绝密★启前
2019年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）
理科数学
试卷5页150分考试时长120分钟考生务必答案答答题卡试卷作答效考试结束试卷答题卡交回
第部分（选择题 40分）
选择题8题题5分40分题列出四选项中选出符合题目求项
1已知复数z2+i
A B C 3 D 5
答案D
解析
分析
题先求然根复数法运算法
详解∵ 选D
点睛容易题注重基础知识基计算力考查
2执行图示程序框图输出s值
A 1 B 2 C 3 D 4
答案B
解析
分析
根程序框图中条件逐次运算
详解运行第次
运行第二次
运行第三次
结束循环输出 选B
点睛题考查程序框图属容易题注重基础知识基运算力考查
3已知直线l参数方程（t参数）点（10）直线l距离
A B C D
答案D
解析
分析
首先参数方程化直角坐标方程然利点直线距离公式求解距离
详解直线普通方程点直线距离选D
点睛题考查直线参数方程普通方程转化点直线距离属容易题注重基础知识､基运算力考查
4已知椭圆（a＞b＞0）离心率
A a22b2 B 3a24b2 C a2b D 3a4b
答案B
解析
分析
题意利离心率定义关系满足题意等式
详解椭圆离心率化简
选B
点睛题考查椭圆标准方程性质属容易题注重基础知识､基运算力考查
5xy满足y≥−13x+y值
A −7 B 1 C 5 D 7
答案C
解析
分析
首先画出行域然结合目标函数意义确定值
详解题意作出行域图阴影部分示
设
直线点时取值5选C
点睛题简单线性规划问题基题型根画､移､解等步骤解题目难度题注重基础知识､基技考查
6天文学中天体明暗程度星等亮度描述两颗星星等亮度满足中星等mk星亮度Ek（k12）已知太阳星等–267天狼星星等–145太阳天狼星亮度值
A 10101 B 101 C lg101 D 10–101
答案D
解析
分析
先求出然数式换指数式求求
详解两颗星星等亮度满足
令
选D
点睛考查考生数学应意识信息处理力阅读理解力指数数运算
7设点ABC线夹角锐角
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充分必条件 D 充分必条件
答案C
解析
分析
题意结合量减法公式量运算法考查充分性必性否成立
详解∵A､B､C三点线∴
|+|>|||+|>||
|+|2>||2•>0
夹角锐角夹角锐角|+|>||充分必条件选C
点睛题考查充条件概念判断､面量模､夹角数量积时考查转化化数学思想
8数学中许形状优美寓意美曲线曲线C：中（图）出列三结：
①曲线C恰6整点（横坐标均整数点）
②曲线C意点原点距离超
③曲线C围成心形区域面积3
中正确结序号
A ① B ② C ①② D ①②③
答案C
解析
分析
方程进行等价变形确定x范围整点坐标数结合均值等式曲线点坐标原点距离值范围利图形称性整点坐标确定图形面积范围
详解
整数011曲线恰(01)(01)(10)(11) (10)(11)六整点结①正确
解曲线意点原点距离超 结②正确
图示易知
四边形面积明显心形区域面积心形区域面积3说法③错误
选C
点睛题考查曲线方程､曲线性质基等式应属难题注重基础知识､基运算力分析问题解决问题力考查渗透美育思想
第二部分（非选择题 110分）
二填空题6题题5分30分
9函数f(x)sin22x正周期__________．
答案
解析
分析
函数利降幂公式进行恒等变形然求解正周期
详解函数周期
点睛题考查二倍角三角函数公式､三角函数正周期公式属基础题
10设等差数列{an}前n项Sna2−3S5−10a5__________Sn值__________．
答案 (1) 0 (2) 10
解析
分析
首先确定公差然通项公式值进步研究数列中正项､负项变化规律值
详解等差数列中公差
等差数列性质时时0值
点睛题考查等差数列通项公式､求公式､等差数列性质难度注重重知识､基础知识､基运算力考查
11某体正方体掉四棱柱三视图图示．果网格纸正方形边长1该体体积__________．
答案40
解析
分析
画出三视图应体应割补法求体体积
详解正方体中原该体图示
体体积V43（2+4）×2×440
点睛易错点二正确原体二计算体积误避免出错应注重观察细心算
12已知lm面外两条直线．出列三断：
①l⊥m②m∥③l⊥．
中两断作条件余断作结写出正确命题：__________．
答案果l⊥αm∥αl⊥m
解析
分析
断分作条件结加分析
详解断分作条件结三命题：
（1）果l⊥αm∥αl⊥m 正确
（2）果l⊥αl⊥mm∥α正确m面α
（3）果l⊥mm∥αl⊥α正确lα斜交l∥α
点睛题考查空间线面位置关系命题逻辑推理力空间想象力
13设函数f（x）ex+ae−x（a常数）．f（x）奇函数a________f（x）R增函数a取值范围___________．
答案 (1) 1 (2)
解析
分析
首先奇函数定义关恒等式值然利导函数解析式a取值范围
详解函数奇函数
意恒成立
函数增函数恒成立
实数取值范围
点睛题考查函数奇偶性､单调性､利单调性确定参数范围解答程中需利转化化思想转化成恒成立问题注重重点知识､基础知识､基运算力考查
14李明创业网营家水果店销售水果中草莓京白梨西瓜桃价格次60元盒65元盒80元盒90元盒．增加销量李明四种水果进行促销：次购买水果总价达120元顾客少付x元．笔订单顾客网支付成功李明会支付款80．
①x10时顾客次购买草莓西瓜1盒需支付__________元
②促销活动中保证李明笔订单金额均低促销前总价七折x值__________．
答案 (1) 130 (2) 15
解析
分析
（1）购买草莓西瓜加钱120进行较根促销规结果
（2）根分探究
详解（1）x10顾客次购买草莓西瓜盒
需支付（60+80）10130元
（2）设顾客次购买水果促销前总价y元
元时李明金额y×80符合求
元时（yx）×80≥y×70成立
8（yx）≥7yx≤x≤（）min15元
x值15
点睛题考查等式概念性质数学应意识数学式子变形运算求解力定难度
三解答题6题80分解答应写出文字说明演算步骤证明程
15△ABC中a3b−c2cosB．
（Ⅰ）求bc值
（Ⅱ）求sin（B–C）值．
答案(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
分析
(Ⅰ)题意列出关abc方程组求解方程组确定bc值
(Ⅱ)题意结合正弦定理两角差正余弦公式值
详解(Ⅰ)题意：解：
(Ⅱ)角三角函数基关系：
结合正弦定理：
明显角C锐角
点睛题考查余弦定理正弦定理应两角差正余弦公式应等知识意考查学生转化力计算求解力
16图四棱锥P–ABCD中PA⊥面ABCDAD⊥CDAD∥BCPAADCD2BC3．EPD中点点FPC．
（Ⅰ）求证：CD⊥面PAD
（Ⅱ）求二面角F–AE–P余弦值
（Ⅲ）设点GPB．判断直线AG否面AEF说明理．
答案(Ⅰ)见解析
(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意利线面垂直判定定理证题中结
(Ⅱ)建立空间直角坐标系结合两半面法量求二面角FAEP余弦值
(Ⅲ)首先求点G坐标然结合面法量直线AG方量判断直线否面
详解(Ⅰ)PA⊥面ABCDCD面ABCDPA⊥CD
题意知AD⊥CDPA∩ADA
线面垂直判定定理CD⊥面PAD
(Ⅱ)点A坐标原点面ABCDAD垂直直线x轴ADAP方y轴z轴建立图示空间直角坐标系
易知：
点F坐标
设面AEF法量：
面AEF法量：
明显面AEP法量
二面角FAEP面角锐角二面角FAEP余弦值
(Ⅲ)易知
注意面AEF法量：
点A面AEF直线AG面AEF
17改革开放支付方式发生巨转变．年移动支付已成支付方式．解某校学生月AB两种移动支付方式情况全校学生中机抽取100发现样中AB两种支付方式5样中仅A仅B学生支付金额分布情况：
交付金额（元）
支付方式
（01000]
（10002000]
2000
仅A
18
9
3
仅B
10
14
1
（Ⅰ）全校学生中机抽取1估计该学生月AB两种支付方式概率
（Ⅱ）样仅A仅B学生中机抽取1X表示2中月支付金额1000元数求X分布列数学期
（Ⅲ）已知月样学生支付方式月没变化．现样仅A学生中机抽查3发现月支付金额2000元．根抽查结果否认样仅A学生中月支付金额2000元数变化？说明理．
答案(Ⅰ)
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意利古典概型计算公式满足题意概率值
(Ⅱ)首先确定X取值然求相应概率值分布列求解数学期
(Ⅲ)题意结合概率定义出结
详解(Ⅰ)题意知两种支付方式数：：
该学生月AB两种支付方式概率
(Ⅱ)题意知
仅A支付方法学生中金额1000数占金额1000数占
仅B支付方法学生中金额1000数占金额1000数占
X取值012
X分布列：
X
0
1
2
数学期：
(Ⅲ)认样仅A学生中月支付金额2000元数变化理：
机事件次机实验中否发生机预知着试验次数增频率越越稳定概率
学校相消费稳定方学生根实际情况月消费应该相固定出现题中种现象发生概率事件
点睛题支付方式相关调查设置问题考查概率统计生活中应考查概率定义分布列应学生体会数学现实生活息息相关
18已知抛物线C：x2−2py点（2−1）．
（Ⅰ）求抛物线C方程准线方程
（Ⅱ）设O原点抛物线C焦点作斜率0直线l交抛物线C两点MN直线y−1分交直线OMON点A点B求证：AB直径圆y轴两定点．
答案(Ⅰ)
(Ⅱ)见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意结合点坐标抛物线方程进步准线方程
(Ⅱ)联立准线方程抛物线方程结合韦达定理圆心坐标圆半径确定圆方程令x0证题中结
详解(Ⅰ)点代入抛物线方程：：
抛物线方程：准线方程：
(Ⅱ)明显直线斜率存焦点坐标
设直线方程抛物线方程联立：
：
设
直线方程联立：理
易知AB直径圆圆心坐标：圆半径：
：
圆方程：
令整理：解：
AB直径圆y轴两定点
点睛题考查抛物线方程求解准线方程确定直线抛物线位置关系圆方程求解应等知识意考查学生转化力计算求解力
19已知函数
（Ⅰ）求曲线斜率1切线方程
（Ⅱ）时求证：
（Ⅲ）设记区间值M（a）M（a）时求a值．
答案（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
（Ⅲ）
解析
分析
(Ⅰ)首先求解导函数然利导函数求切点横坐标求切点坐标确定切线方程
(Ⅱ)题意分证证题中结
(Ⅲ)题意结合(Ⅱ)中结分类讨求a值
详解（Ⅰ）令者
时时切线方程
时时切线方程
综求切线方程
（Ⅱ）设令者时增函数时减函数时增函数
理令求值综
（Ⅲ）（Ⅱ）知
中较者
时
时
时时
点睛题考查利导函数研究函数切线方程利导函数证明等式方法分类讨数学思想等知识意考查学生转化力计算求解力
20已知数列{an}中选取第i1项第i2项…第im项(i1（Ⅰ）写出数列1837569长度4递增子列
（Ⅱ）已知数列{an}长度p递增子列末项值长度q递增子列末项值p（Ⅲ）设穷数列{an}项均正整数意两项均相等{an}长度s递增子列末项值2s–1长度s末项2s–1递增子列恰2s1（s12…）求数列{an}通项公式．
答案(Ⅰ) 1356
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意结合新定义知识出满足题意递增子列
(Ⅱ)利数列性质递增子列定义证明题中结
(Ⅲ)观察求解数列特征出满足题意通项公式然证明通项公式满足题中条件
详解(Ⅰ)满足题意长度4递增子列：1356
(Ⅱ)长度递增子列中找干长度递增子列时
设长度子列末项分：
长度子列末项分：
注意长度子列法进步找长度子列
：
(Ⅲ)满足题意数列通项公式
面说明数列满足题意
明显数列穷数列项均正整数意两项均相等
长度递增子列末项值2s1
面数学纳法证明长度s末项2s1递增子列恰：
时命题显然成立
假设时命题成立长度k末项2k1递增子列恰
时时子列
构造：两满足题意递增子列
长度k+1末项2k+1递增子列恰
综数列满足题意数列通项公式
注：时满足题意数列：
时数列应两递增子列：
点睛新定义指时定义新概念新公式新定理新法新运算五种然根新定义解决问题时需类方法理解新定义样助新定义透彻理解透现象质考查基础数学知识说新题定难题掌握三基变应万变制胜法宝
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2019年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）
理科数学
试卷5页150分考试时长120分钟考生务必答案答答题卡试卷作答效考试结束试卷答题卡交回
第部分（选择题 40分）
选择题8题题5分40分题列出四选项中选出符合题目求项
1已知复数z2+i
A B C 3 D 5
答案D
解析
分析
题先求然根复数法运算法
详解∵ 选D
点睛容易题注重基础知识基计算力考查
2执行图示程序框图输出s值
A 1 B 2 C 3 D 4
答案B
解析
分析
根程序框图中条件逐次运算
详解运行第次
运行第二次
运行第三次
结束循环输出 选B
点睛题考查程序框图属容易题注重基础知识基运算力考查
3已知直线l参数方程（t参数）点（10）直线l距离
A B C D
答案D
解析
分析
首先参数方程化直角坐标方程然利点直线距离公式求解距离
详解直线普通方程点直线距离选D
点睛题考查直线参数方程普通方程转化点直线距离属容易题注重基础知识､基运算力考查
4已知椭圆（a＞b＞0）离心率
A a22b2 B 3a24b2 C a2b D 3a4b
答案B
解析
分析
题意利离心率定义关系满足题意等式
详解椭圆离心率化简
选B
点睛题考查椭圆标准方程性质属容易题注重基础知识､基运算力考查
5xy满足y≥−13x+y值
A −7 B 1 C 5 D 7
答案C
解析
分析
首先画出行域然结合目标函数意义确定值
详解题意作出行域图阴影部分示
设
直线点时取值5选C
点睛题简单线性规划问题基题型根画､移､解等步骤解题目难度题注重基础知识､基技考查
6天文学中天体明暗程度星等亮度描述两颗星星等亮度满足中星等mk星亮度Ek（k12）已知太阳星等–267天狼星星等–145太阳天狼星亮度值
A 10101 B 101 C lg101 D 10–101
答案D
解析
分析
先求出然数式换指数式求求
详解两颗星星等亮度满足
令
选D
点睛考查考生数学应意识信息处理力阅读理解力指数数运算
7设点ABC线夹角锐角
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充分必条件 D 充分必条件
答案C
解析
分析
题意结合量减法公式量运算法考查充分性必性否成立
详解∵A､B､C三点线∴
|+|>|||+|>||
|+|2>||2•>0
夹角锐角夹角锐角|+|>||充分必条件选C
点睛题考查充条件概念判断､面量模､夹角数量积时考查转化化数学思想
8数学中许形状优美寓意美曲线曲线C：中（图）出列三结：
①曲线C恰6整点（横坐标均整数点）
②曲线C意点原点距离超
③曲线C围成心形区域面积3
中正确结序号
A ① B ② C ①② D ①②③
答案C
解析
分析
方程进行等价变形确定x范围整点坐标数结合均值等式曲线点坐标原点距离值范围利图形称性整点坐标确定图形面积范围
详解
整数011曲线恰(01)(01)(10)(11) (10)(11)六整点结①正确
解曲线意点原点距离超 结②正确
图示易知
四边形面积明显心形区域面积心形区域面积3说法③错误
选C
点睛题考查曲线方程､曲线性质基等式应属难题注重基础知识､基运算力分析问题解决问题力考查渗透美育思想
第二部分（非选择题 110分）
二填空题6题题5分30分
9函数f(x)sin22x正周期__________．
答案
解析
分析
函数利降幂公式进行恒等变形然求解正周期
详解函数周期
点睛题考查二倍角三角函数公式､三角函数正周期公式属基础题
10设等差数列{an}前n项Sna2−3S5−10a5__________Sn值__________．
答案 (1) 0 (2) 10
解析
分析
首先确定公差然通项公式值进步研究数列中正项､负项变化规律值
详解等差数列中公差
等差数列性质时时0值
点睛题考查等差数列通项公式､求公式､等差数列性质难度注重重知识､基础知识､基运算力考查
11某体正方体掉四棱柱三视图图示．果网格纸正方形边长1该体体积__________．
答案40
解析
分析
画出三视图应体应割补法求体体积
详解正方体中原该体图示
体体积V43（2+4）×2×440
点睛易错点二正确原体二计算体积误避免出错应注重观察细心算
12已知lm面外两条直线．出列三断：
①l⊥m②m∥③l⊥．
中两断作条件余断作结写出正确命题：__________．
答案果l⊥αm∥αl⊥m
解析
分析
断分作条件结加分析
详解断分作条件结三命题：
（1）果l⊥αm∥αl⊥m 正确
（2）果l⊥αl⊥mm∥α正确m面α
（3）果l⊥mm∥αl⊥α正确lα斜交l∥α
点睛题考查空间线面位置关系命题逻辑推理力空间想象力
13设函数f（x）ex+ae−x（a常数）．f（x）奇函数a________f（x）R增函数a取值范围___________．
答案 (1) 1 (2)
解析
分析
首先奇函数定义关恒等式值然利导函数解析式a取值范围
详解函数奇函数
意恒成立
函数增函数恒成立
实数取值范围
点睛题考查函数奇偶性､单调性､利单调性确定参数范围解答程中需利转化化思想转化成恒成立问题注重重点知识､基础知识､基运算力考查
14李明创业网营家水果店销售水果中草莓京白梨西瓜桃价格次60元盒65元盒80元盒90元盒．增加销量李明四种水果进行促销：次购买水果总价达120元顾客少付x元．笔订单顾客网支付成功李明会支付款80．
①x10时顾客次购买草莓西瓜1盒需支付__________元
②促销活动中保证李明笔订单金额均低促销前总价七折x值__________．
答案 (1) 130 (2) 15
解析
分析
（1）购买草莓西瓜加钱120进行较根促销规结果
（2）根分探究
详解（1）x10顾客次购买草莓西瓜盒
需支付（60+80）10130元
（2）设顾客次购买水果促销前总价y元
元时李明金额y×80符合求
元时（yx）×80≥y×70成立
8（yx）≥7yx≤x≤（）min15元
x值15
点睛题考查等式概念性质数学应意识数学式子变形运算求解力定难度
三解答题6题80分解答应写出文字说明演算步骤证明程
15△ABC中a3b−c2cosB．
（Ⅰ）求bc值
（Ⅱ）求sin（B–C）值．
答案(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
分析
(Ⅰ)题意列出关abc方程组求解方程组确定bc值
(Ⅱ)题意结合正弦定理两角差正余弦公式值
详解(Ⅰ)题意：解：
(Ⅱ)角三角函数基关系：
结合正弦定理：
明显角C锐角
点睛题考查余弦定理正弦定理应两角差正余弦公式应等知识意考查学生转化力计算求解力
16图四棱锥P–ABCD中PA⊥面ABCDAD⊥CDAD∥BCPAADCD2BC3．EPD中点点FPC．
（Ⅰ）求证：CD⊥面PAD
（Ⅱ）求二面角F–AE–P余弦值
（Ⅲ）设点GPB．判断直线AG否面AEF说明理．
答案(Ⅰ)见解析
(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意利线面垂直判定定理证题中结
(Ⅱ)建立空间直角坐标系结合两半面法量求二面角FAEP余弦值
(Ⅲ)首先求点G坐标然结合面法量直线AG方量判断直线否面
详解(Ⅰ)PA⊥面ABCDCD面ABCDPA⊥CD
题意知AD⊥CDPA∩ADA
线面垂直判定定理CD⊥面PAD
(Ⅱ)点A坐标原点面ABCDAD垂直直线x轴ADAP方y轴z轴建立图示空间直角坐标系
易知：
点F坐标
设面AEF法量：
面AEF法量：
明显面AEP法量
二面角FAEP面角锐角二面角FAEP余弦值
(Ⅲ)易知
注意面AEF法量：
点A面AEF直线AG面AEF
17改革开放支付方式发生巨转变．年移动支付已成支付方式．解某校学生月AB两种移动支付方式情况全校学生中机抽取100发现样中AB两种支付方式5样中仅A仅B学生支付金额分布情况：
交付金额（元）
支付方式
（01000]
（10002000]
2000
仅A
18
9
3
仅B
10
14
1
（Ⅰ）全校学生中机抽取1估计该学生月AB两种支付方式概率
（Ⅱ）样仅A仅B学生中机抽取1X表示2中月支付金额1000元数求X分布列数学期
（Ⅲ）已知月样学生支付方式月没变化．现样仅A学生中机抽查3发现月支付金额2000元．根抽查结果否认样仅A学生中月支付金额2000元数变化？说明理．
答案(Ⅰ)
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意利古典概型计算公式满足题意概率值
(Ⅱ)首先确定X取值然求相应概率值分布列求解数学期
(Ⅲ)题意结合概率定义出结
详解(Ⅰ)题意知两种支付方式数：：
该学生月AB两种支付方式概率
(Ⅱ)题意知
仅A支付方法学生中金额1000数占金额1000数占
仅B支付方法学生中金额1000数占金额1000数占
X取值012
X分布列：
X
0
1
2
数学期：
(Ⅲ)认样仅A学生中月支付金额2000元数变化理：
机事件次机实验中否发生机预知着试验次数增频率越越稳定概率
学校相消费稳定方学生根实际情况月消费应该相固定出现题中种现象发生概率事件
点睛题支付方式相关调查设置问题考查概率统计生活中应考查概率定义分布列应学生体会数学现实生活息息相关
18已知抛物线C：x2−2py点（2−1）．
（Ⅰ）求抛物线C方程准线方程
（Ⅱ）设O原点抛物线C焦点作斜率0直线l交抛物线C两点MN直线y−1分交直线OMON点A点B求证：AB直径圆y轴两定点．
答案(Ⅰ)
(Ⅱ)见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意结合点坐标抛物线方程进步准线方程
(Ⅱ)联立准线方程抛物线方程结合韦达定理圆心坐标圆半径确定圆方程令x0证题中结
详解(Ⅰ)点代入抛物线方程：：
抛物线方程：准线方程：
(Ⅱ)明显直线斜率存焦点坐标
设直线方程抛物线方程联立：
：
设
直线方程联立：理
易知AB直径圆圆心坐标：圆半径：
：
圆方程：
令整理：解：
AB直径圆y轴两定点
点睛题考查抛物线方程求解准线方程确定直线抛物线位置关系圆方程求解应等知识意考查学生转化力计算求解力
19已知函数
（Ⅰ）求曲线斜率1切线方程
（Ⅱ）时求证：
（Ⅲ）设记区间值M（a）M（a）时求a值．
答案（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
（Ⅲ）
解析
分析
(Ⅰ)首先求解导函数然利导函数求切点横坐标求切点坐标确定切线方程
(Ⅱ)题意分证证题中结
(Ⅲ)题意结合(Ⅱ)中结分类讨求a值
详解（Ⅰ）令者
时时切线方程
时时切线方程
综求切线方程
（Ⅱ）设令者时增函数时减函数时增函数
理令求值综
（Ⅲ）（Ⅱ）知
中较者
时
时
时时
点睛题考查利导函数研究函数切线方程利导函数证明等式方法分类讨数学思想等知识意考查学生转化力计算求解力
20已知数列{an}中选取第i1项第i2项…第im项(i1
（Ⅱ）已知数列{an}长度p递增子列末项值长度q递增子列末项值p
答案(Ⅰ) 1356
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意结合新定义知识出满足题意递增子列
(Ⅱ)利数列性质递增子列定义证明题中结
(Ⅲ)观察求解数列特征出满足题意通项公式然证明通项公式满足题中条件
详解(Ⅰ)满足题意长度4递增子列：1356
(Ⅱ)长度递增子列中找干长度递增子列时
设长度子列末项分：
长度子列末项分：
注意长度子列法进步找长度子列
：
(Ⅲ)满足题意数列通项公式
面说明数列满足题意
明显数列穷数列项均正整数意两项均相等
长度递增子列末项值2s1
面数学纳法证明长度s末项2s1递增子列恰：
时命题显然成立
假设时命题成立长度k末项2k1递增子列恰
时时子列
构造：两满足题意递增子列
长度k+1末项2k+1递增子列恰
综数列满足题意数列通项公式
注：时满足题意数列：
时数列应两递增子列：
点睛新定义指时定义新概念新公式新定理新法新运算五种然根新定义解决问题时需类方法理解新定义样助新定义透彻理解透现象质考查基础数学知识说新题定难题掌握三基变应万变制胜法宝
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