辅助圆思想
题型:顶点等线段
例1 中中点线段动点线段绕点时针旋转线段.
⑴ 点点重合(图1)线段延长线交射线点请补全图形写出度数
⑵ 图2中点点重合线段延长线射线交点猜想(含代数式表示)加证明
(2012年北京中考节选)
解析 ⑴ 图略.
⑵ 图连接
根称性知
圆心长半径作
∴.
例2 已知:中中.连接点分中点.
⑴ 图1三点直线形状
___________时________
⑵ 图2三点直线证明计算值(含式子表示)
(海淀模)
解析 ⑴ 等边三角形1
⑵ 证明:连接.
题意.
∵三点直线∴三点直线.
∴.
∵中点∴中.
中.
∴.
∴四点圆心半径圆.
∴.
∵∴.
∴.∴.
题意.
∴.∴.
Rt中.
题型二: 斜边直角三角形
∵ ∴.∴.
例3 已知分线.直角直角顶点射线移动点点重合.图直角两边分射线交点时请判断数量关系证明结
解析 数量关系相等 .
常规证法:点作垂足分点.
∵易∴
∴.
∵分线∴
∵∴.∴.
辅助圆证法:∵∴四点圆
∵分∴
∴.
例4 图四边形正方形点交外角分线求证:.
解析 连接
∵四边形正方形∴
∵外角分线∴∴
∵∴四点圆
∴∴∴.
例5 矩形ABCD中点PADAB2AP1三角板直角顶点放点P处三角板两直角边分ABBC边相交点EF连接EF.
⑴ 图点E点B重合时点F恰点C重合求时PC长
⑵ 三角板⑴中位置开始绕点P时针旋转点E点A重合时停止程中请观察探究解答:
① ∠PEF否发生变化?请说明理
② 直接写出开始停止线段EF中点路线长.
备图
(阳模)
解析 ⑴ 矩形ABCD中AP1CDAB2
∴PB .
∵
∴.
∴.
∴ △ABP∽△DPC.
∴.
∴PC2.
⑵ ① ∠PEF变.
理:点F作FG⊥AD点G.
∴四边形ABFG矩形.
∴.
∴GFAB2.
∵
∴.
∴.
∴ △APE∽△GFP
∴.
∴Rt△EPF中tan∠PEF. tan∠PEF值变.
∴∠PEF变.
②
辅助圆证法:
连接
∵∴四点圆
∴∴会发生变化.
题型三: 四点圆简单应
例6 图四边形中分线求证:.
解析 ∵∴圆接四边形
∵分∴
∴.
例7 已知:图正方形中角线绕顶点逆时针旋转()旋转角两边分交点点交点点联结.旋转程中否改变?变写出度数改变写出变化范围.
解析 ∵角线∴
∵∴四点圆
∴
∴发生改变.
例8 (海淀区20102011学年度第学期初三期末25)图△ABC中分ABAC直径△ABC外作半圆半圆中分两半圆圆心 F边BC中点点D点E分两半圆圆弧中点
⑴ 连结证明:
⑵ 图二点A分作半圆半圆切线交BD延长线CE延长线点P点Q连结PQ∠ACB90°DB5CE3求线段PQ长
⑶ 图三点A作半圆切线交CE延长线点Q点Q作直线FA垂线交BD延长线点P连结PA 证明:PA半圆切线
解析 ⑴ 图∵F分ABACBC边中点
∴F∥ACF AF∥ABF A
∴∠BF∠BAC∠CF∠BAC∴∠BF∠CF
∵点D点E分两半圆圆弧中点
∴F AEF AD∠BD 90°∠CE 90°
∴∠BD∠CE∴∠DF∠FE∴
⑵ 图二延长CAGAGAQ连接BGAE
∵点E半圆圆弧中点∴AECE3
∵AC直径∴∠AEC90°
∴∠ACE∠EAC 45°AC
∵AQ半圆切线∴CA⊥AQ∴∠CAQ90°
∴∠ACE∠AQE45°∠GAQ90°
∴AQACAG
理:∠BAP90°ABAP
∴CG∠GAB∠QAP
∴∴PQBG
∵∠ACB90°∴BC
∴BG∴PQ
⑶ 证法:图三设直线FAPQ垂足MC作CS⊥MFSB作BR⊥MFR连接DRADDM
∵FBC边中点∴∴BRCS
⑵已证∠CAQ90° ACAQ∴∠2+∠390°
∵FM⊥PQ ∴∠2+∠190°∴∠1∠3
理:∠2∠4
∴∴AMCS∴AMBR
⑵证ADBD∠ADB∠ADP90°
∴∠ADB∠ARB90° ∠ADP∠AMP90°
∴ADBR四点AB直径圆
ADPM四点AP直径圆
∠DBR+∠DAR180°∴∠5∠8 ∠6∠7
∵∠DAM+∠DAR180°∴∠DBR∠DAM
∴∴∠5∠9∴∠RDM90°
∴∠5+∠790°∴∠6+∠890°∴∠PAB90°
∴PA⊥ABAB半圆直径
∴PA半圆切线
训练1 图分切两点满足求度数.
解析 ∵切线∴
∵
∴
∴∴三点圆心半径圆.
设∴
∵∴
中
∴∴.
训练2 图分正方形边中点相交求证:.
解析 连接
∵中点∴
∴
∴
∴四点圆
∴
明显∴
∴.
训练3 图已知五边形中
.求证:.
解析 连接
∵
∴∴
∴∴四点圆.
理四点圆
∴五点圆
∵∴.
题型 顶点等线段
练1 图面直角坐标系中次函数图象轴交点轴交点点坐标连结.
⑴ 求证:等边三角形
⑵ 点线段延长线连结作垂直分线垂足点轴交点分连结.
①直接写出度数
②点线段延长线运动(点重合)度数否变化?变化请说明理变求出度数
解析 ⑴ 证明:图
∵次函数图象x轴交点A(-30)B(0).
∵C(30).∴OA=OC.
y轴⊥AC∴AB=BC.
x
O
A
B
C
1
P
E
y
1
Rt△AOB中 .∴∠BAC60°
∴△ABC等边三角形
⑵ ①答:∠AEP120°.
②解:图作EH⊥CP点H
∵y轴垂直分AC△ABC等边三角形
∴EAEC∠BEA=∠BEC=∠DEP30°.
∴∠BEH60°.
∵ED垂直分AP∴ EAEP.
∴ EA=EC=EP∴EH垂直分CP
△CEP中∠CEH∠PEH=
∵∠BEH∠BEC+∠CEH=+60°.
∴∠AEP∠AEC+∠PEC=120°.
辅助圆证法:
∵点轴∴
∵∴圆心长半径作圆该圆
∴.
题型二 斜边直角三角形
练2 图正方形中心面积正方形点求长.
解析 连接
∵正方形∴
∵∴四点圆
∴.
中
∴
设
解∴
∴.
题型三 四点圆简单应
练3 设等腰底边中点两点(点)作圆交直线点连接交圆点.求证:.
解析 连接
题意知四点圆
⑴ 线段
∵∴四点圆
∴∴.
⑵ 延长线
∵∴四点圆
∴∴.
⑶ 延长线
∵∴四点圆
∴∴
∴.
综述命题成立.
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