专题
题型考察概念基础知识点型
例1图1等腰△ABC周长21底边BC ＝ 5AB垂直分线DE△BEC周长
例2图2菱形中中点菱形边长______．
图1 图2 图3
例3 已知AB⊙O直径PB⊙O切线AB＝3cmPB＝4cmBC＝ ．
题型二折叠题型：折叠题中找相等关系然利勾股定理求解
例4 分边中点 折叠等
例5图4矩形纸片ABCD边长AB4AD2．矩形纸片 EF折叠 点A点C重合折叠面着色（图）着色部分面积（ ）
A． 8 B． C． 4 D．
A
B
C
D
E
G
F
F
图4 图5 图6
题型三涉计算题型：常见应勾股定理求线段长度求弧长扇形面积圆锥体积侧面积三角函数计算等
例6图3P⊙O外点PA切⊙OAAB⊙O直径PB交⊙OC
PA＝2cmPC＝1cm图中阴影部分面积S （ ）
A B C D
题型四证明题型：
第二轮复（）——三角形全等
判定方法1：SAS
例1AC菱形ABCD角线点EF分边ABADAEAF求证：△ACE≌△ACF
A
D
F
E
B
C
例2 正方形ABCD中AC角线EAC点连接EBED．（1）求证：△BEC≌△DEC
（2） 延长BE交ADF∠BED120°时求∠EFD度数．
A
F
D
E
B
C
判定方法2：AAS（ASA）
例3 ABCD正方形点GBC意点 E交 AGF
求证：．
D
C
B
A
E
F
G
例4图□ABCD中分延长BADC点EAEABCHCD连接EH分交ADBC点FG求证：△AEF≌△CHG
判定方法3：HL（专直角三角形）
例5△ABC中ABCB∠ABC90ºFAB延长线点点EBC AECF
(1)求证Rt△ABE≌Rt△CBF (2)∠CAE30º求∠ACF度数
A
B
C
E
F
应练1行四边形ABCD 中EBC 中点AE延长线DC延长线相交点F
(1)证明：∠DFA ∠FAB(2)证明 △ABE≌△FCE
2图点正方形点等边三角形连接延长交边点（1）求证（2）求度数
3．图已知∠ACB＝90°AC＝BCBE⊥CEEAD⊥CEDCEAB相交F．
(1)求证：△CEB≌△ADC(2)AD＝9cmDE＝6cm求BEEF长．
A
B
C
D
F
E
第二轮复（二）——三角形相似
Ⅰ三角形相似判定
例1图行四边形ABCD中点A作AE⊥BC垂足E连接DEF线段DE点∠AFE＝∠B(1)求证：△ADF∽△DEC(2)AB＝4AD＝3AE＝3求AF长
例2图9点P正方形ABCD边AB点(点A．B重合)连接PD线段PD绕点P时针方旋转90°线段PE PE交边BC点F．连接BEDF
（1）求证：∠ADP∠EPB（2）求∠CBE度数
（3）值等少时．△PFD∽△BFP？说明理．
2相似圆结合注意求证线段积般转化证三角形相似积式转化例式→例式边长定位三角形→找条件证明三角形相似
例3 图△ABC中ABACAB直径⊙O交ACE交BCD．
求证：（1）DBC中点（2）△BEC∽△ADC（3）BC22AB•CE．
3相似三角函数结合
①题目出三角函数值般会出三角函数值等角进行转化然求线段长度
②求某角三角函数值般会先角等角转化间接求三角函数值
例4图点E矩形ABCD中CD边点⊿BCEBE折叠⊿BFE点F落AD(1
求证：⊿ABE∽⊿DFE(2)sin∠DFE求tan∠EBC值
练
选择题
1图1非等腰纸片折叠点落边点处．点 边中点列结：①等腰三角形②③中位线成立（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2图等边△ABC中BDCEADBE相交点P∠APE度数（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
3图3中点中点垂足点等（ ） A． B． C． D． A
O
B
C
X
Y
D
图4 图5 图6 图7
4图4⊿ABC⊿CDE均等腰直角三角形点BCD条直线点MAE中点列结：①tan∠AEC②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ③BM⊥DM④BMDM正确结数（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5图5等边三角形ABC中DE分ABBC边两动点总ADBEAECD交点FAG⊥CD点G ．
6图6已知点ABCD均已知圆AD∥BCAC 分∠BCD∠ADC 120°四边形ABCD周长10cm．图中阴影部分面积（ ）A B C D
7图7直角坐标系中矩形OABCOB折点A落点 处已知点坐标（ ）A（）B（） C（） D（）
三解答题
1矩形ABCD中点EBC点AE＝ADDF⊥AEF连结DE求证：DF＝DC．
2图四边形ABCD矩形△PBC△QCD等边三角形点P矩形方点Q矩形．求证：（1）∠PBA∠PCQ30°（2）PAPQ．
A
C
B
D
P
Q
3点D等腰直角△ABC点∠CAD＝∠CBD＝15°EAD延长线点CE＝CA．（1）求证：DE分∠BDC（2）点MDEDCDM求证： MEBD．
4图5AB⊙O直径AC弦CD⊙O切线C切点AD⊥CD点D．求证：（1）∠AOC2∠ACD （2）AC2＝AB·AD．
5． 张矩形ABCD纸片图方式折叠点A点E重合点C点F重合（EF两点BD）折痕分BHDG
（1）求证：△BHE≌△DGF（2）AB＝6cmBC＝8cm求线段FG长
6．Rt△ABC中∠BAC90°AC2AB点DAC中点块锐角45°直角三角板图放置三角板斜边两端点分AD重合连结BEEC．试猜想线段BEEC数量位置关系证明猜想．
A
B
C
D
E
第二轮复（三）——四边形
例1分Rt△ABC直角边AC斜边AB外作等边△ACD等边△ABE已知∠BAC30ºEF⊥AB垂足F连结DF（1）试说明ACEF（2）求证：四边形ADFE行四边形
A
B
C
D
E
F
例2图AD∥FE点BCAD∠1＝∠2BF＝BC ⑴求证：四边形BCEF菱形
⑵AB＝BC＝CD求证：△ACF≌△BDE
例3四边形ABCD边长2正方形点GBC延长线点连结AG点EF分AG连接BEDF∠1∠2 ∠3∠4(1)证明：△ABE≌△DAF
（2）∠AGB30°求EF长
例4等腰梯形中延长．（1）证明：（2）果求等腰梯形高值．
D
A
B
E
C
F
应练
1菱形ABCD中∠A60°点PQ分边ABBCAPBQ．
（1）求证：△BDQ≌△ADP（2）已知AD3AP2求cos∠BPQ值(结果保留根号)．
2图四边形角线两点．
求证：（1）．（2）四边形行四边形．
A
B
D
E
F
C
3．方形ABCD中．E角线AC点连接EBED（1）求证：△BEC≌△DEC：
（2）延长BE交AD点F∠DEB140°．求∠AFE度数．
4梯形ABCD中AD∥BC延长CB点EBEAD连接DE交AB点M
（1）求证：△AMD≌△BME（2）NCD中点MN5BE2求BC长
第二轮复（四）——圆
Ⅰ证线段相等
例1：图AB⊙O直径C中点CE⊥AB EBD交CE点F．
（1）求证：CF BF（2）CD 6 AC 8⊙O半径 ___ CE长 ___ ．
A
C
B
D
E
F
O
2证角度相等
例2图⊙O直径圆周点点切线延长线交点．求证：（1）（2）≌．
3证切线：证明切线方法——连半径证垂直根：半径外端垂直半径直线圆切线
例3图四边形ABCD接⊙OBD⊙O直径AE⊥CD点EDA分∠BDE
（1）求证：AE⊙O切线（2）∠DBC30°DE1cm求BD长
例4图点ABCD⊙OOC⊥AB∠ADC30°．（1）求∠BOC度数
（2）求证：四边形AOBC菱形．
应练
1．图已知⊙O直径AB弦CD互相垂直垂足点E ⊙O切线BF弦AD
延长线相交点FAD3cos∠BCD （1）求证：CD∥BF（2）求⊙O半径
（3）求弦CD长
FM
A
DO
EC
O
C
B
2图点D⊙O直径CA延长线点点B⊙OAB＝AD＝AO．
（1）求证：BD⊙O切线．（2）点E劣弧BC点AEBC相交点F
△BEF面积8cos∠BFA＝求△ACF面积．
1副三角板图示叠放起图中∠度数（ ）
A． B． C． D．
图1 图2
2．图2边长4等边三角形ABC中ADBC边高点EFAD两点图中阴影部分面积（ ）A．4 B．3 C．2 D．
3图3△ABC中∠C90°AC3∠B30°点PBC边动点AP长
6
8
C
E
A
B
D
图3 图4
（A）35 （B）42 （C）58 （D）7
4 图4直角三角形纸片两直角边长分68现图样折叠点点重合折痕值（ ）
A． B． C． D．
5图5等腰直角三角形斜边绕点逆时针旋转重合果长等（ ）
A． B． C． D．
6 图6已知等边△ABC中点DE分边ABBC△BDE直线DE翻折点B落点Bˊ处DBˊEBˊ分交边AC点FG∠ADF80º ∠EGC度数
图5 图6 图7 图8
7．图已知：行四边形ABCD中AB4cmAD7cm∠ABC分线交AD点E交CD延长线点FDF______cm．
8．图矩形ABCD中AB＝2BC＝3角线AC垂直分线分交ADBC点EF连接CECE长________
9图BD⊙O直径OA⊥OBM劣弧点点M作⊙O切线MP交OA延长线P点MDOA交点N（1）求证：PMPN（2）BD4PAAOB点作BC∥MP交⊙OC点求BC长．
10．图△ABC中AB直径⊙O交BC点PPD⊥AC点DPD⊙O相切．
(1)求证：AB＝AC(2)BC＝6AB＝4求CD值．
C
B
A
O
P
D
11． 副直角三角板图放置点CFD延长线AB∥CF∠F∠ACB90°
∠ E45°∠A60°AC10试求CD长．
12． 四边形ABCD边长a正方形点GE分边ABBC中点∠AEF90oEF交正方形外角分线CF点F．（1）证明：∠BAE∠FEC
（2）证明：△AGE≌△ECF（3）求△AEF面积．
13．图矩形中．点动点直径交点点作点． （1）中点时：
①值______________ ② 证明：切线
（2）试探究：否相切求出时长请说明理D
E
O
C
B
G
F
A
——解直角三角形
1△ABC中∠C＝90°sinA＝tanB＝（ ） A． B． C． D．
2∆ABC中｜sinA |+(cosB)20 ∠A∠B锐角∠C度数（ ）
A 750 B 900 C1050 D1200
3左图△ABC中∠C90°AB13BC5sinA值（ ）
A B C D
4右图四边形ABCD中EF分別ABAD中点EF2 BC5CD3tanC等（ ） A B C D
A
B
C
D
αA
5图矩形ABCD中DE⊥ACE设∠ADE AB 4 AD长（ ）．（A）3 （B） （C） （D）
6锐角△ABC中∠BAC60°BDCE高FBC中点连接DEDFEF结：①DFEF②AD：ABAE：AC③△DEF等边三角形④BE+CDBC⑤∠ABC45°时BEDE中定正确（ ）A2 B3 C4 D5
7
8某着定坡度坡面前进10米时水面垂直距离米 破面坡度
9图已知直线∥∥∥相邻两条行直线间距离1果正方形ABCD四顶点分四条直线
直角三角形常见模型
1 张华学学校某建筑物C点处测旗杆顶部A点仰角30°旗杆底部B点俯角45°．旗杆底部B点建筑物水距离BE9米旗杆台阶高1米试求旗杆AB高度
2．海船5海里时速度正东方行驶A处见灯塔B海船北偏东60°方2时船行驶C处发现时灯塔B海船北偏西45方求时灯塔BC处距离
3某年入夏松花江哈尔滨段水位断降条船松花江某段西东直线航行A处测航标C北偏东60°方前进100m达B处测航标C北偏东45°方（图）航标C圆心120m半径圆形区域浅滩果条船继续前进否浅滩阻碍危险？
A
D
B
E
图6
i1
C
4图6梯形ABCD拦水坝横断面图（图中指坡面铅直高度DE水宽度CE）∠B60°AB6AD4求拦水坝横断面ABCD面积．（结果保留三位效数字参考数：≈1732≈1414）
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题型考察概念基础知识点型
例1图1等腰△ABC周长21底边BC ＝ 5AB垂直分线DE△BEC周长
例2图2菱形中中点菱形边长______．
图1 图2 图3
例3 已知AB⊙O直径PB⊙O切线AB＝3cmPB＝4cmBC＝ ．
题型二折叠题型：折叠题中找相等关系然利勾股定理求解
例4 分边中点 折叠等
例5图4矩形纸片ABCD边长AB4AD2．矩形纸片 EF折叠 点A点C重合折叠面着色（图）着色部分面积（ ）
A． 8 B． C． 4 D．
A
B
C
D
E
G
F
F
图4 图5 图6
题型三涉计算题型：常见应勾股定理求线段长度求弧长扇形面积圆锥体积侧面积三角函数计算等
例6图3P⊙O外点PA切⊙OAAB⊙O直径PB交⊙OC
PA＝2cmPC＝1cm图中阴影部分面积S （ ）
A B C D
题型四证明题型：
第二轮复（）——三角形全等
判定方法1：SAS
例1AC菱形ABCD角线点EF分边ABADAEAF求证：△ACE≌△ACF
A
D
F
E
B
C
例2 正方形ABCD中AC角线EAC点连接EBED．（1）求证：△BEC≌△DEC
（2） 延长BE交ADF∠BED120°时求∠EFD度数．
A
F
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E
B
C
判定方法2：AAS（ASA）
例3 ABCD正方形点GBC意点 E交 AGF
求证：．
D
C
B
A
E
F
G
例4图□ABCD中分延长BADC点EAEABCHCD连接EH分交ADBC点FG求证：△AEF≌△CHG
判定方法3：HL（专直角三角形）
例5△ABC中ABCB∠ABC90ºFAB延长线点点EBC AECF
(1)求证Rt△ABE≌Rt△CBF (2)∠CAE30º求∠ACF度数
A
B
C
E
F
应练1行四边形ABCD 中EBC 中点AE延长线DC延长线相交点F
(1)证明：∠DFA ∠FAB(2)证明 △ABE≌△FCE
2图点正方形点等边三角形连接延长交边点（1）求证（2）求度数
3．图已知∠ACB＝90°AC＝BCBE⊥CEEAD⊥CEDCEAB相交F．
(1)求证：△CEB≌△ADC(2)AD＝9cmDE＝6cm求BEEF长．
A
B
C
D
F
E
第二轮复（二）——三角形相似
Ⅰ三角形相似判定
例1图行四边形ABCD中点A作AE⊥BC垂足E连接DEF线段DE点∠AFE＝∠B(1)求证：△ADF∽△DEC(2)AB＝4AD＝3AE＝3求AF长
例2图9点P正方形ABCD边AB点(点A．B重合)连接PD线段PD绕点P时针方旋转90°线段PE PE交边BC点F．连接BEDF
（1）求证：∠ADP∠EPB（2）求∠CBE度数
（3）值等少时．△PFD∽△BFP？说明理．
2相似圆结合注意求证线段积般转化证三角形相似积式转化例式→例式边长定位三角形→找条件证明三角形相似
例3 图△ABC中ABACAB直径⊙O交ACE交BCD．
求证：（1）DBC中点（2）△BEC∽△ADC（3）BC22AB•CE．
3相似三角函数结合
①题目出三角函数值般会出三角函数值等角进行转化然求线段长度
②求某角三角函数值般会先角等角转化间接求三角函数值
例4图点E矩形ABCD中CD边点⊿BCEBE折叠⊿BFE点F落AD(1
求证：⊿ABE∽⊿DFE(2)sin∠DFE求tan∠EBC值
练
选择题
1图1非等腰纸片折叠点落边点处．点 边中点列结：①等腰三角形②③中位线成立（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2图等边△ABC中BDCEADBE相交点P∠APE度数（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
3图3中点中点垂足点等（ ） A． B． C． D． A
O
B
C
X
Y
D
图4 图5 图6 图7
4图4⊿ABC⊿CDE均等腰直角三角形点BCD条直线点MAE中点列结：①tan∠AEC②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ③BM⊥DM④BMDM正确结数（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5图5等边三角形ABC中DE分ABBC边两动点总ADBEAECD交点FAG⊥CD点G ．
6图6已知点ABCD均已知圆AD∥BCAC 分∠BCD∠ADC 120°四边形ABCD周长10cm．图中阴影部分面积（ ）A B C D
7图7直角坐标系中矩形OABCOB折点A落点 处已知点坐标（ ）A（）B（） C（） D（）
三解答题
1矩形ABCD中点EBC点AE＝ADDF⊥AEF连结DE求证：DF＝DC．
2图四边形ABCD矩形△PBC△QCD等边三角形点P矩形方点Q矩形．求证：（1）∠PBA∠PCQ30°（2）PAPQ．
A
C
B
D
P
Q
3点D等腰直角△ABC点∠CAD＝∠CBD＝15°EAD延长线点CE＝CA．（1）求证：DE分∠BDC（2）点MDEDCDM求证： MEBD．
4图5AB⊙O直径AC弦CD⊙O切线C切点AD⊥CD点D．求证：（1）∠AOC2∠ACD （2）AC2＝AB·AD．
5． 张矩形ABCD纸片图方式折叠点A点E重合点C点F重合（EF两点BD）折痕分BHDG
（1）求证：△BHE≌△DGF（2）AB＝6cmBC＝8cm求线段FG长
6．Rt△ABC中∠BAC90°AC2AB点DAC中点块锐角45°直角三角板图放置三角板斜边两端点分AD重合连结BEEC．试猜想线段BEEC数量位置关系证明猜想．
A
B
C
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E
第二轮复（三）——四边形
例1分Rt△ABC直角边AC斜边AB外作等边△ACD等边△ABE已知∠BAC30ºEF⊥AB垂足F连结DF（1）试说明ACEF（2）求证：四边形ADFE行四边形
A
B
C
D
E
F
例2图AD∥FE点BCAD∠1＝∠2BF＝BC ⑴求证：四边形BCEF菱形
⑵AB＝BC＝CD求证：△ACF≌△BDE
例3四边形ABCD边长2正方形点GBC延长线点连结AG点EF分AG连接BEDF∠1∠2 ∠3∠4(1)证明：△ABE≌△DAF
（2）∠AGB30°求EF长
例4等腰梯形中延长．（1）证明：（2）果求等腰梯形高值．
D
A
B
E
C
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应练
1菱形ABCD中∠A60°点PQ分边ABBCAPBQ．
（1）求证：△BDQ≌△ADP（2）已知AD3AP2求cos∠BPQ值(结果保留根号)．
2图四边形角线两点．
求证：（1）．（2）四边形行四边形．
A
B
D
E
F
C
3．方形ABCD中．E角线AC点连接EBED（1）求证：△BEC≌△DEC：
（2）延长BE交AD点F∠DEB140°．求∠AFE度数．
4梯形ABCD中AD∥BC延长CB点EBEAD连接DE交AB点M
（1）求证：△AMD≌△BME（2）NCD中点MN5BE2求BC长
第二轮复（四）——圆
Ⅰ证线段相等
例1：图AB⊙O直径C中点CE⊥AB EBD交CE点F．
（1）求证：CF BF（2）CD 6 AC 8⊙O半径 ___ CE长 ___ ．
A
C
B
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O
2证角度相等
例2图⊙O直径圆周点点切线延长线交点．求证：（1）（2）≌．
3证切线：证明切线方法——连半径证垂直根：半径外端垂直半径直线圆切线
例3图四边形ABCD接⊙OBD⊙O直径AE⊥CD点EDA分∠BDE
（1）求证：AE⊙O切线（2）∠DBC30°DE1cm求BD长
例4图点ABCD⊙OOC⊥AB∠ADC30°．（1）求∠BOC度数
（2）求证：四边形AOBC菱形．
应练
1．图已知⊙O直径AB弦CD互相垂直垂足点E ⊙O切线BF弦AD
延长线相交点FAD3cos∠BCD （1）求证：CD∥BF（2）求⊙O半径
（3）求弦CD长
FM
A
DO
EC
O
C
B
2图点D⊙O直径CA延长线点点B⊙OAB＝AD＝AO．
（1）求证：BD⊙O切线．（2）点E劣弧BC点AEBC相交点F
△BEF面积8cos∠BFA＝求△ACF面积．
1副三角板图示叠放起图中∠度数（ ）
A． B． C． D．
图1 图2
2．图2边长4等边三角形ABC中ADBC边高点EFAD两点图中阴影部分面积（ ）A．4 B．3 C．2 D．
3图3△ABC中∠C90°AC3∠B30°点PBC边动点AP长
6
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A
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图3 图4
（A）35 （B）42 （C）58 （D）7
4 图4直角三角形纸片两直角边长分68现图样折叠点点重合折痕值（ ）
A． B． C． D．
5图5等腰直角三角形斜边绕点逆时针旋转重合果长等（ ）
A． B． C． D．
6 图6已知等边△ABC中点DE分边ABBC△BDE直线DE翻折点B落点Bˊ处DBˊEBˊ分交边AC点FG∠ADF80º ∠EGC度数
图5 图6 图7 图8
7．图已知：行四边形ABCD中AB4cmAD7cm∠ABC分线交AD点E交CD延长线点FDF______cm．
8．图矩形ABCD中AB＝2BC＝3角线AC垂直分线分交ADBC点EF连接CECE长________
9图BD⊙O直径OA⊥OBM劣弧点点M作⊙O切线MP交OA延长线P点MDOA交点N（1）求证：PMPN（2）BD4PAAOB点作BC∥MP交⊙OC点求BC长．
10．图△ABC中AB直径⊙O交BC点PPD⊥AC点DPD⊙O相切．
(1)求证：AB＝AC(2)BC＝6AB＝4求CD值．
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A
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11． 副直角三角板图放置点CFD延长线AB∥CF∠F∠ACB90°
∠ E45°∠A60°AC10试求CD长．
12． 四边形ABCD边长a正方形点GE分边ABBC中点∠AEF90oEF交正方形外角分线CF点F．（1）证明：∠BAE∠FEC
（2）证明：△AGE≌△ECF（3）求△AEF面积．
13．图矩形中．点动点直径交点点作点． （1）中点时：
①值______________ ② 证明：切线
（2）试探究：否相切求出时长请说明理D
E
O
C
B
G
F
A
——解直角三角形
1△ABC中∠C＝90°sinA＝tanB＝（ ） A． B． C． D．
2∆ABC中｜sinA |+(cosB)20 ∠A∠B锐角∠C度数（ ）
A 750 B 900 C1050 D1200
3左图△ABC中∠C90°AB13BC5sinA值（ ）
A B C D
4右图四边形ABCD中EF分別ABAD中点EF2 BC5CD3tanC等（ ） A B C D
A
B
C
D
αA
5图矩形ABCD中DE⊥ACE设∠ADE AB 4 AD长（ ）．（A）3 （B） （C） （D）
6锐角△ABC中∠BAC60°BDCE高FBC中点连接DEDFEF结：①DFEF②AD：ABAE：AC③△DEF等边三角形④BE+CDBC⑤∠ABC45°时BEDE中定正确（ ）A2 B3 C4 D5
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8某着定坡度坡面前进10米时水面垂直距离米 破面坡度
9图已知直线∥∥∥相邻两条行直线间距离1果正方形ABCD四顶点分四条直线
直角三角形常见模型
1 张华学学校某建筑物C点处测旗杆顶部A点仰角30°旗杆底部B点俯角45°．旗杆底部B点建筑物水距离BE9米旗杆台阶高1米试求旗杆AB高度
2．海船5海里时速度正东方行驶A处见灯塔B海船北偏东60°方2时船行驶C处发现时灯塔B海船北偏西45方求时灯塔BC处距离
3某年入夏松花江哈尔滨段水位断降条船松花江某段西东直线航行A处测航标C北偏东60°方前进100m达B处测航标C北偏东45°方（图）航标C圆心120m半径圆形区域浅滩果条船继续前进否浅滩阻碍危险？
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4图6梯形ABCD拦水坝横断面图（图中指坡面铅直高度DE水宽度CE）∠B60°AB6AD4求拦水坝横断面ABCD面积．（结果保留三位效数字参考数：≈1732≈1414）
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