2021高考仿真模拟卷()
选择题：题8题题5分40分．题出四选项中项符合题目求．
1．集合A＝{32a}B＝{ab}A∩B＝{2}A∪B＝( )
A．{123} B．{013}
C．{0123} D．{1234}
答案 A
解析 A∩B＝{2}2∈A2a＝2解a＝1b＝2A＝{32}B＝{12} A∪B＝{123}．
2．(2020·山东济宁邹城市第中学高三五模)已知复数z＝a2i－2a－i正实数实数a值( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
答案 C
解析 z＝a2i－2a－i＝－2a＋(a2－1)i正实数－2a>0a2－1＝0解a＝－1选C
3．(2020·天津高考)设a∈Ra＞1a2＞a( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案 A
解析 求解二次等式a2＞aa＞1a＜0知a＞1a2＞a充分必条件．选A
4．已知Sn等差数列{an}前n项2＋a5＝a6＋a3S7＝( )
A．2 B7
C14 D．28
答案 C
解析 ∵2＋a5＝a6＋a3＝a5＋a4解a4＝2∴S7＝＝7a4＝14选C
5．(2020·山东泰安三模)函数f(x)＝x3cos＋sinx[－ππ]图象致( )
答案 A
解析 f(－x)＝－f(x)f(x)奇函数排BDf＝3×＋f＝3×＋知f>f结合图象知选A
6．(2020·山东济南高三学期期末)抛物线y2＝2px(p＞0)焦点准线距离2焦点直线抛物线交AB两点|AB|＝8弦AB中点y轴距离( )
A．2 B．3
C．4 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p＞0)焦点准线距离2＋＝2p＝2抛物线方程y2＝4x焦点直线抛物线交AB两点设A(x1y1)B(x2y2)抛物线性质焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p8＝x1＋x2＋2x1＋x2＝6弦AB中点y轴距离d＝＝＝3选B
7．(2020·河南洛阳第三次统考试)(2x＋1)5展开式中x3系数( )
A．180 B．90
C．20 D．10
答案 A
解析 5展开式通项公式Tr＋1＝C3rx5－项次数次52－1－x3系数2x＋1次项系数25展开式x2系数．5展开式通项公式Tr＋1＝C3rx5－知5－＝2解r＝2x3系数2×C32＝180选A
8．(2020·山东烟台模)已知函数f(x)＝实数mn满足等式f(2m－n)＋f(2－n)＞0列等关系成立( )
A．m＋n＞1 B．m＋n＜1
C．m－n＞－1 D．m－n＜－1
答案 C
解析 ∵f(x)＝(x∈R)∴f(－x)＝∴f(x)＝－f(－x)f(x)R奇函数．f(x)求导f′(x)＝＞0∴f(x)R单调递增．∵f(2m－n)＋f(2－n)＞0∴f(2m－n)＞－f(2－n)＝f(n－2)∴2m－n＞n－2m－n＞－1选C
二选择题：题4题题5分20分．题出选项中项符合题目求．全部选5分选错0分部分选3分．
9．(2020·山东枣庄二调)2019年4月23日国家统计局统计2019年第季度居民均消费支出情况绘制饼状图(图)列说法正确( )
A．第季度居民均月消费支出约1633元
B．第季度居民均收入4900元
C．第季度居民食品烟酒项目均消费支出
D．第季度居民居住项目均消费支出1029元
答案 ACD
解析 饼状图知第季度衣着消费441元占总体9总支出＝4900元居民均月消费支出≈1633元A正确第季度居民均消费4900元收入B错误食品烟酒项目占31C正确第季度居民居住项目均消费支出4900×21＝1029元D正确．选ACD
10．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)函数y＝2cosx＋1图象点横坐标缩短原坐标变左移单位函数f(x)图象列说法正确( )
A．点函数f(x)图象称中心
B．函数f(x)单调递减
C．函数f(x)图象函数g(x)＝2sin＋1图象相
D．x1x2函数f(x)零点x1－x2π整数倍
答案 BC
解析 函数y＝2cosx＋1图象点横坐标缩短原坐标变函数y＝2cos2x＋1图象左移单位函数f(x)＝2cos＋1图象．令x＝求f(x)＝1A错误x∈2x＋∈f(x)＝2cos＋1单调递减B正确f(x)＝2cos＋1＝2cos＋1＝2sin＋1＝g(x)函数f(x)图象函数g(x)图象相C正确令f(x)＝2cos＋1＝0cos＝－2x＋＝2kπ＋(k∈Z)2x＋＝2kπ＋(k∈Z)x＝kπ＋(k∈Z)x＝kπ＋(k∈Z)妨设x1＝x2＝x1－x2＝π整数倍D错误．选BC
11．(2020·山东省实验中学高三4月高考预测)棱长1正方体ABCD－A1B1C1D1中点M棱CC1列结正确( )
A．直线BM面ADD1A1行
B．面BMD1截正方体截面三角形
C．异面直线AD1A1C1成角
D．|MB|＋|MD1|值
答案 ACD
解析 图示易知面BCC1B1∥面ADD1A1BM⊂面BCC1B1直线BM面ADD1A1行A正确面BMD1截正方体截面BMD1N四边形B错误连接BC1A1B易知AD1∥BC1异面直线AD1A1C1成角∠A1C1BA1B＝A1C1＝BC1∠A1C1B＝C正确延长DCB′CB′＝1易知BM＝B′M|MB|＋|MD1|≥D1B′＝MCC1中点时等号成立D正确．选ACD
12．(2020·山东济宁三模)已知直线y＝－x＋2分函数y＝exy＝ln x图象交点A(x1y1)B(x2y2)列结正确( )
A．x1＋x2＝2 B．ex1＋ex2>2e
C．x1ln x2＋x2ln x1<0 D．x1x2>
答案 ABC
解析 函数y＝exy＝ln x互反函数函数y＝exy＝ln x图象关直线y＝x称y＝－x＋2y＝x联立x＝1y＝1直线y＝－x＋2分函数y＝exy＝ln x图象交点A(x1y1)B(x2y2)作出函数图象图A(x1y1)B(x2y2)中点坐标(11)A＝1解x1＋x2＝2A正确Bex1＋ex2≥2＝2＝2＝2ex1≠x2等号成立ex1＋ex2>2eB正确Cy＝－x＋2y＝ex联立－x＋2＝exex＋x－2＝0设f(x)＝ex＋x－2函数单调递增函数f(0)＝1＋0－2＝－1<0f＝e＋－2＝e－>0函数f(x)零点00g()＝2－－＝－<010h(x)＝xln x(1)单调递增x1x2＝x2ln x2
三填空题：题4题题5分20分．
13．(2020·山东德州二模)已知双曲线C点(2－1)双曲线－＝1相渐线双曲线C标准方程________．
答案 －＝1
解析 题意设求双曲线方程－＝k双曲线点(2－1)－＝kk＝双曲线方程－＝－＝1
14．黎曼函数特殊函数德国数学家黎曼发现提出高等数学中着广泛应定义：R(x)＝f(x)定义R正周期1函数x∈[01]时f(x)＝R(x)f＋f(lg 20)＝________
答案
解析 函数f(x)正周期1
f＋f(lg 20)＝f＋f(lg 2＋1)＝f＋f(lg 2)＝＋0＝
15．(2020·山东滨州三模)已知PABC球O球面四点PA⊥面ABCPA＝2BC＝6AB⊥AC球O表面积________．
答案 45π
解析 PA⊥面ABCPA⊥ABPA⊥ACAB⊥AC三棱锥P－ABC补形长方体图示长方体外接球三棱锥P－ABC外接球球OPA＝2BC＝6BC＝3设AB＝aAC＝ba2＋b2＝BC2＝9长方体角线长＝＝设球O半径R2R＝球O表面积4πR2＝45π
16．图正方形ABCD边长2顶点AB分y轴非负半轴x轴非负半轴移动ECD中点·值________．
答案 5＋
解析 根题意设∠OBA＝αA(02sinα)B(2cosα0)根正方形特点确定出C(2cosα＋2sinα2cosα)D(2sinα2sinα＋2cosα)根中点坐标公式求E(cosα＋2sinαsinα＋2cosα)·＝2sinα(cosα＋2sinα)＋(2sinα＋2cosα)(sinα＋2cosα)＝4＋8sinαcosα＋2sin2α＝5＋4sin2α－cos2α＝5＋sin(2α－φ)中sinφ＝cosφ＝2α－φ＝时存符合题意角αsin(2α－φ)取值1值5＋
四解答题：题6题70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17(2020·江苏高考)(题满分10分)△ABC中角ABC边分abc已知a＝3c＝B＝45°
(1)求sinC值
(2)边BC取点Dcos∠ADC＝－求tan∠DAC值．
解 (1)余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋2－2×3××＝5b＝3分
正弦定理＝sinC＝＝5分
(2)cos∠ADC＝－∠ADC∈
sin∠ADC＝＝
∠ADC∈C∈
cosC＝＝7分
sin∠DAC＝sin(π－∠DAC)＝sin(∠ADC＋∠C)
＝sin∠ADCcosC＋cos∠ADCsinC
＝×＋×＝8分
∠DAC∈
cos∠DAC＝＝9分
tan∠DAC＝＝10分
18．(2020·山东烟台模)(题满分12分)已知等差数列{an}前n项Sn{bn}项均正数等数列a1＝b4________b2＝8b1－3b3＝4否存正整数k数列前k项Tk＞？存求出k值存说明理．
①S4＝20②S3＝2a3③3a3－a4＝b2三条件中选补充面问题中作答．
注：果选择条件分解答第解答计分．
解 设等数列{bn}公q(q＞0)
b1＝b3＝8q－3×8q＝42分
6q2＋q－2＝0解q＝q＝－(舍)4分
选①：a1＝b4＝2S4＝4a1＋d＝20
解d＝26分
Sn＝2n＋×2＝n2＋n8分
＝＝－9分
Tk＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－10分
令1－＞解k＞15存正整数kTk>k值1612分
选②：a1＝b4＝23a1＋d＝2(a1＋2d)解d＝26分
①12分
选③：a1＝b4＝23(a1＋2d)－(a1＋3d)＝8解d＝6分
Sn＝2n＋×＝n2＋n8分
＝×＝9分
Tk＝＝＝－10分
令Tk＞＋＜整理k2－5k－10>0
k正整数解k≥7
k值712分
19．(2020·新高考卷Ⅰ)(题满分12分)加强环境保护治理空气污染环境监测部门某市空气质量进行调研机抽查100天空气中PM25SO2浓度(单位：μgm3)表：
[050]
(50150]
(150475]
[035]
32
18
4
(3575]
6
8
12
(75115]
3
7
10
(1)估计事件该市天空气中PM25浓度超75SO2浓度超150概率
(2)根数完成面2×2列联表：
[0150]
(150475]
[075]
(75115]
(3)根(2)中列联表判断否99握认该市天空气中PM25浓度SO2浓度关？
附：K2＝
P(K2≥k0)
0050
0010
0001
k0
3841
6635
10828
解 (1)表格知该市100天中空气中PM25浓度超75SO2浓度超15032＋6＋18＋8＝64天
该市天空气中PM25浓度超75SO2浓度超150概率＝0644分
(2)数2×2列联表：
[0150]
(150475]
[075]
64
16
(75115]
10
10
8分
(3)根2×2列联表中数
K2＝
＝＝≈7484>6635
99握认该市天空气中PM25浓度SO2浓度关12分
20．(2020·山东潍坊模)(题满分12分)图等腰直角三角形ADP中∠A＝90°AD＝3BC分APDP点BC∥ADEF分ABPC中点．现△PBCBC折起四棱锥P－ABCD连接EF
(1)证明：EF∥面PAD
(2)否存点B△PBCBC折起PA⊥AB时二面角P－CD－E余弦值等？存求出AB长存请说明理．
解 (1)证法：作CM∥AB交AD点M连接PM取PM中点N连接ANFN三角形中位线定理FN∥CMFN＝CM3分
EAB中点AE∥CMAE＝CMFN∥AEFN＝AE四边形AEFN行四边形EF∥AN
AN⊂面PADEF⊄面PADEF∥面PAD5分
证法二：取CD中点G连接EGFG
EF分ABPC中点
FG∥PDEG∥AD3分
FG∩EG＝G
面EFG∥面PAD
EF⊂面EFG
EF∥面PAD5分
(2)存．理：
BC⊥ABBC⊥PBAB∩PB＝BBC⊥面PAB
BC∥ADAD⊥面PABPA⊥AD6分
AB⊥ADPA⊥AB
A坐标原点ABADAP直线分x轴y轴z轴建立图示空间直角坐标系连接DECE设AB＝a
PB＝BC＝3－aPB＞AB0＜a＜PA＝
A(000)C(a3－a0)P(00)D(030)8分
＝(a－a0)＝(0－3)．
设面PCD法量n＝(xyz)
令y＝1n＝10分
面CDE法量m＝(001)
题意＝|cos〈nm〉|＝
＝解a＝1AB长1
存点B时AB长112分
21．(2020·山东滨州二模)(题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)点(1)离心率
(1)求椭圆C方程
(2)设直线l：y＝kx＋t(t≠0)椭圆C相交AB两点OAOB邻边行四边形OAPB顶点P椭圆C求证：行四边形OAPB面积定值．
解 (1)椭圆C点(1)代入椭圆方程
＋＝1① 2分
椭圆C离心率＝a2＝2b2② 4分
联立①②解a2＝4b2＝2
椭圆C方程＋＝15分
(2)证明：y＝kx＋t代入椭圆方程＋＝1
(2k2＋1)x2＋4ktx＋2(t2－2)＝06分
Δ＝(4kt)2－8(2k2＋1)(t2－2)＝8[2(2k2＋1)－t2]>0
t2<2(2k2＋1)时设A(x1y1)B(x2y2)
x1＋x2＝－x1x2＝
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝7分
四边形OAPB行四边形
＝＋＝(x1＋x2y1＋y2)＝
P点坐标8分
点P椭圆
＋＝1t2＝满足Δ>09分
|AB|＝|x1－x2|＝·
＝＝10分
点O直线l距离d＝11分
行四边形OAPB面积
S▱OAPB＝2S△OAB＝|AB|·d＝＝＝
行四边形OAPB面积定值12分
22．(2020·山西晋中四模)(题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－x＋1
(1)求函数f(x)值域
(2)令g(x)＝x·(2＋∞)值m求证：－(参考数：ln 7≈1946ln 8≈2079ln 9≈2197ln 10≈230)
解 (1)函数f(x)定义域(0＋∞)f′(x)＝＝1分
x∈(01)时f′(x)>0f(x)单调递增
x∈(1＋∞)时f′(x)<0f(x)单调递减
函数f(x)x＝1处取极值值．
f(x)max＝f(1)＝0
y＝ln x图象知x趋0时y趋－∞
f(x)∈(－∞0]5分
(2)证明：g(x)＝x·＝(x>2)
g′(x)＝6分
令h(x)＝x－2ln x－4h′(x)＝1－＝7分
x>2h′(x)>0h(x)(2＋∞)单调递增
h(8)<0h(9)>0
∃x0∈(89)h(x0)＝02ln x0＝x0－4
x∈(2x0)时h(x)<0x∈(x0＋∞)时h(x)>0
g(x)(2x0)单调递减(x0＋∞)单调递增．
g(x)min＝g(x0)＝＝＝m＝10分
f(2m)＝f(x0)＝ln x0－x0＋1＝∈
－
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2021高考仿真模拟卷()
选择题：题8题题5分40分．题出四选项中项符合题目求．
1．集合A＝{32a}B＝{ab}A∩B＝{2}A∪B＝( )
A．{123} B．{013}
C．{0123} D．{1234}
答案 A
解析 A∩B＝{2}2∈A2a＝2解a＝1b＝2A＝{32}B＝{12} A∪B＝{123}．
2．(2020·山东济宁邹城市第中学高三五模)已知复数z＝a2i－2a－i正实数实数a值( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
答案 C
解析 z＝a2i－2a－i＝－2a＋(a2－1)i正实数－2a>0a2－1＝0解a＝－1选C
3．(2020·天津高考)设a∈Ra＞1a2＞a( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案 A
解析 求解二次等式a2＞aa＞1a＜0知a＞1a2＞a充分必条件．选A
4．已知Sn等差数列{an}前n项2＋a5＝a6＋a3S7＝( )
A．2 B7
C14 D．28
答案 C
解析 ∵2＋a5＝a6＋a3＝a5＋a4解a4＝2∴S7＝＝7a4＝14选C
5．(2020·山东泰安三模)函数f(x)＝x3cos＋sinx[－ππ]图象致( )
答案 A
解析 f(－x)＝－f(x)f(x)奇函数排BDf＝3×＋f＝3×＋知f>f结合图象知选A
6．(2020·山东济南高三学期期末)抛物线y2＝2px(p＞0)焦点准线距离2焦点直线抛物线交AB两点|AB|＝8弦AB中点y轴距离( )
A．2 B．3
C．4 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p＞0)焦点准线距离2＋＝2p＝2抛物线方程y2＝4x焦点直线抛物线交AB两点设A(x1y1)B(x2y2)抛物线性质焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p8＝x1＋x2＋2x1＋x2＝6弦AB中点y轴距离d＝＝＝3选B
7．(2020·河南洛阳第三次统考试)(2x＋1)5展开式中x3系数( )
A．180 B．90
C．20 D．10
答案 A
解析 5展开式通项公式Tr＋1＝C3rx5－项次数次52－1－x3系数2x＋1次项系数25展开式x2系数．5展开式通项公式Tr＋1＝C3rx5－知5－＝2解r＝2x3系数2×C32＝180选A
8．(2020·山东烟台模)已知函数f(x)＝实数mn满足等式f(2m－n)＋f(2－n)＞0列等关系成立( )
A．m＋n＞1 B．m＋n＜1
C．m－n＞－1 D．m－n＜－1
答案 C
解析 ∵f(x)＝(x∈R)∴f(－x)＝∴f(x)＝－f(－x)f(x)R奇函数．f(x)求导f′(x)＝＞0∴f(x)R单调递增．∵f(2m－n)＋f(2－n)＞0∴f(2m－n)＞－f(2－n)＝f(n－2)∴2m－n＞n－2m－n＞－1选C
二选择题：题4题题5分20分．题出选项中项符合题目求．全部选5分选错0分部分选3分．
9．(2020·山东枣庄二调)2019年4月23日国家统计局统计2019年第季度居民均消费支出情况绘制饼状图(图)列说法正确( )
A．第季度居民均月消费支出约1633元
B．第季度居民均收入4900元
C．第季度居民食品烟酒项目均消费支出
D．第季度居民居住项目均消费支出1029元
答案 ACD
解析 饼状图知第季度衣着消费441元占总体9总支出＝4900元居民均月消费支出≈1633元A正确第季度居民均消费4900元收入B错误食品烟酒项目占31C正确第季度居民居住项目均消费支出4900×21＝1029元D正确．选ACD
10．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)函数y＝2cosx＋1图象点横坐标缩短原坐标变左移单位函数f(x)图象列说法正确( )
A．点函数f(x)图象称中心
B．函数f(x)单调递减
C．函数f(x)图象函数g(x)＝2sin＋1图象相
D．x1x2函数f(x)零点x1－x2π整数倍
答案 BC
解析 函数y＝2cosx＋1图象点横坐标缩短原坐标变函数y＝2cos2x＋1图象左移单位函数f(x)＝2cos＋1图象．令x＝求f(x)＝1A错误x∈2x＋∈f(x)＝2cos＋1单调递减B正确f(x)＝2cos＋1＝2cos＋1＝2sin＋1＝g(x)函数f(x)图象函数g(x)图象相C正确令f(x)＝2cos＋1＝0cos＝－2x＋＝2kπ＋(k∈Z)2x＋＝2kπ＋(k∈Z)x＝kπ＋(k∈Z)x＝kπ＋(k∈Z)妨设x1＝x2＝x1－x2＝π整数倍D错误．选BC
11．(2020·山东省实验中学高三4月高考预测)棱长1正方体ABCD－A1B1C1D1中点M棱CC1列结正确( )
A．直线BM面ADD1A1行
B．面BMD1截正方体截面三角形
C．异面直线AD1A1C1成角
D．|MB|＋|MD1|值
答案 ACD
解析 图示易知面BCC1B1∥面ADD1A1BM⊂面BCC1B1直线BM面ADD1A1行A正确面BMD1截正方体截面BMD1N四边形B错误连接BC1A1B易知AD1∥BC1异面直线AD1A1C1成角∠A1C1BA1B＝A1C1＝BC1∠A1C1B＝C正确延长DCB′CB′＝1易知BM＝B′M|MB|＋|MD1|≥D1B′＝MCC1中点时等号成立D正确．选ACD
12．(2020·山东济宁三模)已知直线y＝－x＋2分函数y＝exy＝ln x图象交点A(x1y1)B(x2y2)列结正确( )
A．x1＋x2＝2 B．ex1＋ex2>2e
C．x1ln x2＋x2ln x1<0 D．x1x2>
答案 ABC
解析 函数y＝exy＝ln x互反函数函数y＝exy＝ln x图象关直线y＝x称y＝－x＋2y＝x联立x＝1y＝1直线y＝－x＋2分函数y＝exy＝ln x图象交点A(x1y1)B(x2y2)作出函数图象图A(x1y1)B(x2y2)中点坐标(11)A＝1解x1＋x2＝2A正确Bex1＋ex2≥2＝2＝2＝2ex1≠x2等号成立ex1＋ex2>2eB正确Cy＝－x＋2y＝ex联立－x＋2＝exex＋x－2＝0设f(x)＝ex＋x－2函数单调递增函数f(0)＝1＋0－2＝－1<0f＝e＋－2＝e－>0函数f(x)零点0
三填空题：题4题题5分20分．
13．(2020·山东德州二模)已知双曲线C点(2－1)双曲线－＝1相渐线双曲线C标准方程________．
答案 －＝1
解析 题意设求双曲线方程－＝k双曲线点(2－1)－＝kk＝双曲线方程－＝－＝1
14．黎曼函数特殊函数德国数学家黎曼发现提出高等数学中着广泛应定义：R(x)＝f(x)定义R正周期1函数x∈[01]时f(x)＝R(x)f＋f(lg 20)＝________
答案
解析 函数f(x)正周期1
f＋f(lg 20)＝f＋f(lg 2＋1)＝f＋f(lg 2)＝＋0＝
15．(2020·山东滨州三模)已知PABC球O球面四点PA⊥面ABCPA＝2BC＝6AB⊥AC球O表面积________．
答案 45π
解析 PA⊥面ABCPA⊥ABPA⊥ACAB⊥AC三棱锥P－ABC补形长方体图示长方体外接球三棱锥P－ABC外接球球OPA＝2BC＝6BC＝3设AB＝aAC＝ba2＋b2＝BC2＝9长方体角线长＝＝设球O半径R2R＝球O表面积4πR2＝45π
16．图正方形ABCD边长2顶点AB分y轴非负半轴x轴非负半轴移动ECD中点·值________．
答案 5＋
解析 根题意设∠OBA＝αA(02sinα)B(2cosα0)根正方形特点确定出C(2cosα＋2sinα2cosα)D(2sinα2sinα＋2cosα)根中点坐标公式求E(cosα＋2sinαsinα＋2cosα)·＝2sinα(cosα＋2sinα)＋(2sinα＋2cosα)(sinα＋2cosα)＝4＋8sinαcosα＋2sin2α＝5＋4sin2α－cos2α＝5＋sin(2α－φ)中sinφ＝cosφ＝2α－φ＝时存符合题意角αsin(2α－φ)取值1值5＋
四解答题：题6题70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17(2020·江苏高考)(题满分10分)△ABC中角ABC边分abc已知a＝3c＝B＝45°
(1)求sinC值
(2)边BC取点Dcos∠ADC＝－求tan∠DAC值．
解 (1)余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋2－2×3××＝5b＝3分
正弦定理＝sinC＝＝5分
(2)cos∠ADC＝－∠ADC∈
sin∠ADC＝＝
∠ADC∈C∈
cosC＝＝7分
sin∠DAC＝sin(π－∠DAC)＝sin(∠ADC＋∠C)
＝sin∠ADCcosC＋cos∠ADCsinC
＝×＋×＝8分
∠DAC∈
cos∠DAC＝＝9分
tan∠DAC＝＝10分
18．(2020·山东烟台模)(题满分12分)已知等差数列{an}前n项Sn{bn}项均正数等数列a1＝b4________b2＝8b1－3b3＝4否存正整数k数列前k项Tk＞？存求出k值存说明理．
①S4＝20②S3＝2a3③3a3－a4＝b2三条件中选补充面问题中作答．
注：果选择条件分解答第解答计分．
解 设等数列{bn}公q(q＞0)
b1＝b3＝8q－3×8q＝42分
6q2＋q－2＝0解q＝q＝－(舍)4分
选①：a1＝b4＝2S4＝4a1＋d＝20
解d＝26分
Sn＝2n＋×2＝n2＋n8分
＝＝－9分
Tk＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－10分
令1－＞解k＞15存正整数kTk>k值1612分
选②：a1＝b4＝23a1＋d＝2(a1＋2d)解d＝26分
①12分
选③：a1＝b4＝23(a1＋2d)－(a1＋3d)＝8解d＝6分
Sn＝2n＋×＝n2＋n8分
＝×＝9分
Tk＝＝＝－10分
令Tk＞＋＜整理k2－5k－10>0
k正整数解k≥7
k值712分
19．(2020·新高考卷Ⅰ)(题满分12分)加强环境保护治理空气污染环境监测部门某市空气质量进行调研机抽查100天空气中PM25SO2浓度(单位：μgm3)表：
[050]
(50150]
(150475]
[035]
32
18
4
(3575]
6
8
12
(75115]
3
7
10
(1)估计事件该市天空气中PM25浓度超75SO2浓度超150概率
(2)根数完成面2×2列联表：
[0150]
(150475]
[075]
(75115]
(3)根(2)中列联表判断否99握认该市天空气中PM25浓度SO2浓度关？
附：K2＝
P(K2≥k0)
0050
0010
0001
k0
3841
6635
10828
解 (1)表格知该市100天中空气中PM25浓度超75SO2浓度超15032＋6＋18＋8＝64天
该市天空气中PM25浓度超75SO2浓度超150概率＝0644分
(2)数2×2列联表：
[0150]
(150475]
[075]
64
16
(75115]
10
10
8分
(3)根2×2列联表中数
K2＝
＝＝≈7484>6635
99握认该市天空气中PM25浓度SO2浓度关12分
20．(2020·山东潍坊模)(题满分12分)图等腰直角三角形ADP中∠A＝90°AD＝3BC分APDP点BC∥ADEF分ABPC中点．现△PBCBC折起四棱锥P－ABCD连接EF
(1)证明：EF∥面PAD
(2)否存点B△PBCBC折起PA⊥AB时二面角P－CD－E余弦值等？存求出AB长存请说明理．
解 (1)证法：作CM∥AB交AD点M连接PM取PM中点N连接ANFN三角形中位线定理FN∥CMFN＝CM3分
EAB中点AE∥CMAE＝CMFN∥AEFN＝AE四边形AEFN行四边形EF∥AN
AN⊂面PADEF⊄面PADEF∥面PAD5分
证法二：取CD中点G连接EGFG
EF分ABPC中点
FG∥PDEG∥AD3分
FG∩EG＝G
面EFG∥面PAD
EF⊂面EFG
EF∥面PAD5分
(2)存．理：
BC⊥ABBC⊥PBAB∩PB＝BBC⊥面PAB
BC∥ADAD⊥面PABPA⊥AD6分
AB⊥ADPA⊥AB
A坐标原点ABADAP直线分x轴y轴z轴建立图示空间直角坐标系连接DECE设AB＝a
PB＝BC＝3－aPB＞AB0＜a＜PA＝
A(000)C(a3－a0)P(00)D(030)8分
＝(a－a0)＝(0－3)．
设面PCD法量n＝(xyz)
令y＝1n＝10分
面CDE法量m＝(001)
题意＝|cos〈nm〉|＝
＝解a＝1AB长1
存点B时AB长112分
21．(2020·山东滨州二模)(题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)点(1)离心率
(1)求椭圆C方程
(2)设直线l：y＝kx＋t(t≠0)椭圆C相交AB两点OAOB邻边行四边形OAPB顶点P椭圆C求证：行四边形OAPB面积定值．
解 (1)椭圆C点(1)代入椭圆方程
＋＝1① 2分
椭圆C离心率＝a2＝2b2② 4分
联立①②解a2＝4b2＝2
椭圆C方程＋＝15分
(2)证明：y＝kx＋t代入椭圆方程＋＝1
(2k2＋1)x2＋4ktx＋2(t2－2)＝06分
Δ＝(4kt)2－8(2k2＋1)(t2－2)＝8[2(2k2＋1)－t2]>0
t2<2(2k2＋1)时设A(x1y1)B(x2y2)
x1＋x2＝－x1x2＝
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝7分
四边形OAPB行四边形
＝＋＝(x1＋x2y1＋y2)＝
P点坐标8分
点P椭圆
＋＝1t2＝满足Δ>09分
|AB|＝|x1－x2|＝·
＝＝10分
点O直线l距离d＝11分
行四边形OAPB面积
S▱OAPB＝2S△OAB＝|AB|·d＝＝＝
行四边形OAPB面积定值12分
22．(2020·山西晋中四模)(题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－x＋1
(1)求函数f(x)值域
(2)令g(x)＝x·(2＋∞)值m求证：－
解 (1)函数f(x)定义域(0＋∞)f′(x)＝＝1分
x∈(01)时f′(x)>0f(x)单调递增
x∈(1＋∞)时f′(x)<0f(x)单调递减
函数f(x)x＝1处取极值值．
f(x)max＝f(1)＝0
y＝ln x图象知x趋0时y趋－∞
f(x)∈(－∞0]5分
(2)证明：g(x)＝x·＝(x>2)
g′(x)＝6分
令h(x)＝x－2ln x－4h′(x)＝1－＝7分
x>2h′(x)>0h(x)(2＋∞)单调递增
h(8)<0h(9)>0
∃x0∈(89)h(x0)＝02ln x0＝x0－4
x∈(2x0)时h(x)<0x∈(x0＋∞)时h(x)>0
g(x)(2x0)单调递减(x0＋∞)单调递增．
g(x)min＝g(x0)＝＝＝m＝10分
f(2m)＝f(x0)＝ln x0－x0＋1＝∈
－
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