决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题18创新型新定义综合问题
考点1综合探究类阅读理解问题
例1综合实践：
阅读理解：数学兴趣组探究求值思考讨交流思路：
图1作延长点连接
设
请解决列问题：
（1）类求解：求出值
（2）问题解决：图2某住宅楼面建筑物光线面夹角时住宅建筑物墙留高影子光线面夹角时住宅楼顶面影子墙角距离（条直线）求住宅楼高度（结果保留根号）
（3）探究发现：图3明硬纸片做两直角三角形中中斜边斜边重合起方移动移动程中两点始终边（移动开始时点点重合）探究移动程中否存某位置？果存直接写出长度果存请说明理
答案（1）（2）住宅楼高（3）存某位置长
分析
（1）图1需鉴思路思路二方法解决问题
（2）中设出中根列出关x方程求解
（3）中假设移动程中存某位置CFFE长
详解
（1）图延长点连接
中设
∴
∴
（2）图点作垂足
中设
∴
∴
∵中
∴
∵
∴
∴
答：住宅楼高
（3）存某位置理：
时∵
∴∠ECF∠CEF
∴CFEF
∵
∴∴
点睛
题考查学生综合运数学知识力解题方法唯学生采方法求解培养学生思维力
变式11图1角线互相垂直四边形做垂美四边形．
（1）概念理解：图2四边形ABCD中ABADCBCD问四边形ABCD垂美四边形？请说明理
（2）性质探究：图1四边形ABCD角线ACBD交点OAC⊥BD．
试证明：AB2+CD2AD2+BC2
（3）解决问题：图3分Rt△ACB直角边AC斜边AB边外作正方形ACFG正方形ABDE连结CEBGGE．已知AC4AB5求GE长．
答案（1）四边形ABCD垂美四边形．理见解析（2）见解析（3）GE．
解析（1）四边形ABCD垂美四边形．理：
∵ABAD∴点A线段BD垂直分线
∵CBCD∴点C线段BD垂直分线
∴直线AC线段BD垂直分线
∴AC⊥BD四边形ABCD垂美四边形
（2）图1
∵AC⊥BD∴∠AOD∠AOB∠BOC∠COD90°
勾股定理AB2+CD2AO2+BO2+DO2+CO2AD2+BC2
∴AD2+BC2AB2+CD2
（3）连接CGBE
∵∠CAG∠BAE90°
∴∠CAG+∠BAC∠BAE+∠BAC∠GAB∠CAE
△GAB△CAE中
∴△GAB≌△CAE（SAS）
∴∠ABG∠AEC∠AEC+∠AME90°
∴∠ABG+∠AME90°CE⊥BG
∴四边形CGEB垂美四边形
（2）CG2+BE2CB2+GE2
∵AC4AB5∴BC3CG4BE5
∴GE2CG2+BE2CB273∴GE．
名师点睛（1）根垂直分线判定定理证明（2）根垂直定义勾股定理解答
（3）根垂美四边形性质勾股定理结合（2）结计算．题考查正方形性质全等三角形判定性质垂直定义勾股定理应正确理解垂美四边形定义灵活运勾股定理解题关键．
变式12综合实践
正方形奇妙点性质探究
定义：图1正方形中直径作半圆圆心半径作半圆交点称点正方形奇妙点．奇妙点条线段正方形位置关系数量关系具少优美性质值探究．
性质探究：图2连接延长交点半圆切线．
证明：连接．
作图知
．
∴半圆切线．
问题解决：
（1）图3图2基础连接请判断数量关系说明理
（2）（1）条件请直接写出线段间数量关系
（3）图4已知点正方形奇妙点点中点连接延长交点连接延长交点请写出数量关系说明理
（4）图5已知点正方形四奇妙点．连接恰特殊赵爽弦图．请根图形探究直接写出全等图形面积间数量关系．
答案（1）理见解析（2）（3）理见解析（4）答案唯：面积等正方形面积正方形面积等正方形面积等．
分析
（1）先提出猜想图2面结基础根全等三角形性质四边形角邻补角性质出边边边定理证然利全等三角形性质等式性质证结
（2）（1）知根全等三角形性质线段差结
（3）先提出猜想添加辅助线构造出直角三角形（1）知正切值相等根正方形性质证结
（4）根前面结结合赵爽弦图证
提出猜想．
详解
解：（1）结：
理：
∵
∴
∴
∵
∴
中
∵
∴
∴
∵
∴
（2）∵（1）知
∴
∵
∴
∴线段间数量关系
（3）结：
理：连接图：
（1）知
∵
∴
∵点中点
∴
∴
∵四边形正方形
∴
∴
（4）延长交点连接图：
∵前面结知
∴
∵图赵爽弦图
∴
理
∵四边形正方形
∴
∴
∴中
∴
∴
∴
∴
∴答案唯例面积等正方形面积正方形面积等正方形面积等等．
点睛
题属新定义问题涉知识点全等三角形判定性质正方形性质直角三角形性质锐角三角函数邻补角性质顶角性质线段差等知识点考查创新力知识迁移力定难度．
考点2代数类新定义阅读理解型问题
例2阅读面材料：
定序排列着列数称数列数列中数做数列项．排第位数称第项记a1排第二位数称第二项记a2类推排第n位数称第n项记an．数列般形式写成：a1a2a3…an…般果数列第二项起项前项差等常数数列做等差数列常数做等差数列公差公差通常d表示．：数列1357…等差数列期中a1＝1a2＝3公差d＝2．根材料解答列问题：
（1）等差数列51015…公差d______第5项______．
（2）果数列a1a2a3…an…等差数列公差d根定义：a2﹣a1＝da3﹣a2＝da4﹣a3＝d…an﹣an﹣1＝d…．a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2da4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d……请填空完成等差数列通项公式：an＝a1+（______）d
（3）求﹣4039等差数列﹣5﹣7﹣9…第项？说明理．
答案（1）525（2）n﹣1（3）第2018项理见解析．
分析
（1）根题目中材料等差数列51015…公差d第5项值
（2）根题目中推导等差数列通项公式
（3）根题意题目中数利（2）中结等差数列﹣5﹣7﹣9…公差通项公式求﹣4039等差数列﹣5﹣7﹣9…第项
详解
解：（1）题意
d＝15﹣10＝5
第5项：15+5+5＝25
答案：525
（2）果数列a1a2a3…an…等差数列公差d根定义：
a2﹣a1＝da3﹣a2＝da4﹣a3＝d…an﹣an﹣1＝d…．
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d
……
请填空完成等差数列通项公式：an＝a1+（n﹣1）d
答案：n﹣1
（3）﹣4039等差数列﹣5﹣7﹣9…第2018项
理：等差数列﹣5﹣7﹣9…
∴d＝﹣7﹣（﹣5）＝﹣7+5＝﹣2
∴an＝﹣5+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n﹣3
令﹣2n﹣3＝﹣4039
解n＝2018
﹣4039等差数列﹣5﹣7﹣9…第2018项
点睛
题考查数计算规律解题关键读懂题意理解等差数列等差数列公差定义正确计算等差数列中公差数计算规律解决问题
变式21（2019•州）两位数十位位数字分mn两位数记易知10m+n理三位数四位数等均记法100a+10b+c．
基础训练
（1）解方程填空：
①+45x__________
②–26y__________
③+t__________
力提升
（2）交换意两位数位数字十位数字新数+定__________整–定__________整•–mn定__________整（请5整数中选择合适数填空）
探索发现
（3）北京时间2019年4月10日21时类拍摄首张黑洞片问世黑洞种引力极天体连光逃脱束缚．数学中存趣黑洞现象：选三位数求十百位数字相三位数三数字重新排列出数数出数减数新数（例选数325532–235297）新数述方式重新排列相减样运算干次定会重复出现数数称卡普雷卡尔黑洞数．
①该卡普雷卡尔黑洞数__________
②设选三位数（妨设a＞b＞c）试说明均产生该黑洞数．
答案（1）①2．②4．③7．（2）11910．
解析（1）①∵10m+n
∴+4510×2+x+10x+345
∴x2
答案：2．
②–2610×7+y–（10y+8）26
解y4
答案：4．
③100a+10b+c四位数类似公式
+100t+10×9+3+100×5+10t+81000×1+100×3+10t+1
∴100t700
∴t7
答案：7．
（2）∵+10m+n+10n+m11m+11n11（m+n）
∴+定11整
∵–10m+n–（10n+m）9m–9n9（m–n）
∴–定9整．
∵•–mn（10m+n）（10n+m）–mn100mn+10m2+10n2+mn–mn10（10mn+m2+n2）
∴•–mn定10整．
答案：11910．
（3）①选数325532–235297述规继续计算
972–279693
963–369594
954–459495
954–459495…
答案：495．
②选三位数时第次运算：100a+10b+c–（100c+10b+a）99（a–c）
结果99倍数a＞b＞ca≥b+1≥c+2
∴a–c≥29≥a＞c≥0
∴a–c≤9
∴a–c23456789
∴第次运算：198297396495594693792891
数字运算分：
981–189792972–279693963–369594954–459–495954–459495…
该黑洞数495．
名师点睛题较复杂新定义试题题目设置问题较解答方法异总体中等难度略．
变式22阅读列材料：明计算值 采方法：
设 ①
②
②①
∴
（1）
（2）
（3）求（ 正整数请写出计算程 ）
答案（1） （2） （3）n+1
解析
分析
（1）利题中方法设S1+2+22+…+29两边22S2+22+…+29然两式相减计算出S
（2）利题中方法设S1+3+32+33+34+…+310 两边33S3+32+33+34+35+…+311 然两式相减计算出S
（3）利（2）方法计算．
详解
（1）设S1+2+22+…+29①
2S2+22+…+210 ②
②①2SSS2101
∴S1+2+22+…+292101
答案2101
（2）设S3+3+32+33+34+…+310 ①
3S32+33+34+35+…+311 ②
②①2S3111
S
3+32+33+34+…+310
答案
（3）设S1+a+a2+a3+a4++an①
aSa+a2+a3+a4++an+an+1②
②①：（a1）San+11
a1时直接a1时原式等n+1
a等1时a1做分母S
1+a+a2+a3+a4++an
点睛
题考查规律型：数字变化类：认真观察仔细思考善联想利类方法解决类问题方法．
考点3函数类新定义综合型问题
例3已知函数函数定义新函数
（1）新函数
（2）新函数解析式
（3）设新函数顶点．
①值时值求出值
②求函数解析式
（4）请探究：函数新函数分定点函数顶点新函数存点点顶点四边形行四边形时直接写出值．
答案（1）（2）（3）①时②（4）
分析
（1）k2代入函数然新函数
（2）先求出新函数然较2函数利应位置系数相求
（3）①先k表示新函数定点出mnk关系式利配方法求n时k值
②已求mn关k关系式代入n中化简mn关系式
（4）先求出定点ABC图存3处D构成行四边形利行四边形特点求出点D坐标进出k值．
详解
（1）k2时
（2）
∵新函数解析式：
∴b－2(3－k)
解：k5b－12
（3）①新函数项点
时
新函数顶点绿坐标值值
②
代入
（4）∵点A定点坐标
x时y0
∴A(0)
∵点B新函数定点
x时y
∴点B()
∵点C定点
∴C(12)
∵四边形ABCD行四边形存图3种情况：
根行四边形性质易知：
图1中点D(1)
图2中点D(1)
图3中点D(2)
点D(1)时代入新函数
解：k
理
∴
点睛
题考查二次函数综合难点第（4）问解题关键先确定定点AB顶点C坐标根行四边形性质出点D坐标．
变式31特例感知
（1）图1抛物线列结正确序号_________
①抛物线点
②抛物线称轴抛物线称轴次左移单位
③抛物线直线交点中相邻两点间距离相等
形成概念
（2）满足（n正整数）抛物线称系列移抛物线
知识应
（2）中图2
①系列移抛物线顶点次…含n代数式表示顶点坐标写出该顶点坐标y横坐标x间关系式
②系列移抛物线存系列整数点（横坐标均整数点）：…横坐标分：…（k正整数）判断相邻两点间距离否相等相等直接写出相邻两点间距离相等说明理
③②中直线分交系列移抛物线点…连接判断否行？说明理
答案（1）①②③
（2）①．
②相邻两点间距离相等相邻两点距离．
③行直线斜率（例系数）n取值关(两直线行斜率会相等)
解析（1）①x0正确
②称轴分直线正确
③交点（点C）横坐标分–1–2–3距离1相等正确．
（2）①顶点
令顶点横坐标坐标
：顶点满足关系式
②相邻两点间距离相等．
理：根题意
∴CnCn–1两点间铅直高度．
CnCn–1两点间水距离．
∴勾股定理CnCn–12k2+1
∴CnCn–1
③行．
理：
根题意：
．
CnCn–1分作直线y1垂线垂足DE
D（–k–n1）E（–k–n+11）
Rt△DAnCn中
tan∠DAnCn
Rt△EAn–1Cn–1中
tan∠EAn–1Cn–1
∵≠
∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1
∴行．
变式31（2019•山东威海）（1）阅读理解
图点AB反例函数y图象连接AB取线段AB中点C．分点ACB作x轴垂线垂足EFGCF交反例函数y图象点D．点EFG横坐标分n﹣1nn+1（n>1）．
红通观察反例函数y图象运知识出结：
AE+BG2CFCF>DF
出关间数量关系命题：
n>1__________．
（2）证明命题
东认：通a﹣b≥0a≥b思路证明述命题．
晴认：通a>0b>0a÷b≥1a≥b思路证明述命题．
请选择种方法证明（1）中命题．
解析（1）∵AE+BG2CFCF>DFAEBGDF
∴+>．答案：+>．
（2）方法：∵+﹣
∵n>1∴n（n﹣1）（n+1）>0
∴+﹣>0∴+>．
方法二：∵>1∴+>．
名师点睛题考查反例函数图形点坐标特征反例函数图象等知识解题关键理解题意灵活运学知识解决问题．
变式32定义种新运算：a⊕b＝
（1）请写出函数y＝x⊕1解析式面直角坐标系中画出该函数图象
（2）观察（1）中图象探究y值 ．
答案（1）y＝图象见解析 （2）0．
解析
分析
（1）根新运算y 分讨x＜00≤x≤1时绝值符号函数yx⊕1解析式面直角坐标系中画出该函数图象答案
（2）观察（1）中图象x0时y值答案．
详解
解：（1）根题意：
y＝
x＜0时|x|＝﹣x
0≤x≤1时|x|＝x
y＝
该函数图象图示：
（2）图象知：x＝0时y值0．
答案：（1）图象见解析（2）0．
点睛
题考查函数图象次函数图象解题关键正确观察函数图象．
考点4变换操作类阅读型问题
例4类等腰三角形定义定义：组邻边相等凸四边形做等邻边四边形．
（1） 概念理解：
图1四边形中添加条件四边形等邻边四边形请写出添加条件： ．
（2） 问题探究：
图2红画中分线方移连结．红移四边形等邻边四边形应移少距离（线段长）？
（3） 应拓展：
图3等邻边四边形中角线．试探究数量关系．
答案（1）DAAB（答案唯）（2）应移2距离（3）BC2+CD22BD2．
解析
试题分析：（1）等邻边四边形定义易出结
（2）①先利行四边形判定定理行四边形利等邻边四边形定义邻边相等出结
②移性质易BB′AA′A′B′∥ABA′B′AB2B′C′BC1A′C′AC利等邻边四边形定义分类讨勾股定理出结
（3）旋转性质△ABF≌△ADC全等性质∠ABF∠ADC∠BAF∠DACAFACFBCD利相似三角形判定△ACF∽△ABD相似性质四边形角∠CBF90°利勾股定理等量代换出结．
解：（1）ABBCBCCDCDADADAB（写）
（2）①正确理：
∵四边形角线互相分∴四边形行四边形
∵四边形等邻边四边形∴四边形组邻边相等
∴等邻边四边形菱形
②∵∠ABC90°AB2BC1
∴AC
∵Rt△ABC移△A′B′C′
∴BB′AA′A′B′∥ABA′B′AB2B′C′BC1A′C′AC
（I）图1AA′AB时BB′AA′AB2
（II）图2AA′A′C′时BB′AA′A′C′
（III）A′C′BC′时
图3延长C′B′交AB点DC′B′⊥AB
∵BB′分∠ABC
∴∠ABB′∠ABC45°
∴∠BB′D′∠ABB′45°
∴B′DB
设B′DBDx
C′Dx+1BB′x
∵Rt△BC′D中BD2+（C′D）2（BC′）2
∴x2+（x+1）2（）2
解：x11x2﹣2（合题意舍）
∴BB′x
（Ⅳ）BC′AB2时图4（Ⅲ）方法理：BD2+（C′D）2（BC′）2
设B′DBDx
x2+（x+1）222
解：x1x2（合题意舍）
∴BB′x
（3）BCCDBD数量关系：BC2+CD22BD2图5
∵ABAD
∴△ADC绕点A旋转△ABF连接CF
∴△ABF≌△ADC
∴∠ABF∠ADC∠BAF∠DACAFACFBCD
∴∠BAD∠CAF1
∴△ACF∽△ABD
∴∴BD
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC360°
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）360°﹣90°270°
∴∠ABC+∠ABF270°
∴∠CBF90°
∴BC2+FB2CF2（BD）22BD2
∴BC2+CD22BD2．
考点：1．阅读理解题2．移旋转图形变换性质3．三角形全等相似判定性质4．勾股定理运．
变式41出定义：四边形中存相邻两边方等条角线方称四边形勾股四边形两条相邻边称四边形勾股边
(1)写出学特殊四边形中勾股四边形两种图形名称
(2)图1已知格点（正方形顶点）O(00)A(30)B(04)点C 图中方格中格点四边形OACB OA OB 勾股边角线相等勾股四边形求点C 坐标
(3)图2DABC（ BC > AB ）绕顶点 B 时针方旋转60°DDBE 连接 AD DC 四边形 ABCD 勾股四边形中DC BC 勾股边求ÐDCB 度数
答案（1）矩形正方形（答案唯）（2）C（34）（43）（3）∠DCB30°
解析
分析
（1）根矩形正方形性质答案
（2）利勾股定理AB5然格点中找满足OC5点
（3）连接CE根旋转性质△ABC≌△DBEBCBE∠CBE60°△BCE等边三角形BCCE∠BCE60°根勾股四边形定义勾股定理逆定理∠DCE90°∠DCB度数
详解
解：（1）矩形正方形（答案唯）
（2）
C点坐标图：（34）（43）
（3）连接CE
旋转性质：△ABC≌△DBEBCBEACBD
∵∠CBE60°
∴△BCE等边三角形
∴BCCE∠BCE60°
∵四边形ABCD勾股四边形中DCBC勾股边
∴
∴
∴∠DCE90°
∴∠BCD∠DCE﹣∠BCE90°﹣60°30°
点睛
题考查勾股定理逆定理全等三角形旋转等边三角形判定等解题关键准确理解题中勾股四边形定义利勾股定理逆定理进行证明计算
变式42根相似边形定义四角分相等四条边成例两凸四边形做相似四边形．相似四边形应边做相似．
（1）某学探究相似四边形判定时三命题请判断否正确（直接横线填写真假）．
①四条边成例两凸四边形相似（__________命题）
②三角分相等两凸四边形相似（__________命题）
③两正方形相似．（__________命题）
（2）图1四边形ABCD四边形A1B1C1D1中∠ABC∠A1B1C1∠BCD∠B1C1D1．求证：四边形ABCD四边形A1B1C1D1相似．
（3）图2四边形ABCD中AB∥CDACBD相交点O点O作EF∥AB分交ADBC点EF．记四边形ABFE面积S1四边形EFCD面积S2四边形ABFE四边形EFCD相似求值．
解析（1）①四条边成例两凸四边形相似假命题角定相等．
②三角分相等两凸四边形相似假命题边定成例．
③两正方形相似．真命题．
答案假假真．
（2）图1中连接BDB1D1．
∵∠BCD∠B1C1D1
∴△BCD∽△B1C1D1∴∠CDB∠C1D1B1∠C1B1D1∠CBD
∵∴
∵∠ABC∠A1B1C1∴∠ABD∠A1B1D1∴△ABD∽△A1B1D1
∴∠A∠A1∠ADB∠A1D1B1
∴∠ADC∠A1D1C1∠A∠A1∠ABC∠A1B1C1∠BCD∠B1C1D1
∴四边形ABCD四边形A1B1C1D1相似．
（3）图2中
∵四边形ABCD四边形EFCD相似∴
∵EFOE+OF∴
∵EF∥AB∥CD∴
∴++∴
∵ADDE+AE∴
∴2AEDE+AE∴AEDE
∴1．
名师点睛题属相似形综合题考查相似三角形判定性质相似边形判定性质等知识解题关键学会转化思想思考问题属中考压轴题．
1．阅读理解：已知两点线段中点坐标公式：．图已知点坐标原点点点点弦中点．点满足等式：．设满足等式（ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析
分析
根中点坐标公式求点坐标然代入满足等式进行求解
详解
∵点点点弦中点
∴
∴
满足等式：
∴
选D．
点睛
题考查坐标图形性质解题关键理解中点坐标公式．
2．阅读理解：解方程．解：（1）时原方程化解（合题意舍）（2）时原方程化解（舍）∴原方程解．方程解（ ）
A． B． C． D．
答案B
分析
根绝值定义x≥1时方程x2x+110求出方程解x＜1时方程x2+x110求出方程解求出答案．
详解
x≥1时方程x2x+110
∴x10（舍）x21
x＜1时方程x2+x110
∴x12x21（舍）
∴方程解x12x21．
选：B．
点睛
题考查绝值解元二次方程等知识点理解掌握正确绝值符号解题关键．
3．阅读理解：实数符号称阶行列式规定：例：二元次方程组解利阶行列式表示：中问题：面方法解二元次方程组时面说法错误（ ）
A． B． C． D．方程组解
答案C
解析
分析根阅读材料中提供方法逐项进行计算
详解AD2×（2）3×1﹣7A选项正确符合题意
BDx﹣2﹣1×12﹣14B选项正确符合题意
CDy2×12﹣1×321C选项正确符合题意
D方程组解：x2y﹣3D选项正确符合题意
选C．
点睛题考查阅读理解型问题考查2×2阶行列式方程组解关系读懂题意根材料中提供方法进行解答关键
4．正偶数规律进行分组排列次（2）（46）（81012）（14161820）…称4第2组第1数字16第4组第2数字2020第m组第n数字m+n＝_____．
答案65
分析
根题目中数字特点知组数次增组中数字连续偶数然求出2020少组第少数mn值然m+n值．
详解
解：∵正偶数规律进行分组排列次（2）（46）（81012）（14161820）…
∴第m组m连续偶数
∵2020＝2×1010
∴2020第1010偶数
∵1+2+3+…+44＝＝9901+2+3+…+45＝＝1035
∴2020第45组第1010－990＝20数
∴m＝45n＝20
∴m+n＝65．
答案：65．
点睛
题考查探索规律认真观察数总结出规律解题关键．
5．观察列式：
请利发现规律计算：
结果____．
答案．
分析
根题意找出规律根二次根式性质计算．
详解
答案．
点睛
题考查二次根式化简数字变化规律掌握二次根式性质解题关键．
6．右表称杨辉三角贾宪三角．规律：第三行起行两端数1余数等该数两肩数．表中两行线间列数：1361015……第数记第二数记第三数记……第数记_________．
答案20110
分析
根数关系式代入求值．
详解
已知数1361015……
∴
∴．
答案20110．
点睛
题考查数字规律题知识点找出关系式解题关键．
7．阅读理解：意正实数ab∵（）2≥0∴a2∴a+b≥2仅ab时等号成立．
结：a+b（ab均正实数）中ab定值Pa+b
仅ab时a+b值．
根述容回答列问题：
（1）x＞0x 时4x+值 ．
（2）探索应：图已知A（20）B（03）点P双曲线y（x＞0）意点点P作PC⊥x轴点CPD⊥y轴点D求四边形ABCD面积值说明时四边形ABCD形状．
（3）已知x＞0变量x值时函数y取值值少？
答案（1）12（2）值12四边形ABCD菱形（3）．
解析
试题分析：（1）直接利a+b≥2仅ab时等号成立求解求答案
（2）首先设P（x）C（x0）D（0）S四边形ABCDAC•BD（x+2）（+3）然利a+b≥2仅ab时等号成立求解求答案
（3）首先原式变形y继求答案．
试题解析：（1）∵4x+≥2×12仅4x时等号成立
∵x＞0
∴x
∴x＞0x时4x+值12
（2）设P（x）C（x0）D（0）
∴BD+3ACx+2
∴S四边形ABCDAC•BD（x+2）（+3）6+x+≥6+212
仅xx2时四边形ABCD面积值12
∴OBOD3OAOC2
∴四边形ABCD行四边形
∵AC⊥BD
∴四边形ABCD菱形
（3）∵x＞0
∴y≤
仅xx4时函数y取值值：．
考点：反例函数综合题．
8．阅读理解：十字相法分解式方法
（1）二次项系数
（2）常数项验算：交叉相
（3）发现第③交叉相结果等次项系数1样通十字交叉线帮助二次三项式分解式方法做十字相法仿方法分解式： ．
答案（x+3）（3x﹣4）．
解析
试题分析：3x2+5x﹣12（x+3）（3x﹣4）．
考点：式分解﹣十字相法．
9．阅读理解题．
定义：果四边形某条角线分组角条角线做美妙线该四边形做美妙四边形．
图四边形ABDC中角线BC分∠ACD∠ABD角线BC美妙线四边形ABDC称美妙四边形．
问题：
（1）列四边形：行四边形矩形菱形正方形中美妙四边形
（2）四边形ABCD美妙四边形AB∠BAD60°∠ABC90°求四边形ABCD面积．（画出图形写出解答程）
答案（1）2 （2）．
分析
（1）四边形性质知：菱形正方形条角线分组角结合美妙四边形定义确定
（2）分ACBD美妙线两种情况先证明△ABC≌△ADCS四边形ABCD2S△ABC代入．
详解
解：（1）∵菱形正方形条角线分组角
∴菱形正方形美妙四边形
答案2
(2) ① AC美妙线时图：
易
②BD美妙线图：作DE⊥AB点E
设AExDExBEx
∴
∴
∴
综四边形面积．
点睛
题考查四边形综合题考查菱形正方形性质含30度角直角三角形性质新定义：美妙四边形美妙线等知识运分类讨思想解决数学问题解答题关键．
10．（阅读）图1点直线称旋转相似三角形．
（理解）（1）图2等边三角形点边连接．求证：旋转相似三角形．
（应）（2）图3旋转相似三角形．求证：．
（拓展）（3）图4四边形角线．试边确定点四边形矩形说明理．
答案（1）见解析（2）见解析（3）见解析
分析
（1）根等边三角形利点直线判断旋转相似三角形
（2）根旋转相似三角形易证根．利易证
（3）点作垂足连接易证求．设方程解根利勾股定理直角三角形证四边形矩形．
详解
（1）证明：等边三角形
∴
∴
∴
∵点直线
∴旋转相似三角形．
（2）证明：∵旋转相似三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ．
∵
∴
∴ ．
∵
∴．
∵
∴
∴．
（3）解：图点作垂足连接．
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
∵
∴
∴．
设
中
解
∴．
∴直角三角形．
∴四边形矩形．
点睛
题考查相似三角形判定性质全等判定性质矩形判定勾股定理应解方程等知识点熟悉相关性质解题关键
11．（阅读理解）
意正实数∵
∴
∴时等号成立．
（数学认识）
（均正实数）中定值时值．
（解决问题）
（1）时_____________时值_____________
（2）图已知点反例函数图点反例函数图轴点作轴点点作轴点．求四边形周长值．
答案（1）12（2）8
解析
分析
(1)根题意利完全方式求解
(2)根反例函数解析式设出AB坐标然表示出周长根面知识求解
详解
解：（1）12．
（2）解：设
∴四边形周长
．
∴四边形周长值8．
点睛
题属反例函数综合题考查等式应理解 (a b均正实数)中ab定值kab时a+b值关键
12．（阅读）图1四边形OABC中OAaOC3BC2
∠AOC∠BCO90°点O直线l四边形分成两部分直线lOC成角设θ四边形OABC直角∠OCB直线l折叠点C落点D处操作程记FZ[θa]．
（理解）
点D点A重合操作程FZ[45°3]
（尝试）
（1）点D恰AB中点（图2）求θ
（2）FZ[45°a]操作点B落点E处点E四边形OABC边AB求出a值点E落四边形OABC外部直接写出a取值范围．
答案（1）θ 30°（2）0＜a＜5时点E落四边形0ABC外部．
分析
（1）先根ASA定理出△BCD≌△AFD出CDFD点DRt△COF斜边CF中点折叠知ODOCODOCCD△OCD等边三角形∠COD60°根等边三角形三线合性质出结（2）根点E四边形0ABC边AB知AB⊥直线l根折叠知ODOC3DEBC2．θ45°AB⊥直线l出△ADE等腰直角三角形出OA长出结．
详解
（1）连接CD延长交OA延长线点F．
△BCD△AFD中
∴△BCD≌△AFD（ASA）．
∴CDFD点DRt△COF斜边CF中点
∴ODCFCD．
折叠知ODOC
∴ODOCCD
∴△OCD等边三角形∠COD60°
∴θ∠COD30°
（2）∵点E四边形OABC边AB
∴AB⊥直线l
折叠知ODOC3DEBC2．
∵θ45°AB⊥直线l
∴△ADE等腰直角三角形
∴ADDE2
∴OAOD+AD3+25
∴a5
图知0＜a＜5时点E落四边形0ABC外部．
点睛
题考查变换综合题熟知全等三角形判定性质等腰直角三角形性质等边三角形性质等知识解答题关键．
13．（1）阅读理解
利旋转变换解决数学问题种常方法图点等边三角形点求度数
利已知条件妨绕点时针旋转连接长_______中易证度数________综度数_______
（2）类迁移
图点等腰点求度数
（3）拓展应
图四边形中请直接写出长
答案（1）2 30°90°（2）90°（3）2
解析
分析
（1）旋转性质等边三角形判定知△CP′P等边三角形等边三角形性质知∠CP′P60°根勾股定理逆定理△AP′P直角三角形继答案．
（2）图2△BPC绕点C时针旋转90°△AP＇C连接PP′理△CP′P等腰直角三角形△AP′P等腰直角三角形∠APC90°
（3）图3△ABD绕点A逆时针旋转△ACG连接DG．BDCG根勾股定理求CG长BD长．
详解
（1）△BPC绕点C时针旋转60°△AP＇C连接PP′（图1）．
旋转性质知△CP′P等边三角形
∴P′APB∠CP′P60°P′PPC2
△AP′P中∵AP2+P′A212+（）24PP′2
∴△AP′P直角三角形
∴∠P′AP90°．
∵PAPC
∴∠AP′P30°
∴∠BPC∠CP′A∠CP′P+∠AP′P60°+30°90°．
（2）图2△BPC绕点C时针旋转90°△AP＇C连接PP′．
旋转性质知△CP′P等腰直角三角形
∴P′CPC1∠CPP′45°P′PPBAP＇
△AP′P中∵AP＇2+P′P2（）2+（）24AP2
∴△AP′P等腰直角三角形
∴∠AP′P90°．
∴∠APP＇45°
∴∠APC∠APP＇+∠CPP＇45°+45°90°
（3）图3
∵ABAC
△ABD绕点A逆时针旋转△ACG连接DG．BDCG
∵∠BAD∠CAG
∴∠BAC∠DAG
∵ABACADAG
∴∠ABC∠ACB∠ADG∠AGD
∴△ABC∽△ADG
∵AD2AB
∴DG2BC10
A作AE⊥BCE
∵∠BAE+∠ABC90°∠BAE∠ADC
∴∠ADG+∠ADC90°
∴∠GDC90°
∴CG
∴BDCG2．
点睛
题四边形综合题考查等腰直角三角形判定性质三角形全等性质判定等腰三角形性质勾股定理相似三角形判定性质旋转性质等知识解题关键学会旋转法添加辅助线构造全等三角形相似三角形解决问题
14．定义：组角互余四边形做余四边形．
理解：
（1）四边形余四边形度数______
证明：
（2）图1直径点相交点D．
求证：四边形余四边形
探究：
（3）图2余四边形中探究线段间样数量关系？写出猜想说明理．
答案（1）90°270°（2）见解析（3）理见解析
分析
（1）分∠A∠C互余时∠B∠D互余时两种情况求解
（2）连接BO∠BON+∠BOM180°利圆周角定理证明∠C+∠A90°
（3）作△ABD外接圆O分延长ACBCDC交圆OEFG连接DFDEEF先证明GF圆O直径证明△ABC∽△FEC△ACD∽△GCE△BCD∽△GCF出根△ABC等边三角形ABACBC
详解
解：（1）∵四边形余四边形
∠A∠C互余时
∠A+∠C90°
∠B∠D互余时
∠B+∠D90°
∠A+∠C360°90°270°
答案：90°270°
（2）图连接BO
：∠BON2∠C∠BOM2∠A
∠BON+∠BOM180°
∴2∠C+2∠A180°
∴∠C+∠A90°
∴四边形余四边形
（3）∵四边形ABCD四边形∠ABC60°
∴∠ADC30°
图作△ABD外接圆O分延长ACBCDC交圆OEFG连接DFDEEF
∠AEF∠ABC60°∠AEG∠ADG30°
∴∠AEF+∠AEG90°∠FEG90°
∴GF圆O直径
∵ABBC
∴△ABC等边三角形
∵∠ABC∠AEF∠ACB∠ECF
∴△ABC∽△FEC：
理△ACD∽△GCE：
△BCD∽△GCF：
：
∴
∴
∴
∵ABBCAC
∴
点睛
题考查相似三角形判定性质四边形新定义问题圆周角定理等边三角形判定性质边形角解题关键理解余四边形概念结合学知识求证
15．阅读理解：
图①果四边形ABCD满足ABADCBCD∠B∠D90°样四边形做完美筝形．
张图①示完美筝形纸片ABCD先折叠成图②示形状展开图③中CECF折痕∠BCE∠ECF∠FCD点B′点B应点点D′点D应点连接EB′FD′相交点O．
简单应：
（1）行四边形矩形菱形正方形四种图形中定完美筝形
（2）图③中∠BCD120°时∠AEB′ °
（3）图②中四边形AECF菱形时应图③中完美筝形 （包含四边形ABCD）．
拓展提升：
（4）图③中∠BCD90°时连接AB′请探求∠AB′E度数说明理．
答案（1）正方形（2）80（3）5（4）45°．
解析
试题分析：（1）结合行四边形矩形菱形正方形性质完美筝形定义出结
（2）先证∠AEB′∠BCB′算出∠BCE∠ECF40°出结果
（3）折叠性质出BEB′EBCB′C∠B∠CB′E90°CDCD′FDFD′∠D∠CD′F90°出四边形EBCB′四边形FDCD′完美筝形题意出∠OD′E∠OB′F90°CD′CB′菱形性质出AEAFCECF证明△OED′≌△OFB′出OD′OB′OEOF证出∠AEB′∠AFD′90°出四边形CD′OB′四边形AEOF完美筝形出结
（4）图③中∠BCD90°时四边形ABCD正方形证明AEB′F四点圆圆周角定理∠AB′E度数．
试题解析：（1）①∵四边形ABCD行四边形∴ABCDADBC∠A∠C≠90°∠B∠D≠90°∴AB≠ADBC≠CD∴行四边形定完美筝形
②∵四边形ABCD矩形∴∠A∠B∠C∠D90°ABCDADBC∴AB≠ADBC≠CD∴矩形定完美筝形
③∵四边形ABCD菱形∴ABBCCDAD∠A∠C≠90°∠B∠D≠90°∴菱形定完美筝形
④∵四边形ABCD正方形∴∠A∠B∠C∠D90°ABBCCDAD∴正方形定完美筝形
∴行四边形矩形菱形正方形四种图形中定完美筝形正方形答案正方形
（2）根题意：∠B′∠B90°∴四边形CBEB′中∠BEB′+∠BCB′180°∵∠AEB′+∠BEB′180°∴∠AEB′∠BCB′∵∠BCE∠ECF∠FCD∠BCD120°∴∠BCE∠ECF40°∴∠AEB′∠BCB′40°+40°80°答案80
（3）图②中四边形AECF菱形时应图③中完美筝形5理
根题意：BEB′EBCB′C∠B∠CB′E90°CDCD′FDFD′∠D∠CD′F90°∴四边形EBCB′四边形FDCD′完美筝形
∵四边形ABCD完美筝形∴ABADCBCD∠B∠D90°∴CD′CB′∠CD′O∠CB′O90°∴∠OD′E∠OB′F90°∵四边形AECF菱形∴AEAFCECFAE∥CFAF∥CE∴D′EB′F∠AEB′∠CB′E90°∠AFD′∠CD′F90°△OED′△OFB′中∵∠OD′E∠OB′F∠EOD′∠FOB′D′EB′F∴△OED′≌△OFB′（AAS）∴OD′OB′OEOF∴四边形CD′OB′四边形AEOF完美筝形
∴包含四边形ABCD应图③中完美筝形5答案5
（4）图③中∠BCD90°时图示：四边形ABCD正方形∴∠A90°∵∠EB′F90°∴∠A+∠EB′F180°∴AEB′F四点圆∵AEAF∴∴∠AB′E∠AB′F∠EB′F45°．
考点：1．四边形综合题2．新定义3．阅读型4．探究型5．压轴题．
16．阅读理解：图四边形边取点（点重合）分连接四边形分成三三角形果中两三角形相似做四边形边相似点：果三三角形相似做四边形边强相似点．解决问题：
图试判断点否四边形边相似点说明理
图矩形中四点均正方形网格（网格中正方形边长）格点（正方形顶点）试图②中画出矩形边强相似点
图矩形折叠点落边点处点恰四边形边强相似点试探究数量关系．
答案点四边形边相似点 见解析 ．
解析
分析
（1）根∠ADF∠BEC∠A∠B求出△ADE∽△BEC出点E四边形ABCD边AB相似点
（2）△ADE直角三角形△ECD直角三角形点ECD直径圆边AB交点
（3）点E四边形ABCD边AB强相似点出三三角形相似根相似三角线应线段成例判断BEAB关系通相似三角形全等三角形出∠BCE ∠BCD30°利特殊角三角函数BEBC关系ABBC关系．
详解
∵
∴
∴
∵
∴
∴点四边形边相似点
图中示点点强相似点
∵点四边形边强相似点
∴
∴
折叠知：
∴
∴
中
∴
∴．
点睛
题三角形综合题考查相似三角形应全等三角形应掌握知识点解题关键．
17．（1）阅读理解：
图①中求边中线取值范围．
方法：绕着点逆时针旋转中利三角形三边关系判断中线取值范围______
（2）问题解决：
图②中边中点点交点交点连接求证：
（3）问题拓展：
图③四边形中顶点作角角两边分交两点连接探索线段间数量关系说明理．
答案（1）（2）见详解（3）理见详解
分析
（1）根旋转性质证明中根三角形三边关系出答案
（2）延长FDMDFDM连接BMEM出根垂直分线性质出利三角形三边关系出结
（3）延长ABNBNDF连接CN证明出利角差关系推出证明出出结．
详解
解：（1）∵
∴
∴
中根三角形三边关系出：
∴
答案：
（2）延长FDMDFDM连接BMEM
（1）出
∵
∴
中
∴
（3）理：
延长ABNBNDF连接CN
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴（SAS）
∴
∴
∴．
点睛
题考查知识点旋转性质全等三角形判定性质线段垂直分线性质三角形三边关系角差等解答题关键作出辅助线构造出图①中结构相关图形．题结构精巧考查范围广综合性强．
18．阅读列材料：
定义：四边形条角线四边形分成两等腰三角形称条角线四边形谐线四边形做谐四边形 正方形谐四边形
结合阅读材料完成列问题：
（1） 列四边形定谐四边形（ ）
A行四边形 B矩形 C菱形 D等腰梯形
（2）四边形ABCD中ABADBC∠BAD90°AC四边形ABCD谐线请直接写出∠BCD度数
答案（1）C(2) 135°90°45°
解析
试题分析：(1)根谐四边形定义知：菱形谐四边形
（2）首先根题意画出图形然AC四边形ABCD谐线出△ACD等腰三角形图1图2图3三种情况运等边三角形性质正方形性质30°直角三角形性质求出∠BCD度数．
试题解析：∵AC四边形ABCD谐线
∴△ACD等腰三角形．
∵ABADBC
图1ADAC时
∴ABACBC∠ACD∠ADC
∴△ABC正三角形
∴∠BAC∠BCA60°．
∵∠BAD90°
∴∠CAD30°
∴∠ACD∠ADC75°
∴∠BCD60°+75°135°．
图2ADCD时
∴ABADBCCD．
∵∠BAD90°
∴四边形ABCD正方形
∴∠BCD90°
图3ACCD时点C作CE⊥ADE点B作BF⊥CEF
∵ACCD．CE⊥AD
∴AEAD∠ACE∠DCE．
∵∠BAD∠AEF∠BFE90°
∴四边形ABFE矩形．
∴BFAE．
∵ABADBC
∴BFBC
∴∠BCF30°．
∵ABBC
∴∠ACB∠BAC．
∵AB∥CE
∴∠BAC∠ACE
∴∠ACB∠ACE∠BCF15°
∴∠BCD15°×345°．
综：∠BCD度数：135°90°45°
考点：等腰三角形性质．
19．类等腰三角形定义定义：组邻边相等凸四边形做等邻边四边形．
概念理解：
图四边形中添加条件四边形等邻边四边形．请写出添加条件添加条件________．
问题探究：
图等邻边四边形中求角线长．
拓展应：
图等邻边四边形中角线试探究数量关系．
答案（1）．（2）（3）
分析
（1）根定义知：需组邻边相等．
（2）ABAD∠BAD60°知△ABD等边三角形∠ABC∠ADC90°知CBCDAC垂直分BD然利直角三角形相关性质分计算出AOOC长度．
（3）∠BAD+∠BCD90°考虑构造直角三角形该直角三角形三边长度分ACBCCD长度然利勾股定理出AC2BC2+CD2
详解
（1）根定义：ABBC．
（2）连接ACBD交点O图
∵ABAD∠BAD60°
∴△ABD等边三角形
∴∠ABD∠ADB60°
∵∠ABC∠ADC90°
∴∠CBD∠CDB30°
∴CBCD
∴AC垂直分BD
∴
∴
Rt△BOC中
∴OC
∴ACAO+OC4
（3）点C作CE⊥BC点CCECD
∵∠BAD+∠BCD90°
∴∠DCE60°
∴△CDE等边三角形
∴DECD∠EDC60°
∵ABAD∠DAB60°
∴△ABD等边三角形
∴ADBD∠ADB60°
△ADC△BDE中
∴△ADC≌△BDE（SAS）
∴ACBE
∵∠BCE90°
∴BE2BC2+CE2
AC2BC2+CD2
点睛
题三角形综合题考查新定义等邻边四边形理解新定义利构造直角三角形然利等边三角形性质勾股定理全等三角形判定性质出结．新定义理解解题关键．
20．阅读列材料：
定义：四边形条角线四边形分成两等腰三角形条角线四边形谐线四边形做谐四边形．正方形谐四边形．结合阅读材料完成列问题：
（1）列四边形定谐四边形 ．
A．行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命题：谐四边形定轴称图形 命题（填真假）．
（3）图等腰Rt△ABD中∠BAD＝90°．点C面点AC凸四边形ABCD谐线AB＝BC请求出∠ABC度数．
答案（1） C （2）假（3）∠ABC度数60°90°150°
分析
（1）谐四边形定义菱形谐四边形
（2）谐四边形定轴称图形举出反例
（3）首先根题意画出图形然AC四边形ABCD谐线出△ACD等腰三角形图1图2图3三种情况运等边三角形性质正方形性质30°直角三角形性质求出∠ABC度数．
详解
（1）根谐四边形定义行四边形矩形等腰梯形角线四边形分成两等腰三角形菱形条角线四边形分成两等腰三角形够．
选C
（2）谐四边形定轴称图形图示：
∠C45°直角梯形ABCD谐四边形轴称图形
答案：假
（3）∵AC四边形ABCD谐线ABBC
∴△ACD等腰三角形
∵等腰Rt△ABD中ABAD
∴ABADBC
①图1ADAC时
∴ABACBC∠ACD∠ADC
∴△ABC正三角形
∴∠ABC60°
②图2DADC时
∴ABADBCCD．
∵∠BAD90°
∴四边形ABCD正方形
∴∠ABC90°
③图3CACD时点C作CE⊥ADE点B作BF⊥CEF
∵ACCDCE⊥AD
∴AEED∠ACE∠DCE．
∵∠BAD∠AEF∠BFE90°
∴四边形ABFE矩形
∴BFAE．
∵ABADBC
∴BFBC
∴∠BCF30°．
∵ABBC
∴∠ACB∠BAC．
∵AB∥CE
∴∠BAC∠ACE
∴∠ACB∠BAC∠BCF15°
∴∠ABC150°．
点睛
题考查等腰直角三角形性质等腰三角形性质矩形性质正方形性质菱形性质题难度较解题关键掌握数形结合思想分类讨思想应．
21．阅读理解：
折纸常常证明命题提供思路方法．例△ABC中AB＞AC（图）样证明∠C＞∠B呢？
分析：AC∠A角分线AD翻折AB＞AC点C落AB点处操作易证明≌>∠B∠C>∠B．
感悟应：
（1）图（a）△ABC中∠ACB90°∠B30°CD分∠ACB试判断ACADBC间数量关系说明理
（2）图（b）四边形ABCD中AC分∠BADAC16AD8DCBC12
① 求证：∠B+∠D180°
② 求AB长．
答案（1）BCACAD（2）①见解析②14
解析
分析
（1）CB截取CECA连接DE．证△ACD≌△ECDDEAD∠A∠CED60°进步∠CED2∠CBA外角性质∠CBA∠BDE等角等边DEBE结．
（2）①AB截取AEAD连接EC．易证△CDA≌△CEA∠CEA∠DCECD．等量代换BCCE等边等角∠B∠CEB．邻补角性质结
②C作CF⊥ABF．设FBxCFh．等腰三角形三线合FEBFx．Rt△BFCRt△FCA中分利勾股定理列方程求解．
详解
（1）BCACAD．理：
图CB截取CECA连接DE．
∵CD分∠ACB理证△ACD≌△ECD∴DEAD∠A∠CED60°．
∵∠ACB90°∴∠CBA30°∴∠CED2∠CBA．
∵∠CED∠CBA+∠BDE∴∠CBA∠BDE∴DEBE∴ADBE．
∵BEBCCEBCAC∴BCACAD．
（2）①AB截取AEAD连接EC．
∵AC分∠DAB∴∠EAC∠DAC．△CDA△CEA中∵EADA∠EAC∠DACACAC∴△CEA≌△CDA∴∠CEA∠DCECD．
∵DCBC∴BCCE∴∠B∠CEB．
∵∠CEA+∠CEB180°∴∠B+∠D180°
②C作CF⊥ABF．设FBxCFh．
∵CBCECF⊥BE∴FEBFx．Rt△BFC中∵BF2+CF2BC2∴①Rt△FCA中②解方程组①②：x3．∴ABBF+FE+EA2×3+814．
点睛
题考查等腰三角形判定性质角分线性质全等三角形判定性质等知识点难度适中．证明线段差关系等式时采截长补短法截长长条线段分二中条等两条短线段中条样需证明剩两条线段应相等补短两条短线段拼接起形条长线段然需证明两条长线段相等．截长补短体现分合思维终效果致．
22．图①梯形ABCD中DC∥ABDE⊥AB点E．
阅读理解：
图①中延长梯形ABCD两腰ADBC交点P点D作DF∥CB交AB点F图②四边形BCDF面积△ADF面积△PDC面积．
（1）图②中DC2AB8DE3S S1______S2
（2）图②中__________写出理
（3）图③□DEFC四顶点△PAB三边△PDC△ADE△CFB面积分235试利（2）中结求△PAB面积．
答案（1）S19S21（2）4（3）18
分析
（1）先判定四边形BCDF行四边形然利行四边形面积公式求出S根行四边形边相等先求出BF长度求出AF长度然利三角形面积公式求出S1先利相似三角形应高等应边求出△PDCDC边高然利三角形面积公式求解
（2）（1）中数字换成字母先求出SS1然根相似三角形应高等应边求出△PDCDC边高利三角形面积公式表示出S2代入代数式进行计算
（3）图③△ADE△BCF面积合成S1然代入（2）中结计算．
详解
（1）∵DC∥ABDF∥BC
∴四边形BCDF行四边形
∴BFDC2
∴SDC•DE2×36
S1AF•DE（ABBF）•DE×（82）×39
设△PDCDC边高x
∵DC∥AB
∴△PDC∽△PAB
∴
解x
∴S2×DC×x×2×11
（2）4
理：∵DF∥CBDC∥AB
∴四边形BCDF行四边形．
∴△PDC∽△ADFBFDCb
∴．
∵∴．
∴
∵∴4
（3）
∴．
∵四边形DEFC行四边形
∴． ∴．
∴． ∴△DBF≌△HDE．
∴△ADH面积．
（2）□BCDH面积．
∴△ABC面积
点睛
题考查相似三角形判定性质行四边形判定性质三角形行四边形面积求法获取题目信息灵活运信息解题关键题学生力求较高．
23．阅读理解回答问题：
方程两实数根．元二次方程根系数关系：众周知韦达定理．
(1)已知 m n 方程两实数根解方程求值
(2)关 x 方程三实数根．
① 值
②求值．
答案（1）201（2）①4②
分析
(1)根根系数关系求解
(2)①根关 x 方程三实数根划开求解
②①x2表示出利关x2二次函数求出值值．
详解
解：（1）已知
（2）①题意
值4
②①
时值
时
∴值．
点睛
题考查根系数关系拓展解题关键熟知根系数关系整式运算法二次函数性质．
24．（1）阅读理解：图1中．求边中线取值范围．解决问题方法：延长点连接（绕着点逆时针旋转）集中中利三角形三边关系判断中线取值范围______
（2）问题解决：图2中边中点点交点交点连接求证：
（3）问题拓展：图3四边形中顶点作角角两边分交两点连接探索线段间数量关系加证明．
答案（1）（2）见解析（3）见解析
分析
（1）延长ADEDEADSAS证明△ACD≌△EBD出BEAC6△ABE中三角形三边关系求出AE取值范围出AD取值范围
（2）延长FD点MDMDF连接BMEM（1）△BMD≌△CFD出BMCF线段垂直分线性质出EMEF△BME中三角形三边关系出BE+BM＞EM出结
（3）延长AB点NBNDF连接CN证出∠NBC∠DSAS证明△NBC≌△FDC出CNCF∠NCB∠FCD证出∠ECN70°∠ECFSAS证明△NCE≌△FCE出ENEF出结．
详解
（1）解：延长ADEDEAD连接BE图①示：
∵ADBC边中线
∴BDCD
△BDE△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴BEAC6
△ABE中三角形三边关系：ABBE＜AE＜AB+BE
∴106＜AE＜10+64＜AE＜16
∴2＜AD＜8
答案：2＜AD＜8
（2）证明：延长点连接图示
（1）
中三角形三边关系
（3）
证明：
延长点连接图示
中
中
．
点睛
题考查三角形三边关系全等三角形判定性质角关系等知识题综合性强定难度通作辅助线证明三角形全等解决问题关键．
25．阅读材料：已知图（1）面积S△ABC中 BCaACb ABc切圆O半径r连接OAOBOC△ABC划分三三角形．
∴．
（1）类推理：面积S四边形ABCD存切圆（边相切圆）图（2）边长分ABaBCbCDcADd求四边形切圆半径r
（2）理解应：图(3)等腰梯形ABCD中AB∥DCAB21CD11AD13⊙O1⊙O2分△ABD△BCD切圆设半径分r1r2求值
答案（1）（2）
分析
（1）图连接OAOBOCOD△AOB△BOC△COD△DOA点O顶点高r三角形根求四边形切圆半径r
（2）点D作DE⊥AB点E分求AE长进BE 长然利勾股定理求BD长然根两式相值
详解
解：（1）图（2）连接OAOBOCOD
∵
∴
（2）图（3）点D作DE⊥AB点E
∵梯形ABCD等腰梯形
∴
∴
Rt△AED中
∵AD13AE5∴DE12
∴
∵AB∥DC∴
∵
∴
26．阅读应：
阅读1：ab实数a＞0b＞0（a＝b时取等号）．
阅读2：函数（常数m＞0x＞0）阅读1结知： 时函数值．
阅读理解述容解答列问题：
问题1：已知矩形面积4中边长x边长周长求x＝__________时周长值__________．
问题2：已知函数y1＝x＋1（x＞－1）函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1）x＝__________时 值__________．
问题3：某民办学天支出总费包含三部分：教职工工资6400元二学生生活费10元三费．中费学生数方成正例系数001．学校学生数少时该校天生均投入低？低费少元？（生均投入＝支出总费÷学生数）
答案问题1： 2 8 问题2： 3 8 问题3：设学校学生数x生均投入y元题意： x＞0x800时y取值26．答：学校学生数800时该校天生均投入低低费26元
解析试题分析：
问题1： 时周长值求x值周长值
问题2：变形x+1 时 值求出x值值
问题3：设学校学生数x生均投入y元根生均投入支出总费÷学生数列出关系式根前两题解法求解．
试题解析：
问题1：∵ ( x>0)时周长值
∴x2
∴x2时值4．x2时周长值2×48
问题2：∵y1＝x＋1（x＞－1）函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1）
∴
∵x+1 （x＞－1）时 值
∴x3
∴x3时 值4+4＝8x3时 值8
问题3：设学校学生数x生均投入y元题意
x＞0x800时y取值26
答：学校学生数800时该校天生均投入低低费26元．
27．（阅读材料）知图1面积S△ABC中BCaACbABc切⊙O半径r连接OAOBOC△ABC划分三三角形．
∵SS△OBC＋S△OAC＋S△OABBC·r＋AC·r＋AB·ra·r＋b·r＋c·r（a＋b＋c）r
∴
（1）（类推理）图2面积S四边形ABCD存切圆（边相切圆）边长分ABaBCbCDcADd求四边形切圆半径r值
（2）（理解应）图3Rt△ABC中切圆O半径r⊙O△ABC分相切DEF知AD3BD2求r值
答案（1）（2）1
分析
（1）已知已出示例仿例子连接OAOBOCOD四边形分四三角形三角形切圆半径高四边形边作底题目情形类似．仿证明程r易．
（２）连接OEODOF示例易求出r
详解
（1）图2连接OAOBOCOD．
∵SS△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD
∴．
（2）连接OEOF四边形OECF正方形
OEECCFFOr
Rt△ABC中AC2＋BC2AB2
（3＋r）2＋（2＋r）252
r2＋5r60解：r1（负根舍）．
考点：圆综合题
28．定义：角互补组邻边相等四边形称奇异四边形．
（1）概念理解：
行四边形菱形矩形正方形中认属奇异四边形__________
（2）性质探究：
①图1四边形ABCD奇异四边形ABAD求证：CA分∠BCD
②图2四边形ABCD奇异四边形ABAD∠BCD2α试说明：cosα
（3）性质应：
图3四边形ABCD奇异四边形四条边中仅BCCD四边形ABCD周长6+2∠BAC45°AC3求奇异四边形ABCD面积．
答案（1）正方形（2）①见解析②见解析（3）9
解析
分析
（1）利奇异四边形定义直接判断
（2）①图1点A作AM⊥CBMAN⊥CDN．证明△AMB≌△AND根全等三角形性质AMAN根角部角两边距离相等点角分线证明
②①知：∠ACD∠BCDα根CNCD–DNCD–BMCD–（CM–BC）CD–（CN–BC）CNRt△ACN中根余弦定义证明
（3）连接BD．（2）知：cos45°AD+AB2AC×6根四边形ABCD周长6+2BCCD∠DAB90°根奇异四边形性质∠BCD90°根S四边形ABCDS△ADB+S△BDC求解
详解
（1）根奇异四边形定义知：正方形奇异四边形答案正方形．
（2）①图1点A作AM⊥CBMAN⊥CDN．
∵∠ABC+∠D180°∠ABM+∠ABC180°
∴∠ABM∠D
∵∠AMB∠AND90°ABAD
∴△AMB≌△AND
∴AMAN∵AM⊥CBMAN⊥CDN∴CA分∠BCD．
②①知：∠ACD∠BCDα
∵CNCD–DNCD–BMCD–（CM–BC）CD–（CN–BC）
∴CN
Rt△ACN中cosα．
（3）图3连接BD．
（2）知：cos45°∴AD+AB2AC×6
∵四边形ABCD周长6+2∴BCCD
∵∠BAC∠DAC45°
∴∠DAB90°
∵四边形奇异四边形∴∠BCD90°
∵AD+AB6∴（AD+AB）2AD2+2AD•AB+AB236
∵AD2+AB2BD2BC2+CD220
∴AD•AB8∴S四边形ABCDS△ADB+S△BDC•AD•AB+•CD•BC9．
29．阅读材料：
材料：实数定义含义：时时．例：．
材料二：关数学家高斯事200年前高斯算术老师提出面问：说学忙100数逐项相加时十岁高斯面方法迅速算出正确答案：．样理解：令①②①+②：．
根材料回答列问题：
（1）已知求值
（2）正数求值．
答案（1）10（2）19800
分析
（1）代入公式求解．
（2）根代入公式求解出m值m值代入原式中利公式求解．
详解
（1）
（2）
正数
原式
点睛
题考查新定义运算掌握新定义运算规解题关键．
30．阅读探究
请阅读列材料完成相应务：
凸四边形性质研究
果某四边形边两端延长边延长直线旁样四边形做凸四边形．凸四边形数学学中常见图形非常趣性质意凸四边形角线分成两顶三角形面积积相等．
例图1中凸四边形角线相交点面积分证明程：
务：
（1）请材料中证明程补充完整
（2）图2意凸四边形角线相交点分记面积求证
（3）图3四边形中角线相交点四边形面积________________．
答案（1）见解析（2）见解析（3）
分析
（1）根三角形高相面积等底求解
（2）分点作点点根三角形高相面积等底计算
（3）设根意凸四边形角线分成两顶三角形面积积相等求解．
详解
解：（1）∵
（2）答图分点作点点．
（3）
设
根意凸四边形角线分成两顶三角形面积积相等
：3x²4×624x2
∴四边形面积+++4+6++10+8．
点睛
题考查面积等积变换掌握三角形高相面积等底意凸四边形角线分成两顶三角形面积积相等解题关键．
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专题18创新型新定义综合问题
考点1综合探究类阅读理解问题
例1综合实践：
阅读理解：数学兴趣组探究求值思考讨交流思路：
图1作延长点连接
设
请解决列问题：
（1）类求解：求出值
（2）问题解决：图2某住宅楼面建筑物光线面夹角时住宅建筑物墙留高影子光线面夹角时住宅楼顶面影子墙角距离（条直线）求住宅楼高度（结果保留根号）
（3）探究发现：图3明硬纸片做两直角三角形中中斜边斜边重合起方移动移动程中两点始终边（移动开始时点点重合）探究移动程中否存某位置？果存直接写出长度果存请说明理
答案（1）（2）住宅楼高（3）存某位置长
分析
（1）图1需鉴思路思路二方法解决问题
（2）中设出中根列出关x方程求解
（3）中假设移动程中存某位置CFFE长
详解
（1）图延长点连接
中设
∴
∴
（2）图点作垂足
中设
∴
∴
∵中
∴
∵
∴
∴
答：住宅楼高
（3）存某位置理：
时∵
∴∠ECF∠CEF
∴CFEF
∵
∴∴
点睛
题考查学生综合运数学知识力解题方法唯学生采方法求解培养学生思维力
变式11图1角线互相垂直四边形做垂美四边形．
（1）概念理解：图2四边形ABCD中ABADCBCD问四边形ABCD垂美四边形？请说明理
（2）性质探究：图1四边形ABCD角线ACBD交点OAC⊥BD．
试证明：AB2+CD2AD2+BC2
（3）解决问题：图3分Rt△ACB直角边AC斜边AB边外作正方形ACFG正方形ABDE连结CEBGGE．已知AC4AB5求GE长．
答案（1）四边形ABCD垂美四边形．理见解析（2）见解析（3）GE．
解析（1）四边形ABCD垂美四边形．理：
∵ABAD∴点A线段BD垂直分线
∵CBCD∴点C线段BD垂直分线
∴直线AC线段BD垂直分线
∴AC⊥BD四边形ABCD垂美四边形
（2）图1
∵AC⊥BD∴∠AOD∠AOB∠BOC∠COD90°
勾股定理AB2+CD2AO2+BO2+DO2+CO2AD2+BC2
∴AD2+BC2AB2+CD2
（3）连接CGBE
∵∠CAG∠BAE90°
∴∠CAG+∠BAC∠BAE+∠BAC∠GAB∠CAE
△GAB△CAE中
∴△GAB≌△CAE（SAS）
∴∠ABG∠AEC∠AEC+∠AME90°
∴∠ABG+∠AME90°CE⊥BG
∴四边形CGEB垂美四边形
（2）CG2+BE2CB2+GE2
∵AC4AB5∴BC3CG4BE5
∴GE2CG2+BE2CB273∴GE．
名师点睛（1）根垂直分线判定定理证明（2）根垂直定义勾股定理解答
（3）根垂美四边形性质勾股定理结合（2）结计算．题考查正方形性质全等三角形判定性质垂直定义勾股定理应正确理解垂美四边形定义灵活运勾股定理解题关键．
变式12综合实践
正方形奇妙点性质探究
定义：图1正方形中直径作半圆圆心半径作半圆交点称点正方形奇妙点．奇妙点条线段正方形位置关系数量关系具少优美性质值探究．
性质探究：图2连接延长交点半圆切线．
证明：连接．
作图知
．
∴半圆切线．
问题解决：
（1）图3图2基础连接请判断数量关系说明理
（2）（1）条件请直接写出线段间数量关系
（3）图4已知点正方形奇妙点点中点连接延长交点连接延长交点请写出数量关系说明理
（4）图5已知点正方形四奇妙点．连接恰特殊赵爽弦图．请根图形探究直接写出全等图形面积间数量关系．
答案（1）理见解析（2）（3）理见解析（4）答案唯：面积等正方形面积正方形面积等正方形面积等．
分析
（1）先提出猜想图2面结基础根全等三角形性质四边形角邻补角性质出边边边定理证然利全等三角形性质等式性质证结
（2）（1）知根全等三角形性质线段差结
（3）先提出猜想添加辅助线构造出直角三角形（1）知正切值相等根正方形性质证结
（4）根前面结结合赵爽弦图证
提出猜想．
详解
解：（1）结：
理：
∵
∴
∴
∵
∴
中
∵
∴
∴
∵
∴
（2）∵（1）知
∴
∵
∴
∴线段间数量关系
（3）结：
理：连接图：
（1）知
∵
∴
∵点中点
∴
∴
∵四边形正方形
∴
∴
（4）延长交点连接图：
∵前面结知
∴
∵图赵爽弦图
∴
理
∵四边形正方形
∴
∴
∴中
∴
∴
∴
∴
∴答案唯例面积等正方形面积正方形面积等正方形面积等等．
点睛
题属新定义问题涉知识点全等三角形判定性质正方形性质直角三角形性质锐角三角函数邻补角性质顶角性质线段差等知识点考查创新力知识迁移力定难度．
考点2代数类新定义阅读理解型问题
例2阅读面材料：
定序排列着列数称数列数列中数做数列项．排第位数称第项记a1排第二位数称第二项记a2类推排第n位数称第n项记an．数列般形式写成：a1a2a3…an…般果数列第二项起项前项差等常数数列做等差数列常数做等差数列公差公差通常d表示．：数列1357…等差数列期中a1＝1a2＝3公差d＝2．根材料解答列问题：
（1）等差数列51015…公差d______第5项______．
（2）果数列a1a2a3…an…等差数列公差d根定义：a2﹣a1＝da3﹣a2＝da4﹣a3＝d…an﹣an﹣1＝d…．a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2da4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d……请填空完成等差数列通项公式：an＝a1+（______）d
（3）求﹣4039等差数列﹣5﹣7﹣9…第项？说明理．
答案（1）525（2）n﹣1（3）第2018项理见解析．
分析
（1）根题目中材料等差数列51015…公差d第5项值
（2）根题目中推导等差数列通项公式
（3）根题意题目中数利（2）中结等差数列﹣5﹣7﹣9…公差通项公式求﹣4039等差数列﹣5﹣7﹣9…第项
详解
解：（1）题意
d＝15﹣10＝5
第5项：15+5+5＝25
答案：525
（2）果数列a1a2a3…an…等差数列公差d根定义：
a2﹣a1＝da3﹣a2＝da4﹣a3＝d…an﹣an﹣1＝d…．
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d
……
请填空完成等差数列通项公式：an＝a1+（n﹣1）d
答案：n﹣1
（3）﹣4039等差数列﹣5﹣7﹣9…第2018项
理：等差数列﹣5﹣7﹣9…
∴d＝﹣7﹣（﹣5）＝﹣7+5＝﹣2
∴an＝﹣5+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n﹣3
令﹣2n﹣3＝﹣4039
解n＝2018
﹣4039等差数列﹣5﹣7﹣9…第2018项
点睛
题考查数计算规律解题关键读懂题意理解等差数列等差数列公差定义正确计算等差数列中公差数计算规律解决问题
变式21（2019•州）两位数十位位数字分mn两位数记易知10m+n理三位数四位数等均记法100a+10b+c．
基础训练
（1）解方程填空：
①+45x__________
②–26y__________
③+t__________
力提升
（2）交换意两位数位数字十位数字新数+定__________整–定__________整•–mn定__________整（请5整数中选择合适数填空）
探索发现
（3）北京时间2019年4月10日21时类拍摄首张黑洞片问世黑洞种引力极天体连光逃脱束缚．数学中存趣黑洞现象：选三位数求十百位数字相三位数三数字重新排列出数数出数减数新数（例选数325532–235297）新数述方式重新排列相减样运算干次定会重复出现数数称卡普雷卡尔黑洞数．
①该卡普雷卡尔黑洞数__________
②设选三位数（妨设a＞b＞c）试说明均产生该黑洞数．
答案（1）①2．②4．③7．（2）11910．
解析（1）①∵10m+n
∴+4510×2+x+10x+345
∴x2
答案：2．
②–2610×7+y–（10y+8）26
解y4
答案：4．
③100a+10b+c四位数类似公式
+100t+10×9+3+100×5+10t+81000×1+100×3+10t+1
∴100t700
∴t7
答案：7．
（2）∵+10m+n+10n+m11m+11n11（m+n）
∴+定11整
∵–10m+n–（10n+m）9m–9n9（m–n）
∴–定9整．
∵•–mn（10m+n）（10n+m）–mn100mn+10m2+10n2+mn–mn10（10mn+m2+n2）
∴•–mn定10整．
答案：11910．
（3）①选数325532–235297述规继续计算
972–279693
963–369594
954–459495
954–459495…
答案：495．
②选三位数时第次运算：100a+10b+c–（100c+10b+a）99（a–c）
结果99倍数a＞b＞ca≥b+1≥c+2
∴a–c≥29≥a＞c≥0
∴a–c≤9
∴a–c23456789
∴第次运算：198297396495594693792891
数字运算分：
981–189792972–279693963–369594954–459–495954–459495…
该黑洞数495．
名师点睛题较复杂新定义试题题目设置问题较解答方法异总体中等难度略．
变式22阅读列材料：明计算值 采方法：
设 ①
②
②①
∴
（1）
（2）
（3）求（ 正整数请写出计算程 ）
答案（1） （2） （3）n+1
解析
分析
（1）利题中方法设S1+2+22+…+29两边22S2+22+…+29然两式相减计算出S
（2）利题中方法设S1+3+32+33+34+…+310 两边33S3+32+33+34+35+…+311 然两式相减计算出S
（3）利（2）方法计算．
详解
（1）设S1+2+22+…+29①
2S2+22+…+210 ②
②①2SSS2101
∴S1+2+22+…+292101
答案2101
（2）设S3+3+32+33+34+…+310 ①
3S32+33+34+35+…+311 ②
②①2S3111
S
3+32+33+34+…+310
答案
（3）设S1+a+a2+a3+a4++an①
aSa+a2+a3+a4++an+an+1②
②①：（a1）San+11
a1时直接a1时原式等n+1
a等1时a1做分母S
1+a+a2+a3+a4++an
点睛
题考查规律型：数字变化类：认真观察仔细思考善联想利类方法解决类问题方法．
考点3函数类新定义综合型问题
例3已知函数函数定义新函数
（1）新函数
（2）新函数解析式
（3）设新函数顶点．
①值时值求出值
②求函数解析式
（4）请探究：函数新函数分定点函数顶点新函数存点点顶点四边形行四边形时直接写出值．
答案（1）（2）（3）①时②（4）
分析
（1）k2代入函数然新函数
（2）先求出新函数然较2函数利应位置系数相求
（3）①先k表示新函数定点出mnk关系式利配方法求n时k值
②已求mn关k关系式代入n中化简mn关系式
（4）先求出定点ABC图存3处D构成行四边形利行四边形特点求出点D坐标进出k值．
详解
（1）k2时
（2）
∵新函数解析式：
∴b－2(3－k)
解：k5b－12
（3）①新函数项点
时
新函数顶点绿坐标值值
②
代入
（4）∵点A定点坐标
x时y0
∴A(0)
∵点B新函数定点
x时y
∴点B()
∵点C定点
∴C(12)
∵四边形ABCD行四边形存图3种情况：
根行四边形性质易知：
图1中点D(1)
图2中点D(1)
图3中点D(2)
点D(1)时代入新函数
解：k
理
∴
点睛
题考查二次函数综合难点第（4）问解题关键先确定定点AB顶点C坐标根行四边形性质出点D坐标．
变式31特例感知
（1）图1抛物线列结正确序号_________
①抛物线点
②抛物线称轴抛物线称轴次左移单位
③抛物线直线交点中相邻两点间距离相等
形成概念
（2）满足（n正整数）抛物线称系列移抛物线
知识应
（2）中图2
①系列移抛物线顶点次…含n代数式表示顶点坐标写出该顶点坐标y横坐标x间关系式
②系列移抛物线存系列整数点（横坐标均整数点）：…横坐标分：…（k正整数）判断相邻两点间距离否相等相等直接写出相邻两点间距离相等说明理
③②中直线分交系列移抛物线点…连接判断否行？说明理
答案（1）①②③
（2）①．
②相邻两点间距离相等相邻两点距离．
③行直线斜率（例系数）n取值关(两直线行斜率会相等)
解析（1）①x0正确
②称轴分直线正确
③交点（点C）横坐标分–1–2–3距离1相等正确．
（2）①顶点
令顶点横坐标坐标
：顶点满足关系式
②相邻两点间距离相等．
理：根题意
∴CnCn–1两点间铅直高度．
CnCn–1两点间水距离．
∴勾股定理CnCn–12k2+1
∴CnCn–1
③行．
理：
根题意：
．
CnCn–1分作直线y1垂线垂足DE
D（–k–n1）E（–k–n+11）
Rt△DAnCn中
tan∠DAnCn
Rt△EAn–1Cn–1中
tan∠EAn–1Cn–1
∵≠
∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1
∴行．
变式31（2019•山东威海）（1）阅读理解
图点AB反例函数y图象连接AB取线段AB中点C．分点ACB作x轴垂线垂足EFGCF交反例函数y图象点D．点EFG横坐标分n﹣1nn+1（n>1）．
红通观察反例函数y图象运知识出结：
AE+BG2CFCF>DF
出关间数量关系命题：
n>1__________．
（2）证明命题
东认：通a﹣b≥0a≥b思路证明述命题．
晴认：通a>0b>0a÷b≥1a≥b思路证明述命题．
请选择种方法证明（1）中命题．
解析（1）∵AE+BG2CFCF>DFAEBGDF
∴+>．答案：+>．
（2）方法：∵+﹣
∵n>1∴n（n﹣1）（n+1）>0
∴+﹣>0∴+>．
方法二：∵>1∴+>．
名师点睛题考查反例函数图形点坐标特征反例函数图象等知识解题关键理解题意灵活运学知识解决问题．
变式32定义种新运算：a⊕b＝
（1）请写出函数y＝x⊕1解析式面直角坐标系中画出该函数图象
（2）观察（1）中图象探究y值 ．
答案（1）y＝图象见解析 （2）0．
解析
分析
（1）根新运算y 分讨x＜00≤x≤1时绝值符号函数yx⊕1解析式面直角坐标系中画出该函数图象答案
（2）观察（1）中图象x0时y值答案．
详解
解：（1）根题意：
y＝
x＜0时|x|＝﹣x
0≤x≤1时|x|＝x
y＝
该函数图象图示：
（2）图象知：x＝0时y值0．
答案：（1）图象见解析（2）0．
点睛
题考查函数图象次函数图象解题关键正确观察函数图象．
考点4变换操作类阅读型问题
例4类等腰三角形定义定义：组邻边相等凸四边形做等邻边四边形．
（1） 概念理解：
图1四边形中添加条件四边形等邻边四边形请写出添加条件： ．
（2） 问题探究：
图2红画中分线方移连结．红移四边形等邻边四边形应移少距离（线段长）？
（3） 应拓展：
图3等邻边四边形中角线．试探究数量关系．
答案（1）DAAB（答案唯）（2）应移2距离（3）BC2+CD22BD2．
解析
试题分析：（1）等邻边四边形定义易出结
（2）①先利行四边形判定定理行四边形利等邻边四边形定义邻边相等出结
②移性质易BB′AA′A′B′∥ABA′B′AB2B′C′BC1A′C′AC利等邻边四边形定义分类讨勾股定理出结
（3）旋转性质△ABF≌△ADC全等性质∠ABF∠ADC∠BAF∠DACAFACFBCD利相似三角形判定△ACF∽△ABD相似性质四边形角∠CBF90°利勾股定理等量代换出结．
解：（1）ABBCBCCDCDADADAB（写）
（2）①正确理：
∵四边形角线互相分∴四边形行四边形
∵四边形等邻边四边形∴四边形组邻边相等
∴等邻边四边形菱形
②∵∠ABC90°AB2BC1
∴AC
∵Rt△ABC移△A′B′C′
∴BB′AA′A′B′∥ABA′B′AB2B′C′BC1A′C′AC
（I）图1AA′AB时BB′AA′AB2
（II）图2AA′A′C′时BB′AA′A′C′
（III）A′C′BC′时
图3延长C′B′交AB点DC′B′⊥AB
∵BB′分∠ABC
∴∠ABB′∠ABC45°
∴∠BB′D′∠ABB′45°
∴B′DB
设B′DBDx
C′Dx+1BB′x
∵Rt△BC′D中BD2+（C′D）2（BC′）2
∴x2+（x+1）2（）2
解：x11x2﹣2（合题意舍）
∴BB′x
（Ⅳ）BC′AB2时图4（Ⅲ）方法理：BD2+（C′D）2（BC′）2
设B′DBDx
x2+（x+1）222
解：x1x2（合题意舍）
∴BB′x
（3）BCCDBD数量关系：BC2+CD22BD2图5
∵ABAD
∴△ADC绕点A旋转△ABF连接CF
∴△ABF≌△ADC
∴∠ABF∠ADC∠BAF∠DACAFACFBCD
∴∠BAD∠CAF1
∴△ACF∽△ABD
∴∴BD
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC360°
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）360°﹣90°270°
∴∠ABC+∠ABF270°
∴∠CBF90°
∴BC2+FB2CF2（BD）22BD2
∴BC2+CD22BD2．
考点：1．阅读理解题2．移旋转图形变换性质3．三角形全等相似判定性质4．勾股定理运．
变式41出定义：四边形中存相邻两边方等条角线方称四边形勾股四边形两条相邻边称四边形勾股边
(1)写出学特殊四边形中勾股四边形两种图形名称
(2)图1已知格点（正方形顶点）O(00)A(30)B(04)点C 图中方格中格点四边形OACB OA OB 勾股边角线相等勾股四边形求点C 坐标
(3)图2DABC（ BC > AB ）绕顶点 B 时针方旋转60°DDBE 连接 AD DC 四边形 ABCD 勾股四边形中DC BC 勾股边求ÐDCB 度数
答案（1）矩形正方形（答案唯）（2）C（34）（43）（3）∠DCB30°
解析
分析
（1）根矩形正方形性质答案
（2）利勾股定理AB5然格点中找满足OC5点
（3）连接CE根旋转性质△ABC≌△DBEBCBE∠CBE60°△BCE等边三角形BCCE∠BCE60°根勾股四边形定义勾股定理逆定理∠DCE90°∠DCB度数
详解
解：（1）矩形正方形（答案唯）
（2）
C点坐标图：（34）（43）
（3）连接CE
旋转性质：△ABC≌△DBEBCBEACBD
∵∠CBE60°
∴△BCE等边三角形
∴BCCE∠BCE60°
∵四边形ABCD勾股四边形中DCBC勾股边
∴
∴
∴∠DCE90°
∴∠BCD∠DCE﹣∠BCE90°﹣60°30°
点睛
题考查勾股定理逆定理全等三角形旋转等边三角形判定等解题关键准确理解题中勾股四边形定义利勾股定理逆定理进行证明计算
变式42根相似边形定义四角分相等四条边成例两凸四边形做相似四边形．相似四边形应边做相似．
（1）某学探究相似四边形判定时三命题请判断否正确（直接横线填写真假）．
①四条边成例两凸四边形相似（__________命题）
②三角分相等两凸四边形相似（__________命题）
③两正方形相似．（__________命题）
（2）图1四边形ABCD四边形A1B1C1D1中∠ABC∠A1B1C1∠BCD∠B1C1D1．求证：四边形ABCD四边形A1B1C1D1相似．
（3）图2四边形ABCD中AB∥CDACBD相交点O点O作EF∥AB分交ADBC点EF．记四边形ABFE面积S1四边形EFCD面积S2四边形ABFE四边形EFCD相似求值．
解析（1）①四条边成例两凸四边形相似假命题角定相等．
②三角分相等两凸四边形相似假命题边定成例．
③两正方形相似．真命题．
答案假假真．
（2）图1中连接BDB1D1．
∵∠BCD∠B1C1D1
∴△BCD∽△B1C1D1∴∠CDB∠C1D1B1∠C1B1D1∠CBD
∵∴
∵∠ABC∠A1B1C1∴∠ABD∠A1B1D1∴△ABD∽△A1B1D1
∴∠A∠A1∠ADB∠A1D1B1
∴∠ADC∠A1D1C1∠A∠A1∠ABC∠A1B1C1∠BCD∠B1C1D1
∴四边形ABCD四边形A1B1C1D1相似．
（3）图2中
∵四边形ABCD四边形EFCD相似∴
∵EFOE+OF∴
∵EF∥AB∥CD∴
∴++∴
∵ADDE+AE∴
∴2AEDE+AE∴AEDE
∴1．
名师点睛题属相似形综合题考查相似三角形判定性质相似边形判定性质等知识解题关键学会转化思想思考问题属中考压轴题．
1．阅读理解：已知两点线段中点坐标公式：．图已知点坐标原点点点点弦中点．点满足等式：．设满足等式（ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析
分析
根中点坐标公式求点坐标然代入满足等式进行求解
详解
∵点点点弦中点
∴
∴
满足等式：
∴
选D．
点睛
题考查坐标图形性质解题关键理解中点坐标公式．
2．阅读理解：解方程．解：（1）时原方程化解（合题意舍）（2）时原方程化解（舍）∴原方程解．方程解（ ）
A． B． C． D．
答案B
分析
根绝值定义x≥1时方程x2x+110求出方程解x＜1时方程x2+x110求出方程解求出答案．
详解
x≥1时方程x2x+110
∴x10（舍）x21
x＜1时方程x2+x110
∴x12x21（舍）
∴方程解x12x21．
选：B．
点睛
题考查绝值解元二次方程等知识点理解掌握正确绝值符号解题关键．
3．阅读理解：实数符号称阶行列式规定：例：二元次方程组解利阶行列式表示：中问题：面方法解二元次方程组时面说法错误（ ）
A． B． C． D．方程组解
答案C
解析
分析根阅读材料中提供方法逐项进行计算
详解AD2×（2）3×1﹣7A选项正确符合题意
BDx﹣2﹣1×12﹣14B选项正确符合题意
CDy2×12﹣1×321C选项正确符合题意
D方程组解：x2y﹣3D选项正确符合题意
选C．
点睛题考查阅读理解型问题考查2×2阶行列式方程组解关系读懂题意根材料中提供方法进行解答关键
4．正偶数规律进行分组排列次（2）（46）（81012）（14161820）…称4第2组第1数字16第4组第2数字2020第m组第n数字m+n＝_____．
答案65
分析
根题目中数字特点知组数次增组中数字连续偶数然求出2020少组第少数mn值然m+n值．
详解
解：∵正偶数规律进行分组排列次（2）（46）（81012）（14161820）…
∴第m组m连续偶数
∵2020＝2×1010
∴2020第1010偶数
∵1+2+3+…+44＝＝9901+2+3+…+45＝＝1035
∴2020第45组第1010－990＝20数
∴m＝45n＝20
∴m+n＝65．
答案：65．
点睛
题考查探索规律认真观察数总结出规律解题关键．
5．观察列式：
请利发现规律计算：
结果____．
答案．
分析
根题意找出规律根二次根式性质计算．
详解
答案．
点睛
题考查二次根式化简数字变化规律掌握二次根式性质解题关键．
6．右表称杨辉三角贾宪三角．规律：第三行起行两端数1余数等该数两肩数．表中两行线间列数：1361015……第数记第二数记第三数记……第数记_________．
答案20110
分析
根数关系式代入求值．
详解
已知数1361015……
∴
∴．
答案20110．
点睛
题考查数字规律题知识点找出关系式解题关键．
7．阅读理解：意正实数ab∵（）2≥0∴a2∴a+b≥2仅ab时等号成立．
结：a+b（ab均正实数）中ab定值Pa+b
仅ab时a+b值．
根述容回答列问题：
（1）x＞0x 时4x+值 ．
（2）探索应：图已知A（20）B（03）点P双曲线y（x＞0）意点点P作PC⊥x轴点CPD⊥y轴点D求四边形ABCD面积值说明时四边形ABCD形状．
（3）已知x＞0变量x值时函数y取值值少？
答案（1）12（2）值12四边形ABCD菱形（3）．
解析
试题分析：（1）直接利a+b≥2仅ab时等号成立求解求答案
（2）首先设P（x）C（x0）D（0）S四边形ABCDAC•BD（x+2）（+3）然利a+b≥2仅ab时等号成立求解求答案
（3）首先原式变形y继求答案．
试题解析：（1）∵4x+≥2×12仅4x时等号成立
∵x＞0
∴x
∴x＞0x时4x+值12
（2）设P（x）C（x0）D（0）
∴BD+3ACx+2
∴S四边形ABCDAC•BD（x+2）（+3）6+x+≥6+212
仅xx2时四边形ABCD面积值12
∴OBOD3OAOC2
∴四边形ABCD行四边形
∵AC⊥BD
∴四边形ABCD菱形
（3）∵x＞0
∴y≤
仅xx4时函数y取值值：．
考点：反例函数综合题．
8．阅读理解：十字相法分解式方法
（1）二次项系数
（2）常数项验算：交叉相
（3）发现第③交叉相结果等次项系数1样通十字交叉线帮助二次三项式分解式方法做十字相法仿方法分解式： ．
答案（x+3）（3x﹣4）．
解析
试题分析：3x2+5x﹣12（x+3）（3x﹣4）．
考点：式分解﹣十字相法．
9．阅读理解题．
定义：果四边形某条角线分组角条角线做美妙线该四边形做美妙四边形．
图四边形ABDC中角线BC分∠ACD∠ABD角线BC美妙线四边形ABDC称美妙四边形．
问题：
（1）列四边形：行四边形矩形菱形正方形中美妙四边形
（2）四边形ABCD美妙四边形AB∠BAD60°∠ABC90°求四边形ABCD面积．（画出图形写出解答程）
答案（1）2 （2）．
分析
（1）四边形性质知：菱形正方形条角线分组角结合美妙四边形定义确定
（2）分ACBD美妙线两种情况先证明△ABC≌△ADCS四边形ABCD2S△ABC代入．
详解
解：（1）∵菱形正方形条角线分组角
∴菱形正方形美妙四边形
答案2
(2) ① AC美妙线时图：
易
②BD美妙线图：作DE⊥AB点E
设AExDExBEx
∴
∴
∴
综四边形面积．
点睛
题考查四边形综合题考查菱形正方形性质含30度角直角三角形性质新定义：美妙四边形美妙线等知识运分类讨思想解决数学问题解答题关键．
10．（阅读）图1点直线称旋转相似三角形．
（理解）（1）图2等边三角形点边连接．求证：旋转相似三角形．
（应）（2）图3旋转相似三角形．求证：．
（拓展）（3）图4四边形角线．试边确定点四边形矩形说明理．
答案（1）见解析（2）见解析（3）见解析
分析
（1）根等边三角形利点直线判断旋转相似三角形
（2）根旋转相似三角形易证根．利易证
（3）点作垂足连接易证求．设方程解根利勾股定理直角三角形证四边形矩形．
详解
（1）证明：等边三角形
∴
∴
∴
∵点直线
∴旋转相似三角形．
（2）证明：∵旋转相似三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ．
∵
∴
∴ ．
∵
∴．
∵
∴
∴．
（3）解：图点作垂足连接．
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
∵
∴
∴．
设
中
解
∴．
∴直角三角形．
∴四边形矩形．
点睛
题考查相似三角形判定性质全等判定性质矩形判定勾股定理应解方程等知识点熟悉相关性质解题关键
11．（阅读理解）
意正实数∵
∴
∴时等号成立．
（数学认识）
（均正实数）中定值时值．
（解决问题）
（1）时_____________时值_____________
（2）图已知点反例函数图点反例函数图轴点作轴点点作轴点．求四边形周长值．
答案（1）12（2）8
解析
分析
(1)根题意利完全方式求解
(2)根反例函数解析式设出AB坐标然表示出周长根面知识求解
详解
解：（1）12．
（2）解：设
∴四边形周长
．
∴四边形周长值8．
点睛
题属反例函数综合题考查等式应理解 (a b均正实数)中ab定值kab时a+b值关键
12．（阅读）图1四边形OABC中OAaOC3BC2
∠AOC∠BCO90°点O直线l四边形分成两部分直线lOC成角设θ四边形OABC直角∠OCB直线l折叠点C落点D处操作程记FZ[θa]．
（理解）
点D点A重合操作程FZ[45°3]
（尝试）
（1）点D恰AB中点（图2）求θ
（2）FZ[45°a]操作点B落点E处点E四边形OABC边AB求出a值点E落四边形OABC外部直接写出a取值范围．
答案（1）θ 30°（2）0＜a＜5时点E落四边形0ABC外部．
分析
（1）先根ASA定理出△BCD≌△AFD出CDFD点DRt△COF斜边CF中点折叠知ODOCODOCCD△OCD等边三角形∠COD60°根等边三角形三线合性质出结（2）根点E四边形0ABC边AB知AB⊥直线l根折叠知ODOC3DEBC2．θ45°AB⊥直线l出△ADE等腰直角三角形出OA长出结．
详解
（1）连接CD延长交OA延长线点F．
△BCD△AFD中
∴△BCD≌△AFD（ASA）．
∴CDFD点DRt△COF斜边CF中点
∴ODCFCD．
折叠知ODOC
∴ODOCCD
∴△OCD等边三角形∠COD60°
∴θ∠COD30°
（2）∵点E四边形OABC边AB
∴AB⊥直线l
折叠知ODOC3DEBC2．
∵θ45°AB⊥直线l
∴△ADE等腰直角三角形
∴ADDE2
∴OAOD+AD3+25
∴a5
图知0＜a＜5时点E落四边形0ABC外部．
点睛
题考查变换综合题熟知全等三角形判定性质等腰直角三角形性质等边三角形性质等知识解答题关键．
13．（1）阅读理解
利旋转变换解决数学问题种常方法图点等边三角形点求度数
利已知条件妨绕点时针旋转连接长_______中易证度数________综度数_______
（2）类迁移
图点等腰点求度数
（3）拓展应
图四边形中请直接写出长
答案（1）2 30°90°（2）90°（3）2
解析
分析
（1）旋转性质等边三角形判定知△CP′P等边三角形等边三角形性质知∠CP′P60°根勾股定理逆定理△AP′P直角三角形继答案．
（2）图2△BPC绕点C时针旋转90°△AP＇C连接PP′理△CP′P等腰直角三角形△AP′P等腰直角三角形∠APC90°
（3）图3△ABD绕点A逆时针旋转△ACG连接DG．BDCG根勾股定理求CG长BD长．
详解
（1）△BPC绕点C时针旋转60°△AP＇C连接PP′（图1）．
旋转性质知△CP′P等边三角形
∴P′APB∠CP′P60°P′PPC2
△AP′P中∵AP2+P′A212+（）24PP′2
∴△AP′P直角三角形
∴∠P′AP90°．
∵PAPC
∴∠AP′P30°
∴∠BPC∠CP′A∠CP′P+∠AP′P60°+30°90°．
（2）图2△BPC绕点C时针旋转90°△AP＇C连接PP′．
旋转性质知△CP′P等腰直角三角形
∴P′CPC1∠CPP′45°P′PPBAP＇
△AP′P中∵AP＇2+P′P2（）2+（）24AP2
∴△AP′P等腰直角三角形
∴∠AP′P90°．
∴∠APP＇45°
∴∠APC∠APP＇+∠CPP＇45°+45°90°
（3）图3
∵ABAC
△ABD绕点A逆时针旋转△ACG连接DG．BDCG
∵∠BAD∠CAG
∴∠BAC∠DAG
∵ABACADAG
∴∠ABC∠ACB∠ADG∠AGD
∴△ABC∽△ADG
∵AD2AB
∴DG2BC10
A作AE⊥BCE
∵∠BAE+∠ABC90°∠BAE∠ADC
∴∠ADG+∠ADC90°
∴∠GDC90°
∴CG
∴BDCG2．
点睛
题四边形综合题考查等腰直角三角形判定性质三角形全等性质判定等腰三角形性质勾股定理相似三角形判定性质旋转性质等知识解题关键学会旋转法添加辅助线构造全等三角形相似三角形解决问题
14．定义：组角互余四边形做余四边形．
理解：
（1）四边形余四边形度数______
证明：
（2）图1直径点相交点D．
求证：四边形余四边形
探究：
（3）图2余四边形中探究线段间样数量关系？写出猜想说明理．
答案（1）90°270°（2）见解析（3）理见解析
分析
（1）分∠A∠C互余时∠B∠D互余时两种情况求解
（2）连接BO∠BON+∠BOM180°利圆周角定理证明∠C+∠A90°
（3）作△ABD外接圆O分延长ACBCDC交圆OEFG连接DFDEEF先证明GF圆O直径证明△ABC∽△FEC△ACD∽△GCE△BCD∽△GCF出根△ABC等边三角形ABACBC
详解
解：（1）∵四边形余四边形
∠A∠C互余时
∠A+∠C90°
∠B∠D互余时
∠B+∠D90°
∠A+∠C360°90°270°
答案：90°270°
（2）图连接BO
：∠BON2∠C∠BOM2∠A
∠BON+∠BOM180°
∴2∠C+2∠A180°
∴∠C+∠A90°
∴四边形余四边形
（3）∵四边形ABCD四边形∠ABC60°
∴∠ADC30°
图作△ABD外接圆O分延长ACBCDC交圆OEFG连接DFDEEF
∠AEF∠ABC60°∠AEG∠ADG30°
∴∠AEF+∠AEG90°∠FEG90°
∴GF圆O直径
∵ABBC
∴△ABC等边三角形
∵∠ABC∠AEF∠ACB∠ECF
∴△ABC∽△FEC：
理△ACD∽△GCE：
△BCD∽△GCF：
：
∴
∴
∴
∵ABBCAC
∴
点睛
题考查相似三角形判定性质四边形新定义问题圆周角定理等边三角形判定性质边形角解题关键理解余四边形概念结合学知识求证
15．阅读理解：
图①果四边形ABCD满足ABADCBCD∠B∠D90°样四边形做完美筝形．
张图①示完美筝形纸片ABCD先折叠成图②示形状展开图③中CECF折痕∠BCE∠ECF∠FCD点B′点B应点点D′点D应点连接EB′FD′相交点O．
简单应：
（1）行四边形矩形菱形正方形四种图形中定完美筝形
（2）图③中∠BCD120°时∠AEB′ °
（3）图②中四边形AECF菱形时应图③中完美筝形 （包含四边形ABCD）．
拓展提升：
（4）图③中∠BCD90°时连接AB′请探求∠AB′E度数说明理．
答案（1）正方形（2）80（3）5（4）45°．
解析
试题分析：（1）结合行四边形矩形菱形正方形性质完美筝形定义出结
（2）先证∠AEB′∠BCB′算出∠BCE∠ECF40°出结果
（3）折叠性质出BEB′EBCB′C∠B∠CB′E90°CDCD′FDFD′∠D∠CD′F90°出四边形EBCB′四边形FDCD′完美筝形题意出∠OD′E∠OB′F90°CD′CB′菱形性质出AEAFCECF证明△OED′≌△OFB′出OD′OB′OEOF证出∠AEB′∠AFD′90°出四边形CD′OB′四边形AEOF完美筝形出结
（4）图③中∠BCD90°时四边形ABCD正方形证明AEB′F四点圆圆周角定理∠AB′E度数．
试题解析：（1）①∵四边形ABCD行四边形∴ABCDADBC∠A∠C≠90°∠B∠D≠90°∴AB≠ADBC≠CD∴行四边形定完美筝形
②∵四边形ABCD矩形∴∠A∠B∠C∠D90°ABCDADBC∴AB≠ADBC≠CD∴矩形定完美筝形
③∵四边形ABCD菱形∴ABBCCDAD∠A∠C≠90°∠B∠D≠90°∴菱形定完美筝形
④∵四边形ABCD正方形∴∠A∠B∠C∠D90°ABBCCDAD∴正方形定完美筝形
∴行四边形矩形菱形正方形四种图形中定完美筝形正方形答案正方形
（2）根题意：∠B′∠B90°∴四边形CBEB′中∠BEB′+∠BCB′180°∵∠AEB′+∠BEB′180°∴∠AEB′∠BCB′∵∠BCE∠ECF∠FCD∠BCD120°∴∠BCE∠ECF40°∴∠AEB′∠BCB′40°+40°80°答案80
（3）图②中四边形AECF菱形时应图③中完美筝形5理
根题意：BEB′EBCB′C∠B∠CB′E90°CDCD′FDFD′∠D∠CD′F90°∴四边形EBCB′四边形FDCD′完美筝形
∵四边形ABCD完美筝形∴ABADCBCD∠B∠D90°∴CD′CB′∠CD′O∠CB′O90°∴∠OD′E∠OB′F90°∵四边形AECF菱形∴AEAFCECFAE∥CFAF∥CE∴D′EB′F∠AEB′∠CB′E90°∠AFD′∠CD′F90°△OED′△OFB′中∵∠OD′E∠OB′F∠EOD′∠FOB′D′EB′F∴△OED′≌△OFB′（AAS）∴OD′OB′OEOF∴四边形CD′OB′四边形AEOF完美筝形
∴包含四边形ABCD应图③中完美筝形5答案5
（4）图③中∠BCD90°时图示：四边形ABCD正方形∴∠A90°∵∠EB′F90°∴∠A+∠EB′F180°∴AEB′F四点圆∵AEAF∴∴∠AB′E∠AB′F∠EB′F45°．
考点：1．四边形综合题2．新定义3．阅读型4．探究型5．压轴题．
16．阅读理解：图四边形边取点（点重合）分连接四边形分成三三角形果中两三角形相似做四边形边相似点：果三三角形相似做四边形边强相似点．解决问题：
图试判断点否四边形边相似点说明理
图矩形中四点均正方形网格（网格中正方形边长）格点（正方形顶点）试图②中画出矩形边强相似点
图矩形折叠点落边点处点恰四边形边强相似点试探究数量关系．
答案点四边形边相似点 见解析 ．
解析
分析
（1）根∠ADF∠BEC∠A∠B求出△ADE∽△BEC出点E四边形ABCD边AB相似点
（2）△ADE直角三角形△ECD直角三角形点ECD直径圆边AB交点
（3）点E四边形ABCD边AB强相似点出三三角形相似根相似三角线应线段成例判断BEAB关系通相似三角形全等三角形出∠BCE ∠BCD30°利特殊角三角函数BEBC关系ABBC关系．
详解
∵
∴
∴
∵
∴
∴点四边形边相似点
图中示点点强相似点
∵点四边形边强相似点
∴
∴
折叠知：
∴
∴
中
∴
∴．
点睛
题三角形综合题考查相似三角形应全等三角形应掌握知识点解题关键．
17．（1）阅读理解：
图①中求边中线取值范围．
方法：绕着点逆时针旋转中利三角形三边关系判断中线取值范围______
（2）问题解决：
图②中边中点点交点交点连接求证：
（3）问题拓展：
图③四边形中顶点作角角两边分交两点连接探索线段间数量关系说明理．
答案（1）（2）见详解（3）理见详解
分析
（1）根旋转性质证明中根三角形三边关系出答案
（2）延长FDMDFDM连接BMEM出根垂直分线性质出利三角形三边关系出结
（3）延长ABNBNDF连接CN证明出利角差关系推出证明出出结．
详解
解：（1）∵
∴
∴
中根三角形三边关系出：
∴
答案：
（2）延长FDMDFDM连接BMEM
（1）出
∵
∴
中
∴
（3）理：
延长ABNBNDF连接CN
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴（SAS）
∴
∴
∴．
点睛
题考查知识点旋转性质全等三角形判定性质线段垂直分线性质三角形三边关系角差等解答题关键作出辅助线构造出图①中结构相关图形．题结构精巧考查范围广综合性强．
18．阅读列材料：
定义：四边形条角线四边形分成两等腰三角形称条角线四边形谐线四边形做谐四边形 正方形谐四边形
结合阅读材料完成列问题：
（1） 列四边形定谐四边形（ ）
A行四边形 B矩形 C菱形 D等腰梯形
（2）四边形ABCD中ABADBC∠BAD90°AC四边形ABCD谐线请直接写出∠BCD度数
答案（1）C(2) 135°90°45°
解析
试题分析：(1)根谐四边形定义知：菱形谐四边形
（2）首先根题意画出图形然AC四边形ABCD谐线出△ACD等腰三角形图1图2图3三种情况运等边三角形性质正方形性质30°直角三角形性质求出∠BCD度数．
试题解析：∵AC四边形ABCD谐线
∴△ACD等腰三角形．
∵ABADBC
图1ADAC时
∴ABACBC∠ACD∠ADC
∴△ABC正三角形
∴∠BAC∠BCA60°．
∵∠BAD90°
∴∠CAD30°
∴∠ACD∠ADC75°
∴∠BCD60°+75°135°．
图2ADCD时
∴ABADBCCD．
∵∠BAD90°
∴四边形ABCD正方形
∴∠BCD90°
图3ACCD时点C作CE⊥ADE点B作BF⊥CEF
∵ACCD．CE⊥AD
∴AEAD∠ACE∠DCE．
∵∠BAD∠AEF∠BFE90°
∴四边形ABFE矩形．
∴BFAE．
∵ABADBC
∴BFBC
∴∠BCF30°．
∵ABBC
∴∠ACB∠BAC．
∵AB∥CE
∴∠BAC∠ACE
∴∠ACB∠ACE∠BCF15°
∴∠BCD15°×345°．
综：∠BCD度数：135°90°45°
考点：等腰三角形性质．
19．类等腰三角形定义定义：组邻边相等凸四边形做等邻边四边形．
概念理解：
图四边形中添加条件四边形等邻边四边形．请写出添加条件添加条件________．
问题探究：
图等邻边四边形中求角线长．
拓展应：
图等邻边四边形中角线试探究数量关系．
答案（1）．（2）（3）
分析
（1）根定义知：需组邻边相等．
（2）ABAD∠BAD60°知△ABD等边三角形∠ABC∠ADC90°知CBCDAC垂直分BD然利直角三角形相关性质分计算出AOOC长度．
（3）∠BAD+∠BCD90°考虑构造直角三角形该直角三角形三边长度分ACBCCD长度然利勾股定理出AC2BC2+CD2
详解
（1）根定义：ABBC．
（2）连接ACBD交点O图
∵ABAD∠BAD60°
∴△ABD等边三角形
∴∠ABD∠ADB60°
∵∠ABC∠ADC90°
∴∠CBD∠CDB30°
∴CBCD
∴AC垂直分BD
∴
∴
Rt△BOC中
∴OC
∴ACAO+OC4
（3）点C作CE⊥BC点CCECD
∵∠BAD+∠BCD90°
∴∠DCE60°
∴△CDE等边三角形
∴DECD∠EDC60°
∵ABAD∠DAB60°
∴△ABD等边三角形
∴ADBD∠ADB60°
△ADC△BDE中
∴△ADC≌△BDE（SAS）
∴ACBE
∵∠BCE90°
∴BE2BC2+CE2
AC2BC2+CD2
点睛
题三角形综合题考查新定义等邻边四边形理解新定义利构造直角三角形然利等边三角形性质勾股定理全等三角形判定性质出结．新定义理解解题关键．
20．阅读列材料：
定义：四边形条角线四边形分成两等腰三角形条角线四边形谐线四边形做谐四边形．正方形谐四边形．结合阅读材料完成列问题：
（1）列四边形定谐四边形 ．
A．行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命题：谐四边形定轴称图形 命题（填真假）．
（3）图等腰Rt△ABD中∠BAD＝90°．点C面点AC凸四边形ABCD谐线AB＝BC请求出∠ABC度数．
答案（1） C （2）假（3）∠ABC度数60°90°150°
分析
（1）谐四边形定义菱形谐四边形
（2）谐四边形定轴称图形举出反例
（3）首先根题意画出图形然AC四边形ABCD谐线出△ACD等腰三角形图1图2图3三种情况运等边三角形性质正方形性质30°直角三角形性质求出∠ABC度数．
详解
（1）根谐四边形定义行四边形矩形等腰梯形角线四边形分成两等腰三角形菱形条角线四边形分成两等腰三角形够．
选C
（2）谐四边形定轴称图形图示：
∠C45°直角梯形ABCD谐四边形轴称图形
答案：假
（3）∵AC四边形ABCD谐线ABBC
∴△ACD等腰三角形
∵等腰Rt△ABD中ABAD
∴ABADBC
①图1ADAC时
∴ABACBC∠ACD∠ADC
∴△ABC正三角形
∴∠ABC60°
②图2DADC时
∴ABADBCCD．
∵∠BAD90°
∴四边形ABCD正方形
∴∠ABC90°
③图3CACD时点C作CE⊥ADE点B作BF⊥CEF
∵ACCDCE⊥AD
∴AEED∠ACE∠DCE．
∵∠BAD∠AEF∠BFE90°
∴四边形ABFE矩形
∴BFAE．
∵ABADBC
∴BFBC
∴∠BCF30°．
∵ABBC
∴∠ACB∠BAC．
∵AB∥CE
∴∠BAC∠ACE
∴∠ACB∠BAC∠BCF15°
∴∠ABC150°．
点睛
题考查等腰直角三角形性质等腰三角形性质矩形性质正方形性质菱形性质题难度较解题关键掌握数形结合思想分类讨思想应．
21．阅读理解：
折纸常常证明命题提供思路方法．例△ABC中AB＞AC（图）样证明∠C＞∠B呢？
分析：AC∠A角分线AD翻折AB＞AC点C落AB点处操作易证明≌>∠B∠C>∠B．
感悟应：
（1）图（a）△ABC中∠ACB90°∠B30°CD分∠ACB试判断ACADBC间数量关系说明理
（2）图（b）四边形ABCD中AC分∠BADAC16AD8DCBC12
① 求证：∠B+∠D180°
② 求AB长．
答案（1）BCACAD（2）①见解析②14
解析
分析
（1）CB截取CECA连接DE．证△ACD≌△ECDDEAD∠A∠CED60°进步∠CED2∠CBA外角性质∠CBA∠BDE等角等边DEBE结．
（2）①AB截取AEAD连接EC．易证△CDA≌△CEA∠CEA∠DCECD．等量代换BCCE等边等角∠B∠CEB．邻补角性质结
②C作CF⊥ABF．设FBxCFh．等腰三角形三线合FEBFx．Rt△BFCRt△FCA中分利勾股定理列方程求解．
详解
（1）BCACAD．理：
图CB截取CECA连接DE．
∵CD分∠ACB理证△ACD≌△ECD∴DEAD∠A∠CED60°．
∵∠ACB90°∴∠CBA30°∴∠CED2∠CBA．
∵∠CED∠CBA+∠BDE∴∠CBA∠BDE∴DEBE∴ADBE．
∵BEBCCEBCAC∴BCACAD．
（2）①AB截取AEAD连接EC．
∵AC分∠DAB∴∠EAC∠DAC．△CDA△CEA中∵EADA∠EAC∠DACACAC∴△CEA≌△CDA∴∠CEA∠DCECD．
∵DCBC∴BCCE∴∠B∠CEB．
∵∠CEA+∠CEB180°∴∠B+∠D180°
②C作CF⊥ABF．设FBxCFh．
∵CBCECF⊥BE∴FEBFx．Rt△BFC中∵BF2+CF2BC2∴①Rt△FCA中②解方程组①②：x3．∴ABBF+FE+EA2×3+814．
点睛
题考查等腰三角形判定性质角分线性质全等三角形判定性质等知识点难度适中．证明线段差关系等式时采截长补短法截长长条线段分二中条等两条短线段中条样需证明剩两条线段应相等补短两条短线段拼接起形条长线段然需证明两条长线段相等．截长补短体现分合思维终效果致．
22．图①梯形ABCD中DC∥ABDE⊥AB点E．
阅读理解：
图①中延长梯形ABCD两腰ADBC交点P点D作DF∥CB交AB点F图②四边形BCDF面积△ADF面积△PDC面积．
（1）图②中DC2AB8DE3S S1______S2
（2）图②中__________写出理
（3）图③□DEFC四顶点△PAB三边△PDC△ADE△CFB面积分235试利（2）中结求△PAB面积．
答案（1）S19S21（2）4（3）18
分析
（1）先判定四边形BCDF行四边形然利行四边形面积公式求出S根行四边形边相等先求出BF长度求出AF长度然利三角形面积公式求出S1先利相似三角形应高等应边求出△PDCDC边高然利三角形面积公式求解
（2）（1）中数字换成字母先求出SS1然根相似三角形应高等应边求出△PDCDC边高利三角形面积公式表示出S2代入代数式进行计算
（3）图③△ADE△BCF面积合成S1然代入（2）中结计算．
详解
（1）∵DC∥ABDF∥BC
∴四边形BCDF行四边形
∴BFDC2
∴SDC•DE2×36
S1AF•DE（ABBF）•DE×（82）×39
设△PDCDC边高x
∵DC∥AB
∴△PDC∽△PAB
∴
解x
∴S2×DC×x×2×11
（2）4
理：∵DF∥CBDC∥AB
∴四边形BCDF行四边形．
∴△PDC∽△ADFBFDCb
∴．
∵∴．
∴
∵∴4
（3）
∴．
∵四边形DEFC行四边形
∴． ∴．
∴． ∴△DBF≌△HDE．
∴△ADH面积．
（2）□BCDH面积．
∴△ABC面积
点睛
题考查相似三角形判定性质行四边形判定性质三角形行四边形面积求法获取题目信息灵活运信息解题关键题学生力求较高．
23．阅读理解回答问题：
方程两实数根．元二次方程根系数关系：众周知韦达定理．
(1)已知 m n 方程两实数根解方程求值
(2)关 x 方程三实数根．
① 值
②求值．
答案（1）201（2）①4②
分析
(1)根根系数关系求解
(2)①根关 x 方程三实数根划开求解
②①x2表示出利关x2二次函数求出值值．
详解
解：（1）已知
（2）①题意
值4
②①
时值
时
∴值．
点睛
题考查根系数关系拓展解题关键熟知根系数关系整式运算法二次函数性质．
24．（1）阅读理解：图1中．求边中线取值范围．解决问题方法：延长点连接（绕着点逆时针旋转）集中中利三角形三边关系判断中线取值范围______
（2）问题解决：图2中边中点点交点交点连接求证：
（3）问题拓展：图3四边形中顶点作角角两边分交两点连接探索线段间数量关系加证明．
答案（1）（2）见解析（3）见解析
分析
（1）延长ADEDEADSAS证明△ACD≌△EBD出BEAC6△ABE中三角形三边关系求出AE取值范围出AD取值范围
（2）延长FD点MDMDF连接BMEM（1）△BMD≌△CFD出BMCF线段垂直分线性质出EMEF△BME中三角形三边关系出BE+BM＞EM出结
（3）延长AB点NBNDF连接CN证出∠NBC∠DSAS证明△NBC≌△FDC出CNCF∠NCB∠FCD证出∠ECN70°∠ECFSAS证明△NCE≌△FCE出ENEF出结．
详解
（1）解：延长ADEDEAD连接BE图①示：
∵ADBC边中线
∴BDCD
△BDE△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴BEAC6
△ABE中三角形三边关系：ABBE＜AE＜AB+BE
∴106＜AE＜10+64＜AE＜16
∴2＜AD＜8
答案：2＜AD＜8
（2）证明：延长点连接图示
（1）
中三角形三边关系
（3）
证明：
延长点连接图示
中
中
．
点睛
题考查三角形三边关系全等三角形判定性质角关系等知识题综合性强定难度通作辅助线证明三角形全等解决问题关键．
25．阅读材料：已知图（1）面积S△ABC中 BCaACb ABc切圆O半径r连接OAOBOC△ABC划分三三角形．
∴．
（1）类推理：面积S四边形ABCD存切圆（边相切圆）图（2）边长分ABaBCbCDcADd求四边形切圆半径r
（2）理解应：图(3)等腰梯形ABCD中AB∥DCAB21CD11AD13⊙O1⊙O2分△ABD△BCD切圆设半径分r1r2求值
答案（1）（2）
分析
（1）图连接OAOBOCOD△AOB△BOC△COD△DOA点O顶点高r三角形根求四边形切圆半径r
（2）点D作DE⊥AB点E分求AE长进BE 长然利勾股定理求BD长然根两式相值
详解
解：（1）图（2）连接OAOBOCOD
∵
∴
（2）图（3）点D作DE⊥AB点E
∵梯形ABCD等腰梯形
∴
∴
Rt△AED中
∵AD13AE5∴DE12
∴
∵AB∥DC∴
∵
∴
26．阅读应：
阅读1：ab实数a＞0b＞0（a＝b时取等号）．
阅读2：函数（常数m＞0x＞0）阅读1结知： 时函数值．
阅读理解述容解答列问题：
问题1：已知矩形面积4中边长x边长周长求x＝__________时周长值__________．
问题2：已知函数y1＝x＋1（x＞－1）函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1）x＝__________时 值__________．
问题3：某民办学天支出总费包含三部分：教职工工资6400元二学生生活费10元三费．中费学生数方成正例系数001．学校学生数少时该校天生均投入低？低费少元？（生均投入＝支出总费÷学生数）
答案问题1： 2 8 问题2： 3 8 问题3：设学校学生数x生均投入y元题意： x＞0x800时y取值26．答：学校学生数800时该校天生均投入低低费26元
解析试题分析：
问题1： 时周长值求x值周长值
问题2：变形x+1 时 值求出x值值
问题3：设学校学生数x生均投入y元根生均投入支出总费÷学生数列出关系式根前两题解法求解．
试题解析：
问题1：∵ ( x>0)时周长值
∴x2
∴x2时值4．x2时周长值2×48
问题2：∵y1＝x＋1（x＞－1）函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1）
∴
∵x+1 （x＞－1）时 值
∴x3
∴x3时 值4+4＝8x3时 值8
问题3：设学校学生数x生均投入y元题意
x＞0x800时y取值26
答：学校学生数800时该校天生均投入低低费26元．
27．（阅读材料）知图1面积S△ABC中BCaACbABc切⊙O半径r连接OAOBOC△ABC划分三三角形．
∵SS△OBC＋S△OAC＋S△OABBC·r＋AC·r＋AB·ra·r＋b·r＋c·r（a＋b＋c）r
∴
（1）（类推理）图2面积S四边形ABCD存切圆（边相切圆）边长分ABaBCbCDcADd求四边形切圆半径r值
（2）（理解应）图3Rt△ABC中切圆O半径r⊙O△ABC分相切DEF知AD3BD2求r值
答案（1）（2）1
分析
（1）已知已出示例仿例子连接OAOBOCOD四边形分四三角形三角形切圆半径高四边形边作底题目情形类似．仿证明程r易．
（２）连接OEODOF示例易求出r
详解
（1）图2连接OAOBOCOD．
∵SS△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD
∴．
（2）连接OEOF四边形OECF正方形
OEECCFFOr
Rt△ABC中AC2＋BC2AB2
（3＋r）2＋（2＋r）252
r2＋5r60解：r1（负根舍）．
考点：圆综合题
28．定义：角互补组邻边相等四边形称奇异四边形．
（1）概念理解：
行四边形菱形矩形正方形中认属奇异四边形__________
（2）性质探究：
①图1四边形ABCD奇异四边形ABAD求证：CA分∠BCD
②图2四边形ABCD奇异四边形ABAD∠BCD2α试说明：cosα
（3）性质应：
图3四边形ABCD奇异四边形四条边中仅BCCD四边形ABCD周长6+2∠BAC45°AC3求奇异四边形ABCD面积．
答案（1）正方形（2）①见解析②见解析（3）9
解析
分析
（1）利奇异四边形定义直接判断
（2）①图1点A作AM⊥CBMAN⊥CDN．证明△AMB≌△AND根全等三角形性质AMAN根角部角两边距离相等点角分线证明
②①知：∠ACD∠BCDα根CNCD–DNCD–BMCD–（CM–BC）CD–（CN–BC）CNRt△ACN中根余弦定义证明
（3）连接BD．（2）知：cos45°AD+AB2AC×6根四边形ABCD周长6+2BCCD∠DAB90°根奇异四边形性质∠BCD90°根S四边形ABCDS△ADB+S△BDC求解
详解
（1）根奇异四边形定义知：正方形奇异四边形答案正方形．
（2）①图1点A作AM⊥CBMAN⊥CDN．
∵∠ABC+∠D180°∠ABM+∠ABC180°
∴∠ABM∠D
∵∠AMB∠AND90°ABAD
∴△AMB≌△AND
∴AMAN∵AM⊥CBMAN⊥CDN∴CA分∠BCD．
②①知：∠ACD∠BCDα
∵CNCD–DNCD–BMCD–（CM–BC）CD–（CN–BC）
∴CN
Rt△ACN中cosα．
（3）图3连接BD．
（2）知：cos45°∴AD+AB2AC×6
∵四边形ABCD周长6+2∴BCCD
∵∠BAC∠DAC45°
∴∠DAB90°
∵四边形奇异四边形∴∠BCD90°
∵AD+AB6∴（AD+AB）2AD2+2AD•AB+AB236
∵AD2+AB2BD2BC2+CD220
∴AD•AB8∴S四边形ABCDS△ADB+S△BDC•AD•AB+•CD•BC9．
29．阅读材料：
材料：实数定义含义：时时．例：．
材料二：关数学家高斯事200年前高斯算术老师提出面问：说学忙100数逐项相加时十岁高斯面方法迅速算出正确答案：．样理解：令①②①+②：．
根材料回答列问题：
（1）已知求值
（2）正数求值．
答案（1）10（2）19800
分析
（1）代入公式求解．
（2）根代入公式求解出m值m值代入原式中利公式求解．
详解
（1）
（2）
正数
原式
点睛
题考查新定义运算掌握新定义运算规解题关键．
30．阅读探究
请阅读列材料完成相应务：
凸四边形性质研究
果某四边形边两端延长边延长直线旁样四边形做凸四边形．凸四边形数学学中常见图形非常趣性质意凸四边形角线分成两顶三角形面积积相等．
例图1中凸四边形角线相交点面积分证明程：
务：
（1）请材料中证明程补充完整
（2）图2意凸四边形角线相交点分记面积求证
（3）图3四边形中角线相交点四边形面积________________．
答案（1）见解析（2）见解析（3）
分析
（1）根三角形高相面积等底求解
（2）分点作点点根三角形高相面积等底计算
（3）设根意凸四边形角线分成两顶三角形面积积相等求解．
详解
解：（1）∵
（2）答图分点作点点．
（3）
设
根意凸四边形角线分成两顶三角形面积积相等
：3x²4×624x2
∴四边形面积+++4+6++10+8．
点睛
题考查面积等积变换掌握三角形高相面积等底意凸四边形角线分成两顶三角形面积积相等解题关键．
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