选择题
1.(2020·山东滨州三模)函数y=ln x图象点x=e(e然数底数)处切线方程( )
A.x+ey-1+e=0 B.x-ey+1-e=0
C.x+ey=0 D.x-ey=0
答案 D
解析 y=ln xy′=y′|x=e=x=e时y=ln e=1切线方程y-1=(x-e)整理x-ey=0选D
2已知函数y=f(x)导函数y=f′(x) 图象图示函数y=f(x)区间(ab)极值点数( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 A
解析 图区间(ab)f′(c)=0点x=c附左侧f′(x)<0右侧f′(x)>0函数y=f(x)区间(ab)1极值点选A
3.(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)=x4-2x3图象点(1f(1))处切线方程( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
答案 B
解析 ∵f(x)=x4-2x3∴f′(x)=4x3-6x2∴f(1)=-1f′(1)=-2∴求切线方程y+1=-2(x-1)y=-2x+1选B
4.已知f(x)=2x3-6x2+m(m常数)[-22]值3函数[-22]值( )
A.0 B.-5
C.-10 D.-37
答案 D
解析 题意知f′(x)=6x2-12xf′(x)=0x=0x=2x<0x>2时f′(x)>00
A B.
C.(12) D.(23)
答案 B
解析 ∵f(x)=x2-bx+a∴二次函数称轴x=结合函数图象知0
6.(2020·山东泰安二轮复质量检测)已知函数f(x)=(x-1)ex-e2x+ax极值点实数a取值范围( )
A.a≤0a≥ B.a≤0a≥
C.a≤0 D.a≥0a≤-
答案 A
解析 f(x)=(x-1)ex-e2x+ax令f′(x)=xex-ae2x+a=0x-aex+=0a=0时f′(x)=xex函数(-∞0)单调递减(0+∞)单调递增f′(0)=0函数唯极值点满足条件a≠0时=ex-e-x设g(x)=ex-e-xg′(x)=ex+e-x≥2恒成立g′(0)=2画出函数g(x)y=图象图示.根图象知≤2a<0a≥时满足条件.综述a≤0a≥选A
7.(选)直线l曲线C满足列两条件:①直线l点P(x0y0)处曲线C相切②曲线C点P附位直线l两侧称直线l点P处切曲线C列结正确( )
A.直线l:y=0点P(00)处切曲线C:y=x3
B.直线l:y=x-1点P(10)处切曲线C:y=ln x
C.直线l:y=x点P(00)处切曲线C:y=sinx
D.直线l:y=x点P(00)处切曲线C:y=tanx
答案 ACD
解析 A项y′=3x2x=0时y′=0l:y=0曲线C:y=x3点P(00)处切线.x<0时y=x3<0x>0时y=x3>0曲线C点P附位直线l两侧结正确B项y′=x=1时y′=1P(10)处切线l:y=x-1令h(x)=x-1-ln xh′(x)=1-=(x>0)x>1时h′(x)>00
8.(选)(2020·山东威海三模)已知函数f(x)定义域(0+∞)导函数f′(x)xf′(x)-f(x)=xln xf=( )
A.f′=0
B.f(x)x=处取极值
C.0
答案 ACD
解析 ∵函数f(x)定义域(0+∞)导函数f′(x)xf′(x)-f(x)=xln x满足=∵′=∴′=∴设=ln2 x+b(b常数)∴f(x)=xln2 x+bx∵f=·ln2 +=解b=∴f(x)=xln2 x+x∴f(1)=满足0
9.(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=f′(1)=a=________
答案 1
解析 f′(x)==f′(1)==整理a2-2a+1=0解a=1
10.(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)曲线f(x)=asinx+2(a∈R)点(0f(0))处切线方程y=-x+2a=________
答案 -1
解析 f(x)=asinx+2(a∈R)f′(x)=acosxx=0时f′(0)=a函数f(x)点(0f(0))处切线方程y=-x+2a=-1
11.做圆锥形漏斗母线长20 cm体积高________ cm
答案
解析 设高h cm底面半径r= cm体积V=r2h=h(400-h2)V′=(400-3h2).令V′=(400-3h2)=0解h=高 cm时圆锥体积.
12.(2020·吉林第四次调研测试)函数f(x)=mx2-ex+1(e然数底数)x=x1x=x2两处取极值x2≥2x1实数m取值范围________.
答案
解析 f(x)=mx2-ex+1f′(x)=2mx-ex
函数f(x)x=x1x=x2两处取极值
x1x2方程2mx-ex=0两等实根x2≥2x1
m=(x≠0)两等实根x1x2x2≥2x1
令h(x)=(x≠0)直线y=m曲线h(x)=两交点交点横坐标满足x2≥2x1h′(x)==
h′(x)=0x=1
x>1时h′(x)>0函数h(x)=(1+∞)单调递增
x<00
x2=2x1时=x1=ln 2
时m==x2≥2x1m≥
三解答题
13.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ex+ax2-x
(1)a=1时讨f(x)单调性
(2)x≥0时f(x)≥x3+1求a取值范围.
解 (1)a=1时f(x)=ex+x2-xf′(x)=ex+2x-1
令φ(x)=ex+2x-1
φ′(x)=ex+2>0f′(x)单调递增注意f′(0)=0
x∈(-∞0)时f′(x)<0f(x)单调递减
x∈(0+∞)时f′(x)>0f(x)单调递增.
(2)f(x)≥x3+1ex+ax2-x≥x3+1中x≥0
①x=0时等式1≥1显然成立符合题意
②x>0时分离参数aa≥-
记g(x)=-
g′(x)=-
令h(x)=ex-x2-x-1(x≥0)
h′(x)=ex-x-1
令H(x)=ex-x-1H′(x)=ex-1≥0
h′(x)单调递增h′(x)≥h′(0)=0
函数h(x)单调递增h(x)≥h(0)=0
h(x)≥0ex-x2-x-1≥0恒成立
x∈(02)时g′(x)>0g(x)单调递增
x∈(2+∞)时g′(x)<0g(x)单调递减.
g(x)max=g(2)=
综实数a取值范围
14.(2020·山东济南6月仿真模拟)已知函数f(x)=aln (x+b)-
(1)a=1b=0求f(x)值
(2)b>0时讨f(x)极值点数.
解 (1)a=1b=0时f(x)=ln x-
时函数f(x)定义域(0+∞)f′(x)=-=
f′(x)>00
f(x)(04)单调递增(4+∞)单调递减.
f(x)max=f(4)=2ln 2-2
(2)b>0时函数f(x)定义域[0+∞)
f′(x)=-=
①a≤0时f′(x)<0意x∈(0+∞)恒成立
f(x)(0+∞)单调递减时f(x)极值点数0
②a>0时设h(x)=-x+2a-b
(ⅰ)4a2-4b≤00(ⅱ)4a2-4b>0a>时令t=(t≥0)h(t)=-t2+2at-bt1+t2=2a>0t1t2=b>0t1t20f′(x)(0+∞)2左右异号零点时f(x)极值点数2
综述a≤时f(x)极值点数0a>时f(x)极值点数2
选择题
1.(2020·山东省实验中学4月高考预测)已知函数f(x)=3x+2cosxa=f(3)b=f(2)c=f(log27)abc关系( )
A.aC.b答案 D
解析 根题意函数f(x)=3x+2cosx导函数f′(x)=3-2sinxf′(x)=3-2sinx>0R恒成立f(x)R增函数.2=log24
A.3极值点
B.3极值点
C.1极值点2极值点
D.2极值点1极值点
答案 D
解析 结合函数图象知x0函数y=g(x)-f(x)单调递增a
3.(2020·株洲市第二中学4月模拟)已知函数f(x)定义R偶函数设函数f(x)导函数f′(x)意x>02f(x)+xf′(x)>0成立( )
A.4f(-2)<9f(3) B.4f(-2)>9f(3)
C.2f(3)>3f(-2) D.3f(-3)<2f(-2)
答案 A
解析 首先令g(x)=x2f(x)g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]x>0时g′(x)>0g(x)[0+∞)增函数g(x)偶函数4f(-2)=g(-2)=g(2)
A.y=2x+1 B.y=2x+
C.y=x+1 D.y=x+
答案 D
解析 设直线l曲线y=切点(x0)x0>0函数y=导数y′=直线l斜率k=直线l方程y-=·(x-x0)x-2y+x0=0直线l圆x2+y2=相切=两边方整理5x-4x0-1=0解x0=1x0=-(舍)直线l方程x-2y+1=0y=x+选D
5.(2020·山东青岛模)已知函数f(x)=(e=2718然数底数)f(x)零点α极值点βα+β=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
答案 C
解析 ∵f(x)=∴x≥0时令f(x)=03x-9=0解x=2x<0时f(x)=xex<0恒成立∴f(x)零点α=2x≥0时f(x)=3x-9增函数[0+∞)极值点x<0时f(x)=xexf′(x)=(1+x)exx<-1时f′(x)<0x>-1时f′(x)>0∴x=-1时f(x)取极值f(x)极值点β=-1∴α+β=2-1=1选C
6.(2020·山西太原高三模拟)点M曲线G:y=3ln xM作x轴垂线l设l曲线y=交点N=P点坐标始终0称M点曲线G水黄金点曲线G水黄金点数( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 C
解析 设M(t3ln t)N==题意ln t+=0设g(t)=ln t+g′(t)=-=0
7.(选)(2020·山东济宁邹城市第中学高三五模)已知函数f(x)=x3+ax+b中ab∈R列选项中条件f(x)仅零点( )
A.a
答案 BD
解析 题知f′(x)=3x2+aAf(x)奇函数知b=0a<0f(x)存两极值点f(0)=0知f(x)三零点A错误Bb2+1≥1a≥0f′(x)≥0f(x)单调递增f(x)仅零点B正确C取b=2f′(x)=3x2-3f(x)极值f(-1)=4极值f(1)=0时f(x)两零点C错误Df(x)=x3-x+1f′(x)=3x2-1易f(x)极值f=+1>0极值f=-+1>0知f(x)仅零点D正确.选BD
8.(选)(2020·山东省实验中学4月高考预测)关函数f(x)=+ln x列判断正确( )
A.x=2f(x)极值点
B.函数y=f(x)-x1零点
C.存正实数kf(x)>kx成立
D.意两正实数x1x2x2>x1f(x1)=f(x2)x1+x2>4
答案 BD
解析 函数定义域(0+∞)函数导数f′(x)=-+=∴(02)f′(x)<0函数单调递减(2+∞)f′(x)>0函数单调递增∴x=2f(x)极值点A错误y=f(x)-x=+ln x-x∴y′=-+-1=<0函数(0+∞)单调递减f(1)-1=2+ln 1-1=1>0f(2)-2=1+ln 2-2=ln 2-1<0∴函数y=f(x)-x1零点B正确f(x)>kxk<+令g(x)=+g′(x)=令h(x)=-4+x-xln xh′(x)=-ln x∴(01)函数h(x)单调递增(1+∞)函数h(x)单调递减∴h(x)≤h(1)<0∴g′(x)<0∴g(x)=+(0+∞)单调递减函数值∴存正实数kf(x)>kx恒成立C错误令t∈(02)2-t∈(02)2+t>2令g(t)=f(2+t)-f(2-t)=+ln (2+t)--ln (2-t)=+ln g′(t)=+·=+=<0∴g(t)(02)单调递减g(t)<g(0)=0令x1=2-tf(x1)=f(x2)x2>2+tx1+x2>2-t+2+t=4x2≥4时x1+x2>4显然成立∴意两正实数x1x2x2>x1f(x1)=f(x2)x1+x2>4D正确.选BD
二填空题
9.(2020·山东高考实战演练仿真四)设函数f(x)导数f′(x)f(x)=x3+f′x2-xf′(1)=________
答案 0
解析 f(x)=x3+f′x2-xf′(x)=3x2+2f′x-1f′=3×2+2f′×-1f′=-1f(x)=x3-x2-xf′(x)=3x2-2x-1f′(1)=0
10.f(x)+3f(-x)=x3+2x+1x∈R恒成立曲线y=f(x)点(1f(1))处切线方程________.
答案 10x+4y-5=0
解析 ∵f(x)+3f(-x)=x3+2x+1①
∴f(-x)+3f(x)=-x3-2x+1②
联立①②f(x)=-x3-x+f′(x)=-x2-1
∴f′(1)=--1=-f(1)=--1+=-
∴切线方程y+=-(x-1)10x+4y-5=0
11.(2020·广东湛江模拟)x1x2函数f(x)=x2-7x+4ln x两极值点x1x2=________f(x1)+f(x2)=________
答案 2 4ln 2-
解析 f′(x)=2x-7+=0⇒2x2-7x+4=0⇒x1+x2=x1x2=2f(x1)+f(x2)=x-7x1+4ln x1+x-7x2+4ln x2=(x1+x2)2-2x1x2-7(x1+x2)+4ln (x1x2)=4ln 2-
12.(2020·山东济宁嘉祥县高三考前训练二)已知函数f(x)导函数f′(x)意实数xf′(x)=-f(x)(e然数底数)f(0)=1关x等式f(x)-m<0解集中恰两整数实数m取值范围________.
答案 (-e0]
解析 ∵f′(x)=-f(x)
∴[f′(x)+f(x)]ex=2x+3
[f(x)ex]′=2x+3
设f(x)ex=x2+3x+c
∴f(x)=
∵f(0)=1∴c=1
∴f(x)=
∴f′(x)==-
f′(x)>0-2
∴函数f(x)(-21)单调递增(-∞-2)(1+∞)单调递减图示.
x=-2时f(x)min=-e2f(-1)=-ef(-3)=e3x>0时f(x)>0图象知等式f(x)
三解答题
13.(2020·江苏高考)某准备山谷中建座桥梁桥址位置竖直截面图图示谷底O水线MN桥ABMN行OO′铅垂线(O′AB).测量左侧曲线AO点DMN距离h1(米)DOO′距离a(米)间满足关系式h1=a2右侧曲线BO点FMN距离h2(米)FOO′距离b(米)间满足关系式h2=-b3+6b已知点BOO′距离40米.
(1)求桥AB长度
(2)计划谷底两侧建造行OO′桥墩CDEFCE80米中CEAB(包括端点).桥墩EF米造价k(万元)桥墩CD米造价k(万元)(k>0).问O′E少米时桥墩CDEF总造价低?
解 (1)题意|O′A|2=-×403+6×40
∴|O′A|=80
∴|AB|=|O′A|+|O′B|=80+40=120
答:桥AB长度120米.
(2)设|O′E|=x总造价f(x)万元|O′O|=×802=160
f(x)=k+k
=k(0<x<40)
∴f′(x)=k令f′(x)=0x=20(x=0舍).
0<x<20时f′(x)<020<x<40时f′(x)>0
x=20时f(x)取值.
答:O′E=20米时桥墩CDEF总造价低
14(2020·四川成石室中学诊)设函数f(x)=x-sinxx∈g(x)=+cosx+2m∈R
(1)证明:f(x)≤0
(2)x∈时等式g(x)≥恒成立求m取值范围.
解 (1)证明:f′(x)=-cosxx∈单调递增
f′(x)∈
存唯x0∈f′(x0)=0
x∈(0x0)时f′(x)<0f(x)单调递减
x∈时f′(x)>0f(x)单调递增.
f(x)max=max=0f(x)≤0
(2)g′(x)=-sinx+m
令h(x)=-sinx+mh′(x)=-cosx+m
m≥0时m≤0(1)中结知-sinx≤0
g′(x)≤0g(x)x∈单调递减
g(x)min=g=满足题意.
-
存唯x1∈ h′(x1)=0
x∈(0x1)时h′(x)<0g′(x)单调递减
x∈时h′(x)>0g′(x)单调递增.
g′(0)=-m>0g′=0
存唯x2∈g′(x2)=0
x∈(0x2)时g′(x)>0g(x)单调递增
x∈时g′(x)<0g(x)单调递减.
0≤x≤时g(x)≥恒成立
⇒m≥≤m<0
m≤-x∈时h′(x)≤0x∈时
g′(x)单调递减g′=0g′(x)≥0
g(x)x∈单调递增g(x)≤g=题意矛盾.
综m取值范围
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