第八章 单元测试卷
选择题(题12题题5分60分．题中项符合题目求)
1．设ab两条直线αβ两面列命题错误( )
A．a⊥αb∥αa⊥b
B．a⊥αb∥ab⊂βα⊥β
C．a⊥αb⊥βα∥βa∥b
D．a∥αa∥βα∥β
答案 D
解析 题意ABC选项显然正确选项D：αβ相交aαβ交线行时a∥αa∥β时αβ行．选D
2．图示正方体ABCD－A1B1C1D1中MN分BC1CD1中点列说法错误( )
A．MNCC1垂直
B．MNAC垂直
C．MNBD行
D．MNA1B1行
答案 D
解析 连接C1DBD∵ND1C中点∴NC1D中点∴MN∥BD∵CC1⊥BD∴CC1⊥MNAC正确．∵AC⊥BDMN∥BD∴MN⊥ACB正确选D
3．球心距离1面截球截面面积π球体积( )
A B
C．8π D
答案 B
解析 S圆＝πr2＝1⇒r＝1截面圆圆心球心距离d＝1∴球半径R＝＝
∴V＝πR3＝选B
4．某长方体面截体三视图图示体体积( )
A．4 B．2
C D．8
答案 D
解析 三视图知该体图示底面正方形正方形边长2HD＝3BF＝1相两体放起构成高4长方体该体体积×2×2×4＝8
5图示正四棱锥P－ABCD底面积3体积E侧棱PC中点PABE成角( )
A B
C D
答案 C
解析 连接ACBD交点O连接OE易OE∥PA
∴求角∠BEO
条件易OB＝OE＝PA＝BE＝
∴cos∠OEB＝∴∠OEB＝60°选C
6．直三棱柱ABC－A1B1C1直观图三视图图示DAC中点列命题假命题( )
A．AB1∥面BDC1
B．A1C⊥面BDC1
C．直三棱柱体积V＝4
D．直三棱柱外接球表面积4π
答案 D
解析 三视图知直三棱柱ABC－A1B1C1侧面B1C1CB边长2正方形底面ABC等腰直角三角形AB⊥BCAB＝BC＝2连接B1C交BC1点O连接AB1OD△CAB1中OD分B1CAC中点∴OD∥AB1∴AB1∥面BDC1A正确．
直三棱柱ABC－A1B1C1中AA1⊥面ABC
∴AA1⊥BDAB＝BC＝2DAC中点
∴BD⊥AC∴BD⊥面AA1C1C
∴BD⊥A1CA1B1⊥B1C1A1B1⊥B1B
∴A1B1⊥面B1C1CB∴A1B1⊥BC1
∵BC1⊥B1CA1B1∩B1C＝B1∴BC1⊥面A1B1C
∴BC1⊥A1C∴A1C⊥面BDC1
B正确．V＝S△ABC×C1C＝×2×2×2＝4∴C正确．
直三棱柱外接球半径表面积12πD错误．选D
7．面四边形ABCD中AD＝AB＝CD＝CB＝AD⊥AB现△ABD着角线BD翻折成△A′BD△A′BD折起转面BCD程中直线A′C面BCD成角正切值( )
A．1 B
C D
答案 C
解析 图示OA＝1OC＝2A′C圆相切时直线A′C面BCD成角角30°正切值选C
8．圆锥顶点面截较部分余体三视图图该体表面积( )
A＋＋＋1 B．2＋3π＋＋1
C＋＋ D＋＋＋1
答案 A
解析 原直观图图示圆锥高2底面半径圆锥母线长该体表面积S＝×2×＋×2π×××＋π×()2×＋×2×1＝＋＋＋1
9．二面角棱AB两点直线ACBD分二面角两半面垂直AB已知AB＝4AC＝6BD＝8CD＝2该二面角( )
A．150° B．45°
C．60° D．120°
答案 C
解析 条件知·＝0·＝0
＝＋＋
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈〉＝(2)2∴cos〈〉＝－〈〉＝120°∴二面角60°选C
10．已知某体三视图图(视图弧线半圆)根图中标出数体体积( )
A．288＋36π B．60π
C．288＋72π D．288＋18π
答案 A
解析 体三视图转化直观图
体面长方体面半圆柱根三视图标数
V长方体＝6×8×6＝288
V半圆柱＝×32×π×8＝36π
∴体体积V＝288＋36π
11．正方体ABCD－A1B1C1D1中E棱BB1中点GDD1中点FBC点FB＝BCGBEF成角( )
A．30° B．120°
C．60° D．90°
答案 D
解析 方法：连D1ED1F解三角形D1EF．
方法二：图建立直角坐标系D－xyz
设DA＝1已知条件
G(00)B(110)E(11)F(10)＝(11－)＝(－0－)．
cos〈〉＝＝0⊥选D
12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长1点P线段BD1∠APC时三棱锥P－ABC体积( )
A B
C D
答案 B
解析 B坐标原点BAx轴BCy轴BB1z轴建立空间直角坐标系设＝λP(λλλ)cos∠APC＝求λ＝时∠APCVP－ABC＝××1×1×＝
二填空题(题4题题5分20分答案填题中横线)
13．已知四命题：
①直线l∥面α直线l垂线必行面α
②直线l面α相交面直线l面α垂直
③三棱锥两相邻侧面成角相等三棱锥正三棱锥
④四棱柱意两条角线相交互相分四棱柱行六面体．
中正确命题________．
答案 ④
解析 ④正确右图A1CB1D互相分四边形A1B1CD行四边形理四边形ABC1D1行四边形A1B1綊AB綊CD四边形ABCD行四边形进四棱柱行六面体．
14．(2013·江苏)图示三棱柱A1B1C1－ABC中DEF分ABACAA1中点设三棱锥F－ADE体积V1三棱柱A1B1C1－ABC体积V2V1∶V2＝________
答案 1∶24
解析 题意知点F面ABC距离点A1面ABC距离1∶2S△ADE∶S△ABC＝1∶4
V1∶V2＝＝1∶24
15．已知正三棱锥P－ABC点PABC半径球面PAPBPC两两相互垂直球心截面ABC距离________．
答案
解析 正三棱锥P－ABC作正方体PADC－BEFG截图示PF三棱锥P－ABC外接球直径PF⊥面ABC
设正方体棱长a3a2＝12a＝2AB＝AC＝BC＝2
S△ABC＝×2×2×＝2
VP－ABC＝VB－PAC·h·S△ABC＝××2×2×2h＝球心面ABC距离
16图示体面展开图中ABCD正方形EF分PAPD中点体中出面四结：
①直线BE直线CF异面
②直线BE直线AF异面
③直线EF∥面PBC
④面BCE⊥面PAD
中正确______．
答案 2
解析 体展开图拼成体(图)EF分PAPD中点EF∥AD∥BC直线BECF面①错B∉面PADE∈面PADE∉AFBEAF异面直线②正确EF∥AD∥BCEF⊄面PBCBC⊂面PBCEF∥面PBC③正确面PAD面BCE定垂直④错．
三解答题(题6题70分解答应写出文字说明证明程演算步骤)
17．(题满分10分)右图简单组合体底面ABCD正方形PD⊥面ABCDEC∥PDPD＝AD＝2EC＝2
(1)请画出该体三视图
(2)求四棱锥B－CEPD体积．
答案 (1)略 (2)2
解析 (1)该组合体三视图右图示．
(2)PD⊥面ABCDPD⊂面PDCE
面PDCE⊥面ABCD
四边形ABCD正方形
BC⊥CDBC＝DC＝AD＝2
面PDCE∩面ABCD＝CDBC⊂面ABCD
BC⊥面PDCE
PD⊥面ABCDDC⊂面ABCD
PD⊥DC
EC∥PDPD＝2EC＝1
四边形PDCE直角梯形面积
S梯形PDCE＝(PD＋EC)×DC＝×3×2＝3
四棱锥B－CEPD体积
VB－CEPD＝S梯形PDCE×BC＝×3×2＝2
18．(题满分12分)图示四棱锥P－ABCD中底面ABCD行四边形∠ADC＝45°AD＝AC＝1OAC中点PO⊥面ABCDPO＝2MPD中点．
(1)证明：PB∥面ACM
(2)证明：AD⊥面PAC
(3)求直线AM面ABCD成角正切值．
答案 (1)略 (2)略 (3)
解析 (1)连接BDMO行四边形ABCD中OAC中点OBD中点．MPD中点PB∥MOPB⊄面ACMMO⊂面ACMPB∥面ACM
(2)∠ADC＝45°
AD＝AC＝1
∠DAC＝90°AD⊥ACPO⊥面ABCD
AD⊂面ABCDPO⊥ADAC∩PO＝OAD⊥面PAC
(3)取DO中点N连接MNANMPD中点MN∥POMN＝PO＝1PO⊥面ABCDMN⊥面ABCD∠MAN直线AM面ABCD成角．Rt△DAO中AD＝1AO＝DO＝AN＝DO＝Rt△ANM中tan∠MAN＝＝＝直线AM面ABCD成角正切值
19．(题满分12分)图示四棱锥P－ABCD中PA⊥面ABCD四边形ABCD正方形AB＝4PA＝3A点PD射影G点E点AB面PEC⊥面PCD
(1)求证：AG∥面PEC
(2)求AE长
(3)求二面角E－PC－A正弦值．
答案 (1)略 (2) (3)
解析 (1)证明：∵PA⊥面ABCD∴PA⊥CD
∵CD⊥ADPA∩AD＝A
∴CD⊥面PAD∴CD⊥AG
PD⊥AG∴AG⊥面PCD
作EF⊥PC点F连接GF
∵面PEC⊥面PCD
∴EF⊥面PCD∴EF∥AG
AG⊄面PECEF⊂面PEC
∴AG∥面PEC
(2)解：(1)知AEFG四点面
AE∥CDAE⊄面PCDCD⊂面PCD
∴AE∥面PCD
∵面AEFG∩面PCD＝GF∴AE∥GF
(1)知EF∥AG
∴四边形AEFG行四边形∴AE＝GF
∵PA＝3AD＝4∴PD＝5AG＝
PA2＝PG·PD∴PG＝
＝∴GF＝＝∴AE＝
(3)解：E作EO⊥AC点O连接OF易知EO⊥面PACEF⊥PC∴OF⊥PC
∴∠EFO二面角E－PC－A面角．
EO＝AE·sin45°＝×＝EF＝AG＝
∴sin∠EFO＝＝×＝
20．(题满分12分)图示△BCD△MCD边长2正三角形面MCD⊥面BCDAB⊥面BCDAB＝2
(1)求证：AB∥面MCD
(2)求面ACM面BCD成二面角正弦值．
答案 (1)略 (2)
解析 (1)证明：取CD中点O△MCD正三角形MO⊥CD
面MCD⊥面BCDMO⊥面BCD
AB⊥面BCD
AB∥MOAB⊄面MCDMO⊂面MCD
AB∥面MCD
(2)连接OBOB⊥CDMO⊥面BCD
取O原点直线OCBOOMx轴y轴z轴建立空间直角坐标系图示．
OB＝OM＝点坐标分C(100)M(00)B(0－0)A(0－2)．
＝(－10)＝(－1－2)．
设面ACM法量n1＝(xyz)
解x＝zy＝z取z＝1n1＝(11)．
面BCD法量n2＝(001)
cos〈n1n2〉＝＝
设求二面角θsinθ＝
21．(题满分12分)
圆锥PO图①示图②正()视图．已知圆O直径ABC圆周异AB点DAC中点．
(1)求该圆锥侧面积S
(2)求证：面PAC⊥面POD
(3)∠CAB＝60°三棱锥A－PBC中求点A面PBC距离．
答案 (1)π (2)略 (3)
解析 (1)圆锥正视图知圆锥高h＝底面半径r＝1母线长l＝圆锥侧面积S＝l·2πr＝××2π×1＝π
(2)证明：AB圆O直径AC⊥BCOD分ABAC中点OD∥BCOD⊥AC
PO⊥面ABCAC⊥PO
PO∩OD＝OPOOD⊂面PODAC⊥面POD
AC⊂面PAC面PAC⊥面POD
(3)∠CAB＝60°AB＝2BC＝AC＝1S△ABC＝
PO＝OC＝OB＝1S△PBC＝
设A面PBC距离hVP－ABC＝VA－PBCS△ABC·PO＝S△PBC·h解h＝
22．(题满分12分)图示正三棱柱ABC－A1B1C1底面边长2侧棱长DAC中点．
(1)求证：B1C∥面A1BD
(2)求二面角A1－BD－A
(3)线段AA1否存点E面B1C1E⊥面A1BD？存求出AE长存说明理．
答案 (1)略 (2) (3)存AE＝
解析 (1)图①示连接AB1交A1B点M连接B1CDM
三棱柱ABC－A1B1C1正三棱柱四边形AA1B1B矩形MAB1中点．
DAC中点MD三角形AB1C中位线MD∥B1C
MD⊂面A1BDB1C⊄面A1BDB1C∥面A1BD
(2)作CO⊥AB点OCO⊥面ABB1A1正三棱柱ABC－A1B1C1中建立图②示空间直角坐标系O－xyz
AB＝2AA1＝DAC中点A(100)B(－100)C(00)A1(10)．
D(0)＝(0)＝(20)．
设n＝(xyz)面A1BD法量
令x＝－y＝2z＝3
n＝(－23)面A1BD法量．
题意知＝(00)面ABD法量
cos〈n〉＝＝二面角A1－BD－A
(3)设E(1y0)＝(1y－－)＝(－10－)．设面B1C1E法量n1＝(x1y1z1)
令z1＝－x1＝3y1＝n1＝(3－)．
n1·n＝0－3＋－3＝0解y＝
存点E面B1C1E⊥面A1BDAE＝
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选择题(题12题题5分60分．题中项符合题目求)
1．设ab两条直线αβ两面列命题错误( )
A．a⊥αb∥αa⊥b
B．a⊥αb∥ab⊂βα⊥β
C．a⊥αb⊥βα∥βa∥b
D．a∥αa∥βα∥β
答案 D
解析 题意ABC选项显然正确选项D：αβ相交aαβ交线行时a∥αa∥β时αβ行．选D
2．图示正方体ABCD－A1B1C1D1中MN分BC1CD1中点列说法错误( )
A．MNCC1垂直
B．MNAC垂直
C．MNBD行
D．MNA1B1行
答案 D
解析 连接C1DBD∵ND1C中点∴NC1D中点∴MN∥BD∵CC1⊥BD∴CC1⊥MNAC正确．∵AC⊥BDMN∥BD∴MN⊥ACB正确选D
3．球心距离1面截球截面面积π球体积( )
A B
C．8π D
答案 B
解析 S圆＝πr2＝1⇒r＝1截面圆圆心球心距离d＝1∴球半径R＝＝
∴V＝πR3＝选B
4．某长方体面截体三视图图示体体积( )
A．4 B．2
C D．8
答案 D
解析 三视图知该体图示底面正方形正方形边长2HD＝3BF＝1相两体放起构成高4长方体该体体积×2×2×4＝8
5图示正四棱锥P－ABCD底面积3体积E侧棱PC中点PABE成角( )
A B
C D
答案 C
解析 连接ACBD交点O连接OE易OE∥PA
∴求角∠BEO
条件易OB＝OE＝PA＝BE＝
∴cos∠OEB＝∴∠OEB＝60°选C
6．直三棱柱ABC－A1B1C1直观图三视图图示DAC中点列命题假命题( )
A．AB1∥面BDC1
B．A1C⊥面BDC1
C．直三棱柱体积V＝4
D．直三棱柱外接球表面积4π
答案 D
解析 三视图知直三棱柱ABC－A1B1C1侧面B1C1CB边长2正方形底面ABC等腰直角三角形AB⊥BCAB＝BC＝2连接B1C交BC1点O连接AB1OD△CAB1中OD分B1CAC中点∴OD∥AB1∴AB1∥面BDC1A正确．
直三棱柱ABC－A1B1C1中AA1⊥面ABC
∴AA1⊥BDAB＝BC＝2DAC中点
∴BD⊥AC∴BD⊥面AA1C1C
∴BD⊥A1CA1B1⊥B1C1A1B1⊥B1B
∴A1B1⊥面B1C1CB∴A1B1⊥BC1
∵BC1⊥B1CA1B1∩B1C＝B1∴BC1⊥面A1B1C
∴BC1⊥A1C∴A1C⊥面BDC1
B正确．V＝S△ABC×C1C＝×2×2×2＝4∴C正确．
直三棱柱外接球半径表面积12πD错误．选D
7．面四边形ABCD中AD＝AB＝CD＝CB＝AD⊥AB现△ABD着角线BD翻折成△A′BD△A′BD折起转面BCD程中直线A′C面BCD成角正切值( )
A．1 B
C D
答案 C
解析 图示OA＝1OC＝2A′C圆相切时直线A′C面BCD成角角30°正切值选C
8．圆锥顶点面截较部分余体三视图图该体表面积( )
A＋＋＋1 B．2＋3π＋＋1
C＋＋ D＋＋＋1
答案 A
解析 原直观图图示圆锥高2底面半径圆锥母线长该体表面积S＝×2×＋×2π×××＋π×()2×＋×2×1＝＋＋＋1
9．二面角棱AB两点直线ACBD分二面角两半面垂直AB已知AB＝4AC＝6BD＝8CD＝2该二面角( )
A．150° B．45°
C．60° D．120°
答案 C
解析 条件知·＝0·＝0
＝＋＋
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈〉＝(2)2∴cos〈〉＝－〈〉＝120°∴二面角60°选C
10．已知某体三视图图(视图弧线半圆)根图中标出数体体积( )
A．288＋36π B．60π
C．288＋72π D．288＋18π
答案 A
解析 体三视图转化直观图
体面长方体面半圆柱根三视图标数
V长方体＝6×8×6＝288
V半圆柱＝×32×π×8＝36π
∴体体积V＝288＋36π
11．正方体ABCD－A1B1C1D1中E棱BB1中点GDD1中点FBC点FB＝BCGBEF成角( )
A．30° B．120°
C．60° D．90°
答案 D
解析 方法：连D1ED1F解三角形D1EF．
方法二：图建立直角坐标系D－xyz
设DA＝1已知条件
G(00)B(110)E(11)F(10)＝(11－)＝(－0－)．
cos〈〉＝＝0⊥选D
12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长1点P线段BD1∠APC时三棱锥P－ABC体积( )
A B
C D
答案 B
解析 B坐标原点BAx轴BCy轴BB1z轴建立空间直角坐标系设＝λP(λλλ)cos∠APC＝求λ＝时∠APCVP－ABC＝××1×1×＝
二填空题(题4题题5分20分答案填题中横线)
13．已知四命题：
①直线l∥面α直线l垂线必行面α
②直线l面α相交面直线l面α垂直
③三棱锥两相邻侧面成角相等三棱锥正三棱锥
④四棱柱意两条角线相交互相分四棱柱行六面体．
中正确命题________．
答案 ④
解析 ④正确右图A1CB1D互相分四边形A1B1CD行四边形理四边形ABC1D1行四边形A1B1綊AB綊CD四边形ABCD行四边形进四棱柱行六面体．
14．(2013·江苏)图示三棱柱A1B1C1－ABC中DEF分ABACAA1中点设三棱锥F－ADE体积V1三棱柱A1B1C1－ABC体积V2V1∶V2＝________
答案 1∶24
解析 题意知点F面ABC距离点A1面ABC距离1∶2S△ADE∶S△ABC＝1∶4
V1∶V2＝＝1∶24
15．已知正三棱锥P－ABC点PABC半径球面PAPBPC两两相互垂直球心截面ABC距离________．
答案
解析 正三棱锥P－ABC作正方体PADC－BEFG截图示PF三棱锥P－ABC外接球直径PF⊥面ABC
设正方体棱长a3a2＝12a＝2AB＝AC＝BC＝2
S△ABC＝×2×2×＝2
VP－ABC＝VB－PAC·h·S△ABC＝××2×2×2h＝球心面ABC距离
16图示体面展开图中ABCD正方形EF分PAPD中点体中出面四结：
①直线BE直线CF异面
②直线BE直线AF异面
③直线EF∥面PBC
④面BCE⊥面PAD
中正确______．
答案 2
解析 体展开图拼成体(图)EF分PAPD中点EF∥AD∥BC直线BECF面①错B∉面PADE∈面PADE∉AFBEAF异面直线②正确EF∥AD∥BCEF⊄面PBCBC⊂面PBCEF∥面PBC③正确面PAD面BCE定垂直④错．
三解答题(题6题70分解答应写出文字说明证明程演算步骤)
17．(题满分10分)右图简单组合体底面ABCD正方形PD⊥面ABCDEC∥PDPD＝AD＝2EC＝2
(1)请画出该体三视图
(2)求四棱锥B－CEPD体积．
答案 (1)略 (2)2
解析 (1)该组合体三视图右图示．
(2)PD⊥面ABCDPD⊂面PDCE
面PDCE⊥面ABCD
四边形ABCD正方形
BC⊥CDBC＝DC＝AD＝2
面PDCE∩面ABCD＝CDBC⊂面ABCD
BC⊥面PDCE
PD⊥面ABCDDC⊂面ABCD
PD⊥DC
EC∥PDPD＝2EC＝1
四边形PDCE直角梯形面积
S梯形PDCE＝(PD＋EC)×DC＝×3×2＝3
四棱锥B－CEPD体积
VB－CEPD＝S梯形PDCE×BC＝×3×2＝2
18．(题满分12分)图示四棱锥P－ABCD中底面ABCD行四边形∠ADC＝45°AD＝AC＝1OAC中点PO⊥面ABCDPO＝2MPD中点．
(1)证明：PB∥面ACM
(2)证明：AD⊥面PAC
(3)求直线AM面ABCD成角正切值．
答案 (1)略 (2)略 (3)
解析 (1)连接BDMO行四边形ABCD中OAC中点OBD中点．MPD中点PB∥MOPB⊄面ACMMO⊂面ACMPB∥面ACM
(2)∠ADC＝45°
AD＝AC＝1
∠DAC＝90°AD⊥ACPO⊥面ABCD
AD⊂面ABCDPO⊥ADAC∩PO＝OAD⊥面PAC
(3)取DO中点N连接MNANMPD中点MN∥POMN＝PO＝1PO⊥面ABCDMN⊥面ABCD∠MAN直线AM面ABCD成角．Rt△DAO中AD＝1AO＝DO＝AN＝DO＝Rt△ANM中tan∠MAN＝＝＝直线AM面ABCD成角正切值
19．(题满分12分)图示四棱锥P－ABCD中PA⊥面ABCD四边形ABCD正方形AB＝4PA＝3A点PD射影G点E点AB面PEC⊥面PCD
(1)求证：AG∥面PEC
(2)求AE长
(3)求二面角E－PC－A正弦值．
答案 (1)略 (2) (3)
解析 (1)证明：∵PA⊥面ABCD∴PA⊥CD
∵CD⊥ADPA∩AD＝A
∴CD⊥面PAD∴CD⊥AG
PD⊥AG∴AG⊥面PCD
作EF⊥PC点F连接GF
∵面PEC⊥面PCD
∴EF⊥面PCD∴EF∥AG
AG⊄面PECEF⊂面PEC
∴AG∥面PEC
(2)解：(1)知AEFG四点面
AE∥CDAE⊄面PCDCD⊂面PCD
∴AE∥面PCD
∵面AEFG∩面PCD＝GF∴AE∥GF
(1)知EF∥AG
∴四边形AEFG行四边形∴AE＝GF
∵PA＝3AD＝4∴PD＝5AG＝
PA2＝PG·PD∴PG＝
＝∴GF＝＝∴AE＝
(3)解：E作EO⊥AC点O连接OF易知EO⊥面PACEF⊥PC∴OF⊥PC
∴∠EFO二面角E－PC－A面角．
EO＝AE·sin45°＝×＝EF＝AG＝
∴sin∠EFO＝＝×＝
20．(题满分12分)图示△BCD△MCD边长2正三角形面MCD⊥面BCDAB⊥面BCDAB＝2
(1)求证：AB∥面MCD
(2)求面ACM面BCD成二面角正弦值．
答案 (1)略 (2)
解析 (1)证明：取CD中点O△MCD正三角形MO⊥CD
面MCD⊥面BCDMO⊥面BCD
AB⊥面BCD
AB∥MOAB⊄面MCDMO⊂面MCD
AB∥面MCD
(2)连接OBOB⊥CDMO⊥面BCD
取O原点直线OCBOOMx轴y轴z轴建立空间直角坐标系图示．
OB＝OM＝点坐标分C(100)M(00)B(0－0)A(0－2)．
＝(－10)＝(－1－2)．
设面ACM法量n1＝(xyz)
解x＝zy＝z取z＝1n1＝(11)．
面BCD法量n2＝(001)
cos〈n1n2〉＝＝
设求二面角θsinθ＝
21．(题满分12分)
圆锥PO图①示图②正()视图．已知圆O直径ABC圆周异AB点DAC中点．
(1)求该圆锥侧面积S
(2)求证：面PAC⊥面POD
(3)∠CAB＝60°三棱锥A－PBC中求点A面PBC距离．
答案 (1)π (2)略 (3)
解析 (1)圆锥正视图知圆锥高h＝底面半径r＝1母线长l＝圆锥侧面积S＝l·2πr＝××2π×1＝π
(2)证明：AB圆O直径AC⊥BCOD分ABAC中点OD∥BCOD⊥AC
PO⊥面ABCAC⊥PO
PO∩OD＝OPOOD⊂面PODAC⊥面POD
AC⊂面PAC面PAC⊥面POD
(3)∠CAB＝60°AB＝2BC＝AC＝1S△ABC＝
PO＝OC＝OB＝1S△PBC＝
设A面PBC距离hVP－ABC＝VA－PBCS△ABC·PO＝S△PBC·h解h＝
22．(题满分12分)图示正三棱柱ABC－A1B1C1底面边长2侧棱长DAC中点．
(1)求证：B1C∥面A1BD
(2)求二面角A1－BD－A
(3)线段AA1否存点E面B1C1E⊥面A1BD？存求出AE长存说明理．
答案 (1)略 (2) (3)存AE＝
解析 (1)图①示连接AB1交A1B点M连接B1CDM
三棱柱ABC－A1B1C1正三棱柱四边形AA1B1B矩形MAB1中点．
DAC中点MD三角形AB1C中位线MD∥B1C
MD⊂面A1BDB1C⊄面A1BDB1C∥面A1BD
(2)作CO⊥AB点OCO⊥面ABB1A1正三棱柱ABC－A1B1C1中建立图②示空间直角坐标系O－xyz
AB＝2AA1＝DAC中点A(100)B(－100)C(00)A1(10)．
D(0)＝(0)＝(20)．
设n＝(xyz)面A1BD法量
令x＝－y＝2z＝3
n＝(－23)面A1BD法量．
题意知＝(00)面ABD法量
cos〈n〉＝＝二面角A1－BD－A
(3)设E(1y0)＝(1y－－)＝(－10－)．设面B1C1E法量n1＝(x1y1z1)
令z1＝－x1＝3y1＝n1＝(3－)．
n1·n＝0－3＋－3＝0解y＝
存点E面B1C1E⊥面A1BDAE＝
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