256 第1课时 利相似三角形测高度
基础练
知识点 1 利阳光影子测高度
1[2020·唐山路北区期末] 某时刻测根高2m竹竿影长1m时测栋建筑物影长12m栋建筑物高度 m
2图1身高16m某学生想测量棵树高度着树影BABA走走点C时影子顶端正树影子顶端重合测BC32mCA08m求树高度BD
图1
知识点 2 利标杆测高度
3[2020·天水] 图2示某校数学兴趣组利标杆BE测量建筑物高度已知标杆BE高15m测AB12mBC128m建筑物CD高 ( )
图2
A175m B17m C165m D18m
4图3(示意图)着长12cm刻度尺站离电线杆20m方手臂前伸直尺子竖直尺子两端恰遮住电线杆已知臂长40cm电线杆高度
图3
5图4九年级(1)班课外活动组利标杆测量学校旗杆AB高度已知标杆高度CD3m标杆旗杆水距离BD15m眼睛距面高度EF16m标杆CD水距离DF2m时旗杆顶端A标杆顶端C眼E恰条直线求旗杆AB高度
图4
知识点 3 利孔成求高度距离
6[教材做做变式] 图5孔成问题中点OAB距离18cm点OCD距离6cmCD长5cm物体AB长 ( )
图5
A9cm B10cm C12cm D15cm
力提升
7图6王华面放置面镜E(忽略计)测量铁塔AB高度镜子铁塔距离EB20米镜子王华距离ED2米时王华刚镜子中铁塔顶端点A已知王华眼睛距面高度CD15米铁塔AB高度 ( )
图6
A15米 B803米 C16米 D165米
8数学兴趣组颖想测量教学楼前棵树高度午课外活动时测根长1m竹竿影长08m马测量树高时发现树影子全落面部分影子落教学楼墙壁(图7)先测留墙壁影高12m测面影长26m树高 ( )
图7
A325m B425m C445m D475m
9图8阳光通窗口AB射室面留4米宽亮区DE点D窗口墙脚点C处距离9米窗口高AB2米窗口底边离面高BC 米
图8
10图9(示意图)示明学制直角三角形纸板DEF测量树高度AB调整位置设法斜边DF保持水边DE点B直线已知纸板两条直角边DE40cmEF20cm测边DF离面高度AC15mCD8m树高AB m
图9
11图10示某超市楼二楼间安装电梯天花板面行张强扛着箱子(箱子总高度约22m)电梯刚安全通根图中数计算两层楼间高度约 m
图10
12图11测量学校围墙外直立电线杆AB高度亮操场点C处直立高3m竹竿CD然退点E处时恰竹竿顶端D电线杆顶端B重合亮点C1处直立高3m竹竿C1D1然退点E1处时恰竹竿顶端D1电线杆顶端B重合已知ABCDEFC1D1E1F1面亮眼睛离面高度EF15m量CE2mEC16mC1E13m
(1)△FDM∽△ △F1D1N∽△
(2)求电线杆AB高度
图11
13图12明想镜子测量棵松树高度树旁条河直接测量镜子树间距离明两次利镜子进行测量第次镜子放点C处点F处恰镜子中见树尖A第二次镜子放点D处点H处恰镜子中树尖A已知点BCFDH条直线明眼睛距离面高度EF168米量CD10米CF12米DH36米请利数求出棵松树高度
图12
第2课时 利相似三角形测距离
基础练
知识点 1 测河宽径
1图13卡钳测量容器径示意图量卡钳AD两端点距离4cmAOOCDOOB25容器径BC长 ( )
图13
A4cm B5cm C8cm D10cm
2估算河宽度河岸岸边选定目标记点A河边选点B点CAB⊥BC然河岸选点EEC⊥BC设BCAE交点D图14示测BD120米DC60米EC50米条河宽度致 ( )
图14
A75米 B25米 C100米 D120米
3图15测量玻璃径示意图点D正10mm刻度线点A正30mm刻度线DE∥AB量AB长75mm径DE长 mm
图15
4周末华亮想学数学知识测量家门前河宽度测量时选择河岸岸边棵树底部作点A岸边选取点BAB河岸垂直点B竖起标杆BCAB延长线选择点D竖起标杆DE点E点CA线已知BC⊥ADDE⊥AD测BC1mDE15mBD85m测量示意图图16示请根相关测量信息求河宽AB
图16
知识点 2 三角形接矩形
5图17斜边长30cm直角三角形木板(Rt△ACB)中截取正方形CDEF点D边BC点E斜边AB点F边ACAF∶AC1∶3块木板截取正方形CDEF剩余部分面积 ( )
图17
A200cm2 B170cm2 C150cm2 D100cm2
6[教材例2变式] 图18△ABC面积36cm2边BC12cm矩形DEFG顶点DG分ABAC点EFBCEF2DE求DG长
图18
力提升
7图19圆桌正方盏吊灯灯光圆桌板投影面积4πm2圆已知圆桌高度1m圆桌面半径1m吊灯距圆桌面距离( )
图19
A12m B1m C4m D5m
8图20杠杆撬石头示意图C支点力压杠杆A端时杠杆绕点C转动端B翘起石头撬动现块石头滚动杠杆B端必须翘起10cm已知ACBC5∶1块石头滚动少杠杆A端压 cm
图20
9块锐角三角形卡纸余料ABC边BC120cm高AD80cm卡纸余料充分利现裁剪成邻边长2∶5矩形纸片EFGH正方形纸片PMNQ裁剪时矩形纸片较长边BC正方形纸片边矩形纸片较长边EH余顶点均分ABAC具体裁剪方式图21示
(1)求矩形纸片较长边EH长
(2)裁剪正方形纸片时聪学方法进行裁剪先着剩余余料△AEH中边EH行中位线剪刀该中位线两端点边EH作垂线剪两刀请通计算判断聪剪法否正确
图21
10某市济开发区建BCD三食品加工厂三工厂开发区A处水公司正矩形四顶点(图22)间公路相通ABCD900米ADBC1700米水公司已修条水道ANBC两厂间公路水道交点E处EC500米水道工厂水道工厂负担米造价800元
(1)修建水道造价低三工厂水道路线应样设计请图中画出
(2)求出工厂修建水道低造价少元
图22
答案
第1课时
124 [解析] 设栋建筑物高度x m题意21x12解x24栋建筑物高度24 m
2解∵BC32 mCA08 m∴AB4 m题意ACABCEBD08416BD解BD8(m)答树高度BD8 m
3A [解析] ∵EB⊥ACDC⊥AC∴EB∥DC∴△ABE∽△ACD∴ABACBECD∵BE15 mAB12 mBC128 m∴ACAB+BC14 m∴121415CD解CD175(m)建筑物CD高175 m选A
46 m [解析] 图点A作AN⊥EF点N交BC点M∵BC∥EF∴AM⊥BC点M
△ABC∽△AEF∴BCEFAMAN∵AM04 mAN20 mBC012 m∴EF012×20046(m)电线杆高度6 m
5解点E作EH⊥AB垂足H交CD点G∵CD⊥FBAB⊥FB∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE
∴CGAHEGEHCDEFAHFDFD+BD∴316AH22+15∴AH119(m)∴ABAH+HBAH+EF119+16135(m)
答旗杆AB高度135 m
6D [解析] 点O作OE⊥AB点EEO延长线交CD点F∵AB∥CD∴FO⊥CD
△COD∽△AOB∴CDABOFOE61813∴AB3CD15 cm选D
7A [解析] ∵∠CDE∠ABE90°∠CED∠AEB∴△CDE∽△ABE∴DEBECDAB∴22015AB
∴AB15(米)选A
8C [解析] 图设BDBC面影子树高x m根竹竿高影长值树高影长值相等CBBD108∵CB12 m∴BD096 m∴树落面实际影长096+26356(m)竹竿高影长值树高影长值相等x356108解445∴树高445 m
925 [解析] ∵太阳光线行光线∴AD∥BE∴△CBE∽△CAD∴CECDBCAC949BC2+BC
解BC25(米)
1055 [解析] ∵∠DEF∠DCB90°∠EDF∠CDB∴△DEF∽△DCB∴DCDEBCFE
∵DE40 cm04 mEF20 cm02 mCD8 m∴804BC02∴BC4(m)∴ABAC+BC15+455(m)
1155 [解析] 图作DE∥BC交FC点E
∴∠ACB∠CDE∵∠ABC∠CED90°∴△ABC∽△CED∴ABCEBCED设ABx m题意DE1046(m)EC(x22)m∴xx22106解x55检验x55列方程根符合题意两层楼间高度约55 m
12解(1)FBG F1BG
(2)∵C1D1∥AB∴△F1D1N∽△F1BG∴D1NBGF1NF1G∵CD∥AB∴△FDM∽△FBG∴DMBGFMFG∵D1NDM∴F1NF1GFMFG3GM+112GM+2解GM16(m)∵D1NBGF1NF1G∴15BG327解BG135(m)
∴ABBG+GA135+1515(m)答电线杆AB高度15 m
13解题意知∠ACB∠ECF∠ADB∠GDH∵AB⊥BCEF⊥BCGH⊥BC∴∠ABC∠EFC
∠GHD90°∴△BAC∽△FEC△ADB∽△GDH∴EFABCFBCGHABDHBD设ABx米BCy米
168x12y168x36y+10解x7y5检验x7y5列方程组解符合题意答棵松树高度7米
第2课时
1D [解析] 连接ADBC∵AOOCDOOB25∠AOD∠COB∴△AOD∽△COB∴ADBCAOCO25∵AD4 cm∴BC52AD10 cm
2C
325 [解析] ∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴DEABDCACDE751030解DE25(mm)
4[解析] ∵BC⊥ADDE⊥AD∴BC∥DEBCDEABAD构建方程解决问题解∵BC⊥ADDE⊥AD∴BC∥DE∴△ABC∽△ADE∴BCDEABAD∴115ABAB+85∴AB17(m)答河宽AB17 m
5D [解析] 设AFx cmAC3x cm∵四边形CDEF正方形∴EFCF2x cmEF∥BC∴EFBCAFAC13∴BC6x cmRt△ABC中AB(3x)2+(6x)235x(cm)∴35x30解x25∴AC65BC125∴剩余部分面积12×65×125(45)2100(cm2)选D
6解点A作AH⊥BC点H交DG点Q图易四边形DEHQ矩形∴QHDE
∵△ABC面积36∴12BC·AH36∴AH2×36126设DExQHxDGEF2xAQAHQH6x
∵DG∥BC∴△ADG∽△ABC∴DGBCAQAH2x126x6解x3∴DG2x6DG长6 cm
7B
850 [解析] 图∵AMBN水线垂直∴AM∥BN∴△ACM∽△BCN∴ACBCAMBN
∵AC∶BC5∶1∴AMBN51AM5BN∴BN≥10 cm时AM≥50 cm块石头滚动少杠杆A端压50 cm
9解(1)设EF2x cmEH5x cm∵EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴EHBCARAD5x120802x80解x15
∴EH15×575(cm)∴矩形纸片较长边EH长75 cm
(2)设正方形边长a cm(1)知ARADRD802×1550(cm)∴AK(50a)cm
题意知△APQ∽△AEH∴PQEHAKARa7550a50解a30边EH行中位线长12×75375(cm)∵375≠30∴聪剪法正确
10解(1)图示点BCD分作AN垂线段BHCFDG交AN点HFGBHCFDG求造价低道路线
(2)BEBCCE17005001200(米)AEAB2+BE29002+120021500(米)图易知△CFE∽△ABECFABCEAECFCE·ABAE500×9001500300(米)图易知△CFE∽△BHECFBHCEBEBHBE·CFCE1200×300500720(米)图易知△ABE∽△DGAABDGAEADDGAB·ADAE900×170015001020(米)720×800576000(元)300×800240000(元)
1020×800816000(元)答BCD三厂修建水道低造价分576000元240000元816000元
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基础练
知识点 1 利阳光影子测高度
1[2020·唐山路北区期末] 某时刻测根高2m竹竿影长1m时测栋建筑物影长12m栋建筑物高度 m
2图1身高16m某学生想测量棵树高度着树影BABA走走点C时影子顶端正树影子顶端重合测BC32mCA08m求树高度BD
图1
知识点 2 利标杆测高度
3[2020·天水] 图2示某校数学兴趣组利标杆BE测量建筑物高度已知标杆BE高15m测AB12mBC128m建筑物CD高 ( )
图2
A175m B17m C165m D18m
4图3(示意图)着长12cm刻度尺站离电线杆20m方手臂前伸直尺子竖直尺子两端恰遮住电线杆已知臂长40cm电线杆高度
图3
5图4九年级(1)班课外活动组利标杆测量学校旗杆AB高度已知标杆高度CD3m标杆旗杆水距离BD15m眼睛距面高度EF16m标杆CD水距离DF2m时旗杆顶端A标杆顶端C眼E恰条直线求旗杆AB高度
图4
知识点 3 利孔成求高度距离
6[教材做做变式] 图5孔成问题中点OAB距离18cm点OCD距离6cmCD长5cm物体AB长 ( )
图5
A9cm B10cm C12cm D15cm
力提升
7图6王华面放置面镜E(忽略计)测量铁塔AB高度镜子铁塔距离EB20米镜子王华距离ED2米时王华刚镜子中铁塔顶端点A已知王华眼睛距面高度CD15米铁塔AB高度 ( )
图6
A15米 B803米 C16米 D165米
8数学兴趣组颖想测量教学楼前棵树高度午课外活动时测根长1m竹竿影长08m马测量树高时发现树影子全落面部分影子落教学楼墙壁(图7)先测留墙壁影高12m测面影长26m树高 ( )
图7
A325m B425m C445m D475m
9图8阳光通窗口AB射室面留4米宽亮区DE点D窗口墙脚点C处距离9米窗口高AB2米窗口底边离面高BC 米
图8
10图9(示意图)示明学制直角三角形纸板DEF测量树高度AB调整位置设法斜边DF保持水边DE点B直线已知纸板两条直角边DE40cmEF20cm测边DF离面高度AC15mCD8m树高AB m
图9
11图10示某超市楼二楼间安装电梯天花板面行张强扛着箱子(箱子总高度约22m)电梯刚安全通根图中数计算两层楼间高度约 m
图10
12图11测量学校围墙外直立电线杆AB高度亮操场点C处直立高3m竹竿CD然退点E处时恰竹竿顶端D电线杆顶端B重合亮点C1处直立高3m竹竿C1D1然退点E1处时恰竹竿顶端D1电线杆顶端B重合已知ABCDEFC1D1E1F1面亮眼睛离面高度EF15m量CE2mEC16mC1E13m
(1)△FDM∽△ △F1D1N∽△
(2)求电线杆AB高度
图11
13图12明想镜子测量棵松树高度树旁条河直接测量镜子树间距离明两次利镜子进行测量第次镜子放点C处点F处恰镜子中见树尖A第二次镜子放点D处点H处恰镜子中树尖A已知点BCFDH条直线明眼睛距离面高度EF168米量CD10米CF12米DH36米请利数求出棵松树高度
图12
第2课时 利相似三角形测距离
基础练
知识点 1 测河宽径
1图13卡钳测量容器径示意图量卡钳AD两端点距离4cmAOOCDOOB25容器径BC长 ( )
图13
A4cm B5cm C8cm D10cm
2估算河宽度河岸岸边选定目标记点A河边选点B点CAB⊥BC然河岸选点EEC⊥BC设BCAE交点D图14示测BD120米DC60米EC50米条河宽度致 ( )
图14
A75米 B25米 C100米 D120米
3图15测量玻璃径示意图点D正10mm刻度线点A正30mm刻度线DE∥AB量AB长75mm径DE长 mm
图15
4周末华亮想学数学知识测量家门前河宽度测量时选择河岸岸边棵树底部作点A岸边选取点BAB河岸垂直点B竖起标杆BCAB延长线选择点D竖起标杆DE点E点CA线已知BC⊥ADDE⊥AD测BC1mDE15mBD85m测量示意图图16示请根相关测量信息求河宽AB
图16
知识点 2 三角形接矩形
5图17斜边长30cm直角三角形木板(Rt△ACB)中截取正方形CDEF点D边BC点E斜边AB点F边ACAF∶AC1∶3块木板截取正方形CDEF剩余部分面积 ( )
图17
A200cm2 B170cm2 C150cm2 D100cm2
6[教材例2变式] 图18△ABC面积36cm2边BC12cm矩形DEFG顶点DG分ABAC点EFBCEF2DE求DG长
图18
力提升
7图19圆桌正方盏吊灯灯光圆桌板投影面积4πm2圆已知圆桌高度1m圆桌面半径1m吊灯距圆桌面距离( )
图19
A12m B1m C4m D5m
8图20杠杆撬石头示意图C支点力压杠杆A端时杠杆绕点C转动端B翘起石头撬动现块石头滚动杠杆B端必须翘起10cm已知ACBC5∶1块石头滚动少杠杆A端压 cm
图20
9块锐角三角形卡纸余料ABC边BC120cm高AD80cm卡纸余料充分利现裁剪成邻边长2∶5矩形纸片EFGH正方形纸片PMNQ裁剪时矩形纸片较长边BC正方形纸片边矩形纸片较长边EH余顶点均分ABAC具体裁剪方式图21示
(1)求矩形纸片较长边EH长
(2)裁剪正方形纸片时聪学方法进行裁剪先着剩余余料△AEH中边EH行中位线剪刀该中位线两端点边EH作垂线剪两刀请通计算判断聪剪法否正确
图21
10某市济开发区建BCD三食品加工厂三工厂开发区A处水公司正矩形四顶点(图22)间公路相通ABCD900米ADBC1700米水公司已修条水道ANBC两厂间公路水道交点E处EC500米水道工厂水道工厂负担米造价800元
(1)修建水道造价低三工厂水道路线应样设计请图中画出
(2)求出工厂修建水道低造价少元
图22
答案
第1课时
124 [解析] 设栋建筑物高度x m题意21x12解x24栋建筑物高度24 m
2解∵BC32 mCA08 m∴AB4 m题意ACABCEBD08416BD解BD8(m)答树高度BD8 m
3A [解析] ∵EB⊥ACDC⊥AC∴EB∥DC∴△ABE∽△ACD∴ABACBECD∵BE15 mAB12 mBC128 m∴ACAB+BC14 m∴121415CD解CD175(m)建筑物CD高175 m选A
46 m [解析] 图点A作AN⊥EF点N交BC点M∵BC∥EF∴AM⊥BC点M
△ABC∽△AEF∴BCEFAMAN∵AM04 mAN20 mBC012 m∴EF012×20046(m)电线杆高度6 m
5解点E作EH⊥AB垂足H交CD点G∵CD⊥FBAB⊥FB∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE
∴CGAHEGEHCDEFAHFDFD+BD∴316AH22+15∴AH119(m)∴ABAH+HBAH+EF119+16135(m)
答旗杆AB高度135 m
6D [解析] 点O作OE⊥AB点EEO延长线交CD点F∵AB∥CD∴FO⊥CD
△COD∽△AOB∴CDABOFOE61813∴AB3CD15 cm选D
7A [解析] ∵∠CDE∠ABE90°∠CED∠AEB∴△CDE∽△ABE∴DEBECDAB∴22015AB
∴AB15(米)选A
8C [解析] 图设BDBC面影子树高x m根竹竿高影长值树高影长值相等CBBD108∵CB12 m∴BD096 m∴树落面实际影长096+26356(m)竹竿高影长值树高影长值相等x356108解445∴树高445 m
925 [解析] ∵太阳光线行光线∴AD∥BE∴△CBE∽△CAD∴CECDBCAC949BC2+BC
解BC25(米)
1055 [解析] ∵∠DEF∠DCB90°∠EDF∠CDB∴△DEF∽△DCB∴DCDEBCFE
∵DE40 cm04 mEF20 cm02 mCD8 m∴804BC02∴BC4(m)∴ABAC+BC15+455(m)
1155 [解析] 图作DE∥BC交FC点E
∴∠ACB∠CDE∵∠ABC∠CED90°∴△ABC∽△CED∴ABCEBCED设ABx m题意DE1046(m)EC(x22)m∴xx22106解x55检验x55列方程根符合题意两层楼间高度约55 m
12解(1)FBG F1BG
(2)∵C1D1∥AB∴△F1D1N∽△F1BG∴D1NBGF1NF1G∵CD∥AB∴△FDM∽△FBG∴DMBGFMFG∵D1NDM∴F1NF1GFMFG3GM+112GM+2解GM16(m)∵D1NBGF1NF1G∴15BG327解BG135(m)
∴ABBG+GA135+1515(m)答电线杆AB高度15 m
13解题意知∠ACB∠ECF∠ADB∠GDH∵AB⊥BCEF⊥BCGH⊥BC∴∠ABC∠EFC
∠GHD90°∴△BAC∽△FEC△ADB∽△GDH∴EFABCFBCGHABDHBD设ABx米BCy米
168x12y168x36y+10解x7y5检验x7y5列方程组解符合题意答棵松树高度7米
第2课时
1D [解析] 连接ADBC∵AOOCDOOB25∠AOD∠COB∴△AOD∽△COB∴ADBCAOCO25∵AD4 cm∴BC52AD10 cm
2C
325 [解析] ∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴DEABDCACDE751030解DE25(mm)
4[解析] ∵BC⊥ADDE⊥AD∴BC∥DEBCDEABAD构建方程解决问题解∵BC⊥ADDE⊥AD∴BC∥DE∴△ABC∽△ADE∴BCDEABAD∴115ABAB+85∴AB17(m)答河宽AB17 m
5D [解析] 设AFx cmAC3x cm∵四边形CDEF正方形∴EFCF2x cmEF∥BC∴EFBCAFAC13∴BC6x cmRt△ABC中AB(3x)2+(6x)235x(cm)∴35x30解x25∴AC65BC125∴剩余部分面积12×65×125(45)2100(cm2)选D
6解点A作AH⊥BC点H交DG点Q图易四边形DEHQ矩形∴QHDE
∵△ABC面积36∴12BC·AH36∴AH2×36126设DExQHxDGEF2xAQAHQH6x
∵DG∥BC∴△ADG∽△ABC∴DGBCAQAH2x126x6解x3∴DG2x6DG长6 cm
7B
850 [解析] 图∵AMBN水线垂直∴AM∥BN∴△ACM∽△BCN∴ACBCAMBN
∵AC∶BC5∶1∴AMBN51AM5BN∴BN≥10 cm时AM≥50 cm块石头滚动少杠杆A端压50 cm
9解(1)设EF2x cmEH5x cm∵EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴EHBCARAD5x120802x80解x15
∴EH15×575(cm)∴矩形纸片较长边EH长75 cm
(2)设正方形边长a cm(1)知ARADRD802×1550(cm)∴AK(50a)cm
题意知△APQ∽△AEH∴PQEHAKARa7550a50解a30边EH行中位线长12×75375(cm)∵375≠30∴聪剪法正确
10解(1)图示点BCD分作AN垂线段BHCFDG交AN点HFGBHCFDG求造价低道路线
(2)BEBCCE17005001200(米)AEAB2+BE29002+120021500(米)图易知△CFE∽△ABECFABCEAECFCE·ABAE500×9001500300(米)图易知△CFE∽△BHECFBHCEBEBHBE·CFCE1200×300500720(米)图易知△ABE∽△DGAABDGAEADDGAB·ADAE900×170015001020(米)720×800576000(元)300×800240000(元)
1020×800816000(元)答BCD三厂修建水道低造价分576000元240000元816000元
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