初中数学模型全+典题型（含答案）
全等变换
移：行等线段（行四边形）
称：角分线垂直半角
旋转：相邻等线段绕公顶点旋转
称全等模型
说明：角分线轴角两边进行截长补短者作边垂线形成称全等两边进行边者角等量代换产生联系垂直做轴进行称全等
称半角模型
说明：图次45°30°225°15°角30°直角三角形称（翻折）翻折成正方形者等腰直角三角形等边三角形称全等
旋转全等模型
半角：角含12角相邻线段
旋转：相邻等线段需构造旋转全等
旋转：两相邻等线段直接寻找旋转全等
中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型
说明：旋转半角特征相邻等线段成角含二分角通旋转外两二分角拼接起成称全等
旋转模型
构造方法：
遇60度旋60度造等边三角形
遇90度旋90度造等腰直角
遇等腰旋顶点造旋转全等
遇中点旋180度造中心称
旋转模型
说明：旋转中成全等三角形第三边成角常考察容通8字模型证明
模型变形
说明：模型变形两正边形者等腰三角形夹角变化外等腰直角三角形正方形混
遇复杂图形找旋转全等时先找两正边形者等腰三角形公顶点围绕公顶点找两组相邻等线段分组组成三角形证全等
中点旋转：
说明：两正方形两等腰直角三角形者正方形等腰直角三角形两图形顶点连线中点证明外两顶点中点成图形等腰直角三角形证明方法倍长证等腰直角三角形直角边转化成证明等腰直角三角形已知等腰直角三角形（者正方形）公旋转顶点通证明旋转全等三角形证明倍长三角形等腰直角三角形证
值模型
称值(两点间线段短)
称值(点直线垂线段短)
说明：通称进行等量代换转换成两点间距离点直线距离
旋转值(线值)
说明：找求值相关成三角形两定长线段定长线段值定长线段差值
剪拼模型
三角形→四边形
四边形→四边形
说明：剪拼通中点180度旋转移改变图形形状
矩形→正方形
说明：通射影定理找正方形边长通移旋转完成形状改变
正方形+等腰直角三角形→正方形
面积等分
旋转相似模型
说明：两等腰直角三角形成旋转全等两角300角直角三角形成旋转相似
推广：两意相似三角形旋转成定角度成旋转相似第三边成夹角符合旋转8字规律
相似模型
说明：注意边角应相等线段者相等值证明相似中起通等量代换构造相似三角形作
说明：（1）三垂直线三等角演变三等角30度45度60度形式出现居
（2）外角分线定理射影定理演变注意间相处外相似射影定理相交弦定理（推广圆幂定理）间值转换成积通等线段等值等积进行代换进行证明需结
说明：相似证明中常辅助线做行根题目条件者结值做相应行线
初中数学典题（附答案）
典难题（）
1已知：图O半圆圆心CE圆两点CD⊥ABEF⊥ABEG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
A
F
G
C
E
B
O
D
2已知：图P正方形ABCD点∠PAD＝∠PDA＝150．
A
P
C
D
B
求证：△PBC正三角形．（初二）
3图已知四边形ABCDA1B1C1D1正方形A2B2C2D 2分AA1BB1CC1DD1中点．
求证：四边形A2B2C2D2正方形．（初二）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B
D
A
A1
A
N
F
E
C
D
M
B
4已知：图四边形ABCD中AD＝BCMN分ABCD中点ADBC延长线交MNEF．
求证：∠DEN＝∠F．
典难题（二）
1已知：△ABC中H垂心（边高线交点）O外心OM⊥BCM．
（1）求证：AH＝2OM
·
A
D
H
E
M
C
B
O
（2）∠BAC＝600求证：AH＝AO．（初二）
·
G
A
O
D
B
E
C
Q
P
N
M
2设MN圆O外直线O作OA⊥MNAA引圆两条直线交圆BCDE直线EBCD分交MNPQ．
求证：AP＝AQ．（初二）
3果题直线MN圆外移圆命题：
设MN圆O弦MN中点A作两弦BCDE设CDEB分交MNPQ．
·
O
Q
P
B
D
E
C
N
M
·
A
求证：AP＝AQ．（初二）
4图分△ABCACBC边△ABC外侧作正方形ACDE正方形CBFG点PEF中点．
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
求证：点P边AB距离等AB半．（初二）
典难题（三）
1图四边形ABCD正方形DE∥ACAE＝ACAECD相交F．
A
F
D
E
C
B
求证：CE＝CF．（初二）
2图四边形ABCD正方形DE∥ACCE＝CA直线EC交DA延长线F．
求证：AE＝AF．（初二）
E
D
A
C
B
F
3设P正方形ABCD边BC点PF⊥APCF分∠DCE．
D
F
E
P
C
B
A
求证：PA＝PF．（初二）
O
D
B
F
A
E
C
P
4图PC切圆OCAC圆直径PEF圆割线AEAF直线PO相交BD．求证：AB＝DCBC＝AD．（初三）
典难题（四）
1已知：△ABC正三角形P三角形点PA＝3PB＝4PC＝5．
A
P
C
B
求：∠APB度数．（初二）
2设P行四边形ABCD部点∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
P
A
D
C
B
3设ABCD圆接凸四边形求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
C
B
D
A
4行四边形ABCD中设EF分BCAB点AECF相交P
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
F
P
D
E
C
B
A
典难题（五）
1设P边长1正△ABC点L＝PA＋PB＋PC求证：≤L＜2．
2已知：P边长1正方形ABCD点求PA＋PB＋PC值．
A
C
B
P
D
A
P
C
B
A
C
B
P
D
3P正方形ABCD点PA＝aPB＝2aPC＝3a求正方形边长．
E
D
C
B
A
4图△ABC中∠ABC＝∠ACB＝800DE分ABAC点∠DCA＝300∠EBA＝200求∠BED度数．
典难题（）
1图做GH⊥AB连接EOGOFE四点圆∠GFH＝∠OEG
△GHF∽△OGECOEOCDGF证
2 图做△DGC△ADP全等△PDG等边△
△DGC≌△APD≌△CGP出PCADDC∠DCG∠PCG＝150
∠DCP300 出△PBC正三角形
3图连接BC1AB1分找中点FE连接C2FA2E延长相交Q点
连接EB2延长交C2QH点连接FB2延长交A2QG点
A2EA1B1B1C1 FB2 EB2ABBCFC1 ∠GFQ+∠Q900
∠GEB2+∠Q900∠GEB2∠GFQ∠B2FC2∠A2EB2
△B2FC2≌△A2EB2 A2B2B2C2
∠GFQ+∠HB2F900∠GFQ∠EB2A2
∠A2B2 C2900
理边垂直相等
出四边形A2B2C2D2正方形
4图连接AC取中点Q连接QNQM∠QMF∠F∠QNM∠DEN∠QMN∠QNM出∠DEN＝∠F
典难题（二）
1(1)延长ADF连BF做OG⊥AF
∠F∠ACB∠BHD
BHBFHDDF
AHGF+HGGH+HD+DF+HG2(GH+HD)2OM
(2)连接OBOC∠BOC1200
∠BOM600
OB2OMAHAO
证
3作OF⊥CDOG⊥BE连接OPOAOFAFOGAGOQ
△ADF≌△ABG∠AFC∠AGE
PFOAQGOA四点圆∠AFC∠AOP∠AGE∠AOQ
∠AOP∠AOQAPAQ
4ECF点分作AB直线高EGCIFHPQ
△EGA≌△AICEGAI△BFH≌△CBIFHBI
PQ 证
典难题（三）
1时针旋转△ADE△ABG连接CG
∠ABG∠ADE900+4501350
BGD条直线△AGB≌△CGB
推出AEAGACGC△AGC等边三角形
∠AGB300∠EAC300∠A EC750
∠EFC∠DFA450+300750
证：CECF
2连接BD作CH⊥DE四边形CGDH正方形
ACCE2GC2CH
∠CEH300∠CAE∠CEA∠AED150
∠FAE900+450+1501500
知道∠F150出AEAF
3作FG⊥CDFE⊥BE出GFEC正方形
令ABY BPX CEZ PCYX
tan∠BAPtan∠EPFYZXYX2+XZ
Z(YX)X(YX) XZ 出△ABP≌△PEF
PA＝PF 证
典难题（四）
1 时针旋转△ABP 600 连接PQ △PBQ正三角形
△PQC直角三角形
∠APB1500
2作P点行AD直线选点EAE∥DCBE∥PC
出∠ABP∠ADP∠AEP：
AEBP圆（边两角相等）
∠BAP∠BEP∠BCP证
3BD取点E∠BCE∠ACD△BEC∽△ADC：
AD•BCBE•AC ①
∠ACB∠DCE△ABC∽△DEC
AB•CDDE•AC ②
①+② AB•CD+AD•BCAC(BE+DE) AC·BD 证
4D作AQ⊥AE AG⊥CF ：
AEFC
DQDG∠DPA＝∠DPC（角分线逆定理）
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全等变换
移：行等线段（行四边形）
称：角分线垂直半角
旋转：相邻等线段绕公顶点旋转
称全等模型
说明：角分线轴角两边进行截长补短者作边垂线形成称全等两边进行边者角等量代换产生联系垂直做轴进行称全等
称半角模型
说明：图次45°30°225°15°角30°直角三角形称（翻折）翻折成正方形者等腰直角三角形等边三角形称全等
旋转全等模型
半角：角含12角相邻线段
旋转：相邻等线段需构造旋转全等
旋转：两相邻等线段直接寻找旋转全等
中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型
说明：旋转半角特征相邻等线段成角含二分角通旋转外两二分角拼接起成称全等
旋转模型
构造方法：
遇60度旋60度造等边三角形
遇90度旋90度造等腰直角
遇等腰旋顶点造旋转全等
遇中点旋180度造中心称
旋转模型
说明：旋转中成全等三角形第三边成角常考察容通8字模型证明
模型变形
说明：模型变形两正边形者等腰三角形夹角变化外等腰直角三角形正方形混
遇复杂图形找旋转全等时先找两正边形者等腰三角形公顶点围绕公顶点找两组相邻等线段分组组成三角形证全等
中点旋转：
说明：两正方形两等腰直角三角形者正方形等腰直角三角形两图形顶点连线中点证明外两顶点中点成图形等腰直角三角形证明方法倍长证等腰直角三角形直角边转化成证明等腰直角三角形已知等腰直角三角形（者正方形）公旋转顶点通证明旋转全等三角形证明倍长三角形等腰直角三角形证
值模型
称值(两点间线段短)
称值(点直线垂线段短)
说明：通称进行等量代换转换成两点间距离点直线距离
旋转值(线值)
说明：找求值相关成三角形两定长线段定长线段值定长线段差值
剪拼模型
三角形→四边形
四边形→四边形
说明：剪拼通中点180度旋转移改变图形形状
矩形→正方形
说明：通射影定理找正方形边长通移旋转完成形状改变
正方形+等腰直角三角形→正方形
面积等分
旋转相似模型
说明：两等腰直角三角形成旋转全等两角300角直角三角形成旋转相似
推广：两意相似三角形旋转成定角度成旋转相似第三边成夹角符合旋转8字规律
相似模型
说明：注意边角应相等线段者相等值证明相似中起通等量代换构造相似三角形作
说明：（1）三垂直线三等角演变三等角30度45度60度形式出现居
（2）外角分线定理射影定理演变注意间相处外相似射影定理相交弦定理（推广圆幂定理）间值转换成积通等线段等值等积进行代换进行证明需结
说明：相似证明中常辅助线做行根题目条件者结值做相应行线
初中数学典题（附答案）
典难题（）
1已知：图O半圆圆心CE圆两点CD⊥ABEF⊥ABEG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
A
F
G
C
E
B
O
D
2已知：图P正方形ABCD点∠PAD＝∠PDA＝150．
A
P
C
D
B
求证：△PBC正三角形．（初二）
3图已知四边形ABCDA1B1C1D1正方形A2B2C2D 2分AA1BB1CC1DD1中点．
求证：四边形A2B2C2D2正方形．（初二）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B
D
A
A1
A
N
F
E
C
D
M
B
4已知：图四边形ABCD中AD＝BCMN分ABCD中点ADBC延长线交MNEF．
求证：∠DEN＝∠F．
典难题（二）
1已知：△ABC中H垂心（边高线交点）O外心OM⊥BCM．
（1）求证：AH＝2OM
·
A
D
H
E
M
C
B
O
（2）∠BAC＝600求证：AH＝AO．（初二）
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G
A
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E
C
Q
P
N
M
2设MN圆O外直线O作OA⊥MNAA引圆两条直线交圆BCDE直线EBCD分交MNPQ．
求证：AP＝AQ．（初二）
3果题直线MN圆外移圆命题：
设MN圆O弦MN中点A作两弦BCDE设CDEB分交MNPQ．
·
O
Q
P
B
D
E
C
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·
A
求证：AP＝AQ．（初二）
4图分△ABCACBC边△ABC外侧作正方形ACDE正方形CBFG点PEF中点．
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
求证：点P边AB距离等AB半．（初二）
典难题（三）
1图四边形ABCD正方形DE∥ACAE＝ACAECD相交F．
A
F
D
E
C
B
求证：CE＝CF．（初二）
2图四边形ABCD正方形DE∥ACCE＝CA直线EC交DA延长线F．
求证：AE＝AF．（初二）
E
D
A
C
B
F
3设P正方形ABCD边BC点PF⊥APCF分∠DCE．
D
F
E
P
C
B
A
求证：PA＝PF．（初二）
O
D
B
F
A
E
C
P
4图PC切圆OCAC圆直径PEF圆割线AEAF直线PO相交BD．求证：AB＝DCBC＝AD．（初三）
典难题（四）
1已知：△ABC正三角形P三角形点PA＝3PB＝4PC＝5．
A
P
C
B
求：∠APB度数．（初二）
2设P行四边形ABCD部点∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
P
A
D
C
B
3设ABCD圆接凸四边形求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
C
B
D
A
4行四边形ABCD中设EF分BCAB点AECF相交P
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
F
P
D
E
C
B
A
典难题（五）
1设P边长1正△ABC点L＝PA＋PB＋PC求证：≤L＜2．
2已知：P边长1正方形ABCD点求PA＋PB＋PC值．
A
C
B
P
D
A
P
C
B
A
C
B
P
D
3P正方形ABCD点PA＝aPB＝2aPC＝3a求正方形边长．
E
D
C
B
A
4图△ABC中∠ABC＝∠ACB＝800DE分ABAC点∠DCA＝300∠EBA＝200求∠BED度数．
典难题（）
1图做GH⊥AB连接EOGOFE四点圆∠GFH＝∠OEG
△GHF∽△OGECOEOCDGF证
2 图做△DGC△ADP全等△PDG等边△
△DGC≌△APD≌△CGP出PCADDC∠DCG∠PCG＝150
∠DCP300 出△PBC正三角形
3图连接BC1AB1分找中点FE连接C2FA2E延长相交Q点
连接EB2延长交C2QH点连接FB2延长交A2QG点
A2EA1B1B1C1 FB2 EB2ABBCFC1 ∠GFQ+∠Q900
∠GEB2+∠Q900∠GEB2∠GFQ∠B2FC2∠A2EB2
△B2FC2≌△A2EB2 A2B2B2C2
∠GFQ+∠HB2F900∠GFQ∠EB2A2
∠A2B2 C2900
理边垂直相等
出四边形A2B2C2D2正方形
4图连接AC取中点Q连接QNQM∠QMF∠F∠QNM∠DEN∠QMN∠QNM出∠DEN＝∠F
典难题（二）
1(1)延长ADF连BF做OG⊥AF
∠F∠ACB∠BHD
BHBFHDDF
AHGF+HGGH+HD+DF+HG2(GH+HD)2OM
(2)连接OBOC∠BOC1200
∠BOM600
OB2OMAHAO
证
3作OF⊥CDOG⊥BE连接OPOAOFAFOGAGOQ
△ADF≌△ABG∠AFC∠AGE
PFOAQGOA四点圆∠AFC∠AOP∠AGE∠AOQ
∠AOP∠AOQAPAQ
4ECF点分作AB直线高EGCIFHPQ
△EGA≌△AICEGAI△BFH≌△CBIFHBI
PQ 证
典难题（三）
1时针旋转△ADE△ABG连接CG
∠ABG∠ADE900+4501350
BGD条直线△AGB≌△CGB
推出AEAGACGC△AGC等边三角形
∠AGB300∠EAC300∠A EC750
∠EFC∠DFA450+300750
证：CECF
2连接BD作CH⊥DE四边形CGDH正方形
ACCE2GC2CH
∠CEH300∠CAE∠CEA∠AED150
∠FAE900+450+1501500
知道∠F150出AEAF
3作FG⊥CDFE⊥BE出GFEC正方形
令ABY BPX CEZ PCYX
tan∠BAPtan∠EPFYZXYX2+XZ
Z(YX)X(YX) XZ 出△ABP≌△PEF
PA＝PF 证
典难题（四）
1 时针旋转△ABP 600 连接PQ △PBQ正三角形
△PQC直角三角形
∠APB1500
2作P点行AD直线选点EAE∥DCBE∥PC
出∠ABP∠ADP∠AEP：
AEBP圆（边两角相等）
∠BAP∠BEP∠BCP证
3BD取点E∠BCE∠ACD△BEC∽△ADC：
AD•BCBE•AC ①
∠ACB∠DCE△ABC∽△DEC
AB•CDDE•AC ②
①+② AB•CD+AD•BCAC(BE+DE) AC·BD 证
4D作AQ⊥AE AG⊥CF ：
AEFC
DQDG∠DPA＝∠DPC（角分线逆定理）
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