初中数学典难题答案
典难题（）
1已知：图O半圆圆心CE圆两点CD⊥ABEF⊥ABEG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
A
F
G
C
E
B
O
D
A
P
C
D
B
第1题图
第2题图
2已知：图P正方形ABCD点∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC正三角形．（初二）
3图已知四边形ABCDA1B1C1D1正方形A2B2C2D 2分AA1BB1CC1DD1中点．求证：四边形A2B2C2D2正方形．（初二）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B
D
A
A1
A
N
F
E
C
D
M
B
第3题图
第4题图
4已知：图四边形ABCD中AD＝BCMN分ABCD中点ADBC延长线交MNEF．求证：∠DEN＝∠F．
典难题（二）
1已知：△ABC中H垂心（边高线交点）O外心OM⊥BCM．
（1）求证：AH＝2OM
（2）∠BAC＝600求证：AH＝AO．（初二）
·
A
D
H
E
M
C
B
O
·
G
A
O
D
B
E
C
Q
P
N
M
第1题图
第2题图
2设MN圆O外直线O作OA⊥MNAA引圆两条直线交圆BCDE直线EBCD分交MNPQ．求证：AP＝AQ．（初二）
3果题直线MN圆外移圆命题：
设MN圆O弦MN中点A作两弦BCDE设CDEB分交MNPQ．
求证：AP＝AQ．（初二）
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O
Q
P
B
D
E
C
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·
A
P
C
G
F
B
Q
A
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第3题图
第4题图
4图分△ABCACBC边△ABC外侧作正方形ACDE正方形CBFG点PEF中点．
求证：点P边AB距离等AB半．（初二）
典难题（三）
1图四边形ABCD正方形DE∥ACAE＝ACAECD相交F．
求证：CE＝CF．（初二）
A
F
D
E
C
B
E
D
A
C
B
F
第1题图
第2题图
2图四边形ABCD正方形DE∥ACCE＝CA直线EC交DA延长线F．
求证：AE＝AF．（初二）
3设P正方形ABCD边BC点PF⊥APCF分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
D
F
E
P
C
B
A
O
D
B
F
A
E
C
P
第3题图
第4题图
4图PC切圆OCAC圆直径PEF圆割线AEAF直线PO相交BD．
求证：AB＝DCBC＝AD．（初三）
典难题（四）
1已知：△ABC正三角形P三角形点PA＝3PB＝4PC＝5．
求：∠APB度数．（初二）
A
P
C
B
P
A
D
C
B
第1题图
第2题图
2设P行四边形ABCD部点∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
3设ABCD圆接凸四边形求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
C
B
D
A
F
P
D
E
C
B
A
第3题图
第4题图
4行四边形ABCD中设EF分BCAB点AECF相交P
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
典难题（五）
1设P边长1正△ABC点L＝PA＋PB＋PC求证：≤L＜2．
A
P
C
B
A
C
B
P
D
第1题图
第2题图
2P边长1正方形ABCD点求PA＋PB＋PC值．
E
D
C
B
A
3P正方形ABCD点PA＝aPB＝2aPC＝3a求正方形边长．
A
C
B
P
D
第3题图
第4题图
4图△ABC中∠ABC＝∠ACB＝800DE分ABAC点∠DCA＝300
∠EBA＝200求∠BED度数．
典难题（）
1已知：图O半圆圆心CE圆两点CD⊥ABEF⊥ABEG⊥CO．
求证：CD＝GF（初二）
证：连接OE
∵EG⊥CO EF⊥AB
∴OGEF四点圆OE直径
∴GFOE·sin∠GOF
△OCD中CDOC·sin∠COD
∵∠GOF+∠COD180°
OC OE⊙O半径
∴CD＝GF
证二：连接OEG作GH⊥ABH
∵EG⊥CO EF⊥AB
∴OGEF四点圆OE直径
∴∠GEO∠HFG∠EGO∠FHGRt∠
∴△GEO∽△HFG∴GFOEGHOG
GH∥CD∴GHCDOGOC
GHOGCDOC∴GFOECDOC
OEOC∴CD＝GF
A
F
G
C
E
B
O
D
H
H
A
F
G
C
E
B
O
D
2已知：图P正方形ABCD点∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC正三角形．（初二）
A
P
C
D
B
E
证明：
3图已知四边形ABCDA1B1C1D1正方形A2B2C2D 2分AA1BB1CC1DD1中点．求证：四边形A2B2C2D2正方形．（初二）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B
D
A
A1
4已知：图四边形ABCD中AD＝BCMN分ABCD中点ADBC延长线交MNEF．求证：∠DEN＝∠F．
A
N
F
E
C
D
M
B
典难题（二）
1已知：△ABC中H垂心（边高线交点）O外心OM⊥BCM．
（1）求证：AH＝2OM
（2）∠BAC＝600求证：AH＝AO．（初二）
·
A
D
H
E
M
C
B
O
2设MN圆O外直线O作OA⊥MNAA引圆两条直线交圆BCDE直线EBCD分交MNPQ．求证：AP＝AQ．（初二）
·
G
A
O
D
B
E
C
Q
P
N
M
3果题直线MN圆外移圆命题：
设MN圆O弦MN中点A作两弦BCDE设CDEB分交MNPQ．
求证：AP＝AQ．（初二）
·
O
Q
P
B
D
E
C
N
M
·
A
4图分△ABCACBC边△ABC外侧作正方形ACDE正方形CBFG点PEF中点．
求证：点P边AB距离等AB半．（初二）
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
典难题（三）
1图四边形ABCD正方形DE∥ACAE＝ACAECD相交F．
求证：CE＝CF．（初二）
A
F
D
E
C
B
2图四边形ABCD正方形DE∥ACCE＝CA直线EC交DA延长线F．
求证：AE＝AF．（初二）
E
D
A
C
B
F
3设P正方形ABCD边BC点PF⊥APCF分∠DCE．
D
求证：PA＝PF．（初二）
F
E
P
C
B
A
4图PC切圆OCAC圆直径PEF圆割线AEAF直线PO相交BD．
求证：AB＝DCBC＝AD．（初三）
O
D
B
F
A
E
C
P
典难题（四）
1已知：△ABC正三角形P三角形点PA＝3PB＝4PC＝5．
求：∠APB度数．（初二）
A
P
C
B
2设P行四边形ABCD部点∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
P
A
D
C
B
3设ABCD圆接凸四边形求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
C
B
D
A
4行四边形ABCD中设EF分BCAB点AECF相交P
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
F
P
D
E
C
B
A
典难题（五）
1设P边长1正△ABC点L＝PA＋PB＋PC求证：≤L＜2．
A
P
C
B
2已知：P边长1正方形ABCD点求PA＋PB＋PC值．
A
C
B
P
D
3P正方形ABCD点PA＝aPB＝2aPC＝3a求正方形边长．
A
C
B
P
D
4图△ABC中∠ABC＝∠ACB＝800DE分ABAC点∠DCA＝300
∠EBA＝200求∠BED度数．
E
D
C
B
A
典难题（）
1图做GH⊥AB连接EOGOFE四点圆∠GFH＝∠OEG
△GHF∽△OGECOEOCDGF证
2 图做△DGC△ADP全等△PDG等边△
△DGC≌△APD≌△CGP出PCADDC∠DCG∠PCG＝150
∠DCP300 出△PBC正三角形
3图连接BC1AB1分找中点FE连接C2FA2E延长相交Q点
连接EB2延长交C2QH点连接FB2延长交A2QG点
A2EA1B1B1C1 FB2 EB2ABBCFC1 ∠GFQ+∠Q900
∠GEB2+∠Q900∠GEB2∠GFQ∠B2FC2∠A2EB2
△B2FC2≌△A2EB2 A2B2B2C2
∠GFQ+∠HB2F900∠GFQ∠EB2A2
∠A2B2 C2900
理边垂直相等
出四边形A2B2C2D2正方形
4图连接AC取中点Q连接QNQM∠QMF∠F∠QNM∠DEN∠QMN∠QNM出∠DEN＝∠F
典难题（二）
1(1)延长ADF连BF做OG⊥AF
∠F∠ACB∠BHD
BHBFHDDF
AHGF+HGGH+HD+DF+HG2(GH+HD)2OM
(2)连接OBOC∠BOC1200
∠BOM600
OB2OMAHAO
证
3作OF⊥CDOG⊥BE连接OPOAOFAFOGAGOQ
△ADF≌△ABG∠AFC∠AGE
PFOAQGOA四点圆∠AFC∠AOP∠AGE∠AOQ
∠AOP∠AOQAPAQ
4ECF点分作AB直线高EGCIFHPQ
△EGA≌△AICEGAI△BFH≌△CBIFHBI
PQ 证
典难题（三）
1时针旋转△ADE△ABG连接CG
∠ABG∠ADE900+4501350
BGD条直线△AGB≌△CGB
推出AEAGACGC△AGC等边三角形
∠AGB300∠EAC300∠A EC750
∠EFC∠DFA450+300750
证：CECF
2连接BD作CH⊥DE四边形CGDH正方形
ACCE2GC2CH
∠CEH300∠CAE∠CEA∠AED150
∠FAE900+450+1501500
知道∠F150出AEAF
3作FG⊥CDFE⊥BE出GFEC正方形
令ABY BPX CEZ PCYX
tan∠BAPtan∠EPFYZXYX2+XZ
Z(YX)X(YX) XZ 出△ABP≌△PEF
PA＝PF 证
典难题（四）
1 时针旋转△ABP 600 连接PQ △PBQ正三角形
△PQC直角三角形
∠APB1500
2作P点行AD直线选点EAE∥DCBE∥PC
出∠ABP∠ADP∠AEP：
AEBP圆（边两角相等）
∠BAP∠BEP∠BCP证
3BD取点E∠BCE∠ACD△BEC∽△ADC：
AD•BCBE•AC ①
∠ACB∠DCE△ABC∽△DEC
AB•CDDE•AC ②
①+② AB•CD+AD•BCAC(BE+DE) AC·BD 证
4D作AQ⊥AE AG⊥CF ：
AEFC
DQDG∠DPA＝∠DPC（角分线逆定理）
典难题（五）
1（1）时针旋转△BPC 600 △PBE等边三角形
PA+PB+PCAP++PE+EFAPPEEF条直线
图：L
（2）P点作BC行线交ABAC点DF
∠APD>∠ATP∠ADP
推出AD>AP ①
BP+DP>BP ②
PF+FC>PC ③
DFAF ④
①②③④：L< 2
（1）（2）：≤L＜2
2时针旋转△BPC 600 △PBE等边三角形
PA+PB+PCAP+PE+EFAPPEEF条直线
图：PA+PB+PCAF
AF
3时针旋转△ABP 900 图：
正方形边长L
4AB找点F∠BCF600
连接EFDG△BGC等边三角形
∠DCF100 ∠FCE200 推出△ABE≌△ACF
BECF FGGE
推出 ： △FGE等边三角形 ∠AFE800
：∠DFG400 ①
BDBCBG ∠BGD800 ∠DGF400 ②
推：DFDG ：△DFE≌△DGE
推：∠FED∠BED300
典难题（）
1图做GH⊥AB连接EOGOFE四点圆∠GFH＝∠OEG
△GHF∽△OGECOEOCDGF证
2 图做△DGC△ADP全等△PDG等边△
△DGC≌△APD≌△CGP出PCADDC∠DCG∠PCG＝150
∠DCP300 出△PBC正三角形
3图连接BC1AB1分找中点FE连接C2FA2E延长相交Q点
连接EB2延长交C2QH点连接FB2延长交A2QG点
A2EA1B1B1C1 FB2 EB2ABBCFC1 ∠GFQ+∠Q900
∠GEB2+∠Q900∠GEB2∠GFQ∠B2FC2∠A2EB2
△B2FC2≌△A2EB2 A2B2B2C2
∠GFQ+∠HB2F900∠GFQ∠EB2A2
∠A2B2 C2900
理边垂直相等
出四边形A2B2C2D2正方形
4图连接AC取中点Q连接QNQM∠QMF∠F∠QNM∠DEN∠QMN∠QNM出∠DEN＝∠F
典难题（二）
1(1)延长ADF连BF做OG⊥AF
∠F∠ACB∠BHD
BHBFHDDF
AHGF+HGGH+HD+DF+HG2(GH+HD)2OM
(2)连接OBOC∠BOC1200
∠BOM600
OB2OMAHAO
证
3作OF⊥CDOG⊥BE连接OPOAOFAFOGAGOQ
△ADF≌△ABG∠AFC∠AGE
PFOAQGOA四点圆∠AFC∠AOP∠AGE∠AOQ
∠AOP∠AOQAPAQ
4ECF点分作AB直线高EGCIFHPQ
△EGA≌△AICEGAI△BFH≌△CBIFHBI
PQ 证
典难题（三）
1时针旋转△ADE△ABG连接CG
∠ABG∠ADE900+4501350
BGD条直线△AGB≌△CGB
推出AEAGACGC△AGC等边三角形
∠AGB300∠EAC300∠A EC750
∠EFC∠DFA450+300750
证：CECF
2连接BD作CH⊥DE四边形CGDH正方形
ACCE2GC2CH
∠CEH300∠CAE∠CEA∠AED150
∠FAE900+450+1501500
知道∠F150出AEAF
3作FG⊥CDFE⊥BE出GFEC正方形
令ABY BPX CEZ PCYX
tan∠BAPtan∠EPFYZXYX2+XZ
Z(YX)X(YX) XZ 出△ABP≌△PEF
PA＝PF 证
典难题（四）
2 时针旋转△ABP 600 连接PQ △PBQ正三角形
△PQC直角三角形
∠APB1500
2作P点行AD直线选点EAE∥DCBE∥PC
出∠ABP∠ADP∠AEP：
AEBP圆（边两角相等）
∠BAP∠BEP∠BCP证
3BD取点E∠BCE∠ACD△BEC∽△ADC：
AD•BCBE•AC ①
∠ACB∠DCE△ABC∽△DEC
AB•CDDE•AC ②
①+② AB•CD+AD•BCAC(BE+DE) AC·BD 证
4D作AQ⊥AE AG⊥CF ：
AEFC
DQDG∠DPA＝∠DPC（角分线逆定理）
典难题（五）
1（1）时针旋转△BPC 600 △PBE等边三角形
PA+PB+PCAP++PE+EFAPPEEF条直线
图：L
（2）P点作BC行线交ABAC点DF
∠APD>∠ATP∠ADP
推出AD>AP ①
BP+DP>BP ②
PF+FC>PC ③
DFAF ④
①②③④：L< 2
（1）（2）：≤L＜2
2时针旋转△BPC 600 △PBE等边三角形
PA+PB+PCAP+PE+EFAPPEEF条直线
图：PA+PB+PCAF
AF
3时针旋转△ABP 900 图：
正方形边长L
4AB找点F∠BCF600
连接EFDG△BGC等边三角形
∠DCF100 ∠FCE200 推出△ABE≌△ACF
BECF FGGE
推出 ： △FGE等边三角形 ∠AFE800
：∠DFG400 ①
BDBCBG ∠BGD800 ∠DGF400 ②
推：DFDG ：△DFE≌△DGE
推：∠FED∠BED300
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典难题（）
1已知：图O半圆圆心CE圆两点CD⊥ABEF⊥ABEG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
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O
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C
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第1题图
第2题图
2已知：图P正方形ABCD点∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC正三角形．（初二）
3图已知四边形ABCDA1B1C1D1正方形A2B2C2D 2分AA1BB1CC1DD1中点．求证：四边形A2B2C2D2正方形．（初二）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
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A1
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第3题图
第4题图
4已知：图四边形ABCD中AD＝BCMN分ABCD中点ADBC延长线交MNEF．求证：∠DEN＝∠F．
典难题（二）
1已知：△ABC中H垂心（边高线交点）O外心OM⊥BCM．
（1）求证：AH＝2OM
（2）∠BAC＝600求证：AH＝AO．（初二）
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第1题图
第2题图
2设MN圆O外直线O作OA⊥MNAA引圆两条直线交圆BCDE直线EBCD分交MNPQ．求证：AP＝AQ．（初二）
3果题直线MN圆外移圆命题：
设MN圆O弦MN中点A作两弦BCDE设CDEB分交MNPQ．
求证：AP＝AQ．（初二）
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第3题图
第4题图
4图分△ABCACBC边△ABC外侧作正方形ACDE正方形CBFG点PEF中点．
求证：点P边AB距离等AB半．（初二）
典难题（三）
1图四边形ABCD正方形DE∥ACAE＝ACAECD相交F．
求证：CE＝CF．（初二）
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第1题图
第2题图
2图四边形ABCD正方形DE∥ACCE＝CA直线EC交DA延长线F．
求证：AE＝AF．（初二）
3设P正方形ABCD边BC点PF⊥APCF分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
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第3题图
第4题图
4图PC切圆OCAC圆直径PEF圆割线AEAF直线PO相交BD．
求证：AB＝DCBC＝AD．（初三）
典难题（四）
1已知：△ABC正三角形P三角形点PA＝3PB＝4PC＝5．
求：∠APB度数．（初二）
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C
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A
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第1题图
第2题图
2设P行四边形ABCD部点∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
3设ABCD圆接凸四边形求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
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第3题图
第4题图
4行四边形ABCD中设EF分BCAB点AECF相交P
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
典难题（五）
1设P边长1正△ABC点L＝PA＋PB＋PC求证：≤L＜2．
A
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A
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第1题图
第2题图
2P边长1正方形ABCD点求PA＋PB＋PC值．
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3P正方形ABCD点PA＝aPB＝2aPC＝3a求正方形边长．
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第3题图
第4题图
4图△ABC中∠ABC＝∠ACB＝800DE分ABAC点∠DCA＝300
∠EBA＝200求∠BED度数．
典难题（）
1已知：图O半圆圆心CE圆两点CD⊥ABEF⊥ABEG⊥CO．
求证：CD＝GF（初二）
证：连接OE
∵EG⊥CO EF⊥AB
∴OGEF四点圆OE直径
∴GFOE·sin∠GOF
△OCD中CDOC·sin∠COD
∵∠GOF+∠COD180°
OC OE⊙O半径
∴CD＝GF
证二：连接OEG作GH⊥ABH
∵EG⊥CO EF⊥AB
∴OGEF四点圆OE直径
∴∠GEO∠HFG∠EGO∠FHGRt∠
∴△GEO∽△HFG∴GFOEGHOG
GH∥CD∴GHCDOGOC
GHOGCDOC∴GFOECDOC
OEOC∴CD＝GF
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2已知：图P正方形ABCD点∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC正三角形．（初二）
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证明：
3图已知四边形ABCDA1B1C1D1正方形A2B2C2D 2分AA1BB1CC1DD1中点．求证：四边形A2B2C2D2正方形．（初二）
D2
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C1
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4已知：图四边形ABCD中AD＝BCMN分ABCD中点ADBC延长线交MNEF．求证：∠DEN＝∠F．
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典难题（二）
1已知：△ABC中H垂心（边高线交点）O外心OM⊥BCM．
（1）求证：AH＝2OM
（2）∠BAC＝600求证：AH＝AO．（初二）
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2设MN圆O外直线O作OA⊥MNAA引圆两条直线交圆BCDE直线EBCD分交MNPQ．求证：AP＝AQ．（初二）
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3果题直线MN圆外移圆命题：
设MN圆O弦MN中点A作两弦BCDE设CDEB分交MNPQ．
求证：AP＝AQ．（初二）
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4图分△ABCACBC边△ABC外侧作正方形ACDE正方形CBFG点PEF中点．
求证：点P边AB距离等AB半．（初二）
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典难题（三）
1图四边形ABCD正方形DE∥ACAE＝ACAECD相交F．
求证：CE＝CF．（初二）
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2图四边形ABCD正方形DE∥ACCE＝CA直线EC交DA延长线F．
求证：AE＝AF．（初二）
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3设P正方形ABCD边BC点PF⊥APCF分∠DCE．
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求证：PA＝PF．（初二）
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4图PC切圆OCAC圆直径PEF圆割线AEAF直线PO相交BD．
求证：AB＝DCBC＝AD．（初三）
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典难题（四）
1已知：△ABC正三角形P三角形点PA＝3PB＝4PC＝5．
求：∠APB度数．（初二）
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B
2设P行四边形ABCD部点∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
P
A
D
C
B
3设ABCD圆接凸四边形求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
C
B
D
A
4行四边形ABCD中设EF分BCAB点AECF相交P
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
F
P
D
E
C
B
A
典难题（五）
1设P边长1正△ABC点L＝PA＋PB＋PC求证：≤L＜2．
A
P
C
B
2已知：P边长1正方形ABCD点求PA＋PB＋PC值．
A
C
B
P
D
3P正方形ABCD点PA＝aPB＝2aPC＝3a求正方形边长．
A
C
B
P
D
4图△ABC中∠ABC＝∠ACB＝800DE分ABAC点∠DCA＝300
∠EBA＝200求∠BED度数．
E
D
C
B
A
典难题（）
1图做GH⊥AB连接EOGOFE四点圆∠GFH＝∠OEG
△GHF∽△OGECOEOCDGF证
2 图做△DGC△ADP全等△PDG等边△
△DGC≌△APD≌△CGP出PCADDC∠DCG∠PCG＝150
∠DCP300 出△PBC正三角形
3图连接BC1AB1分找中点FE连接C2FA2E延长相交Q点
连接EB2延长交C2QH点连接FB2延长交A2QG点
A2EA1B1B1C1 FB2 EB2ABBCFC1 ∠GFQ+∠Q900
∠GEB2+∠Q900∠GEB2∠GFQ∠B2FC2∠A2EB2
△B2FC2≌△A2EB2 A2B2B2C2
∠GFQ+∠HB2F900∠GFQ∠EB2A2
∠A2B2 C2900
理边垂直相等
出四边形A2B2C2D2正方形
4图连接AC取中点Q连接QNQM∠QMF∠F∠QNM∠DEN∠QMN∠QNM出∠DEN＝∠F
典难题（二）
1(1)延长ADF连BF做OG⊥AF
∠F∠ACB∠BHD
BHBFHDDF
AHGF+HGGH+HD+DF+HG2(GH+HD)2OM
(2)连接OBOC∠BOC1200
∠BOM600
OB2OMAHAO
证
3作OF⊥CDOG⊥BE连接OPOAOFAFOGAGOQ
△ADF≌△ABG∠AFC∠AGE
PFOAQGOA四点圆∠AFC∠AOP∠AGE∠AOQ
∠AOP∠AOQAPAQ
4ECF点分作AB直线高EGCIFHPQ
△EGA≌△AICEGAI△BFH≌△CBIFHBI
PQ 证
典难题（三）
1时针旋转△ADE△ABG连接CG
∠ABG∠ADE900+4501350
BGD条直线△AGB≌△CGB
推出AEAGACGC△AGC等边三角形
∠AGB300∠EAC300∠A EC750
∠EFC∠DFA450+300750
证：CECF
2连接BD作CH⊥DE四边形CGDH正方形
ACCE2GC2CH
∠CEH300∠CAE∠CEA∠AED150
∠FAE900+450+1501500
知道∠F150出AEAF
3作FG⊥CDFE⊥BE出GFEC正方形
令ABY BPX CEZ PCYX
tan∠BAPtan∠EPFYZXYX2+XZ
Z(YX)X(YX) XZ 出△ABP≌△PEF
PA＝PF 证
典难题（四）
1 时针旋转△ABP 600 连接PQ △PBQ正三角形
△PQC直角三角形
∠APB1500
2作P点行AD直线选点EAE∥DCBE∥PC
出∠ABP∠ADP∠AEP：
AEBP圆（边两角相等）
∠BAP∠BEP∠BCP证
3BD取点E∠BCE∠ACD△BEC∽△ADC：
AD•BCBE•AC ①
∠ACB∠DCE△ABC∽△DEC
AB•CDDE•AC ②
①+② AB•CD+AD•BCAC(BE+DE) AC·BD 证
4D作AQ⊥AE AG⊥CF ：
AEFC
DQDG∠DPA＝∠DPC（角分线逆定理）
典难题（五）
1（1）时针旋转△BPC 600 △PBE等边三角形
PA+PB+PCAP++PE+EFAPPEEF条直线
图：L
（2）P点作BC行线交ABAC点DF
∠APD>∠ATP∠ADP
推出AD>AP ①
BP+DP>BP ②
PF+FC>PC ③
DFAF ④
①②③④：L< 2
（1）（2）：≤L＜2
2时针旋转△BPC 600 △PBE等边三角形
PA+PB+PCAP+PE+EFAPPEEF条直线
图：PA+PB+PCAF
AF
3时针旋转△ABP 900 图：
正方形边长L
4AB找点F∠BCF600
连接EFDG△BGC等边三角形
∠DCF100 ∠FCE200 推出△ABE≌△ACF
BECF FGGE
推出 ： △FGE等边三角形 ∠AFE800
：∠DFG400 ①
BDBCBG ∠BGD800 ∠DGF400 ②
推：DFDG ：△DFE≌△DGE
推：∠FED∠BED300
典难题（）
1图做GH⊥AB连接EOGOFE四点圆∠GFH＝∠OEG
△GHF∽△OGECOEOCDGF证
2 图做△DGC△ADP全等△PDG等边△
△DGC≌△APD≌△CGP出PCADDC∠DCG∠PCG＝150
∠DCP300 出△PBC正三角形
3图连接BC1AB1分找中点FE连接C2FA2E延长相交Q点
连接EB2延长交C2QH点连接FB2延长交A2QG点
A2EA1B1B1C1 FB2 EB2ABBCFC1 ∠GFQ+∠Q900
∠GEB2+∠Q900∠GEB2∠GFQ∠B2FC2∠A2EB2
△B2FC2≌△A2EB2 A2B2B2C2
∠GFQ+∠HB2F900∠GFQ∠EB2A2
∠A2B2 C2900
理边垂直相等
出四边形A2B2C2D2正方形
4图连接AC取中点Q连接QNQM∠QMF∠F∠QNM∠DEN∠QMN∠QNM出∠DEN＝∠F
典难题（二）
1(1)延长ADF连BF做OG⊥AF
∠F∠ACB∠BHD
BHBFHDDF
AHGF+HGGH+HD+DF+HG2(GH+HD)2OM
(2)连接OBOC∠BOC1200
∠BOM600
OB2OMAHAO
证
3作OF⊥CDOG⊥BE连接OPOAOFAFOGAGOQ
△ADF≌△ABG∠AFC∠AGE
PFOAQGOA四点圆∠AFC∠AOP∠AGE∠AOQ
∠AOP∠AOQAPAQ
4ECF点分作AB直线高EGCIFHPQ
△EGA≌△AICEGAI△BFH≌△CBIFHBI
PQ 证
典难题（三）
1时针旋转△ADE△ABG连接CG
∠ABG∠ADE900+4501350
BGD条直线△AGB≌△CGB
推出AEAGACGC△AGC等边三角形
∠AGB300∠EAC300∠A EC750
∠EFC∠DFA450+300750
证：CECF
2连接BD作CH⊥DE四边形CGDH正方形
ACCE2GC2CH
∠CEH300∠CAE∠CEA∠AED150
∠FAE900+450+1501500
知道∠F150出AEAF
3作FG⊥CDFE⊥BE出GFEC正方形
令ABY BPX CEZ PCYX
tan∠BAPtan∠EPFYZXYX2+XZ
Z(YX)X(YX) XZ 出△ABP≌△PEF
PA＝PF 证
典难题（四）
2 时针旋转△ABP 600 连接PQ △PBQ正三角形
△PQC直角三角形
∠APB1500
2作P点行AD直线选点EAE∥DCBE∥PC
出∠ABP∠ADP∠AEP：
AEBP圆（边两角相等）
∠BAP∠BEP∠BCP证
3BD取点E∠BCE∠ACD△BEC∽△ADC：
AD•BCBE•AC ①
∠ACB∠DCE△ABC∽△DEC
AB•CDDE•AC ②
①+② AB•CD+AD•BCAC(BE+DE) AC·BD 证
4D作AQ⊥AE AG⊥CF ：
AEFC
DQDG∠DPA＝∠DPC（角分线逆定理）
典难题（五）
1（1）时针旋转△BPC 600 △PBE等边三角形
PA+PB+PCAP++PE+EFAPPEEF条直线
图：L
（2）P点作BC行线交ABAC点DF
∠APD>∠ATP∠ADP
推出AD>AP ①
BP+DP>BP ②
PF+FC>PC ③
DFAF ④
①②③④：L< 2
（1）（2）：≤L＜2
2时针旋转△BPC 600 △PBE等边三角形
PA+PB+PCAP+PE+EFAPPEEF条直线
图：PA+PB+PCAF
AF
3时针旋转△ABP 900 图：
正方形边长L
4AB找点F∠BCF600
连接EFDG△BGC等边三角形
∠DCF100 ∠FCE200 推出△ABE≌△ACF
BECF FGGE
推出 ： △FGE等边三角形 ∠AFE800
：∠DFG400 ①
BDBCBG ∠BGD800 ∠DGF400 ②
推：DFDG ：△DFE≌△DGE
推：∠FED∠BED300
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