题组层级快练(八十九)
1．(2014·天津)图△ABC圆接三角形∠BAC分线交圆点D交BC点E点B圆切线AD延长线交点F述条件出列四结：①BD分∠CBF②FB2＝FD·FA③AE·CE＝BE·DE④AF·BD＝AB·BF
正确结序号( )
A．①② B．③④
C．①②③ D．①②④
答案 D
解析 ∠BAD＝∠FBD∠DBC＝∠DACAE分∠BAC∠BAD＝∠DAC∠FBD＝∠DBCBD分∠CBF结①正确易证△ABF∽△BDF＝AB·BF＝AF·BD结④正确＝BF2＝AF·DF结②正确选D
2．图∠ACB＝90°CD⊥AB点DBD直径圆BC交点E( )
A．CE·CB＝AD·DB
B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D．CE·EB＝CD2
答案 A
解析 ∵CD⊥AB∴BD直径圆CD相切．
∴CD2＝CE·CB
Rt△ABC中CD斜边AB高
CD2＝AD·DB
CE·CB＝AD·DB
3图示半径2⊙O中∠AOB＝90°DOB中点AD延长线交⊙O点E线段DE长( )
A B
C D
答案 C
解析 延长BO交圆O点FDOB中点知DF＝3DB＝1∠AOB＝90°AD＝相交弦定理知AD·DE＝DF·DBDE＝3×1解DE＝
4图示EC分∠A两边点CE直径⊙O交∠A两边DB∠A＝45°△AEC△ABD面积( )
A．2∶1 B．1∶2
C∶1 D∶1
答案 A
解析 连接BE易知△ABD∽△AEC求△AEC△ABD面积求AE2∶AB2值设AB＝a∵∠A＝45°CE⊙O直径
∴∠CBE＝∠ABE＝90°
∴BE＝AB＝a∴AE＝a
∴AE2∶AB2＝2a2∶a2
∴AE2∶AB2＝2∶1∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1
5．(2014·陕西)图△ABC中BC＝6BC直径半圆分交ABAC点EFAC＝2AEEF＝________
答案 3
解析 ∵BCFE四点圆
∴∠AEF＝∠ACB∠A＝∠A∴△AEF∽△ACB
∴＝＝∴EF＝3
6．(2014·湖南理)图已知ABBC⊙O两条弦AO⊥BCAB＝BC＝2⊙O半径等________．
答案
解析 设AOBC交点D已知DBC中点直角三角形ABD中AD＝＝1设圆半径r延长AO交圆O点E圆相交弦定理知BD·CD＝AD·DE()2＝2r－1解r＝
7．(2014·重庆理)圆外点P作圆切线PA(A切点)作割线PBC次交圆BCPA＝6AC＝8BC＝9AB＝________
答案 4
解析 题意△PAC∽△PBA＝＝＝＝解PB＝3AB＝4
8．(2015·广州综合测试)图PC圆O切线切点C直线PA圆O交AB两点∠APC角分线交弦CACBDE两点已知PC＝3PB＝2值________．
答案
解析 切割线定理PC2＝PA·PB⇒PA＝＝＝PC切圆O点C弦切角定理知∠PCB＝∠PADPD∠APC角分线∠CPE＝∠APD△PCE∽△PAD相似三角形＝＝＝3×＝
9(2015·陕西咸阳二模)图已知∠BAC角分线BC相交点D△ABC外接圆切线AEBC延长线相交点EEB＝8EC＝2DE＝________
答案 4
解析 根弦切角定理∠ABC＝∠EAC线段AD∠BAC角分线∠BAD＝∠DAC∠ADE＝∠ABC＋∠BAD∠EDA＝∠EAD△ADE等腰三角形DE＝AE△ACE△ABE中∠EAC＝∠ABC∠AEC＝∠AEB△CAE∽△ABE＝⇒AE＝4DE＝AE＝4
10．(2015·湖北黄冈模拟)已知点C圆O直径BE延长线直线CA圆O相切点A∠ACB角分线分交ABAEDF两点∠ACB＝20°∠AFD＝________
答案 45°
解析 AC圆切线弦切角定理∠B＝∠EAC
CD分∠ACB∠ACD＝∠BCD
∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD
根三角形外角定理∠ADF＝∠AFD
BE圆O直径∠BAE＝90°
△ADF等腰直角三角形．
∠ADF＝∠AFD＝45°
11．(2015·北京丰台模)图已知圆两条弦ABCD相交点FEAB延长线点DF＝CF＝AF∶FB∶BE＝4∶2∶1CE圆相切线段CE长________．
答案
解析 相交弦定理知AF·FB＝DF·CF＝2AF∶FB＝4∶2AF＝2FB＝1BE＝CE2＝BE·AE＝BE·(AF＋FB＋BE)＝×＝CE＝
12．(2014·江苏)图AB圆O直径CD圆O位AB异侧两点．证明：∠OCB＝∠D
证明 BC圆O两点OB＝OC∠OCB＝∠B
CD圆O位AB异侧两点
∠B∠D弧两圆周角．
∠B＝∠D∠OCB＝∠D
13．(2014·新课标全国Ⅰ)图四边形ABCD⊙O接四边形AB延长线DC延长线交点ECB＝CE
(1)证明：∠D＝∠E
(2)设AD⊙O直径AD中点MMB＝MC证明：△ADE等边三角形．
证明 (1)题设知ABCD四点圆∠D＝∠CBE
已知∠CBE＝∠E∠D＝∠E
(2)设BC中点N连接MNMB＝MC知MN⊥BCO直线MN．
AD⊙O直径MAD中点
OM⊥ADMN⊥AD
AD∥BC∠A＝∠CBE
∠CBE＝∠E∠A＝∠E
(1)知∠D＝∠E△ADE等边三角形．
14(2015·江苏南京盐城二模)图△ABC圆接三角形AB＝ACBD圆弦BD∥AC点A作圆切线DB延长线交点EADBC交点F
(1)求证：四边形ACBE行四边形
(2)AE＝6BD＝5求线段CF长．
答案 (1)略 (2)
解析 (1)证明：AE圆相切点A
∠BAE＝∠ACB
AB＝AC∠ABC＝∠ACB
∠ABC＝∠BAE
AE∥BC
BD∥AC四边形ACBE行四边形．
(2)AE圆相切点A
AE2＝EB·(EB＋BD)．
62＝EB·(EB＋5)解BE＝4
根(1)AC＝BE＝4BC＝AE＝6
设CF＝xBD∥AC＝
＝解x＝CF＝
15图AB圆O直径CF圆O点CA∠BAF角分线．点C作CD⊥AF交AF延长线点DCM⊥AB垂足点M
(1)求证：DC圆O切线
(2)求证：AM·MB＝DF·DA
证明 (1)连接OC图∠OAC＝∠OCA
∵CA∠BAF角分线∴∠OAC＝∠FAC
∴∠FAC＝∠OCA∴OC∥AD
∵CD⊥AF∴CD⊥OC
DC圆切线．
(2)图连接BCRt△ACB中CM⊥AB
CM2＝AM·MBDC圆O切线
DC2＝DF·DA易知△AMC≌△ADC
DC＝CMAM·MB＝DF·DA
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1．(2014·天津)图△ABC圆接三角形∠BAC分线交圆点D交BC点E点B圆切线AD延长线交点F述条件出列四结：①BD分∠CBF②FB2＝FD·FA③AE·CE＝BE·DE④AF·BD＝AB·BF
正确结序号( )
A．①② B．③④
C．①②③ D．①②④
答案 D
解析 ∠BAD＝∠FBD∠DBC＝∠DACAE分∠BAC∠BAD＝∠DAC∠FBD＝∠DBCBD分∠CBF结①正确易证△ABF∽△BDF＝AB·BF＝AF·BD结④正确＝BF2＝AF·DF结②正确选D
2．图∠ACB＝90°CD⊥AB点DBD直径圆BC交点E( )
A．CE·CB＝AD·DB
B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D．CE·EB＝CD2
答案 A
解析 ∵CD⊥AB∴BD直径圆CD相切．
∴CD2＝CE·CB
Rt△ABC中CD斜边AB高
CD2＝AD·DB
CE·CB＝AD·DB
3图示半径2⊙O中∠AOB＝90°DOB中点AD延长线交⊙O点E线段DE长( )
A B
C D
答案 C
解析 延长BO交圆O点FDOB中点知DF＝3DB＝1∠AOB＝90°AD＝相交弦定理知AD·DE＝DF·DBDE＝3×1解DE＝
4图示EC分∠A两边点CE直径⊙O交∠A两边DB∠A＝45°△AEC△ABD面积( )
A．2∶1 B．1∶2
C∶1 D∶1
答案 A
解析 连接BE易知△ABD∽△AEC求△AEC△ABD面积求AE2∶AB2值设AB＝a∵∠A＝45°CE⊙O直径
∴∠CBE＝∠ABE＝90°
∴BE＝AB＝a∴AE＝a
∴AE2∶AB2＝2a2∶a2
∴AE2∶AB2＝2∶1∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1
5．(2014·陕西)图△ABC中BC＝6BC直径半圆分交ABAC点EFAC＝2AEEF＝________
答案 3
解析 ∵BCFE四点圆
∴∠AEF＝∠ACB∠A＝∠A∴△AEF∽△ACB
∴＝＝∴EF＝3
6．(2014·湖南理)图已知ABBC⊙O两条弦AO⊥BCAB＝BC＝2⊙O半径等________．
答案
解析 设AOBC交点D已知DBC中点直角三角形ABD中AD＝＝1设圆半径r延长AO交圆O点E圆相交弦定理知BD·CD＝AD·DE()2＝2r－1解r＝
7．(2014·重庆理)圆外点P作圆切线PA(A切点)作割线PBC次交圆BCPA＝6AC＝8BC＝9AB＝________
答案 4
解析 题意△PAC∽△PBA＝＝＝＝解PB＝3AB＝4
8．(2015·广州综合测试)图PC圆O切线切点C直线PA圆O交AB两点∠APC角分线交弦CACBDE两点已知PC＝3PB＝2值________．
答案
解析 切割线定理PC2＝PA·PB⇒PA＝＝＝PC切圆O点C弦切角定理知∠PCB＝∠PADPD∠APC角分线∠CPE＝∠APD△PCE∽△PAD相似三角形＝＝＝3×＝
9(2015·陕西咸阳二模)图已知∠BAC角分线BC相交点D△ABC外接圆切线AEBC延长线相交点EEB＝8EC＝2DE＝________
答案 4
解析 根弦切角定理∠ABC＝∠EAC线段AD∠BAC角分线∠BAD＝∠DAC∠ADE＝∠ABC＋∠BAD∠EDA＝∠EAD△ADE等腰三角形DE＝AE△ACE△ABE中∠EAC＝∠ABC∠AEC＝∠AEB△CAE∽△ABE＝⇒AE＝4DE＝AE＝4
10．(2015·湖北黄冈模拟)已知点C圆O直径BE延长线直线CA圆O相切点A∠ACB角分线分交ABAEDF两点∠ACB＝20°∠AFD＝________
答案 45°
解析 AC圆切线弦切角定理∠B＝∠EAC
CD分∠ACB∠ACD＝∠BCD
∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD
根三角形外角定理∠ADF＝∠AFD
BE圆O直径∠BAE＝90°
△ADF等腰直角三角形．
∠ADF＝∠AFD＝45°
11．(2015·北京丰台模)图已知圆两条弦ABCD相交点FEAB延长线点DF＝CF＝AF∶FB∶BE＝4∶2∶1CE圆相切线段CE长________．
答案
解析 相交弦定理知AF·FB＝DF·CF＝2AF∶FB＝4∶2AF＝2FB＝1BE＝CE2＝BE·AE＝BE·(AF＋FB＋BE)＝×＝CE＝
12．(2014·江苏)图AB圆O直径CD圆O位AB异侧两点．证明：∠OCB＝∠D
证明 BC圆O两点OB＝OC∠OCB＝∠B
CD圆O位AB异侧两点
∠B∠D弧两圆周角．
∠B＝∠D∠OCB＝∠D
13．(2014·新课标全国Ⅰ)图四边形ABCD⊙O接四边形AB延长线DC延长线交点ECB＝CE
(1)证明：∠D＝∠E
(2)设AD⊙O直径AD中点MMB＝MC证明：△ADE等边三角形．
证明 (1)题设知ABCD四点圆∠D＝∠CBE
已知∠CBE＝∠E∠D＝∠E
(2)设BC中点N连接MNMB＝MC知MN⊥BCO直线MN．
AD⊙O直径MAD中点
OM⊥ADMN⊥AD
AD∥BC∠A＝∠CBE
∠CBE＝∠E∠A＝∠E
(1)知∠D＝∠E△ADE等边三角形．
14(2015·江苏南京盐城二模)图△ABC圆接三角形AB＝ACBD圆弦BD∥AC点A作圆切线DB延长线交点EADBC交点F
(1)求证：四边形ACBE行四边形
(2)AE＝6BD＝5求线段CF长．
答案 (1)略 (2)
解析 (1)证明：AE圆相切点A
∠BAE＝∠ACB
AB＝AC∠ABC＝∠ACB
∠ABC＝∠BAE
AE∥BC
BD∥AC四边形ACBE行四边形．
(2)AE圆相切点A
AE2＝EB·(EB＋BD)．
62＝EB·(EB＋5)解BE＝4
根(1)AC＝BE＝4BC＝AE＝6
设CF＝xBD∥AC＝
＝解x＝CF＝
15图AB圆O直径CF圆O点CA∠BAF角分线．点C作CD⊥AF交AF延长线点DCM⊥AB垂足点M
(1)求证：DC圆O切线
(2)求证：AM·MB＝DF·DA
证明 (1)连接OC图∠OAC＝∠OCA
∵CA∠BAF角分线∴∠OAC＝∠FAC
∴∠FAC＝∠OCA∴OC∥AD
∵CD⊥AF∴CD⊥OC
DC圆切线．
(2)图连接BCRt△ACB中CM⊥AB
CM2＝AM·MBDC圆O切线
DC2＝DF·DA易知△AMC≌△ADC
DC＝CMAM·MB＝DF·DA
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