性质OP⊥CD∠COB＝∠DOB根圆周角定理∠CAD∠COD∠COB＝∠CAD然求出sin∠COP．
解答解：连接OCODCDCD交PAE图
∵PCPD⊙O相切切点分CD
∴OC⊥CPPC＝PDOP分∠CPD
∴OP⊥CD
∴
∴∠COB＝∠DOB
∵∠CAD∠COD
∴∠COB＝∠CAD
Rt△OCP中OP5
∴sin∠COP
∴sin∠CAD．
选：D．
点评题考查切线性质：圆切线垂直切点半径．考查圆周角定理解直角三角形．
10．（4分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）图象A（﹣3y1）B（﹣1y2）C（2y3）D（4y4）四点列说法定正确（ ）
A．y1y2＞0y3y4＞0 B．y1y4＞0y2y3＞0
C．y2y4＜0y1y3＜0 D．y3y4＜0y1y2＜0
分析观察图知y1＞y4＞y2＞y3结合题目判断．
解答解：图题意称轴x＝1
观察图知y1＞y4＞y2＞y3
y1y2＞0y3y4＞0y3y4＜0选项A符合题意
y1y4＞0y2y3＞0y2y3＜0选项B符合题意
y2y4＜0y1y3＜0选项C符合题意
y3y4＜0y1y2＜0y1y2＞0选项D符合题意
选：C．
点评题考查二次函数图象点坐标特征解题关键学会利图象法解决问题属中考常考题型．
二填空题：题6题题4分24分
11．（4分）反例函数y图象点（11）k值等 1 ．
分析点（11）代反例函数y求出k值．
解答解：∵反例函数y图象点（11）
∴k＝1×1＝1
答案1．
点评题考查定系数法求反例函数解析式熟练掌握定系数法解题关键．
12．（4分）写出理数x1＜x＜4x （写出满足条件x）
分析根14解．
解答解：∵1＜2＜16
∴14
∵理数
答案：．
点评题考查估算理数现实生活中常需估算估算应具备数学力夹逼法估算般方法常方法．
13．（4分）某校1000名学生．解学生中长跑成绩分布情况机抽取100名学生中长跑成绩画出条形统计图图．根学统计知识估计该校中长跑成绩优秀学生数 270 ．
分析总数长跑成绩优秀学生数占百分．
解答解：根题意：
1000270（）
答案：270．
点评题考查条形统计图读懂统计图统计图中必信息解决问题关键．
14．（4分）图AD△ABC角分线．∠B＝90°BD点DAC距离 ．
分析角分线性质求DE＝BD求解．
解答解：图点D作DE⊥ACE
∵AD△ABC角分线．∠B＝90°DE⊥AC
∴DE＝BD
∴点DAC距离
答案．
点评题考查角分线性质掌握角分线点角两边距离相等解题关键．
15．（4分）已知非零实数xy满足y值等 4 ．
分析y：x﹣y＝xy整体代入代数式中求值．
解答解：y：xy+y＝x
∴x﹣y＝xy
∴原式
＝4．
答案：4．
点评题考查分式值条件进行化简x﹣y＝xyx﹣y作整体代入代数式求值解题关键．
16．（4分）图矩形ABCD中AB＝4AD＝5点EF分边ABBC动点点EAB重合EF＝ABG五边形AEFCD满足GE＝GF∠EGF＝90°点．现出结：
①∠GEB∠GFB定互补
②点G边ABBC距离定相等
③点G边ADDC距离相等
④点G边AB距离值2．
中正确 ．（写出正确结序号）
分析根矩形性质出∠B＝90°∠EGF＝90°三角形角360°判断①
G作GM⊥ABGN⊥BC分交ABM交BCN根GE＝GF∠EGF＝90°∠GEF＝∠GFE＝45°求出∠GEM＝∠GFN然证明△GEM≌△GFN判断②
AB＝4AD＝5②结判断③
四边形EBFG正方形时点GAB距离判断④．
解答解：∵四边形ABCD矩形
∴∠B＝90°
∵∠EGF＝90°四边形角360°
∴∠GEB+∠GFB＝180°
①正确
G作GM⊥ABGN⊥BC分交ABM交BCN
∵GE＝GF∠EGF＝90°
∴∠GEF＝∠GFE＝45°
∴∠B＝90°
∴∠BEF+∠EFB＝90°∠BEF＝90°﹣∠EFB
∵∠GEM＝180°﹣∠BEF﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB）＝45°+∠EFB
∠GFN＝∠EFB+∠GFE＝∠EFB+45°
∴∠GEM＝∠GFN
△GEM△GFN中
∴△GEM≌△GFN（AAS）
∴GM＝GN
②正确
∵AB＝4AD＝5②知
点G边ADDC距离相等
③错误：
四边形EBFG正方形时点GAB距离
∵EF＝AB＝4
∴GE＝EB＝BF＝FG＝42
④正确．
答案：①②④．
点评题考查矩形性质全等三角形判定三角形角定理关键知识掌握运．
三解答题：题9题86分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（8分）计算：．
分析直接利算术方根绝值性质负整数指数幂性质分化简出答案．
解答解：原式＝233
．
点评题考查算术方根绝值性质负整数指数幂性质正确化简数解题关键．
18．（8分）图△ABC中D边BC点DE⊥ACDF⊥AB垂足分EFDE＝DFCE＝BF．求证：∠B＝∠C．
分析垂直定义DE＝DFCE＝BF证明△BDF≌△CDE出应角相等．
解答证明：∵DE⊥ACDF⊥AB
∴∠BFD＝∠CED＝90°
△BDF△CDE中
∴△BDF≌△CDE（SAS）
∴∠B＝∠C．
点评题考查全等三角形判定性质够证明△BDF≌△CDE解决问题关键．
19．（8分）解等式组：．
分析分求出等式解集根口诀：取取中间找找确定等式组解集．
解答解：解等式①：x≥1
解等式②：x＜3
等式组解集1≤x＜3．
点评题考查解元次等式组正确求出等式解集基础熟知取取中间找找原解答题关键．
20．（8分）某公司营某种农产品零售箱该农产品利润70元批发箱该农产品利润40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱种农产品获利润4600元问：该公司月零售批发种农产品箱数分少？
（2）营性质规定该公司零售数量总数量30．现该公司营1000箱种农产品问：应规划零售批发数量总利润？总利润少？
分析（1）设该公司月零售种农产品x箱批发种农产品（100﹣x）箱该公司某月卖出100箱种农产品获利润4600元列方程求解．
（2）设该公司月零售种农产品m箱批发种农产品（1000﹣m）箱该公司获利润y元进y关m函数关系式利次函数性质求解．
解答解：（1）设该公司月零售种农产品x箱批发种农产品（100﹣x）箱题意
70x+40（100﹣x）＝4600
解：x＝20
100﹣20＝80（箱）
答：该公司月零售种农产品20箱批发种农产品80箱
（2）设该公司月零售种农产品m箱批发种农产品（1000﹣m）箱题意
m≤1000×30
解m≤300
设该公司获利润y元题意
y＝70m+40（1000﹣m）
y＝30m+40000
∵30＞0y着m增增
∴m＝300时y取值时y＝30×300+40000＝49000（元）
∴批发种农产品数量10000﹣m＝700（箱）
答：该公司零售批发种农产品箱数分300箱700箱时获利润49000元．
点评题考查元次方程次函数应根题意列出函数表达式熟练掌握函数性质根变量取值范围确定函数值解决问题关键．
21．（8分）图Rt△ABC中∠ACB＝90°．线段EF线段AB移点F边BC△EFDEF斜边等腰直角三角形点D恰AC延长线．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC
（2）求证：CD＝BF．
分析（1）∠ACB＝90°∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°△EFDEF斜边等腰直角三角形∠EDF＝90°∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°等量代换∠ADE＝∠DFC
（2）证明四边形ABEF行四边形∠DAE＝∠FCDAE＝BF证△ADE≌△CFDAF＝CD等量代换结．
解答（1）证明：∵∠ACB＝90°
∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°
∵△EFDEF斜边等腰直角三角形
∴∠EDF＝90°DE＝FD
∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°
∴∠ADE＝∠DFC
（2）
连接AE
∵线段EF线段AB移
∴EF∥ABEF＝AB
∴四边形ABEF行四边形
∴AE∥BCAE＝BF
∴∠DAE＝∠BCA＝90°
∴∠DAE＝∠FCD
△ADE△CFD中
∴△ADE≌△CFD（AAS）
∴AE＝CD
∵AE＝BF
∴CD＝BF．
点评题考查三角形全等判定性质等腰直角三角形移性质熟练掌握三角形全等判定性质解题关键．
22．（10分）图已知线段MN＝aAR⊥AK垂足A．
（1）求作四边形ABCD点BD分射线AKARAB＝BC＝a∠ABC＝60°CD∥AB（求：尺规作图写作法保留作图痕迹）
（2）设PQ分（1）中四边形ABCD边ABCD中点求证：直线ADBCPQ相交点．
分析（1）先截取AB＝a分AB圆心a半径画弧两弧交点C然C点作AR垂线CD
（2）证明：设PQ交ADGBC交ADG′利行线分线段成例定理判断点G点G′重合．
解答（1）解：图四边形ABCD作
（2）证明：设PQ交ADGBC交ADG′
∵DQ∥AP
∴
∵DC∥AB
∴
∵PQ分边ABCD中点
∴DC＝2DQAB＝2AP
∴
∴
∴点G点G′重合
∴直线ADBCPQ相交点．
点评题考查作图﹣复杂作图：解决类题目关键熟悉基图形性质结合图形基性质复杂作图拆解成基作图逐步操作．考查行线分线段成例定理．
23．（10分）田忌赛马事闪烁着国古代先贤智慧光芒．该事意：齐王中三匹马A1B1C1田忌中三匹马A2B2C2六匹马赛中胜负等式表示：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马B马赛A马获胜）．天齐王找田忌赛马约定：匹马出场赛局赛三局胜两局者获整场赛胜利．面劣势田忌事先解齐王三局赛出马序马中马马采孙膑策略：分马马中马齐王马中马马赛助阵（C2A1A2B1B2C1）获整场赛胜利创造弱胜强典案例．
假设齐王事先探田忌出马情况试回答问题：
（1）果田忌事先探齐王首局出马首局应出种马获整场赛胜利？求获胜概率
（2）果田忌事先法探齐王局出马情况否必败疑？请说明理请列出田忌获整场赛胜利阵情况求获胜概率．
分析（1）根题意首局齐王出马需三局图表列出出答案．
（2）根题（1）种情况推断出18种阵情况A1C2B1A2C1B2情况田忌获胜利出答案．
解答解：（1）田忌首局应出马获胜
时赛阵：（A1C2B1A2C1B2）（A1C2C1B2B1A2）（A1C2B1B2C1A2）（A1C2B1B2C1A2）四种中获胜两场
田忌获胜概率P．
（2）．
齐王出马序A1B1C1时田忌获胜阵：（A1C2B1A2C1B2）
齐王出马序A1C1B1时田忌获胜阵：（A1C2C1B2B1A2）
齐王出马序B1A1C1时田忌获胜阵：（B1A2A1C2C1B2）
齐王出马序B1C1A1时田忌获胜阵：（C1B2A1C2B1A2）
齐王出马序C1A1B1时田忌获胜阵：（C1B2A1C2B1A2）
齐王出马序C1B1A1时田忌获胜阵：（C1B2B1A2A1C2）
综述田忌获胜阵6种齐王出马序相应6种阵田忌获胜概率P．
点评题考查列表法求概率．列表法适合两步完成事件解题时注意题赛马分三局考虑．知识点：概率＝求情况数总情况数．
24．（12分）图正方形ABCD中EF边AB两三等分点点A关DE称点A′AA′延长线交BC点G．
（1）求证：DE∥A′F
（2）求∠GA′B
（3）求证：A′C＝2A′B．
分析（1）轴称性质AO＝A＇OAA＇⊥DE三等份点AE＝EF三角形中位线定理DE∥A＇F
（2）ASA证△ADE≌△BAGAE＝BG∠GFB＝∠FGB＝45°通证明点F点B点G点A＇四点圆∠GA＇B＝∠GFB＝45°
（3）通证明△A＇FB∽△A＇GC结．
解答证明：（1）图设AGDE交点O连接GF
∵点A关DE称点A′
∴AO＝A＇OAA＇⊥DE
∵EF边AB两三等分点
∴AE＝EF＝BF
∴DE∥A＇F
（2）∵AA＇⊥DE
∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG
∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO
∴∠ADE＝∠EAO
△ADE△BAG中
∴△ADE≌△BAG（ASA）
∴AE＝BG
∴BF＝BG
∴∠GFB＝∠FGB＝45°
∵∠FA＇G＝∠FBG＝90°
∴点F点B点G点A＇四点圆
∴∠GA＇B＝∠GFB＝45°
（3）设AE＝EF＝BF＝BG＝a
∴AD＝BC＝3aFGa
∴CG＝2a
Rt△ADE中DEa＝AG
∵sin∠EAO＝sin∠ADE
∴
∴
∴OEa
∴AOa＝A＇O
∴A＇G
∵AO＝A＇OAE＝EF
∴A＇Faa
∵∠FA＇G＝∠FBG＝90°
∴∠A＇FB+∠A＇GB＝180°
∵∠A＇GC+∠A＇GB＝180°
∴∠A＇FB＝∠A＇GC
∵
∴△A＇FB∽△A＇GC
∴
∴A′C＝2A′B．
点评题考查正方形性质轴称性质全等三角形判定性质勾股定理相似三角形判定性质等知识证明△A＇FB∽△A＇GC解题关键．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+cx轴公点．
（1）抛物线点P（01）求a+b值
（2）已知点P1（﹣21）P2（2﹣1）P3（21）中恰两点抛物线．
①求抛物线解析式
②设直线l：y＝kx+1抛物线交MN两点点A直线y＝﹣1∠MAN＝90°点Ax轴垂直直线分交抛物线l点BC．求证：△MAB△MBC面积相等．
分析（1）点P坐标代入解析式中出ab关系式求出a+b值
（2）①题意出抛物线x轴交点抛物线点侧两点P1P3求出抛物线解析式
（3）根题意先设出点A横坐标然含k式子表示出A横坐标证明AB＝BC出△MAB△MBC面积相等．
解答解：（1）P（01）代入解析式：c＝1
∴y＝ax2+bx+1
∵抛物线x轴公点
∴△＝b2﹣4a＝0
∴
b＝﹣2时a+b值﹣1
（2）①∵抛物线x轴公点
∴抛物线点x轴侧x轴
∴抛物线点P1P3
∵P1P3关y轴称
∴顶点原点（00）
设解析式y＝ax2
代入点P1：
②证明：
联立直线l抛物线：
：x2﹣4kx﹣4＝0
设M（x1kx1+1）N（x2kx2+1）
韦达定理：x1+x2＝4kx1x2＝﹣4
设线段MN中点T设A坐标（m﹣1）
T坐标（2k2k2+1）
∴AT2＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2
题意：
∵△MAN直角三角形MN斜边
∴：
∴16（k4+2k2+1）＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2
解m＝2k
∴A（2k﹣1）
∴B（2kk2）
∴C（2k2k2+1）
∵
∴BAC中点
∴AB＝BC
∵△MAB△MBC高点M直线AC距离
∴△MAB△MBC高相等
∴△MAB△MBC面积相等．
点评题考查二次函数综合知识般求值者值求抛物线顶点坐标题中第问考虑ab字母表示成二次函数形式然求顶点出现直角三角形时般考知识点斜边中线等斜边半．
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