决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题16二次函数存性问题
考点1二次函数相似三角形问题
例1（2020·湖北州·中考真题）图面直角坐标系中抛物线称轴直线图象轴交点点轴交点．
（1）直接写出抛物线解析式度数
（2）动点时点出发点秒3单位速度线段运动点秒单位速度线段运动中点达终点时点停止运动．设运动时间秒连接线段绕点时针旋转设点落点位置点恰落抛物线求值时点坐标
（3）（2）条件设抛物线动点轴动点点顶点三角形相似时请直接写出点应点坐标．（写出组正确结果1分4分）
答案（1）（2）tD点坐标 （3） ．
分析
（1）根抛物线称轴点B坐标求出抛物线表达式
（2）点N作E点D作F证明点D坐标代入抛物线表达式求出t值
（3）设点P（m）点Py轴右侧点Qy轴正半轴点P作PR⊥y轴点R点D作DS⊥x轴点S根△CPQ∽△MDB求出m值证明△CPQ∽△MDB求出CQ长度点Q坐标理求出余点P点Q坐标
详解
解：（1）∵抛物线称轴直线
∴b3a
∵抛物线点B（40）
∴16a+4b+10b3a代入
解：ab
抛物线解析式：
令y0解：x41
令x0y1
∴A（10）C（01）
∴tan∠CAO
∴
（2）（1）易知
点N作E点D作F
∵∠DMN90°
∴∠NME+∠DMF90°∠NME+∠ENM90°
∴∠DMF∠ENM
（AAS）
题意：
解：t0（舍）
检验t时点均未达终点符合题意
时D点坐标
（3）（2）知：Dt时M（0）B（40）C（01）
设点P（m）
图点Py轴右侧点Qy轴正半轴
点P作PR⊥y轴点R点D作DS⊥x轴点S
PRmDS
△CPQ∽△MDB
∴
解：m0（舍）15（舍）
点P坐标：
∵△CPQ∽△MDB
∴
点P时解：CQ
∴点Q坐标（0）
理：点P点Q坐标：
点睛
题二次函数综合题考查二次函数图性质二次函数表达式全等三角形判定性质相似三角形性质难度较计算量较解题时注意结合函数图找出符合条件情形
变式11（2019·湖南娄底·中考真题）图抛物线x轴交点点y轴交点C点．点PQ抛物线动点．
(1)求抛物线解析式
(2)点P直线OD方时求面积值．
(3)直线OQ线段BC相交点E相似时求点Q坐标．
答案(1)抛物线表达式：(2)值时值(3) ．
分析
（1）函数表达式：ya（x+1）（x3）点D坐标代入式求解
（2）设点求出根利二次函数性质求解
（3）分∠ACB∠BOQ∠BAC∠BOQ两种情况分求解通角关系确定直线OQ倾斜角进求解．
详解
解：(1)函数表达式：点D坐标代入式解：
抛物线表达式：…①
(2)设直线PDy轴交点G设点
点PD坐标代入次函数表达式：解直线PD表达式：
∵值时值
(3)∵∴
∵相似时分两种情况：
①时
点A作AH⊥BC点H
解：
∴CH＝
直线OQ表达式：…②
联立①②解：
点
②时
直线OQ表达式：…③
联立①③解：
点
综点．
点睛
题考查二次函数综合运涉解直角三角形三角形相似面积计算等中（3）注意分类求解避免遗漏．
变式12（2019·辽宁盘锦·中考真题）图面直角坐标系中抛物线y＝﹣x2+bx+c点A（﹣10）点C（04）交x轴正半轴点B连接AC点E线段OB动点（点OB重合）OE边x轴方作正方形OEFG连接FB线段FB绕点F逆时针旋转90°线段FP点P作PH∥y轴PH交抛物线点H设点E（a0）．
（1）求抛物线解析式．
（2）△AOC△FEB相似求a值．
（3）PH＝2时求点P坐标．
答案（1）y＝﹣x2+3x+4（2）a＝（3）点P坐标（24）（14）（4）．
详解
（1）点C（04）c＝4
二次函数表达式：y＝﹣x2+bx+4
点A坐标代入式：0＝﹣1﹣b+4解：b＝3
抛物线表达式：y＝﹣x2+3x+4
（2）tan∠ACO＝＝
△AOC△FEB相似∠FBE＝∠ACO∠CAO
：tan∠FEB＝4
∵四边形OEFG正方形FE＝OE＝a
EB＝4﹣a
解：a＝
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0解：x＝4﹣1点B（40）
分延长CFHP交点N
∵∠PFN+∠BFN＝90°∠FPN+∠PFN＝90°
∴∠FPN＝∠NFB
∵GN∥x轴∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE
∵∠PNF＝∠BEF＝90°FP＝FB
∴△PNF≌△BEF（AAS）
∴FN＝FE＝aPN＝EB＝4﹣a
∴点P（2a4）点H（2a﹣4a2+6a+4）
∵PH＝2
：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|
解：a＝1（舍）
：点P坐标（24）（14）（4）．
点睛
题考查二次函数综合运中（2）（3）注意分类求解避免遗漏．
考点2二次函数直角三角形问题
例2（2020·湖北咸宁·中考真题）图面直角坐标系中直线x轴交点Ay轴交点B抛物线点B直线相交点．
（1）求抛物线解析式
（2）点P抛物线动点时求点P坐标
（3）点x轴正半轴点y轴正半轴动点满足．
①求mn间函数关系式
②m什范围时符合条件N点数2？
答案（1）（2）（3）（23）（3）①②0＜m＜
分析
（1）利次函数求出AB坐标结合点C坐标求出二次函数表达式
（2）点Px轴方时点P点C重合点Px轴方时APy轴交点Q求出AQ表达式联立二次函数交点坐标点P
（3）①点C作CD⊥x轴点D证明△MNO∽△NCD整理结果
②作MC直径圆E根圆E线段OD交点数判断M位置m取值范围
详解
解：（1）∵直线x轴交点Ay轴交点B
令x0y2令y0x4
∴A（40）B（02）
∵抛物线B（02）
∴解：
∴抛物线表达式：
（2）点Px轴方时点P点C重合满足
∵
∴
点Px轴方时图APy轴交点Q
∵
∴BQ关x轴称
∴Q（02）A（40）
设直线AQ表达式ypx+q代入
解：
∴直线AQ表达式：联立：
解：x32
∴点P坐标（3）（23）
综时点P坐标：（3）（23）
（3）①图∠MNC90°点C作CD⊥x轴点D
∴∠MNO+∠CND90°
∵∠OMN+∠MNO90°
∴∠CND∠OMN∠MON∠CDN90°
∴△MNO∽△NCD
∴
整理：
②图∵∠MNC90°
MC直径画圆E
∵
∴点N线段OD（含OD）圆E线段OD两交点（含OD）
∵点My轴正半轴
圆E线段OD相切时
NEMCNE2MC2
∵M（0m）
∴E（）
∴
解：m
点M点O重合时图
时圆E线段OD（含OD）交点
∴0＜m＜时圆E线段OD两交点
m取值范围：0＜m＜
点睛
题二次函数综合考查求二次函数表达式相似三角形判定性质圆周角定理次函数表达式难度较解题时充分理解题意结合图解决问题
变式21图抛物线A（－36）B（5－4）两点y轴交点C连接ABACBC．
（1）求抛物线表达式
（2）求证：AB分
（3）抛物线称轴否存点MAB直角边直角三角形．存求出点M坐标存说明理．
答案（1）（2）详见解析（3）存点M坐标（－9）（11）．
分析
（1）A（30）B（54）代入抛物线解析式关ab方程组求ab值
（2）先求AC长然取D（20）ADAC连接BD接证明BCBD然SSS证明△ABC≌△ABD接全等三角形性质∠CAB∠BAD
（3）作抛物线称轴交x轴点E交BC点F作点A作AM′⊥AB作BM⊥AB分交抛物线称轴M′M点A点B坐标tan∠BAEtan∠M′AE2tan∠MBF2FMM′E长点M′点M坐标．
详解
解（1）A（30）B（54）两点坐标分代入
解
抛物线表达式y＝．
（2）证明：∵AO3OC4
∴AC5．
取D（20）ADAC5．
两点间距离公式知BD5．
∵C（04）B（54）
∴BC5．
∴BDBC．
△ABC△ABD中ADACABABBDBC
∴△ABC≌△ABD
∴∠CAB∠BAD
∴AB分∠CAO
（3）存．图示：抛物线称轴交x轴点E交BC点F．
抛物线称轴xAE．
∵A（30）B（54）
∴tan∠EAB．
∵∠M′AB90°．
∴tan∠M′AE2．
∴M′E2AE11
∴M′（11）．
理：tan∠MBF2．
∵BF
∴FM5
∴M（9）．
∴点M坐标（11）（9）．
点睛
题考查二次函数综合应应定系数法求二次函数解析式全等三角形性质判定锐角三角函数定义求FMM′E长解题关键
变式22（2019·甘肃兰州·中考真题）二次函数图象交轴两点交轴点动点点出发秒2单位长度速度方运动点作轴交直线点交抛物线点连接设运动时间秒
(1)求二次函数表达式
(2)连接时求面积
(3)直线存点直角等腰直角三角形时求时点坐标
(4)时直线存点求点坐标
答案（1）（2）2（3）（4）
解析
分析
（1）直接AB两点坐标代入列方程组解出
（2）根题意出AMOM设解析式：点代入求出解析式然分代入中：根三角形面积公式解答
（3）点作轴行线交轴点点作轴行线交延长线点设根题意出根解答
（4）时时点二次函数称轴点圆心长半径作圆交两点出根（弧圆周角）解答
详解
（1）点代入：
解：
二次函数表达方式：
（2）
设解析式：点代入：
直线解析式：
分代入中：
（3）假设点作轴行线交轴点点作轴行线交延长线点
设题意：
点坐标：
（4）时时点二次函数称轴
点圆心长半径作圆交两点
点该圆
（弧圆周角）
点睛
题考查二次函数综合应解题关键已知点代入解析式
考点3二次函数等腰三角形问题
例3（2020·山东济南·中考真题）图1抛物线y＝﹣x2＋bx＋c点A（﹣10）点B（30）y轴交点C．x轴动点E（m0）（0m3）点E作直线l⊥x轴交抛物线点M．
（1）求抛物线解析式C点坐标
（2）m＝1时D直线l点第象限△ACD∠DCA底角等腰三角形求点D坐标
（3）图2连接BM延长交y轴点N连接AMOM设△AEM面积S1△MON面积S2S1＝2S2求m值．
答案（1）（2）（3）
分析
（1）定系数法求解
（2）△ACD∠DCA底角等腰三角形分CD＝ADAC＝AD两种情况分求解
（3）S1＝AE×yM2S2＝ON•xM求解．
详解
解：（1）点AB坐标代入抛物线表达式
解
抛物线表达式y＝﹣x2＋2x＋3
x＝0时y＝3点C（03）
（2）m＝1时点E（10）设点D坐标（1a）
点ACD坐标AC＝
理：AD＝CD＝
①CD＝AD时＝解a＝1
②AC＝AD时理a＝（舍负值）
点D坐标（11）（1）
（3）∵E（m0）设点M（m﹣m2＋2m＋3）
设直线BM表达式y＝sx＋t
解：
直线BM表达式y＝﹣x＋
x＝0时y＝点N（0）ON＝
S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3）
2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3）
解m＝﹣2±（舍负值）
检验m＝﹣2方程根
m＝﹣2．
点睛
题考查二次函数综合运涉次函数性质等腰三角形性质面积计算等中（2）注意分类求解避免遗漏．
变式31（2020·贵州黔东南·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）x轴交AB两点（点A点B左边）y轴交点C（0﹣3）顶点D坐标（1﹣4）．
（1）求抛物线解析式．
（2）y轴找点E△EAC等腰三角形请直接写出点E坐标．
（3）点Px轴动点点Q抛物线动点否存点PQ点PQBD顶点BD边四边形行四边形？存请求出点PQ坐标存请说明理．
答案（1）yx2﹣2x﹣3（2）满足条件点E坐标（03）（0﹣3+）（0﹣3﹣）（0﹣）（3）存P（﹣1+20）Q（1+24）P（﹣1﹣20）Q（1﹣24）．
分析
（1）根抛物线顶点坐标设出抛物线解析式点C坐标代入求解出结
（2）先求出点AC坐标设出点E坐标表示出AECEAC分三种情况建立方程求解
（3）利移先确定出点Q坐标代入抛物线解析式求出点Q横坐标出结．
详解
解：（1）∵抛物线顶点（1﹣4）
∴设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣4
点C（0﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中a﹣4＝﹣3
∴a＝1
∴抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3
（2）（1）知抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3
令y＝0x2﹣2x﹣3＝0
∴x＝﹣1x＝3
∴B（30）A（﹣10）
令x＝0y＝﹣3
∴C（0﹣3）
∴AC＝
设点E（0m）AE＝CE＝|m+3|
∵△ACE等腰三角形
∴①AC＝AE时＝
∴m＝3m＝﹣3（点C坐标舍）
∴E（30）
②AC＝CE时＝|m+3|
∴m＝﹣3±
∴E（0﹣3+）（0﹣3﹣）
③AE＝CE时＝|m+3|
∴m＝﹣
∴E（0﹣）
满足条件点E坐标（03）（0﹣3+）（0﹣3﹣）（0﹣）
（3）图存∵D（1﹣4）
∴线段BD移4单位右（左）移适距离点B应点落抛物线样便存点Q时点D应点点P
∴点Q坐标4
设Q（t4）
点Q坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中t2﹣2t﹣3＝4
∴t＝1+2t＝1﹣2
∴Q（1+24）（1﹣24）
分点DQ作x轴垂线垂足分FG
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3x轴右边交点B坐标（30）D（1﹣4）
∴FB＝PG＝3﹣1＝2
∴点P横坐标（1+2）﹣2＝﹣1+2（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2
P（﹣1+20）Q（1+24）P（﹣1﹣20）Q（1﹣24）．
点睛
题考查定系数法求二次函数解析式二次函数综合熟练掌握二次函数图象性质解题关键．
变式32（2019·四川眉山·中考真题）图1面直角坐标系中抛物线点点．
(1)求抛物线解析式顶点坐标
(2)点抛物线间点点作轴点轴交抛物线点点作轴点矩形周长时求点横坐标
(3)图2连接点线段(重合)作交线段点否存样点等腰三角形？存求出长存请说明理．
答案(1)(2)点横坐标(3)AN1
分析
(1)根点抛物线表达式知称轴x2代入解析式出顶点坐标(2)设点矩形周长求解(3)D顶点AB抛物线x轴交点ADBD证明∠DAB∠DBA根利角差关系证明分三种情况分求解．
详解
(1)∵抛物线点点．
∴抛物线表达式：
∴称轴：x2
x2代入：y4
∴顶点
(2)设点
矩形周长
∵
∴时矩形周长时点横坐标
(3)∵点D抛物线顶点AB抛物线x轴交点
∴ADBD
∴∠DAB∠DBA
∵
∴
∴
∴
∵D（24）A（50）B（10）
∴
①时
∵∠NAM∠MBD∠NMA∠MBD
∴
∴
∴ABAM1
②时
∵∠DMN∠DBA
∴∠NDM∠DBA
∵∠DAB公角
∴
∴
∴：
∴
∵
∴
③时
∵
∴
∴
综述：．
点睛
题考查二次函数综合运涉次函数三角形相似全等等腰三角形性质等知识点中(3)注意分类求解避免遗漏．
考点4二次函数行四边形问题
例4（2020·四川绵阳·中考真题）图抛物线点A（01）C顶点D直线AC抛物线称轴BD交点B（0）行y轴直线EF抛物线交点E直线AC交点F点F横坐标四边形BDEF行四边形．
（1）求点F坐标抛物线解析式
（2）点P抛物线动点直线AC方△PAB面积时求点P坐标△PAB面积值
（3）抛物线称轴取点Q时抛物线取点RAC边ACQR顶点四边形行四边形求点Q点R坐标．
答案（1）（﹣）y＝﹣x2+2x+1 （2）（） （3）QRQ（﹣10）R（）
分析
（1）定系数法求出直线AB解析式y＝﹣x+1求出F点坐标行四边形性质出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣）求出a值出答案
（2）设P（n﹣n2+2n+1）作PP＇⊥x轴交AC点P＇P＇（n﹣n+1）出PP＇＝﹣n2+n二次函数性质出答案
（3）联立直线AC抛物线解析式求出C（﹣）设Q（m）分两种情况：①AQ角线时②AR角线时分求出点QR坐标．
详解
解：（1）设抛物线解析式y＝ax2+bx+c（a≠0）
∵A（01）B（0）
设直线AB解析式y＝kx+m
∴
解
∴直线AB解析式y＝﹣x+1
∵点F横坐标
∴F点坐标﹣+1＝﹣
∴F点坐标（﹣）
∵点A抛物线
∴c＝1
称轴：x＝﹣
∴b＝﹣2a
∴解析式化：y＝ax2﹣2ax+1
∵四边形DBFE行四边形．
∴BD＝EF
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣）
解a＝﹣1
∴抛物线解析式y＝﹣x2+2x+1
（2）设P（n﹣n2+2n+1）作PP＇⊥x轴交AC点P＇
P＇（n﹣n+1）
∴PP＇＝﹣n2+n
S△ABP＝OB•PP＇＝﹣n＝﹣
∴n＝时△ABP面积时P（）．
（3）∵
∴x＝0x＝
∴C（﹣）
设Q（m）
①AQ角线时
∴R（﹣）
∵R抛物线y＝+4
∴m+＝﹣+4
解m＝﹣
∴QR
②AR角线时
∴R（）
∵R抛物线y＝+4
∴m﹣+4
解m＝﹣10
∴Q（﹣10）R（）．
综述QRQ（﹣10）R（）．
点睛
题二次函数综合题考查定系数法二次函数性质二次函数图象点坐标特征行四边形性质等知识熟练掌握二次函数性质方程思想分类讨思想解题关键．
变式41（2020·前郭尔罗斯蒙古族治县哈拉毛镇蒙古族中学初三期中）图二次函数图象交x轴点交y轴点C．点x轴动点轴交直线点M交抛物线点N．
（1）求二次函数表达式
（2）①点P仅线段运动图1．求线段值
②点Px轴运动y轴否存点QMNCQ顶点四边形菱形．存请直接写出满足条件点Q坐标存请说明理．
答案（1）（2）①②存
分析
（1）代入中求出bc值
（2）①点整理化顶点式结
②分MNMC两种情况根菱形性质关m方程求解．
详解
解：（1）代入中
解
∴．
（2）设直线表达式代入．
解方程组
∴．
∵点x轴动点轴．
∴．
∴
．
∵
∴函数值．
∵点P线段运动
∴时值．
②∵点x轴动点轴．
∴．
∴
（i）MNCQ顶点四边形菱形MNMC图
∵C（03）
∴MC
∴
整理
∵
∴
解
∴时CQMN
∴OQ3()
∴Q(0)
m时CQMN
∴OQ3()
∴Q(0)
(ii)图
整理
∵
∴
解
m1时MNCQ2
∴Q（01）
m5时MN10＜0（符合实际舍）
综述点Q坐标
点睛
题考查二次函数综合题解（1）关键定系数法解（2）关键利线段差出二次函数利二次函数性质解（3）关键利菱形性质出关m方程分类讨防遗漏．
变式42（2020·重庆中考真题）图面直角坐标系中已知抛物线直线AB相交AB两点中．
（1）求该抛物线函数表达式
（2）点P直线AB方抛物线意点连接PAPB求面积值
（3）该抛物线右移2单位长度抛物线移抛物线原抛物线相交点C点D原抛物线称轴点面直角坐标系中否存点E点BCDE顶点四边形菱形存请直接写出点E坐标存请说明理．
答案（1）（2）面积值（3）存
分析
（1）点AB坐标代入抛物线表达式求解
（2）设求解析式点P作x轴垂线直线AB交点F设点求解
（3）分BC菱形边菱形角线两种情况分求解．
详解
解：（1）∵抛物线
∴
∴
∴
（2）设点代入
∴
点P作x轴垂线直线AB交点F
设点
铅垂定理
∴面积值
（3）（3）抛物线表达式：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5
移抛物线表达式：y＝x2−5
联立述两式解：点C（−1−4）
设点D（−2m）点E（st）点BC坐标分（0−1）（−1−4）
①BC菱形边时
点C右移1单位移3单位B样D（E）右移1单位移3单位E（D）
−2＋1＝sm＋3＝t①−2−1＝sm−3＝t②
点DE方时BE＝BCs2＋（t＋1）2＝12＋32③
点DE方时BD＝BC22＋（m＋1）2＝12＋32④
联立①③解：s＝−1t＝2−4（舍−4）点E（−12）
联立②④解：s＝3t＝4±点E（34＋）（34−）
②BC菱形角线时
中点公式：−1＝s−2−4−1＝m＋t⑤
时BD＝BE22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥
联立⑤⑥解：s＝1t＝−3
点E（1−3）
综点E坐标：（−12）（1−3）．
∴存
点睛
题考查二次函数综合运涉次函数性质菱形性质图形移面积计算等中（3）注意分类求解避免遗漏．
单选题
1．图已知动点AB分x轴y轴正半轴动点P反例函数（x＞0）图象PA⊥x轴△PABPA底边等腰三角形．点A横坐标逐渐增时△PAB面积会（ ）
A．越越 B．越越 C．变 D．先变变
答案C
解析
分析
设点P（x）作BC⊥PABCOAx根S△PABPA•BC••x3答案．
详解
图点B作BC⊥PA点C
BCOA
设点P（x）
S△PABPA•BC3
点A横坐标逐渐增时△PAB面积会变始终等3
选C．
2．已知直线y＝n二次函数y＝（x﹣2）2﹣1图象交点B点C二次函数图象顶点A△ABC等腰直角三角形时n值（ ）
A．1 B． C．2﹣ D．2+
答案A
解析
分析
设B（x1n）C（x2n）．△ABC等腰直角三角形作AD⊥BCAD＝BCBC＝2ADAD＝n﹣（﹣1）＝n+1：BC＝|x1x2|＝＝＝＝2（n+1）容易求出n＝1．
详解
设B（x1n）C（x2n）作AD⊥BC垂足D连接ABAC
∵y＝（x﹣2）2﹣1
∴顶点A（2﹣1）
AD＝n﹣（﹣1）＝n+1
∵直线y＝n二次函数y＝（x﹣2）2﹣1图象交点BC
∴（x﹣2）2﹣1＝n
化简x2﹣4x+2﹣2n＝0
x1+x2＝4x1x2＝2﹣2n
∴BC＝|x1﹣x2|＝＝＝
∵点BC关称轴直线AD称
∴D线段BC中点
∵△ABC等腰直角三角形
∴AD＝BC
BC＝2AD
＝2（n+1）
∴（2+2n）＝（n+1）2
化简n2＝1
∴n＝1﹣1
n＝﹣1时直线y＝n点A符合题意舍
n＝1．
选A．
点睛
题考查二次函数图象性质根系数关系正确理解二次函数图象性质根系数关系解题关键．
3．二次函数函数图象图点位坐标原点点轴正半轴点二次函数位第象限图象…直角顶点抛物线等腰直角三角形斜边长( )
A．20 B． C．22 D．
答案C
分析
…等腰直角三角形出直线 求出坐标出长
利 坐标直线： 求出 坐标出长样方法求…边长然根边长特点出般化规律求长．
详解
解： 等腰直角三角形原点 直线：
坐标（11） （02）
2
（02）直线
（24）4（06）
（06）直线
（39） 6
面A0A12A1A24A2A36出直角顶点抛物线等腰直角三角形斜边长次加2
∴△A10B11A11斜边长2+10×222
综推出22．
选C．
点睛
题考查二次函数综合题解题时利二次函数图象点坐标特征函数交点等腰直角三角形性质等知识点解答题难点推知 长．
4．已知抛物线y﹣x2+1顶点P点A第象限该二次函数图象点点A作x轴行线交二次函数图象点B分点BA作x轴垂线垂足分CD连结PAPDPD交AB点E△PAD△PEA相似？（ ）
A．始终相似 B．始终相似 C．ABAD时相似 D．法确定
答案B
解析
试题分析：设A（xx2+1）根题意求出PAPDPE值出∠APE∠DPA△PAD∽△PEA
选B
考点 二次函数综合题
5．二次函数y﹣x2+1图象x轴交AB两点y轴交点C列说法错误（ ）
A．点C坐标（01） B．线段AB长2
C．△ABC等腰直角三角形 D．x＞0时yx增增
答案D
解析1回想二次函数图象坐标轴交点特征试着求出ABC三点坐标
2结合ABC三点坐标OAOBOC根两轴互相垂直性质利勾股定理求出ABACBC判断选项ABC正误
3找出二次函数图象称轴根开口方判断选项D正误
题解析
根题意知：x0时y1
∴点C坐标（01）
选A正确
y0时x 1x1
∴AB2
选项B正确
∵OA1OB1OC1
∴AC BC
∴AC2+BC2AB2
∴△ABC等腰直角三角形
选项C正确
y x2+1知：a 1＜0称轴x0
∴x＞0时yx增减
选项D错误
选D
二填空题
6．图直线二次函数图象交点B点C二次函数图象顶点A等腰直角三角形时______．
答案1
解析
分析
作抛物线称轴交BCD根抛物线性质等腰直角三角形性质出B（n+3n）代入解析式求．
详解
作抛物线称轴交BCD
∵直线yn二次函数y（x2）21图象交点B点C
∴BC∥x轴
∵△ABC等腰直角三角形
∴∠CAB90°ACBC
∵直线CD抛物线称轴
∴AD⊥BC∠CAD∠BAD45°
∴△ADB等腰直角三角形
∴ADBD
∵抛物线顶点（21）
∴ADn+1
∴B（n+3n）
B坐标代入y（x2）21n（n+32）21
解n1
答案1．
点睛
题考查抛物线性质等腰直角三角形性质二次函数图象点坐标特征求B点坐标解题关键．
7．已知二次函数图象x轴交AB两点交y轴C点△ABC直角三角形请写出符合求二次函数解析式：___________________
答案yx2+1(答案唯)
解析
分析
y轴取点x轴取两点组成直角三角形三顶点利定系数法求出二次函数解析式．
详解
根果三角形边中线等边半直角三角形
取C（01）A（10）B（10）三点
设抛物线表达式yax2+1抛物线（10）
a+10a1．
抛物线：yx2+1．
答案：yx2+1(答案唯)
点睛
题开放性题目答案唯考查利定系数法求抛物线表达式．
8．已知点P二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象点设二次函数图象x轴交AB两点（AB右侧）y轴交C点△APC直角三角形AC直角边点P横坐标值_____．
答案﹣1﹣2
分析
分∠ACP直角∠PAC直角两种情况利直线抛物线交点求解．
详解
解：y＝x2﹣2x﹣3①令y＝0x＝3﹣1令x＝0y＝﹣3
点ABC坐标分：（30）（﹣10）（0﹣3）．
①∠ACP直角时图
点AC坐标知OA＝OC＝3直线ACx轴负半轴夹角45°
∠ACP直角直线PC倾斜角45°
设直线PC表达式：y＝﹣x+b点C坐标代入式解：b＝﹣3
直线PC表达式：y＝﹣x﹣3②
联立①②解：x＝0﹣1（舍0）
点P坐标：（﹣10）
②∠PAC直角时
理：点P（﹣25）
答案：﹣1﹣2．
点睛
题考查抛物线x轴交点解题关键利分类讨思想求解避免遗漏．
9．二次函数y＝2x2+4x+mx轴交AB两点y轴交点C△ABC直角三角形m＝_____．
答案﹣．
解析
分析
根题意勾股定理求m值题解决．
详解
设点A坐标（x10）点B坐标（x20）点A点B左边
∵点C（0m）二次函数y2x2+4x+m2（x+1）2+m2
∴点Cy轴负半轴x1x2
∴m＜0
∵△ABC直角三角形
∴(x2−x1)2＝(x22+m2)+(x12+m2)
解m
答案：．
点睛
题考查勾股定理抛物线x轴交点解答题关键明确题意利二次函数性质勾股定理解答．
10．图二次函数yax2+bx+c（a＞0）图象顶点D 图象x轴交点AB横坐标分﹣13．y轴负半轴交点Ca时△ABD_______三角形△ACB等腰三角形a值______
答案等腰直角
解析
解：图1∵二次函数yax2+bx+c（a＞0）图象x轴交点AB横坐标分﹣13a∴二次函数y（x+1）（x﹣3）整理yx2﹣x﹣∴y（x﹣1）2﹣2∴顶点D（1﹣2）作DE⊥ABE∴DE2DE垂直分AB∵AB3+14∴AEDEBE∴∠DAB∠ADE∠ABD∠BDE∵ADBD∴∠DAB∠DBA∴∠DAB∠ADE∠ABD∠BDE∴∠ADB∠DAB+∠CBA90°∴△ABD等腰直角三角形
（2）△ACB等腰三角形必须保证ABBC4ABAC4ACBCABBC4时∵AO1△BOC直角三角形∵OC长|c|∴c216﹣97∵抛物线y轴交点y轴负半轴∴c﹣2a+b0a﹣b+c0联立组成解方程组解a
理ABAC4时∵AO1△AOC直角三角形∵OC长|c|∴c216﹣115∵抛物线y轴交点y轴负半轴∴c﹣2a+b0a﹣b+c0联立组成解方程组解a
理ACBC时
△AOC中AC21+c2△BOC中BC2c2+9∵ACBC∴1+c2c2+9方程解．
综△ACB等腰三角形a值
答案：等腰直角．
点睛：题考查抛物线x轴交点抛物线解析式抛物线称轴顶点坐标熟练掌握二次函数性质解题关键．
11．二次函数yx2+ax+b图象轴交两点轴交点
（1）形状
（2）抛物线动点四点顶点四边形梯形点坐标
答案
解析
试题分析：（1）∵二次函数y＝x2+ax+b图象B（20）两点利定系数法直接求出ab值求出抛物线解析式．
（2）（1）题已证∠ACB＝90°ACBP四点顶点四边形直角梯形两种情况需考虑：
①BCAP底AC高先求出直线BC解析式进确定直线AP解析式联立抛物线解析式求出点P坐标．
②ACBP底BC高方法①．
解：（1））∵二次函数y＝x2+ax+b图象B（20）两点题意
解：
∴抛物线解析式：
∴C（01）
∴
CB2＝BO2+CO2＝5
∴AC2+CB2＝AB2
∴△ACB直角三角形
（2）存点
ACBP四点顶点直角梯形BCAP底
∵B（20）C（01）
∴直线BC解析式：
设点B行AC直线解析式
点代入：
∴
联立抛物线解析式：解
∴点
ACBP四点顶点直角梯形ACBP底
理求
时ACBP四点顶点四边形直角梯形．
（根抛物线称性求出P点坐标）
考点：二次函数综合题定系数法求二次函数解析式二次函数等式（组）直角梯形．
12．图二次函数Yx2x+2图象x轴交AB两点y轴交C点点D（mn）抛物线第二象限部分动点四边形OCDA面积值______．
答案8
解析
分析
根解析式求点AC坐标点D作DH⊥x轴点H运割补法：四边形OCDA面积△ADH面积+四边形OCDH面积列式计算化简求S关m函数关系配方成顶点式值情况．
详解
解：yx2x+2中x0时y2
∴C（02）
y0时x2x+20解：x4x1
∴点A（40）B（10）
∵点D（mn）抛物线第二象限部分动点
∴D（mm2m+2）
点D作DH⊥x轴点HDHm2m+2AHm+4HOm
∵四边形OCDA面积△ADH面积+四边形OCDH面积
∴S（m+4）×（m2m+2）+（m2m+2+2）×（m）
m24m+4
（m+2）2+8（4＜m＜0）
m2时S取值值8
点睛
题考查抛物线x轴交点二次函数性质等知识综合应运割补法列出面积函数解析式解决问题关键．
13．二次函数图象图点O坐标原点点Ay轴正半轴点BC二次函数图象四边形OBAC菱形∠OBA120°菱形OBAC面积 ．
答案．
解析
试题分析：连接BCAO交点D根菱形性质AO⊥BC根∠OBA120°：∠AOB30°根二次函数图象点性质点B坐标(1)OA2OD2BC2BD2菱形面积×AO×BC×2×22
考点：二次函数性质
三解答题
14．图已知二次函数（）图象轴交点点交轴点表示变量时函数值意实数均．
（1）求该二次函数解析式
（2）点线段动点点作交点连接．面积时求点坐标
（3）行轴动直线该抛物线交点直线交点点坐标．否存样直线等腰三角形？存请求出点坐标存请说明理．
答案（1）（2）（3）存点坐标：
分析
（1）根题意求出抛物线称轴然利抛物线称性求出点A坐标设二次函数解析式点C坐标代入求出二次函数解析式化般式
（2）设点坐标点作轴点根点ABC坐标求出OAOBOCBQAB根相似三角形判定性质含m式子表示EG然根求出m二次函数关系式根二次函数求值
（3）根等腰三角形腰情况分类讨分种情况求出点F坐标然根点P点F坐标相等点P坐标代入二次函数解析式中求出点P横坐标．
详解
解：（1）时函数值相等知抛物线称轴
点坐标求点坐标
设二次函数解析式
点代入
二次函数解析式．
（2）设点坐标点作轴点图
∵（40）
∴OA4OB2OC4 BQm+2
∴AB6
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴时值3时
（3）存．
①图示
∴∠DOF∠DFO∠DAF∠DFA
∴∠DOF+∠DAF∠DFO+∠DFA∠OFA
∴直角三角形OF⊥AC
∵OAOC4
∴点FAC中点
∴根中点坐标公式：点坐标
∵直线l∥x轴
∴点P坐标点F坐标2y2代入二次函数解析式中
时点坐标：
②点作轴点
等腰三角形性质：
∴
等腰直角三角形AOC中∠OAC45°
∴△AMF等腰直角三角形
∴FMAM3
∴
∵直线l∥x轴
∴点P坐标点F坐标3y3代入二次函数解析式中
时点坐标：
③
∵
∴
∴点距离
∴存点
时存样直线等腰三角形
综存样直线等腰三角形求点坐标：
点睛
题考查二次函数图形综合题难度系数较掌握利定系数法求二次函数解析式面积值问题转化二次函数值问题分类讨数学思想解决题关键．
15．图面直角坐标系中二次函数图象交坐标轴A（﹣10）B（40）C（0﹣4）三点点P直线BC方抛物线动点．
（1）求二次函数解析式
（2）动点P运动什位置时△PBC面积求出时P点坐标△PBC面积．
（3）否存点P△POCOC底边等腰三角形？存求出P点坐标存请说明理
答案（1）yx2﹣3x﹣4（2）P点坐标（2﹣6）时△PBC面积8（3）存点P坐标
解析
试题分析：（1）ABC三点坐标利定系数法求抛物线解析式
（2）P作PE⊥x轴交x轴点E交直线BC点FP点坐标表示出PF长表示出△PBC面积利二次函数性质求△PBC面积值P点坐标
（3）题意知点P线段OC垂直分线求P点坐标代入抛物线解析式求P点坐标．
试题解析：解：（1）设抛物线解析式ABC三点坐标代入：解：∴抛物线解析式
（2）∵点P抛物线∴设P（tt2﹣3t﹣4）P作PE⊥x轴点E交直线BC点F图2∵B（40）C（0﹣4）∴直线BC解析式yx﹣4∴F（tt﹣4）∴PF（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）﹣t2+4t∴S△PBCS△PFC+S△PFBPF•OE+PF•BEPF•（OE+BE）PF•OB（﹣t2+4t）×4﹣2（t﹣2）2+8∴t2时S△PBC值8时t2﹣3t﹣4﹣6∴P点坐标（2﹣6）时△PBC面积8
（3）作OC垂直分线DP交OC点D交BC方抛物线点P图1∴POPD时P点满足条件点∵C（0﹣4）∴D（0﹣2）∴P点坐标﹣2代入抛物线解析式x2﹣3x﹣4﹣2解x（0舍）x∴存满足条件P点坐标（﹣2）．
点睛：题二次函数综合应涉定系数法等腰三角形性质二次函数性质三角形面积方程思想等知识．（1）中注意定系数法应（2）中P点坐标表示出△PBC面积解题关键（3）中确定出P点位置解题关键．题考查知识点较综合性较强难度适中．
16．已知次函数图象二次函数图象相交点线段动点（重合）点作轴二次函数图象交点．
（1）求值
（2）求线段长值
（3）等腰直角三角形时求出时点坐标．
答案（1）13（2）值（3）
分析
（1）点分代入次函数解析式求b值点A坐标代入二次函数求出a值
（2）设根行y轴直线两点间距离较坐标减较坐标PC长关m二次函数根二次函数性质答案
（3）（2）设出点PC坐标根题意含m式子表示出ACPC长根ACPC关m方程求m值进求出点P坐标．
详解
解：（1）∵直线
∴
∴．
∵拋物线
∴
解．
（2）设
∴
∴时值值．
（3）图∵等腰三角形轴
∴连接轴
∵
∴
．
∵
∴
化简
解（合题意舍）．
时
∴时点坐标．
点睛
题二次函数综合题考查求定系数法求函数解析式二次函数值等腰三角形性质等知识利行y轴直线两点间距离建立出二次函数模型求出值解题关键．
17．图已知次函数图象x轴交点A二次函数图象交y轴点B二次函数图象x轴唯交点COC2．
（1）求二次函数解析式
（2）设次函数图象二次函数图象交点D已知Px轴动点△PBD直角三角形求点P坐标．
答案（1）（2）P1（10）P2（0）
解析
解：（1）∵交x轴点A∴005x+2解x－4．∴A点坐标：（－40）．
∵y轴交点B∴y2．∴B点坐标：（02）．
∵二次函数图象x轴唯交点COC2
∴设二次函数．
B（02）代入：a．
∴二次函数解析式：．
（2）①B直角顶点时B作BP1⊥AD交x轴P1点
∵Rt△AOB∽Rt△BOP1∴．
∴解：OP11．
∴P1点坐标（10）
②D直角顶点时作P2D⊥BD连接BP2
2联立求出两函数交点坐标：D点坐标：（5）AD．
A（－40）B（02）AB．
∵∠DAP2∠BAO∠BOA∠ADP2
∴△ABO∽△AP2D．∴．
∴解AP2．
OP2．
∴P2点坐标（0）．
③P直角顶点时点D作DE⊥x轴点E设P3（a0）
Rt△OBP3∽Rt△EP3D：
∴．
∵方程解∴点P3存．
综述点P坐标：P1（10）P2（0）．
（1）根交x轴点Ay轴交点B出AB两点坐标二次函数图象x轴唯交点COC2．出设二次函数进求出．
（2）分点B直角顶点点D直角顶点点P直角顶点三种情况讨分利三角形相似应边成例求出．
18．面直角坐标系中直线y＝x﹣2x轴交点By轴交点C二次函数y＝x2+bx+c图象BC两点x轴负半轴交点A．
（1）求二次函数解析式
（2）图1点M线段BC动点动点D直线BC方二次函数图象．设点D横坐标m．
①点D作DM⊥BC点M求线段DM关m函数关系式求线段DM值
②△CDM等腰直角三角形直接写出点M坐标．
答案（1）y＝x2﹣x﹣2（2）①DM＝﹣DM值②M坐标（）（﹣）．
分析
（1）直线y＝x﹣2B（40）C（0﹣2）B（40）C（0﹣2）代入y＝x2+bx+c列方程组求出bc
（2）①点DH∥AB交直线y＝x﹣2点H．∠H＝∠OBCOC＝2OB＝4BC＝2sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝＝设D（mm2﹣m﹣2）H（m2﹣3mm2﹣m﹣2）DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4mDM＝（﹣m2+4m）＝﹣m＝2时DM值
②分两种情况：CM⊥DM时点M作ME⊥y轴点E点D作DF∥y轴交EM延长线点FCD⊥DM时点D作DE⊥y轴点E点M作MF∥y轴交ED延长线点F分求出t值．
详解
解（1）直线y＝x﹣2
B（40）C（0﹣2）
B（40）C（0﹣2）代入y＝x2+bx+c
解b＝c＝﹣2
∴二次函数解析式y＝x2﹣x﹣2
（2）①点DH∥AB交直线y＝x﹣2点H．
∴∠H＝∠OBC
∵B（40）C（0﹣2）
∴OC＝2OB＝4BC＝2
∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝
＝
设D（mm2﹣m﹣2）H（m2﹣3mm2﹣m﹣2）
∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m
∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣
m＝2时DM值
②Ⅰ．CM⊥DM时点M作ME⊥y轴点E点D作DF∥y轴交EM延长线点F
∵△CDM等腰直角三角形易证△EMC≌△FDM
∴EM＝DFEC＝MF
设M（tt﹣2）EM＝tOE＝﹣t+2
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝tMF＝tDF＝t
EF＝EM+MF＝t+t＝OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2
∴D（t﹣t﹣2）
D（t﹣t﹣2）代入二次函数解析式y＝x2﹣x﹣2
解t＝0（舍）t＝
∴M1（）
Ⅱ．CD⊥DM时点D作DE⊥y轴点E点M作MF∥y轴交ED延长线点F
∵△CDM等腰直角三角形易证△CED≌△DFM
∴DE＝MFEC＝DF
设M（tt﹣2）EF＝tCE＝DE＝tMF＝tOC＝t+2
∴D（t﹣t﹣2）
D（t﹣t﹣2）代入二次函数解析式y＝x2﹣x﹣2
解t＝0（舍）t＝
∴M2（﹣）
综△CDM等腰直角三角形点M坐标（）（﹣）．
点睛
题考查二次函数综合次函数坐标轴交点锐角三角函数定义全等三角形判定性质等腰直角三角形性质熟运定系数法求函数解析式熟练运运二次函数性质线三直角构建全等三角形解题关键．
19．图已知二次函数图象轴交两点轴交点半径动点．
（1）求点坐标？
（2）否存点直角三角形？存求出点坐标：存请说明理．
答案（1）（2）
分析
（1）抛物线解析式中令y＝0求B点坐标令x＝0求C点坐标
（2）①PB⊙相切时△PBC直角三角形根勾股定理BC＝5作轴轴易四边形矩形根相似三角形性质设BE＝3−xCF＝2x−4求作轴轴理求②BC⊥PC时△PBC直角三角形作轴易根相似三角形性质求出理．结
详解
（1）中令解：令
∴
（2）存点直角三角形
①相切时直角三角形图（2）连接
∵
∴
∵
∴
作轴轴易四边形矩形
∴
设
∴
∴
∴
∴
∴
作轴轴理求
②时直角三角形作轴图（2）易
∴
∴
∴
理：
综述：点坐标：．
点睛
题考查二次函数图象点坐标特征圆直线位置关系勾股定理相似三角形判定性质等知识点正确作出辅助线构造相似三角形解题关键．
20．图二次函数图象三点．
（1）求该二次函数解析式
（2）点线段动点（点线段端点重合）相似求点坐标．
答案（1）（2）点坐标
分析
（1）ABC三点坐标利定系数法求抛物线解析式
（2）求直线AC解析式设G（k2k2）表示出ABBCAG长条件知△AGB∽△ABC利相似三角形性质求k值求G点坐标．
详解
（1）∵二次函数图象两点
∴设二次函数解析式．
∵二次函数图象点
解．
∴二次函数解析式．
（2）设直线函数解析式
坐标代入解
∴直线函数解析式．
设点坐标．
点点重合
相似种情况．
．
解（舍）
∴点坐标．
点睛
题考查二次函数综合应涉定系数法相似三角形判定性质勾股定理行四边形性质等知识点．（1）中注意二次函数解析式三种形式灵活运（2）中确定出△AGB∽△ABC种情况解题突破口．
21．图 已知二次函数（常数）称轴轴交点值5顶点点行轴直线抛物线交点
（1）求该二次函数解析式点坐标
（2）点直线动点点点点构成三角形相似求出点坐标
答案（1）y＝−x2＋2x＋4B（−11）A（31）（2）（31）（−37）（）（−）
分析
（1）先确定顶点M坐标设顶点式y＝a（x−1）2＋5然C点坐标代入求出a抛物线解析式计算函数值1应变量值AB点坐标
（2）先计算出CD＝3BD＝1AM＝2CM＝AC＝3利勾股定理逆定理△ACM直角三角形∠ACM＝90°根相似三角形判定时△MCP∽△BDC解PC＝3设时P（x−x＋4）利两点间距离公式x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2求出x时P点坐标时△MCP∽△CDB解PC＝利样方法求出应P点坐标．
详解
（1）根题意抛物线顶点M坐标（15）
设抛物线解析式y＝a（x−1）2＋5
C（04）代入y＝a（x−1）2＋5a＋5＝4
解a＝−1
抛物线解析式y＝−（x−1）2＋5
y＝−x2＋2x＋4
y＝1时−x2＋2x＋4＝1
解x1＝−1x2＝3B（−11）A（31）
（2）∵
∴CD＝3BD＝1
AM＝2CM＝AC
设直线AC解析式y＝kx＋b
A（31）C（04）代入
解
∴直线AC解析式y＝−x＋4
∵CM2＋AC2＝AM2
∴△ACM直角三角形∠ACM＝90°
∴∠BDC＝∠MCP
图1时△MCP∽△BDC解PC＝3
设时P（x−x＋4）
∴x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2解x＝±3时P点坐标（31）（−37）
图2时△MCP∽△CDB解PC＝
设时P（x−x＋4）
∴x2＋（−x＋4−4）2＝（）2解x＝±时P点坐标（）（−）
综述满足条件P点坐标（31）（−37）（）（−）．
点睛
题考查二次函数综合题：熟练掌握二次函数性质相似三角形判定会利定系数法求次函数二次函数解析式理解坐标图形性质记住两点间距离公式．
22．图已知二次函数图点A(－43）B(44)
（1）求二次函数解析式：
（2）求证：△ACB直角三角形
（3）点P第二象限抛物线动点点P作PH垂直x轴点H否存PHD顶点三角形△ABC相似？存求出点P坐标存请说明理
答案解：
（1）A(－43）B(44)代中
整理： 解
∴二次函数解析式：：
（2） 整理 解
∴C （－20）D
∴AC24+9 BC236+16AC2+ BC213+5265AB264+165
∴ AC2+ BC2AB2 ∴△ACB直角三角形
（3）设（x<0）PH HD
∵AC BC
①△PHD∽△ACB时：：
整理 解（舍）时
∴
②△DHP∽△ACB时： ：
整理 解（舍）时
∴
综述满足条件点两
解析二次函数综合题曲线点坐标方程关系勾股定理逆定理应相似三角形判定性质坐标系中点坐标特征抛物线x轴交点解元二次方程二元次方程组
分析（1）求二次函数解析式求中ab值A(43）B(44)代
（2）求证△ACB直角三角形求出ACBCAB长度然勾股定理逆定理考察
（3）分两种情况进行讨①△DHP∽△BCA②△PHD∽△BCA然分利相似三角形应边成例性质求出点P坐标
23．图二次函数图交轴交轴画直线
（1）求二次函数解析式
（2）点P抛物线动点点Q直线动点请判断否存PQOC顶点四边形行四边形存请求出点Q坐标存请说明理
（3）轴右侧点二次函数图圆心圆直线相切切点△CHM∽△AOC（点点应）求点坐标
答案（1） （2）(22)( )()（）
（3）
解析
试题分析：解：（1）∵二次函数图交轴∴设该二次函数解析式：二次函数图交轴代入解∴抛物线解析式
（2）OC行四边形边设P（）Q（）PQPQOC顶点四边形行四边形∴（舍）∴(22)( )()OC行四边形角线（）
（3）∵△CHM∽△AOC点点应∴
情形1：图点方时∵
∴轴∴点二次函数图
∴ 解（舍）∴
情形2：图点方时∵设交轴点P设中
勾股定理解
直线抛物线交点设直线解析式坐标代入解∴解（舍）
时∴∴点坐标
考点：二次函数中应
点评：该题需考虑情况种难点需学生常练积累验结合图形找出突破口
24．图三角形底边等腰三角形点分次函数图象轴轴交点点二次函数图象该二次函数图象存点四边形构成行四边形
（1）试求值写出该二次函数表达式
（2）动点线段时动点线段秒1单位速度运动问：
①运动程中否存？果存请说明理果存请说明点位置？
②运动处时四边形面积？时四边形面积少？
答案（1）（2） ①点运动距离点单位长度处②点运动距离点单位处时四边形面积值
分析
（1）根次函数解析式求出AC坐标△ABC等腰三角形求出点B坐标根行四边形性质求出点D坐标利定系数法出二次函数表达式
（2）①设点P运动t秒PQ⊥AC进求出APCQAQ值△APQ∽△CAO利应边成例求出t值出答案
②问题化简△APQ面积值根关系列出关时间二次函数根二次函数性质求出函数值求出△APQ面积值进求出四边形PDCQ面积值
详解
解：（1）
令点
令点
∵底边等腰三角形
∴点坐标
∵四边形行四边形
∴点坐标
点点代入二次函数
解：
该二次函数解析式：
（2）∵
∴
①设点运动秒时时
∵
∴
∴
∴
解：
点运动距离点单位长度处
②∵
∴面积时四边形面积
动点运动秒时
设底边高作点
：
解：
∴
∴时达值时
点运动距离点单位处时四边形面积值
点睛
题考查二次函数综合题难度系数较解题关键四边形PDCQ面积值转化△APQ面积值根题意列出函数关系式
25．（14分）图二次函数图象x轴相交点A（﹣30）B（10）y轴相交点C点G二次函数图象顶点直线GC交x轴点H（30）AD行GC交y轴点D．
（1）求该二次函数表达式
（2）求证：四边形ACHD正方形
（3）图2点M（tp）该二次函数图象动点点M第二象限点M直线交二次函数图象点N．
①四边形ADCM面积S请求出S关t函数表达式写出t取值范围
②△CMN面积等请求出时①中S值．
答案（1）（2）证明见试题解析（3）①（﹣3＜t＜0 ）②12．
解析
试题分析：（1）根二次函数图象x轴相交点A（﹣30）B（10）求出ab值二次函数表达式
（2）先求出点CGHD坐标然出AOCODOHO3AH⊥CD四边形ACHD正方形
（3）①作ME⊥x轴点E作MF⊥y轴点FS分求出
②首先设点N坐标（）NI∴根t＜0＞0然求出k值进求出值代入S关t函数表达式求出S值少．
试题解析：（1）∵二次函数图象x轴相交点A（﹣30）B（10）∴解：∴二次函数表达式
（2）图1
∵二次函数表达式∴点C坐标（03）∵∴点G坐标（﹣14）∵点C坐标（03）∴设CG直线解析式﹣m+34∴m﹣1∴CG直线解析式∴点H坐标（30）设点D坐标（0p）∴p﹣3∵AOCODOHO3AH⊥CD∴四边形ACHD正方形
（3）①图2作ME⊥x轴点E作MF⊥y轴点F
∵四边形ADCM面积S∴S∵AOOD3∴S△AOD3×3÷245∵点M（tp）第二象限交点∴点M坐标（t）∵MEMF﹣t∴S四边形AOCM
∴（﹣3＜t＜0 ）
②图3作NI⊥x轴点I
设点N坐标（）NI∴∵t＜0＞0∴∴联立∵t方程两根∴∵∴解
（a）时解（舍）．
（b）时解（舍）
∴
时S
时S
∴S值12．
考点：1．二次函数综合题2．分类讨3．压轴题．
26．图已知二次函数c常数图象点点顶点点M点A作轴交y轴点D交该二次函数图象点B连结BC．
求该二次函数解析式点M坐标．
该二次函数图象点P作y轴行线交边点Q否存点P点PQCO顶点四边形行四边形存求出P点坐标存说明理．
点N射线CA动点点MCN构成三角形相似请直接写出点N坐标直接写出结果必写解答程．
答案二次函数解析式点M坐标 存行四边形 ．
解析
分析
点A点C坐标代入函数解析式求出bc值通配方法点M坐标
根行四边形判定边行相等关m方程根解方程答案
题意分析相似进行分类讨分成∽∽两种然利边应值求出N点坐标横坐标利变量函数值应关系答案．
详解
点点代入二次函数
解
二次函数解析式
配方
点M坐标
知时
解
令P点横坐标m
PQBC边相交时
时存行四边形．
PQAC 边相交时
直线AC解析式
令
方程解
时存行四边形．
PQAB 边相交时
令
化简
解
时
点坐标
时存行四边形
连接MC作轴延长交AC点N点G坐标
代入解点P坐标
知点NAC点D点C必相似三角形应点
∽
点Ny轴右侧作轴
代入解
理点Ny轴左侧
代入解
∽
点Ny轴右侧代入解
点Ny轴左侧代入解
．
符合题意点N坐标4分．
点睛
题考查二次函数综合题解关键利定系数法解关键利行四边形判定出关m方程分类讨防遗漏解关键利相似三角形性质出N点横坐标分类讨防遗漏．
27．图面直角坐标系中二次函数图轴交两点轴交点点抛物线顶点点直线方抛物线动点．
（）二次函数表达式____________．
（）设直线解析式等式解集___________．
（）连结翻折四边形否存点四边形菱形？存请求出时点坐标存请说明理．
（）四边形面积时求出时点坐标四边形面积．
（）条件点直线方抛物线动点．改点抛物线动点条件变顶点四边形梯形时直接写出点坐标．
答案（1）（2）x≤0x≥3（3）（4）P（）时S四边形ABPC（5）点P坐标（－25）（2－3）（45）．
解析
试题分析：（1）直接设成顶点式出抛物线解析式
（2）先确定出点BC坐标根图象直接写出范围
（3）利菱形性质出POPC出点P坐标代入抛物线解析式出结
（4）先利坐标系中图形面积计算方法建立函数关系式求出面积值
（5）先求出直线BCBCCD解析式分三种情况利梯形性质组边行出直线DP1CP2BP3解析式分联立抛物线解析式建立方程组求解．
试题解析：解：（1）∵点D（1﹣4）抛物线yx2+bx+c顶点∴y（x﹣1）2﹣4x2﹣2x﹣3．答案yx2﹣2x﹣3
（2）令x0∴y﹣3∴C（0﹣3）令y0∴x2﹣2x﹣30∴x﹣1x3∴A（﹣10）B（30）∴等式x2+bx+c≥kx+m解集x＜0＞3．答案x＜0＞3
（3）图1．∵四边形POP′C菱形∴POPC．∵C（0﹣3）∴点P坐标﹣．∵P抛物线yx2﹣2x﹣3∴﹣x2﹣2x﹣3∴xx（舍）∴P（．﹣）
（4）图2（1）知B（30）C（0﹣3）∴直线BC解析式yx﹣3点P作PE∥y轴交BCE设P（mm2﹣2m﹣3）（0＜m＜3）
∴E（mm﹣3）∴PEm﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）﹣m2+3m．∵A（﹣10）B（30）C（0﹣3）∴S四边形ABPCS△ABC+S△PCE+S△PBEAB•OC+PE•|xP|+PE•|xB﹣xP|
AB•OC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）
6+×（﹣m2+3m）﹣（m﹣）2+
m时S四边形ABPC．
m时m2﹣2m﹣3∴P（）．
（5）图（1）知B（30）C（0﹣3）D（1﹣4）∴直线BC解析式yx﹣3直线BD解析式y2x﹣6直线CD解析式y﹣x﹣3．∵PCDB顶点四边形梯形．∵抛物线解析式yx2﹣2x﹣3①
①DP1∥BC时∴直线DP1解析式yx﹣5②联立①②解点P1（2﹣3）[点（1﹣4）点D重合舍]
②CP2∥BD时∴直线CP2解析式y2x﹣3③联立①③解点P2（45）
③BP3∥CD时∴直线BP3∥CD解析式y﹣x+3④联立①④解点P3（﹣25）．
综述：PCDB顶点四边形梯形时点P坐标（﹣25）（2﹣3）（45）．
点睛：题二次函数综合题考查定系数法求抛物线解析式规图形面积计算方法菱形性质梯形性质解答题关键方程方程组思想解决问题．
28．图已知二次函数图象顶点坐标A（14）坐标轴交BCD三点B点坐标（－10）．
（1）求二次函数解析式
（2）二次函数图象位x轴方部分两动点MN点N点M左侧MN作x轴垂线交x轴点GH两点四边形MNHG矩形时求该矩形周长值．
答案（1）y－（2）周长值10
分析
（1）设二次函数表达式：y＝a（x−1）2＋4点B坐标代入式求解
（2）设点M坐标（x−x2＋2x＋3）根称性点N（2−x−x2＋2x＋3）表示出矩形MNHG周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2求解．
详解
（1）设抛物线解析式y
B（－10）代入解析式：4a＋40
解a－1
∴y－－
（2）设点M坐标（x−x2＋2x＋3）
∵二次函数称轴x1
∴点N（2−x−x2＋2x＋3）
MN＝x−2＋x＝2x−2GM＝−x2＋2x＋3
矩形MNHG周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2
∵−2＜0x＝−＝2C值值10
该矩形周长值10．
点睛
考查二次函数解析式求法图形结合综合力培养．会利数形结合思想代数图形结合起利点坐标意义表示线段长度求出线段间关系．
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专题16二次函数存性问题
考点1二次函数相似三角形问题
例1（2020·湖北州·中考真题）图面直角坐标系中抛物线称轴直线图象轴交点点轴交点．
（1）直接写出抛物线解析式度数
（2）动点时点出发点秒3单位速度线段运动点秒单位速度线段运动中点达终点时点停止运动．设运动时间秒连接线段绕点时针旋转设点落点位置点恰落抛物线求值时点坐标
（3）（2）条件设抛物线动点轴动点点顶点三角形相似时请直接写出点应点坐标．（写出组正确结果1分4分）
答案（1）（2）tD点坐标 （3） ．
分析
（1）根抛物线称轴点B坐标求出抛物线表达式
（2）点N作E点D作F证明点D坐标代入抛物线表达式求出t值
（3）设点P（m）点Py轴右侧点Qy轴正半轴点P作PR⊥y轴点R点D作DS⊥x轴点S根△CPQ∽△MDB求出m值证明△CPQ∽△MDB求出CQ长度点Q坐标理求出余点P点Q坐标
详解
解：（1）∵抛物线称轴直线
∴b3a
∵抛物线点B（40）
∴16a+4b+10b3a代入
解：ab
抛物线解析式：
令y0解：x41
令x0y1
∴A（10）C（01）
∴tan∠CAO
∴
（2）（1）易知
点N作E点D作F
∵∠DMN90°
∴∠NME+∠DMF90°∠NME+∠ENM90°
∴∠DMF∠ENM
（AAS）
题意：
解：t0（舍）
检验t时点均未达终点符合题意
时D点坐标
（3）（2）知：Dt时M（0）B（40）C（01）
设点P（m）
图点Py轴右侧点Qy轴正半轴
点P作PR⊥y轴点R点D作DS⊥x轴点S
PRmDS
△CPQ∽△MDB
∴
解：m0（舍）15（舍）
点P坐标：
∵△CPQ∽△MDB
∴
点P时解：CQ
∴点Q坐标（0）
理：点P点Q坐标：
点睛
题二次函数综合题考查二次函数图性质二次函数表达式全等三角形判定性质相似三角形性质难度较计算量较解题时注意结合函数图找出符合条件情形
变式11（2019·湖南娄底·中考真题）图抛物线x轴交点点y轴交点C点．点PQ抛物线动点．
(1)求抛物线解析式
(2)点P直线OD方时求面积值．
(3)直线OQ线段BC相交点E相似时求点Q坐标．
答案(1)抛物线表达式：(2)值时值(3) ．
分析
（1）函数表达式：ya（x+1）（x3）点D坐标代入式求解
（2）设点求出根利二次函数性质求解
（3）分∠ACB∠BOQ∠BAC∠BOQ两种情况分求解通角关系确定直线OQ倾斜角进求解．
详解
解：(1)函数表达式：点D坐标代入式解：
抛物线表达式：…①
(2)设直线PDy轴交点G设点
点PD坐标代入次函数表达式：解直线PD表达式：
∵值时值
(3)∵∴
∵相似时分两种情况：
①时
点A作AH⊥BC点H
解：
∴CH＝
直线OQ表达式：…②
联立①②解：
点
②时
直线OQ表达式：…③
联立①③解：
点
综点．
点睛
题考查二次函数综合运涉解直角三角形三角形相似面积计算等中（3）注意分类求解避免遗漏．
变式12（2019·辽宁盘锦·中考真题）图面直角坐标系中抛物线y＝﹣x2+bx+c点A（﹣10）点C（04）交x轴正半轴点B连接AC点E线段OB动点（点OB重合）OE边x轴方作正方形OEFG连接FB线段FB绕点F逆时针旋转90°线段FP点P作PH∥y轴PH交抛物线点H设点E（a0）．
（1）求抛物线解析式．
（2）△AOC△FEB相似求a值．
（3）PH＝2时求点P坐标．
答案（1）y＝﹣x2+3x+4（2）a＝（3）点P坐标（24）（14）（4）．
详解
（1）点C（04）c＝4
二次函数表达式：y＝﹣x2+bx+4
点A坐标代入式：0＝﹣1﹣b+4解：b＝3
抛物线表达式：y＝﹣x2+3x+4
（2）tan∠ACO＝＝
△AOC△FEB相似∠FBE＝∠ACO∠CAO
：tan∠FEB＝4
∵四边形OEFG正方形FE＝OE＝a
EB＝4﹣a
解：a＝
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0解：x＝4﹣1点B（40）
分延长CFHP交点N
∵∠PFN+∠BFN＝90°∠FPN+∠PFN＝90°
∴∠FPN＝∠NFB
∵GN∥x轴∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE
∵∠PNF＝∠BEF＝90°FP＝FB
∴△PNF≌△BEF（AAS）
∴FN＝FE＝aPN＝EB＝4﹣a
∴点P（2a4）点H（2a﹣4a2+6a+4）
∵PH＝2
：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|
解：a＝1（舍）
：点P坐标（24）（14）（4）．
点睛
题考查二次函数综合运中（2）（3）注意分类求解避免遗漏．
考点2二次函数直角三角形问题
例2（2020·湖北咸宁·中考真题）图面直角坐标系中直线x轴交点Ay轴交点B抛物线点B直线相交点．
（1）求抛物线解析式
（2）点P抛物线动点时求点P坐标
（3）点x轴正半轴点y轴正半轴动点满足．
①求mn间函数关系式
②m什范围时符合条件N点数2？
答案（1）（2）（3）（23）（3）①②0＜m＜
分析
（1）利次函数求出AB坐标结合点C坐标求出二次函数表达式
（2）点Px轴方时点P点C重合点Px轴方时APy轴交点Q求出AQ表达式联立二次函数交点坐标点P
（3）①点C作CD⊥x轴点D证明△MNO∽△NCD整理结果
②作MC直径圆E根圆E线段OD交点数判断M位置m取值范围
详解
解：（1）∵直线x轴交点Ay轴交点B
令x0y2令y0x4
∴A（40）B（02）
∵抛物线B（02）
∴解：
∴抛物线表达式：
（2）点Px轴方时点P点C重合满足
∵
∴
点Px轴方时图APy轴交点Q
∵
∴BQ关x轴称
∴Q（02）A（40）
设直线AQ表达式ypx+q代入
解：
∴直线AQ表达式：联立：
解：x32
∴点P坐标（3）（23）
综时点P坐标：（3）（23）
（3）①图∠MNC90°点C作CD⊥x轴点D
∴∠MNO+∠CND90°
∵∠OMN+∠MNO90°
∴∠CND∠OMN∠MON∠CDN90°
∴△MNO∽△NCD
∴
整理：
②图∵∠MNC90°
MC直径画圆E
∵
∴点N线段OD（含OD）圆E线段OD两交点（含OD）
∵点My轴正半轴
圆E线段OD相切时
NEMCNE2MC2
∵M（0m）
∴E（）
∴
解：m
点M点O重合时图
时圆E线段OD（含OD）交点
∴0＜m＜时圆E线段OD两交点
m取值范围：0＜m＜
点睛
题二次函数综合考查求二次函数表达式相似三角形判定性质圆周角定理次函数表达式难度较解题时充分理解题意结合图解决问题
变式21图抛物线A（－36）B（5－4）两点y轴交点C连接ABACBC．
（1）求抛物线表达式
（2）求证：AB分
（3）抛物线称轴否存点MAB直角边直角三角形．存求出点M坐标存说明理．
答案（1）（2）详见解析（3）存点M坐标（－9）（11）．
分析
（1）A（30）B（54）代入抛物线解析式关ab方程组求ab值
（2）先求AC长然取D（20）ADAC连接BD接证明BCBD然SSS证明△ABC≌△ABD接全等三角形性质∠CAB∠BAD
（3）作抛物线称轴交x轴点E交BC点F作点A作AM′⊥AB作BM⊥AB分交抛物线称轴M′M点A点B坐标tan∠BAEtan∠M′AE2tan∠MBF2FMM′E长点M′点M坐标．
详解
解（1）A（30）B（54）两点坐标分代入
解
抛物线表达式y＝．
（2）证明：∵AO3OC4
∴AC5．
取D（20）ADAC5．
两点间距离公式知BD5．
∵C（04）B（54）
∴BC5．
∴BDBC．
△ABC△ABD中ADACABABBDBC
∴△ABC≌△ABD
∴∠CAB∠BAD
∴AB分∠CAO
（3）存．图示：抛物线称轴交x轴点E交BC点F．
抛物线称轴xAE．
∵A（30）B（54）
∴tan∠EAB．
∵∠M′AB90°．
∴tan∠M′AE2．
∴M′E2AE11
∴M′（11）．
理：tan∠MBF2．
∵BF
∴FM5
∴M（9）．
∴点M坐标（11）（9）．
点睛
题考查二次函数综合应应定系数法求二次函数解析式全等三角形性质判定锐角三角函数定义求FMM′E长解题关键
变式22（2019·甘肃兰州·中考真题）二次函数图象交轴两点交轴点动点点出发秒2单位长度速度方运动点作轴交直线点交抛物线点连接设运动时间秒
(1)求二次函数表达式
(2)连接时求面积
(3)直线存点直角等腰直角三角形时求时点坐标
(4)时直线存点求点坐标
答案（1）（2）2（3）（4）
解析
分析
（1）直接AB两点坐标代入列方程组解出
（2）根题意出AMOM设解析式：点代入求出解析式然分代入中：根三角形面积公式解答
（3）点作轴行线交轴点点作轴行线交延长线点设根题意出根解答
（4）时时点二次函数称轴点圆心长半径作圆交两点出根（弧圆周角）解答
详解
（1）点代入：
解：
二次函数表达方式：
（2）
设解析式：点代入：
直线解析式：
分代入中：
（3）假设点作轴行线交轴点点作轴行线交延长线点
设题意：
点坐标：
（4）时时点二次函数称轴
点圆心长半径作圆交两点
点该圆
（弧圆周角）
点睛
题考查二次函数综合应解题关键已知点代入解析式
考点3二次函数等腰三角形问题
例3（2020·山东济南·中考真题）图1抛物线y＝﹣x2＋bx＋c点A（﹣10）点B（30）y轴交点C．x轴动点E（m0）（0m3）点E作直线l⊥x轴交抛物线点M．
（1）求抛物线解析式C点坐标
（2）m＝1时D直线l点第象限△ACD∠DCA底角等腰三角形求点D坐标
（3）图2连接BM延长交y轴点N连接AMOM设△AEM面积S1△MON面积S2S1＝2S2求m值．
答案（1）（2）（3）
分析
（1）定系数法求解
（2）△ACD∠DCA底角等腰三角形分CD＝ADAC＝AD两种情况分求解
（3）S1＝AE×yM2S2＝ON•xM求解．
详解
解：（1）点AB坐标代入抛物线表达式
解
抛物线表达式y＝﹣x2＋2x＋3
x＝0时y＝3点C（03）
（2）m＝1时点E（10）设点D坐标（1a）
点ACD坐标AC＝
理：AD＝CD＝
①CD＝AD时＝解a＝1
②AC＝AD时理a＝（舍负值）
点D坐标（11）（1）
（3）∵E（m0）设点M（m﹣m2＋2m＋3）
设直线BM表达式y＝sx＋t
解：
直线BM表达式y＝﹣x＋
x＝0时y＝点N（0）ON＝
S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3）
2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3）
解m＝﹣2±（舍负值）
检验m＝﹣2方程根
m＝﹣2．
点睛
题考查二次函数综合运涉次函数性质等腰三角形性质面积计算等中（2）注意分类求解避免遗漏．
变式31（2020·贵州黔东南·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）x轴交AB两点（点A点B左边）y轴交点C（0﹣3）顶点D坐标（1﹣4）．
（1）求抛物线解析式．
（2）y轴找点E△EAC等腰三角形请直接写出点E坐标．
（3）点Px轴动点点Q抛物线动点否存点PQ点PQBD顶点BD边四边形行四边形？存请求出点PQ坐标存请说明理．
答案（1）yx2﹣2x﹣3（2）满足条件点E坐标（03）（0﹣3+）（0﹣3﹣）（0﹣）（3）存P（﹣1+20）Q（1+24）P（﹣1﹣20）Q（1﹣24）．
分析
（1）根抛物线顶点坐标设出抛物线解析式点C坐标代入求解出结
（2）先求出点AC坐标设出点E坐标表示出AECEAC分三种情况建立方程求解
（3）利移先确定出点Q坐标代入抛物线解析式求出点Q横坐标出结．
详解
解：（1）∵抛物线顶点（1﹣4）
∴设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣4
点C（0﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中a﹣4＝﹣3
∴a＝1
∴抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3
（2）（1）知抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3
令y＝0x2﹣2x﹣3＝0
∴x＝﹣1x＝3
∴B（30）A（﹣10）
令x＝0y＝﹣3
∴C（0﹣3）
∴AC＝
设点E（0m）AE＝CE＝|m+3|
∵△ACE等腰三角形
∴①AC＝AE时＝
∴m＝3m＝﹣3（点C坐标舍）
∴E（30）
②AC＝CE时＝|m+3|
∴m＝﹣3±
∴E（0﹣3+）（0﹣3﹣）
③AE＝CE时＝|m+3|
∴m＝﹣
∴E（0﹣）
满足条件点E坐标（03）（0﹣3+）（0﹣3﹣）（0﹣）
（3）图存∵D（1﹣4）
∴线段BD移4单位右（左）移适距离点B应点落抛物线样便存点Q时点D应点点P
∴点Q坐标4
设Q（t4）
点Q坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中t2﹣2t﹣3＝4
∴t＝1+2t＝1﹣2
∴Q（1+24）（1﹣24）
分点DQ作x轴垂线垂足分FG
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3x轴右边交点B坐标（30）D（1﹣4）
∴FB＝PG＝3﹣1＝2
∴点P横坐标（1+2）﹣2＝﹣1+2（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2
P（﹣1+20）Q（1+24）P（﹣1﹣20）Q（1﹣24）．
点睛
题考查定系数法求二次函数解析式二次函数综合熟练掌握二次函数图象性质解题关键．
变式32（2019·四川眉山·中考真题）图1面直角坐标系中抛物线点点．
(1)求抛物线解析式顶点坐标
(2)点抛物线间点点作轴点轴交抛物线点点作轴点矩形周长时求点横坐标
(3)图2连接点线段(重合)作交线段点否存样点等腰三角形？存求出长存请说明理．
答案(1)(2)点横坐标(3)AN1
分析
(1)根点抛物线表达式知称轴x2代入解析式出顶点坐标(2)设点矩形周长求解(3)D顶点AB抛物线x轴交点ADBD证明∠DAB∠DBA根利角差关系证明分三种情况分求解．
详解
(1)∵抛物线点点．
∴抛物线表达式：
∴称轴：x2
x2代入：y4
∴顶点
(2)设点
矩形周长
∵
∴时矩形周长时点横坐标
(3)∵点D抛物线顶点AB抛物线x轴交点
∴ADBD
∴∠DAB∠DBA
∵
∴
∴
∴
∵D（24）A（50）B（10）
∴
①时
∵∠NAM∠MBD∠NMA∠MBD
∴
∴
∴ABAM1
②时
∵∠DMN∠DBA
∴∠NDM∠DBA
∵∠DAB公角
∴
∴
∴：
∴
∵
∴
③时
∵
∴
∴
综述：．
点睛
题考查二次函数综合运涉次函数三角形相似全等等腰三角形性质等知识点中(3)注意分类求解避免遗漏．
考点4二次函数行四边形问题
例4（2020·四川绵阳·中考真题）图抛物线点A（01）C顶点D直线AC抛物线称轴BD交点B（0）行y轴直线EF抛物线交点E直线AC交点F点F横坐标四边形BDEF行四边形．
（1）求点F坐标抛物线解析式
（2）点P抛物线动点直线AC方△PAB面积时求点P坐标△PAB面积值
（3）抛物线称轴取点Q时抛物线取点RAC边ACQR顶点四边形行四边形求点Q点R坐标．
答案（1）（﹣）y＝﹣x2+2x+1 （2）（） （3）QRQ（﹣10）R（）
分析
（1）定系数法求出直线AB解析式y＝﹣x+1求出F点坐标行四边形性质出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣）求出a值出答案
（2）设P（n﹣n2+2n+1）作PP＇⊥x轴交AC点P＇P＇（n﹣n+1）出PP＇＝﹣n2+n二次函数性质出答案
（3）联立直线AC抛物线解析式求出C（﹣）设Q（m）分两种情况：①AQ角线时②AR角线时分求出点QR坐标．
详解
解：（1）设抛物线解析式y＝ax2+bx+c（a≠0）
∵A（01）B（0）
设直线AB解析式y＝kx+m
∴
解
∴直线AB解析式y＝﹣x+1
∵点F横坐标
∴F点坐标﹣+1＝﹣
∴F点坐标（﹣）
∵点A抛物线
∴c＝1
称轴：x＝﹣
∴b＝﹣2a
∴解析式化：y＝ax2﹣2ax+1
∵四边形DBFE行四边形．
∴BD＝EF
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣）
解a＝﹣1
∴抛物线解析式y＝﹣x2+2x+1
（2）设P（n﹣n2+2n+1）作PP＇⊥x轴交AC点P＇
P＇（n﹣n+1）
∴PP＇＝﹣n2+n
S△ABP＝OB•PP＇＝﹣n＝﹣
∴n＝时△ABP面积时P（）．
（3）∵
∴x＝0x＝
∴C（﹣）
设Q（m）
①AQ角线时
∴R（﹣）
∵R抛物线y＝+4
∴m+＝﹣+4
解m＝﹣
∴QR
②AR角线时
∴R（）
∵R抛物线y＝+4
∴m﹣+4
解m＝﹣10
∴Q（﹣10）R（）．
综述QRQ（﹣10）R（）．
点睛
题二次函数综合题考查定系数法二次函数性质二次函数图象点坐标特征行四边形性质等知识熟练掌握二次函数性质方程思想分类讨思想解题关键．
变式41（2020·前郭尔罗斯蒙古族治县哈拉毛镇蒙古族中学初三期中）图二次函数图象交x轴点交y轴点C．点x轴动点轴交直线点M交抛物线点N．
（1）求二次函数表达式
（2）①点P仅线段运动图1．求线段值
②点Px轴运动y轴否存点QMNCQ顶点四边形菱形．存请直接写出满足条件点Q坐标存请说明理．
答案（1）（2）①②存
分析
（1）代入中求出bc值
（2）①点整理化顶点式结
②分MNMC两种情况根菱形性质关m方程求解．
详解
解：（1）代入中
解
∴．
（2）设直线表达式代入．
解方程组
∴．
∵点x轴动点轴．
∴．
∴
．
∵
∴函数值．
∵点P线段运动
∴时值．
②∵点x轴动点轴．
∴．
∴
（i）MNCQ顶点四边形菱形MNMC图
∵C（03）
∴MC
∴
整理
∵
∴
解
∴时CQMN
∴OQ3()
∴Q(0)
m时CQMN
∴OQ3()
∴Q(0)
(ii)图
整理
∵
∴
解
m1时MNCQ2
∴Q（01）
m5时MN10＜0（符合实际舍）
综述点Q坐标
点睛
题考查二次函数综合题解（1）关键定系数法解（2）关键利线段差出二次函数利二次函数性质解（3）关键利菱形性质出关m方程分类讨防遗漏．
变式42（2020·重庆中考真题）图面直角坐标系中已知抛物线直线AB相交AB两点中．
（1）求该抛物线函数表达式
（2）点P直线AB方抛物线意点连接PAPB求面积值
（3）该抛物线右移2单位长度抛物线移抛物线原抛物线相交点C点D原抛物线称轴点面直角坐标系中否存点E点BCDE顶点四边形菱形存请直接写出点E坐标存请说明理．
答案（1）（2）面积值（3）存
分析
（1）点AB坐标代入抛物线表达式求解
（2）设求解析式点P作x轴垂线直线AB交点F设点求解
（3）分BC菱形边菱形角线两种情况分求解．
详解
解：（1）∵抛物线
∴
∴
∴
（2）设点代入
∴
点P作x轴垂线直线AB交点F
设点
铅垂定理
∴面积值
（3）（3）抛物线表达式：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5
移抛物线表达式：y＝x2−5
联立述两式解：点C（−1−4）
设点D（−2m）点E（st）点BC坐标分（0−1）（−1−4）
①BC菱形边时
点C右移1单位移3单位B样D（E）右移1单位移3单位E（D）
−2＋1＝sm＋3＝t①−2−1＝sm−3＝t②
点DE方时BE＝BCs2＋（t＋1）2＝12＋32③
点DE方时BD＝BC22＋（m＋1）2＝12＋32④
联立①③解：s＝−1t＝2−4（舍−4）点E（−12）
联立②④解：s＝3t＝4±点E（34＋）（34−）
②BC菱形角线时
中点公式：−1＝s−2−4−1＝m＋t⑤
时BD＝BE22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥
联立⑤⑥解：s＝1t＝−3
点E（1−3）
综点E坐标：（−12）（1−3）．
∴存
点睛
题考查二次函数综合运涉次函数性质菱形性质图形移面积计算等中（3）注意分类求解避免遗漏．
单选题
1．图已知动点AB分x轴y轴正半轴动点P反例函数（x＞0）图象PA⊥x轴△PABPA底边等腰三角形．点A横坐标逐渐增时△PAB面积会（ ）
A．越越 B．越越 C．变 D．先变变
答案C
解析
分析
设点P（x）作BC⊥PABCOAx根S△PABPA•BC••x3答案．
详解
图点B作BC⊥PA点C
BCOA
设点P（x）
S△PABPA•BC3
点A横坐标逐渐增时△PAB面积会变始终等3
选C．
2．已知直线y＝n二次函数y＝（x﹣2）2﹣1图象交点B点C二次函数图象顶点A△ABC等腰直角三角形时n值（ ）
A．1 B． C．2﹣ D．2+
答案A
解析
分析
设B（x1n）C（x2n）．△ABC等腰直角三角形作AD⊥BCAD＝BCBC＝2ADAD＝n﹣（﹣1）＝n+1：BC＝|x1x2|＝＝＝＝2（n+1）容易求出n＝1．
详解
设B（x1n）C（x2n）作AD⊥BC垂足D连接ABAC
∵y＝（x﹣2）2﹣1
∴顶点A（2﹣1）
AD＝n﹣（﹣1）＝n+1
∵直线y＝n二次函数y＝（x﹣2）2﹣1图象交点BC
∴（x﹣2）2﹣1＝n
化简x2﹣4x+2﹣2n＝0
x1+x2＝4x1x2＝2﹣2n
∴BC＝|x1﹣x2|＝＝＝
∵点BC关称轴直线AD称
∴D线段BC中点
∵△ABC等腰直角三角形
∴AD＝BC
BC＝2AD
＝2（n+1）
∴（2+2n）＝（n+1）2
化简n2＝1
∴n＝1﹣1
n＝﹣1时直线y＝n点A符合题意舍
n＝1．
选A．
点睛
题考查二次函数图象性质根系数关系正确理解二次函数图象性质根系数关系解题关键．
3．二次函数函数图象图点位坐标原点点轴正半轴点二次函数位第象限图象…直角顶点抛物线等腰直角三角形斜边长( )
A．20 B． C．22 D．
答案C
分析
…等腰直角三角形出直线 求出坐标出长
利 坐标直线： 求出 坐标出长样方法求…边长然根边长特点出般化规律求长．
详解
解： 等腰直角三角形原点 直线：
坐标（11） （02）
2
（02）直线
（24）4（06）
（06）直线
（39） 6
面A0A12A1A24A2A36出直角顶点抛物线等腰直角三角形斜边长次加2
∴△A10B11A11斜边长2+10×222
综推出22．
选C．
点睛
题考查二次函数综合题解题时利二次函数图象点坐标特征函数交点等腰直角三角形性质等知识点解答题难点推知 长．
4．已知抛物线y﹣x2+1顶点P点A第象限该二次函数图象点点A作x轴行线交二次函数图象点B分点BA作x轴垂线垂足分CD连结PAPDPD交AB点E△PAD△PEA相似？（ ）
A．始终相似 B．始终相似 C．ABAD时相似 D．法确定
答案B
解析
试题分析：设A（xx2+1）根题意求出PAPDPE值出∠APE∠DPA△PAD∽△PEA
选B
考点 二次函数综合题
5．二次函数y﹣x2+1图象x轴交AB两点y轴交点C列说法错误（ ）
A．点C坐标（01） B．线段AB长2
C．△ABC等腰直角三角形 D．x＞0时yx增增
答案D
解析1回想二次函数图象坐标轴交点特征试着求出ABC三点坐标
2结合ABC三点坐标OAOBOC根两轴互相垂直性质利勾股定理求出ABACBC判断选项ABC正误
3找出二次函数图象称轴根开口方判断选项D正误
题解析
根题意知：x0时y1
∴点C坐标（01）
选A正确
y0时x 1x1
∴AB2
选项B正确
∵OA1OB1OC1
∴AC BC
∴AC2+BC2AB2
∴△ABC等腰直角三角形
选项C正确
y x2+1知：a 1＜0称轴x0
∴x＞0时yx增减
选项D错误
选D
二填空题
6．图直线二次函数图象交点B点C二次函数图象顶点A等腰直角三角形时______．
答案1
解析
分析
作抛物线称轴交BCD根抛物线性质等腰直角三角形性质出B（n+3n）代入解析式求．
详解
作抛物线称轴交BCD
∵直线yn二次函数y（x2）21图象交点B点C
∴BC∥x轴
∵△ABC等腰直角三角形
∴∠CAB90°ACBC
∵直线CD抛物线称轴
∴AD⊥BC∠CAD∠BAD45°
∴△ADB等腰直角三角形
∴ADBD
∵抛物线顶点（21）
∴ADn+1
∴B（n+3n）
B坐标代入y（x2）21n（n+32）21
解n1
答案1．
点睛
题考查抛物线性质等腰直角三角形性质二次函数图象点坐标特征求B点坐标解题关键．
7．已知二次函数图象x轴交AB两点交y轴C点△ABC直角三角形请写出符合求二次函数解析式：___________________
答案yx2+1(答案唯)
解析
分析
y轴取点x轴取两点组成直角三角形三顶点利定系数法求出二次函数解析式．
详解
根果三角形边中线等边半直角三角形
取C（01）A（10）B（10）三点
设抛物线表达式yax2+1抛物线（10）
a+10a1．
抛物线：yx2+1．
答案：yx2+1(答案唯)
点睛
题开放性题目答案唯考查利定系数法求抛物线表达式．
8．已知点P二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象点设二次函数图象x轴交AB两点（AB右侧）y轴交C点△APC直角三角形AC直角边点P横坐标值_____．
答案﹣1﹣2
分析
分∠ACP直角∠PAC直角两种情况利直线抛物线交点求解．
详解
解：y＝x2﹣2x﹣3①令y＝0x＝3﹣1令x＝0y＝﹣3
点ABC坐标分：（30）（﹣10）（0﹣3）．
①∠ACP直角时图
点AC坐标知OA＝OC＝3直线ACx轴负半轴夹角45°
∠ACP直角直线PC倾斜角45°
设直线PC表达式：y＝﹣x+b点C坐标代入式解：b＝﹣3
直线PC表达式：y＝﹣x﹣3②
联立①②解：x＝0﹣1（舍0）
点P坐标：（﹣10）
②∠PAC直角时
理：点P（﹣25）
答案：﹣1﹣2．
点睛
题考查抛物线x轴交点解题关键利分类讨思想求解避免遗漏．
9．二次函数y＝2x2+4x+mx轴交AB两点y轴交点C△ABC直角三角形m＝_____．
答案﹣．
解析
分析
根题意勾股定理求m值题解决．
详解
设点A坐标（x10）点B坐标（x20）点A点B左边
∵点C（0m）二次函数y2x2+4x+m2（x+1）2+m2
∴点Cy轴负半轴x1x2
∴m＜0
∵△ABC直角三角形
∴(x2−x1)2＝(x22+m2)+(x12+m2)
解m
答案：．
点睛
题考查勾股定理抛物线x轴交点解答题关键明确题意利二次函数性质勾股定理解答．
10．图二次函数yax2+bx+c（a＞0）图象顶点D 图象x轴交点AB横坐标分﹣13．y轴负半轴交点Ca时△ABD_______三角形△ACB等腰三角形a值______
答案等腰直角
解析
解：图1∵二次函数yax2+bx+c（a＞0）图象x轴交点AB横坐标分﹣13a∴二次函数y（x+1）（x﹣3）整理yx2﹣x﹣∴y（x﹣1）2﹣2∴顶点D（1﹣2）作DE⊥ABE∴DE2DE垂直分AB∵AB3+14∴AEDEBE∴∠DAB∠ADE∠ABD∠BDE∵ADBD∴∠DAB∠DBA∴∠DAB∠ADE∠ABD∠BDE∴∠ADB∠DAB+∠CBA90°∴△ABD等腰直角三角形
（2）△ACB等腰三角形必须保证ABBC4ABAC4ACBCABBC4时∵AO1△BOC直角三角形∵OC长|c|∴c216﹣97∵抛物线y轴交点y轴负半轴∴c﹣2a+b0a﹣b+c0联立组成解方程组解a
理ABAC4时∵AO1△AOC直角三角形∵OC长|c|∴c216﹣115∵抛物线y轴交点y轴负半轴∴c﹣2a+b0a﹣b+c0联立组成解方程组解a
理ACBC时
△AOC中AC21+c2△BOC中BC2c2+9∵ACBC∴1+c2c2+9方程解．
综△ACB等腰三角形a值
答案：等腰直角．
点睛：题考查抛物线x轴交点抛物线解析式抛物线称轴顶点坐标熟练掌握二次函数性质解题关键．
11．二次函数yx2+ax+b图象轴交两点轴交点
（1）形状
（2）抛物线动点四点顶点四边形梯形点坐标
答案
解析
试题分析：（1）∵二次函数y＝x2+ax+b图象B（20）两点利定系数法直接求出ab值求出抛物线解析式．
（2）（1）题已证∠ACB＝90°ACBP四点顶点四边形直角梯形两种情况需考虑：
①BCAP底AC高先求出直线BC解析式进确定直线AP解析式联立抛物线解析式求出点P坐标．
②ACBP底BC高方法①．
解：（1））∵二次函数y＝x2+ax+b图象B（20）两点题意
解：
∴抛物线解析式：
∴C（01）
∴
CB2＝BO2+CO2＝5
∴AC2+CB2＝AB2
∴△ACB直角三角形
（2）存点
ACBP四点顶点直角梯形BCAP底
∵B（20）C（01）
∴直线BC解析式：
设点B行AC直线解析式
点代入：
∴
联立抛物线解析式：解
∴点
ACBP四点顶点直角梯形ACBP底
理求
时ACBP四点顶点四边形直角梯形．
（根抛物线称性求出P点坐标）
考点：二次函数综合题定系数法求二次函数解析式二次函数等式（组）直角梯形．
12．图二次函数Yx2x+2图象x轴交AB两点y轴交C点点D（mn）抛物线第二象限部分动点四边形OCDA面积值______．
答案8
解析
分析
根解析式求点AC坐标点D作DH⊥x轴点H运割补法：四边形OCDA面积△ADH面积+四边形OCDH面积列式计算化简求S关m函数关系配方成顶点式值情况．
详解
解：yx2x+2中x0时y2
∴C（02）
y0时x2x+20解：x4x1
∴点A（40）B（10）
∵点D（mn）抛物线第二象限部分动点
∴D（mm2m+2）
点D作DH⊥x轴点HDHm2m+2AHm+4HOm
∵四边形OCDA面积△ADH面积+四边形OCDH面积
∴S（m+4）×（m2m+2）+（m2m+2+2）×（m）
m24m+4
（m+2）2+8（4＜m＜0）
m2时S取值值8
点睛
题考查抛物线x轴交点二次函数性质等知识综合应运割补法列出面积函数解析式解决问题关键．
13．二次函数图象图点O坐标原点点Ay轴正半轴点BC二次函数图象四边形OBAC菱形∠OBA120°菱形OBAC面积 ．
答案．
解析
试题分析：连接BCAO交点D根菱形性质AO⊥BC根∠OBA120°：∠AOB30°根二次函数图象点性质点B坐标(1)OA2OD2BC2BD2菱形面积×AO×BC×2×22
考点：二次函数性质
三解答题
14．图已知二次函数（）图象轴交点点交轴点表示变量时函数值意实数均．
（1）求该二次函数解析式
（2）点线段动点点作交点连接．面积时求点坐标
（3）行轴动直线该抛物线交点直线交点点坐标．否存样直线等腰三角形？存请求出点坐标存请说明理．
答案（1）（2）（3）存点坐标：
分析
（1）根题意求出抛物线称轴然利抛物线称性求出点A坐标设二次函数解析式点C坐标代入求出二次函数解析式化般式
（2）设点坐标点作轴点根点ABC坐标求出OAOBOCBQAB根相似三角形判定性质含m式子表示EG然根求出m二次函数关系式根二次函数求值
（3）根等腰三角形腰情况分类讨分种情况求出点F坐标然根点P点F坐标相等点P坐标代入二次函数解析式中求出点P横坐标．
详解
解：（1）时函数值相等知抛物线称轴
点坐标求点坐标
设二次函数解析式
点代入
二次函数解析式．
（2）设点坐标点作轴点图
∵（40）
∴OA4OB2OC4 BQm+2
∴AB6
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴时值3时
（3）存．
①图示
∴∠DOF∠DFO∠DAF∠DFA
∴∠DOF+∠DAF∠DFO+∠DFA∠OFA
∴直角三角形OF⊥AC
∵OAOC4
∴点FAC中点
∴根中点坐标公式：点坐标
∵直线l∥x轴
∴点P坐标点F坐标2y2代入二次函数解析式中
时点坐标：
②点作轴点
等腰三角形性质：
∴
等腰直角三角形AOC中∠OAC45°
∴△AMF等腰直角三角形
∴FMAM3
∴
∵直线l∥x轴
∴点P坐标点F坐标3y3代入二次函数解析式中
时点坐标：
③
∵
∴
∴点距离
∴存点
时存样直线等腰三角形
综存样直线等腰三角形求点坐标：
点睛
题考查二次函数图形综合题难度系数较掌握利定系数法求二次函数解析式面积值问题转化二次函数值问题分类讨数学思想解决题关键．
15．图面直角坐标系中二次函数图象交坐标轴A（﹣10）B（40）C（0﹣4）三点点P直线BC方抛物线动点．
（1）求二次函数解析式
（2）动点P运动什位置时△PBC面积求出时P点坐标△PBC面积．
（3）否存点P△POCOC底边等腰三角形？存求出P点坐标存请说明理
答案（1）yx2﹣3x﹣4（2）P点坐标（2﹣6）时△PBC面积8（3）存点P坐标
解析
试题分析：（1）ABC三点坐标利定系数法求抛物线解析式
（2）P作PE⊥x轴交x轴点E交直线BC点FP点坐标表示出PF长表示出△PBC面积利二次函数性质求△PBC面积值P点坐标
（3）题意知点P线段OC垂直分线求P点坐标代入抛物线解析式求P点坐标．
试题解析：解：（1）设抛物线解析式ABC三点坐标代入：解：∴抛物线解析式
（2）∵点P抛物线∴设P（tt2﹣3t﹣4）P作PE⊥x轴点E交直线BC点F图2∵B（40）C（0﹣4）∴直线BC解析式yx﹣4∴F（tt﹣4）∴PF（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）﹣t2+4t∴S△PBCS△PFC+S△PFBPF•OE+PF•BEPF•（OE+BE）PF•OB（﹣t2+4t）×4﹣2（t﹣2）2+8∴t2时S△PBC值8时t2﹣3t﹣4﹣6∴P点坐标（2﹣6）时△PBC面积8
（3）作OC垂直分线DP交OC点D交BC方抛物线点P图1∴POPD时P点满足条件点∵C（0﹣4）∴D（0﹣2）∴P点坐标﹣2代入抛物线解析式x2﹣3x﹣4﹣2解x（0舍）x∴存满足条件P点坐标（﹣2）．
点睛：题二次函数综合应涉定系数法等腰三角形性质二次函数性质三角形面积方程思想等知识．（1）中注意定系数法应（2）中P点坐标表示出△PBC面积解题关键（3）中确定出P点位置解题关键．题考查知识点较综合性较强难度适中．
16．已知次函数图象二次函数图象相交点线段动点（重合）点作轴二次函数图象交点．
（1）求值
（2）求线段长值
（3）等腰直角三角形时求出时点坐标．
答案（1）13（2）值（3）
分析
（1）点分代入次函数解析式求b值点A坐标代入二次函数求出a值
（2）设根行y轴直线两点间距离较坐标减较坐标PC长关m二次函数根二次函数性质答案
（3）（2）设出点PC坐标根题意含m式子表示出ACPC长根ACPC关m方程求m值进求出点P坐标．
详解
解：（1）∵直线
∴
∴．
∵拋物线
∴
解．
（2）设
∴
∴时值值．
（3）图∵等腰三角形轴
∴连接轴
∵
∴
．
∵
∴
化简
解（合题意舍）．
时
∴时点坐标．
点睛
题二次函数综合题考查求定系数法求函数解析式二次函数值等腰三角形性质等知识利行y轴直线两点间距离建立出二次函数模型求出值解题关键．
17．图已知次函数图象x轴交点A二次函数图象交y轴点B二次函数图象x轴唯交点COC2．
（1）求二次函数解析式
（2）设次函数图象二次函数图象交点D已知Px轴动点△PBD直角三角形求点P坐标．
答案（1）（2）P1（10）P2（0）
解析
解：（1）∵交x轴点A∴005x+2解x－4．∴A点坐标：（－40）．
∵y轴交点B∴y2．∴B点坐标：（02）．
∵二次函数图象x轴唯交点COC2
∴设二次函数．
B（02）代入：a．
∴二次函数解析式：．
（2）①B直角顶点时B作BP1⊥AD交x轴P1点
∵Rt△AOB∽Rt△BOP1∴．
∴解：OP11．
∴P1点坐标（10）
②D直角顶点时作P2D⊥BD连接BP2
2联立求出两函数交点坐标：D点坐标：（5）AD．
A（－40）B（02）AB．
∵∠DAP2∠BAO∠BOA∠ADP2
∴△ABO∽△AP2D．∴．
∴解AP2．
OP2．
∴P2点坐标（0）．
③P直角顶点时点D作DE⊥x轴点E设P3（a0）
Rt△OBP3∽Rt△EP3D：
∴．
∵方程解∴点P3存．
综述点P坐标：P1（10）P2（0）．
（1）根交x轴点Ay轴交点B出AB两点坐标二次函数图象x轴唯交点COC2．出设二次函数进求出．
（2）分点B直角顶点点D直角顶点点P直角顶点三种情况讨分利三角形相似应边成例求出．
18．面直角坐标系中直线y＝x﹣2x轴交点By轴交点C二次函数y＝x2+bx+c图象BC两点x轴负半轴交点A．
（1）求二次函数解析式
（2）图1点M线段BC动点动点D直线BC方二次函数图象．设点D横坐标m．
①点D作DM⊥BC点M求线段DM关m函数关系式求线段DM值
②△CDM等腰直角三角形直接写出点M坐标．
答案（1）y＝x2﹣x﹣2（2）①DM＝﹣DM值②M坐标（）（﹣）．
分析
（1）直线y＝x﹣2B（40）C（0﹣2）B（40）C（0﹣2）代入y＝x2+bx+c列方程组求出bc
（2）①点DH∥AB交直线y＝x﹣2点H．∠H＝∠OBCOC＝2OB＝4BC＝2sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝＝设D（mm2﹣m﹣2）H（m2﹣3mm2﹣m﹣2）DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4mDM＝（﹣m2+4m）＝﹣m＝2时DM值
②分两种情况：CM⊥DM时点M作ME⊥y轴点E点D作DF∥y轴交EM延长线点FCD⊥DM时点D作DE⊥y轴点E点M作MF∥y轴交ED延长线点F分求出t值．
详解
解（1）直线y＝x﹣2
B（40）C（0﹣2）
B（40）C（0﹣2）代入y＝x2+bx+c
解b＝c＝﹣2
∴二次函数解析式y＝x2﹣x﹣2
（2）①点DH∥AB交直线y＝x﹣2点H．
∴∠H＝∠OBC
∵B（40）C（0﹣2）
∴OC＝2OB＝4BC＝2
∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝
＝
设D（mm2﹣m﹣2）H（m2﹣3mm2﹣m﹣2）
∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m
∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣
m＝2时DM值
②Ⅰ．CM⊥DM时点M作ME⊥y轴点E点D作DF∥y轴交EM延长线点F
∵△CDM等腰直角三角形易证△EMC≌△FDM
∴EM＝DFEC＝MF
设M（tt﹣2）EM＝tOE＝﹣t+2
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝tMF＝tDF＝t
EF＝EM+MF＝t+t＝OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2
∴D（t﹣t﹣2）
D（t﹣t﹣2）代入二次函数解析式y＝x2﹣x﹣2
解t＝0（舍）t＝
∴M1（）
Ⅱ．CD⊥DM时点D作DE⊥y轴点E点M作MF∥y轴交ED延长线点F
∵△CDM等腰直角三角形易证△CED≌△DFM
∴DE＝MFEC＝DF
设M（tt﹣2）EF＝tCE＝DE＝tMF＝tOC＝t+2
∴D（t﹣t﹣2）
D（t﹣t﹣2）代入二次函数解析式y＝x2﹣x﹣2
解t＝0（舍）t＝
∴M2（﹣）
综△CDM等腰直角三角形点M坐标（）（﹣）．
点睛
题考查二次函数综合次函数坐标轴交点锐角三角函数定义全等三角形判定性质等腰直角三角形性质熟运定系数法求函数解析式熟练运运二次函数性质线三直角构建全等三角形解题关键．
19．图已知二次函数图象轴交两点轴交点半径动点．
（1）求点坐标？
（2）否存点直角三角形？存求出点坐标：存请说明理．
答案（1）（2）
分析
（1）抛物线解析式中令y＝0求B点坐标令x＝0求C点坐标
（2）①PB⊙相切时△PBC直角三角形根勾股定理BC＝5作轴轴易四边形矩形根相似三角形性质设BE＝3−xCF＝2x−4求作轴轴理求②BC⊥PC时△PBC直角三角形作轴易根相似三角形性质求出理．结
详解
（1）中令解：令
∴
（2）存点直角三角形
①相切时直角三角形图（2）连接
∵
∴
∵
∴
作轴轴易四边形矩形
∴
设
∴
∴
∴
∴
∴
作轴轴理求
②时直角三角形作轴图（2）易
∴
∴
∴
理：
综述：点坐标：．
点睛
题考查二次函数图象点坐标特征圆直线位置关系勾股定理相似三角形判定性质等知识点正确作出辅助线构造相似三角形解题关键．
20．图二次函数图象三点．
（1）求该二次函数解析式
（2）点线段动点（点线段端点重合）相似求点坐标．
答案（1）（2）点坐标
分析
（1）ABC三点坐标利定系数法求抛物线解析式
（2）求直线AC解析式设G（k2k2）表示出ABBCAG长条件知△AGB∽△ABC利相似三角形性质求k值求G点坐标．
详解
（1）∵二次函数图象两点
∴设二次函数解析式．
∵二次函数图象点
解．
∴二次函数解析式．
（2）设直线函数解析式
坐标代入解
∴直线函数解析式．
设点坐标．
点点重合
相似种情况．
．
解（舍）
∴点坐标．
点睛
题考查二次函数综合应涉定系数法相似三角形判定性质勾股定理行四边形性质等知识点．（1）中注意二次函数解析式三种形式灵活运（2）中确定出△AGB∽△ABC种情况解题突破口．
21．图 已知二次函数（常数）称轴轴交点值5顶点点行轴直线抛物线交点
（1）求该二次函数解析式点坐标
（2）点直线动点点点点构成三角形相似求出点坐标
答案（1）y＝−x2＋2x＋4B（−11）A（31）（2）（31）（−37）（）（−）
分析
（1）先确定顶点M坐标设顶点式y＝a（x−1）2＋5然C点坐标代入求出a抛物线解析式计算函数值1应变量值AB点坐标
（2）先计算出CD＝3BD＝1AM＝2CM＝AC＝3利勾股定理逆定理△ACM直角三角形∠ACM＝90°根相似三角形判定时△MCP∽△BDC解PC＝3设时P（x−x＋4）利两点间距离公式x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2求出x时P点坐标时△MCP∽△CDB解PC＝利样方法求出应P点坐标．
详解
（1）根题意抛物线顶点M坐标（15）
设抛物线解析式y＝a（x−1）2＋5
C（04）代入y＝a（x−1）2＋5a＋5＝4
解a＝−1
抛物线解析式y＝−（x−1）2＋5
y＝−x2＋2x＋4
y＝1时−x2＋2x＋4＝1
解x1＝−1x2＝3B（−11）A（31）
（2）∵
∴CD＝3BD＝1
AM＝2CM＝AC
设直线AC解析式y＝kx＋b
A（31）C（04）代入
解
∴直线AC解析式y＝−x＋4
∵CM2＋AC2＝AM2
∴△ACM直角三角形∠ACM＝90°
∴∠BDC＝∠MCP
图1时△MCP∽△BDC解PC＝3
设时P（x−x＋4）
∴x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2解x＝±3时P点坐标（31）（−37）
图2时△MCP∽△CDB解PC＝
设时P（x−x＋4）
∴x2＋（−x＋4−4）2＝（）2解x＝±时P点坐标（）（−）
综述满足条件P点坐标（31）（−37）（）（−）．
点睛
题考查二次函数综合题：熟练掌握二次函数性质相似三角形判定会利定系数法求次函数二次函数解析式理解坐标图形性质记住两点间距离公式．
22．图已知二次函数图点A(－43）B(44)
（1）求二次函数解析式：
（2）求证：△ACB直角三角形
（3）点P第二象限抛物线动点点P作PH垂直x轴点H否存PHD顶点三角形△ABC相似？存求出点P坐标存请说明理
答案解：
（1）A(－43）B(44)代中
整理： 解
∴二次函数解析式：：
（2） 整理 解
∴C （－20）D
∴AC24+9 BC236+16AC2+ BC213+5265AB264+165
∴ AC2+ BC2AB2 ∴△ACB直角三角形
（3）设（x<0）PH HD
∵AC BC
①△PHD∽△ACB时：：
整理 解（舍）时
∴
②△DHP∽△ACB时： ：
整理 解（舍）时
∴
综述满足条件点两
解析二次函数综合题曲线点坐标方程关系勾股定理逆定理应相似三角形判定性质坐标系中点坐标特征抛物线x轴交点解元二次方程二元次方程组
分析（1）求二次函数解析式求中ab值A(43）B(44)代
（2）求证△ACB直角三角形求出ACBCAB长度然勾股定理逆定理考察
（3）分两种情况进行讨①△DHP∽△BCA②△PHD∽△BCA然分利相似三角形应边成例性质求出点P坐标
23．图二次函数图交轴交轴画直线
（1）求二次函数解析式
（2）点P抛物线动点点Q直线动点请判断否存PQOC顶点四边形行四边形存请求出点Q坐标存请说明理
（3）轴右侧点二次函数图圆心圆直线相切切点△CHM∽△AOC（点点应）求点坐标
答案（1） （2）(22)( )()（）
（3）
解析
试题分析：解：（1）∵二次函数图交轴∴设该二次函数解析式：二次函数图交轴代入解∴抛物线解析式
（2）OC行四边形边设P（）Q（）PQPQOC顶点四边形行四边形∴（舍）∴(22)( )()OC行四边形角线（）
（3）∵△CHM∽△AOC点点应∴
情形1：图点方时∵
∴轴∴点二次函数图
∴ 解（舍）∴
情形2：图点方时∵设交轴点P设中
勾股定理解
直线抛物线交点设直线解析式坐标代入解∴解（舍）
时∴∴点坐标
考点：二次函数中应
点评：该题需考虑情况种难点需学生常练积累验结合图形找出突破口
24．图三角形底边等腰三角形点分次函数图象轴轴交点点二次函数图象该二次函数图象存点四边形构成行四边形
（1）试求值写出该二次函数表达式
（2）动点线段时动点线段秒1单位速度运动问：
①运动程中否存？果存请说明理果存请说明点位置？
②运动处时四边形面积？时四边形面积少？
答案（1）（2） ①点运动距离点单位长度处②点运动距离点单位处时四边形面积值
分析
（1）根次函数解析式求出AC坐标△ABC等腰三角形求出点B坐标根行四边形性质求出点D坐标利定系数法出二次函数表达式
（2）①设点P运动t秒PQ⊥AC进求出APCQAQ值△APQ∽△CAO利应边成例求出t值出答案
②问题化简△APQ面积值根关系列出关时间二次函数根二次函数性质求出函数值求出△APQ面积值进求出四边形PDCQ面积值
详解
解：（1）
令点
令点
∵底边等腰三角形
∴点坐标
∵四边形行四边形
∴点坐标
点点代入二次函数
解：
该二次函数解析式：
（2）∵
∴
①设点运动秒时时
∵
∴
∴
∴
解：
点运动距离点单位长度处
②∵
∴面积时四边形面积
动点运动秒时
设底边高作点
：
解：
∴
∴时达值时
点运动距离点单位处时四边形面积值
点睛
题考查二次函数综合题难度系数较解题关键四边形PDCQ面积值转化△APQ面积值根题意列出函数关系式
25．（14分）图二次函数图象x轴相交点A（﹣30）B（10）y轴相交点C点G二次函数图象顶点直线GC交x轴点H（30）AD行GC交y轴点D．
（1）求该二次函数表达式
（2）求证：四边形ACHD正方形
（3）图2点M（tp）该二次函数图象动点点M第二象限点M直线交二次函数图象点N．
①四边形ADCM面积S请求出S关t函数表达式写出t取值范围
②△CMN面积等请求出时①中S值．
答案（1）（2）证明见试题解析（3）①（﹣3＜t＜0 ）②12．
解析
试题分析：（1）根二次函数图象x轴相交点A（﹣30）B（10）求出ab值二次函数表达式
（2）先求出点CGHD坐标然出AOCODOHO3AH⊥CD四边形ACHD正方形
（3）①作ME⊥x轴点E作MF⊥y轴点FS分求出
②首先设点N坐标（）NI∴根t＜0＞0然求出k值进求出值代入S关t函数表达式求出S值少．
试题解析：（1）∵二次函数图象x轴相交点A（﹣30）B（10）∴解：∴二次函数表达式
（2）图1
∵二次函数表达式∴点C坐标（03）∵∴点G坐标（﹣14）∵点C坐标（03）∴设CG直线解析式﹣m+34∴m﹣1∴CG直线解析式∴点H坐标（30）设点D坐标（0p）∴p﹣3∵AOCODOHO3AH⊥CD∴四边形ACHD正方形
（3）①图2作ME⊥x轴点E作MF⊥y轴点F
∵四边形ADCM面积S∴S∵AOOD3∴S△AOD3×3÷245∵点M（tp）第二象限交点∴点M坐标（t）∵MEMF﹣t∴S四边形AOCM
∴（﹣3＜t＜0 ）
②图3作NI⊥x轴点I
设点N坐标（）NI∴∵t＜0＞0∴∴联立∵t方程两根∴∵∴解
（a）时解（舍）．
（b）时解（舍）
∴
时S
时S
∴S值12．
考点：1．二次函数综合题2．分类讨3．压轴题．
26．图已知二次函数c常数图象点点顶点点M点A作轴交y轴点D交该二次函数图象点B连结BC．
求该二次函数解析式点M坐标．
该二次函数图象点P作y轴行线交边点Q否存点P点PQCO顶点四边形行四边形存求出P点坐标存说明理．
点N射线CA动点点MCN构成三角形相似请直接写出点N坐标直接写出结果必写解答程．
答案二次函数解析式点M坐标 存行四边形 ．
解析
分析
点A点C坐标代入函数解析式求出bc值通配方法点M坐标
根行四边形判定边行相等关m方程根解方程答案
题意分析相似进行分类讨分成∽∽两种然利边应值求出N点坐标横坐标利变量函数值应关系答案．
详解
点点代入二次函数
解
二次函数解析式
配方
点M坐标
知时
解
令P点横坐标m
PQBC边相交时
时存行四边形．
PQAC 边相交时
直线AC解析式
令
方程解
时存行四边形．
PQAB 边相交时
令
化简
解
时
点坐标
时存行四边形
连接MC作轴延长交AC点N点G坐标
代入解点P坐标
知点NAC点D点C必相似三角形应点
∽
点Ny轴右侧作轴
代入解
理点Ny轴左侧
代入解
∽
点Ny轴右侧代入解
点Ny轴左侧代入解
．
符合题意点N坐标4分．
点睛
题考查二次函数综合题解关键利定系数法解关键利行四边形判定出关m方程分类讨防遗漏解关键利相似三角形性质出N点横坐标分类讨防遗漏．
27．图面直角坐标系中二次函数图轴交两点轴交点点抛物线顶点点直线方抛物线动点．
（）二次函数表达式____________．
（）设直线解析式等式解集___________．
（）连结翻折四边形否存点四边形菱形？存请求出时点坐标存请说明理．
（）四边形面积时求出时点坐标四边形面积．
（）条件点直线方抛物线动点．改点抛物线动点条件变顶点四边形梯形时直接写出点坐标．
答案（1）（2）x≤0x≥3（3）（4）P（）时S四边形ABPC（5）点P坐标（－25）（2－3）（45）．
解析
试题分析：（1）直接设成顶点式出抛物线解析式
（2）先确定出点BC坐标根图象直接写出范围
（3）利菱形性质出POPC出点P坐标代入抛物线解析式出结
（4）先利坐标系中图形面积计算方法建立函数关系式求出面积值
（5）先求出直线BCBCCD解析式分三种情况利梯形性质组边行出直线DP1CP2BP3解析式分联立抛物线解析式建立方程组求解．
试题解析：解：（1）∵点D（1﹣4）抛物线yx2+bx+c顶点∴y（x﹣1）2﹣4x2﹣2x﹣3．答案yx2﹣2x﹣3
（2）令x0∴y﹣3∴C（0﹣3）令y0∴x2﹣2x﹣30∴x﹣1x3∴A（﹣10）B（30）∴等式x2+bx+c≥kx+m解集x＜0＞3．答案x＜0＞3
（3）图1．∵四边形POP′C菱形∴POPC．∵C（0﹣3）∴点P坐标﹣．∵P抛物线yx2﹣2x﹣3∴﹣x2﹣2x﹣3∴xx（舍）∴P（．﹣）
（4）图2（1）知B（30）C（0﹣3）∴直线BC解析式yx﹣3点P作PE∥y轴交BCE设P（mm2﹣2m﹣3）（0＜m＜3）
∴E（mm﹣3）∴PEm﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）﹣m2+3m．∵A（﹣10）B（30）C（0﹣3）∴S四边形ABPCS△ABC+S△PCE+S△PBEAB•OC+PE•|xP|+PE•|xB﹣xP|
AB•OC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）
6+×（﹣m2+3m）﹣（m﹣）2+
m时S四边形ABPC．
m时m2﹣2m﹣3∴P（）．
（5）图（1）知B（30）C（0﹣3）D（1﹣4）∴直线BC解析式yx﹣3直线BD解析式y2x﹣6直线CD解析式y﹣x﹣3．∵PCDB顶点四边形梯形．∵抛物线解析式yx2﹣2x﹣3①
①DP1∥BC时∴直线DP1解析式yx﹣5②联立①②解点P1（2﹣3）[点（1﹣4）点D重合舍]
②CP2∥BD时∴直线CP2解析式y2x﹣3③联立①③解点P2（45）
③BP3∥CD时∴直线BP3∥CD解析式y﹣x+3④联立①④解点P3（﹣25）．
综述：PCDB顶点四边形梯形时点P坐标（﹣25）（2﹣3）（45）．
点睛：题二次函数综合题考查定系数法求抛物线解析式规图形面积计算方法菱形性质梯形性质解答题关键方程方程组思想解决问题．
28．图已知二次函数图象顶点坐标A（14）坐标轴交BCD三点B点坐标（－10）．
（1）求二次函数解析式
（2）二次函数图象位x轴方部分两动点MN点N点M左侧MN作x轴垂线交x轴点GH两点四边形MNHG矩形时求该矩形周长值．
答案（1）y－（2）周长值10
分析
（1）设二次函数表达式：y＝a（x−1）2＋4点B坐标代入式求解
（2）设点M坐标（x−x2＋2x＋3）根称性点N（2−x−x2＋2x＋3）表示出矩形MNHG周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2求解．
详解
（1）设抛物线解析式y
B（－10）代入解析式：4a＋40
解a－1
∴y－－
（2）设点M坐标（x−x2＋2x＋3）
∵二次函数称轴x1
∴点N（2−x−x2＋2x＋3）
MN＝x−2＋x＝2x−2GM＝−x2＋2x＋3
矩形MNHG周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2
∵−2＜0x＝−＝2C值值10
该矩形周长值10．
点睛
考查二次函数解析式求法图形结合综合力培养．会利数形结合思想代数图形结合起利点坐标意义表示线段长度求出线段间关系．
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