2019-2020学年第一学期高二数学上期中考试试卷—附答案


    期中考试 第 页,共 4 页1 2 019—2020 学年度第一学期 高二年级学段(期中)考试数学试卷 命题教师: 审题教师: 考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 的位置关系为( ) A.相交、平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面 2.已知直线 l1:(k-3)x+(4-2k)y+1=0 与 l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是( ) A.1 或 3 B.1 或 5 2 C.3 或 5 2 D.1 或 2 3.圆锥的底面半径为 1,高为 3 ,则圆锥的表面积为( ) A. B. 2 C. 3 D. 4 4.在直线 3x-4y-27=0 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标为( ) A.(5,-3) B.(9,0) C.(-3,5) D.(-5,3) 5.若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( ) A.21 B.19 C.9 D.-11 6.某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是( ) A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3 7.若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小 值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6期中考试 第 页,共 4 页2 8.正四面体 ABCD 中,E、F 分别是棱 BC、AD 的中点,则直线 DE 与平面 BCF 所成角的正 弦值为( ) A. 3 22 B. 3 3 C. 3 6 D. 2 2 9.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=4 相切于第三象限的直线方程是( ) A.x+y+2 2 =0 B.x+y+2=0 C.x+y-2=0 D.x+y-2 2 =0 10.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,BB1=4,长为 1 的线段 PQ 在棱 AA1 上移动,长为 3 的线段 MN 在棱 CC1 上移动,点 R 在棱 BB1 上移动,则四棱锥 R-PQMN 的体积是 ( ) A.12 B.10 C.6 D.不确定 11.已知 A(-2,0),B(0,2),实数 k 是常数,M,N 是圆 x2+y2+kx=0 上两个不同点,P 是圆 x2+y2+kx=0 上的动点,如果点 M,N 关于直线 x-y-1=0 对称,则 △ PAB 面积的最大值是( ) A.3- 2 B.4 C.3+ 2 D.6 12.设圆 3: 22  yxC ,直线 063:  yxl ,点   lyxP 00 , ,若存在点 CQ ,使得  60OPQ (O 为坐标原点),则 0x 的取值范围是( ) A.     1,2 1 B.     5 6,0 C. 1,0 D.     5 6,2 1 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.若圆 422  yx 与圆  006222  aayyx 的公共弦长为 32 ,则 a 的值为 _________. 14.过点  4,2P 且与圆 422  yx 相切的切线方程为____________. 15.经过直线 02  yx 与圆 042422  yxyx 的交点,且过点  0,1 的圆的方程为 ___________期中考试 第 页,共 4 页3 16.在四面体 S-ABC 中, BCAB  , 2 BCAB , 2 SCSA ,二面角 S-AC-B 的余 弦值为 3 3 ,则四面体 S-ABC 的外接球表面积为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知直线 33:  xyl . (1)求点  5,4P 关于直线l 的对称点坐标; (2)求直线l 关于点  5,4P 对称的直线方程. 18.(本小题满分 12 分)如图,AA1B1B 是圆柱的轴截面,C 是底面圆周上异于 A,B 的一 点,AA1=AB=2. (1)求证:平面 A1AC⊥平面 BA1C;(2)求 1 - 鏸ୋ 的最大值. 19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB=BC= 1 2 AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点.求证: (1)AP∥平面 BEF;(2)BE⊥平面 PAC.期中考试 第 页,共 4 页4 20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 M(0,-2),N(3,1),且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l 垂直平分 弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=2,E 为 PA 的中点. (1)求证:PC∥平面 EBD; (2)求三棱锥 C-PAD 的体积 VC-PAD; (3)在侧棱 PC 上是否存在一点 M,满足 PC⊥平面 MBD,若存在,求 PM 的长;若不存在,说明理 由. 22.(本小题满分 12 分)已知以点 C , 2 (t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O 和点 A,与 y 轴交 于点 O 和点 B,其中 O 为原点. (1)求证: △ OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 1 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C A C B C B A C C B 13. 1 14. 2x 或 01043  yx 15. 0412322  yxyx 16. 6 17. (1) 7,2 ----------------------5 分 (2) 173  xy ----------------------10 分 18.(1)证明:∵C 是底面圆周上异于 A,B 的一点,且 AB 为底面圆的直径,∴BC⊥AC. 又 AA1⊥底面 ABC,∴BC⊥AA1, 又 AC∩AA1=A,∴BC⊥平面 A1AC. 又 BC⊂平面 BA1C, ∴平面 A1AC⊥平面 BA1C. ----------------------6 分 (2)解:在 Rt△ACB 中,设 AC=x, ∴BC=√퐴퐵2-퐴퐶2 = √4-푥2(0<x<2), ∴푉퐴1-퐴퐵퐶 = 1 3S△ABC·AA1=1 3 · 1 2AC·BC·AA1=1 3 푥√4-푥2 = 1 3 √푥2(4-푥2) = 1 3 √-(푥2-2)2 + 4(0<x<2). ∵0<x<2,∴0<x2<4. ∴当 x2=2,即 x=√2时,푉퐴1-퐴퐵퐶的值最大,且푉퐴1-퐴퐵퐶的最大值为2 3. ----------------------12 分 19.证明:(1)设 AC∩BE=O,连接 OF,EC.因为 E 为 AD 的中点, 2 AB=BC=1 2AD,AD∥BC, 所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 所以 O 为 AC 的中点. 又在△PAC 中,F 为 PC 的中点,所以 AP∥OF. 又 OF⊂平面 BEF,AP⊄平面 BEF, 所以 AP∥平面 BEF. ----------------------6 分 (2)由题意知,ED∥BC,ED=BC, 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD,所以 AP⊥CD,所以 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC⊂平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC. ----------------------12 分 20.解:(1)设圆 C 的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0, { - 퐷 2 -퐸 + 1 = 0, 4-2퐸 + 퐹 = 0, 10 + 3퐷 + 퐸 + 퐹 = 0, 则有{ 퐷 = -6, 퐸 = 4, 퐹 = 4. 故圆 C 的方程为 x2+y2-6x+4y+4=0. ----------------------6 分 (2)设符合条件的实数 a 存在, 因为 l 垂直平分弦 AB,故圆心 C(3,-2)必在 l 上, 所以 l 的斜率 kPC=-2. 3 kAB=a=- 1 푘푃퐶 , 所以 a=1 2. ----------------------8 分 把直线 ax-y+1=0 即 y=ax+1,代入圆 C 的方程, 消去 y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0. 由于直线 ax-y-1=0 交圆 C 于 A,B 两点, 则 Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0, 即-2a>0,解得 a<0. 则实数 a 的取值范围是(-∞,0). 由于1 2∉(-∞,0), 故不存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB. ----------------------12 分 21.(1)证明:设 AC,BD 相交于点 F,连接 EF, ∵四棱锥 P-ABCD 底面 ABCD 为菱形, ∴F 为 AC 的中点, 又∵E 为 PA 的中点,∴EF∥PC. 又∵EF⊂平面 EBD,PC⊄平面 EBD, ∴PC∥平面 EBD. ----------------------4 分 4 (2)解:∵底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60°, ∴△ACD 是边长为 2 的正三角形, 又∵PA⊥底面 ABCD, ∴PA 为三棱锥 P-ACD 的高, ∴VC-PAD=VP-ACD=1 3S△ACD·PA=1 3 × √3 4 ×22×2=2√3 3 . ----------------------8 分 (3)解:在侧棱 PC 上存在一点 M,满足 PC⊥平面 MBD,下面给出证明. ∵四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD, ∵PA⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD, ∴BD⊥PA. ∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面 PAC, ∴BD⊥PC. 在△PBC 内,可求 PB=PC=2√2,BC=2, 在平面 PBC 内,作 BM⊥PC,垂足为 M, 设 PM=x,则有 8-x2=4-(2√2-x)2, 解得 x=3√2 2 <2√2. 连接 MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面 BDM,BD⊂平面 BDM. ∴PC⊥平面 BDM. ∴满足条件的点 M 存在,此时 PM 的长为3√2 2 . ----------------------12 分 5 22.(1)证明:∵圆 C 过原点 O, ∴OC2=t2+ 4 푡2. 设圆 C 的方程是(x-t)2+(푦- 2 푡) 2 =t2+ 4 푡2, 令 x=0,得 y1=0,y2=4 푡; 令 y=0,得 x1=0,x2=2t, ∴S△OAB=1 2OA·OB=1 2 × |4 푡|×|2t|=4, 即△OAB 的面积为定值. ----------------------6 分 (2)解:∵OM=ON,CM=CN, ∴OC 垂直平分线段 MN. ∵kMN=-2,∴kOC=1 2. ∴2 푡 = 1 2t,解得 t=2 或 t=-2. ----------------------8 分 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC=√5, 此时,C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 1 √5 < √5,圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC=√5,此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 9 √5 > √5. 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, 因此,t=-2 不符合题意,舍去. 故圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. ----------------------12 分

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