高中数学概率统计

求等性事件互斥事件相互独立事件概率
解类题目常应知识
(1)等性事件(古典概型)概率：P(A)＝ )(
)(
Icard
Acard
＝ n
m

等事件概率计算步骤：
计算次试验基事件总数 n
设求事件 A计算事件 A 包含基事件数m
公式
() mPA n
求值
答问题明确答复
(2)互斥事件发生概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
特例：立事件概率：P(A)＋P( A)＝P(A＋ )＝1
(3)相互独立事件时发生概率：P(A·B)＝P(A)·P(B)
特例：独立重复试验概率：Pn(k)＝ knkk
n ppC  )1(中 P 事件 A 次试验中发生
概率式二项式[(1P)+P]n 展开第 k+1 项
(4)解决概率问题注意四步骤结合：
求概率步骤：
第步确定事件性质




等事件
互斥事件
独立事件
n次独立重复试验
问题结四类事件中某种
第二步判断事件运算



事件
积事件
少发生时发生分运相加相事件
第三步运公式
()
()()()
()()()
( ) (1 )k k n k
nn
mPA n
PABPAPB
PABPAPB
P k C p p 
 
   
    
等事件
互斥事件：
独立事件：
n次独立重复试验 求解
第四步答提出问题明确答复
例1． 五数字1 2 3 4 5 中
例2． 机取出三数字剩两数字奇数概率
（结果数值表示）．
[解答程]03 提示
1
3
3
5
C 3354C 10
2
P   

例 2．总体含 100 体简单机抽样方式该总体中抽取容量 5 样
指定某体抽概率 ．
[解答程]
1 20 提示
51100 20P 

例 3接种某疫苗出现发热反应概率 080现 5 接种该疫苗少 3 出现发
热反应概率__________（精确 001）
[考查目] 题考查运组合概率基知识分类计数原理解决问题力
推理运算力
[解答提示]少 3 出现发热反应概率
3 3 2 4 4 5 5
5 5 5080 020 080 020 080 094CCC       
填 094
离散型机变量分布列
1机变量相关概念
①机试验结果变量表示样变量做机变量常希腊字母ξη
等表示
②机变量取值定次序列出样机变量做离散型机变量
③机变量取某区间切值样机变量做连续型机变量
2离散型机变量分布列
①离散型机变量分布列概念性质
般设离散型机变量 取值 1x 2x …… ix …… 取值 ix（ i 1
2……）概率 P（ ix ） iP称表



机变量 概率分布简称 分布列
概率性质知离散型机变量分布列具述两性质：
（1） 0iP i 12…（2）  21 PP…1
②常见离散型机变量分布列：
（1）二项分布
n 次独立重复试验中事件 A 发生次数 机变量取值 012…
n knkk
nk qpCkPP  )( 中 nk 0 pq 1 机变量 分布列：
 0 1 … k … n
P n
n qpC 00

111 n
n qpC … knkk
n qpC 
0qpC nn
n
称 样 机 变 量 服 二 项 分 布 记 作 )(~ pnB 中 n p 参 数 记 ：
… …
P P1 P2 … iP …
)( pnkbqpC knkk
n 

（2） 分布
独立重复试验中某事件第次发生时作试验次数 取值正整数离散型
机变量 k  表示第 k 次独立重复试验时事件第次发生
机变量 概率分布：
1 2 3 … k …
P p qp 2qp … 1kqp
…
例 1．
厂家产品出厂前需产品做检验厂家批产品发商家时商家合规定需机
抽取定数量产品做检验决定否接收批产品
（Ⅰ）厂家库房中件产品合格概率 08中意取出 4 件进行检验求少 1
件合格概率
（Ⅱ）厂家发商家 20 件产品中中 3 件合格合规定该商家中取 2 件
进行检验 2 件合格时接收批产品否拒收求出该商家检验出合格产品数
分布列期 E求出该商家拒收批产品概率
[解答程]（Ⅰ）记厂家取 4 件产品检验中少 1 件合格品事件 A
立事件 A 算     41 1 02 09984PAPA    
（Ⅱ） 取值012 ．

 
2
17
2
20
1360 190
CPC   

 
11
3 17
2
20
511 190
CCPC   

 
2
3
2
20
32 190
CPC   




136 51 3 30 1 2190 190 190 10E       
．
记商家取 2 件产品检验合格事件 B商家拒收批产品概率
  136 2711190 95PPB    
．
 0 1 2
P
136
190
51
190
3
190
商家拒收批产品概率
27
95 ．
例 12．
某项选拔三轮考核轮设问题正确回答问题者进入轮考核否
淘汰 已知某选手正确回答第二三轮问题概率分 5
4
5
3
5
2
轮问题
否正确回答互影响
（Ⅰ）求该选手淘汰概率
（Ⅱ）该选手选拔中回答问题数记 求机变量 分布列数学期
（注：题结果分数表示）
[解答程]解法：（Ⅰ）记该选手正确回答第 i 轮问题事件 ( 1 2 3)iAi
1
4()5PA 
2
3()5PA 
3
2()5PA 

该选手淘汰概率
112223 1 12 123()()()()()()()PPAAAAAAPAPAPAPAPAPA     
1 4 2 4 3 3 101
5 5 5 5 5 5 125      
．
（Ⅱ） 值1 2 3 1
1( 1) ( ) 5PPA   

1 2 1 2
4 2 8( 2) ( ) ( ) ( ) 5 5 25PPAAPAPA      

1 2 1 2
4 3 12( 3) ( ) ( ) ( ) 5 5 25PPAAPAPA      
．
 分布列
 1 2 3
P
1
5
8
25
12
25
1 8 12 571 2 35 25 25 25E       
．
解法二：（Ⅰ）记该选手正确回答第 i 轮问题事件 ( 1 2 3)iAi 1
4()5PA 

2
3()5PA 
3
2()5PA 
．
该选手淘汰概率 1 2 3 1 2 31 ( ) 1 ( ) ( ) ( )PPAAAPAPAPA   
4 3 2 1011 5 5 5 125    
．
（Ⅱ）解法．


（3）离散型机变量期方差
机变量数学期方差
(1)离散型机变量数学期：  2211 pxpxE …期反映机变量取值均水

⑵离散型机变量方差：  2
2
21
2
1 )()( pExpExD  …  nn pEx 2)(  …
方差反映机变量取值稳定波动集中离散程度
⑶基性质： baEbaE   )(  DabaD 2)( 
(4) ～B(np) npE  D npq（里 q1p）
果机变量 服分布 )()( pkgkP  pE 1
D
2p
q
中 q1p
例 1．甲乙两名工加工种零件两天加工零件数相等次品数分ε
ηεη分布列：
ε 0 1 2 η 0 1 2
P 6
10
1
10 10
3

P 5
10
2
10
较两名工技术水高低
思路：较两名工加工零件数相等条件出次品数均值期二
出次品数波动情况方差值
解答程：工甲生产出次品数ε期方差分：
7010
3210
1110
60 E

891010
3)702(10
1)701(10
6)700( 222 D

工乙生产出次品数η期方差分：
7010
2210
3110
50 E

664010
2)702(10
3)701(10
5)700( 222 D

EεEη知两出次品均数相技术水相 Dε>Dη见乙技术较
稳定
结：期反映机变量取值均水方差反映机变量取值稳定波动集中离
散程度
例 2
某商场销某商品根资料统计顾客采付款期数 分布列
 1 2 3 4 5
P 04 02 02 01 01
商场销件该商品采 1 期付款利润 200 元分 2 期 3 期付款利润 250
元分 4 期 5 期付款利润 300 元． 表示销件该商品利润．
（Ⅰ）求事件 A：购买该商品 3 位顾客中少 1 位采 1 期付款概率 ()PA
（Ⅱ）求 分布列期 E ．
[解答程]（Ⅰ） A 表示事件购买该商品 3 位顾客中少 1 位采 1 期付款．
知 A 表示事件购买该商品 3 位顾客中采 1 期付款
2( ) (1 04) 0216PA   ( ) 1 ( ) 1 0216 0784PAPA     ．
（Ⅱ） 取值 200 元 250 元300元．
( 200) ( 1) 04PP   
( 250) ( 2) ( 3) 02 02 04PPP         
( 300) 1 ( 200) ( 250) 1 04 04 02PPP            ．
 分布列
 200 250 300
P 04 04 02
200 04 250 04 300 02E       240 （元）．
抽样方法总体分布估计
抽样方法
1．简单机抽样：设总体数 N果通逐抽取方法中抽取样
次抽取时体抽概率相等称样抽样简单机抽样常抽签法
机数表法
2．系统抽样：总体中数较时总体分成均衡部分然预先定出
规部分抽取 1 体需样种抽样做系统抽样（称机
械抽样）
3．分层抽样：已知总体差异明显部分组成时常总体分成部分然
部分占进行抽样种抽样做分层抽样
总体分布估计
总体分布通常易知道样频率分布估计总体分布般样
容量越种估计越精确
总体分布：总体取值概率分布规律通常称总体分布
总体中体取数值少时频率分布表取样数值相应频率表
示表示相应条形图
总体中体取值某区间时频率分布直方图表示相应样频率分布
总体密度曲线：样容量限增分组组距限缩频率分布直方图会限
接条光滑曲线总体密度曲线
典型例题
例 1某工厂生产 ABC 三种型号产品产品数量次 2：3：5现分层抽
样方法抽出容量 n 样样中 A 种型号产品 16 件样容量 n
解答程：A 种型号总体
2
10 样容量 n
1016 802

例 2．总体中 100 体机编号 012…99编号序均分成 10
组组号次 123…10现系统抽样方法抽取容量 10 样规定
果第 1 组机抽取号码 m 第 k 组中抽取号码位数字mk 位数字
相 6m  第 7 组中抽取号码 ．
解答程：第 K 组号码( 1)10k  ( 1)10 1k …( 1)10 9k  m6 时第 k 组抽
取号位数字 m+k 位数字第 7 组中抽取号码位数字 3 抽
取号码 63．
正态分布线性回
1正态分布概念性质
（1）正态分布概念
果连续型机变量 概率密度函数
2
2
2
)(
2
1)( 




x
exf
x R 中  常
数 ＞0称 服正态分布记 ~ N （ 2 ）
（2）期 E μ方差 2 D
（3）正态分布性质
正态曲线具列性质
①曲线 x 轴方关直线 x＝μ称
②曲线 xμ时处高点点左右两边延伸时曲线逐渐降低
③曲线称轴位置μ确定曲线形状 确定 越曲线越矮胖反越高
瘦
三 σ 原
数值分布（μ—σμ+σ)中概率 06526
数值分布（μ—2σμ+2σ)中概率 09544
数值分布（μ—3σμ+3σ)中概率 09974
（4）标准正态分布
0 1 时 服标准正态分布记作 （01）
（5）两重公式
① ( ) 1 ( )xx   ② ()()()P a b b a     
（6） 2()N  (01)N 二者联系
2~ ( )N  
~ (01)N 


②
()()()baP a b   
   

2线性回
简单说线性回处理变量变量间线性关系种数学方法
变量变量间关系致分两种类型：确定性函数关系确定函数关系确
定性两变量间规律循回分析处理变量间相关关系种数量
统计方法提供变量间相关关系验公式
具体说 n 样数（ 11xy）（ 22xy）…（ nnxy）回直线方程验公式
： abxy ˆ 中

)(
1
22
1 xbya
xnx
yxnyx
b n
i
i
n
i
ii








中 yx 分| ix || iy |均数
例 1果机变量ξ～N（μσ2） Eξ3Dξ1 P（－1＜ξ≤1＝等( )
A2Φ（1）－1 BΦ（4）－Φ（2）
CΦ（2）－Φ（4） DΦ（－4）－Φ（－2）
解答程：正态分布μEξ3σ2Dξ1 P（－1＜ξ≤1）Φ（1－3）－Φ（－
1－3）Φ（－2）－Φ（－4）Φ（4）－Φ（2）
答案：B
例 2 温度调节器放置贮存着某种液体容器调节器设定 d ℃液体温度ξ（单
位：℃）机变量ξ～N（d052）
（1） d90°ξ<89 概率
（2）保持液体温度少 80 ℃概率低 099 d 少 （中η～
N（01）Φ（2）P（η<2）09772Φ（－2327）P（η<－2327）001）
解答程：（1）P（ξ<89）F（89）Φ（ 50
9089
）Φ（－2）1－Φ（2）1－0977200228
（2）已知 d 满足 099≤P（ξ≥80）
1－P（ξ<80）≥1－001∴P（ξ<80）≤001
∴Φ（ 50
80 d
）≤001Φ（－2327）
∴ ≤－2327
∴d≤811635
d 少 811635
结：（1）ξ～N（01）η 
 
～N（01）（2）标准正态分布密度函数 f（x）
偶函数x<0 时f（x）增函数x>0 时f（x）减函数


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