圆锥曲线典解答题汇编
目录
1轨迹问题 1
2中点弦弦长公式运 5
3值问题 9
4面积问题 11
5求解参数范围问题 14
6垂直处理 15
7例问题 18
8直线定点点线问题 20
9定值问题 21
10相切公切线问题 25
1轨迹问题
1 图M 抛物线 y2x 点动弦 MEMF 分交 x 轴 AB 两点 MAMB
（1） M 定点证明：直线 EF 斜率定值
（2） M 动点∠EMF90°求△EMF 重心 G 轨迹
解：（1）设 M（y 2
0 y0）直线 ME 斜率 k(l>0)
直线 MF 斜率－k方程 2
00( )y y k x y
∴
2
00
2
()y y k x y
yx
消 2
00(1 ) 0x ky y y ky
解
2
00
2
1 (1 )FF
ky kyyxkk
∴
00
22
000 0
222
11 2
1
4(1 ) (1 ) 2
EF
EF
EF
ky ky
yy k k kk kyky kyx x y
kkk
(定值)
直线 EF 斜率定值
（2） 90 45 1EMF MAB k 时 直线 ME 方程 2
00()y y k x y
2
00
2
y y x y
yx
2
00((1 ) 1 )E y y
理 2
00((1 ) (1 ))F y y
设重心 G（x y）
2 2 2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
(1 ) (1 ) 2 3
3 3 3
(1 ) (1 )
3 3 3
MEF
MEF
y y y yx x xx
y y y yx x xx
消参数 0y 2 1 2 2( )9 27 3y x x
x
y
O A
B
E
F
M
2 已知椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 左右焦点分 F1（－c0）F2（c0）Q 椭圆外动点满足 2|| 1 aQF
点 P 线段 F1Q 该椭圆交点点 T 线段 F2Q 满足 0||0 22 TFTFPT
（Ⅰ）设 x 点 P 横坐标证明 xa
caPF || 1
（Ⅱ）求点 T 轨迹 C 方程
（Ⅰ）证法：设点 P 坐标 )( yx
P)( yx 椭圆
2
2 2 2 2 2 2
1 2| | ( ) ( ) ( ) bcFP xcy xcb x axaa
0 acxa
caax 知 || 1 xa
caPF ………3 分
证法二：设点 P 坐标 记 |||| 2211 rPFrPF
)()( 22
2
22
1 ycxrycxr
||42 11
2
2
2
121 xa
carPFcxrrarr
证法三：设点 P 坐标 椭圆左准线方程 0 xa
ca
椭圆第二定义
a
c
c
ax
PF
||
||
2
1 ||||||
2
1 xa
cac
axa
cPF
0 acxa
caax 知 …………………………3 分
（Ⅱ）解法：设点 T 坐标
0|| PT 时点（ a 0）点（－ 0）轨迹
| 0||0| 2 TFPT 时 0|||| 2 TFPT 2TFPT
|||| 2PFPQ T 线段 F2Q 中点
△QF1F2 中 aQFOT ||2
1|| 1 222 ayx
综述点 T 轨迹 C 方程 …………………………7 分
解法二：设点 T 坐标 时点（ 0）点（－ 0）轨迹
| 时 02 TFPT 2TFPT
T 线段 F2Q 中点
设点 Q 坐标（ yx ）
2
2
yy
cxx
2
2
yy
cxx ①
aQF 2|| 1 4)( 222 aycx ②
①代入② 222 ayx
综述点 T 轨迹 C 方程 ……………………7 分
3 面直角坐标系 xOy 中抛物线 2yx 异坐标原点Ｏ两动点ＡＢ满足 AO BO ．
（Ⅰ）求 AOB 重心Ｇ（三角形三条中线交点）轨迹方程
（Ⅱ） AOB 面积否存值？存请求出值存请说明理．
③
④
解：（I）设△AOB 重心 G(xy)A(x1y1)B(x2y2)
3
3
21
21
yyy
xxx
…（1）
∵OA⊥OB ∴ 1 OBOA kk 12121 yyxx ……(2)
点 AB 抛物线 2
22
2
11 xyxy 代入（2）化简 121 xx
∴
3
233
2)3(3
1]2)[(3
1)(3
1
3
22
21
2
21
2
2
2
1
21 xxxxxxxxyyy
重心 G 轨迹方程
3
23 2 xy
（II） 2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1 2
1))((2
1||||2
1 yyyxyxxxyxyxOBOASAOB
（I） 6 6 6 6 6
1 2 1 2
1 1 1 12 2 2 2 ( 1) 2 2 12 2 2 2AOBS x x x x
仅 6
2
6
1 xx 121 xx 时等号成立△AOB 面积存值存时求值 1
4 图动圆 2 2 2
1 C x y t1
2
2 19
x y相交 ABCD 四点点 12AA分 2C
左右顶点
(Ⅰ) t 值时矩形 ABCD 面积取值？求出
面积
(Ⅱ)求直线 AA1 直线 A2B 交点 M 轨迹方程
解析(Ⅰ)设 A( 0x 0y )矩形 ABCD 面积 S 004 | | |xy
2
20
0 19
x y
2
2 0
0 1 9
xy
∴ 22
00xy
2
2 0
0 (1 )9
xx 22
0
1 9 9()9 2 4x
x
y
O
A
B
2
0
9
2x 2
0
1
2y 时 maxS 6
∴t 5 时矩形 ABCD 面积面积 6
(Ⅱ) 设 1 1 1 1 A x y B x y 知 1230 30AA
直线 1AA方程 1
1
+3+3
yyxx ①
直线 2AB方程 1
1
33
yyxx
②
①② 2
2 2 21
22
1
33
yyxx ③
点 11A x y 椭圆 0C
2
1
12 + 13
x y
2
2 1
1 2 1 3
xy
代入③
2
2 1 <3 <09
x y x y
∴直线 1AA 直线 2AB交点 M 轨迹方程 ……12 分
5 图动点 M 两定点 ( 10)A (20)B 构成 MAB 2MBA MAB 设动点 M 轨迹C
（Ⅰ）求轨迹C 方程
（Ⅱ）设直线 2y x m y 轴交点 P轨迹C 相交点QR| | | |PQ PR 求 ||
||
PR
PQ
取值范围
y
xBAO
M
答案题考查轨迹方程求法圆锥曲线定义等基础知识考查基运算力逻辑推理力考查方
程函数数形结合分类讨化转化等数学思想
[解析]（1）设 M 坐标（xy）显然 x>0 0y
∠MBA90°时点 M 坐标（2 ±3）
∠MBA≠90°时x≠2∠MBA2∠MAB
tan∠MBA
MAB
MAB
2tan1
tan2 2)1
||(1
1
||2
2
||
x
y
x
y
x
y
化简：3x2y230（2±3）
综知轨迹 C 方程 3x2y230（x>1）…………………5 分
(II)方程
033
2
22 yx
mxy 消 y 034 22 mmxx （ *）
题意方程（*）两根均（1+ ）设 34)( 22 mmxxxf
0)3(4)4(
0341)1(
12
4
22
22
mm
mmf
m
解m>1 m 2
设 QR 坐标分 )()( 00 RR yxyx PRPQ
)1(32)1(32 2
0
2 mmxmmxR
)11(32
41
)11(32
)11(32
)1(32
)1(32
22
2
2
2
mm
m
mm
mm
x
x
PQ
PR
Q
R
m>1 m 2
7
m
1132
41347
)11(32
411
22
）（
m
PQ
PR 取值范围 )3477(71
2中点弦弦长公式运
6 设 AB 椭圆 223 yx 两点点 N（13）线段 AB 中点线段 AB 垂直分线椭圆相交
CD 两点
（Ⅰ）确定 取值范围求直线 AB 方程
（Ⅱ）试判断否存样 ABCD 四点圆？说明理
（I）解法 1：题意设直线 AB 方程 2233)1( yxxky 代入 整理
0)3()3(2)3( 222 kxkkxk ①
设 方程 212211 )()( xxyxByxA ①两根 0])3(3)3([4 22 kk ②
)31(
3
)3(2
221 N
k
kkxx
线段 AB 中点 3)3(12
221 kkkxx
解 k1代入② >12 取值范围（12+ ）
直线 AB 方程 04)1(3 yxxy
解法 2：设 )()( 2211 yxByxA
0))(())((3
3
3
212121212
2
2
2
2
1
2
1
yyyyxxxx
yx
yx
题意 )(3
21
21
21 yy
xxkxx AB
04)1(3方程直线
)12(取值范围
12313椭圆)31(
162中点)31(
22
2121
yxxyAB
N
kyyxxABN AB
（II）解法 1：0213 yxxyCDABCD 方程直线垂直分 代入椭圆方程整理
0444 2 xx ③
方程中点设 43004433 )()()( xxyxMCDyxDyxC ③两根
3 4 0 3 4 0 0
1 1 3 1 31 ( ) 2()2 2 2 2 2x x x x x y x M
弦长公式 )3(2||)1(1|| 43
2 xxkCD ④
直线 AB 方程 代入椭圆方程04 yx 01684 2 xx ⑤
理 )12(2||1|| 21
2 xxkAB ⑥
||||)12(2)3(212 CDAB 时
假设 >12 ABCD 四点圆 CD 必圆直径点 M 圆心点 M 直线 AB 距离
2
23
2
|42
3
2
1|
2
|4| 00
yxd ⑦
④⑥⑦式勾股定理
|2|2
3
2
12
2
9|2||||| 22222 CDABdMBMA
12 时ABCD 四点均 M 圆心
2
|| CD 半径圆
（注：述解法中步解法获：
ABCD 圆 △ACD 直角三角形A 直角 |||||| 2 DNCNAN
)2
||)(2
||()2
||( 2 dCDdCDAB ⑧
⑥式知⑧式左边 2
12
④⑦知⑧式右边 )2
23
2
)3(2)(2
23
2
)3(2( 2
12
2
9
2
3
∴⑧式成立 ABCD 四点圆
7 图直角坐标系 xOy 中点 P（1 1
2
）抛物线 C： 2y 2px（P＞0）准线距离 5
4
点 M（t1）
C 定点AB C 两动点线段 AB 直线 OM 分
（1）求 pt 值
（2）求△ABP 面积值
解析
（1）题意
21
51 24
pt
p
1
2
1
p
t
（2）设 1 1 2 2( ) A x y B x y 线段 AB 中点坐标 ()Q m m
题意设直线 AB 斜率 k（k 0 ）
2
11
2
22
2px
2px
y
y
2 1 1 2 2 1( )( ) ( )y y y y k x x 21km
直线方程 1 ()2y m x mm 22 2 0x my m m
2
2
2 2 0x my m m
yx
整理 222 2 0y my m m
244mm 122y y m 2
12 2y y m m
22
122
11 1 4 4 4AB y y m m mk
设点 P 直线 AB 距离 d
2
2
1 2 2
14
mm
d
m
设 ABP 面积 S 221 1 2( )2S AB d m m m m
24 4 0mm 01m
令 2t m m 10 2t 2(1 2 )S t t
设 10 2t 216St
21 6 0St 61062t
max
6
9S ABP 面积值 6
9
8 知斜率 1 直线 l 双曲线 C：
22
221 0 0xy abab＞ ＞ 相交 BD 两点 BD 中点 13M．
（Ⅰ）求 C 离心率
（Ⅱ）设 C 右顶点 A右焦点 F 17DF BF 证明： ABD 三点圆 x 轴相切．
参考答案
3值问题
9 图椭圆
22
22 1( 0)xyM a bab 离心率 3
2
直线 xa yb 围成矩形 ABCD 面积 8
(Ⅰ)求椭圆 M 标准方程
(Ⅱ) 设直线 ()l y x m m R 椭圆M两交点 P Q l 矩形ABCD两交点 ST求 ||
||
PQ
ST
值取值时 m 值
答案(21)(I)
22
2
33
24
c a be aa
……①
矩形 ABCD 面积 8 2 2 8ab……②
①②解： 2 1ab
∴椭圆 M 标准方程
2
2 14
x y
(II)
22
224 4 5 8 4 4 0
xy x mx m
y x m
设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y
2
1 2 1 2
8 4 455
mx x m x x
2264 20(4 4) 0mm 55m
2 2
28 4 4 4 2| | 2 4 55 5 5
mPQ m m
l A 点时 1m C 点时 1m
① 51m 时 ( 1 1) (22 )| | 2(3 )S m T m ST m
2
22
| | 4 5 4 4 6 1| | 5 (3 ) 5
PQ m
ST m t t
中 3tm知13
4t 45 ( 5 1)33tm 时 ||
||
PQ
ST
取值 2 55
②称性知15m 5
3m 时 取值
③ 11m 时| | 2 2ST 2| | 2 5| | 5
PQ mST
知 0m 时 取值
综知 5
3m 0 时 取值
y
Q
P
N
M
F
O x
4面积问题
10 PQMN 四点椭圆
2
2 12
yx F 椭圆 y 轴正半轴焦点．已知 PF FQ 线MF
FN 线 0PF MF．求四边形 PMQN 面积值值．
解：图条件知 MN PQ 椭圆两条弦相交焦点 F(01) PQ⊥MN直线 PQNM 中少
条存斜率妨设 PQ 斜率 K PQ 点 F(01) PQ 方程 kx +1
式代入椭圆方程(2+ 2k ) 2x +2 －10
设 PQ 两点坐标分( 1x 1y )( 2x 2y )
22
1222
2 2 2 222
k k k kxxkk
22
2 2 2
1 2 1 2 22
8(1 )| | ( ) ( ) (2 )
kPQ x x y y k
2
2
2 2(1 )|| 2
kPQ k
(1) k ≠0 时MN 斜率－ 1
k
推
2
2
12 2(1 (1 ) )
|| 12 ( )
kMN
k
四边形面积
22
22
22
22
114(1 )(1 ) 4(2 )1 | || | 122 (2 )(2 ) 5 2
kkkkS PQ MN
kkkk
令u 2
2
1k k 4(2 ) 12(1 )5 2 5 2
uS uu
∵ ≥2
±1 时 2S16
9
S 变量增函数∴16 29 S
② 0 时MN 椭圆长轴|MN|2 2 |PQ| ∴S 1
2
|PQ||MN|2
综合①②知四边形 PMQN 值 2值
11 图 21FF 分椭圆C： 2
2
a
x + 2
2
b
y 1（ 0 ba ）左右焦点A 椭圆C
顶点 B 直线 2AF 椭圆C 交点 1F A 2F 60°
（Ⅰ）求椭圆C 离心率
（Ⅱ）已知△ ABF1 面积 40 3 求 a b 值
解析（I） 12
160 2 2
cF AF a c e a
（Ⅱ）设 2BF m 1 2BF a m
12BF F 中 2 2 2
1 2 1 2 2 1 22 cos120BF BF F F BF F F
2 2 2 3(2 ) 5a m m a am m a
1AF B 面积 21
1 1 3 3sin 60 ( ) 40 32 2 5 2
10 5 5 3
S F F AB a a a
a c b
12 图椭圆 C：
22
22+1xy
ab (a＞b＞0)离心率 1
2
左焦点点 P(21)距离 10 ．原点 O 直线 l
C 相交 AB 两点线段 AB 直线 OP 分．
(Ⅰ)求椭圆 C 方程
(Ⅱ) 求 ABP 面积取时直线 l 方程．
解析(Ⅰ)题： 1
2
ce a (1)
左焦点(﹣c0)点 P(21)距离： 22(2 ) 1dc ． (2)
(1) (2)解： 2 2 24 3 1a b c ．
∴求椭圆 C 方程：
22
+143
xy ．
(Ⅱ)易直线 OP 方程：y＝ x设 A(xAyA)B(xByB)R(x0y0)．中 y0＝ x0．
∵AB 椭圆
∴
22
0
22
0
+1 23 3 343
4 4 2 2+143
AA
ABAB
AB
ABABBB
xy
xy y x xk x x y y yxy
．
设直线 AB 方程 l：y＝﹣ 3
2 xm (m≠0)
代入椭圆：
22
22
+143 3 3 3 0
3
2
xy
x mx m
y x m
＝
．
显然 2 2 2(3 ) 4 3( 3) 3(12 ) 0m m m ．
∴﹣ 12 ＜m＜ m≠0．
： ABxx ＝m AByy ＝
2 3
3
m ．
∴|AB|＝ 1 ABk | ABxx |＝ 2( ) 4ABABx x x x ＝
2
4 3
m ．
∵点 P(21)直线 l 距离表示： 3 1 2
11AB AB
mmd
kk
．
∴S ABP＝ 1
2 d|AB|＝ |m＋2|
2
4 3
m
|m＋2|＝ m＝﹣3 m＝0(舍)时(SABP)max＝ ．
时直线 l 方程 y＝﹣ 31
22x ．
13 已知原点 O 中心 50F 右焦点双曲线 C 离心率 5
2e
（I） 求双曲线 C 标准方程渐线方程
（II） 题（20）图已知点 11M x y 直线 1 1 1 4 4l x x y y点
22N x y （中 2xx ）直线 2 2 2 4 4l x x y y交点 E 双曲线
C 直线 MN 两条渐线分交 GH 两点求 OGH 面积
5求解参数范围问题
14 已知中心原点双曲线 C 右焦点(20)右顶点 )03(
(1) 求双曲线 C 方程
(2) 直线 l： 2 kxy 双曲线 C 恒两交点 A B 2OBOA (中 O 原点)求 k
取值范围
解：（Ⅰ）设双曲线方程
22
221xy
ab )00( ba
已知 1223 2222 bbaca 双曲线 C 方程 13
2
2
yx
（Ⅱ） 代入 132 2
2
yxkxy 0926)31( 22 kxxk
直线 l 双曲线交两点
2
222
1 3 0
(6 2 ) 36(1 3 ) 36(1 ) 0
k
k k k
13
1 22 kk ① 设 )()(BBAA yxByxA
22
6 2 9 2 21 3 1 3ABABABAB
kxx xx OAOB xxyykk
2( 2)( 2)( 1) 2( )2ABABABABABABxxyyxxkx kx k xx kxx
2
2
2 2 2
9 6 2 3 7( 1) 2 2 1 3 1 3 3 1
kkkkk k k
22
22
3 7 3 92 03 1 3 1
kk
kk
解等式 33
1 2 k ②
①② 13
1 2 k k 取值范围 33( 1 ) ( 1)33
15 设 11A x y 22B x y 两点抛物线 22yx l AB 垂直分线
（Ⅰ）仅 12xx 取值时直线l 抛物线焦点 F？证明结
（Ⅱ）直线l 斜率 2 时求l y 轴截距取值范围
解：（Ⅰ） F l FA FB A B 两点抛物线准线距离相等
∵抛物线准线 x 轴行线 1200yy题意 12yy 时 0
∴述条件等价 22
1 2 1 2 1 2 1 2 0y y x x x x x x
∵ 12xx ∴述条件等价 120xx仅 时 抛物线焦点
（Ⅱ）设 y 轴截距b 题意l 方程 2y x b点 AB 直线方程写 1
2y x m
12xx 满足方程 2 1202x x m 12
1
4xx
抛物线两点等价述方程判式 1 804 m 1
32m
设 AB 中点 N 坐标 00xy 0 1 2
11
28x x x 00
11
2 16y x m m
Nl 11
16 4mb 5 5 1 9
16 16 32 32bm
l y 轴截距取值范围 9
32
6垂直处理
16 面直角坐标系 xOy 中已知双曲线 22 2 1C x y
（1）设 F C 左焦点 M C 右支点 22MF 求点 坐标
（2） 左焦点作 两条渐线行线求两组行线围成行四边形面积
（3）设斜率 k （ 2k ）直线l 交C PQ 两点 圆 221xy相切求证：OP ⊥OQ
[解]（1）双曲线 1 2
2
1
2 yC x 左焦点 )0( 2
6F
设 )( yxM 2
2
222
2
62 )3()(|| xyxMF ……2 分
M 右支点知 2
2x 223|| 2
2 xMF 2
6x
)2( 2
6 M ……5 分
（2）左顶点 )0( 2
2A渐线方程： xy 2
A 渐线 xy 2 行直线方程： )(2 2
2 xy 12 xy
解方程组
12
2
xy
xy
2
1
4
2
y
x ……8 分
求行四边形面积 4
2|||| yOAS ……10 分
（3）设直线 PQ 方程 bkxy 直线已知圆相切 11
||
2 k
b
122 kb (*)
12 22 yx
bkxy 012)2( 222 bkbxxk
设 P(x1 y1)Q(x2 y2)
2
2
2
2
1
21
2
2
21
k
b
k
kb
xx
xx
))(( 2121 bkxbkxyy
2
2121
2
2121 )()1( bxxkbxxkyyxxOQOP
2
22
2
22
2
22
2
1
2
2
2
)1)(1(
k
kb
k
bk
k
bk
(*)知 0OQOP OP⊥OQ
17 图设椭圆中心原点 O长轴 x 轴顶点 A左右焦点分 21FF线段 中点分 21BB
△ 21BAB 面积 4 直角三角形
（Ⅰ）求该椭圆离心率标准方程
（Ⅱ） 做直线l 交椭圆 PQ 两点 22 QBPB 求直线 方程
命题立意题考查椭圆标准方程面量数量积基运算直线般式方程直线圆锥曲线综
合问题
解：设求椭圆标准方程
22
2210xy abab 右焦点 2 0Fc
12AB B 直角三角形 12AB AB 12B AB 直角 2OA OB
2
cb
结合 2 2 2c a b 2 2 24b a b 2 2 2 25 4a b c b离心率 2 55
ce a
12Rt AB B 中 12OA B B
12
2
1 2 2
1
22AB B
cS BBOAOBOA bb
题设条件
12
4AB BS 2 4b 225 20ab
求椭圆标准方程：
22
120 4
xy
（2）（1）知 1( 20) (20)BB 题意知直线l 倾斜角 0设直线l 方程： 2x my代入椭
圆方程 225 4 16 0m y my
设 1 2 2 2P x y Q x y 12yy面方程两根
12 2
4
5
myy m 12 2
16
5yy m
2 1 1 2 2 22 2B P x y B Q x y
2 2 1 2 1 222B P B Q x x y y
1 2 1 244my my y y
2
1 2 1 21 4 16m y y m y y
2 2
22
16 1 16 1655
m m
mm
2
2
16 64
5
m
m
21PB QB 22 0BPBQ 216 64 0m 解 2m
满足条件直线两条方程分： 2 2 0xy 2 2 0xy
7例问题
18 设椭圆 C：
22
221( 0)xy abab 左焦点 F点 F 直线椭圆 C 相交 AB 两点直线 l 倾斜角
60o 2AF FB
(I) 求椭圆 C 离心率
(II) 果|AB|15
4
求椭圆 C 方程
解：
设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 题意知 1y ＜0 2y ＞0
（Ⅰ）直线 l 方程 3( )y x c中 22c a b
联立 22
22
3( )
1
y x c
xy
ab
2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b
解
22
122 2 2 2
3 ( 2 ) 3 ( 2 )33
b c a b c ayya b a b
2AF FB 122yy
22
2 2 2 2
3 ( 2 ) 3 ( 2 )233
b c a b c a
a b a b
离心率 2
3
ce a ……6 分
（Ⅱ） 21
11 3AB y y
2
22
2 4 3 15
343
ab
ab
2
3
c
a 5
3ba 5 15
44a a3 5b
椭圆 C 方程
22
195
xy …
19 已知椭圆
2
2
1 14
xCy椭圆 2C 1C 长轴短轴 相离心率
（1）求椭圆 方程
（2）设 O 坐标原点点 AB 分椭圆 1C 2C 2OB OA 求直线 AB 方程
解析（Ⅰ）已知设椭圆 方程
22
2 124
yx aa
离心率 3
2
2 43
2
a
a
4a ．
椭圆 方程 1416
22
xy ．
（Ⅱ）解法： AB 两点坐标分 AABBx y x y
2AB OA （Ⅰ）知OAB 三点线点 AB y 轴
设直线 AB 方程 kxy ．
代入 14
2
2
yx 中 441 22 xk 2
2
41
4
k
xA
代入
22
+116 4
yx 中 224 16kx 2
2
16
4Bx k
22 4 AB xx 22 41
16
4
16
kk
．
解 1k 直线 AB 方程 xy xy ．
解法二： AB 两点坐标分 BBAA yxyx
OAAB 2 （Ⅰ）知 三点线点 轴
设直线 方程 ．
代入 中
2
2
41
16
k
xB
2
2
2
41
16
k
kyB
22 BB yx 代入 中 1
41
4
2
2
k
k 22 414 kk
解 直线 方程
8直线定点点线问题
20 图等边三角形 OAB 边长83三顶点均抛物线 E：x22py（p＞0）
（1） 求抛物线 E 方程
（2） 设动直线 l 抛物线 E 相切点 P直线 y1 相较点 Q证明 PQ 直径圆恒 y 轴某定点
解答：
（I）设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 22
1 1 2 22 2x py x py
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
22
( )(2 )0 (2 0)
OAOB xy xy pyy pyy
y y p y y y y p y y
：点 AB关 y 轴称
8 3 ( 4 312) (4 312)OA OB AB A B
代入抛物线 E 方程：
2
22
xp y 抛物线 方程 2 4xy
（II）设
2
0
0()4
xPx 211
42y x y x
点 P 切线方程 2
0 0 0
11()42y x x x x 2
00
11
24y x x x
令
2
0
0
41 ( 1)2
xyQx
设 (0 )Mt满足： 0MP MQ
2
0
00
0
4( ) ( 1 )2
xMP x y t MQ tx
： 22
04( 2) (1 ) 0t t t x 0 0x 均成立
2 2 01 0 1t t t t
PQ 直径圆恒 y 轴定点 (01)M
21 已知曲线 22 5 2 8C m x m y m R
（1）曲线C 焦点 x 轴椭圆求 m 取值范围
（2）设 4m 曲线 y 轴交点 AB（点 位点 方）直线 4y kx
曲线 交两点 MN直线 1y 直线 BM 交点G求证： AGN
三点线
解：（1）原曲线方程化简：
22
188
52
xy
mm
题意：
88
52
8 05
8 02
mm
m
m
解： 7 52 m
（2）已知直线代入椭圆方程化简： 22(2 1) 16 24 0k x kx
232(2 3)k解： 2 3
2k
韦达定理： 2
16
21MN
kxx k
① 2
24
21MNxx k
②
设 ( 4)NNN x k x ( 4)MMM x kx ( 1)GGx
MB 方程： 6 2M
M
kxyxx
3 16
M
M
xG kx
3 16
M
M
xAG xk
2NNAN x x k
欲证 AGN 三点线需证 AG AN 线
3 ( 2)6
M
NN
M
x x k xxk
成立化简：(3 ) 6( )MNMNk k x x x x
①②代入易知等式成立 AGN 三点线证
9定值问题
22 已知椭圆中心坐标原点 O焦点 x 轴斜率 1 椭圆右焦点 F 直线交椭圆 AB 两点OA OB
(3 1)a 线
（Ⅰ）求椭圆离心率
（Ⅱ）设 M 椭圆意点 ( )OM OA OB R 证明 22 定值
解：设椭圆方程 )0()0(12
2
2
2
cFba
b
y
a
x
直线 AB 方程 cxy 代入 12
2
2
2
b
y
a
x 化简 02)( 22222222 bacacxaxba
令 A（ 11 yx ） B 22 ( yx ）
2 2 2 2 2
1 2 1 22 2 2 2
2 a c a c a bx x x xa b a b
1 2 1 2( ) (3 1)OA OB x x y y a OA OB a 线
0)()(3 2121 xxyy cxycxy 2211
2
30)()2(3 212121 cxxxxcxx
2
32
22
2 c
ba
ca
3
63 2222 abacba
离心率 3
6 a
ce
（II）证明：（1）知 22 3ba 椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x 化 33 222 byx
设 ()OM x y 已知 )()()( 2211 yxyxyx
21
21
xxy
xxx
)( yxM 椭圆 3)(3)( 22
21
2
21 byyxx
3)3(2)3()3( 2
2121
2
2
2
2
22
1
2
1
2 byyxxyxyx ①
（1）知 2
12
32
3 2222
21 cbcacxx
2 2 2 2
2
12 22
2 2 2 2
12 1212 1 2 12 12
3
8
393 3()()4 3( )3 3022
a c a bx x cab
xx yyxx xcxc xx xxcc c c c
22
2
2
2
22
1
2
1 3333 byxbyx 代入① 122
22 定值定值 1
23 抛物线 C 方程 )0(2 aaxy 抛物线 C 点 P(x0y0)(x 0≠0)作斜率 k1k2 两条直线分交抛物线
C A(x1y1)B(x2y2)两点(PAB 三点互相)满足 )10(012 kk
（Ⅰ）求抛物线 C 焦点坐标准线方程
（Ⅱ）设直线 AB 点 M满足 MABM 证明线段 PM 中点 y 轴
解：（Ⅰ）抛物线C 方程 2axy （ 0a ）焦点坐标 )4
10( a
准线方程
ay 4
1 ．
（Ⅱ）证明：设直线 PA 方程 )( 010 xxkyy 直线 PB 方程 )( 020 xxkyy ．
点 )( 00 yxP 点 )( 11 yxA 坐 标 方 程 组 0 1 0
2
()y y k x x
y ax
①
②
解．② 式 代 入 ① 式
00011
2 yxkxkax
a
kxx 1
01 0
1
1 xa
kx ③
点 )( 00 yxP 点 )( 22 yxB 坐 标 方 程 组 0 2 0
2
()y y k x x
y ax
④
⑤
解． ⑤ 式 代 入 ④式
00022
2 yxkxkax ． 2
20
kxx a 2
20
kxxa．
已知 12 kk 012 xkax ． ⑥
设点 M 坐标 )(MM yx BM MA
1
12 xxxM．
③式⑥式代入式 0
00
1 xxxxM
00 xxM．
∴线段 PM 中点 y 轴．
24 图椭圆 0C：
22
221( 0xy abab ab 常数)动圆 2 2 2
11C x y t 1b t a点 12AA分
左右顶点 1C 相交 ABCD 四点
(Ⅰ)求直线 1AA 直线 2AB交点 M 轨迹方程
(Ⅱ)设动圆 2 2 2
22C x y t 相交 ABCD 四点中 2b t a
12tt 矩形 ABCD矩形 ABCD 面积相等证明： 22
12tt 定值
解析设 1 1 1 1 A x y B x y 知 12 0 0A a A a
直线 1AA方程 1
1
++
yy x axa ①
直线 2AB方程 1
1
yy x axa
②
①② 2
2 2 21
22
1
yy x axa ③
点 11A x y 椭圆 0C
22
11
22+ 1xy
ab
2
22 1
1 2 1 xyb a
代入③
22
22 1 < <0xy x a yab ……6 分
（2）证明：设 22＇A x y 矩形 ABCD矩形 ＇＇＇＇ABCD 面积相等
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 24 4 x y x y x y x y 点 ＇AA均椭圆
22
2 2 2 212
12221 1xxb x b xaa
12tt 知 12xx 2 2 2
12+x x a 2 2 2
12+y y b 2 2 2 2
12+ +t t a b 定值…1
25 图已知椭圆 22
22
1( 0)xy abab＞ ＞ 离心率 2
2
该椭圆点椭圆左右焦点 12FF顶点三
角形周长 4( 2 1) 等轴双曲线顶点该椭圆焦点设 P 该双曲线异顶点点直线 1PF
2PF 椭圆交点分 BA CD
（Ⅰ）求椭圆双曲线标准方程
（Ⅱ）设直线 1PF 2PF 斜率分 1k 2k 证明 12· 1kk
（Ⅲ）否存常数 ·AB CD AB CD 恒成立？存求 值存请说明理
解析（Ⅰ）题意知椭圆离心率 c
a 2
2
2ac 22ac4( 2 1) 解 22a 2c
2 2 2 4b a c 椭圆标准方程
22
184
xy椭圆焦点坐标（ 2 0）双曲线等轴
双曲线顶点该椭圆焦点该双曲线标准方程
22
144
xy
10相切公切线问题
26 面直角坐标系 xOy 中已知椭圆 1C：
22
221xy
ab（ 0ab）左焦点 1( 10)F 点 (01)P
（1）求椭圆 方程
（2）设直线l 时椭圆 抛物线 2C： 2 4yx 相切求直线 方程
答案：（1）椭圆 1C 左焦点 1( 10)F 1c
点 (01)P 代入椭圆
22
221xy
ab 2
1 1b 1b
2 2 2 2a b c
椭圆 方程
2
2 12
x y
（2）直线l 斜率显然存设直线 方程 y kx m
2
2 12
x y
y kx m
消 y 整理 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m
直线 椭圆 相切 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k m k m
整理 222 1 0km ①
2 4yx
y kx m
消 整理 2 2 2(2 4) 0k x km x m
直线 抛物线 2C 相切 2 2 2(2 4) 4 0km k m
整理 1km ②
综合①②解
2
2
2
k
m
2
2
2
k
m
直线 方程 2 22yx 2 22yx
27 已知抛物线 2 ( 1)C y x圆 2 2 21 ( 1) ( ) ( 0)2M x y r r 公点 A点 A 处两曲线切线
直线l
（Ⅰ）求 r
（Ⅱ）设 m n 异 C M 相切两条直线 交点 D求 D 距离
解：（1）设 2
00( ( 1) )A x x 2( 1)y x x 求导 2( 1)yx 直线l 斜率 02( 1)kx 0 1x 时
合题意心 0 1x
圆心 1(1 )2M MA 斜率
2
0
0
1( 1) 2
1
x
k x
l MA 知 1kk
2
0
0
0
1( 1) 22( 1) 11
x
x x
解 0 0x (01)A
2215| | (1 0) ( 1)22r MA
（2）设 2( ( 1) )aa C 点该点处切线方程 2( 1) 2( 1)( )y a a x a 22( 1) 1y a x a
该直线圆 M 相切圆心 M 该切线距离 5
2
2
22
1| 2( 1) 1 1| 52
2[2( 1)] ( 1)
aa
a
化简
22( 4 6) 0a a a
求解 0 1 20 2 10 2 10a a a
抛物线C 点 2( ( 1) )( 012)iia a i 处切线分 l m n 方程分
21yx① 2
112( 1) 1y a x a ② 2
222( 1) 1y a x a ③
②－③ 1222
aax 2x 代入② 1y (2 1)D
D 直线l 距离
22
| 2 2 ( 1) 1| 6 5
52 ( 1)
d
28 设抛物线 C：x22py(p>0)焦点 F准线 lA C 点已知 F 圆心FA 半径圆 F 交 l B
D 两点
（I）∠BFD90°△ABD 面积 4 2求 p 值圆 F 方程
（II） ABF 三点直线 m 直线 n m 行 n C 公点求坐标原点 mn 距离
值
解析设准线l y 轴焦点 E圆 F 半径 r
|FE| p | | | | | |FA FB FD E BD 中点
(Ⅰ) ∵ 090BFD∴ 2p |BD| 2p
设 A( 0x 0y )根抛物线定义|FA| 02
p y
∵ ABD 面 积 42 ∴
ABDS 0
1 | | ( )22
pBD y 1 222 pp 解 2
∴F(01) FA| 22 ∴圆 F 方程： 22( 1) 8xy
(Ⅱ) 解析 1∵ ABF 三点条直线 m ∴ AB 圆 F 直径 090ADB
抛物线定义知 1| | | | | |2AD FA AB ∴ 030ABD∴ m 斜率 3
3
－
∴直线 方程： 3
32
pyx ∴原点直线 距离 1d 3
4 p
设直线 n 方程： 3
3y x b 代入 2 2x py 2 23 203x x pb
∵ n C 公点 ∴ 24 803 p pb∴
6
pb
∴直线 方程： 3
36
pyx ∴原点直线 距离 2d 3
12 p
∴坐标原点 m 距离值 3
解析 2称性设
2
0
00( )( 0)2
xA x xp (0 )2
pF
点 AB关点 F 称：
22
2200
00( ) 32 2 2
xxpB x p p x ppp
： 3( 3 )2
pAp 直线
3
322 3 0223
pp
ppm y x x y
p
2
2 332 2 3 3
xxx py y y x ppp
切点 3()36
ppP
直线 3 3 3 ( ) 3 06 3 3 6
ppn y x x y p
坐标原点 mn距离值 33326
pp
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