课标解读
折叠问题题型样变化灵活考察学生空间想象力动手操作力实践操作题直接运折叠相关性质说理计算题发展基折叠操作综合题甚压轴题 考查着眼点日趋灵活力立意意图日渐明显识理解图形力空间思维力综合解决问题力提出更高求
专题容考查中常涉特殊行四边形折叠性质特殊三角形判定勾股定理运角分线性质等 考生复中应熟练掌握基图形性质判定定理图形折叠性质
图形折叠中考中常考题型种题型考察学生图形认知特考察轴称性质全等三角形勾股定理相似三角形等知识综合运
解题策略
关图形折叠相关计算首先熟知折叠种轴称变换位折痕两侧图形关折痕成轴称然根图形折叠性质折叠前图形应边应角相等应点连线折痕垂直分进行相关计算图形折叠通常动点问题结合起进行考查常见问题类型3种：（1）求线段取值范围（2）求值问题（3）分类讨线段长度
考点深剖
★考点 涉特殊三角形翻转折叠
典例1（2018·浙江安·8分）图△OAB边长2+等边三角形中O坐标原点顶点By轴正方△OAB折叠点A落边OB记A′折痕EF．
（1）A′E∥x轴时求点A′E坐标
（2）A′E∥x轴抛物线y﹣x2+bx+c点A′E时求抛物线x轴交点坐标
（3）点A′OB运动点OB重合时否△A′EF成直角三角形？请求出时点A′坐标请说明理．
考点定系数法求二次函数解析式图形旋转变换直角三角形判定性质
分析（1）A′E∥x轴时△A′EO直角三角形根∠A′OE度数O′A表示出OEA′EA′EAEA′E+OEOA2+求出OA′长求出A′E长．求出A′E坐标
（2）A′E点坐标代入抛物线中求出解析式．进求出抛物线x轴交点坐标
（3）根折叠性质知：∠FA′E∠A∠FA′E直角△A′EF成直角三角形两种：
①∠A′EF90°根折叠性质∠A′EF∠AEF90°时A′O重合题意符种情况成立．
②∠A′FE90°①出种情况成立．
A′OB重合情况△A′EF成直角三角形．
（2）A′E抛物线
函数关系式y﹣x2+x+1
﹣x2+x+10
x1﹣x22
x轴两交点坐标分（0）（0）．
△A′EF成直角三角形．学科&网
★考点二 涉特殊四边形翻转折叠
典例2（2018湖北荆州）（800分）图折矩形纸片ABCDABDC重合折痕MN纸片展次折叠点D落MN点F处折痕AP交MNE延长PF交ABG．求证：
（1）△AFG≌△AFP
（2）△APG等边三角形．
分析（1）折叠性质MN分ADBC中点利行线分线段成例FPG中点折叠性质AF垂直PG利SAS证
（2）（1）全等三角形应边相等利三线合∠2∠3折叠性质等量代换∠PAG60°根APAG角60°证．
解答证明：（1）折叠：MN分ADBC中点
∵DC∥MN∥AB
∴FPG中点PFGF
折叠：∠PFA∠D90°∠1∠2
△AFP△AFG中
∴△AFP≌△AFG（SAS）
★考点三 涉圆知识翻转折叠
典例3图点O圆形纸片圆心圆形纸片列序折叠圆心O阴影部分面积⊙O面积（ ）
A B C D
解：作OD⊥AB点D连接AOBOCO
∵ODAO
∴∠OAD30°
∴∠AOB2∠AOD120°
理∠BOC120°
∴∠AOC120°
∴阴影部分面积S扇形AOC×⊙O面积．
选：B．
★考点四 涉函数翻转折叠
典例4（2018·重庆市B卷）（1200分）抛物线y﹣x2﹣x+x轴交点AB（点A点B左边）y轴交点C点D该抛物线顶点．
（1）图1连接CD求线段CD长
（2）图2点P直线AC方抛物线点PF⊥x轴点FPF线段AC交点E线段OBx轴左右移线段OB应线段O1B1PE+EC值时求四边形PO1B1C周长值求出应点O1坐标
（3）图3点H线段AB中点连接CH△OBC直线CH翻折△O2B2C位置△O2B2C绕点B2旋转周旋转程中点O2C应点分点O3C1直线O3C1分直线ACx轴交点MN．△O2B2C整旋转程中否存恰位置△AMNMN腰等腰三角形？存请直接写出符合条件线段O2M长存请说明理．
（3）先确定折O2C落AC△AMNMN腰等腰三角形存四种情况：
①图4ANMN证明△C1EC≌△B2O2M计算O2M长
②图5AMMN时MC重合O2MO2C
③图6AMMNNHC1重合结
④图7ANMNC1作C1E⊥ACE证明四边形C1EO2B2矩形根O2MEO2+EM结．
（2）y﹣x2﹣x+中令y0﹣x2﹣x+0
解：x1﹣3x2
∴A（﹣30）B（0）
∵C（0）
易直线AC解析式：y
设E（x）P（x﹣x2﹣x+）
∴PF﹣x2﹣x+EF
Rt△ACO中AO3OC
∴AC2
∴∠CAO30°
∴AE2EF
∴PE+EC（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE）
﹣﹣x+[2﹣（）]
﹣﹣x﹣x
﹣（x+2）2+（5分）
∴PE+EC值时x﹣2时P（﹣2）（6分）
∴PC2
∵O1B1OB
∴四边形PO1B1C周长PO1+B1C值
（3）O2M长度2+2．（12分）
理：图3∵HAB中点
∴OH
∵OC
∴CHBC2
∴∠HCO∠BCO30°
∵∠ACO60°
∴COCH折落直线ACO2AC
∴∠B2CA∠CAB30°
∴B2C∥AB
∴B2（﹣2）
①图4ANMN
∴∠MAN∠AMN30°∠O2B2O3
旋转：∠CB2C1∠O2B2O330°B2CB2C1
∴∠B2CC1∠B2C1C75°
C1作C1E⊥B2CE
∵B2CB2C12
∴B2O2B2E
∵∠O2MB2∠B2MO375°∠B2CC1
∠B2O2M∠C1EC90°
∴△C1EC≌△B2O2M
∴O2MCEB2C﹣B2E2﹣
④图7ANMNC1作C1E⊥ACE
∴∠NMA∠NAM30°
∵∠O3C1B230°∠O3MA
∴C1B2∥AC
∴∠C1B2O2∠AO2B290°
∵∠C1EC90°
∴四边形C1EO2B2矩形
∴EO2C1B22
∴EM
∴O2MEO2+EM2+
综述O2M长2+2．
★考点五 涉综合图形翻转折叠
典例5（2018黑龙江齐齐哈尔）（1200分）综合实践
折纸项趣活动学时候玩折纸折动物花飞机船等折纸活动伴着初中数学学折纸程中通研究图形性质运动确定图形位置等进步发展空间观念历助图形思考问题程中会初步建立直观折纸矩形纸片开始天带着数学眼光玩玩折纸折叠矩形角线数学结．
实践操作
图1矩形纸片ABCD角线AC翻折点B′落矩形ABCD面B＇CAD相交点E连接B′D．
解决题
（1）图1中
①B′DAC位置关系
②△AEC剪展开图形
（2）图1中矩形变行四边形时（AB≠BC）图2示结①结②否成立成立请挑选中结加证明成立请说明理
（3）红角线折叠张矩形纸片发现图形轴称图形称轴次折叠轴称图形红折叠矩形纸片长宽
拓展应
（4）图2中∠B30°AB4△AB′D恰直角三角形时BC长度 ．
解答解：（1）①BD′∥AC．②△AEC剪展开图形菱形
答案BD′∥AC菱形
（2）①选择②证明：
∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAC∠ACB
∵△ABCAC翻折△AB′C
∴∠ACB′∠ACB
∴∠DAC∠ACB′
∴AECE
∴△AEC等腰三角形
∴△AEC剪展开图形四边相等
∴△AEC剪展开图形四边菱形．
（3）①矩形长宽相等时满足条件时矩形纸片长宽1：1∵∠AB′D+∠ADB′90°
∴y﹣30°+y90°
②矩形长宽：1时满足条件时证明四边形ACDB′等腰梯形轴称图形
综述满足条件矩形纸片长宽1：1：1
（4）∵ADBCBCB′C
∴ADB′C
∵AC∥B′D
∴四边形ACB′D等腰梯形
∵∠B30°∴∠AB′C∠CDA30°
∵△AB′D直角三角形
∠B′AD90°AB＞BC时图3中
∵ADBCBCB′C
∴ADB′C
∵AC∥B′D
∴四边形ACB′D等腰梯形
∵∠ADB′90°
∴四边形ACB′D矩形
∴∠ACB′90°
∴∠ACB90°
∵∠B30°AB4
∴BCAB×46
∠B′AD90°AB＜BC时图5
∠AB′D90°时图6
∵ADBCBCB′C
∴ADB′C
∵AC∥B′D
∴四边形ACDB′等腰梯形
∵∠AB′D90°
∴四边形ACDB′矩形
∴∠BAC90°
∵∠B30°AB4
∴BCAB÷8
∴已知BC长46812时△AB′D直角三角形．
答案：行菱形1：1：146812学科&网
讲透练活
变式1：（2018广西南宁）（300分）图矩形纸片ABCDAB4BC3点PBC边△CDPDP折叠点C落点E处PEDE分交AB点OFOPOFcos∠ADF值（ ）
A． B． C． D．
解答解：根折叠知：△DCP≌△DEP
∴DCDE4CPEP．
△OEF△OBP中
∴△OEF≌△OBP（AAS）
∴OEOBEFBP．
设EFxBPxDFDE﹣EF4﹣x
∵BFOB+OFOE+OPPEPCPCBC﹣BP3﹣x
∴AFAB﹣BF1+x．
Rt△DAF中AF2+AD2DF2（1+x）2+32（4﹣x）2
解：x
∴DF4﹣x
∴cos∠ADF．
选：C．
变式2：．（2018贵阳）（1200分）图矩形ABCD中AB═2ADPBC边点BP2CP．
（1）尺规图①中作出CD边中点E连接AEBE（保留作图痕迹写作法）
（2）图②（1）条体判断EB否分∠AEC说明理
（3）图③（2）条件连接EP廷长交AB廷长线点F连接AP添加辅助线△PFB否P点两次变换△PAE组成等腰三角形？果说明理写出两种方法（指出称轴旋转中心旋转方移距离）
解答解：（1）题意作出图形图①示
（2）EB分∠AEC理：
∵四边形ABCD矩形
∴∠C∠D90°CDAB2BCAD
∵点ECD中点
∴DECECD1
△ADE△BCE中
∴△ADE≌△BCE
∴∠AED∠BEC
Rt△ADE中ADDE1
∴tan∠AED
∴∠AED60°
∴∠BCE∠AED60°
∴∠AEB180°﹣∠AED﹣∠BEC60°∠BEC
∴BE分∠AEC
Rt△ABP中tan∠BAP
∴∠PAB30°
∴∠EAP30°∠F∠PAB
∵CB⊥AF
∴APFP
∴△AEP≌△FBP
∴△PFBP点两次变换△PAE组成等腰三角形
变换方法：△BPF绕点B时针旋转120°△EPA重合①PF折叠②AE折叠．
变式3：(2018四川省绵阳市)图已知△ABC顶点坐标分A（30）B（04）C（30）动点MN时A点出发MA→CN折线A→B→C均秒1单位长度速度移动动点达终点C时动点停止移动移动时间记t秒连接MN
（1）求直线BC解析式
（2）移动程中△AMN直线MN翻折点A恰落BC边点D处求时t值点D坐标
（3）点MN移动时记△ABC直线MN右侧部分面积S求S关时间t函数关系式
（2）解：题：AMANt
∵△AMN直线MN翻折点A点点D重合
∴四边形AMDN菱形
作NF⊥x轴连接AD交MNO′
∵A（30）B（04）
∴OA3OB4
∴AB5
∴M（3t0）
∵△ANF∽△ABO
∴
∴
∴AF tNF t
∴N（3 t t）
∴O′（3 t t）
∵D直线BC
∴ ×（3 t）+4 t
∴t
∴D（ ）
（3）①0
△ABC直线MN右侧部分△AMN
∴S ·AM·DF ×t× t t
②5
t + t12 学科&网
变式4：（2018·湖北省武汉·10分）已知点A（am）双曲线ym＜0点A作x轴垂线垂足B．
（1）图1a﹣2时P（t0）x轴动点点B绕点P时针旋转90°点C
①t1直接写出点C坐标
②双曲线y点C求t值．
（2）图2图1中双曲线y（x＞0）y轴折叠双曲线y﹣（x＜0）线段OA绕点O旋转点A刚落双曲线y﹣（x＜0）点D（dn）处求mn数量关系．
解答解：（1）①图1﹣1中
题意：B（﹣20）P（10）PBPC3
∴C（13）．
②图1﹣2中题意C（tt+2）
∵点Cy
∴t（t+2）8
∴t﹣4 2
（2）图2中
变式5：（2018包头）（1200分）图矩形ABCD中AB3BC5EAD动点．
（1）图1连接BDO角线BD中点连接OE．OEDE时求AE长
（2）图2连接BEEC点E作EF⊥EC交AB点F连接CFBE交点G．BE分∠ABC时求BG长
（3）图3连接EC点HCD矩形ABCD直线EH折叠折叠点D落EC点D＇处点D′作D′N⊥AD点NEH交点MAE1．
①求值
②连接BE△D＇MH△CBE否相似？请说明理．
解答解：（1）图1连接OA矩形ABCD中CDAB3ADBC5∠BAD90°
Rt△ABD中根勾股定理BD
∵OBD中点
∴ODOBOA
∴∠OAD∠ODA
∵OEDE
∴∠EOD∠ODE
∴∠EOD∠ODE∠OAD
∴△ODE∽△ADO
∴∴
DO2DE•DA
∴设AEx
∴DE5﹣x
∴（）25（5﹣x）
∴x
：AE
∴∠AEF+∠CED90°
∵∠A90°
∴∠AEF+∠AFE90°
∴∠CED∠AFE
∵∠D∠A90°
∴△AEF≌△DCE
∴AFDE2
∴BFAB﹣AF1
点G作GK⊥BCK
∴∠EBC∠BGK45°
∴BKGK∠ABC∠GKC90°
∵∠KCG∠BCF
∴△CHG∽△CBF
∴
设BKGKy
∴CK5﹣y
∴y
∴BKGK
Rt△GKB中BG学科&网
∴DHCH
∵D＇N⊥AD
∴∠AND＇∠D90°
∴D＇N∥DC
∴△EMN∽△EHD
∴
∵D＇N∥DC
∴∠ED＇M∠ECH
∵∠MED＇∠HEC
∴△ED＇M∽△ECH
∴
∴
∴
∴
∴D＇MD＇H
∵AD∥BC
∴∠NED＇∠ECB
∴∠MD＇H∠ECB
∵CECB5
∴
∴△D＇MH∽△CBE．
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课标解读
折叠问题题型样变化灵活考察学生空间想象力动手操作力实践操作题直接运折叠相关性质说理计算题发展基折叠操作综合题甚压轴题 考查着眼点日趋灵活力立意意图日渐明显识理解图形力空间思维力综合解决问题力提出更高求
专题容考查中常涉特殊行四边形折叠性质特殊三角形判定勾股定理运角分线性质等 考生复中应熟练掌握基图形性质判定定理图形折叠性质
图形折叠中考中常考题型种题型考察学生图形认知特考察轴称性质全等三角形勾股定理相似三角形等知识综合运
解题策略
关图形折叠相关计算首先熟知折叠种轴称变换位折痕两侧图形关折痕成轴称然根图形折叠性质折叠前图形应边应角相等应点连线折痕垂直分进行相关计算图形折叠通常动点问题结合起进行考查常见问题类型3种：（1）求线段取值范围（2）求值问题（3）分类讨线段长度
考点深剖
★考点 涉特殊三角形翻转折叠
典例1（2018·浙江安·8分）图△OAB边长2+等边三角形中O坐标原点顶点By轴正方△OAB折叠点A落边OB记A′折痕EF．
（1）A′E∥x轴时求点A′E坐标
（2）A′E∥x轴抛物线y﹣x2+bx+c点A′E时求抛物线x轴交点坐标
（3）点A′OB运动点OB重合时否△A′EF成直角三角形？请求出时点A′坐标请说明理．
考点定系数法求二次函数解析式图形旋转变换直角三角形判定性质
分析（1）A′E∥x轴时△A′EO直角三角形根∠A′OE度数O′A表示出OEA′EA′EAEA′E+OEOA2+求出OA′长求出A′E长．求出A′E坐标
（2）A′E点坐标代入抛物线中求出解析式．进求出抛物线x轴交点坐标
（3）根折叠性质知：∠FA′E∠A∠FA′E直角△A′EF成直角三角形两种：
①∠A′EF90°根折叠性质∠A′EF∠AEF90°时A′O重合题意符种情况成立．
②∠A′FE90°①出种情况成立．
A′OB重合情况△A′EF成直角三角形．
（2）A′E抛物线
函数关系式y﹣x2+x+1
﹣x2+x+10
x1﹣x22
x轴两交点坐标分（0）（0）．
△A′EF成直角三角形．学科&网
★考点二 涉特殊四边形翻转折叠
典例2（2018湖北荆州）（800分）图折矩形纸片ABCDABDC重合折痕MN纸片展次折叠点D落MN点F处折痕AP交MNE延长PF交ABG．求证：
（1）△AFG≌△AFP
（2）△APG等边三角形．
分析（1）折叠性质MN分ADBC中点利行线分线段成例FPG中点折叠性质AF垂直PG利SAS证
（2）（1）全等三角形应边相等利三线合∠2∠3折叠性质等量代换∠PAG60°根APAG角60°证．
解答证明：（1）折叠：MN分ADBC中点
∵DC∥MN∥AB
∴FPG中点PFGF
折叠：∠PFA∠D90°∠1∠2
△AFP△AFG中
∴△AFP≌△AFG（SAS）
★考点三 涉圆知识翻转折叠
典例3图点O圆形纸片圆心圆形纸片列序折叠圆心O阴影部分面积⊙O面积（ ）
A B C D
解：作OD⊥AB点D连接AOBOCO
∵ODAO
∴∠OAD30°
∴∠AOB2∠AOD120°
理∠BOC120°
∴∠AOC120°
∴阴影部分面积S扇形AOC×⊙O面积．
选：B．
★考点四 涉函数翻转折叠
典例4（2018·重庆市B卷）（1200分）抛物线y﹣x2﹣x+x轴交点AB（点A点B左边）y轴交点C点D该抛物线顶点．
（1）图1连接CD求线段CD长
（2）图2点P直线AC方抛物线点PF⊥x轴点FPF线段AC交点E线段OBx轴左右移线段OB应线段O1B1PE+EC值时求四边形PO1B1C周长值求出应点O1坐标
（3）图3点H线段AB中点连接CH△OBC直线CH翻折△O2B2C位置△O2B2C绕点B2旋转周旋转程中点O2C应点分点O3C1直线O3C1分直线ACx轴交点MN．△O2B2C整旋转程中否存恰位置△AMNMN腰等腰三角形？存请直接写出符合条件线段O2M长存请说明理．
（3）先确定折O2C落AC△AMNMN腰等腰三角形存四种情况：
①图4ANMN证明△C1EC≌△B2O2M计算O2M长
②图5AMMN时MC重合O2MO2C
③图6AMMNNHC1重合结
④图7ANMNC1作C1E⊥ACE证明四边形C1EO2B2矩形根O2MEO2+EM结．
（2）y﹣x2﹣x+中令y0﹣x2﹣x+0
解：x1﹣3x2
∴A（﹣30）B（0）
∵C（0）
易直线AC解析式：y
设E（x）P（x﹣x2﹣x+）
∴PF﹣x2﹣x+EF
Rt△ACO中AO3OC
∴AC2
∴∠CAO30°
∴AE2EF
∴PE+EC（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE）
﹣﹣x+[2﹣（）]
﹣﹣x﹣x
﹣（x+2）2+（5分）
∴PE+EC值时x﹣2时P（﹣2）（6分）
∴PC2
∵O1B1OB
∴四边形PO1B1C周长PO1+B1C值
（3）O2M长度2+2．（12分）
理：图3∵HAB中点
∴OH
∵OC
∴CHBC2
∴∠HCO∠BCO30°
∵∠ACO60°
∴COCH折落直线ACO2AC
∴∠B2CA∠CAB30°
∴B2C∥AB
∴B2（﹣2）
①图4ANMN
∴∠MAN∠AMN30°∠O2B2O3
旋转：∠CB2C1∠O2B2O330°B2CB2C1
∴∠B2CC1∠B2C1C75°
C1作C1E⊥B2CE
∵B2CB2C12
∴B2O2B2E
∵∠O2MB2∠B2MO375°∠B2CC1
∠B2O2M∠C1EC90°
∴△C1EC≌△B2O2M
∴O2MCEB2C﹣B2E2﹣
④图7ANMNC1作C1E⊥ACE
∴∠NMA∠NAM30°
∵∠O3C1B230°∠O3MA
∴C1B2∥AC
∴∠C1B2O2∠AO2B290°
∵∠C1EC90°
∴四边形C1EO2B2矩形
∴EO2C1B22
∴EM
∴O2MEO2+EM2+
综述O2M长2+2．
★考点五 涉综合图形翻转折叠
典例5（2018黑龙江齐齐哈尔）（1200分）综合实践
折纸项趣活动学时候玩折纸折动物花飞机船等折纸活动伴着初中数学学折纸程中通研究图形性质运动确定图形位置等进步发展空间观念历助图形思考问题程中会初步建立直观折纸矩形纸片开始天带着数学眼光玩玩折纸折叠矩形角线数学结．
实践操作
图1矩形纸片ABCD角线AC翻折点B′落矩形ABCD面B＇CAD相交点E连接B′D．
解决题
（1）图1中
①B′DAC位置关系
②△AEC剪展开图形
（2）图1中矩形变行四边形时（AB≠BC）图2示结①结②否成立成立请挑选中结加证明成立请说明理
（3）红角线折叠张矩形纸片发现图形轴称图形称轴次折叠轴称图形红折叠矩形纸片长宽
拓展应
（4）图2中∠B30°AB4△AB′D恰直角三角形时BC长度 ．
解答解：（1）①BD′∥AC．②△AEC剪展开图形菱形
答案BD′∥AC菱形
（2）①选择②证明：
∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAC∠ACB
∵△ABCAC翻折△AB′C
∴∠ACB′∠ACB
∴∠DAC∠ACB′
∴AECE
∴△AEC等腰三角形
∴△AEC剪展开图形四边相等
∴△AEC剪展开图形四边菱形．
（3）①矩形长宽相等时满足条件时矩形纸片长宽1：1∵∠AB′D+∠ADB′90°
∴y﹣30°+y90°
②矩形长宽：1时满足条件时证明四边形ACDB′等腰梯形轴称图形
综述满足条件矩形纸片长宽1：1：1
（4）∵ADBCBCB′C
∴ADB′C
∵AC∥B′D
∴四边形ACB′D等腰梯形
∵∠B30°∴∠AB′C∠CDA30°
∵△AB′D直角三角形
∠B′AD90°AB＞BC时图3中
∵ADBCBCB′C
∴ADB′C
∵AC∥B′D
∴四边形ACB′D等腰梯形
∵∠ADB′90°
∴四边形ACB′D矩形
∴∠ACB′90°
∴∠ACB90°
∵∠B30°AB4
∴BCAB×46
∠B′AD90°AB＜BC时图5
∠AB′D90°时图6
∵ADBCBCB′C
∴ADB′C
∵AC∥B′D
∴四边形ACDB′等腰梯形
∵∠AB′D90°
∴四边形ACDB′矩形
∴∠BAC90°
∵∠B30°AB4
∴BCAB÷8
∴已知BC长46812时△AB′D直角三角形．
答案：行菱形1：1：146812学科&网
讲透练活
变式1：（2018广西南宁）（300分）图矩形纸片ABCDAB4BC3点PBC边△CDPDP折叠点C落点E处PEDE分交AB点OFOPOFcos∠ADF值（ ）
A． B． C． D．
解答解：根折叠知：△DCP≌△DEP
∴DCDE4CPEP．
△OEF△OBP中
∴△OEF≌△OBP（AAS）
∴OEOBEFBP．
设EFxBPxDFDE﹣EF4﹣x
∵BFOB+OFOE+OPPEPCPCBC﹣BP3﹣x
∴AFAB﹣BF1+x．
Rt△DAF中AF2+AD2DF2（1+x）2+32（4﹣x）2
解：x
∴DF4﹣x
∴cos∠ADF．
选：C．
变式2：．（2018贵阳）（1200分）图矩形ABCD中AB═2ADPBC边点BP2CP．
（1）尺规图①中作出CD边中点E连接AEBE（保留作图痕迹写作法）
（2）图②（1）条体判断EB否分∠AEC说明理
（3）图③（2）条件连接EP廷长交AB廷长线点F连接AP添加辅助线△PFB否P点两次变换△PAE组成等腰三角形？果说明理写出两种方法（指出称轴旋转中心旋转方移距离）
解答解：（1）题意作出图形图①示
（2）EB分∠AEC理：
∵四边形ABCD矩形
∴∠C∠D90°CDAB2BCAD
∵点ECD中点
∴DECECD1
△ADE△BCE中
∴△ADE≌△BCE
∴∠AED∠BEC
Rt△ADE中ADDE1
∴tan∠AED
∴∠AED60°
∴∠BCE∠AED60°
∴∠AEB180°﹣∠AED﹣∠BEC60°∠BEC
∴BE分∠AEC
Rt△ABP中tan∠BAP
∴∠PAB30°
∴∠EAP30°∠F∠PAB
∵CB⊥AF
∴APFP
∴△AEP≌△FBP
∴△PFBP点两次变换△PAE组成等腰三角形
变换方法：△BPF绕点B时针旋转120°△EPA重合①PF折叠②AE折叠．
变式3：(2018四川省绵阳市)图已知△ABC顶点坐标分A（30）B（04）C（30）动点MN时A点出发MA→CN折线A→B→C均秒1单位长度速度移动动点达终点C时动点停止移动移动时间记t秒连接MN
（1）求直线BC解析式
（2）移动程中△AMN直线MN翻折点A恰落BC边点D处求时t值点D坐标
（3）点MN移动时记△ABC直线MN右侧部分面积S求S关时间t函数关系式
（2）解：题：AMANt
∵△AMN直线MN翻折点A点点D重合
∴四边形AMDN菱形
作NF⊥x轴连接AD交MNO′
∵A（30）B（04）
∴OA3OB4
∴AB5
∴M（3t0）
∵△ANF∽△ABO
∴
∴
∴AF tNF t
∴N（3 t t）
∴O′（3 t t）
∵D直线BC
∴ ×（3 t）+4 t
∴t
∴D（ ）
（3）①0
△ABC直线MN右侧部分△AMN
∴S ·AM·DF ×t× t t
②5
t + t12 学科&网
变式4：（2018·湖北省武汉·10分）已知点A（am）双曲线ym＜0点A作x轴垂线垂足B．
（1）图1a﹣2时P（t0）x轴动点点B绕点P时针旋转90°点C
①t1直接写出点C坐标
②双曲线y点C求t值．
（2）图2图1中双曲线y（x＞0）y轴折叠双曲线y﹣（x＜0）线段OA绕点O旋转点A刚落双曲线y﹣（x＜0）点D（dn）处求mn数量关系．
解答解：（1）①图1﹣1中
题意：B（﹣20）P（10）PBPC3
∴C（13）．
②图1﹣2中题意C（tt+2）
∵点Cy
∴t（t+2）8
∴t﹣4 2
（2）图2中
变式5：（2018包头）（1200分）图矩形ABCD中AB3BC5EAD动点．
（1）图1连接BDO角线BD中点连接OE．OEDE时求AE长
（2）图2连接BEEC点E作EF⊥EC交AB点F连接CFBE交点G．BE分∠ABC时求BG长
（3）图3连接EC点HCD矩形ABCD直线EH折叠折叠点D落EC点D＇处点D′作D′N⊥AD点NEH交点MAE1．
①求值
②连接BE△D＇MH△CBE否相似？请说明理．
解答解：（1）图1连接OA矩形ABCD中CDAB3ADBC5∠BAD90°
Rt△ABD中根勾股定理BD
∵OBD中点
∴ODOBOA
∴∠OAD∠ODA
∵OEDE
∴∠EOD∠ODE
∴∠EOD∠ODE∠OAD
∴△ODE∽△ADO
∴∴
DO2DE•DA
∴设AEx
∴DE5﹣x
∴（）25（5﹣x）
∴x
：AE
∴∠AEF+∠CED90°
∵∠A90°
∴∠AEF+∠AFE90°
∴∠CED∠AFE
∵∠D∠A90°
∴△AEF≌△DCE
∴AFDE2
∴BFAB﹣AF1
点G作GK⊥BCK
∴∠EBC∠BGK45°
∴BKGK∠ABC∠GKC90°
∵∠KCG∠BCF
∴△CHG∽△CBF
∴
设BKGKy
∴CK5﹣y
∴y
∴BKGK
Rt△GKB中BG学科&网
∴DHCH
∵D＇N⊥AD
∴∠AND＇∠D90°
∴D＇N∥DC
∴△EMN∽△EHD
∴
∵D＇N∥DC
∴∠ED＇M∠ECH
∵∠MED＇∠HEC
∴△ED＇M∽△ECH
∴
∴
∴
∴
∴D＇MD＇H
∵AD∥BC
∴∠NED＇∠ECB
∴∠MD＇H∠ECB
∵CECB5
∴
∴△D＇MH∽△CBE．
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