余弦定理
选择题
1．△ABC中∠A∠B∠C边分abca＝b＝3∠A＝60°c＝( )
A．1 B．2
C．4 D．6
2．△ABC中已知b2＝acc＝2acos B等( )
A B
C D
3．△ABC中角ABC应边分abc果A＝60°b＝3△ABC面积S＝a等( )
A B．7
C D．17
4．△ABC中sin2A＋sin2BA．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．
二填空题
5．△ABC中a2＋c2－b2＝ac∠B值________．
6．△ABC中2cos Bsin A＝sin C△ABC形状定________．
7．△ABC中b＝2c＝2∠C＝a＝________
三解答题
8．△ABC中∠A∠B∠C边分abc已知a＝2c＝5cos B＝
(1)求b值
(2)求sin C值．
9．已知△ABC中(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab2cos Asin B＝sin C试判断△ABC形状．
10．△ABC中角ABC边分abca2－(b－c)2＝(2－)bcsin Asin B＝cos2BC边中线AM长
(1)求角A角B
(2)求△ABC周长．
1．解析：a2＝c2＋b2－2cbcos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos 60°c2－3c－4＝0解c＝4c＝－1(舍)选C
答案：C
2．解析：∵b2＝acc＝2a∴b2＝2a2b＝a
∴cos B＝＝＝
答案：B
3．解析：先根面积公式计算出c值然利A＝60°余弦定理求解a值．
S＝bcsin A＝＝c＝2
cos A＝＝a＝选A
答案：A
4．解析：正弦定理a2＋b2∴∠C钝角△ABC钝角三角形．
答案：A
5．解析：根余弦定理cos B＝＝＝∠B∈(0π)∠B＝
答案：
6．解析：∵2cos Bsin A＝sin C
∴2××a＝c
∴a＝b△ABC等腰三角形．
答案：等腰三角形
7．解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C
∴(2)2＝a2＋22－2a×2×cos
∴a2＋2a－8＝0(a＋4)(a－2)＝0
∴a＝2a＝－4(舍)．∴a＝2
答案：2
8．解：(1)b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17b＝
(2)cos B＝sin B＝
正弦定理＝＝
sin C＝
9．解：方法：(利边关系判断)
正弦定理＝
∵2cos Asin B＝sin C∴cos A＝＝
∵cos A＝∴＝
∴c2＝b2＋c2－a2∴a2＝b2∴a＝b
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab
∴(a＋b)2－c2＝3ab∵a＝b∴4b2－c2＝3b2
∴b2＝c2∴b＝c∴△ABC等边三角形．
方法二：(利角关系判断)
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°∴sin C＝sin(A＋B)．
∵2cos Asin B＝sin C
∴2cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
∴sin Acos B－cos Asin B＝0∴sin(A－B)＝0
∵0°<∠A<180°0°<∠B<180°
∴－180°<∠A－∠B<180°
∴∠A－∠B＝0°∠A＝∠B
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab∴(a＋b)2－c2＝3ab
∴a2＋b2－c2＝ab∵c2＝a2＋b2－2abcos C
∴cos C＝＝∴∠C＝60°
∴△ABC等边三角形．
10．解：(1)a2－(b－c)2＝(2－)bca2－b2－c2＝－bc
cos A＝＝
0sin Asin B＝cos2sin B＝
sin B＝1＋cos Ccos C<0C钝角．B锐角B＋C＝
sin＝1＋cos C化简cos＝－1解C＝B＝
(2)(1)知a＝b余弦定理AM2＝b2＋2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2解b＝2
＝c＝c＝2
△ABC周长4＋2
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选择题
1．△ABC中∠A∠B∠C边分abca＝b＝3∠A＝60°c＝( )
A．1 B．2
C．4 D．6
2．△ABC中已知b2＝acc＝2acos B等( )
A B
C D
3．△ABC中角ABC应边分abc果A＝60°b＝3△ABC面积S＝a等( )
A B．7
C D．17
4．△ABC中sin2A＋sin2B
C．直角三角形 D．
二填空题
5．△ABC中a2＋c2－b2＝ac∠B值________．
6．△ABC中2cos Bsin A＝sin C△ABC形状定________．
7．△ABC中b＝2c＝2∠C＝a＝________
三解答题
8．△ABC中∠A∠B∠C边分abc已知a＝2c＝5cos B＝
(1)求b值
(2)求sin C值．
9．已知△ABC中(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab2cos Asin B＝sin C试判断△ABC形状．
10．△ABC中角ABC边分abca2－(b－c)2＝(2－)bcsin Asin B＝cos2BC边中线AM长
(1)求角A角B
(2)求△ABC周长．
1．解析：a2＝c2＋b2－2cbcos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos 60°c2－3c－4＝0解c＝4c＝－1(舍)选C
答案：C
2．解析：∵b2＝acc＝2a∴b2＝2a2b＝a
∴cos B＝＝＝
答案：B
3．解析：先根面积公式计算出c值然利A＝60°余弦定理求解a值．
S＝bcsin A＝＝c＝2
cos A＝＝a＝选A
答案：A
4．解析：正弦定理a2＋b2
答案：A
5．解析：根余弦定理cos B＝＝＝∠B∈(0π)∠B＝
答案：
6．解析：∵2cos Bsin A＝sin C
∴2××a＝c
∴a＝b△ABC等腰三角形．
答案：等腰三角形
7．解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C
∴(2)2＝a2＋22－2a×2×cos
∴a2＋2a－8＝0(a＋4)(a－2)＝0
∴a＝2a＝－4(舍)．∴a＝2
答案：2
8．解：(1)b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17b＝
(2)cos B＝sin B＝
正弦定理＝＝
sin C＝
9．解：方法：(利边关系判断)
正弦定理＝
∵2cos Asin B＝sin C∴cos A＝＝
∵cos A＝∴＝
∴c2＝b2＋c2－a2∴a2＝b2∴a＝b
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab
∴(a＋b)2－c2＝3ab∵a＝b∴4b2－c2＝3b2
∴b2＝c2∴b＝c∴△ABC等边三角形．
方法二：(利角关系判断)
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°∴sin C＝sin(A＋B)．
∵2cos Asin B＝sin C
∴2cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
∴sin Acos B－cos Asin B＝0∴sin(A－B)＝0
∵0°<∠A<180°0°<∠B<180°
∴－180°<∠A－∠B<180°
∴∠A－∠B＝0°∠A＝∠B
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab∴(a＋b)2－c2＝3ab
∴a2＋b2－c2＝ab∵c2＝a2＋b2－2abcos C
∴cos C＝＝∴∠C＝60°
∴△ABC等边三角形．
10．解：(1)a2－(b－c)2＝(2－)bca2－b2－c2＝－bc
cos A＝＝
0
sin B＝1＋cos Ccos C<0C钝角．B锐角B＋C＝
sin＝1＋cos C化简cos＝－1解C＝B＝
(2)(1)知a＝b余弦定理AM2＝b2＋2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2解b＝2
＝c＝c＝2
△ABC周长4＋2
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