中考数学辅助线作法常考题型解析
第部分 常见辅助线做法
等腰三角形 1 作底边高构成两全等直角三角形
2 作腰高
3 底边端点作底边垂线腰延长线相交构成直角三角形
梯形
1 垂直行边
2 垂直底延长底作腰行线
3 行两条斜边
4 作两条垂直底垂线
5 延长两条斜边做成三角形
菱形
1 连接两角 2 做高
行四边形
1 垂直行边
2 作角线——行四边形分成两三角形
3 做高——形形外注意
矩形
1 角线 2 作垂线
简单什题目第位应该考虑题目求ABAC+BD类想办法作出条AB等长线段证全等说明AC+BD条AB关方考虑勾股A字形等
三角形
图中角分线两边作垂线（垂线段相等）
图折称关系现
角分线行线等腰三角形添
角分线加垂线三线合试试
线段垂直分线常两端线连
证线段倍半延长缩短试验
三角形中两中点连接成中位线
三角形中中线延长中线等中线
解题时画辅助线
①见中点引中位线见中线延长倍
题中果出中点中线考虑中点作中位线中线延长倍解决相关问题
②例线段证明中常作行线
作行线时保留结中然通中间结中联系起
③梯形问题常添加辅助线方法
1底两端点底作垂线
2底端点作腰行线
3底端点作角线行线
4腰中点作腰行线
5底端点腰中点直线底延长线相交
6作梯形中位线
7延长两腰相交
四边形
行四边形出现称中心等分点
梯形里面作高线移腰试试
行移动角线补成三角形常见
证相似线段添线行成惯
等积式子例换寻找线段关键
直接证明困难等量代换少麻烦
斜边面作高线
初中数学辅助线添加浅谈
聪明智创造条件解决问题问题条件够时添加辅助线构成新图形形成新关系分散条件集中建立已知未知桥梁问题转化解决问题解决问题常策略
．添辅助线二种情况：
1定义添辅助线：
证明二直线垂直延长相交证交角90°证线段倍半关系倍线段取中点半线段加倍证角倍半关系类似添辅助线
2基图形添辅助线：
定理相应图形 做基图形添辅助线具基图形性质基图形完整时补完整基图形添线应该做补图样防止乱添线添辅助线规律循举例：
（1）行线基图形：
中出现行线时添辅助线关键添二条行线相交等第三条直线
（2）等腰三角形简单基图形：
问题中出现点发出二条相等线段时补完整等腰三角形出现角分线行线组合时延长行线角二边相交等腰三角形
（3）等腰三角形中重线段重基图形：
出现等腰三角形底边中点添底边中线出现角分线垂线组合时延长垂线角二边相交等腰三角形中重线段基图形
（4）直角三角形斜边中线基图形
出现直角三角形斜边中点添斜边中线出现线段倍半关系倍线段直角三角形斜边添直角三角形斜边中线直角三角形斜边中线基图形
（5）三角形中位线基图形
问题中出现中点时添加三角形中位线基图形进行证明中点没中位线时添中位线中位线三角形完整时需补完整三角形出现线段倍半关系倍线段公端点线段带中点中点添倍线段行线三角形中位线基图形出现线段倍半关系半线段端点某线段中点带中点线段端点添半线段行线三角形中位线基图形
（6）全等三角形：
全等三角形轴称形中心称形旋转形移形等果出现两条相等线段两档相等角关某直线成轴称添加轴称形全等三角形：添称轴三角形称轴翻转问题中出现组两组相等线段位组顶角两边成直线时添加中心称形全等三角形加证明添加方法四端点两两连结二端点添行线
（7）相似三角形：
相似三角形行线型（带行线相似三角形）相交线型旋转型出现相线段重叠直线时（中点成1）添加行线行线型相似三角形行线端点添分点端点线段行方类题目中种浅线方法
（8）特殊角直角三角形
出现304560135150度特殊角时添加特殊角直角三角形利45角直角三角形三边1：1：√230度角直角三角形三边1：2：√3进行证明
（9）半圆圆周角
出现直径半圆点添90度圆周角出现90度圆周角添弦直径面中总二十基图形房子外砧瓦水泥石灰木等组成样
二．基图形辅助线画法
1三角形问题添加辅助线方法
方法1：关三角形中线题目常中线加倍含中点题目常常利三角形中位线通种方法证结恰转移容易解决问题
方法2：含分线题目常角分线称轴利角分线性质题中条件构造出全等三角形利全等三角形知识解决问题
方法3：结两线段相等题目常画辅助线构成全等三角形利关分线段定理
方法4：结条线段条线段等第三条线段类题目常采截长法补短法谓截长法第三条线段分成两部分证中部分等第条线段部分等第二条线段
2行四边形中常辅助线添法
行四边形（包括矩形正方形菱形）两组边角角线具某相性质添辅助线方法处目造线段行垂直构成三角形全等相似行四边形问题转化成常见三角形正方形等问题处理常方法列种举例简解：
（1）连角线移角线：
（2）顶点作边垂线构造直角三角形
（3）连接角线交点边中点角线交点作边行线构造线段行中位线
（4）连接顶点边点线段延长条线段构造三角形相似等积三角形
（5）顶点作角线垂线构成线段行三角形全等
3梯形中常辅助线添法
梯形种特殊四边形行四边形三角形知识综合通添加适辅助线梯形问题化行四边形问题三角形问题解决辅助线添加成问题解决桥梁梯形中常辅助线：
（1）梯形部移腰
（2）梯形外移腰
（3）梯形移两腰
（4）延长两腰
（5）梯形底两端点底作高
（6）移角线
（7）连接梯形顶点腰中点
（8）腰中点作腰行线
（9）作中位线
然梯形关证明计算中添加辅助线定固定变单通辅助线座桥梁梯形问题化行四边形问题三角形问题解决解决问题关键
4圆中常辅助线添法
面中解决圆关问题时常常需添加适辅助线架起题设结间桥梁问题化难易然解决灵活掌握作辅助线般规律常见方法提高学生分析问题解决问题力帮助
（1）见弦作弦心距
关弦问题常作弦心距（时须作出相应半径）通垂径分定理沟通题设结间联系
（2）见直径作圆周角
题目中已知圆直径般作直径圆周角利直径圆周角直角特征证明问题
（3）见切线作半径
命题条件中含圆切线连结切点半径利切线半径垂直性质证明问题
（4）两圆相切作公切线
两圆相切问题般切点作两圆公切线作连心线通公切线找圆关角关系
（5）两圆相交作公弦
两圆相交问题通常作出公弦通公弦两圆弦联系起两圆中圆周角圆心角联系起作辅助线方法
：中点中位线延线行线
遇条件中中点中线中位线等中点延长中线中位线作辅助线延长某段等中线中位线种辅助线中点作已知边线段行线达应某定理造成全等目
二：垂线分角线翻转全等连
遇条件中垂线角分线图形轴称方法助条件旋转180度全等形时辅助线做法会应运生称轴垂线角分线
三：边边相等旋转做实验
遇条件中边形两边相等两角相等时边角互相配合然图形旋转定角度全等形时辅助线做法会应运生称中心题异时没中心分心心旋转两种
四造角相似差积商见
遇条件中边形两边相等两角相等欲证线段角差积商相似形关制造两三角形相似时般两种方法：第造辅助角等已知角第二三角形中某线段进行移作歌诀：造角相似差积商见
托列米定理梅叶劳定理证明辅助线分造角移代表）
五：两圆相交连心公弦
果条件中出现两圆相交辅助线连心线公弦
六：两圆相切离连心公切线
条件中出现两圆相切（外切切）相离（含外离）辅助线连心线外公切线
七：切线连直径直角半圆
果条件中出现圆切线辅助线切点直径半径出现直角相反条件中圆直径半径辅助线直径（半径）端点切线切线直径互辅助线
果条件中直角三角形作辅助线斜边直径作辅助圆半圆相反条件中半圆直径找圆周角——直角辅助线直角半圆互辅助线
八：弧弦弦心距行等距弦
遇弧弧弦辅助线遇弦弦心距辅助线
遇行线行线间距离相等距离辅助线反成立
遇行弦行线间距离相等夹弦相等距离夹弦视辅助线反成立
时圆周角弦切角圆心角圆角圆外角存果关系互相联想作辅助线
九：面积找底高边变三边
遇求面积（条件结中出现线段方积视求面积）作底高辅助线两三角形等底等高思考关键
遇边形想法割补成三角形反成立
外国明清数学家面积证明勾股定理辅助线做法割补二百种数面积找底高边变三边
第二部分 常考题型解析
三角形中作辅助线常方法举例
利三角形三边关系证明线段等关系时直接证出连接两点延长某边构成三角形结中出现线段三角形中运三角形三边等关系证明：
例1：已知图11：DE△ABC两点求证AB＋AC＞BD＋DE＋CE
证明：（法）DE两边延长分交ABAC MN
△AMN中AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE（1）
△BDM中MB＋MD＞BD （2）
△CEN中CN＋NE＞CE （3）
（1）＋（2）＋（3）：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC
（法二：）图12 延长BD交 ACF延长CE交BFG
△ABF△GFC△GDE中：
AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边第三边）（1）
GF＋FC＞GE＋CE（）………………………………（2）
DG＋GE＞DE（）……………………………………（3）
（1）＋（2）＋（3）：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC
二利三角形外角相邻角时直接证出时连接两点延长某边构造三角形求证角某三角形外角位置角处三角形角位置利外角定理：
例：图21：已知D△ABC点求证：∠BDC＞∠BAC
分析：∠BDC∠BAC三角形中没直接联系适添加辅助线构造新三角形∠BDC处外角位置∠BAC处角位置
证法：延长BD交AC点E时∠BDC△EDC外角
∴∠BDC＞∠DEC理∠DEC＞∠BAC∴∠BDC＞∠BAC
证法二：连接AD延长交BCF
∵∠BDF△ABD外角
∴∠BDF＞∠BAD理∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
：∠BDC＞∠BAC
注意：利三角形外角定理证明等关系时通常角放某三角形外角位置角放三角形角位置利等式性质证明
三角分线时通常角两边截取相等线段构造全等三角形：
例：图31：已知AD△ABC中线∠1＝∠2∠3＝∠4求证：BE＋CF＞EF
分析：证BE＋CF＞EF 利三角形三边关系定理证明须BECFEF移三角形中已知∠1＝∠2∠3＝∠4角两边截取相等线段利三角形全等应边相等ENFNEF移三角形中
证明：DA截取DN＝DB连接NENFDN＝DC
△DBE△DNE中：
∵
∴△DBE≌△DNE （SAS）
∴BE＝NE（全等三角形应边相等）
理：CF＝NF
△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边第三边）
∴BE＋CF＞EF
注意：证题角分线时常考虑角两边截取相等线段构造全等三角形然全等三角形性质应元素相等
四线段中点端点线段时常延长加倍线段构造全等三角形
例：图41：AD△ABC中线∠1＝∠2∠3＝∠4求证：BE＋CF＞EF
证明：延长EDMDMDE连接
CMMF△BDE△CDM中
∵
∴△BDE≌△CDM （SAS）
∵∠1＝∠2∠3＝∠4 （已知）
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（角定义）
∴∠3＋∠290°：∠EDF＝90°
∴∠FDM＝∠EDF ＝90°
△EDF△MDF中
∵
∴△EDF≌△MDF （SAS）
∴EF＝MF （全等三角形应边相等）
∵△CMF中CF＋CM＞MF（三角形两边第三边）
∴BE＋CF＞EF
注：题加倍FD证法
注意：涉线段中点端点线段时通延长加倍线段构造全等三角形题中分散条件集中
五三角形中线时常延长加倍中线构造全等三角形
例：图51：AD △ABC中线求证：AB＋AC＞2AD
分析：证AB＋AC＞2AD图想： AB＋BD＞ADAC＋CD＞ADAB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD左边证结BD＋CD直接证出题2AD想构造2AD加倍中线证线段转移三角形中
证明：延长ADEDEAD连接BEAE＝2AD
∵AD△ABC中线 （已知）
∴BD＝CD （中线定义）
△ACD△EBD中
∴△ACD≌△EBD （SAS）
∴BE＝CA（全等三角形应边相等）
∵△ABE中：AB＋BE＞AE（三角形两边第三边）
∴AB＋AC＞2AD
（常延长中线加倍构造全等三角形）
练：已知△ABCADBC边中线分AB边AC边直角边形外作等腰直角三角形图52 求证EF＝2AD
六截长补短法作辅助线
例：已知图61：△ABC中AB＞AC∠1＝∠2PAD点求证：AB－AC＞PB－PC
分析：证：AB－AC＞PB－PC想利三角形三边关系定理证欲证线段差两边差第三边想构造第三边AB－ACAB截取AN等ACAB－AC＝BN 连接PNPC＝PN△PNB中PB－PN＜BN：AB－AC＞PB－PC
证明：（截长法）
AB截取AN＝AC连接PN △APN△APC中
∵
∴△APN≌△APC （SAS）
∴PC＝PN （全等三角形应边相等）
∵△BPN中 PB－PN＜BN （三角形两边差第三边）
∴BP－PC＜AB－AC
证明：（补短法） 延长ACMAM＝AB连接PM
△ABP△AMP中
∵
∴△ABP≌△AMP （SAS）
∴PB＝PM （全等三角形应边相等）
∵△PCM中：CM＞PM－PC(三角形两边差第三边)
∴AB－AC＞PB－PC
七延长已知边构造三角形：
例：图71：已知AC＝BDAD⊥ACA BC⊥BDB 求证：AD＝BC
分析：欲证 AD＝BC先证分含ADBC三角形全等种方案：△ADC△BCD△AOD△BOC△ABD△BAC根现条件均法证全等差角相等设法作出新角角作两三角形公角
证明：分延长DACB延长交E点
∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）
∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直定义）
△DBE△CAE中
∵
∴△DBE≌△CAE （AAS）
∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形应边相等）
∴ED－EA＝EC－EB
：AD＝BC
（条件足时通添加辅助线出新条件证题创造条件）
八 连接四边形角线四边形问题转化成三角形解决
例：图81：AB∥CDAD∥BC 求证：ABCD
分析：图四边形学三角形关知识必须转化三角形解决
证明：连接AC（BD）
∵AB∥CD AD∥BC （已知）
∴∠1＝∠2∠3＝∠4 （两直线行错角相等）
△ABC△CDA中
∵
∴△ABC≌△CDA （ASA）
∴AB＝CD（全等三角形应边相等）
九角分线垂直线段时通常条线段延长
例：图91：Rt△ABC中AB＝AC∠BAC＝90°∠1＝∠2CE⊥BD延长E 求证：BD＝2CE
分析：证BD＝2CE想构造线段2CE时CE∠ABC分线垂直想延长
证明：分延长BACE交点F
∵BE⊥CF （已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直定义）
△BEF△BEC中
∵
∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CEFECF （全等三角形应边相等）
∵∠BAC90° BE⊥CF （已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∴∠BDA＝∠BFC
△ABD△ACF中
∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形应边相等） ∴BD＝2CE
十连接已知点构造全等三角形
例：已知：图101ACBD相交O点AB＝DCAC＝BD求证：∠A＝∠D
分析：证∠A＝∠D证三角形△ABO△DCO全等AB＝DC顶角两条件差条件难证全等寻三角形全等AB＝DCAC＝BD连接BC△ABC△DCB全等证∠A＝∠D
证明：连接BC△ABC△DCB中
∵
∴△ABC≌△DCB (SSS)
∴∠A＝∠D (全等三角形应边相等)
十取线段中点构造全等三形
例：图111：AB＝DC∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB
分析：AB＝DC∠A＝∠D想取AD中点N连接NBNCSAS公理△ABN≌△
DCNBN＝CN∠ABN＝∠DCN面需证∠NBC＝∠NCB取BC中点M连接MNSSS公理△NBM≌△NCM∠NBC＝∠NCB问题证
证明：取ADBC中点NM连接NBNMNCANDNBMCM△ABN△DCN中 ∵
∴△ABN≌△DCN （SAS）
∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形应边角相等）
△NBM△NCM中
∵
∴△NMB≌△NCM(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN ∠ABC＝∠DCB
巧求三角形中线段值
例1 图1△ABC中BD：DC＝1：3AE：ED＝2：3求AF：FC
解：点D作DGAC交BF点G
DG：FC＝BD：BC
BD：DC＝1：3 BD：BC＝1：4
DG：FC＝1：4FC＝4DG
DG：AF＝DE：AE AE：ED＝2：3
DG：AF＝3：2
AF：FC＝：4DG＝1：6
例2 图2BC＝CDAF＝FC求EF：FD
解：点C作CGDE交AB点GEF：GC＝AF：AC
AF＝FC AF：AC＝1：2
EF：GC＝1：2
CG：DE＝BC：BD BC＝CD
BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 DE＝2GC
FD＝ED－EF＝ EF：FD＝
结：两例中辅助线作已知条件中出现两条已知线段交点处作辅助线结中出现线段行请两例感受中奥妙
例3 图3BD：DC＝1：3AE：EB＝2：3求AF：FD
解：点B作BGAD交CE延长线点G
DF：BG＝CD：CB
BD：DC＝1：3 CD：CB＝3：4
DF：BG＝3：4
AF：BG＝AE：EB AE：EB＝2：3
AF：BG＝2：3
AF：DF＝
例4 图4BD：DC＝1：3AF＝FD求EF：FC
解：点D作DGCE交AB点G
EF：DG＝AF：AD
AF＝FD AF：AD＝1：2 图4
EF：DG＝1：2
DG：CE＝BD：BCBD：CD＝1：3 BD：BC＝1：4
DG：CE＝1：4CE＝4DG
FC＝CE－EF＝
EF：FC＝＝1：7
练：
1 图5BD＝DCAE：ED＝1：5求AF：FB
2 图6AD：DB＝1：3AE：EC＝3：1求BF：FC
答案：11：10 2 9：1
初中辅助线
初中常见辅助线口诀
说困难难点辅助线辅助线添？握定理概念
刻苦加钻研找出规律验
三角形
图中角分线两边作垂线图折称关系现
角分线行线等腰三角形添角分线加垂线三线合试试
线段垂直分线常两端线连线段差倍半延长缩短试验
线段差等式移三角三角形中两中点连接成中位线
三角形中中线延长中线等中线
四边形
行四边形出现称中心等分点梯形问题巧转换变△□
移腰移角两腰延长作出高果出现腰中点细心连中位线
述方法奏效腰中点全等造证相似线段添线行成惯
等积式子例换寻找线段关键直接证明困难等量代换少麻烦
斜边面作高线例中项片
圆形
半径弦长计算弦心距中间站圆切线切点圆心半径连
切线长度计算勾股定理方便想证明切线半径垂线仔细辨
直径成半圆想成直角径连弦弧中点圆心连垂径定理记全
圆周角边两条弦直径弦端点连弦切角边切线弦弧角等找完
想作外接圆边作出中垂线作接圆角分线梦圆
果遇相交圆忘作公弦外相切两圆切点公切线
添连心线切点肯定面作等角添圆证明题目少困难
注意点
辅助线虚线画图注意勿改变假图形较分散称旋转实验
基作图关键时掌握熟练解题心眼常总结方法显
切勿盲目乱添线方法灵活应变分析综合方法选困难会减
虚心勤学加苦练成绩升成直线
二 角分线想辅助线
口诀：
图中角分线两边作垂线图折称关系现角分线行线等腰三角形添角分线加垂线三线合试试
角分线具两条性质：a称性b角分线点角两边距离相等角分线辅助线作法般两种
①角分线点两边作垂线
②利角分线构造称图形（作法侧长边截取短边）
通常情况出现直角垂直等条件时般考虑作垂线情况考虑构造称图形选取种方法结合题目图形已知条件
角关辅助线
（）截取构全等
证明猜想尝试种尝试猜想定规律基希学掌握相关规律解决问题中胆猜想定规律尝试面中常见定理涉辅助线作介绍
图11∠AOC∠BOC取OEOF连接DEDF△OED≌△OFD证明线段角相等创造条件
例1． 图12ABCDBE分∠BCDCE分∠BCD点EAD求证：BCAB+CD
分析：题中涉角分线利角分线构造全等三角形利解分线构造轴称图形时题证明线段差倍分问题证明线段差倍分问题中常方法延长法截取法证明延长短线段长线段长截取部分等短线段延长截取证明线段相等延长证明延长线段某条线段相等截取证明截取剩线段某条线段相等进达证明目
简证：题中长线段BC截取BFAB证明CFCD达证明目里面角分线构造全等三角形外全等已证明题证明延长BECD延长线交点证明已试试
例2． 已知：图13AB2AC∠BAD∠CADDADB求证DC⊥AC
分析：题利角分线构造全等三角形构造方法截取线段相等问题已证明
例3． 已知：图14△ABC中∠C2∠BAD分∠BAC求证：ABACCD
分析：题条件中角分线证明中构造全等三角形题证明线段差倍分问题截取法证明长线段截取短线段证明试试否短延长证明呢？
练
1． 已知△ABC中AD分∠BAC∠B2∠C求证：AB+BDAC
2． 已知：△ABC中∠CAB2∠BAE分∠CAB交BCEAB2AC求证：AE2CE
3． 已知：△ABC中AB>ACAD∠BAC分线MAD点求证：BMCM>ABAC
4． 已知：D△ABC∠BAC外角分线AD点连接DBDC求证：BD+CD>AB+AC
（二）角分线点角两边作垂线构全等
角分线点角两边作垂线利角分线点两边距离相等性质证明问题
例1． 图21已知AB>AD ∠BAC∠FACCDBC
求证：∠ADC+∠B180
分析：C∠BAD两边作垂线证∠ADC∠B角
例2． 图22△ABC中∠A90 ABAC∠ABD∠CBD
求证：BCAB+AD
分析：D作DE⊥BCEADDECE构造出全等三角形证题证明线段差倍分问题中利相截取方法
例3． 已知图23△ABC角分线BMCN相交点P求证：∠BAC分线点P
分析：连接AP证AP分∠BAC证PABAC距离相等
练：
1．图24∠AOP∠BOP15 PCOAPD⊥OA
果PC4PD（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
2．已知△ABC中∠C90 AD分∠CABCD15DB25求AC
3．已知：图25 ∠BAC∠CADAB>ADCE⊥AB
AE（AB+AD）求证：∠D+∠B180
4已知：图26正方形ABCD中ECD 中点FBC
点∠FAE∠DAE求证：AFAD+CF
5． 已知：图27Rt△ABC中∠ACB90 CD⊥AB垂足DAE分∠CAB交CDFF作FHAB交BCH求证CFBH
（三）：作角分线垂线构造等腰三角形
角边点作角分线垂线角两边相交截等腰三角形垂足底边中点该角分线成底边中线高利中位线性质等腰三角形三线合性质（果题目中垂直角分线线段延长该线段角边相交）
例1． 已知：图31∠BAD∠DACAB>ACCD⊥ADDHBC中点求证：DH（ABAC）
分析：延长CD交AB点E全等三角形问题证
例2． 已知：图32ABAC∠BAC90 AD∠ABC分线CE⊥BE求证：BD2CE
分析：出角分线出边点作角分线垂线延长垂线外边相交构造出等腰三角形
例3．已知：图33△ABC中ADAE分∠BAC外角分线顶点B作BFAD交AD延长线F连结FC延长交AEM
求证：AMME
分析：ADAE∠BAC外角分线EA⊥AFBFAE想利例线段证相等
例4． 已知：图34△ABC中AD分∠BACADABCM⊥AD交AD延长线M求证：AM（AB+AC）
分析：题设中出角分线AD然想AD轴作称变换作△ABD关AD称△AED然需证DMEC外求证结果AM（AB+AC）2AMAB+AC尝试作△ACM关CM称△FCM然需证DFCF
练：
1． 已知：△ABC中AB5AC3DBC中点AE∠BAC分线CE⊥AEE连接DE求DE
2． 已知BEBF分△ABC∠ABC角外角分线AF⊥BFFAE⊥BEE连接EF分交ABACMN求证MNBC
（四）角分线点做角边行线
角分线时常角分线点作角边行线构造等腰三角形通边点作角分线行线外边反延长线相交构造等腰三角形图41图42示
1
2
A
C
D
B
例4 图AB>AC ∠1∠2求证：AB－AC>BD－CD
例5 图BC>BABD分∠ABCADCD求证：∠A+∠C180
B
D
C
A
A
B
E
C
D
例6 图AB∥CDAEDE分分∠BAD∠ADE求证：ADAB+CD
练：
1 已知图∠C2∠AAC2BC求证：△ABC直角三角形
C
A
B
2．已知：图AB2AC∠1∠2DADB求证：DC⊥AC
A
B
D
C
1
2
3．已知CEAD△ABC角分线∠B60°求证：ACAE+CD
A
E
B
D
C
4．已知：图△ABC中∠A90°ABACBD∠ABC分线求证：BCAB+AD
A
B
C
D
三 线段差想辅助线
口诀：
线段差倍半延长缩短试验线段差等式移三角
遇求证条线段等两条线段时般方法截长补短法：
1截长：长线段中截取段等两条中条然证明剩部分等条
2补短：条短线段延长延长部分等条短线段然证明新线段等长线段
证明关线段差等式通常会联系三角形中两线段第三边差第三边想办法放三角形中证明
利三角形三边关系证明线段等关系时直接证出连接两点廷长某边构成三角形结中出现线段三角形中运三角形三边等关系证明：
例1 已知图11：DE△ABC两点求证AB+AC>BD+DE+CE
证明：（法）
DE两边延长分交ABACMN
△AMN中AM+AN>MD+DE+NE（1）
△BDM中MB+MD>BD（2）
△CEN中CN+NE>CE（3）
（1）+（2）+（3）：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC
（法二：图12）
延长BD交ACF廷长CE交BFG△ABF△GFC△GDE中：
AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边第三边）…（1）
GF+FC>GE+CE（）（2）
DG+GE>DE（）（3）
（1）+（2）+（3）：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC
二 利三角形外角相邻角时直接证出时连接两点延长某边构造三角形求证角某三角形外角位置角处三角形角位置利外角定理：
例：图21：已知D△ABC点求证：∠BDC>∠BAC
分析：∠BDC∠BAC三角形中没直接联系适添加辅助线构造新三角形∠BDC处外角位置∠BAC处角位置
证法：延长BD交AC点E时∠BDC△EDC外角
∴∠BDC>∠DEC理∠DEC>∠BAC∴∠BDC>∠BAC
证法二：连接AD廷长交BCF时∠BDF△ABD
外角∴∠BDF>∠BAD理∠CDF>∠CAD∴∠BDF+
∠CDF>∠BAD+∠CAD：∠BDC>∠BAC
注意：利三角形外角定理证明等关系时通常角放某三角形外角位置角放三角形角位置利等式性质证明
三 角分线时通常角两边截取相等线段构造全等三角形：
例：图31：已知AD△ABC中线∠1∠2∠3∠4求证：BE+CF>EF
分析：证BE+CF>EF利三角形三边关系定理证明须BECFEF移三角形中已知∠1∠2
∠3∠4角两边截取相等线段利三角形全等应边相等ENFNEF移三角形中
证明：DN截取DNDB连接NENFDNDC
△DBE△NDE中：
DNDB（辅助线作法）
∠1∠2（已知）
EDED（公边）
∴△DBE≌△NDE（SAS）
∴BENE（全等三角形应边相等）
理：CFNF
△EFN中EN+FN>EF（三角形两边第三边）
∴BE+CF>EF
注意：证题角分线时常考虑角两边截取相等线段构造全等三角形然全等三角形应性质相等元素
四 截长补短法作辅助线
例：已知图61：△ABC中AB>AC∠1∠2PAD点
求证：ABAC>PBPC
分析：证：ABAC>PBPC想利三角形三边关系定理证欲证线段差两边差第三边想构造第三边ABACAB截取AN等ACABACBN连接PNPCPN△PNB中PBPN：ABAC>PBPC
证明：（截长法）
AB截取ANAC连接PN△APN△APC中
ANAC（辅助线作法）
∠1∠2（已知）
APAP（公边）
∴△APN≌△APC（SAS）∴PCPN（全等三角形应边相等）
∵△BPN中PBPN∴BPPC证明：（补短法）
延长ACMAMAB连接PM
△ABP△AMP中
ABAM（辅助线作法）
∠1∠2（已知）
APAP（公边）
∴△ABP≌△AMP（SAS）
∴PBPM（全等三角形应边相等）
∵△PCM中：CM>PMPC(三角形两边差第三边)
∴ABAC>PBPC
D
A
E
C
B
例1．图AC分∠BADCE⊥AB∠B+∠D180°求证：AEAD+BE
例2图四边形ABCD中AC分∠BADCE⊥ABEAD+AB2AE
求证：∠ADC+∠B180º
例3已知：图等腰三角形ABC中ABACA108°BD分ABC
D
C
B
A
求证：BCAB+DC
M
B
D
C
A
例4图已知Rt△ABC中∠ACB90°AD∠CAB分线DM⊥ABMAMMB求证：CDDB
1．图AB∥CDAEDE分分∠BAD∠ADE求证：ADAB+CD
E
D
C
B
A
2图△ABC中∠BAC90°ABACAEA条直线BCAE异侧
BD⊥AEDCE⊥AEE求证：BDDE+CE
四 中点想辅助线
口诀：
三角形中两中点连接成中位线三角形中中线延长中线等中线
三角形中果已知点三角形某边中点首先应该联想三角形中线中位线加倍延长中线相关性质（直角三角形斜边中线性质等腰三角形底边中线性质）然通探索找解决问题方法
（）中线原三角形分成两面积相等三角形
图1ADΔABC中线SΔABDSΔACDSΔABC（ΔABDΔACD等底高）
例1．图2ΔABC中AD中线延长ADEDEADDFΔDCE中线已知ΔABC面积2求：ΔCDF面积
解：ADΔABC中线SΔACDSΔABC×21CDΔACE中线SΔCDESΔACD1
DFΔCDE中线SΔCDFSΔCDE×1
∴ΔCDF面积
（二）中点应想利三角形中位线
例2．图3四边形ABCD中ABCDEF分BCAD中点BACD延长线分交EF延长线GH求证：∠BGE∠CHE
证明：连结BD取BD中点M连结MEMF
∵MEΔBCD中位线
∴MECD∴∠MEF∠CHE
∵MFΔABD中位线
∴MFAB∴∠MFE∠BGE
∵ABCD∴MEMF∴∠MEF∠MFE
∠BGE∠CHE
（三）中线应想延长中线
例3．图4已知ΔABC中AB5AC3连BC中线AD2求BC长
解：延长ADEDEADAE2AD2×24
ΔACDΔEBD中
∵ADED∠ADC∠EDBCDBD
∴ΔACD≌ΔEBD∴ACBE
BEAC3
ΔABE中AE2+BE242+3225AB2∠E90°
∴BDBC2BD2
例4．图5已知ΔABC中AD∠BAC分线ADBC边中线求证：ΔABC等腰三角形
证明：延长ADEDEAD
仿例3证：
ΔBED≌ΔCAD
EBAC∠E∠2
∠1∠2
∴∠1∠E
∴ABEBABACΔABC等腰三角形
（四）直角三角形斜边中线性质
例5．图6已知梯形ABCD中ABDCAC⊥BCAD⊥BD求证：ACBD
证明：取AB中点E连结DECEDECE分RtΔABDRtΔABC斜边AB中线DECEAB∠CDE∠DCE
∵ABDC
∴∠CDE∠1∠DCE∠2
∴∠1∠2
ΔADEΔBCE中
∵DECE∠1∠2AEBE
∴ΔADE≌ΔBCE∴ADBC梯形ABCD等腰梯形ACBD
（五）角分线垂直线段应想等腰三角形中线
例6．图7ΔABC等腰直角三角形∠BAC90°BD分∠ABC交AC点DCE垂直BD交BD延长线点E求证：BD2CE
证明：延长BACE交点FΔBEFΔBEC中
∵∠1∠2BEBE∠BEF∠BEC90°
∴ΔBEF≌ΔBEC∴EFECCF2CE
∠1+∠F∠3+∠F90°∠1∠3
ΔABDΔACF中∵∠1∠3ABAC∠BAD∠CAF90°
∴ΔABD≌ΔACF∴BDCF∴BD2CE
注：例中BE等腰ΔBCF底边CF中线
（六）中线延长
口诀：三角形中中线延长中线等中线
题目中果出现三角形中线常延长加倍线段端点连结便全等三角形
例：图41：AD△ABC中线∠1∠2∠3∠4求证：BE+CF>EF
证明：廷长EDMDMDE连接CMMF△BDE△CDM中
BDCD（中点定义）
∠1∠5（顶角相等）
EDMD（辅助线作法）
∴△BDE≌△CDM（SAS）
∵∠1∠2∠3∠4（已知）
∠1+∠2+∠3+∠4180°（角定义）
∴∠3+∠290°
：∠EDF90°
∴∠FDM∠EDF90°
△EDF△MDF中
EDMD（辅助线作法）
∠EDF∠FDM（已证）
DFDF（公边）
∴△EDF≌△MDF（SAS）
∴EFMF（全等三角形应边相等）
∵△CMF中CF+CM>MF（三角形两边第三边）
∴BE+CF>EF
题加倍FD证法
注意：涉线段中点端点线段时通延长加倍线段构造全等三角形题中分散条件集中
例二：图51：AD△ABC中线求证：AB+AC>2AD
分析：证AB+AC>2AD图想：AB+BD>ADAC+CD>ADAB+AC+BD+CD>AD+AD2AD左边证结BD+CD直接证出题2AD想构造2AD加倍中线证线段转移三角形中
证明：延长ADEDEAD连接BECE
∵AD△ABC中线（已知）
∴BDCD（中线定义）
△ACD△EBD中
BDCD（已证）
∠1∠2（顶角相等）
ADED（辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD（SAS）
∴BECA（全等三角形应边相等）
∵△ABE中：AB+BE>AE（三角形两边第三边）
∴AB+AC>2AD
练：
1 图AB6AC8DBC 中点求AD取值范围
B
A
D
C
8
6
2 图ABCDEBC中点∠BAC∠BCA求证：AD2AE
B
E
C
D
A
3 图ABACADAEMBE中点∠BAC∠DAE90°求证：AM⊥DC
D
M
CD
ED
AD
BD
4已知△ABCADBC边中线分AB边AC边直角边外作等腰直角三角形图52求证EF2AD
A
B
D
C
E
F
5．已知：图AD△ABC中线AEEF求证：BFAC
五 全等三角形辅助线
找全等三角形方法：
（1）结出发证明相等两条线段（角）分两全等三角形中
（2）已知条件出发已知条件确定两三角形相等
（3）条件结综合考虑确定两三角形全等
（4）述方法均行考虑添加辅助线构造全等三角形
三角形中常见辅助线作法：
①延长中线构造全等三角形
②利翻折构造全等三角形
③引行线构造全等三角形
④作连线构造等腰三角形
常见辅助线作法种：
1) 遇等腰三角形作底边高利三线合性质解题思维模式全等变换中折．
2) 遇三角形中线倍长中线延长线段原中线长相等构造全等三角形利思维模式全等变换中旋转．
3) 遇角分线角分线某点角两边作垂线利思维模式三角形全等变换中折考知识点常常角分线性质定理逆定理．
4) 图形某点作特定分线构造全等三角形利思维模式全等变换中移翻转折叠
5) 截长法补短法具体做法某条线段截取条线段特定线段相等某条线段延长特定线段相等利三角形全等关性质加说明．种作法适合证明线段差倍分等类题目．
特殊方法：求关三角形定值类问题时常某点原三角形顶点线段连接起利三角形面积知识解答．
（）倍长中线（线段）造全等
1：（希杯试题）已知图△ABC中AB5AC3中线AD取值范围_________
2：图△ABC中EF分ABACDE⊥DFD中点试较BE+CFEF
3：图△ABC中BDDCACEDC中点求证：AD分∠BAE
中考应
（09崇文二模）两边ABAC腰分外作等腰Rt等腰Rt连接DEMN分BCDE中点．探究：AMDE位置关系数量关系．
（1）图① 直角三角形时AMDE位置关系
线段AMDE数量关系
（2）图①中等腰Rt绕点A逆时针方旋转(0<<90)图②示（1）问中两结否发生改变？说明理．
（二）截长补短
1图中AB2ACAD分ADBD求证：CD⊥AC
2：图AC∥BDEAEB分分∠CAB∠DBACD点E求证AB＝AC+BD
3：图已知PQ分BCCAAPBQ分角分线求证：BQ+AQAB+BP
4：图四边形ABCD中BC＞BAAD＝CDBD分求证：
5图△ABC中AB＞AC∠1＝∠2PAD意点求证ABAC＞PBPC
中考应
（08海淀模）
（三）移变换
1AD△ABC角分线直线MN⊥ADAEMN点△ABC周长记△EBC周长记求证＞
2：图△ABC边取两点DEBDCE求证：AB+AC>AD+AE
（四）助角分线造全等
1：图已知△ABC中∠B60°△ABC角分线ADCE相交点O求证：OEOD
2：（06郑州市中考题）图△ABC中AD分∠BACDG⊥BC分BCDE⊥ABEDF⊥ACF （1）说明BECF理（2）果ABAC求AEBE长
中考应
（06北京中考）图①OP∠MON分线请利该图形画OP直线称轴全等三角形请参考作全等三角形方法解答列问题：
（1）图②△ABC中∠ACB直角∠B60°ADCE分∠BAC∠BCA分线ADCE相交点F请判断写出FEFD间数量关系
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）图③△ABC中果∠ACB直角(1)中条件变请问(1)中结否然成立？成立请证明成立请说明理
（五）旋转
1：正方形ABCD中EBC点FCD点BE+DFEF求∠EAF度数
2：D等腰斜边AB中点DM⊥DNDMDN分交BCCA点EF
（1） 绕点D转动时求证DEDF
（2） AB2求四边形DECF面积
3图边长3等边三角形等腰三角形D顶点做角两边分交AB点M交AC点N连接MN周长
中考应
（07佳木斯）已知四边形中绕点旋转两边分交（延长线）．
绕点旋转时（图1）易证．
绕点旋转时图2图3两种情况述结否成立？成立请予证明成立线段样数量关系？请写出猜想需证明．
（图1）
（图2）
（图3）
（西城09年模）已知PAPB4AB边作正方形ABCDPD两点落直线AB两侧
(1)图∠APB45°时求ABPD长
(2)∠APB变化条件变时求PD值相应∠APB
（09崇文模）等边两边ABAC直线分两点MND外点BDDC 探究：MN分直线ABAC移动时BMNCMN间数量关系周长Q等边周长L关系．
图1 图2 图3
（I）图1点MN边ABACDMDN时BMNCMN间数量关系 时
（II）图2点MN边ABACDMDN时猜想（I）问两结成立？写出猜想加证明
（III） 图3MN分边ABCA延长线时
ANQ （L表示）．
六 梯形辅助线
口诀：
梯形问题巧转换变△□移腰移角两腰延长作出高果出现腰中点细心连中位线述方法奏效腰中点全等造
通常情况通做辅助线梯形转化三角形行四边形解梯形问题基思路选取种方法结合题目图形已知条件常见种辅助线作法：
作法
图形
移腰转化三角形行四边形
移角线转化三角形行四边形
延长两腰转化三角形
作高转化直角三角形矩形
中位线腰中点连线
（）移
1移腰：
例1 图示直角梯形ABCD中∠A＝90°AB∥DCAD＝15AB＝16BC＝17 求CD长
解：点D作DE∥BC交AB点E
AB∥CD四边形BCDE行四边形
DE＝BC＝17CD＝BE
Rt△DAE中勾股定理
AE2＝DE2－AD2AE2＝172－152＝64
AE＝8
BE＝AB－AE＝16－8＝8
CD＝8
例2图梯形ABCD底AB3底CD8腰AD4求腰BC取值范围
解：点B作BMAD交CD点M
△BCM中BMAD4
CMCD－DMCD－AB8－35
BC取值范围：
5－42移两腰：
例3图梯形ABCD中ADBC∠B＋∠C90°AD1BC3EF分ADBC中点连接EF求EF长
解：点E分作ABCD行线交BC点GH
∠EGH＋∠EHG∠B＋∠C90°
△EGH直角三角形
EF分ADBC中点容易证FGH中点
3移角线：
例4已知：梯形ABCD中ADBCAD1BC4BD3AC4求梯形ABCD面积．
解：图作DE∥AC交BC延长线E点．
A
B
D
C
E
H
∵AD∥BC ∴四边形ACED行四边形
∴BEBC+CEBC+AD4+15DEAC4
∵△DBE中 BD3DE4BE5
∴∠BDE90°．
作DH⊥BCH
．
例5图等腰梯形ABCD中ADBCAD3BC7BD求证：AC⊥BD
解：点C作BD行线交AD延长线点E
易四边形BCED行四边形
DEBCCEBD
AEAD＋DEAD＋BC3＋710
等腰梯形ABCD中ACBD
△ACE中
AC⊥CEAC⊥BD
例6图梯形ABCD中ADBCAC15cmBD20cm高DH12cm求梯形ABCD面积
解：点D作DEAC交BC延长线点E
四边形ACED行四边形
勾股定理
（cm）
（cm）
梯形ABCD面积150cm2
（二）延长
延长两腰相交点梯形转化三角形
例7图梯形ABCD中ADBC∠B50°∠C80°AD2BC5求CD长
解：延长BACD交点E
△BCE中∠B50°∠C80°
∠E50°BCEC5
理ADED2
CDEC－ED5－23
例8 图示四边形ABCD中AD行BCAC＝BDAD＝BC 判断四边形ABCD形状证明结
解：四边形ABCD等腰梯形
证明：延长ADBC相交点E图示
∵AC＝BDAD＝BCAB＝BA
∴△DAB≌△CBA
∴∠DAB＝∠CBA
∴EA＝EB
AD＝BC∴DE＝CE∠EDC＝∠ECD
∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°
∴∠EDC＝∠EAB∴DC∥AB
AD行BC
∴四边形ABCD等腰梯形
（三）作角线
通作角线梯形转化三角形
例9图6直角梯形ABCD中ADBCAB⊥ADBCCDBE⊥CD点E求证：ADDE
解：连结BD
ADBC∠ADB∠DBE
BCCD∠DBC∠BDC
∠ADB∠BDE
∠BAD∠DEB90°BDBD
Rt△BAD≌Rt△BED
ADDE
（四）作梯形高
1作条高
例10图直角梯形ABCD中ABDC∠ABC90°AB2DC角线AC⊥BD垂足F点F作EFAB交AD点E求证：四边形ABFE等腰梯形
证：点D作DG⊥AB点G
易知四边形DGBC矩形DCBG
AB2DCAGGB
DADB∠DAB∠DBA
EFAB四边形ABFE等腰梯形
2作两条高
例11等腰梯形ABCD中ADBCABCD∠ABC60°AD3cmBC5cm
求：(1)腰AB长(2)梯形ABCD面积．
A
B
C
DD
ED
FD
解：作AE⊥BCEDF⊥BCF∵AD∥BC
∴四边形AEFD矩形 EFAD3cm
∵ABDC
∵Rt△ABE中∠B60°BE1cm
∴AB2BE2cm
∴
例12图梯形ABCD中AD底AB>CD求证：BD>AC
证：作AE⊥BCE作DF⊥BCF易知AEDF
Rt△ABERt△DCF中
AB>CDAEDF
勾股定理BE>CFBF>CE
Rt△BDFRt△CAE中
勾股定理BD>AC
（五）作中位线
1已知梯形腰中点作梯形中位线
例13图梯形ABCD中ABDCOBC中点∠AOD90°求证：AB＋CDAD
证：取AD中点E连接OE易知OE梯形ABCD中位线OE（AB＋CD）①
△AOD中∠AOD90°AEDE
②
①②AB＋CDAD
2已知梯形两条角线中点连接梯形顶点条角线中点延长底边相交问题转化三角形中位线
例14图梯形ABCD中ADBCEF分BDAC中点求证：（1）EFAD（2）
证：连接DF延长交BC点G易证△AFD≌△CFG
ADCGDFGF
DEBEEF△BDG中位线
EFBG
ADBG
EFADEF
3梯形中出现腰中点时点构造出两全等三角形达解题目
例15梯形ABCD中AD∥BC ∠BAD900EDC中点连接AEBE求∠AEB2∠CBE
解：分延长AEBC 交F点
∵∠BAD900AD∥BC
∴∠FBA1800－∠BAD900
∵AD∥BC
∴∠DAE∠F(两直线行错角相等)
∠AED∠FEC （顶角相等）
DEEC （E点CD中点）
∴△ADE≌△FCE （AAS）
∴ AEFE
△ABF中∠FBA900 AEFE
∴ BEFE（直角三角形斜边中线等斜边半）
∴ △FEB中 ∠EBF∠FEB
∠AEB∠EBF+ ∠FEB2∠CBE
A
B
D
C
E
F
例16已知：图梯形ABCD中ADBCAB⊥BCECD中点试问：线段AEBE间样关系？
解：AEBE理：
延长AEBC延长线交点F．
∵DECE∠AED∠CEF
∠DAE∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AEEF
∵AB⊥BC ∴BEAE．
例17已知：梯形ABCD中ADBCEDC中点EF⊥ABF点AB3cmEF5cm求梯形ABCD面积．
解：图E点作MN∥AB分交AD延长线M点交BCN点．
A
B
C
D
E
F
M
N
∵DEECAD∥BC
∴△DEM≌△CNE
四边形ABNM行四边形
∵EF⊥AB
∴S梯形ABCDS□ABNMAB×EF15cm2．
模拟试题（答题时间：40分钟）
1 等腰梯形锐角60°两底分11cm35cm腰长__________cm
2 图示已知等腰梯形ABCD中AD∥BC∠B＝60°AD＝2BC＝8等腰梯形周长（ ）
A 19 B 20 C 21 D 22
3 图示AB∥CDAE⊥DCAE＝12BD＝20AC＝15梯形ABCD面积（ ）
A 130 B 140 C 150 D 160
*4 图示等腰梯形ABCD中已知AD∥BC角线ACBD互相垂直AD＝30BC＝70求BD长
5 图示已知等腰梯形锐角等60°两底分15cm49cm求腰长
6 图示已知等腰梯形ABCD中AD∥BCAC⊥BDAD＋BC＝10DE⊥BCE求DE长
7 图示梯形ABCD中AB∥CD∠D＝2∠BAD＋DC＝8求AB长
**8 图示梯形ABCD中AD∥BC（1）EAB中点AD＋BC＝CDDECE位置关系？（2）E∠ADC∠BCD角分线交点DECE位置关系？
1．圆中作辅助线常方法：
（1）作弦心距便利弦心距弧弦间关系垂径定理
（2）题目中弦中点弧中点条件时般连接中点圆心利垂径定理推出结果
（3）题目中直径条件适选取圆周点连结点直径端点90度角直角三角形
（4）连结弧等弧圆周角圆心角等角
（5）题中半径（直径）垂直线段图1圆O中BD⊥OAD常：①图1（）延长BD交圆C利垂径定理
②图1（）延长AO交圆E连结BEBARt△ABE
图1（） 图1（）
（6）题目中切线条件时般：切线引切点半径
（7）题目中两圆相切（切外切）切点作两圆切线作出连心线（连心线切点）沟通两圆中关角相等关系
（8）题目中两圆相交条件常作两圆公弦弧圆周角构成圆接四边形解决时引两连心线结果
（9）问题先证明四点圆助辅助圆中角间等量关系证明
（10）圆接正边形问题添作边心距抓住直角三角形解决
例题1：图2圆O中B中点BDAB延长线∠OAB500求∠CBD度数
解：图连结OBOC圆O半径已知∠OAB500
∵B弧AC中点
∴弧AB弧BC
∴ABBC
∵OAOBOC
∴△AOB≌△BOC（SSS） 图2
∴∠OBC∠ABO500
∵∠ABO+∠OBC+∠CBD1800
∴∠CBD1800 500 500
∴∠CBD800
答∠CBD度数800
例题2图3圆O中弦ABCD相交点P求证：∠APD度数（弧AD+弧BC）度数
证明：连接AC∠DPA∠C+∠A
∴∠C度数弧AD度数
∠A度数弧BC度数
∴∠APD（弧AD+弧BC）度数 图3
造直角三角形法
1构成Rt△常连接半径
例1 ⊙O点M 长弦AB 26cm短弦CD 10cm 求AM长
2遇直径常作直径圆周角
例2 AB⊙O直径AC切⊙OACB交⊙ODD作⊙O切线交ACE
求证CE AE
3遇切线常作切点半径
例3 割线AB交⊙OCDACBDAE切⊙OEBF切⊙OF
求证∠OAE ∠OBF
4遇公切线常构造Rt△(斜边长圆心距直角边两半径差直角边公切线长)
例4 ⊙O1⊙O2外切点A外公切线BCDE分⊙O1⊙O2切点BCDE相交P∠P 60°
求证：⊙O1⊙O2半径1：3
5．正边形相关计算常构造Rt△
例5⊙O半径6求接正方形ABCD接正六边形AEFCGH公部分面积
二欲垂径定理常作弦垂线段
例6 AB⊙O直径CD弦AE⊥CDEBF⊥CDF(1)求证EC DF
(2)AE 2CDBF6求⊙O面积
三转换割线弦相交角常构成圆接四边形
例7 AB⊙O直径弦CD⊥ABM点AM延长线交DC延长线F
求证 ∠F ∠ACM
四切线综合运
1．已知圆点常_________________
例8图 已知：⊙O1⊙O2外切PACP点割线交⊙O1A交⊙O2C点O1直线AB ⊥BCB求证： BC⊙O2相切
例9图AB⊙O直径AE分∠BAF交⊙OEE点作直线AF垂直交AF延长线D点交ABC点．
求证：CD⊙O相切点E．
2两条件没常___________________
例10 图AB半圆直径 AM⊥MNBN⊥MN果AM+BN＝AB求证 直线MN半圆相切
例11等腰△ABC中ABAC底边中点D圆心圆切AB边E点 求证AC⊙D相切
例12．菱形ABCD两角线交点O⊙OAB相切
求证：⊙O三边相切
五两圆相关题型
1．两圆相交作_____________________
例13⊙O1⊙O2相交ABA点作直线交⊙O1C点交⊙O2D点B点作直线交⊙O1E点交⊙O2F点
求证CE∥DF
2相切两圆作________________________
例14 ⊙O1⊙O2外切点PP点直线分交⊙O1⊙O2AB两点AC切⊙O1A点BC交⊙O2D点
求证：∠BAC ∠BDP
3．两圆三圆相切作_________________
例15AB6直径作半⊙O分OAOB直径半⊙O作半⊙O1半⊙O2⊙O3三半圆两两相切
求⊙O3半径
4．圆圆圆心作____________
例16两等圆⊙O1⊙O2相交AB 两点⊙O1点O2B点作直线交⊙O1C点交⊙O2D点
求证：△ACD等边三角形
六开放性题目
例17．已知：图边直径交边点点切线分边．
（1）否相切？请说明理
（第23题）
（2）满足什条件时点顶点四边形行四边形？说明理．
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第部分 常见辅助线做法
等腰三角形 1 作底边高构成两全等直角三角形
2 作腰高
3 底边端点作底边垂线腰延长线相交构成直角三角形
梯形
1 垂直行边
2 垂直底延长底作腰行线
3 行两条斜边
4 作两条垂直底垂线
5 延长两条斜边做成三角形
菱形
1 连接两角 2 做高
行四边形
1 垂直行边
2 作角线——行四边形分成两三角形
3 做高——形形外注意
矩形
1 角线 2 作垂线
简单什题目第位应该考虑题目求ABAC+BD类想办法作出条AB等长线段证全等说明AC+BD条AB关方考虑勾股A字形等
三角形
图中角分线两边作垂线（垂线段相等）
图折称关系现
角分线行线等腰三角形添
角分线加垂线三线合试试
线段垂直分线常两端线连
证线段倍半延长缩短试验
三角形中两中点连接成中位线
三角形中中线延长中线等中线
解题时画辅助线
①见中点引中位线见中线延长倍
题中果出中点中线考虑中点作中位线中线延长倍解决相关问题
②例线段证明中常作行线
作行线时保留结中然通中间结中联系起
③梯形问题常添加辅助线方法
1底两端点底作垂线
2底端点作腰行线
3底端点作角线行线
4腰中点作腰行线
5底端点腰中点直线底延长线相交
6作梯形中位线
7延长两腰相交
四边形
行四边形出现称中心等分点
梯形里面作高线移腰试试
行移动角线补成三角形常见
证相似线段添线行成惯
等积式子例换寻找线段关键
直接证明困难等量代换少麻烦
斜边面作高线
初中数学辅助线添加浅谈
聪明智创造条件解决问题问题条件够时添加辅助线构成新图形形成新关系分散条件集中建立已知未知桥梁问题转化解决问题解决问题常策略
．添辅助线二种情况：
1定义添辅助线：
证明二直线垂直延长相交证交角90°证线段倍半关系倍线段取中点半线段加倍证角倍半关系类似添辅助线
2基图形添辅助线：
定理相应图形 做基图形添辅助线具基图形性质基图形完整时补完整基图形添线应该做补图样防止乱添线添辅助线规律循举例：
（1）行线基图形：
中出现行线时添辅助线关键添二条行线相交等第三条直线
（2）等腰三角形简单基图形：
问题中出现点发出二条相等线段时补完整等腰三角形出现角分线行线组合时延长行线角二边相交等腰三角形
（3）等腰三角形中重线段重基图形：
出现等腰三角形底边中点添底边中线出现角分线垂线组合时延长垂线角二边相交等腰三角形中重线段基图形
（4）直角三角形斜边中线基图形
出现直角三角形斜边中点添斜边中线出现线段倍半关系倍线段直角三角形斜边添直角三角形斜边中线直角三角形斜边中线基图形
（5）三角形中位线基图形
问题中出现中点时添加三角形中位线基图形进行证明中点没中位线时添中位线中位线三角形完整时需补完整三角形出现线段倍半关系倍线段公端点线段带中点中点添倍线段行线三角形中位线基图形出现线段倍半关系半线段端点某线段中点带中点线段端点添半线段行线三角形中位线基图形
（6）全等三角形：
全等三角形轴称形中心称形旋转形移形等果出现两条相等线段两档相等角关某直线成轴称添加轴称形全等三角形：添称轴三角形称轴翻转问题中出现组两组相等线段位组顶角两边成直线时添加中心称形全等三角形加证明添加方法四端点两两连结二端点添行线
（7）相似三角形：
相似三角形行线型（带行线相似三角形）相交线型旋转型出现相线段重叠直线时（中点成1）添加行线行线型相似三角形行线端点添分点端点线段行方类题目中种浅线方法
（8）特殊角直角三角形
出现304560135150度特殊角时添加特殊角直角三角形利45角直角三角形三边1：1：√230度角直角三角形三边1：2：√3进行证明
（9）半圆圆周角
出现直径半圆点添90度圆周角出现90度圆周角添弦直径面中总二十基图形房子外砧瓦水泥石灰木等组成样
二．基图形辅助线画法
1三角形问题添加辅助线方法
方法1：关三角形中线题目常中线加倍含中点题目常常利三角形中位线通种方法证结恰转移容易解决问题
方法2：含分线题目常角分线称轴利角分线性质题中条件构造出全等三角形利全等三角形知识解决问题
方法3：结两线段相等题目常画辅助线构成全等三角形利关分线段定理
方法4：结条线段条线段等第三条线段类题目常采截长法补短法谓截长法第三条线段分成两部分证中部分等第条线段部分等第二条线段
2行四边形中常辅助线添法
行四边形（包括矩形正方形菱形）两组边角角线具某相性质添辅助线方法处目造线段行垂直构成三角形全等相似行四边形问题转化成常见三角形正方形等问题处理常方法列种举例简解：
（1）连角线移角线：
（2）顶点作边垂线构造直角三角形
（3）连接角线交点边中点角线交点作边行线构造线段行中位线
（4）连接顶点边点线段延长条线段构造三角形相似等积三角形
（5）顶点作角线垂线构成线段行三角形全等
3梯形中常辅助线添法
梯形种特殊四边形行四边形三角形知识综合通添加适辅助线梯形问题化行四边形问题三角形问题解决辅助线添加成问题解决桥梁梯形中常辅助线：
（1）梯形部移腰
（2）梯形外移腰
（3）梯形移两腰
（4）延长两腰
（5）梯形底两端点底作高
（6）移角线
（7）连接梯形顶点腰中点
（8）腰中点作腰行线
（9）作中位线
然梯形关证明计算中添加辅助线定固定变单通辅助线座桥梁梯形问题化行四边形问题三角形问题解决解决问题关键
4圆中常辅助线添法
面中解决圆关问题时常常需添加适辅助线架起题设结间桥梁问题化难易然解决灵活掌握作辅助线般规律常见方法提高学生分析问题解决问题力帮助
（1）见弦作弦心距
关弦问题常作弦心距（时须作出相应半径）通垂径分定理沟通题设结间联系
（2）见直径作圆周角
题目中已知圆直径般作直径圆周角利直径圆周角直角特征证明问题
（3）见切线作半径
命题条件中含圆切线连结切点半径利切线半径垂直性质证明问题
（4）两圆相切作公切线
两圆相切问题般切点作两圆公切线作连心线通公切线找圆关角关系
（5）两圆相交作公弦
两圆相交问题通常作出公弦通公弦两圆弦联系起两圆中圆周角圆心角联系起作辅助线方法
：中点中位线延线行线
遇条件中中点中线中位线等中点延长中线中位线作辅助线延长某段等中线中位线种辅助线中点作已知边线段行线达应某定理造成全等目
二：垂线分角线翻转全等连
遇条件中垂线角分线图形轴称方法助条件旋转180度全等形时辅助线做法会应运生称轴垂线角分线
三：边边相等旋转做实验
遇条件中边形两边相等两角相等时边角互相配合然图形旋转定角度全等形时辅助线做法会应运生称中心题异时没中心分心心旋转两种
四造角相似差积商见
遇条件中边形两边相等两角相等欲证线段角差积商相似形关制造两三角形相似时般两种方法：第造辅助角等已知角第二三角形中某线段进行移作歌诀：造角相似差积商见
托列米定理梅叶劳定理证明辅助线分造角移代表）
五：两圆相交连心公弦
果条件中出现两圆相交辅助线连心线公弦
六：两圆相切离连心公切线
条件中出现两圆相切（外切切）相离（含外离）辅助线连心线外公切线
七：切线连直径直角半圆
果条件中出现圆切线辅助线切点直径半径出现直角相反条件中圆直径半径辅助线直径（半径）端点切线切线直径互辅助线
果条件中直角三角形作辅助线斜边直径作辅助圆半圆相反条件中半圆直径找圆周角——直角辅助线直角半圆互辅助线
八：弧弦弦心距行等距弦
遇弧弧弦辅助线遇弦弦心距辅助线
遇行线行线间距离相等距离辅助线反成立
遇行弦行线间距离相等夹弦相等距离夹弦视辅助线反成立
时圆周角弦切角圆心角圆角圆外角存果关系互相联想作辅助线
九：面积找底高边变三边
遇求面积（条件结中出现线段方积视求面积）作底高辅助线两三角形等底等高思考关键
遇边形想法割补成三角形反成立
外国明清数学家面积证明勾股定理辅助线做法割补二百种数面积找底高边变三边
第二部分 常考题型解析
三角形中作辅助线常方法举例
利三角形三边关系证明线段等关系时直接证出连接两点延长某边构成三角形结中出现线段三角形中运三角形三边等关系证明：
例1：已知图11：DE△ABC两点求证AB＋AC＞BD＋DE＋CE
证明：（法）DE两边延长分交ABAC MN
△AMN中AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE（1）
△BDM中MB＋MD＞BD （2）
△CEN中CN＋NE＞CE （3）
（1）＋（2）＋（3）：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC
（法二：）图12 延长BD交 ACF延长CE交BFG
△ABF△GFC△GDE中：
AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边第三边）（1）
GF＋FC＞GE＋CE（）………………………………（2）
DG＋GE＞DE（）……………………………………（3）
（1）＋（2）＋（3）：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC
二利三角形外角相邻角时直接证出时连接两点延长某边构造三角形求证角某三角形外角位置角处三角形角位置利外角定理：
例：图21：已知D△ABC点求证：∠BDC＞∠BAC
分析：∠BDC∠BAC三角形中没直接联系适添加辅助线构造新三角形∠BDC处外角位置∠BAC处角位置
证法：延长BD交AC点E时∠BDC△EDC外角
∴∠BDC＞∠DEC理∠DEC＞∠BAC∴∠BDC＞∠BAC
证法二：连接AD延长交BCF
∵∠BDF△ABD外角
∴∠BDF＞∠BAD理∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
：∠BDC＞∠BAC
注意：利三角形外角定理证明等关系时通常角放某三角形外角位置角放三角形角位置利等式性质证明
三角分线时通常角两边截取相等线段构造全等三角形：
例：图31：已知AD△ABC中线∠1＝∠2∠3＝∠4求证：BE＋CF＞EF
分析：证BE＋CF＞EF 利三角形三边关系定理证明须BECFEF移三角形中已知∠1＝∠2∠3＝∠4角两边截取相等线段利三角形全等应边相等ENFNEF移三角形中
证明：DA截取DN＝DB连接NENFDN＝DC
△DBE△DNE中：
∵
∴△DBE≌△DNE （SAS）
∴BE＝NE（全等三角形应边相等）
理：CF＝NF
△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边第三边）
∴BE＋CF＞EF
注意：证题角分线时常考虑角两边截取相等线段构造全等三角形然全等三角形性质应元素相等
四线段中点端点线段时常延长加倍线段构造全等三角形
例：图41：AD△ABC中线∠1＝∠2∠3＝∠4求证：BE＋CF＞EF
证明：延长EDMDMDE连接
CMMF△BDE△CDM中
∵
∴△BDE≌△CDM （SAS）
∵∠1＝∠2∠3＝∠4 （已知）
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（角定义）
∴∠3＋∠290°：∠EDF＝90°
∴∠FDM＝∠EDF ＝90°
△EDF△MDF中
∵
∴△EDF≌△MDF （SAS）
∴EF＝MF （全等三角形应边相等）
∵△CMF中CF＋CM＞MF（三角形两边第三边）
∴BE＋CF＞EF
注：题加倍FD证法
注意：涉线段中点端点线段时通延长加倍线段构造全等三角形题中分散条件集中
五三角形中线时常延长加倍中线构造全等三角形
例：图51：AD △ABC中线求证：AB＋AC＞2AD
分析：证AB＋AC＞2AD图想： AB＋BD＞ADAC＋CD＞ADAB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD左边证结BD＋CD直接证出题2AD想构造2AD加倍中线证线段转移三角形中
证明：延长ADEDEAD连接BEAE＝2AD
∵AD△ABC中线 （已知）
∴BD＝CD （中线定义）
△ACD△EBD中
∴△ACD≌△EBD （SAS）
∴BE＝CA（全等三角形应边相等）
∵△ABE中：AB＋BE＞AE（三角形两边第三边）
∴AB＋AC＞2AD
（常延长中线加倍构造全等三角形）
练：已知△ABCADBC边中线分AB边AC边直角边形外作等腰直角三角形图52 求证EF＝2AD
六截长补短法作辅助线
例：已知图61：△ABC中AB＞AC∠1＝∠2PAD点求证：AB－AC＞PB－PC
分析：证：AB－AC＞PB－PC想利三角形三边关系定理证欲证线段差两边差第三边想构造第三边AB－ACAB截取AN等ACAB－AC＝BN 连接PNPC＝PN△PNB中PB－PN＜BN：AB－AC＞PB－PC
证明：（截长法）
AB截取AN＝AC连接PN △APN△APC中
∵
∴△APN≌△APC （SAS）
∴PC＝PN （全等三角形应边相等）
∵△BPN中 PB－PN＜BN （三角形两边差第三边）
∴BP－PC＜AB－AC
证明：（补短法） 延长ACMAM＝AB连接PM
△ABP△AMP中
∵
∴△ABP≌△AMP （SAS）
∴PB＝PM （全等三角形应边相等）
∵△PCM中：CM＞PM－PC(三角形两边差第三边)
∴AB－AC＞PB－PC
七延长已知边构造三角形：
例：图71：已知AC＝BDAD⊥ACA BC⊥BDB 求证：AD＝BC
分析：欲证 AD＝BC先证分含ADBC三角形全等种方案：△ADC△BCD△AOD△BOC△ABD△BAC根现条件均法证全等差角相等设法作出新角角作两三角形公角
证明：分延长DACB延长交E点
∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）
∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直定义）
△DBE△CAE中
∵
∴△DBE≌△CAE （AAS）
∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形应边相等）
∴ED－EA＝EC－EB
：AD＝BC
（条件足时通添加辅助线出新条件证题创造条件）
八 连接四边形角线四边形问题转化成三角形解决
例：图81：AB∥CDAD∥BC 求证：ABCD
分析：图四边形学三角形关知识必须转化三角形解决
证明：连接AC（BD）
∵AB∥CD AD∥BC （已知）
∴∠1＝∠2∠3＝∠4 （两直线行错角相等）
△ABC△CDA中
∵
∴△ABC≌△CDA （ASA）
∴AB＝CD（全等三角形应边相等）
九角分线垂直线段时通常条线段延长
例：图91：Rt△ABC中AB＝AC∠BAC＝90°∠1＝∠2CE⊥BD延长E 求证：BD＝2CE
分析：证BD＝2CE想构造线段2CE时CE∠ABC分线垂直想延长
证明：分延长BACE交点F
∵BE⊥CF （已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直定义）
△BEF△BEC中
∵
∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CEFECF （全等三角形应边相等）
∵∠BAC90° BE⊥CF （已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∴∠BDA＝∠BFC
△ABD△ACF中
∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形应边相等） ∴BD＝2CE
十连接已知点构造全等三角形
例：已知：图101ACBD相交O点AB＝DCAC＝BD求证：∠A＝∠D
分析：证∠A＝∠D证三角形△ABO△DCO全等AB＝DC顶角两条件差条件难证全等寻三角形全等AB＝DCAC＝BD连接BC△ABC△DCB全等证∠A＝∠D
证明：连接BC△ABC△DCB中
∵
∴△ABC≌△DCB (SSS)
∴∠A＝∠D (全等三角形应边相等)
十取线段中点构造全等三形
例：图111：AB＝DC∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB
分析：AB＝DC∠A＝∠D想取AD中点N连接NBNCSAS公理△ABN≌△
DCNBN＝CN∠ABN＝∠DCN面需证∠NBC＝∠NCB取BC中点M连接MNSSS公理△NBM≌△NCM∠NBC＝∠NCB问题证
证明：取ADBC中点NM连接NBNMNCANDNBMCM△ABN△DCN中 ∵
∴△ABN≌△DCN （SAS）
∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形应边角相等）
△NBM△NCM中
∵
∴△NMB≌△NCM(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN ∠ABC＝∠DCB
巧求三角形中线段值
例1 图1△ABC中BD：DC＝1：3AE：ED＝2：3求AF：FC
解：点D作DGAC交BF点G
DG：FC＝BD：BC
BD：DC＝1：3 BD：BC＝1：4
DG：FC＝1：4FC＝4DG
DG：AF＝DE：AE AE：ED＝2：3
DG：AF＝3：2
AF：FC＝：4DG＝1：6
例2 图2BC＝CDAF＝FC求EF：FD
解：点C作CGDE交AB点GEF：GC＝AF：AC
AF＝FC AF：AC＝1：2
EF：GC＝1：2
CG：DE＝BC：BD BC＝CD
BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 DE＝2GC
FD＝ED－EF＝ EF：FD＝
结：两例中辅助线作已知条件中出现两条已知线段交点处作辅助线结中出现线段行请两例感受中奥妙
例3 图3BD：DC＝1：3AE：EB＝2：3求AF：FD
解：点B作BGAD交CE延长线点G
DF：BG＝CD：CB
BD：DC＝1：3 CD：CB＝3：4
DF：BG＝3：4
AF：BG＝AE：EB AE：EB＝2：3
AF：BG＝2：3
AF：DF＝
例4 图4BD：DC＝1：3AF＝FD求EF：FC
解：点D作DGCE交AB点G
EF：DG＝AF：AD
AF＝FD AF：AD＝1：2 图4
EF：DG＝1：2
DG：CE＝BD：BCBD：CD＝1：3 BD：BC＝1：4
DG：CE＝1：4CE＝4DG
FC＝CE－EF＝
EF：FC＝＝1：7
练：
1 图5BD＝DCAE：ED＝1：5求AF：FB
2 图6AD：DB＝1：3AE：EC＝3：1求BF：FC
答案：11：10 2 9：1
初中辅助线
初中常见辅助线口诀
说困难难点辅助线辅助线添？握定理概念
刻苦加钻研找出规律验
三角形
图中角分线两边作垂线图折称关系现
角分线行线等腰三角形添角分线加垂线三线合试试
线段垂直分线常两端线连线段差倍半延长缩短试验
线段差等式移三角三角形中两中点连接成中位线
三角形中中线延长中线等中线
四边形
行四边形出现称中心等分点梯形问题巧转换变△□
移腰移角两腰延长作出高果出现腰中点细心连中位线
述方法奏效腰中点全等造证相似线段添线行成惯
等积式子例换寻找线段关键直接证明困难等量代换少麻烦
斜边面作高线例中项片
圆形
半径弦长计算弦心距中间站圆切线切点圆心半径连
切线长度计算勾股定理方便想证明切线半径垂线仔细辨
直径成半圆想成直角径连弦弧中点圆心连垂径定理记全
圆周角边两条弦直径弦端点连弦切角边切线弦弧角等找完
想作外接圆边作出中垂线作接圆角分线梦圆
果遇相交圆忘作公弦外相切两圆切点公切线
添连心线切点肯定面作等角添圆证明题目少困难
注意点
辅助线虚线画图注意勿改变假图形较分散称旋转实验
基作图关键时掌握熟练解题心眼常总结方法显
切勿盲目乱添线方法灵活应变分析综合方法选困难会减
虚心勤学加苦练成绩升成直线
二 角分线想辅助线
口诀：
图中角分线两边作垂线图折称关系现角分线行线等腰三角形添角分线加垂线三线合试试
角分线具两条性质：a称性b角分线点角两边距离相等角分线辅助线作法般两种
①角分线点两边作垂线
②利角分线构造称图形（作法侧长边截取短边）
通常情况出现直角垂直等条件时般考虑作垂线情况考虑构造称图形选取种方法结合题目图形已知条件
角关辅助线
（）截取构全等
证明猜想尝试种尝试猜想定规律基希学掌握相关规律解决问题中胆猜想定规律尝试面中常见定理涉辅助线作介绍
图11∠AOC∠BOC取OEOF连接DEDF△OED≌△OFD证明线段角相等创造条件
例1． 图12ABCDBE分∠BCDCE分∠BCD点EAD求证：BCAB+CD
分析：题中涉角分线利角分线构造全等三角形利解分线构造轴称图形时题证明线段差倍分问题证明线段差倍分问题中常方法延长法截取法证明延长短线段长线段长截取部分等短线段延长截取证明线段相等延长证明延长线段某条线段相等截取证明截取剩线段某条线段相等进达证明目
简证：题中长线段BC截取BFAB证明CFCD达证明目里面角分线构造全等三角形外全等已证明题证明延长BECD延长线交点证明已试试
例2． 已知：图13AB2AC∠BAD∠CADDADB求证DC⊥AC
分析：题利角分线构造全等三角形构造方法截取线段相等问题已证明
例3． 已知：图14△ABC中∠C2∠BAD分∠BAC求证：ABACCD
分析：题条件中角分线证明中构造全等三角形题证明线段差倍分问题截取法证明长线段截取短线段证明试试否短延长证明呢？
练
1． 已知△ABC中AD分∠BAC∠B2∠C求证：AB+BDAC
2． 已知：△ABC中∠CAB2∠BAE分∠CAB交BCEAB2AC求证：AE2CE
3． 已知：△ABC中AB>ACAD∠BAC分线MAD点求证：BMCM>ABAC
4． 已知：D△ABC∠BAC外角分线AD点连接DBDC求证：BD+CD>AB+AC
（二）角分线点角两边作垂线构全等
角分线点角两边作垂线利角分线点两边距离相等性质证明问题
例1． 图21已知AB>AD ∠BAC∠FACCDBC
求证：∠ADC+∠B180
分析：C∠BAD两边作垂线证∠ADC∠B角
例2． 图22△ABC中∠A90 ABAC∠ABD∠CBD
求证：BCAB+AD
分析：D作DE⊥BCEADDECE构造出全等三角形证题证明线段差倍分问题中利相截取方法
例3． 已知图23△ABC角分线BMCN相交点P求证：∠BAC分线点P
分析：连接AP证AP分∠BAC证PABAC距离相等
练：
1．图24∠AOP∠BOP15 PCOAPD⊥OA
果PC4PD（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
2．已知△ABC中∠C90 AD分∠CABCD15DB25求AC
3．已知：图25 ∠BAC∠CADAB>ADCE⊥AB
AE（AB+AD）求证：∠D+∠B180
4已知：图26正方形ABCD中ECD 中点FBC
点∠FAE∠DAE求证：AFAD+CF
5． 已知：图27Rt△ABC中∠ACB90 CD⊥AB垂足DAE分∠CAB交CDFF作FHAB交BCH求证CFBH
（三）：作角分线垂线构造等腰三角形
角边点作角分线垂线角两边相交截等腰三角形垂足底边中点该角分线成底边中线高利中位线性质等腰三角形三线合性质（果题目中垂直角分线线段延长该线段角边相交）
例1． 已知：图31∠BAD∠DACAB>ACCD⊥ADDHBC中点求证：DH（ABAC）
分析：延长CD交AB点E全等三角形问题证
例2． 已知：图32ABAC∠BAC90 AD∠ABC分线CE⊥BE求证：BD2CE
分析：出角分线出边点作角分线垂线延长垂线外边相交构造出等腰三角形
例3．已知：图33△ABC中ADAE分∠BAC外角分线顶点B作BFAD交AD延长线F连结FC延长交AEM
求证：AMME
分析：ADAE∠BAC外角分线EA⊥AFBFAE想利例线段证相等
例4． 已知：图34△ABC中AD分∠BACADABCM⊥AD交AD延长线M求证：AM（AB+AC）
分析：题设中出角分线AD然想AD轴作称变换作△ABD关AD称△AED然需证DMEC外求证结果AM（AB+AC）2AMAB+AC尝试作△ACM关CM称△FCM然需证DFCF
练：
1． 已知：△ABC中AB5AC3DBC中点AE∠BAC分线CE⊥AEE连接DE求DE
2． 已知BEBF分△ABC∠ABC角外角分线AF⊥BFFAE⊥BEE连接EF分交ABACMN求证MNBC
（四）角分线点做角边行线
角分线时常角分线点作角边行线构造等腰三角形通边点作角分线行线外边反延长线相交构造等腰三角形图41图42示
1
2
A
C
D
B
例4 图AB>AC ∠1∠2求证：AB－AC>BD－CD
例5 图BC>BABD分∠ABCADCD求证：∠A+∠C180
B
D
C
A
A
B
E
C
D
例6 图AB∥CDAEDE分分∠BAD∠ADE求证：ADAB+CD
练：
1 已知图∠C2∠AAC2BC求证：△ABC直角三角形
C
A
B
2．已知：图AB2AC∠1∠2DADB求证：DC⊥AC
A
B
D
C
1
2
3．已知CEAD△ABC角分线∠B60°求证：ACAE+CD
A
E
B
D
C
4．已知：图△ABC中∠A90°ABACBD∠ABC分线求证：BCAB+AD
A
B
C
D
三 线段差想辅助线
口诀：
线段差倍半延长缩短试验线段差等式移三角
遇求证条线段等两条线段时般方法截长补短法：
1截长：长线段中截取段等两条中条然证明剩部分等条
2补短：条短线段延长延长部分等条短线段然证明新线段等长线段
证明关线段差等式通常会联系三角形中两线段第三边差第三边想办法放三角形中证明
利三角形三边关系证明线段等关系时直接证出连接两点廷长某边构成三角形结中出现线段三角形中运三角形三边等关系证明：
例1 已知图11：DE△ABC两点求证AB+AC>BD+DE+CE
证明：（法）
DE两边延长分交ABACMN
△AMN中AM+AN>MD+DE+NE（1）
△BDM中MB+MD>BD（2）
△CEN中CN+NE>CE（3）
（1）+（2）+（3）：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC
（法二：图12）
延长BD交ACF廷长CE交BFG△ABF△GFC△GDE中：
AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边第三边）…（1）
GF+FC>GE+CE（）（2）
DG+GE>DE（）（3）
（1）+（2）+（3）：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC
二 利三角形外角相邻角时直接证出时连接两点延长某边构造三角形求证角某三角形外角位置角处三角形角位置利外角定理：
例：图21：已知D△ABC点求证：∠BDC>∠BAC
分析：∠BDC∠BAC三角形中没直接联系适添加辅助线构造新三角形∠BDC处外角位置∠BAC处角位置
证法：延长BD交AC点E时∠BDC△EDC外角
∴∠BDC>∠DEC理∠DEC>∠BAC∴∠BDC>∠BAC
证法二：连接AD廷长交BCF时∠BDF△ABD
外角∴∠BDF>∠BAD理∠CDF>∠CAD∴∠BDF+
∠CDF>∠BAD+∠CAD：∠BDC>∠BAC
注意：利三角形外角定理证明等关系时通常角放某三角形外角位置角放三角形角位置利等式性质证明
三 角分线时通常角两边截取相等线段构造全等三角形：
例：图31：已知AD△ABC中线∠1∠2∠3∠4求证：BE+CF>EF
分析：证BE+CF>EF利三角形三边关系定理证明须BECFEF移三角形中已知∠1∠2
∠3∠4角两边截取相等线段利三角形全等应边相等ENFNEF移三角形中
证明：DN截取DNDB连接NENFDNDC
△DBE△NDE中：
DNDB（辅助线作法）
∠1∠2（已知）
EDED（公边）
∴△DBE≌△NDE（SAS）
∴BENE（全等三角形应边相等）
理：CFNF
△EFN中EN+FN>EF（三角形两边第三边）
∴BE+CF>EF
注意：证题角分线时常考虑角两边截取相等线段构造全等三角形然全等三角形应性质相等元素
四 截长补短法作辅助线
例：已知图61：△ABC中AB>AC∠1∠2PAD点
求证：ABAC>PBPC
分析：证：ABAC>PBPC想利三角形三边关系定理证欲证线段差两边差第三边想构造第三边ABACAB截取AN等ACABACBN连接PNPCPN△PNB中PBPN
证明：（截长法）
AB截取ANAC连接PN△APN△APC中
ANAC（辅助线作法）
∠1∠2（已知）
APAP（公边）
∴△APN≌△APC（SAS）∴PCPN（全等三角形应边相等）
∵△BPN中PBPN
延长ACMAMAB连接PM
△ABP△AMP中
ABAM（辅助线作法）
∠1∠2（已知）
APAP（公边）
∴△ABP≌△AMP（SAS）
∴PBPM（全等三角形应边相等）
∵△PCM中：CM>PMPC(三角形两边差第三边)
∴ABAC>PBPC
D
A
E
C
B
例1．图AC分∠BADCE⊥AB∠B+∠D180°求证：AEAD+BE
例2图四边形ABCD中AC分∠BADCE⊥ABEAD+AB2AE
求证：∠ADC+∠B180º
例3已知：图等腰三角形ABC中ABACA108°BD分ABC
D
C
B
A
求证：BCAB+DC
M
B
D
C
A
例4图已知Rt△ABC中∠ACB90°AD∠CAB分线DM⊥ABMAMMB求证：CDDB
1．图AB∥CDAEDE分分∠BAD∠ADE求证：ADAB+CD
E
D
C
B
A
2图△ABC中∠BAC90°ABACAEA条直线BCAE异侧
BD⊥AEDCE⊥AEE求证：BDDE+CE
四 中点想辅助线
口诀：
三角形中两中点连接成中位线三角形中中线延长中线等中线
三角形中果已知点三角形某边中点首先应该联想三角形中线中位线加倍延长中线相关性质（直角三角形斜边中线性质等腰三角形底边中线性质）然通探索找解决问题方法
（）中线原三角形分成两面积相等三角形
图1ADΔABC中线SΔABDSΔACDSΔABC（ΔABDΔACD等底高）
例1．图2ΔABC中AD中线延长ADEDEADDFΔDCE中线已知ΔABC面积2求：ΔCDF面积
解：ADΔABC中线SΔACDSΔABC×21CDΔACE中线SΔCDESΔACD1
DFΔCDE中线SΔCDFSΔCDE×1
∴ΔCDF面积
（二）中点应想利三角形中位线
例2．图3四边形ABCD中ABCDEF分BCAD中点BACD延长线分交EF延长线GH求证：∠BGE∠CHE
证明：连结BD取BD中点M连结MEMF
∵MEΔBCD中位线
∴MECD∴∠MEF∠CHE
∵MFΔABD中位线
∴MFAB∴∠MFE∠BGE
∵ABCD∴MEMF∴∠MEF∠MFE
∠BGE∠CHE
（三）中线应想延长中线
例3．图4已知ΔABC中AB5AC3连BC中线AD2求BC长
解：延长ADEDEADAE2AD2×24
ΔACDΔEBD中
∵ADED∠ADC∠EDBCDBD
∴ΔACD≌ΔEBD∴ACBE
BEAC3
ΔABE中AE2+BE242+3225AB2∠E90°
∴BDBC2BD2
例4．图5已知ΔABC中AD∠BAC分线ADBC边中线求证：ΔABC等腰三角形
证明：延长ADEDEAD
仿例3证：
ΔBED≌ΔCAD
EBAC∠E∠2
∠1∠2
∴∠1∠E
∴ABEBABACΔABC等腰三角形
（四）直角三角形斜边中线性质
例5．图6已知梯形ABCD中ABDCAC⊥BCAD⊥BD求证：ACBD
证明：取AB中点E连结DECEDECE分RtΔABDRtΔABC斜边AB中线DECEAB∠CDE∠DCE
∵ABDC
∴∠CDE∠1∠DCE∠2
∴∠1∠2
ΔADEΔBCE中
∵DECE∠1∠2AEBE
∴ΔADE≌ΔBCE∴ADBC梯形ABCD等腰梯形ACBD
（五）角分线垂直线段应想等腰三角形中线
例6．图7ΔABC等腰直角三角形∠BAC90°BD分∠ABC交AC点DCE垂直BD交BD延长线点E求证：BD2CE
证明：延长BACE交点FΔBEFΔBEC中
∵∠1∠2BEBE∠BEF∠BEC90°
∴ΔBEF≌ΔBEC∴EFECCF2CE
∠1+∠F∠3+∠F90°∠1∠3
ΔABDΔACF中∵∠1∠3ABAC∠BAD∠CAF90°
∴ΔABD≌ΔACF∴BDCF∴BD2CE
注：例中BE等腰ΔBCF底边CF中线
（六）中线延长
口诀：三角形中中线延长中线等中线
题目中果出现三角形中线常延长加倍线段端点连结便全等三角形
例：图41：AD△ABC中线∠1∠2∠3∠4求证：BE+CF>EF
证明：廷长EDMDMDE连接CMMF△BDE△CDM中
BDCD（中点定义）
∠1∠5（顶角相等）
EDMD（辅助线作法）
∴△BDE≌△CDM（SAS）
∵∠1∠2∠3∠4（已知）
∠1+∠2+∠3+∠4180°（角定义）
∴∠3+∠290°
：∠EDF90°
∴∠FDM∠EDF90°
△EDF△MDF中
EDMD（辅助线作法）
∠EDF∠FDM（已证）
DFDF（公边）
∴△EDF≌△MDF（SAS）
∴EFMF（全等三角形应边相等）
∵△CMF中CF+CM>MF（三角形两边第三边）
∴BE+CF>EF
题加倍FD证法
注意：涉线段中点端点线段时通延长加倍线段构造全等三角形题中分散条件集中
例二：图51：AD△ABC中线求证：AB+AC>2AD
分析：证AB+AC>2AD图想：AB+BD>ADAC+CD>ADAB+AC+BD+CD>AD+AD2AD左边证结BD+CD直接证出题2AD想构造2AD加倍中线证线段转移三角形中
证明：延长ADEDEAD连接BECE
∵AD△ABC中线（已知）
∴BDCD（中线定义）
△ACD△EBD中
BDCD（已证）
∠1∠2（顶角相等）
ADED（辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD（SAS）
∴BECA（全等三角形应边相等）
∵△ABE中：AB+BE>AE（三角形两边第三边）
∴AB+AC>2AD
练：
1 图AB6AC8DBC 中点求AD取值范围
B
A
D
C
8
6
2 图ABCDEBC中点∠BAC∠BCA求证：AD2AE
B
E
C
D
A
3 图ABACADAEMBE中点∠BAC∠DAE90°求证：AM⊥DC
D
M
CD
ED
AD
BD
4已知△ABCADBC边中线分AB边AC边直角边外作等腰直角三角形图52求证EF2AD
A
B
D
C
E
F
5．已知：图AD△ABC中线AEEF求证：BFAC
五 全等三角形辅助线
找全等三角形方法：
（1）结出发证明相等两条线段（角）分两全等三角形中
（2）已知条件出发已知条件确定两三角形相等
（3）条件结综合考虑确定两三角形全等
（4）述方法均行考虑添加辅助线构造全等三角形
三角形中常见辅助线作法：
①延长中线构造全等三角形
②利翻折构造全等三角形
③引行线构造全等三角形
④作连线构造等腰三角形
常见辅助线作法种：
1) 遇等腰三角形作底边高利三线合性质解题思维模式全等变换中折．
2) 遇三角形中线倍长中线延长线段原中线长相等构造全等三角形利思维模式全等变换中旋转．
3) 遇角分线角分线某点角两边作垂线利思维模式三角形全等变换中折考知识点常常角分线性质定理逆定理．
4) 图形某点作特定分线构造全等三角形利思维模式全等变换中移翻转折叠
5) 截长法补短法具体做法某条线段截取条线段特定线段相等某条线段延长特定线段相等利三角形全等关性质加说明．种作法适合证明线段差倍分等类题目．
特殊方法：求关三角形定值类问题时常某点原三角形顶点线段连接起利三角形面积知识解答．
（）倍长中线（线段）造全等
1：（希杯试题）已知图△ABC中AB5AC3中线AD取值范围_________
2：图△ABC中EF分ABACDE⊥DFD中点试较BE+CFEF
3：图△ABC中BDDCACEDC中点求证：AD分∠BAE
中考应
（09崇文二模）两边ABAC腰分外作等腰Rt等腰Rt连接DEMN分BCDE中点．探究：AMDE位置关系数量关系．
（1）图① 直角三角形时AMDE位置关系
线段AMDE数量关系
（2）图①中等腰Rt绕点A逆时针方旋转(0<<90)图②示（1）问中两结否发生改变？说明理．
（二）截长补短
1图中AB2ACAD分ADBD求证：CD⊥AC
2：图AC∥BDEAEB分分∠CAB∠DBACD点E求证AB＝AC+BD
3：图已知PQ分BCCAAPBQ分角分线求证：BQ+AQAB+BP
4：图四边形ABCD中BC＞BAAD＝CDBD分求证：
5图△ABC中AB＞AC∠1＝∠2PAD意点求证ABAC＞PBPC
中考应
（08海淀模）
（三）移变换
1AD△ABC角分线直线MN⊥ADAEMN点△ABC周长记△EBC周长记求证＞
2：图△ABC边取两点DEBDCE求证：AB+AC>AD+AE
（四）助角分线造全等
1：图已知△ABC中∠B60°△ABC角分线ADCE相交点O求证：OEOD
2：（06郑州市中考题）图△ABC中AD分∠BACDG⊥BC分BCDE⊥ABEDF⊥ACF （1）说明BECF理（2）果ABAC求AEBE长
中考应
（06北京中考）图①OP∠MON分线请利该图形画OP直线称轴全等三角形请参考作全等三角形方法解答列问题：
（1）图②△ABC中∠ACB直角∠B60°ADCE分∠BAC∠BCA分线ADCE相交点F请判断写出FEFD间数量关系
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）图③△ABC中果∠ACB直角(1)中条件变请问(1)中结否然成立？成立请证明成立请说明理
（五）旋转
1：正方形ABCD中EBC点FCD点BE+DFEF求∠EAF度数
2：D等腰斜边AB中点DM⊥DNDMDN分交BCCA点EF
（1） 绕点D转动时求证DEDF
（2） AB2求四边形DECF面积
3图边长3等边三角形等腰三角形D顶点做角两边分交AB点M交AC点N连接MN周长
中考应
（07佳木斯）已知四边形中绕点旋转两边分交（延长线）．
绕点旋转时（图1）易证．
绕点旋转时图2图3两种情况述结否成立？成立请予证明成立线段样数量关系？请写出猜想需证明．
（图1）
（图2）
（图3）
（西城09年模）已知PAPB4AB边作正方形ABCDPD两点落直线AB两侧
(1)图∠APB45°时求ABPD长
(2)∠APB变化条件变时求PD值相应∠APB
（09崇文模）等边两边ABAC直线分两点MND外点BDDC 探究：MN分直线ABAC移动时BMNCMN间数量关系周长Q等边周长L关系．
图1 图2 图3
（I）图1点MN边ABACDMDN时BMNCMN间数量关系 时
（II）图2点MN边ABACDMDN时猜想（I）问两结成立？写出猜想加证明
（III） 图3MN分边ABCA延长线时
ANQ （L表示）．
六 梯形辅助线
口诀：
梯形问题巧转换变△□移腰移角两腰延长作出高果出现腰中点细心连中位线述方法奏效腰中点全等造
通常情况通做辅助线梯形转化三角形行四边形解梯形问题基思路选取种方法结合题目图形已知条件常见种辅助线作法：
作法
图形
移腰转化三角形行四边形
移角线转化三角形行四边形
延长两腰转化三角形
作高转化直角三角形矩形
中位线腰中点连线
（）移
1移腰：
例1 图示直角梯形ABCD中∠A＝90°AB∥DCAD＝15AB＝16BC＝17 求CD长
解：点D作DE∥BC交AB点E
AB∥CD四边形BCDE行四边形
DE＝BC＝17CD＝BE
Rt△DAE中勾股定理
AE2＝DE2－AD2AE2＝172－152＝64
AE＝8
BE＝AB－AE＝16－8＝8
CD＝8
例2图梯形ABCD底AB3底CD8腰AD4求腰BC取值范围
解：点B作BMAD交CD点M
△BCM中BMAD4
CMCD－DMCD－AB8－35
BC取值范围：
5－4
例3图梯形ABCD中ADBC∠B＋∠C90°AD1BC3EF分ADBC中点连接EF求EF长
解：点E分作ABCD行线交BC点GH
∠EGH＋∠EHG∠B＋∠C90°
△EGH直角三角形
EF分ADBC中点容易证FGH中点
3移角线：
例4已知：梯形ABCD中ADBCAD1BC4BD3AC4求梯形ABCD面积．
解：图作DE∥AC交BC延长线E点．
A
B
D
C
E
H
∵AD∥BC ∴四边形ACED行四边形
∴BEBC+CEBC+AD4+15DEAC4
∵△DBE中 BD3DE4BE5
∴∠BDE90°．
作DH⊥BCH
．
例5图等腰梯形ABCD中ADBCAD3BC7BD求证：AC⊥BD
解：点C作BD行线交AD延长线点E
易四边形BCED行四边形
DEBCCEBD
AEAD＋DEAD＋BC3＋710
等腰梯形ABCD中ACBD
△ACE中
AC⊥CEAC⊥BD
例6图梯形ABCD中ADBCAC15cmBD20cm高DH12cm求梯形ABCD面积
解：点D作DEAC交BC延长线点E
四边形ACED行四边形
勾股定理
（cm）
（cm）
梯形ABCD面积150cm2
（二）延长
延长两腰相交点梯形转化三角形
例7图梯形ABCD中ADBC∠B50°∠C80°AD2BC5求CD长
解：延长BACD交点E
△BCE中∠B50°∠C80°
∠E50°BCEC5
理ADED2
CDEC－ED5－23
例8 图示四边形ABCD中AD行BCAC＝BDAD＝BC 判断四边形ABCD形状证明结
解：四边形ABCD等腰梯形
证明：延长ADBC相交点E图示
∵AC＝BDAD＝BCAB＝BA
∴△DAB≌△CBA
∴∠DAB＝∠CBA
∴EA＝EB
AD＝BC∴DE＝CE∠EDC＝∠ECD
∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°
∴∠EDC＝∠EAB∴DC∥AB
AD行BC
∴四边形ABCD等腰梯形
（三）作角线
通作角线梯形转化三角形
例9图6直角梯形ABCD中ADBCAB⊥ADBCCDBE⊥CD点E求证：ADDE
解：连结BD
ADBC∠ADB∠DBE
BCCD∠DBC∠BDC
∠ADB∠BDE
∠BAD∠DEB90°BDBD
Rt△BAD≌Rt△BED
ADDE
（四）作梯形高
1作条高
例10图直角梯形ABCD中ABDC∠ABC90°AB2DC角线AC⊥BD垂足F点F作EFAB交AD点E求证：四边形ABFE等腰梯形
证：点D作DG⊥AB点G
易知四边形DGBC矩形DCBG
AB2DCAGGB
DADB∠DAB∠DBA
EFAB四边形ABFE等腰梯形
2作两条高
例11等腰梯形ABCD中ADBCABCD∠ABC60°AD3cmBC5cm
求：(1)腰AB长(2)梯形ABCD面积．
A
B
C
DD
ED
FD
解：作AE⊥BCEDF⊥BCF∵AD∥BC
∴四边形AEFD矩形 EFAD3cm
∵ABDC
∵Rt△ABE中∠B60°BE1cm
∴AB2BE2cm
∴
例12图梯形ABCD中AD底AB>CD求证：BD>AC
证：作AE⊥BCE作DF⊥BCF易知AEDF
Rt△ABERt△DCF中
AB>CDAEDF
勾股定理BE>CFBF>CE
Rt△BDFRt△CAE中
勾股定理BD>AC
（五）作中位线
1已知梯形腰中点作梯形中位线
例13图梯形ABCD中ABDCOBC中点∠AOD90°求证：AB＋CDAD
证：取AD中点E连接OE易知OE梯形ABCD中位线OE（AB＋CD）①
△AOD中∠AOD90°AEDE
②
①②AB＋CDAD
2已知梯形两条角线中点连接梯形顶点条角线中点延长底边相交问题转化三角形中位线
例14图梯形ABCD中ADBCEF分BDAC中点求证：（1）EFAD（2）
证：连接DF延长交BC点G易证△AFD≌△CFG
ADCGDFGF
DEBEEF△BDG中位线
EFBG
ADBG
EFADEF
3梯形中出现腰中点时点构造出两全等三角形达解题目
例15梯形ABCD中AD∥BC ∠BAD900EDC中点连接AEBE求∠AEB2∠CBE
解：分延长AEBC 交F点
∵∠BAD900AD∥BC
∴∠FBA1800－∠BAD900
∵AD∥BC
∴∠DAE∠F(两直线行错角相等)
∠AED∠FEC （顶角相等）
DEEC （E点CD中点）
∴△ADE≌△FCE （AAS）
∴ AEFE
△ABF中∠FBA900 AEFE
∴ BEFE（直角三角形斜边中线等斜边半）
∴ △FEB中 ∠EBF∠FEB
∠AEB∠EBF+ ∠FEB2∠CBE
A
B
D
C
E
F
例16已知：图梯形ABCD中ADBCAB⊥BCECD中点试问：线段AEBE间样关系？
解：AEBE理：
延长AEBC延长线交点F．
∵DECE∠AED∠CEF
∠DAE∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AEEF
∵AB⊥BC ∴BEAE．
例17已知：梯形ABCD中ADBCEDC中点EF⊥ABF点AB3cmEF5cm求梯形ABCD面积．
解：图E点作MN∥AB分交AD延长线M点交BCN点．
A
B
C
D
E
F
M
N
∵DEECAD∥BC
∴△DEM≌△CNE
四边形ABNM行四边形
∵EF⊥AB
∴S梯形ABCDS□ABNMAB×EF15cm2．
模拟试题（答题时间：40分钟）
1 等腰梯形锐角60°两底分11cm35cm腰长__________cm
2 图示已知等腰梯形ABCD中AD∥BC∠B＝60°AD＝2BC＝8等腰梯形周长（ ）
A 19 B 20 C 21 D 22
3 图示AB∥CDAE⊥DCAE＝12BD＝20AC＝15梯形ABCD面积（ ）
A 130 B 140 C 150 D 160
*4 图示等腰梯形ABCD中已知AD∥BC角线ACBD互相垂直AD＝30BC＝70求BD长
5 图示已知等腰梯形锐角等60°两底分15cm49cm求腰长
6 图示已知等腰梯形ABCD中AD∥BCAC⊥BDAD＋BC＝10DE⊥BCE求DE长
7 图示梯形ABCD中AB∥CD∠D＝2∠BAD＋DC＝8求AB长
**8 图示梯形ABCD中AD∥BC（1）EAB中点AD＋BC＝CDDECE位置关系？（2）E∠ADC∠BCD角分线交点DECE位置关系？
1．圆中作辅助线常方法：
（1）作弦心距便利弦心距弧弦间关系垂径定理
（2）题目中弦中点弧中点条件时般连接中点圆心利垂径定理推出结果
（3）题目中直径条件适选取圆周点连结点直径端点90度角直角三角形
（4）连结弧等弧圆周角圆心角等角
（5）题中半径（直径）垂直线段图1圆O中BD⊥OAD常：①图1（）延长BD交圆C利垂径定理
②图1（）延长AO交圆E连结BEBARt△ABE
图1（） 图1（）
（6）题目中切线条件时般：切线引切点半径
（7）题目中两圆相切（切外切）切点作两圆切线作出连心线（连心线切点）沟通两圆中关角相等关系
（8）题目中两圆相交条件常作两圆公弦弧圆周角构成圆接四边形解决时引两连心线结果
（9）问题先证明四点圆助辅助圆中角间等量关系证明
（10）圆接正边形问题添作边心距抓住直角三角形解决
例题1：图2圆O中B中点BDAB延长线∠OAB500求∠CBD度数
解：图连结OBOC圆O半径已知∠OAB500
∵B弧AC中点
∴弧AB弧BC
∴ABBC
∵OAOBOC
∴△AOB≌△BOC（SSS） 图2
∴∠OBC∠ABO500
∵∠ABO+∠OBC+∠CBD1800
∴∠CBD1800 500 500
∴∠CBD800
答∠CBD度数800
例题2图3圆O中弦ABCD相交点P求证：∠APD度数（弧AD+弧BC）度数
证明：连接AC∠DPA∠C+∠A
∴∠C度数弧AD度数
∠A度数弧BC度数
∴∠APD（弧AD+弧BC）度数 图3
造直角三角形法
1构成Rt△常连接半径
例1 ⊙O点M 长弦AB 26cm短弦CD 10cm 求AM长
2遇直径常作直径圆周角
例2 AB⊙O直径AC切⊙OACB交⊙ODD作⊙O切线交ACE
求证CE AE
3遇切线常作切点半径
例3 割线AB交⊙OCDACBDAE切⊙OEBF切⊙OF
求证∠OAE ∠OBF
4遇公切线常构造Rt△(斜边长圆心距直角边两半径差直角边公切线长)
例4 ⊙O1⊙O2外切点A外公切线BCDE分⊙O1⊙O2切点BCDE相交P∠P 60°
求证：⊙O1⊙O2半径1：3
5．正边形相关计算常构造Rt△
例5⊙O半径6求接正方形ABCD接正六边形AEFCGH公部分面积
二欲垂径定理常作弦垂线段
例6 AB⊙O直径CD弦AE⊥CDEBF⊥CDF(1)求证EC DF
(2)AE 2CDBF6求⊙O面积
三转换割线弦相交角常构成圆接四边形
例7 AB⊙O直径弦CD⊥ABM点AM延长线交DC延长线F
求证 ∠F ∠ACM
四切线综合运
1．已知圆点常_________________
例8图 已知：⊙O1⊙O2外切PACP点割线交⊙O1A交⊙O2C点O1直线AB ⊥BCB求证： BC⊙O2相切
例9图AB⊙O直径AE分∠BAF交⊙OEE点作直线AF垂直交AF延长线D点交ABC点．
求证：CD⊙O相切点E．
2两条件没常___________________
例10 图AB半圆直径 AM⊥MNBN⊥MN果AM+BN＝AB求证 直线MN半圆相切
例11等腰△ABC中ABAC底边中点D圆心圆切AB边E点 求证AC⊙D相切
例12．菱形ABCD两角线交点O⊙OAB相切
求证：⊙O三边相切
五两圆相关题型
1．两圆相交作_____________________
例13⊙O1⊙O2相交ABA点作直线交⊙O1C点交⊙O2D点B点作直线交⊙O1E点交⊙O2F点
求证CE∥DF
2相切两圆作________________________
例14 ⊙O1⊙O2外切点PP点直线分交⊙O1⊙O2AB两点AC切⊙O1A点BC交⊙O2D点
求证：∠BAC ∠BDP
3．两圆三圆相切作_________________
例15AB6直径作半⊙O分OAOB直径半⊙O作半⊙O1半⊙O2⊙O3三半圆两两相切
求⊙O3半径
4．圆圆圆心作____________
例16两等圆⊙O1⊙O2相交AB 两点⊙O1点O2B点作直线交⊙O1C点交⊙O2D点
求证：△ACD等边三角形
六开放性题目
例17．已知：图边直径交边点点切线分边．
（1）否相切？请说明理
（第23题）
（2）满足什条件时点顶点四边形行四边形？说明理．
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