高考数列压轴题
．解答题（50题）
1．数列{an}满足a11a2+…an++…+（n∈N*）
（1）求a2a3a4a5值
（2）求anan﹣1间关系式（n∈N*n≥2）
（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）
2．已知数列{xn}满足：x11xnxn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*）证明：n∈N*时
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤
（Ⅲ）≤xn≤．
3．数列{an}中a1an+1（n∈N*）
（Ⅰ）求证：an+1＜an
（Ⅱ）记数列{an}前n项Sn求证：Sn＜1．
4．已知正项数列{an}满足an2+an3a2n+1+2an+1a11．
（1）求a2值
（2）证明：意实数n∈N*an≤2an+1
（3）记数列{an}前n项Sn证明：意n∈N*2﹣≤Sn＜3．
5．已知数列{an}中．n∈N*
（1）求证：1＜an+1＜an＜2
（2）求证：
（3）求证：n＜sn＜n+2．
6．设数列{an}满足an+1an2﹣an+1（n∈N*）Sn{an}前n项．证明：意n∈N*
（I）0≤a1≤1时0≤an≤1
（II）a1＞1时an＞（a1﹣1）a1n﹣1
（III）a1时n﹣＜Sn＜n．
7．已知数列{an}满足a11Sn2an+1中Sn{an}前n项（n∈N*）．
（Ⅰ）求S1S2数列{Sn}通项公式
（Ⅱ）数列{bn}满足{bn}前n项Tn求证：n≥2时．
8．已知数列{an}满足a11（n∈N*）
（Ⅰ） 证明：
（Ⅱ） 证明：．
9．设数列{an}前n项Sn已知a1an+1中n∈N*．
（1）证明：an＜2
（2）证明：an＜an+1
（3）证明：2n﹣≤Sn≤2n﹣1+（）n．
10．数列{an}项均正数an+1an+﹣1（n∈N*）{an}前n项Sn．
（Ⅰ）{an}递增数列求a1取值范围
（Ⅱ）a1＞2意n∈N*Sn≥na1﹣（n﹣1）证明：Sn＜2n+1．
11．设anxnbn（）2Sn数列{an•bn}前n项令fn（x）Sn﹣1x∈Ra∈N*．
（Ⅰ）x2求数列{}前n项Tn
（Ⅱ）求证：∀n∈N*方程fn（x）0xn∈[1]仅根
（Ⅲ）求证：∀p∈N*（Ⅱ）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．
12．已知数列{an}{bn}a01（n012…）Tn数列{bn}前n项．
求证：（Ⅰ）an+1＜an
（Ⅱ）
（Ⅲ）．
13．已知数列{an}满足：a1anan﹣12+an﹣1（n≥2n∈N）．
（Ⅰ）求a2a3证明：2﹣≤an≤•3
（Ⅱ）设数列{an2}前n项An数列{}前n项Bn证明：an+1．
14．已知数列{an}项均非负数前n项Sn意n∈N*．
（1）a11a5052017求a6值
（2）意n∈N*Sn≤1求证：．
15．已知数列{an}中a14an+1n∈N*Sn{an}前n项．
（Ⅰ）求证：n∈N*时an＞an+1
（Ⅱ）求证：n∈N*时2≤Sn﹣2n＜．
16．已知数列{an}满足a11an﹣．
（1）求证：an≥
（2）求证：|an+1﹣an|≤
（3）求证：|a2n﹣an|≤．
17．设数列{an}满足：a1aan+1（a＞0a≠1n∈N*）．
（1）证明：n≥2时an＜an+1＜1
（2）b∈（a21）求证：整数k≥+1时ak+1＞b．
18．设a＞3数列{an}中a1aan+1n∈N*．
（Ⅰ）求证：an＞3＜1（Ⅱ）a≤4时证明：an≤3+．
19．已知数列{an}满足an＞0a12（n+1）an+12nan2+an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：an＞1
（Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）．
20．已知数列{an}满足：．
（1）求证：
（2）求证：．
21．已知数列{an}满足a11an+12+an22（an+1an+an+1﹣an﹣）．
（1）求数列{an}通项公式
（2）求证：++…+＜
（3）记Sn++…+证明：切n≥2Sn2＞2（++…+）．
22．已知数列{an}满足a11an+1n∈N*．
（1）求证：≤an≤1
（2）求证：|a2n﹣an|≤．
23．已知数列{an]前n项记Sn满足Sn2an﹣nn∈N*
（Ⅰ）求数列{an}通项公式
（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）
24．已知数列{an}满足：a1an+1+an（n∈N*）．
（1）求证：an+1＞an
（2）求证：a2017＜1
（3）ak＞1求正整数k值．
25．已知数列{an}满足：an2﹣an﹣an+1+10a12
（1）求a2a3
（2）证明数列递增数列
（3）求证：＜1．
26．已知数列{an}满足：a11（n∈N*）
（Ⅰ）求证：an≥1
（Ⅱ）证明：≥1+
（Ⅲ）求证：＜an+1＜n+1．
27．正项数列{an}中已知a11满足an+12an（n∈N*）
（Ⅰ）求a2a3
（Ⅱ）证明．an≥．
28．设数列{an}满足．
（1）证明：
（2）证明：．
29．已知数列{an}满足a12an+12（Sn+n+1）（n∈N*）令bnan+1．
（Ⅰ）求证：{bn}等数列
（Ⅱ）记数列{nbn}前n项Tn求Tn
（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．
30．已知数列{an}中a132an+1an2﹣2an+4．
（Ⅰ）证明：an+1＞an
（Ⅱ）证明：an≥2+（）n﹣1
（Ⅲ）设数列{}前n项Sn求证：1﹣（）n≤Sn＜1．
31．已知数列{an}满足a1an+1n∈N*．
（1）求a2
（2）求{}通项公式
（3）设{an}前n项Sn求证：（1﹣（）n）≤Sn＜．
32．数列{an}中a11an．
（1）证明：an＜an+1
（2）证明：anan+1≥2n+1
（3）设bn证明：2＜bn＜（n≥2）．
33．已知数列{an}满足
（1）数列{an}常数列求m值
（2）m＞1时求证：an＜an+1
（3）求正数man＜4切整数n恒成立证明结．
34．已知数列{an}满足：p＞1．
（1）证明：an＞an+1＞1
（2）证明：
（3）证明：．
35．数列{an}满足a1an+1﹣an+anan+10（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}通项公式
（Ⅱ）求证：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．
36．已知数列{an}满足a11an+1an2+p．
（1）数列{an}常数列求p值
（2）p＞1时求证：an＜an+1
（3）求正数pan＜2切整数n恒成立证明结．
37．已知数列{an}满足a1a＞4（n∈N*）
（1）求证：an＞4
（2）判断数列{an}单调性
（3）设Sn数列{an}前n项求证：a6时．
38．已知数列{an}满足a11an+1．
（Ⅰ）求证：an+1＜an
（Ⅱ）求证：≤an≤．
39．已知数列{an}满足：a11．
（1）b1证明：数列等差数列
（2）b﹣1判断数列{a2n﹣1}单调性说明理
（3）b﹣1求证：．
40．已知数列{an}满足（n123…）Snb1+b2+…+bn．
证明：（Ⅰ）an﹣1＜an＜1（n≥1）
（Ⅱ）（n≥2）．
41．已知数列{an}满足a11an+1n∈N*记STn分数列{an}{a}前n项证明：n∈N*时
（1）an+1＜an
（2）Tn﹣2n﹣1
（3）﹣1＜Sn．
42．已知数列{an}满足a13an+1an2+2ann∈N*设bnlog2（an+1）．
（I）求{an}通项公式
（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）
（III）bn求证：2≤＜3．
43．已知正项数列{an}满足a13n∈N*．
（1）求证：1＜an≤3n∈N*
（2）意正整数n成立求M值
（3）求证：a1+a2+a3+…+an＜n+6n∈N*．
44．已知数列{an}中n∈N*．
（1）求证：1＜an+1＜an＜2
（2）求证：
（3）求证：n＜sn＜n+2．
45．已知数列{an}中（n∈N*）．
（1）求证：
（2）求证：等差数列
（3）设记数列{bn}前n项Sn求证：．
46．已知穷数列{an}首项a1n∈N*．
（Ⅰ）证明：0＜an＜1
（Ⅱ） 记bnTn数列{bn}前n项证明：意正整数nTn．
47．已知数列{xn}满足x11xn+12+3求证：
（I）0＜xn＜9
（II）xn＜xn+1
（III）．
48．数列{an}项均正数意n∈N*满足an+1an+can2（c＞0常数）．
（Ⅰ）a12a23a3次成等数列求a1值（常数c表示）
（Ⅱ）设bnSn数列{bn}前n项
（i）求证：
（ii）求证：Sn＜Sn+1＜．
49．设数列满足|an﹣|≤1n∈N*．
（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）
（Ⅱ）|an|≤（）nn∈N*证明：|an|≤2n∈N*．
50．已知数列{an}满足：a11an+1an+．（n∈N*）
（Ⅰ）证明：≥1+
（Ⅱ）求证：＜an+1＜n+1．
高考数列压轴题
参考答案试题解析
．解答题（50题）
1．数列{an}满足a11a2+…an++…+（n∈N*）
（1）求a2a3a4a5值
（2）求anan﹣1间关系式（n∈N*n≥2）
（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）
解答解：（1）a2+2+24
a3++3+6+615
a4+++4+4×3+4×3×2+4×3×2×164
a5++++5+20+60+120+120325
（2）an++…+n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n
n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）]
n+nan﹣1
（3）证明：（2）知
（1+）（1+）…（1+）•…
+++…++++…+
+++…+≤1+1+++…+
2+1﹣+﹣+…+﹣3﹣＜3（n≥2）．
n≥2时等式成立n1时等式显然成立原命题成立．
2．已知数列{xn}满足：x11xnxn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*）证明：n∈N*时
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤
（Ⅲ）≤xn≤．
解答解：（Ⅰ）数学纳法证明：xn＞0
n1时x11＞0成立
假设nk时成立xk＞0
nk+1时xk+1＜00＜xkxk+1+ln（1+xk+1）＜0矛盾
xn+1＞0
xn＞0（n∈N*）
∴xnxn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1
0＜xn+1＜xn（n∈N*）
（Ⅱ）xnxn+1+ln（1+xn+1）xnxn+1﹣4xn+1+2xnxn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）
记函数f（x）x2﹣2x+（x+2）ln（1+x）x≥0
∴f′（x）+ln（1+x）＞0
∴f（x）（0+∞）单调递增
∴f（x）≥f（0）0
xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0
2xn+1﹣xn≤
（Ⅲ）∵xnxn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+12xn+1
∴xn≥
≥2xn+1﹣xn﹣≥2（﹣）＞0
∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）2n﹣2
∴xn≤
综述≤xn≤．
3．数列{an}中a1an+1（n∈N*）
（Ⅰ）求证：an+1＜an
（Ⅱ）记数列{an}前n项Sn求证：Sn＜1．
解答证明：（Ⅰ）∵＞0a1＞0∴an＞0
∴an+1﹣an﹣an＜0．
∴an+1＜an
（Ⅱ）∵1﹣an+11﹣
∴．
∴
an＞0
∴．
4．已知正项数列{an}满足an2+an3a2n+1+2an+1a11．
（1）求a2值
（2）证明：意实数n∈N*an≤2an+1
（3）记数列{an}前n项Sn证明：意n∈N*2﹣≤Sn＜3．
解答解：（1）an2+an3a2n+1+2an+1a11
a12+a13a22+2a22
解a2（负舍）
（2）证明：an2+an3a2n+1+2an+1
an2﹣4a2n+1+an﹣2an+1+a2n+10
（an﹣2an+1）（an+2an+1+1）+a2n+10
正项数列{an}
an+2an+1+1＞04a2n+1＞0
意实数n∈N*an≤2an+1
（3）（1）意实数n∈N*an≤2an+1
a1≤2a2a2≥a3≥a2≥
…an≥
前n项Sna1+a2+…+an≥1+++…+
2﹣
an2+an3a2n+1+2an+1＞a2n+1+an+1
（an﹣an+1）（an+an+1+1）＞0
an＞an+1数列{an}递减
Sna1+a2+…+an＜1+1+++…+
1+3（1﹣）＜3．
意n∈N*2﹣≤Sn＜3．
5．已知数列{an}中．n∈N*
（1）求证：1＜an+1＜an＜2
（2）求证：
（3）求证：n＜sn＜n+2．
解答证明：（1）先数学纳法证明1＜an＜2．
①．n1时
②．假设nk时成立1＜ak＜2．
nk+1时成立．
①②知1＜an＜2n∈N*恒成立．
1＜an+1＜an＜2成立．
（2）
n≥3时1＜an＜2．．
（3）（1）1＜an＜2sn＞n
（2）
6．设数列{an}满足an+1an2﹣an+1（n∈N*）Sn{an}前n项．证明：意n∈N*
（I）0≤a1≤1时0≤an≤1
（II）a1＞1时an＞（a1﹣1）a1n﹣1
（III）a1时n﹣＜Sn＜n．
解答证明：（Ⅰ）数学纳法证明．
①n1时0≤an≤1成立．
②假设nk（k∈N*）时0≤ak≤1
nk+1时（）2+∈[]⊂[01]
①②知．
∴0≤a1≤1时0≤an≤1．
（Ⅱ）an+1﹣an（）﹣an（an﹣1）2≥0知an+1≥an．
a1＞1an＞1（n∈N*）
﹣anan（an﹣1）
an≥a1
∴
∴a1＞1时an＞（a1﹣1）a1n﹣1．
（Ⅲ）时（Ⅰ）0＜an＜1（n∈N*）Sn＜n
令bn1﹣an（n∈N*）（Ⅰ）（Ⅱ）bn＞bn+1＞0（n∈N*）
．
∴（b1﹣b2）+（b2﹣b3）+…+（bn﹣bn+1）b1﹣bn+1＜b1
∵≥
∴nbn2（n∈N*）
∵
∴b1+b2+…+bn[（）+（）+…+（）]
n﹣Sn
∴时．
7．已知数列{an}满足a11Sn2an+1中Sn{an}前n项（n∈N*）．
（Ⅰ）求S1S2数列{Sn}通项公式
（Ⅱ）数列{bn}满足{bn}前n项Tn求证：n≥2时．
解答解：（Ⅰ）数列{an}满足Sn2an+1Sn2an+12（Sn+1﹣Sn）3Sn2Sn+1
∴
数列{Sn}1首项公等数列
∴Sn（）n﹣1（n∈N*）．
∴S11S2
（Ⅱ）数列{bn}中
Tn{bn}前n项
|Tn||．
n≥2时
．
8．已知数列{an}满足a11（n∈N*）
（Ⅰ） 证明：
（Ⅱ） 证明：．
解答（Ⅰ） 证明：∵①∴②
②÷①：
∴
（Ⅱ） 证明：（Ⅰ）：（n+1）an+2nan
∴
令bnnan③
∴bn﹣1•bnn④
b1a11b22易bn＞0
③﹣④：
∴b1＜b3＜…＜b2n﹣1b2＜b4＜…＜b2nbn≥1
根bn•bn+1n+1：bn+1≤n+1∴1≤bn≤n
∴
方面：
方面：1≤bn≤n知：．
9．设数列{an}前n项Sn已知a1an+1中n∈N*．
（1）证明：an＜2
（2）证明：an＜an+1
（3）证明：2n﹣≤Sn≤2n﹣1+（）n．
解答证明：（1）an+1﹣2﹣2
+2+1＞0+22+＞0．
∴an+1﹣2an﹣2号a1﹣2号a1﹣2﹣＜0
∴an＜2．
（2）an+1﹣1：an+1﹣1an﹣1号a1﹣1号a1﹣1＞0∴an＞1．
an＜2．∴1＜an＜2．an+1﹣an分子＞0分母＞0．
∴an+1﹣an＞0an＜an+1．
（3）n1时S1满足等式．
n≥2时∴2﹣an≥．
∴2n﹣Sn≥1﹣．Sn≤2n﹣1+．
方面：（II）知：．≤．
：≤．
∴2﹣an≤∴2n﹣Sn≤．
∴Sn≥2n﹣＞2n﹣．
综：2n﹣≤Sn≤2n﹣1+（）n．
10．数列{an}项均正数an+1an+﹣1（n∈N*）{an}前n项Sn．
（Ⅰ）{an}递增数列求a1取值范围
（Ⅱ）a1＞2意n∈N*Sn≥na1﹣（n﹣1）证明：Sn＜2n+1．
解答（I）解：a2＞a1＞0⇔﹣1＞a1＞0解0＜a1＜2①．
a3＞a2＞0⇔＞a2⇔0＜a2＜2⇔﹣1＜2解1＜a1＜2②．
①②：1＜a1＜2．
面利数学纳法证明：1＜a1＜2时∀n∈N*1＜an＜2成立．
（1）n1时1＜a1＜2成立．
（2）假设nk∈N*时1＜an＜2成立．
nk+1时ak+1ak+﹣1∈⊊（12）
nk+1时等式成立．
综（1）（2）：∀n∈N*1＜an＜2成立．
an+1﹣an﹣1＞0an+1＞an
∴{an}递增数列a1取值范围（12）．
（II）证明：∵a1＞2数学纳法证明：an＞2∀n∈N*成立．
：an+1﹣an﹣1＜2数列{an}递减数列．
Sn≥na1﹣（n﹣1）中令n2：2a1+﹣1S2≥2a1﹣解a1≤32＜a1≤3．
证：（1）时Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．
事实时ana1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）．
Sna1+a2+…+an≥a1+（n﹣1）na1﹣．
证明：（2）时合题意．
事实时设anbn+2≤1．
an+1an+﹣1（n∈N*）：bn+1bn+﹣1≤≤．
数列{bn}前nTn≤＜3b1≤3．
Sn2n+Tn＜2n+3na1+（2﹣a1）n+3③．
令a1+t（t＞0）③：Sn＜na1+（2﹣a1）n+3na1﹣﹣tn+．
n充分：Sn＜na1﹣．Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．
∴时合题意．
综（1）（2）：≤≤．（：）．
数列{bn}前n项Tn≤＜b1＜1∴Sn2n+Tn＜2n+1．
11．设anxnbn（）2Sn数列{an•bn}前n项令fn（x）Sn﹣1x∈Ra∈N*．
（Ⅰ）x2求数列{}前n项Tn
（Ⅱ）求证：∀n∈N*方程fn（x）0xn∈[1]仅根
（Ⅲ）求证：∀p∈N*（Ⅱ）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．
解答解：（Ⅰ）x2an2n（2n﹣1）（）n
Tn1×（）1+3×（）2+…+（2n﹣1）（）n
∴Tn1×（）2+3×（）3+…+（2n﹣1）（）n+1
∴Tn+2×[（）2+（）3+…+（）n]﹣（2n﹣1）（）n+1
+2×﹣（2n﹣1）（）n+1+1﹣（）n﹣1﹣（2n﹣1）（）n+1
∴Tn3﹣（）n﹣2﹣（2n﹣1）（）n3﹣
（Ⅱ）证明：fn（x）﹣1+x+++…+（x∈Rn∈N+）fn′（x）1+++…+＞0
函数f（x）（0+∞）增函数．
f1（x1）0n≥2时fn（1）++…+＞0fn（1）＞0．
fn（）﹣1++[+++…+]≤﹣+•（）i
﹣+×﹣•（）n﹣1＜0
根函数零点判定定理存唯xn∈[1]满足fn（xn）0．
（Ⅲ）证明：意p∈N+（1）中xn构成数列{xn}x＞0时
∵fn+1（x）fn（x）+＞fn（x）
∴fn+1（xn）＞fn（xn）fn+1（xn+1）0．
fn+1（x） （0+∞）单调递增 xn+1＜xn xn﹣xn+1＞0
数列{xn}减数列意 np∈N+xn﹣xn+p＞0．
fn（xn）﹣1+xn+++…+0①
fn+p （xn+p）﹣1+xn+p+++…++[++…+]②
①减②移项利 0＜xn+p≤1
xn﹣xn+p+≤≤＜﹣＜．
综意p∈N+（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．
12．已知数列{an}{bn}a01（n012…）Tn数列{bn}前n项．
求证：（Ⅰ）an+1＜an
（Ⅱ）
（Ⅲ）．
解答解：证明：（Ⅰ）an+1＜an
（Ⅱ）法记
原命题等价证明数学纳法
提示：构造函数（1+∞）单调递增
+＞+×+×（﹣）
法二需证明
：n1时
n≥2证：
（3）
：
叠加
13．已知数列{an}满足：a1anan﹣12+an﹣1（n≥2n∈N）．
（Ⅰ）求a2a3证明：2﹣≤an≤•3
（Ⅱ）设数列{an2}前n项An数列{}前n项Bn证明：an+1．
解答解：（I）a2a12+a1
a3a22+a2．
证明：∵anan﹣12+an﹣1
∴an+an﹣12+an﹣1+（an﹣1+）2+＞（an﹣1+）2
∴an+＞（an﹣1+）2＞（an﹣2+）4＞＞（an﹣3+）8＞…＞（a1+）2
∴an＞2﹣
∵an﹣an﹣1an﹣12＞0∴an＞an﹣1＞an﹣2＞…＞a1＞1
∴an2＞an
∴anan﹣12+an﹣1＜2a
∴an＜2a＜2•22＜2•22•24＜…＜2•22•24•…•2a1
2•（）•3．
综2﹣≤an≤•3．
（II）证明：∵anan﹣12+an﹣1∴an﹣12an﹣an﹣1
∴Ana12+a22+a32+…an2（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an+1﹣an）an+1﹣
∵anan﹣12+an﹣1an﹣1（an﹣1+1）
∴
∴
∴Bn…+（）+（）+（﹣）+…+（）
﹣．
∴．
14．已知数列{an}项均非负数前n项Sn意n∈N*．
（1）a11a5052017求a6值
（2）意n∈N*Sn≤1求证：．
解答解：（1）题意知an+1﹣an≤an+2﹣an+1设diai+1﹣ai（i12…504）
d1≤d2≤d3≤…≤d504d1+d2+d3+…+d5042016
∵
d1+d2+…+d5≤20
∴a6a1+（d1+d2+…+d5）≤21．
（2）证明：存k∈N*ak＜ak+1
ak+1≤ak﹣ak+1≤ak+2
an项开始数列{an}严格递增
a1+a2+…+an≥ak+ak+1+…+an≥（n﹣k+1）ak
固定kn足够时必a1+a2+…+an≥1题设矛盾{an}递增an﹣an+1≥0．
令bkak﹣ak+1（k∈N*）
ak﹣ak+1≥ak+1﹣ak+2bk≥bk+1bk＞0
1≥a1+a2+…+an（b1+a2）+a2+…+anb1+2（b2+a3）+a3+…+an…b1+2b2+…+nbn+nan
综切n∈N*．
15．已知数列{an}中a14an+1n∈N*Sn{an}前n项．
（Ⅰ）求证：n∈N*时an＞an+1
（Ⅱ）求证：n∈N*时2≤Sn﹣2n＜．
解答证明：（I）n≥2时作差：an+1﹣an﹣
∴an+1﹣anan﹣an﹣1号
a14a2a2﹣a1＜0
∴n∈N*时an＞an+1．
（II）∵26+an∴an﹣22（an+1﹣2）（an+1+2）an﹣2①
∴an+1﹣2an﹣2号
∵a1﹣22＞0∴an＞2．
∴Sna1+a2+…+an≥4+2（n﹣1）2n+2．
∴Sn﹣2n≥2．
①：
an﹣2≤（a1﹣2）an≤2+2×．
∴Sna1+a2+…+an≤2n+2×＜2n+．
综：n∈N*时2≤Sn﹣2n＜．
16．已知数列{an}满足a11an﹣．
（1）求证：an≥
（2）求证：|an+1﹣an|≤
（3）求证：|a2n﹣an|≤．
解答证明：（1）∵a11an﹣．
∴a2a3a4
猜想：≤an≤1．
面数学纳法证明．
（i）n1时命题显然成立
（ii）假设nk时≤1成立
nk+1时ak+1≤＜1．
nk+1时成立
意n∈N*．
（2）n1时
n≥2时∵
∴．
（3）n1时|a2﹣a1|＜
n≥2时|a2n﹣an|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|an+1﹣an|．
17．设数列{an}满足：a1aan+1（a＞0a≠1n∈N*）．
（1）证明：n≥2时an＜an+1＜1
（2）b∈（a21）求证：整数k≥+1时ak+1＞b．
解答证明：（1）an+1知ana1符号相a1a＞0
∴an＞0
∴an+1≤1仅an1时an+11
面数学纳法证明：
①∵a＞0a≠1
∴a2＜1
∴＞1a2＜a3＜1
②假设nk时ak＜ak+1＜1
ak+2＜1＞1ak+1＜ak+2＜1
nk+1时等式成立
①②n≥2时an＜an+1＜1
（2）ak≥b（1）知ak+1＞ak≥b
ak＜b∵0＜x＜1二项式定理知（1+x）n1+Cn1x+…+Cnnxn≥nx
ak2+1＜b2+1＜b+1a2＜a3＜…＜ak＜b＜1
∴ak+1a2••…
a2•
＞a2•（）k﹣1＞a2•（）k﹣1a2•（1+）k﹣1
≥a2•[1+（k﹣1）]
∵k≥+1
∴1+（k﹣1）≥+1
∴ak+1＞b．
18．设a＞3数列{an}中a1aan+1n∈N*．
（Ⅰ）求证：an＞3＜1
（Ⅱ）a≤4时证明：an≤3+．
解答证明：（I）∵an+1﹣3﹣3．﹣
∴（）＞0∴号a＞3∴a﹣＞0∴＞0
∴an+1﹣3＞0an＞3（n1时成立）．
∴＜1．
综：an＞3＜1
（Ⅱ）a≤4时∵an+1﹣3﹣3．
∴
（I）知：3＜an≤a1a≤4
∴3＜an≤4．
设an﹣3t∈（01]．
∴≤
∴•…•≤
∴an﹣3≤（a1﹣3）×≤
∴an≤3+．
19．已知数列{an}满足an＞0a12（n+1）an+12nan2+an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：an＞1
（Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）．
解答证明：（Ⅰ）题意（n+1）an+12﹣（n+1）nan2﹣n+an﹣1
∴（n+1）（an+1+1）（an+1﹣1）（an﹣1）（nan+n+1）
an＞0n∈N*
∴（n+1）（an+1+1）＞0nan+n+1＞0
∴an+1﹣1an﹣1号
∵a1﹣11＞0
∴an＞1
（Ⅱ）（Ⅰ）知（n+1）an+12nan2+an＜（n+1）an2
∴an+1＜an1＜an≤2
题意an（n+1）an+12﹣nan2
∴a12a22﹣a12a23a32﹣2a22…an（n+1）an+12﹣nan2
相加a1+a2+…+an（n+1）an+12﹣4＜2n
∴an+12≤an2≤n≥2
∴≤2（+）≤2（﹣）+（﹣+）n≥2
n2时＜
n3时+≤＜＜
n≥4时++…+＜2（+++）+（++﹣）1+++++＜
原命题证
20．已知数列{an}满足：．
（1）求证：
（2）求证：．
解答证明：（1）
an+2＜an+1＜2．
（2）假设存
（1）n＞N时an≤aN+1＜1
根an＜1
．
…．
累加（*）
（1）aN+n﹣1＜0
时显然
显然（*）矛盾．
21．已知数列{an}满足a11an+12+an22（an+1an+an+1﹣an﹣）．
（1）求数列{an}通项公式
（2）求证：++…+＜
（3）记Sn++…+证明：切n≥2Sn2＞2（++…+）．
解答解：（1）a11an+12+an22（an+1an+an+1﹣an﹣）
an+12+an2﹣2an+1an﹣2an+1+2an+10
（an+1﹣an）2﹣2（an+1﹣an）+10
（an+1﹣an﹣1）20
an+1﹣an1
ana1+n﹣1nn∈N*
（2）证明：＜﹣n≥2．
++…+1+++…+
＜1++﹣+﹣+…+﹣﹣＜
原等式成立
（3）证明：Sn++…+1++…+
n2时S22（1+）2＞2•成立
假设nk≥2Sk2＞2（++…+）．
nk+1时Sk+12（Sk+）2
Sk+12﹣2（++…++）
（Sk+）2﹣2（++…+）﹣2•
Sk2﹣2（++…+）++2•﹣2•
Sk2﹣2（++…+）+
k＞1＞0
Sk2＞2（++…+）．
Sk2﹣2（++…+）＞0
Sk+12＞2（++…++）恒成立．
综切n≥2Sn2＞2（++…+）．
22．已知数列{an}满足a11an+1n∈N*．
（1）求证：≤an≤1
（2）求证：|a2n﹣an|≤．
解答证明：（1）数学纳法证明：
①n1时成立
②假设nk时成立nk+1时
≤≤1
≥
∴nk+1时命题成立．
①②≤an≤1．
（2）n1时|a2﹣a1|
n≥2时∵（）（）（）1+
∴|an+1﹣an|||≤|an﹣an﹣1|＜…＜（）n﹣1|a2﹣a1|
∴|a2n﹣a2n﹣1|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|an+1﹣an|
≤
（）n﹣1﹣（）2n﹣1≤
综：|a2n﹣an|≤．
23．已知数列{an]前n项记Sn满足Sn2an﹣nn∈N*
（Ⅰ）求数列{an}通项公式
（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）
解答解：（Ⅰ）∵Sn2an﹣n（n∈N+）
∴Sn﹣12an﹣1﹣n+10（n≥2）
两式相减：an2an﹣1+1
变形：an+12（an﹣1+1）
∵a12a1﹣1a11
∴数列{an+1}首项2公2等数列
∴an+12•2n﹣12nan2n﹣1．
（Ⅱ）（k12…n）
∴
﹣（k12…n）
﹣
综+…（n∈N*）．
24．已知数列{an}满足：a1an+1+an（n∈N*）．
（1）求证：an+1＞an
（2）求证：a2017＜1
（3）ak＞1求正整数k值．
解答（1）证明：an+1﹣an≥0an+1≥an．
∵a1∴an．
∴an+1﹣an＞0∴an+1＞an．
（II）证明：已知
∴﹣
…
累加求：++…+
k2017时（I）：a1＜a2＜…＜a2016．
∴﹣++…+＜＜1
∴a2017＜1．
（III）解：（II）：：a1＜a2＜…＜a2016＜a2017＜1．
∴﹣++…+＞2017×1
∴a2017＜1＜a2018
∵an+1＞an．∴k值2018．
25．已知数列{an}满足：an2﹣an﹣an+1+10a12
（1）求a2a3
（2）证明数列递增数列
（3）求证：＜1．
解答（1）解：∵a12∴a222﹣2+13理：a37．
（2）证明：n∈N*恒成立
∴an+1＞an．
（3）证明：
．
26．已知数列{an}满足：a11（n∈N*）
（Ⅰ）求证：an≥1
（Ⅱ）证明：≥1+
（Ⅲ）求证：＜an+1＜n+1．
解答证明：（I）数列{an}满足：a11（n∈N*）
：
⇒an+1≥an≥an﹣1≥…≥a11
（Ⅱ）（Ⅰ）：
（Ⅲ）
（Ⅱ）：
累加：
方面an≤n：原式变形
：
累加．
27．正项数列{an}中已知a11满足an+12an（n∈N*）
（Ⅰ）求a2a3
（Ⅱ）证明．an≥．
解答解：（Ⅰ）∵正项数列{an}中a11满足an+12an（n∈N*）
∴
．
证明：（Ⅱ）①n1时已知成立
②假设nk时等式成立
∵f（x）2x﹣（0+∞）增函数
∴≥
（）k+（）k﹣
（）k+
（）k+
∵k≥1∴2×（）k﹣3﹣30
∴
nk+1时等式成立．
根①②知等式n∈N*成立．
28．设数列{an}满足．
（1）证明：
（2）证明：．
解答（题满分15分）
证明：（I）易知an＞0an+1＞an+＞an
ak+1ak+＜ak+
．
n≥2时
an＜1．
an＜1（n∈N*）
an＜an+1＜1（n∈N*）．…（8分）
（II）n1时显然成立．
an＜1知
n≥2时
．
（n∈N*）． …（7分）
29．已知数列{an}满足a12an+12（Sn+n+1）（n∈N*）令bnan+1．
（Ⅰ）求证：{bn}等数列
（Ⅱ）记数列{nbn}前n项Tn求Tn
（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．
解答（I）证明：a12an+12（Sn+n+1）（n∈N*）∴a22×（2+1+1）8．
n≥2时an2（Sn﹣1+n）相减：an+13an+2变形：an+1+13（an+1）n1时成立．
令bnan+1bn+13bn．∴{bn}等数列首项3公3．
（II）解：（I）：bn3n．
∴数列{nbn}前n项Tn3+2×32+3×33+…+n•3n
3Tn32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1
∴﹣2Tn3+32+…+3n﹣n•3n+1﹣n•3n+1×3n+1﹣
解Tn+．
（III）证明：∵bn3nan+1解an3n﹣1．
．
∴+…+＞…+左边等式成立．
＜
+…+＜++…+
＜．右边等式成立．
综：﹣＜+…+．
30．已知数列{an}中a132an+1an2﹣2an+4．
（Ⅰ）证明：an+1＞an
（Ⅱ）证明：an≥2+（）n﹣1
（Ⅲ）设数列{}前n项Sn求证：1﹣（）n≤Sn＜1．
解答证明：（I）an+1﹣an﹣an≥0
∴an+1≥an≥3
∴（an﹣2）2＞0
∴an+1﹣an＞0
an+1＞an
（II）∵2an+1﹣4an2﹣2anan（an﹣2）
∴≥
∴an﹣2≥（an﹣1﹣2）≥（）2（an﹣2﹣2）≥（）3（an﹣3﹣2）≥…≥（）n﹣1（a1﹣2）（）n﹣1
∴an≥2+（）n﹣1
（Ⅲ）∵2（an+1﹣2）an（an﹣2）
∴（﹣）
∴﹣
∴﹣+
∴Sn++…+﹣+﹣+…+﹣﹣1﹣
∵an+1﹣2≥（）n
∴0＜≤（）n
∴1﹣（）n≤Sn1﹣＜1．
31．已知数列{an}满足a1an+1n∈N*．
（1）求a2
（2）求{}通项公式
（3）设{an}前n项Sn求证：（1﹣（）n）≤Sn＜．
解答（1）解：∵a1an∈N+．∴a2．
（2）解：∵a1an∈N+．∴﹣
化：﹣1
∴数列等数列首项公．
∴﹣1
解1+．
（3）证明：方面：（2）：an≥．
∴Sn≥+…+等式左边成立．
方面：an
∴Sn≤+++…+×＜×3＜（n≥3）．
n12时成立等式右边成立．
综：（1﹣（）n）≤Sn＜．
32．数列{an}中a11an．
（1）证明：an＜an+1
（2）证明：anan+1≥2n+1
（3）设bn证明：2＜bn＜（n≥2）．
解答证明：（1）数列{an}中a11an．
an＞0an2anan+1﹣2
an+1an+＞an
an＜an+1
（2）（1）anan﹣1＜an2anan+1﹣2
anan+1﹣anan﹣1＞2
n1时anan+1a12+23
2n+13原等式成立
n≥2时anan+1＞3+2（n﹣1）2n+1
综anan+1≥2n+1
（3）bn证2＜bn＜（n≥2）
证2＜an＜
证4n＜an2＜5n
an+1an+an+12an2+4+
a23
an+12﹣an24+＞4
4+＜4+4+
an+12﹣an2∈（4）
n23…累加
an2﹣a22∈（4（n﹣2））
an2∈（4n+1）⊆（4n5n）
2＜bn＜（n≥2）．
33．已知数列{an}满足
（1）数列{an}常数列求m值
（2）m＞1时求证：an＜an+1
（3）求正数man＜4切整数n恒成立证明结．
解答解：（1）数列{an}常数列
．显然时an1． …（3分）
（2）条件a2＞a1．…（5分）
两式相减． …（7分）
显然an＞0an+2﹣an+1an+1﹣an号a2﹣a1＞0
an+1﹣an＞0an＜an+1．…（9分）
（3）…（10分）
ana1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）≥1+（n﹣1）（m﹣2）．
说明m＞2时an越越显然满足an＜4．
an＜4切整数n恒成立m≤2．…（12分）
面证明m2时an＜4恒成立．数学纳法证明：
n1时a11显然成立．
假设nk时成立ak＜4
nk+1时成立．
知an＜4切正整数n恒成立．
正数m值2．…（15分）
34．已知数列{an}满足：p＞1．
（1）证明：an＞an+1＞1
（2）证明：
（3）证明：．
解答证明：（1）先数学纳法证明an＞1．
①n1时∵p＞1∴
②假设nk时ak＞1nk+1时．
①②知an＞1．
证an＞an+1．
令f（x）x﹣1﹣xlnxx＞1f＇（x）﹣lnx＜0
f（x）（1+∞）单调递减f（x）＜f（1）0
an＞an+1．
（2）证
需证
需证中an＞1
先证
令f（x）2xlnx﹣x2+1x＞1需证f（x）＜0．
f＇（x）2lnx+2﹣2x＜2（x﹣1）+2﹣2x0
f（x）（1+∞）单调递减
f（x）＜f（1）0．
证（an+1）lnan﹣2an+2＞0
令g（x）（x+1）lnx﹣2x+2x＞1
需证g（x）＞0
令x＞1
h（x）（1+∞）单调递增
h（x）＞h（1）0
g＇（x）＞0g（x）（1+∞）单调递增
g（x）＞g（1）0
综．
（3）（2）知方面
迭代
lnx≤x﹣1
ln（a1a2…an）lna1+lna2+…+lnan
方面
迭代．
综．
35．数列{an}满足a1an+1﹣an+anan+10（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}通项公式
（Ⅱ）求证：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．
解答解（Ⅰ）：已知数列{an}项非零．
否ak0结合ak﹣ak﹣1+akak﹣10⇒ak﹣10
继⇒ak﹣10⇒ak﹣20⇒…⇒a10已知矛盾．
an+1﹣an+anan+10．
数列公差1等差数列．
．
数列{an}通项公式（n∈N*）．
（Ⅱ） 证明：．
a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an．
a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．
证明二：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an．
a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．
36．已知数列{an}满足a11an+1an2+p．
（1）数列{an}常数列求p值
（2）p＞1时求证：an＜an+1
（3）求正数pan＜2切整数n恒成立证明结．
解答解：（1）数列{an}常数列显然时an1
（2）条件a2＞a1
两式相减
显然an＞0an+2﹣an+1an+1﹣an号a2﹣a1＞0an+1﹣an＞0
an＜an+1．
（3）
ana1+（a2﹣a1）+…（an﹣an﹣1）＞1+（n﹣1）（p﹣1）
说明p＞1时an越越满足an＜2an＜2切整数n恒成立p≤1
面证明p1时an＜2恒成立数学纳法证明：
n1时a11显然成立
假设nk时成立ak＜2
nk+1时成立
知切正整数n恒成立正数p值1
37．已知数列{an}满足a1a＞4（n∈N*）
（1）求证：an＞4
（2）判断数列{an}单调性
（3）设Sn数列{an}前n项求证：a6时．
解答（1）证明：利数学纳法证明：
①n1时a1a＞4成立．
②假设nk≥2时ak＞4．
ak+1＞4．
∴nk+1时成立．
综①②：∀n∈N*an＞4．
（2）解：∵（n∈N*）．
∴﹣﹣2an﹣8﹣9＞（4﹣1）2﹣90
∴an＞an+1．
∴数列{an}单调递减．
（3）证明：（2）知：数列{an}单调递减．
方面Sn＞a1+4（n﹣1）4n+2．
方面：＜
∴an﹣4＜
∴Sn﹣4n＜＜．Sn＜4n+．
∴a6时．
38．已知数列{an}满足a11an+1．
（Ⅰ）求证：an+1＜an
（Ⅱ）求证：≤an≤．
解答解：（Ⅰ）证明：a11an+1an＞0（n∈N）
an+1﹣an﹣an＜0
∴an+1＜an
（Ⅱ）证明：（Ⅰ）知0＜an＜1an+1．∴≥an+1＞an
∴an＞an﹣1≥（）2an﹣1≥…≥（）2an﹣1≥（）n﹣1a1an≥．
an+1an+
∴﹣an
∴﹣a11﹣a2﹣a3（）2…﹣an﹣1≥（）n﹣2
累加﹣1++（）2+…+（）n﹣22﹣（）n﹣2
a11
∴≥3﹣（）n﹣2
∴an≤．
综≤an≤．
39．已知数列{an}满足：a11．
（1）b1证明：数列等差数列
（2）b﹣1判断数列{a2n﹣1}单调性说明理
（3）b﹣1求证：．
解答解：（1）证明：b1an+1+1
∴（an+1﹣1）2（an﹣1）2+2
（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）22
∴（an﹣1）2﹣（an﹣1﹣1）22
∴数列{（an﹣1）2}0首项2公差等差数列
（2）b﹣1an+1﹣1
数列{a2n﹣1}单调递减．
令an+1→an1+an
an→an＜（n23…）
令f（x）﹣1
（﹣∞1]递减{a2n﹣1}单调递减．
（3）运数学纳法证明
n1时a11＜成立
设nk时a1+a3+…+22k﹣1＜
nk+1时a1+a3+…+a2k﹣1+a2k+1
＜+
综成立．
40．已知数列{an}满足（n123…）Snb1+b2+…+bn．
证明：（Ⅰ）an﹣1＜an＜1（n≥1）
（Ⅱ）（n≥2）．
解答证明：（Ⅰ）：（*）
显然an＞0（*）式⇒
1﹣an1﹣an﹣1号
1﹣an＞0an＜1…（3分）
（注意：数学纳法证明）
an﹣1﹣an（2an+1）（an﹣1）＜0an﹣1＜an
an﹣1＜an＜1（n≥1）…（6分）
（Ⅱ）（*）式⇒
0＜an﹣1＜an＜1⇒an﹣1﹣an+1＞0
bnan﹣1﹣an+1＞0Snb1+b2+…+bn＞0…（9分）
（Ⅰ）1﹣an﹣12（1+an）（1﹣an）⇒
（**）…（11分）
Snb1+b2+…+bn（a0﹣a1+1）+（a1﹣a2+1）+…（an﹣1﹣an+1）…（12分）
…（14分）
∴（n≥2）成立…（15分）
41．已知数列{an}满足a11an+1n∈N*记STn分数列{an}{a}前n项证明：n∈N*时
（1）an+1＜an
（2）Tn﹣2n﹣1
（3）﹣1＜Sn．
解答解：（1）a11an+1n∈N*
知an＞0an+1﹣an﹣an＜0
an+1＜an
（2）an+1
取倒数：+an
方：+an2+2
﹣﹣2an2
﹣﹣2a12
﹣﹣2a22
…
﹣﹣2an2
累加﹣﹣2na12+a22+…+an2
Tn﹣2n﹣1
（3）（2）知：﹣an
﹣a1
﹣a2
…
﹣an
累加﹣a1+a2+…+anSn
a12+a22+…+an2+2n+1＞2n+2
＞Snan+an﹣1+…+a1
﹣＞﹣1＞﹣1
＞
＞
n＞1时an＜＜（﹣）
累加Sn＜a1+[（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）]1+（﹣1）＜
n1时Sn成立．
﹣1＜Sn．
42．已知数列{an}满足a13an+1an2+2ann∈N*设bnlog2（an+1）．
（I）求{an}通项公式
（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）
（III）bn求证：2≤＜3．
解答解：（I）
a13an＞0两边取数bn+12bn（2分）
b1log2（a1+1）2≠0
∴{bn}2公等数列．
（3分）
∵bnlog2（an+1）
∴（4分）
（2）数学纳法证明：1on2时左边右边时等式成立 （5分）
2o假设nk≥2时等式成立
nk+1时左边（6分）
＜k+1右边
∴nk+1时等式成立．
综：切n∈N*n≥2命题成立．（9分）
（3）证明：cnn
∴
首先（10分）
次∵
∴
n1时显然成立．证．（15分）
43．已知正项数列{an}满足a13n∈N*．
（1）求证：1＜an≤3n∈N*
（2）意正整数n成立求M值
（3）求证：a1+a2+a3+…+an＜n+6n∈N*．
解答（1）证明：正项数列{an}满足a13n∈N*．
+an+22an+1
两式相减（an+2﹣an+1）（an+2+an+1+1）2（an+1﹣an）
∵an＞0∴an+2﹣an+1an+1﹣an号．
∵+a22a16∴a22a2﹣a1＜0
∴an+1﹣an＜0数列{an}单调减数列an≤a13．
方面：正项数列{an}满足a13n∈N*．
：+an+12an+an+1﹣22an﹣2（an+1+2）（an+1﹣1）2（an﹣1）
an+1+2＞0易知an+1﹣1an﹣1号
a1﹣12＞0知an﹣1＞0an＞1．
综：1＜an≤3n∈N*．
（2）解：（1）知：3＜an+1+2≤a2+24
≤∴．
M值．
（3）证明：（2）知n≥2时an﹣1（a1﹣1）×××…×＜2×
n1时a1﹣12an﹣1≤n∈N*．
an≤n∈N*．
a1+a2+a3+…+an＜n+2n+2×＜n+6n∈N*．
44．已知数列{an}中n∈N*．
（1）求证：1＜an+1＜an＜2
（2）求证：
（3）求证：n＜sn＜n+2．
解答证明：（1）先数学纳法证明1＜an＜2
1°．n1时
2°．假设nk时成立1＜ak＜2nk+1时ak∈（12）成立．
1°2°知1＜an＜2n∈N*恒成立（an﹣1）（an﹣2）＜0．
1＜an+1＜an＜2成立．
（2）
n≥3时1＜an＜2．
．
（3）（1）1＜an＜2sn＞n
（2）
．
45．已知数列{an}中（n∈N*）．
（1）求证：
（2）求证：等差数列
（3）设记数列{bn}前n项Sn求证：．
解答证明：（1）n1时满足
假设nk（k≥1）时结成立≤ak＜1
∵ak+1∴
nk+1时结成立
∴n∈N*时．
（2）
∴
∴﹣1
∴数列等差数列．
（3）（2）知
∴
∴
∵n≥2时12n2+18n﹣（7n2+21n+14）（5n+7）（n﹣2）≥0
∴n≥2时
∴n≥2时
b1b2
∴n≥3时
．
46．已知穷数列{an}首项a1n∈N*．
（Ⅰ）证明：0＜an＜1
（Ⅱ） 记bnTn数列{bn}前n项证明：意正整数nTn．
解答（Ⅰ）证明：①n1时显然成立
②假设nk（k∈N*）时等式成立0＜ak＜1
：nk+1时＞
∴0＜ak+1＜1
nk+1时等式成立．
综合①②知0＜an＜1意n∈N*成立．﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）an+1＞an
∴数列{an}递增数列．
易知递减数列
∴递减数列
∴n≥2时
∴n≥2时
n1时成立
n≥2时Tnb1+b2+…+bn＜
综意正整数n
47．已知数列{xn}满足x11xn+12+3求证：
（I）0＜xn＜9
（II）xn＜xn+1
（III）．
解答证明：（I）（数学纳法）
n1时x110＜x1＜9成立．
假设nk时0＜xk＜9成立
nk+1时．
xk+1＜9
0＜xn＜9成立．
（II）0＜xn＜9
．
xn＜xn+1．
（III）0＜xn＜9．
xn+12+3＞+3．
．
．
x11．
48．数列{an}项均正数意n∈N*满足an+1an+can2（c＞0常数）．
（Ⅰ）a12a23a3次成等数列求a1值（常数c表示）
（Ⅱ）设bnSn数列{bn}前n项
（i）求证：
（ii）求证：Sn＜Sn+1＜．
解答（I）解：意n∈N*满足an+1an+can2（c＞0常数）．∴a2．a3．
∵a12a23a3次成等数列∴a1•3a3∴a1•3（）a2＞0化4a23a1（1+ca2）．
∴4（）3a1[1+c（）]a1＞0化：3c2x2﹣cx﹣10解x．
（II）证明：（i）an+1an+can2（c＞0常数）an＞0．
∴﹣﹣﹣．﹣﹣．
（ii）（i）：﹣﹣．
∴bn
∴Sn+…+．
an+1an+can2＞an＞0﹣．
∴Sn＜Sn+1＜．
∴Sn＜Sn+1＜．
49．设数列满足|an﹣|≤1n∈N*．
（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）
（Ⅱ）|an|≤（）nn∈N*证明：|an|≤2n∈N*．
解答解：（I）∵|an﹣|≤1∴|an|﹣|an+1|≤1
∴﹣≤n∈N*
∴（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤+++…+1﹣＜1．
∴|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）．
（II）取n∈N*（I）知意m＞n
﹣（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
≤++…+＜．
∴|an|＜（+）•2n≤[+•（）m]•2n2+（）m•2n．①
m意性知|an|≤2．
否存n0∈N*|a|＞2
取正整数m0＞logm0＞n0
2•（）＜2•（）|a|﹣2①式矛盾．
综意n∈N*|an|≤2．
50．已知数列{an}满足：a11an+1an+．（n∈N*）
（Ⅰ）证明：≥1+
（Ⅱ）求证：＜an+1＜n+1．
解答证明：（Ⅰ）∵
∴an+1＞an＞a1≥1
∴．
（Ⅱ）∵
∴0＜＜1
﹣＜＜﹣
累加﹣＜1﹣
an+1＜n+1
方面an≤n
原式变形
累加
＜an+1＜n+1．
— END —
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．解答题（50题）
1．数列{an}满足a11a2+…an++…+（n∈N*）
（1）求a2a3a4a5值
（2）求anan﹣1间关系式（n∈N*n≥2）
（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）
2．已知数列{xn}满足：x11xnxn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*）证明：n∈N*时
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤
（Ⅲ）≤xn≤．
3．数列{an}中a1an+1（n∈N*）
（Ⅰ）求证：an+1＜an
（Ⅱ）记数列{an}前n项Sn求证：Sn＜1．
4．已知正项数列{an}满足an2+an3a2n+1+2an+1a11．
（1）求a2值
（2）证明：意实数n∈N*an≤2an+1
（3）记数列{an}前n项Sn证明：意n∈N*2﹣≤Sn＜3．
5．已知数列{an}中．n∈N*
（1）求证：1＜an+1＜an＜2
（2）求证：
（3）求证：n＜sn＜n+2．
6．设数列{an}满足an+1an2﹣an+1（n∈N*）Sn{an}前n项．证明：意n∈N*
（I）0≤a1≤1时0≤an≤1
（II）a1＞1时an＞（a1﹣1）a1n﹣1
（III）a1时n﹣＜Sn＜n．
7．已知数列{an}满足a11Sn2an+1中Sn{an}前n项（n∈N*）．
（Ⅰ）求S1S2数列{Sn}通项公式
（Ⅱ）数列{bn}满足{bn}前n项Tn求证：n≥2时．
8．已知数列{an}满足a11（n∈N*）
（Ⅰ） 证明：
（Ⅱ） 证明：．
9．设数列{an}前n项Sn已知a1an+1中n∈N*．
（1）证明：an＜2
（2）证明：an＜an+1
（3）证明：2n﹣≤Sn≤2n﹣1+（）n．
10．数列{an}项均正数an+1an+﹣1（n∈N*）{an}前n项Sn．
（Ⅰ）{an}递增数列求a1取值范围
（Ⅱ）a1＞2意n∈N*Sn≥na1﹣（n﹣1）证明：Sn＜2n+1．
11．设anxnbn（）2Sn数列{an•bn}前n项令fn（x）Sn﹣1x∈Ra∈N*．
（Ⅰ）x2求数列{}前n项Tn
（Ⅱ）求证：∀n∈N*方程fn（x）0xn∈[1]仅根
（Ⅲ）求证：∀p∈N*（Ⅱ）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．
12．已知数列{an}{bn}a01（n012…）Tn数列{bn}前n项．
求证：（Ⅰ）an+1＜an
（Ⅱ）
（Ⅲ）．
13．已知数列{an}满足：a1anan﹣12+an﹣1（n≥2n∈N）．
（Ⅰ）求a2a3证明：2﹣≤an≤•3
（Ⅱ）设数列{an2}前n项An数列{}前n项Bn证明：an+1．
14．已知数列{an}项均非负数前n项Sn意n∈N*．
（1）a11a5052017求a6值
（2）意n∈N*Sn≤1求证：．
15．已知数列{an}中a14an+1n∈N*Sn{an}前n项．
（Ⅰ）求证：n∈N*时an＞an+1
（Ⅱ）求证：n∈N*时2≤Sn﹣2n＜．
16．已知数列{an}满足a11an﹣．
（1）求证：an≥
（2）求证：|an+1﹣an|≤
（3）求证：|a2n﹣an|≤．
17．设数列{an}满足：a1aan+1（a＞0a≠1n∈N*）．
（1）证明：n≥2时an＜an+1＜1
（2）b∈（a21）求证：整数k≥+1时ak+1＞b．
18．设a＞3数列{an}中a1aan+1n∈N*．
（Ⅰ）求证：an＞3＜1（Ⅱ）a≤4时证明：an≤3+．
19．已知数列{an}满足an＞0a12（n+1）an+12nan2+an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：an＞1
（Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）．
20．已知数列{an}满足：．
（1）求证：
（2）求证：．
21．已知数列{an}满足a11an+12+an22（an+1an+an+1﹣an﹣）．
（1）求数列{an}通项公式
（2）求证：++…+＜
（3）记Sn++…+证明：切n≥2Sn2＞2（++…+）．
22．已知数列{an}满足a11an+1n∈N*．
（1）求证：≤an≤1
（2）求证：|a2n﹣an|≤．
23．已知数列{an]前n项记Sn满足Sn2an﹣nn∈N*
（Ⅰ）求数列{an}通项公式
（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）
24．已知数列{an}满足：a1an+1+an（n∈N*）．
（1）求证：an+1＞an
（2）求证：a2017＜1
（3）ak＞1求正整数k值．
25．已知数列{an}满足：an2﹣an﹣an+1+10a12
（1）求a2a3
（2）证明数列递增数列
（3）求证：＜1．
26．已知数列{an}满足：a11（n∈N*）
（Ⅰ）求证：an≥1
（Ⅱ）证明：≥1+
（Ⅲ）求证：＜an+1＜n+1．
27．正项数列{an}中已知a11满足an+12an（n∈N*）
（Ⅰ）求a2a3
（Ⅱ）证明．an≥．
28．设数列{an}满足．
（1）证明：
（2）证明：．
29．已知数列{an}满足a12an+12（Sn+n+1）（n∈N*）令bnan+1．
（Ⅰ）求证：{bn}等数列
（Ⅱ）记数列{nbn}前n项Tn求Tn
（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．
30．已知数列{an}中a132an+1an2﹣2an+4．
（Ⅰ）证明：an+1＞an
（Ⅱ）证明：an≥2+（）n﹣1
（Ⅲ）设数列{}前n项Sn求证：1﹣（）n≤Sn＜1．
31．已知数列{an}满足a1an+1n∈N*．
（1）求a2
（2）求{}通项公式
（3）设{an}前n项Sn求证：（1﹣（）n）≤Sn＜．
32．数列{an}中a11an．
（1）证明：an＜an+1
（2）证明：anan+1≥2n+1
（3）设bn证明：2＜bn＜（n≥2）．
33．已知数列{an}满足
（1）数列{an}常数列求m值
（2）m＞1时求证：an＜an+1
（3）求正数man＜4切整数n恒成立证明结．
34．已知数列{an}满足：p＞1．
（1）证明：an＞an+1＞1
（2）证明：
（3）证明：．
35．数列{an}满足a1an+1﹣an+anan+10（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}通项公式
（Ⅱ）求证：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．
36．已知数列{an}满足a11an+1an2+p．
（1）数列{an}常数列求p值
（2）p＞1时求证：an＜an+1
（3）求正数pan＜2切整数n恒成立证明结．
37．已知数列{an}满足a1a＞4（n∈N*）
（1）求证：an＞4
（2）判断数列{an}单调性
（3）设Sn数列{an}前n项求证：a6时．
38．已知数列{an}满足a11an+1．
（Ⅰ）求证：an+1＜an
（Ⅱ）求证：≤an≤．
39．已知数列{an}满足：a11．
（1）b1证明：数列等差数列
（2）b﹣1判断数列{a2n﹣1}单调性说明理
（3）b﹣1求证：．
40．已知数列{an}满足（n123…）Snb1+b2+…+bn．
证明：（Ⅰ）an﹣1＜an＜1（n≥1）
（Ⅱ）（n≥2）．
41．已知数列{an}满足a11an+1n∈N*记STn分数列{an}{a}前n项证明：n∈N*时
（1）an+1＜an
（2）Tn﹣2n﹣1
（3）﹣1＜Sn．
42．已知数列{an}满足a13an+1an2+2ann∈N*设bnlog2（an+1）．
（I）求{an}通项公式
（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）
（III）bn求证：2≤＜3．
43．已知正项数列{an}满足a13n∈N*．
（1）求证：1＜an≤3n∈N*
（2）意正整数n成立求M值
（3）求证：a1+a2+a3+…+an＜n+6n∈N*．
44．已知数列{an}中n∈N*．
（1）求证：1＜an+1＜an＜2
（2）求证：
（3）求证：n＜sn＜n+2．
45．已知数列{an}中（n∈N*）．
（1）求证：
（2）求证：等差数列
（3）设记数列{bn}前n项Sn求证：．
46．已知穷数列{an}首项a1n∈N*．
（Ⅰ）证明：0＜an＜1
（Ⅱ） 记bnTn数列{bn}前n项证明：意正整数nTn．
47．已知数列{xn}满足x11xn+12+3求证：
（I）0＜xn＜9
（II）xn＜xn+1
（III）．
48．数列{an}项均正数意n∈N*满足an+1an+can2（c＞0常数）．
（Ⅰ）a12a23a3次成等数列求a1值（常数c表示）
（Ⅱ）设bnSn数列{bn}前n项
（i）求证：
（ii）求证：Sn＜Sn+1＜．
49．设数列满足|an﹣|≤1n∈N*．
（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）
（Ⅱ）|an|≤（）nn∈N*证明：|an|≤2n∈N*．
50．已知数列{an}满足：a11an+1an+．（n∈N*）
（Ⅰ）证明：≥1+
（Ⅱ）求证：＜an+1＜n+1．
高考数列压轴题
参考答案试题解析
．解答题（50题）
1．数列{an}满足a11a2+…an++…+（n∈N*）
（1）求a2a3a4a5值
（2）求anan﹣1间关系式（n∈N*n≥2）
（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）
解答解：（1）a2+2+24
a3++3+6+615
a4+++4+4×3+4×3×2+4×3×2×164
a5++++5+20+60+120+120325
（2）an++…+n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n
n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）]
n+nan﹣1
（3）证明：（2）知
（1+）（1+）…（1+）•…
+++…++++…+
+++…+≤1+1+++…+
2+1﹣+﹣+…+﹣3﹣＜3（n≥2）．
n≥2时等式成立n1时等式显然成立原命题成立．
2．已知数列{xn}满足：x11xnxn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*）证明：n∈N*时
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤
（Ⅲ）≤xn≤．
解答解：（Ⅰ）数学纳法证明：xn＞0
n1时x11＞0成立
假设nk时成立xk＞0
nk+1时xk+1＜00＜xkxk+1+ln（1+xk+1）＜0矛盾
xn+1＞0
xn＞0（n∈N*）
∴xnxn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1
0＜xn+1＜xn（n∈N*）
（Ⅱ）xnxn+1+ln（1+xn+1）xnxn+1﹣4xn+1+2xnxn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）
记函数f（x）x2﹣2x+（x+2）ln（1+x）x≥0
∴f′（x）+ln（1+x）＞0
∴f（x）（0+∞）单调递增
∴f（x）≥f（0）0
xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0
2xn+1﹣xn≤
（Ⅲ）∵xnxn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+12xn+1
∴xn≥
≥2xn+1﹣xn﹣≥2（﹣）＞0
∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）2n﹣2
∴xn≤
综述≤xn≤．
3．数列{an}中a1an+1（n∈N*）
（Ⅰ）求证：an+1＜an
（Ⅱ）记数列{an}前n项Sn求证：Sn＜1．
解答证明：（Ⅰ）∵＞0a1＞0∴an＞0
∴an+1﹣an﹣an＜0．
∴an+1＜an
（Ⅱ）∵1﹣an+11﹣
∴．
∴
an＞0
∴．
4．已知正项数列{an}满足an2+an3a2n+1+2an+1a11．
（1）求a2值
（2）证明：意实数n∈N*an≤2an+1
（3）记数列{an}前n项Sn证明：意n∈N*2﹣≤Sn＜3．
解答解：（1）an2+an3a2n+1+2an+1a11
a12+a13a22+2a22
解a2（负舍）
（2）证明：an2+an3a2n+1+2an+1
an2﹣4a2n+1+an﹣2an+1+a2n+10
（an﹣2an+1）（an+2an+1+1）+a2n+10
正项数列{an}
an+2an+1+1＞04a2n+1＞0
意实数n∈N*an≤2an+1
（3）（1）意实数n∈N*an≤2an+1
a1≤2a2a2≥a3≥a2≥
…an≥
前n项Sna1+a2+…+an≥1+++…+
2﹣
an2+an3a2n+1+2an+1＞a2n+1+an+1
（an﹣an+1）（an+an+1+1）＞0
an＞an+1数列{an}递减
Sna1+a2+…+an＜1+1+++…+
1+3（1﹣）＜3．
意n∈N*2﹣≤Sn＜3．
5．已知数列{an}中．n∈N*
（1）求证：1＜an+1＜an＜2
（2）求证：
（3）求证：n＜sn＜n+2．
解答证明：（1）先数学纳法证明1＜an＜2．
①．n1时
②．假设nk时成立1＜ak＜2．
nk+1时成立．
①②知1＜an＜2n∈N*恒成立．
1＜an+1＜an＜2成立．
（2）
n≥3时1＜an＜2．．
（3）（1）1＜an＜2sn＞n
（2）
6．设数列{an}满足an+1an2﹣an+1（n∈N*）Sn{an}前n项．证明：意n∈N*
（I）0≤a1≤1时0≤an≤1
（II）a1＞1时an＞（a1﹣1）a1n﹣1
（III）a1时n﹣＜Sn＜n．
解答证明：（Ⅰ）数学纳法证明．
①n1时0≤an≤1成立．
②假设nk（k∈N*）时0≤ak≤1
nk+1时（）2+∈[]⊂[01]
①②知．
∴0≤a1≤1时0≤an≤1．
（Ⅱ）an+1﹣an（）﹣an（an﹣1）2≥0知an+1≥an．
a1＞1an＞1（n∈N*）
﹣anan（an﹣1）
an≥a1
∴
∴a1＞1时an＞（a1﹣1）a1n﹣1．
（Ⅲ）时（Ⅰ）0＜an＜1（n∈N*）Sn＜n
令bn1﹣an（n∈N*）（Ⅰ）（Ⅱ）bn＞bn+1＞0（n∈N*）
．
∴（b1﹣b2）+（b2﹣b3）+…+（bn﹣bn+1）b1﹣bn+1＜b1
∵≥
∴nbn2（n∈N*）
∵
∴b1+b2+…+bn[（）+（）+…+（）]
n﹣Sn
∴时．
7．已知数列{an}满足a11Sn2an+1中Sn{an}前n项（n∈N*）．
（Ⅰ）求S1S2数列{Sn}通项公式
（Ⅱ）数列{bn}满足{bn}前n项Tn求证：n≥2时．
解答解：（Ⅰ）数列{an}满足Sn2an+1Sn2an+12（Sn+1﹣Sn）3Sn2Sn+1
∴
数列{Sn}1首项公等数列
∴Sn（）n﹣1（n∈N*）．
∴S11S2
（Ⅱ）数列{bn}中
Tn{bn}前n项
|Tn||．
n≥2时
．
8．已知数列{an}满足a11（n∈N*）
（Ⅰ） 证明：
（Ⅱ） 证明：．
解答（Ⅰ） 证明：∵①∴②
②÷①：
∴
（Ⅱ） 证明：（Ⅰ）：（n+1）an+2nan
∴
令bnnan③
∴bn﹣1•bnn④
b1a11b22易bn＞0
③﹣④：
∴b1＜b3＜…＜b2n﹣1b2＜b4＜…＜b2nbn≥1
根bn•bn+1n+1：bn+1≤n+1∴1≤bn≤n
∴
方面：
方面：1≤bn≤n知：．
9．设数列{an}前n项Sn已知a1an+1中n∈N*．
（1）证明：an＜2
（2）证明：an＜an+1
（3）证明：2n﹣≤Sn≤2n﹣1+（）n．
解答证明：（1）an+1﹣2﹣2
+2+1＞0+22+＞0．
∴an+1﹣2an﹣2号a1﹣2号a1﹣2﹣＜0
∴an＜2．
（2）an+1﹣1：an+1﹣1an﹣1号a1﹣1号a1﹣1＞0∴an＞1．
an＜2．∴1＜an＜2．an+1﹣an分子＞0分母＞0．
∴an+1﹣an＞0an＜an+1．
（3）n1时S1满足等式．
n≥2时∴2﹣an≥．
∴2n﹣Sn≥1﹣．Sn≤2n﹣1+．
方面：（II）知：．≤．
：≤．
∴2﹣an≤∴2n﹣Sn≤．
∴Sn≥2n﹣＞2n﹣．
综：2n﹣≤Sn≤2n﹣1+（）n．
10．数列{an}项均正数an+1an+﹣1（n∈N*）{an}前n项Sn．
（Ⅰ）{an}递增数列求a1取值范围
（Ⅱ）a1＞2意n∈N*Sn≥na1﹣（n﹣1）证明：Sn＜2n+1．
解答（I）解：a2＞a1＞0⇔﹣1＞a1＞0解0＜a1＜2①．
a3＞a2＞0⇔＞a2⇔0＜a2＜2⇔﹣1＜2解1＜a1＜2②．
①②：1＜a1＜2．
面利数学纳法证明：1＜a1＜2时∀n∈N*1＜an＜2成立．
（1）n1时1＜a1＜2成立．
（2）假设nk∈N*时1＜an＜2成立．
nk+1时ak+1ak+﹣1∈⊊（12）
nk+1时等式成立．
综（1）（2）：∀n∈N*1＜an＜2成立．
an+1﹣an﹣1＞0an+1＞an
∴{an}递增数列a1取值范围（12）．
（II）证明：∵a1＞2数学纳法证明：an＞2∀n∈N*成立．
：an+1﹣an﹣1＜2数列{an}递减数列．
Sn≥na1﹣（n﹣1）中令n2：2a1+﹣1S2≥2a1﹣解a1≤32＜a1≤3．
证：（1）时Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．
事实时ana1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）．
Sna1+a2+…+an≥a1+（n﹣1）na1﹣．
证明：（2）时合题意．
事实时设anbn+2≤1．
an+1an+﹣1（n∈N*）：bn+1bn+﹣1≤≤．
数列{bn}前nTn≤＜3b1≤3．
Sn2n+Tn＜2n+3na1+（2﹣a1）n+3③．
令a1+t（t＞0）③：Sn＜na1+（2﹣a1）n+3na1﹣﹣tn+．
n充分：Sn＜na1﹣．Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．
∴时合题意．
综（1）（2）：≤≤．（：）．
数列{bn}前n项Tn≤＜b1＜1∴Sn2n+Tn＜2n+1．
11．设anxnbn（）2Sn数列{an•bn}前n项令fn（x）Sn﹣1x∈Ra∈N*．
（Ⅰ）x2求数列{}前n项Tn
（Ⅱ）求证：∀n∈N*方程fn（x）0xn∈[1]仅根
（Ⅲ）求证：∀p∈N*（Ⅱ）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．
解答解：（Ⅰ）x2an2n（2n﹣1）（）n
Tn1×（）1+3×（）2+…+（2n﹣1）（）n
∴Tn1×（）2+3×（）3+…+（2n﹣1）（）n+1
∴Tn+2×[（）2+（）3+…+（）n]﹣（2n﹣1）（）n+1
+2×﹣（2n﹣1）（）n+1+1﹣（）n﹣1﹣（2n﹣1）（）n+1
∴Tn3﹣（）n﹣2﹣（2n﹣1）（）n3﹣
（Ⅱ）证明：fn（x）﹣1+x+++…+（x∈Rn∈N+）fn′（x）1+++…+＞0
函数f（x）（0+∞）增函数．
f1（x1）0n≥2时fn（1）++…+＞0fn（1）＞0．
fn（）﹣1++[+++…+]≤﹣+•（）i
﹣+×﹣•（）n﹣1＜0
根函数零点判定定理存唯xn∈[1]满足fn（xn）0．
（Ⅲ）证明：意p∈N+（1）中xn构成数列{xn}x＞0时
∵fn+1（x）fn（x）+＞fn（x）
∴fn+1（xn）＞fn（xn）fn+1（xn+1）0．
fn+1（x） （0+∞）单调递增 xn+1＜xn xn﹣xn+1＞0
数列{xn}减数列意 np∈N+xn﹣xn+p＞0．
fn（xn）﹣1+xn+++…+0①
fn+p （xn+p）﹣1+xn+p+++…++[++…+]②
①减②移项利 0＜xn+p≤1
xn﹣xn+p+≤≤＜﹣＜．
综意p∈N+（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．
12．已知数列{an}{bn}a01（n012…）Tn数列{bn}前n项．
求证：（Ⅰ）an+1＜an
（Ⅱ）
（Ⅲ）．
解答解：证明：（Ⅰ）an+1＜an
（Ⅱ）法记
原命题等价证明数学纳法
提示：构造函数（1+∞）单调递增
+＞+×+×（﹣）
法二需证明
：n1时
n≥2证：
（3）
：
叠加
13．已知数列{an}满足：a1anan﹣12+an﹣1（n≥2n∈N）．
（Ⅰ）求a2a3证明：2﹣≤an≤•3
（Ⅱ）设数列{an2}前n项An数列{}前n项Bn证明：an+1．
解答解：（I）a2a12+a1
a3a22+a2．
证明：∵anan﹣12+an﹣1
∴an+an﹣12+an﹣1+（an﹣1+）2+＞（an﹣1+）2
∴an+＞（an﹣1+）2＞（an﹣2+）4＞＞（an﹣3+）8＞…＞（a1+）2
∴an＞2﹣
∵an﹣an﹣1an﹣12＞0∴an＞an﹣1＞an﹣2＞…＞a1＞1
∴an2＞an
∴anan﹣12+an﹣1＜2a
∴an＜2a＜2•22＜2•22•24＜…＜2•22•24•…•2a1
2•（）•3．
综2﹣≤an≤•3．
（II）证明：∵anan﹣12+an﹣1∴an﹣12an﹣an﹣1
∴Ana12+a22+a32+…an2（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an+1﹣an）an+1﹣
∵anan﹣12+an﹣1an﹣1（an﹣1+1）
∴
∴
∴Bn…+（）+（）+（﹣）+…+（）
﹣．
∴．
14．已知数列{an}项均非负数前n项Sn意n∈N*．
（1）a11a5052017求a6值
（2）意n∈N*Sn≤1求证：．
解答解：（1）题意知an+1﹣an≤an+2﹣an+1设diai+1﹣ai（i12…504）
d1≤d2≤d3≤…≤d504d1+d2+d3+…+d5042016
∵
d1+d2+…+d5≤20
∴a6a1+（d1+d2+…+d5）≤21．
（2）证明：存k∈N*ak＜ak+1
ak+1≤ak﹣ak+1≤ak+2
an项开始数列{an}严格递增
a1+a2+…+an≥ak+ak+1+…+an≥（n﹣k+1）ak
固定kn足够时必a1+a2+…+an≥1题设矛盾{an}递增an﹣an+1≥0．
令bkak﹣ak+1（k∈N*）
ak﹣ak+1≥ak+1﹣ak+2bk≥bk+1bk＞0
1≥a1+a2+…+an（b1+a2）+a2+…+anb1+2（b2+a3）+a3+…+an…b1+2b2+…+nbn+nan
综切n∈N*．
15．已知数列{an}中a14an+1n∈N*Sn{an}前n项．
（Ⅰ）求证：n∈N*时an＞an+1
（Ⅱ）求证：n∈N*时2≤Sn﹣2n＜．
解答证明：（I）n≥2时作差：an+1﹣an﹣
∴an+1﹣anan﹣an﹣1号
a14a2a2﹣a1＜0
∴n∈N*时an＞an+1．
（II）∵26+an∴an﹣22（an+1﹣2）（an+1+2）an﹣2①
∴an+1﹣2an﹣2号
∵a1﹣22＞0∴an＞2．
∴Sna1+a2+…+an≥4+2（n﹣1）2n+2．
∴Sn﹣2n≥2．
①：
an﹣2≤（a1﹣2）an≤2+2×．
∴Sna1+a2+…+an≤2n+2×＜2n+．
综：n∈N*时2≤Sn﹣2n＜．
16．已知数列{an}满足a11an﹣．
（1）求证：an≥
（2）求证：|an+1﹣an|≤
（3）求证：|a2n﹣an|≤．
解答证明：（1）∵a11an﹣．
∴a2a3a4
猜想：≤an≤1．
面数学纳法证明．
（i）n1时命题显然成立
（ii）假设nk时≤1成立
nk+1时ak+1≤＜1．
nk+1时成立
意n∈N*．
（2）n1时
n≥2时∵
∴．
（3）n1时|a2﹣a1|＜
n≥2时|a2n﹣an|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|an+1﹣an|．
17．设数列{an}满足：a1aan+1（a＞0a≠1n∈N*）．
（1）证明：n≥2时an＜an+1＜1
（2）b∈（a21）求证：整数k≥+1时ak+1＞b．
解答证明：（1）an+1知ana1符号相a1a＞0
∴an＞0
∴an+1≤1仅an1时an+11
面数学纳法证明：
①∵a＞0a≠1
∴a2＜1
∴＞1a2＜a3＜1
②假设nk时ak＜ak+1＜1
ak+2＜1＞1ak+1＜ak+2＜1
nk+1时等式成立
①②n≥2时an＜an+1＜1
（2）ak≥b（1）知ak+1＞ak≥b
ak＜b∵0＜x＜1二项式定理知（1+x）n1+Cn1x+…+Cnnxn≥nx
ak2+1＜b2+1＜b+1a2＜a3＜…＜ak＜b＜1
∴ak+1a2••…
a2•
＞a2•（）k﹣1＞a2•（）k﹣1a2•（1+）k﹣1
≥a2•[1+（k﹣1）]
∵k≥+1
∴1+（k﹣1）≥+1
∴ak+1＞b．
18．设a＞3数列{an}中a1aan+1n∈N*．
（Ⅰ）求证：an＞3＜1
（Ⅱ）a≤4时证明：an≤3+．
解答证明：（I）∵an+1﹣3﹣3．﹣
∴（）＞0∴号a＞3∴a﹣＞0∴＞0
∴an+1﹣3＞0an＞3（n1时成立）．
∴＜1．
综：an＞3＜1
（Ⅱ）a≤4时∵an+1﹣3﹣3．
∴
（I）知：3＜an≤a1a≤4
∴3＜an≤4．
设an﹣3t∈（01]．
∴≤
∴•…•≤
∴an﹣3≤（a1﹣3）×≤
∴an≤3+．
19．已知数列{an}满足an＞0a12（n+1）an+12nan2+an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：an＞1
（Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）．
解答证明：（Ⅰ）题意（n+1）an+12﹣（n+1）nan2﹣n+an﹣1
∴（n+1）（an+1+1）（an+1﹣1）（an﹣1）（nan+n+1）
an＞0n∈N*
∴（n+1）（an+1+1）＞0nan+n+1＞0
∴an+1﹣1an﹣1号
∵a1﹣11＞0
∴an＞1
（Ⅱ）（Ⅰ）知（n+1）an+12nan2+an＜（n+1）an2
∴an+1＜an1＜an≤2
题意an（n+1）an+12﹣nan2
∴a12a22﹣a12a23a32﹣2a22…an（n+1）an+12﹣nan2
相加a1+a2+…+an（n+1）an+12﹣4＜2n
∴an+12≤an2≤n≥2
∴≤2（+）≤2（﹣）+（﹣+）n≥2
n2时＜
n3时+≤＜＜
n≥4时++…+＜2（+++）+（++﹣）1+++++＜
原命题证
20．已知数列{an}满足：．
（1）求证：
（2）求证：．
解答证明：（1）
an+2＜an+1＜2．
（2）假设存
（1）n＞N时an≤aN+1＜1
根an＜1
．
…．
累加（*）
（1）aN+n﹣1＜0
时显然
显然（*）矛盾．
21．已知数列{an}满足a11an+12+an22（an+1an+an+1﹣an﹣）．
（1）求数列{an}通项公式
（2）求证：++…+＜
（3）记Sn++…+证明：切n≥2Sn2＞2（++…+）．
解答解：（1）a11an+12+an22（an+1an+an+1﹣an﹣）
an+12+an2﹣2an+1an﹣2an+1+2an+10
（an+1﹣an）2﹣2（an+1﹣an）+10
（an+1﹣an﹣1）20
an+1﹣an1
ana1+n﹣1nn∈N*
（2）证明：＜﹣n≥2．
++…+1+++…+
＜1++﹣+﹣+…+﹣﹣＜
原等式成立
（3）证明：Sn++…+1++…+
n2时S22（1+）2＞2•成立
假设nk≥2Sk2＞2（++…+）．
nk+1时Sk+12（Sk+）2
Sk+12﹣2（++…++）
（Sk+）2﹣2（++…+）﹣2•
Sk2﹣2（++…+）++2•﹣2•
Sk2﹣2（++…+）+
k＞1＞0
Sk2＞2（++…+）．
Sk2﹣2（++…+）＞0
Sk+12＞2（++…++）恒成立．
综切n≥2Sn2＞2（++…+）．
22．已知数列{an}满足a11an+1n∈N*．
（1）求证：≤an≤1
（2）求证：|a2n﹣an|≤．
解答证明：（1）数学纳法证明：
①n1时成立
②假设nk时成立nk+1时
≤≤1
≥
∴nk+1时命题成立．
①②≤an≤1．
（2）n1时|a2﹣a1|
n≥2时∵（）（）（）1+
∴|an+1﹣an|||≤|an﹣an﹣1|＜…＜（）n﹣1|a2﹣a1|
∴|a2n﹣a2n﹣1|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|an+1﹣an|
≤
（）n﹣1﹣（）2n﹣1≤
综：|a2n﹣an|≤．
23．已知数列{an]前n项记Sn满足Sn2an﹣nn∈N*
（Ⅰ）求数列{an}通项公式
（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）
解答解：（Ⅰ）∵Sn2an﹣n（n∈N+）
∴Sn﹣12an﹣1﹣n+10（n≥2）
两式相减：an2an﹣1+1
变形：an+12（an﹣1+1）
∵a12a1﹣1a11
∴数列{an+1}首项2公2等数列
∴an+12•2n﹣12nan2n﹣1．
（Ⅱ）（k12…n）
∴
﹣（k12…n）
﹣
综+…（n∈N*）．
24．已知数列{an}满足：a1an+1+an（n∈N*）．
（1）求证：an+1＞an
（2）求证：a2017＜1
（3）ak＞1求正整数k值．
解答（1）证明：an+1﹣an≥0an+1≥an．
∵a1∴an．
∴an+1﹣an＞0∴an+1＞an．
（II）证明：已知
∴﹣
…
累加求：++…+
k2017时（I）：a1＜a2＜…＜a2016．
∴﹣++…+＜＜1
∴a2017＜1．
（III）解：（II）：：a1＜a2＜…＜a2016＜a2017＜1．
∴﹣++…+＞2017×1
∴a2017＜1＜a2018
∵an+1＞an．∴k值2018．
25．已知数列{an}满足：an2﹣an﹣an+1+10a12
（1）求a2a3
（2）证明数列递增数列
（3）求证：＜1．
解答（1）解：∵a12∴a222﹣2+13理：a37．
（2）证明：n∈N*恒成立
∴an+1＞an．
（3）证明：
．
26．已知数列{an}满足：a11（n∈N*）
（Ⅰ）求证：an≥1
（Ⅱ）证明：≥1+
（Ⅲ）求证：＜an+1＜n+1．
解答证明：（I）数列{an}满足：a11（n∈N*）
：
⇒an+1≥an≥an﹣1≥…≥a11
（Ⅱ）（Ⅰ）：
（Ⅲ）
（Ⅱ）：
累加：
方面an≤n：原式变形
：
累加．
27．正项数列{an}中已知a11满足an+12an（n∈N*）
（Ⅰ）求a2a3
（Ⅱ）证明．an≥．
解答解：（Ⅰ）∵正项数列{an}中a11满足an+12an（n∈N*）
∴
．
证明：（Ⅱ）①n1时已知成立
②假设nk时等式成立
∵f（x）2x﹣（0+∞）增函数
∴≥
（）k+（）k﹣
（）k+
（）k+
∵k≥1∴2×（）k﹣3﹣30
∴
nk+1时等式成立．
根①②知等式n∈N*成立．
28．设数列{an}满足．
（1）证明：
（2）证明：．
解答（题满分15分）
证明：（I）易知an＞0an+1＞an+＞an
ak+1ak+＜ak+
．
n≥2时
an＜1．
an＜1（n∈N*）
an＜an+1＜1（n∈N*）．…（8分）
（II）n1时显然成立．
an＜1知
n≥2时
．
（n∈N*）． …（7分）
29．已知数列{an}满足a12an+12（Sn+n+1）（n∈N*）令bnan+1．
（Ⅰ）求证：{bn}等数列
（Ⅱ）记数列{nbn}前n项Tn求Tn
（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．
解答（I）证明：a12an+12（Sn+n+1）（n∈N*）∴a22×（2+1+1）8．
n≥2时an2（Sn﹣1+n）相减：an+13an+2变形：an+1+13（an+1）n1时成立．
令bnan+1bn+13bn．∴{bn}等数列首项3公3．
（II）解：（I）：bn3n．
∴数列{nbn}前n项Tn3+2×32+3×33+…+n•3n
3Tn32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1
∴﹣2Tn3+32+…+3n﹣n•3n+1﹣n•3n+1×3n+1﹣
解Tn+．
（III）证明：∵bn3nan+1解an3n﹣1．
．
∴+…+＞…+左边等式成立．
＜
+…+＜++…+
＜．右边等式成立．
综：﹣＜+…+．
30．已知数列{an}中a132an+1an2﹣2an+4．
（Ⅰ）证明：an+1＞an
（Ⅱ）证明：an≥2+（）n﹣1
（Ⅲ）设数列{}前n项Sn求证：1﹣（）n≤Sn＜1．
解答证明：（I）an+1﹣an﹣an≥0
∴an+1≥an≥3
∴（an﹣2）2＞0
∴an+1﹣an＞0
an+1＞an
（II）∵2an+1﹣4an2﹣2anan（an﹣2）
∴≥
∴an﹣2≥（an﹣1﹣2）≥（）2（an﹣2﹣2）≥（）3（an﹣3﹣2）≥…≥（）n﹣1（a1﹣2）（）n﹣1
∴an≥2+（）n﹣1
（Ⅲ）∵2（an+1﹣2）an（an﹣2）
∴（﹣）
∴﹣
∴﹣+
∴Sn++…+﹣+﹣+…+﹣﹣1﹣
∵an+1﹣2≥（）n
∴0＜≤（）n
∴1﹣（）n≤Sn1﹣＜1．
31．已知数列{an}满足a1an+1n∈N*．
（1）求a2
（2）求{}通项公式
（3）设{an}前n项Sn求证：（1﹣（）n）≤Sn＜．
解答（1）解：∵a1an∈N+．∴a2．
（2）解：∵a1an∈N+．∴﹣
化：﹣1
∴数列等数列首项公．
∴﹣1
解1+．
（3）证明：方面：（2）：an≥．
∴Sn≥+…+等式左边成立．
方面：an
∴Sn≤+++…+×＜×3＜（n≥3）．
n12时成立等式右边成立．
综：（1﹣（）n）≤Sn＜．
32．数列{an}中a11an．
（1）证明：an＜an+1
（2）证明：anan+1≥2n+1
（3）设bn证明：2＜bn＜（n≥2）．
解答证明：（1）数列{an}中a11an．
an＞0an2anan+1﹣2
an+1an+＞an
an＜an+1
（2）（1）anan﹣1＜an2anan+1﹣2
anan+1﹣anan﹣1＞2
n1时anan+1a12+23
2n+13原等式成立
n≥2时anan+1＞3+2（n﹣1）2n+1
综anan+1≥2n+1
（3）bn证2＜bn＜（n≥2）
证2＜an＜
证4n＜an2＜5n
an+1an+an+12an2+4+
a23
an+12﹣an24+＞4
4+＜4+4+
an+12﹣an2∈（4）
n23…累加
an2﹣a22∈（4（n﹣2））
an2∈（4n+1）⊆（4n5n）
2＜bn＜（n≥2）．
33．已知数列{an}满足
（1）数列{an}常数列求m值
（2）m＞1时求证：an＜an+1
（3）求正数man＜4切整数n恒成立证明结．
解答解：（1）数列{an}常数列
．显然时an1． …（3分）
（2）条件a2＞a1．…（5分）
两式相减． …（7分）
显然an＞0an+2﹣an+1an+1﹣an号a2﹣a1＞0
an+1﹣an＞0an＜an+1．…（9分）
（3）…（10分）
ana1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）≥1+（n﹣1）（m﹣2）．
说明m＞2时an越越显然满足an＜4．
an＜4切整数n恒成立m≤2．…（12分）
面证明m2时an＜4恒成立．数学纳法证明：
n1时a11显然成立．
假设nk时成立ak＜4
nk+1时成立．
知an＜4切正整数n恒成立．
正数m值2．…（15分）
34．已知数列{an}满足：p＞1．
（1）证明：an＞an+1＞1
（2）证明：
（3）证明：．
解答证明：（1）先数学纳法证明an＞1．
①n1时∵p＞1∴
②假设nk时ak＞1nk+1时．
①②知an＞1．
证an＞an+1．
令f（x）x﹣1﹣xlnxx＞1f＇（x）﹣lnx＜0
f（x）（1+∞）单调递减f（x）＜f（1）0
an＞an+1．
（2）证
需证
需证中an＞1
先证
令f（x）2xlnx﹣x2+1x＞1需证f（x）＜0．
f＇（x）2lnx+2﹣2x＜2（x﹣1）+2﹣2x0
f（x）（1+∞）单调递减
f（x）＜f（1）0．
证（an+1）lnan﹣2an+2＞0
令g（x）（x+1）lnx﹣2x+2x＞1
需证g（x）＞0
令x＞1
h（x）（1+∞）单调递增
h（x）＞h（1）0
g＇（x）＞0g（x）（1+∞）单调递增
g（x）＞g（1）0
综．
（3）（2）知方面
迭代
lnx≤x﹣1
ln（a1a2…an）lna1+lna2+…+lnan
方面
迭代．
综．
35．数列{an}满足a1an+1﹣an+anan+10（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}通项公式
（Ⅱ）求证：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．
解答解（Ⅰ）：已知数列{an}项非零．
否ak0结合ak﹣ak﹣1+akak﹣10⇒ak﹣10
继⇒ak﹣10⇒ak﹣20⇒…⇒a10已知矛盾．
an+1﹣an+anan+10．
数列公差1等差数列．
．
数列{an}通项公式（n∈N*）．
（Ⅱ） 证明：．
a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an．
a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．
证明二：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an．
a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．
36．已知数列{an}满足a11an+1an2+p．
（1）数列{an}常数列求p值
（2）p＞1时求证：an＜an+1
（3）求正数pan＜2切整数n恒成立证明结．
解答解：（1）数列{an}常数列显然时an1
（2）条件a2＞a1
两式相减
显然an＞0an+2﹣an+1an+1﹣an号a2﹣a1＞0an+1﹣an＞0
an＜an+1．
（3）
ana1+（a2﹣a1）+…（an﹣an﹣1）＞1+（n﹣1）（p﹣1）
说明p＞1时an越越满足an＜2an＜2切整数n恒成立p≤1
面证明p1时an＜2恒成立数学纳法证明：
n1时a11显然成立
假设nk时成立ak＜2
nk+1时成立
知切正整数n恒成立正数p值1
37．已知数列{an}满足a1a＞4（n∈N*）
（1）求证：an＞4
（2）判断数列{an}单调性
（3）设Sn数列{an}前n项求证：a6时．
解答（1）证明：利数学纳法证明：
①n1时a1a＞4成立．
②假设nk≥2时ak＞4．
ak+1＞4．
∴nk+1时成立．
综①②：∀n∈N*an＞4．
（2）解：∵（n∈N*）．
∴﹣﹣2an﹣8﹣9＞（4﹣1）2﹣90
∴an＞an+1．
∴数列{an}单调递减．
（3）证明：（2）知：数列{an}单调递减．
方面Sn＞a1+4（n﹣1）4n+2．
方面：＜
∴an﹣4＜
∴Sn﹣4n＜＜．Sn＜4n+．
∴a6时．
38．已知数列{an}满足a11an+1．
（Ⅰ）求证：an+1＜an
（Ⅱ）求证：≤an≤．
解答解：（Ⅰ）证明：a11an+1an＞0（n∈N）
an+1﹣an﹣an＜0
∴an+1＜an
（Ⅱ）证明：（Ⅰ）知0＜an＜1an+1．∴≥an+1＞an
∴an＞an﹣1≥（）2an﹣1≥…≥（）2an﹣1≥（）n﹣1a1an≥．
an+1an+
∴﹣an
∴﹣a11﹣a2﹣a3（）2…﹣an﹣1≥（）n﹣2
累加﹣1++（）2+…+（）n﹣22﹣（）n﹣2
a11
∴≥3﹣（）n﹣2
∴an≤．
综≤an≤．
39．已知数列{an}满足：a11．
（1）b1证明：数列等差数列
（2）b﹣1判断数列{a2n﹣1}单调性说明理
（3）b﹣1求证：．
解答解：（1）证明：b1an+1+1
∴（an+1﹣1）2（an﹣1）2+2
（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）22
∴（an﹣1）2﹣（an﹣1﹣1）22
∴数列{（an﹣1）2}0首项2公差等差数列
（2）b﹣1an+1﹣1
数列{a2n﹣1}单调递减．
令an+1→an1+an
an→an＜（n23…）
令f（x）﹣1
（﹣∞1]递减{a2n﹣1}单调递减．
（3）运数学纳法证明
n1时a11＜成立
设nk时a1+a3+…+22k﹣1＜
nk+1时a1+a3+…+a2k﹣1+a2k+1
＜+
综成立．
40．已知数列{an}满足（n123…）Snb1+b2+…+bn．
证明：（Ⅰ）an﹣1＜an＜1（n≥1）
（Ⅱ）（n≥2）．
解答证明：（Ⅰ）：（*）
显然an＞0（*）式⇒
1﹣an1﹣an﹣1号
1﹣an＞0an＜1…（3分）
（注意：数学纳法证明）
an﹣1﹣an（2an+1）（an﹣1）＜0an﹣1＜an
an﹣1＜an＜1（n≥1）…（6分）
（Ⅱ）（*）式⇒
0＜an﹣1＜an＜1⇒an﹣1﹣an+1＞0
bnan﹣1﹣an+1＞0Snb1+b2+…+bn＞0…（9分）
（Ⅰ）1﹣an﹣12（1+an）（1﹣an）⇒
（**）…（11分）
Snb1+b2+…+bn（a0﹣a1+1）+（a1﹣a2+1）+…（an﹣1﹣an+1）…（12分）
…（14分）
∴（n≥2）成立…（15分）
41．已知数列{an}满足a11an+1n∈N*记STn分数列{an}{a}前n项证明：n∈N*时
（1）an+1＜an
（2）Tn﹣2n﹣1
（3）﹣1＜Sn．
解答解：（1）a11an+1n∈N*
知an＞0an+1﹣an﹣an＜0
an+1＜an
（2）an+1
取倒数：+an
方：+an2+2
﹣﹣2an2
﹣﹣2a12
﹣﹣2a22
…
﹣﹣2an2
累加﹣﹣2na12+a22+…+an2
Tn﹣2n﹣1
（3）（2）知：﹣an
﹣a1
﹣a2
…
﹣an
累加﹣a1+a2+…+anSn
a12+a22+…+an2+2n+1＞2n+2
＞Snan+an﹣1+…+a1
﹣＞﹣1＞﹣1
＞
＞
n＞1时an＜＜（﹣）
累加Sn＜a1+[（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）]1+（﹣1）＜
n1时Sn成立．
﹣1＜Sn．
42．已知数列{an}满足a13an+1an2+2ann∈N*设bnlog2（an+1）．
（I）求{an}通项公式
（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）
（III）bn求证：2≤＜3．
解答解：（I）
a13an＞0两边取数bn+12bn（2分）
b1log2（a1+1）2≠0
∴{bn}2公等数列．
（3分）
∵bnlog2（an+1）
∴（4分）
（2）数学纳法证明：1on2时左边右边时等式成立 （5分）
2o假设nk≥2时等式成立
nk+1时左边（6分）
＜k+1右边
∴nk+1时等式成立．
综：切n∈N*n≥2命题成立．（9分）
（3）证明：cnn
∴
首先（10分）
次∵
∴
n1时显然成立．证．（15分）
43．已知正项数列{an}满足a13n∈N*．
（1）求证：1＜an≤3n∈N*
（2）意正整数n成立求M值
（3）求证：a1+a2+a3+…+an＜n+6n∈N*．
解答（1）证明：正项数列{an}满足a13n∈N*．
+an+22an+1
两式相减（an+2﹣an+1）（an+2+an+1+1）2（an+1﹣an）
∵an＞0∴an+2﹣an+1an+1﹣an号．
∵+a22a16∴a22a2﹣a1＜0
∴an+1﹣an＜0数列{an}单调减数列an≤a13．
方面：正项数列{an}满足a13n∈N*．
：+an+12an+an+1﹣22an﹣2（an+1+2）（an+1﹣1）2（an﹣1）
an+1+2＞0易知an+1﹣1an﹣1号
a1﹣12＞0知an﹣1＞0an＞1．
综：1＜an≤3n∈N*．
（2）解：（1）知：3＜an+1+2≤a2+24
≤∴．
M值．
（3）证明：（2）知n≥2时an﹣1（a1﹣1）×××…×＜2×
n1时a1﹣12an﹣1≤n∈N*．
an≤n∈N*．
a1+a2+a3+…+an＜n+2n+2×＜n+6n∈N*．
44．已知数列{an}中n∈N*．
（1）求证：1＜an+1＜an＜2
（2）求证：
（3）求证：n＜sn＜n+2．
解答证明：（1）先数学纳法证明1＜an＜2
1°．n1时
2°．假设nk时成立1＜ak＜2nk+1时ak∈（12）成立．
1°2°知1＜an＜2n∈N*恒成立（an﹣1）（an﹣2）＜0．
1＜an+1＜an＜2成立．
（2）
n≥3时1＜an＜2．
．
（3）（1）1＜an＜2sn＞n
（2）
．
45．已知数列{an}中（n∈N*）．
（1）求证：
（2）求证：等差数列
（3）设记数列{bn}前n项Sn求证：．
解答证明：（1）n1时满足
假设nk（k≥1）时结成立≤ak＜1
∵ak+1∴
nk+1时结成立
∴n∈N*时．
（2）
∴
∴﹣1
∴数列等差数列．
（3）（2）知
∴
∴
∵n≥2时12n2+18n﹣（7n2+21n+14）（5n+7）（n﹣2）≥0
∴n≥2时
∴n≥2时
b1b2
∴n≥3时
．
46．已知穷数列{an}首项a1n∈N*．
（Ⅰ）证明：0＜an＜1
（Ⅱ） 记bnTn数列{bn}前n项证明：意正整数nTn．
解答（Ⅰ）证明：①n1时显然成立
②假设nk（k∈N*）时等式成立0＜ak＜1
：nk+1时＞
∴0＜ak+1＜1
nk+1时等式成立．
综合①②知0＜an＜1意n∈N*成立．﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）an+1＞an
∴数列{an}递增数列．
易知递减数列
∴递减数列
∴n≥2时
∴n≥2时
n1时成立
n≥2时Tnb1+b2+…+bn＜
综意正整数n
47．已知数列{xn}满足x11xn+12+3求证：
（I）0＜xn＜9
（II）xn＜xn+1
（III）．
解答证明：（I）（数学纳法）
n1时x110＜x1＜9成立．
假设nk时0＜xk＜9成立
nk+1时．
xk+1＜9
0＜xn＜9成立．
（II）0＜xn＜9
．
xn＜xn+1．
（III）0＜xn＜9．
xn+12+3＞+3．
．
．
x11．
48．数列{an}项均正数意n∈N*满足an+1an+can2（c＞0常数）．
（Ⅰ）a12a23a3次成等数列求a1值（常数c表示）
（Ⅱ）设bnSn数列{bn}前n项
（i）求证：
（ii）求证：Sn＜Sn+1＜．
解答（I）解：意n∈N*满足an+1an+can2（c＞0常数）．∴a2．a3．
∵a12a23a3次成等数列∴a1•3a3∴a1•3（）a2＞0化4a23a1（1+ca2）．
∴4（）3a1[1+c（）]a1＞0化：3c2x2﹣cx﹣10解x．
（II）证明：（i）an+1an+can2（c＞0常数）an＞0．
∴﹣﹣﹣．﹣﹣．
（ii）（i）：﹣﹣．
∴bn
∴Sn+…+．
an+1an+can2＞an＞0﹣．
∴Sn＜Sn+1＜．
∴Sn＜Sn+1＜．
49．设数列满足|an﹣|≤1n∈N*．
（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）
（Ⅱ）|an|≤（）nn∈N*证明：|an|≤2n∈N*．
解答解：（I）∵|an﹣|≤1∴|an|﹣|an+1|≤1
∴﹣≤n∈N*
∴（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤+++…+1﹣＜1．
∴|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）．
（II）取n∈N*（I）知意m＞n
﹣（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
≤++…+＜．
∴|an|＜（+）•2n≤[+•（）m]•2n2+（）m•2n．①
m意性知|an|≤2．
否存n0∈N*|a|＞2
取正整数m0＞logm0＞n0
2•（）＜2•（）|a|﹣2①式矛盾．
综意n∈N*|an|≤2．
50．已知数列{an}满足：a11an+1an+．（n∈N*）
（Ⅰ）证明：≥1+
（Ⅱ）求证：＜an+1＜n+1．
解答证明：（Ⅰ）∵
∴an+1＞an＞a1≥1
∴．
（Ⅱ）∵
∴0＜＜1
﹣＜＜﹣
累加﹣＜1﹣
an+1＜n+1
方面an≤n
原式变形
累加
＜an+1＜n+1．
— END —
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