高三数学
第部分 （选择题 40 分）
选择题 10 题题 4 分 40 分．题列出四选项中选出符合题目求项．
1．集合 { |1 3}A x x   { | 1 2}B x x    ABI
（A）{ | 1 3}xx   （B）{ | 1 1}xx   （C）{ |1 2}xx （D）{ | 2 3}xx
2． 命题 0 0 0(0 + ) ln 1x x x    否定
（A） 0 0 0(0 + ) ln 1x x x     （B） 0 0 0(0 + ) ln 1x x x    
（C） (0 + ) ln 1x x x     （D） (0 + ) ln 1x x x    
3． 列函数中偶函数区间(0 ) 单调递增
（A） yx （B） 2 1yx
（C） cosyx （D） 1
2yx
4．四面体顶点空间直角坐标系O xyz 中坐标分(0 0 0) (0 0 1) (11 0) (1 0 1)
四面体 xOy 坐标面正投影图形面积
（A） 1
4
（B） 1
2
（C） 3
4
（D）1
5．已知菱形 ABCD 边长 1 60BAD BD CD
uuur uuur
g
（A） （B） 1
2
 （C） 3
2 （D） 3
2
6．双曲线 2241xy离心率
（A） 5 （B） 5
2 （C） 3 （D） 3
2
7．已知公差 0 等差数列 na 前 n 项 nS满足 3110SS 1 2 4a a a成等数列 3a 
（A） 2 （B） 6 （C）56 （D）12

8 261()x
x
 展开式中常数项 （A） 20 （B） 15 （C）15 （D）30
9 西洋鲑鱼年逆流游回出生淡水流域产卵 记鲑鱼游速 v （单位： m s ）
鲑鱼耗氧量单位数 Q 科学研究发现 3log 100
Q 成正 1m sv  时鲑鱼耗氧量单
位数900 2m sv 时耗氧量单位数
（A）1800 （B） 2700 （C）7290 （D）8100
10 边 长 2 等 边 三 角 形 ABC 中点 DE 分边 AC AB 点 满 足 DE‖ BC
AD
AC
 ( (0 1))  △ ADE 直线 折△ A DE 位置 翻折程中列结成立
（A）边 AE 存点 F翻折程中满足 BF 面 A CD
（B）存 1(0 )
2
  翻折程中某位置满足面 A BC  面 BCDE
（C） 1
2
  二面角 A DE B 直二面角时 10
4
AB 
（D）翻折程中四棱锥 A BCDE 体积值记 ()f  值 23
9


第二部分 （非选择题 110 分）
二填空题 6 题题 5 分 30 分．
11 复数 1
1i+ 实部 ．
12 国古代典籍周易卦描述万物变化．重卦排列 6
爻组成爻分阳爻 阴爻 右图重卦．果某
重卦中 2 阳爻组成 种重卦．（数字作答）
13 已知 abc 分△ 角 ABC 边 2 2c ab 1sin sin
2
AC cos A  ．
14 称数列趣数列仅该数列满足两条件：
①奇数项满足 2 1 2 1nnaa 偶数项满足 2 2 2nnaa
②意相邻两项 21na  2na 满足 21na  
根面信息完成面问题：
（i）数列1 2 3 4 5 6 趣数列（填者） （ⅱ） 2( 1)n
nan
n
   数列 na 趣数列（填者）
15．已知抛物线 2 4C y x： 焦点 F 坐标 点 F 直线交抛物线C AB 两
点 4AF  △ AOB 面积 ．
16．定义域 R 函数 ()fx时满足两条性质：
①存 0x R 0( ) 0fx 
②意 xR ( 1) 2 ( )f x f x
根条件分写出满足述性质函数
（i） 增函数 ()fx
（ⅱ） 单调函数

三解答题 6 题 80 分．解答应写出文字说明演算步骤证明程．

17（题 13 分）
已知函数 2( ) sin cos 3 cosf x x x x
（Ⅰ）求 π()
3
f 值
（Ⅱ）求 区间 π[0 ]
2
值



18（题 14 分）
图三棱柱 1 1 1ABC A B C 中 1AA  面 ABC π
2BAC
1 1AA AB AC 1CC 中点 H
（Ⅰ）求证： 1AB A C
（Ⅱ）求二面角 1A BC A 余弦值
（Ⅲ）棱 11AB否存点 N HN‖面 1A BC ？存求 出 1
11
AN
AB
值存请说明理．


19（题 13 分）
目前中国三分二城市面垃圾围城窘境 国垃圾处理采填埋方式占
万亩土严重污染环境 垃圾分类易降解物质分出减轻土严重侵蚀减少土
流失 2020 年 5 月 1 日起北京市实行生活垃圾分类分类标准厨余垃圾回收物害垃圾
垃圾四类 生活垃圾中 30~40回收利分出回收垃圾环保节约资源 ：回收利
1 吨废纸造出 08 吨纸挽救 17 棵树少纯碱 240 千克降低造纸污染排放 75％节省
造纸源消耗 40％～50％
现调查北京市5区12月份生活垃圾投放情况中回收物中废纸塑料品投放量表：
A 区 B 区 C 区 D 区 E 区
废纸投放量（吨） 5 51 52 48 49
塑料品投放量（吨） 35 36 37 34 33
（Ⅰ） ABCDE 5 区中取 1 区求该区 12 月份回收物中废纸投放量超
5 吨塑料品投放量超 35 吨概率
（Ⅱ） ABCDE 5 区中取 2 区记 X 12 月份投放废纸造纸超 4 吨
区数求 X 分布列期．

20（题 13 分）
已知椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab    离心率 1
2
原点圆心椭圆C 短半轴长半径圆直
线 60xy   相切
（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）设 S 椭圆右顶点椭圆 右焦点直线 l 椭圆 交 PQ 两点（异 ）直线 PS
QS 分交直线 4x  AB 两点 求证： 两点坐标积定值

21（题 14 分）
已知函数 321 ( 1)()
32
af x x x ax   （Ⅰ） 1a  时求曲线 ()y f x 点(0 (0))f 处切线方程
（Ⅱ）讨函数 ()fx单调性
（Ⅲ）意 1x 2 [0 2]x  12
2()()
3
f x f x求实数 a 取值范围



22（题 13 分）
已知 * 2nnN定 nn 整点 ()xy中1 x y n x y   *N
（Ⅰ） 2n  时面 22 整点中取两整点 1 1 2 2()()x y x y求 12xx
值
（Ⅱ）面 nn 整点中取 m 整点 5 12
nm 
（i）证明：存互相四整点 )()()()( 22221111 yxyxyxyx  满足 11yy
2 2 1 2y y y y
（ii）证明：存互相四整点 )()()()( 22221111 yxyxyxyx  满足
2211 xxxx  21 yy 

（考生务必答案答答题卡试卷作答效）
6

高三数学 参考答案评分参考

选择题 10 题题 4 分 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B A A B C D D

二填空题 6 题题 5 分 30 分．
11． 1
2
12．15 13． 7
8

14． 15．(1 0) 43
3 16． 2x 2 sin 2x x (答案唯)
注：第 141516 题第空 3 分第二空 2 分
三解答题 6 题 80 分．解答应写出文字说明演算步骤证明程．
17（题 13 分）
解：（Ⅰ） 2π π π π( ) sin cos 3 cos
3 3 3 3
f   
23 1 13 ( )
2 2 2
   
3
2
 ………………4 分
（Ⅱ） 2( ) sin cos 3 cosf x x x x  
1 cos 2 1sin 2 3
22
xx   

π 3sin(2 )
32
x  
π[0 ]
2
x π π 4π2 [ ]
3 3 3
x 
π π2
32
x  π
12
x  时
()fx取值 31
2
 ………………13 分

7
18（题 14 分）
证明：（Ⅰ） 1AA  面 ABC AB  面 1AA AB
π
2BAC AC AB
1AC AA AI
AB 面 1AAC
1AC 面 1AAC 1AB AC ………………4 分
（Ⅱ）（Ⅰ）知 AB AC 1AA 两两互相垂直
图建立空间直角坐标系 A xyz ．
1 1AA AB AC
(0 0 0)A(10 0)B(01 0)C 1(0 0 1)A
面
1 (0 0 1)AA 
uuur
面 法量
设面 1A BC 法量 ()x y z n
1 (1 0 1)AB
uuur
1 (0 1 1)AC 
uuur

1
1
0
0
AB
AC




uuur
uuur n
n
0
0
xz
yz





令 1z  11xy
(1 1 1) n
1
1
1
3cos
3
AAAA
AA


uuuruuur
uuur nn
n

题知二面角 1A BC A 锐角余弦值 3
3
………………10 分





（Ⅲ）假设棱 11AB存点 ()N x y z HN‖面 1A BC
8
1 1 1(0 1)ANAB  
uuur uuuur
11 (1 0 0)AB 
uuuur
1 ( 0 )0AN 
uuur

1(0 1 1)CH 1CC 中点 1(0 1 )
2
H
11
1( 1 )
2
HN HA A N  
uuur uuur uuur

HN‖面 1A BC 110
2
HN   
uuur
+n 解 1 [0 1]
2
 
HN 面
棱 11AB存点 N 面 1
11
1
2
AN
AB

………………14 分
19．（题 13 分）
解：（Ⅰ）记该区 12 月份回收物中废纸投放量超 5 吨塑料品投放量超 35 吨事件 A
题意 BC 两区 12 月份回收物中废纸投放量超 5 吨塑料品投放量超
35 吨
2()
5
PA ………………4 分
（Ⅱ）回收利 1 吨废纸造出 08 吨纸
12 月份投放废纸造纸超 4 吨区 BC 2 区
X取值 012

2
3
2
5
3( 0)
10
CPX
C
  
11
32
2
5
63( 1)
10 5
CCPX
C
   
2
2
2
5
1( 2)
10
CPX
C
  
X 分布列
X 0 1 2
P 3
10
3
5
1
10

3 3 1 4( ) 0 1 2
10 5 10 5
EX        ．
………………13 分


9
20（题 13 分）
解：（Ⅰ）原点圆心椭圆短半轴长半径圆直线 60xy   相切
半径b 等原点直线距离 d
0 0 6
11
bd



3b
离心率 1
2e  知 1
2
c
a  2 2 2a b c 2a 
椭圆C 方程
22
143
xy ………………4 分
（Ⅱ）椭圆C 方程知 (2 0)S
直线l 斜率存直线 方程 1x 
33(1 ) (1 )22PQ
直线 PS 方程3 2 6 0xy   直线QS 方程
令 4x (4 3)A (4 3)B
AB 两点坐标积 9
直线 斜率存设直线 方程 )0)(1(  kxky
22
( 1)
3 4 12 0
y k x
xy

   
2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k    
题意 0 恒成立
设 1 1 2 2 1 2( ) ( )( 0)P x y Q x y x x 

22
1 2 1 222
8 4 12
3 4 3 4
kkx x x xkk
  

设 (4 )AAy(4 )BBy
题意 PSA 三点线知 1
14 2 2
Ayy
x

点 A 坐标 1
1
2
2A
yy x 

理点 B 坐标 2
2
2
2B
yy x 
12
12
22
22AB
yyyy xx

10

2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
( ) 14 2( ) 4
4 12 8 4 34 4 12 2 8 4(4 3)
94 4
9
x x x xk x x x x
k k kk k k k
k k
     
        




综 AB 两点坐标积定值
………………13 分

21．（题 14 分）
解：（Ⅰ） 1a  时 321()
3
f x x x x  
2( ) 2 1f x x x    (0) 1f  
(0) 0f 
曲线 ()y f x 点(0 (0))f 处切线方程 yx ………………4 分
（Ⅱ） 321 ( 1)()
32
af x x x ax  
2( ) ( 1) 0f x x a x a     
令 ( ) 0fx  解 xa 1x 
1a  ( ) 0fx  1x  xa 时函数 ()fx单调递增
( ) 0fx  1 xa时函数 单调递减
1a  22( ) 2 1 ( 1) 0f x x x x      
仅 1x  时取等号函数 增函数
1a  xa 1x  时函数 单调递增
1ax时函数 单调递减
综 时函数 单调递增区间( 1) ( )a  + 单调递减区间(1 )a
时函数 单调递增区间() 
时函数 单调递增区间( ) (1 )a  + 单调递减区间( 1)a
………………9 分


11

（Ⅲ） 令 2( ) ( 1) 0f x x a x a      解 xa 1x 
0a  时 x 变化 ()()f x f x 变化情况表：

表知 (0) (1)ff 时 2(2) (1)
3
ff 符合题意
01a时 变化 变化情况表：

表 321 1 1 1 2(0) 0 ( ) (1) (2)
6 2 2 6 3
f f a a a f a f      
(0) ( )f f a (1) (2)ff
需 ( ) (2)
(1) (0)
f a f
ff





321 1 2
6 2 3
110
26
aa
a
  






解 1 1
3
a
1a  时 2( ) 2 1 ( 1) 0f x x x x       (0 2) 恒成立符合题意
12a时
需 (1) (2)
( ) (0)
ff
f a f





32
1 1 2
2 6 3
110
62
a
aa

  





解 51
3
a
2a  时 (1) (2)ff 符合题意
综实数 a 取值范围 15[]
33
………………14 分






12
22．（题 13 分）
解（Ⅰ） 2n  时4 整点分(1 1) (1 2) (2 1) (2 2)
12xx 值 234 ………………3 分
（Ⅱ）（i）假设存互相四整点 1 1 1 1 2 2 2 2()()()()x y x y x y x y   
满足 1 1 2 2 1 2y y y y y y
直线 *(1 )Ny i i n i    中条直线取 1 整点余条直线取
整点 时符合条件整点数 1 2 1n n n   
52 1 12nn  
已知 5 12mn矛盾
存互相四整点 满足
（ii）设直线 ia 选定点
2ia  设 yi 选定点横坐标 12 iax x x满足 12 iax x x   
1213232434 1iiaaxxxxxxxxxx x x      
知 中意两项少 23ia  值 2ia  成立
123 n 中意两项值恰 23n
 
1
2 3 2 3 5 2 3 2 3
n
i
i
a m n n n n

       
知存四点 1 1 1 1 2 2 2 2()()()()x y x y x y x y
满足 1 1 2 2 1 2x x x x y y   21 yy  ………………13 分




（方法解题请酌情分）


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