思考解决图形问题助基图形性质(定义定理等)图形间关系.许基图形性质源图形身变换特征重常图形关系全等三角形情况样具变换形式联系.两三角形全等指形状样相互间位置没直接关系问题中涉两全等三角形绝数定位置关系成轴称关系成移关系成旋转关系(包括中心称).样解决具体图形问题时图形身显示暗示变换特征识出构造出基图形图形关系(全等三角形)着极重启发引导作.
图形翻折问题质轴称问题满足轴称性质:
1 折叠图形关折痕称
2 应边角相等
3 应点连线折痕垂直分
解决翻折问题般性质出发解决. 先讲翻折题三种常见方法
题目(16 年秋锡山区期中)图面直角坐标系中矩形 ABCO 边 OA x 轴边 OC y 轴点 B 坐标(13)矩形角线 AC 翻折点 B 落点 D位置 AD 交 y 轴点 E点 D 坐标 .
法:求.定.点.关..定.直.线...称.点.(万方法)
答图 1连 BD交 AC G△ABC∽△AGB∽△BFD
∴BD=2BG=AB· 1 ·2=3× 1
×2= 6 DF=BD· 1 = 1
10
× 6 =3BF=3DF=9
10 10
10 10
10 5 5
∴D(-412)
5 5
法二:.直.角.翻.折..动.寻.求.K.型.相.似.(特殊技巧)
答图 1∠ADC=90°⟹△ADN∽△DCF相似 3:1 设 ON=CF=x DN=3xDF=3-3x
AN=3DF x+1=3(3-3x)解 x=4∴D(-412)
5 5 5
法三:.翻.折..动.寻.求.等.腰.三.角.形.(特殊技巧) 答图 2延长 CD 交 x 轴 H CH=AH 设 DH=y AH=y
Rt△ADH 中勾股定理 y=4
易 DM=12∴D(-412)
5 5 5
法四:.翻.折..动.寻.求.等.腰.三.角.形.(特殊技巧)
答图 2设 CE=AE=a OE=3-a Rt△AOE
中勾股定理 a=5
3
例关系 OM=4∴D(-412)
5 5 5
例题剖析
题型:利应边相等应角相等
例 1-1(2015 年锡)10.图Rt△ABC 中∠ACB=90ºAC=3BC=4边
AC CE 翻折点 A 落 AB 点 D 处边 BC CF 翻折点 B 落 CD 延长线点 B′处两条折痕斜边 AB 分交点 EF线段 B′F 长( )
A 3 4 2 3
5
. B. C.
5 3
D. 2
解答选 B
〖点评〗题关键点发现证明∠B′FB 直角翻折知∠A=∠ADC=∠B′DF
∠A+∠B=90°
∠B=∠B′‹∠B′FB 直角⟹△B′DF 345三角形
翻折知 B′C=BC=4CD=AC=3
例 1-2(18 年 4 月锡山区二模)17.图△ABC 中∠ACB=90°点 DE 分
ACBC ∠CDE=∠B△CDE DE 折叠点 C 恰落 AB 边点 F 处.
AC=8AB=10 CD 长 .
解答CD=25
8
答图 1 答图 2
母子三角形
〖点评〗题关键点发现证明 F AB 中点答图翻折⟹CF⊥DE ‹
∠1=∠B
直角三角形斜边中线定理逆命题
∠1=∠2‹∠2=∠B⟹CF=BF ‹F AB 中点
题根 90 度翻折构造 K 型相似解决答图 2
〖针练〗
1(18 年 4 月宜兴模)16.图矩形 ABCD 中AB=4BC=6E BC 中点 连结 AE△ABE AE 折叠点 B 落点 F 处连结 CF sin∠EFC= .
解答4
5
题型二:利(构造)等腰三角形
例 2-1(18 年 4 月宜兴模)10.张矩形纸片 ABCD中 AD=8 cmAB=6 cm 先角线 BD 折点 C 落点 C′位置BC′交 AD 点 G(图 1)折叠次点 D 点 A 重合折痕 ENEN 交 AD 点 M(图 2) EM 长( )
A.2 B.3
2
C. 2 D.7
6
解答选 D
〖点评〗题关键点发现利△DEN 等腰三角形翻折⟹∠CDB=∠EDB
作高EH
EN 折痕⟹EN∥CD⟹∠END=∠BDC⟹∠END=∠EDN⟹EN=ED ‹△DEN
556三角形
例 2-2(12 年南长区模)已知正方形 ABCD 边长 6cm点 E 射线 BC 动点连接 AE 交射线 DC 点 F△ABE 直线 AE 翻折点 B 落点 B′处.
(1) BE=1 时CF= cm
CE
(2) BE=2 时求 sin∠DAB′值
CE
(3) 略
解答 E 点 BC 边时sin∠DAB′= 5 E 点 BC 延长线时sin∠DAB′
13
=3
5
〖点评〗题三种方法
方法:答图 1构造等腰三角形 AGF勾股定理方程 x2+62=(9-x)2 解
x=5 sin∠DAB′= 5
2 13
方法二:答图 2△ABE∽△AHB∽△B′GB三边 2:3: 13
∴BH= 3 BE= 3 ×4= 12
⟹BB′=2BH= 24 ⟹BG= 2 BB′=48 ⟹AG=30 ⟹sin∠
13 13 13
DAB′= 5
13
13 13 13 13
方法三:答图 3构造相似三角形△AB′F∽△B′EG相似 3:2方程组
3x+2y=6
解
x=10
13 sin∠DAB′= 5
3x 2+ 3y 2=36
y=24 13
13
种情况类似参考答图 4
答图 1 答图 2 答图 3
答图 4
例 2-3(17 年滨湖二模)18.图 Rt△ABC 中∠C=90°AC=3 cmBC=4 cm 点 E C 点出发终点 B 运动速度 1 cm秒运动时间 t 秒作 EF∥AB点 P 点 C 关 EF 称点连结 AP△AFP 恰直角三角形时t 值 .
解答t=257
8 8
答图 1 答图 2
〖点评〗题关键点 CP 折痕 EF 垂直 AB 垂直∠APE=90°时等腰三角形 ABE
首先∠AFP 直角否易∠CFE=45°题意符
果∠FAP=90° AP∥BC⟹CP=5AC=15 ⟹CE=CP·1·5=25
4 4 2 3 8
∠F‸E=∠FEC=∠B
果∠APE=90° APE 三点线⟹∠FEP=∠BAE‹∠BAE=∠
B⟹AE=BE⟹32+t2=(4-t)2⟹t=7
8
题型三:利(构造)K字形相似
例 3-1探究应:学时通分离构造基图形模块
化.例相似三角形中K 字形非常重基图形建立模块(图1):
(1) 请图 1 证明述模块合理性
(2) 请直.接.利..述模块结解决面两问题:
①图 2已知点 A(-21)点 B 直线 y=-2x+3 运动∠AOB=90°求时点 B 坐标
②图 3点 A(-21)作 x 轴 y 轴行线交直线 y=-2x+3 点 CD求点 A 关直线 CD 称点 E 坐标.
解答(1)略(2)①B(33)
4 2
②点 E 作 EN⊥AC 延长线点 N点 D 作 DM⊥NE 延长线点 M
∵A(-21)
∴C 点坐标 1D 点横坐标-2
∴C(x1)D(-2y)
∴1=-2x+3y=-2×(-2)+3
∴x=1y=7
∴C(11)D(-27).设 E(xy)
∴DM=x+2ME=7-yCN=x-1EN=y-1 称知:DE=AD=6CE=AC=3
∵∠M=∠N=∠DEC=90°
∴△DME∽△ENC
∴DM = ME =DE
EN CN CE
∴x+2 = 2 =x 香 1
y香1 7香y 2
∴解:
x=14
5
y=17
5
∴B(1417)
5 5
例 3-2(14 外国语模18)图等边△ABC 折叠点 B 落边 AC 应点
D设折痕 MN果CD = 3BM值 .
DA 2 BN
解答BM = 8
BN 7
〖点评〗方法:答图 1根翻折∠MDN=60°⟹△ADN∽△CMD⟹ DM =
DN
CD+DM+MC =CD+BM+MC =CD+BC =8
AD+DN+NA AD+BN+NA AD+AB 7
方法二:答图 2分边 D 点作 DF⊥BC F 点作 DE⊥AB E 点 设 AD=4CD=6 CF=3DF=3 3AE=2DE=2 3
x2= 7 香x 2+ 3 3 2
设 BM=xBN=y
y2=
8 香 y 2+ 2 3 2
x=38
解 7
y=19
4
∴DM = 8
DN 7
答图 1 答图 2
〖针练〗
1(2016 河南)图已知 AD∥BCAB⊥BCAB=3点 E 射线 BC 动点 连接 AE△ABE AE 折叠点 B 落点 B′处点 B′作 AD 垂线分交 ADBC 点 MN点 B′线段 MN 三等分点时BE 长 .
答案322355
题型四:利相似算称点
例 4-1(11 年东林26)图 1直线 y=-3x+3 x 轴y 轴交 AB 两点C 点
4
线段 AO 点动点 P x 轴.
(1) P 点运动原点 O 重合时P 点关直线 BC 称点恰落直线 AB 求时 PC 长
(2) 图 2 C 点线段 AO 中点问:P 点运动处点 P 关直线 BC 称点落直线 AB ?
解答(1)方法较PC=3
2
(2)C(20)△AOB 三边 2:3: 设 P(t0) CP=2-t
△AOB∽△PHD∽△PECàDH= 2 PD= 2 ·2PE= 2
·2· 3 PC=12(2-t)=24香12晦
13 13
PH=3DH=18(2-t)àOH=36香5晦
13 13 13 13
2 13 13
∴D(36香5晦24香12晦)代入 y=-3x+3 t=16
13 13 4 21
例 4-2(2016 锡27)图已知□ABCD 三顶点 A(n0)B(m0)D(0
2n)(m>n>0)作□ABCD 关直线 AD 称图形 AB1C1D.
(1) m=3试求四边形 CC1B1B 面积 S 值
(2) 点 B1 恰落 y 轴试求n 值.
m
解答(1)图 1
∵□ABCD 四边形 AB1C1D 关直线 AD 称
∴四边形 AB1C1D 行四边形CC1⊥EFBB1⊥EF
∴BC∥AD∥B1C1CC1∥BB1
∴四边形 BCEFB1C1EF 行四边形
∴S□BCEF=S□BCDA=S□B1C1DA=S□B1C1EF
∴S□BCC1B1=2S□BCDA.
∵A(n0)B(m0)D(02n)m=3
∴AB=m-n=3-nOD=2n
∴S BCDA=AB•OD=(3-n)•2n=-2(n2-3n)=-2(n-3)2+9
□
∴S =2S
2 2
=-4(n-3)2+9.
□BCC1B1
□BCDA 2
∵-4<0∴ n=3时S 值 9
2 □BCC1B1
(2)点 B1 恰落 y 轴图 2
∵DF⊥BB1DB1⊥OB
∴∠B1DF+∠DB1F=90°∠B1BO+∠OB1B=90°
∴∠B1DF=∠OBB1.
∵∠DOA=∠BOB1=90°
∴△AOD∽△B1OB
∴OA = OB1
OD OB
∴ n = OB1
2n m
∴OB1=m.
2
轴称性质 AB1=AB=m-n.
Rt△AOB1 中
n2+(m)2=(m-n)2
2
整理 3m2-8mn=0.
∵m>0∴3m-8n=0
∴n = 3.
m 8
〖针练〗
1(18 年滨湖区模)28.图 Rt△ABC 中∠ACB=90°BC=3AC=4G 边 AB 中点行 AB 动直线 l 分交△ABC 边 CACB 点 MN设 CM
=m.
(1) m=1 时求△MNG 面积
(2) 点 G 关直线 l 称点点 G′请求出点 G′恰落△ABC 部(含边界)时m 取值范围
(3) 略
解答(1)9(2)7<t<4
4 8
题型五:翻折形成辅助圆
例 5-1图边长 2 菱形 ABCD 中∠A=60°M AD 边中点N AB 边动 A 点△AMN MN 直线翻折△A'MN连接 A'C A'C 长度值 .
答案 7-1
〖点评〗题关键点根翻折判断出点 A′轨迹 M 圆心MA 半径圆弧利圆外点圆短距离找值
例 5-2(2017 锡)28.图已知矩形 ABCD 中AB=4AD=m动点 P 点 D 出发边 DA 秒 1 单位速度点 A 运动.连结 CP作点 D 关直线 PC 称点 E.设点 P 运动时间 t(s).
(1) m=6求 PEB 三点直线时应 t 值
(2) 已知 m 满足:动点 P 点 D 点 A 整运动程中时刻 t点 E 直线 BC 距离等 3求样 m 取值范围.
解析翻折⟹点 E C 圆心CD 半径圆
(1) 点 E 确定
PEB 三点线时∠PEC=90°à∠BEC=90°à点 E BC 直径圆⟹ 点 E 两圆交点
易△BEC≌△PAB⟹BP=BC=6 BE= 62 香 42=2 5
∴t=PD=PE=6-2 5
利翻折∠DPC=∠EPC结合∠DPC=∠PCB⟹∠EPC=∠PCB⟹BP=BC=
6
(2) 点 E 确定
点 E 直线 BC 距离等 3点 E C 圆心CD 半径圆à点 E 图中两种情况然点 E 位置反推出点 P 两极限位置
△P2DC∽△DHE2⟹ D‸2 = DH
⟹ D‸2 = 7
⟹DP2=4 7 DP2>DA E2 舍
CD
存唯 E 点
E2H 4 7
△P1DC∽△DFE1⟹ D‸1 = DF
⟹ D‸1 = 1
⟹DP1=4 7 DP1>DA E1 E2 舍
存 E 点
CD E1F 4 7 7
∴P 点应 P1P2 间477≤m<4 7
例 5-3(16 年滨湖区模)27.图 1∠AOB=45°点 PQ 分边 OAOB 两点 OP=2cm.∠O PO 折叠点 O 落面点 C 处.
(1) ① PC∥QB 时OQ=
② PC⊥QB 时求 OQ 长.
(2) 折叠重叠部分等腰三角形时求 OQ 长.
解答(1)2
(2)2 2+22 2-2
(3) 符合条件点 Q 5 .
①点 C ∠AOB 部边时OQ=2 22 2
②点 C ∠AOB 外部时OQ= 6+ 2 6- 2
〖点评〗题关键点根翻折判断出点 C 轨迹 P 圆心OP 半径圆 难点分类全面
〖针练〗
1(2017 宿迁)26.图矩形纸片 ABCD 中已知 AB=1BC= 3点 E 边 CD 移动连接 AE边形 ABCE 直线 AE 翻折边形 AB′C′E点 BC 应点分点 B′C′.
(1) B′C′恰点 D 时(图 1)求线段 CE 长
(2) B′C′分交边 ADCD 点 FG∠DAE=225°(图 2)求△DFG 面积
(3) 点 E 点 C 移动点 D 程中求点 C′运动路径长.
解答(1)CE= 6-2(2)5 香 6(3)2 n
2 3
题型六:翻折构造
例 6-1图已知∠MAN=45°AH⊥MN 点 H MH=2NH=3求 AH 长.
解答方法:根定长定角作辅助圆 方法二:折叠
答图作两次轴称正方形 ABCD AH=6
例 6-2图△ABC 中∠ACB=90°AC=BCD △ABC 点 AD=AC
BD=CD∠ADB 度数( )
A.135° B.120° C.150° D.140°
解答选 A
答图补成完整正方形显然∠ADB=135°
例 6-3(18 年 4 月宜兴模)9.图Rt△ABC 中∠CAB=90°斜边 CB 取两点 MN(包含 CB 两点) tanB=tanC=tan∠MAN=1.设 MN=xBM=nCN=
m结成立( )
A.m=n B.x=m+n C.x<m+n D.x2=m2+n2
解答选 D
方法构造旋转答图 1 方法二构造折叠答图 2
题型七:综合型
例 7-1(14 年江南中学1003 年天津)图△ABC 中已知 AB=2a∠A=30°
CD AB 边中线△ABC CD 折起折叠两△ACD △B′CD 重叠
部分面积恰等折叠前△ABC 面积1结:①BC 边长等 a②
4
折叠前△ABC 面积等 3 2③折叠前△ABC 面积等 3 2④折叠
2 a 3 a
AB′端点线段中线 CD 定行相等中正确结( )
A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
解:图设 B′D AC 相交 O
∵CD AB 边中线
∴S ACD=S BCD=1S ABC
△ △ 2 △
∵重叠部分面积恰等折叠前△ABC 面积1
4
∴点 O ACB′D 中点
∴四边形 ADCB′行四边形
∴AB′∥CDB′C∥ADB′C=AD④正确
∴B′C∥BDB′C=BD
∴四边形 BCB′D 行四边形 翻折变换性质BC=B′C
∴行四边形 BCB′D 菱形
∴BC=BD=1AB=1×2a=a①正确
2 2
S△ABC= 3a2
2
∵四边形 AB′CD 行四边形
∴S COD=1S ACD=1S ABC满足条件 S ABC
△ 2 △ 4 △ △
值等 3a2②正确
2
假设折叠前△ABC 面积等 3a2设点
3
C AB 距离 h
1×2ah= 3a2解 h= 3a 3a2÷tan30°= 3a÷ 3=a
2 3 3 3 3 3
∴垂足 AB 中点 D
∴翻折点 AB 重合符合题意
∴假设成立③错误.
综述正确结①②④.
选:B.
课练
1图矩形 ABCD 中AD=5AB=8点 E DC 动点△ADE AE 折叠 点 D 应点 D′连接 D′B结中:
①D′B 值 3
② DE=5时△ABD′等腰三角形
2
③ DE=2 时△ABD′直角三角形
④△ABD′等腰直角三角形
中正确 .(填认正确结序号)
解答①②④
2图张矩形纸片 ABCD 中AB=4BC=8点 EF 分 ADBC 纸片 ABCD 直线 EF 折叠点 C 落 AD 点 H 处点 D 落点 G 处四结:①四边形 CFHE 菱形②EC 分∠DCH③线段 BF 取值范围 3≤BF≤4
④点 H 点 A 重合时EF=2 5.结中认正确( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
解答选C
3(2017 年锡)10.图△ABC 中∠BAC=90°AB=3AC=4点 D BC 边中点△ABD AD 翻折△AED连 CE线段 CE 长等( )
A.2 B.5
4
C.5
3
D.7
5
解答选 D
3(18 年省锡中二模)27.图面直角坐标系中抛物线 y=ax2-2ax+c x 轴交 AB 两点(点 A 点 B 左侧) AB=4 P 第象限抛物线点抛物线称轴交 x 轴点 F交直线 AP 点 EAE:EP=1:2.
(1) 求点 A点 B 坐标
(2) 直线 AP 交 y 轴点 G CG=5 3求抛物线解析式
3
(3) (2)条件点 D 射线 AP 动点着 DF 翻折△ADF △A′DF(点
A 应点 A′)△A′DF △ADB 重叠部分面积△ADB 1求时△ADB 面
4
积.
解答(1)A(-10)B(30)(2)y= 3x2-2 3x- 3
3 3
△
(3)答图 1S ADB=8 7
7
答图 1 答图 2
注:果题目改D 点直线 AP 答图 2 种情况
图形性质图形间关系发现助推理更助直觉观察变换意识变换视角会种直觉更敏锐种观察更具眼力.
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