20 19～2020 学年学期月考二
高三 理科数学 试卷
（总分 150 分时间：120 分钟）
（注意：请题目解答写答题卡）
选择题(题 12 题题 5 分 60 分题选项符合题意请
正确答案填入答题卷中)
1．设集合 2{| 3 0}A xx x−< { | 2}B xx< ( )BR A  （ ）
A．{|2 3}xx<< B．{ | 0}xx C．{|0 2}xx<< D．{|2 0}xx−<
2．设 mn两条直线 αβγ 三重合面列结正确 ( )
A． m α∥ n α∥ mn∥ B． m α⊥ αβ⊥ m β∥
C．αγ⊥ βγ⊥ αβ∥ D． m α⊥ mn∥ n α⊥
3．已知量
𝑎𝑎⃑

𝑏𝑏�⃑
满足2
𝑎𝑎⃑
+
𝑏𝑏�⃑
(12
𝑚𝑚
)
𝑏𝑏�⃑
(1
𝑚𝑚
)
𝑎𝑎⃑

𝑏𝑏�⃑
方投影
2√5
5
实数
𝑚𝑚
（ ）
A．±2 B．2 C．±
√
5 D．
√
5
4． p 直线 +byx 圆 221xy+相交 q 01b<< p q ( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
5．直线 1 2l y kx k −+直线 2l 关点(21) 称直线 2l 恒定点（ ）
A． (31) B． (3 0) C． (01) D． (21)
6．已知直线 30xy−中心原点双曲线 C 交 AB两点F C 右焦点 0FA FB⋅
 
C 离心率（ ）
A． 2 B． 31+ C．2 D． 31−
7．已知 AB 圆 22620xy xy+− + 点 (21)E 短弦 ||AB 等（ ）
A． 3 B． 22 C． 23 D． 25

20192020 学年（）月考二 高三理科数学试卷 第 1 页 （ 4 页）
8．已知项 0 等差数列{ }na 满足 2
578220aaa−+数 列 { }nb 等数列 77ba 2 12bb
等（ ）
A． 4
9 B． 3
2 C． 9
4 D． 2
3
9．三棱锥 P ABC− 中面 PAB ⊥ 面 ABC ABC∆ 斜边 23AB 直角三角形
7PA PB 该三棱锥外接球表面积（ ）
A．16π B． 65
4
π C． 65
16
π D． 49
4
π
10．已知 ( ) sin( ) ( 0 0 )2f x A x BA πωϕ ω ϕ ++ > > < 图象
图示函数 ()fx称中心（ ）
A． 06
π
 B． 16
π
 C． 06
π− D． 16
π−
11．已知函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑥𝑥
3
+
𝑎𝑎𝑥𝑥
2
+
𝑏𝑏𝑏𝑏
+
𝑐𝑐
图象称中心(01)
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)图象点(1
𝑓𝑓
(1))处切
线点(27)
𝑏𝑏
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．抛 物 线 2 2 ( 0)x py p > 焦点 F 已 知 点 AB抛物线两动点满足 60AFB∠o
弦 AB 中点C 作该抛物线准线垂线CD 垂足 D
AB
CD
  
   值 ( )
A． 3 B．1 C． 23
3
D．2
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13．某化肥厂生产甲乙两种肥料生产车皮甲肥料需磷酸盐 4 吨硝酸盐 18 吨生产车皮乙
肥料需磷酸盐 1 吨硝酸盐 15 吨已知生产车皮甲肥料产生利润 10 万元生产车皮乙肥料
产生利润 5 万元现库存磷酸盐 10 吨硝酸盐 66 吨果该厂合理安排生产计划获
利润____万元
14．已 知 12FF椭圆 ( )
22
22 10xyC abab
+ >> 两焦点P 椭圆C 点 12PF PF⊥
  ．
12PF F∆ 面积 9b _____．
15．已知正实数 xy满足 2 3 42xy x y++ 54xy x y++ 值______．

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16．已知定义 R 偶函数 ( )fx满足 ( ) ( ) ( )42fx fx f+ + 区间[ ]0 2 增函数
①函数 ( )fx周期 4
②直线 4x − 函数 ( )fx图象条称轴
③函数 ( )fx[ )6 5−− 单调递增[ )5 4−− 单调递减
④函数 ( )fx[ ]0100 25 零点
中正确命题序号_____（注：认正确命题序号填）

三解答题（ 6 题70 分）解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17(题满分 10 分)
已知
𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥
中角
𝐴𝐴

𝐵𝐵

𝐶𝐶
边分
𝑎𝑎

𝑏𝑏

𝑐𝑐

𝑐𝑐
𝑏𝑏−𝑎𝑎
+
sin𝐵𝐵
sin𝐶𝐶+sin𝐴𝐴

−
1
（1）求
∠𝐴𝐴

（2）
𝑎𝑎
4
√
13
𝑐𝑐
12求
𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥
面积
𝑆𝑆



18(题满分 12 分)
已知数列{}na 前 n 项 nS ( 1)nnS na n n+− 5a 2a 6a 等中项
（1）证明：数列{}na 等差数列求通项公式
（2）设
1
1
n
nn
b aa+
求数列{ }nb 前 n 项 nT

19(题满分 12 分)
已知圆C ： ( )22 31xy+− 直线 m ： 3 60xy+ +动直线l 定点 ( 1 0)A −
（1）直线l 圆C 相切求直线l 方程
（2）直线l 圆C 相交 P Q 两点点 M PQ
中点直线l 直线 m 相交点 N．探索 AM AN⋅
  否
定值求出该定值请说明理．


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20(题满分 12 分)
三棱柱 111ABC A B C− 中侧面 11ABB A ⊥ 底面 ABC 90ABC∠ o侧面 11ABB A 菱形
( )1 证明： 1AB⊥ 面 11AB C
( )2 1 60A AB∠o 2AB 直 线 1AC 底面 ABC 成角正弦值 5
5
求二面角 1 11A AC B−−
余弦值




21（题满分 12 分)
已知椭圆 ( )
22
2210xy abab
+ >> 点 31 2P

左焦点抛物线 2 4yx − 焦点重合
（1）求椭圆标准方程
（2）直线 ( )0l y kx m k+≠椭圆交两点 M N 线段 MN 中点记 A 线段
MN 垂直分线定点 1 08G

求 k 取值范围





22(题满分 12 分)
已知函数 21( ) ( 1) ln2fx x a x a x ++ + aR∈
（1）讨 ()fx单调性
（2） 0a < 时记 ()fx值 M 证明： 13
15M <



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2019～2020 学年学期月考二
高三 理科数学 试卷 参考答案
选择题(题 12 题题 5 分 60 分)
1．B解析 2{| 3 0}{|0 3}Axxx xx−< << {| 0R A xx∴  3}x
( ) { | 0}R A B xx∴ ∩  ．选： B ．
2．D解析 A 选项 m α n α mn行相交异面 A 错
B 选项 m α⊥ αβ⊥ m β m β⊂ B 错
C 选项 αγ⊥ βγ⊥ αβγ 三重合面 αβ∥ αβ⊥ C 错
D 选项 m α⊥ mn n α⊥ D 正确选 D
3．A解析量
𝑎𝑎⃑

𝑏𝑏�⃑
满足2
𝑎𝑎⃑
+
𝑏𝑏�⃑
(12
𝑚𝑚
)
𝑏𝑏�⃑
(1
𝑚𝑚
)2
𝑎𝑎⃑
2
𝑎𝑎⃑
+
𝑏𝑏�⃑ − 𝑏𝑏�⃑
(0
𝑚𝑚
)

𝑎𝑎⃑

�
0
𝑚𝑚
2 �

𝑎𝑎⃑ ⋅ 𝑏𝑏�⃑

𝑚𝑚
2
2
量
𝑎𝑎⃑

𝑏𝑏�⃑
夹角
𝜃𝜃
|
𝑏𝑏�⃑
|(|
𝑎𝑎⃑
|cos
𝜃𝜃
)
√
1 +
𝑚𝑚
2
⋅
2√5
5

𝑎𝑎⃑ ⋅ 𝑏𝑏�⃑

𝑚𝑚
2
2

5
𝑚𝑚
4
−
16
𝑚𝑚
2
−
16 0(5
𝑚𝑚
2
+ 4)(
𝑚𝑚
2
−
4) 0解
𝑚𝑚
±2选 A
4．B解析直线 y＝x+b 圆 x2+y2＝1 相交
⇔
2
b ＜1解 22b− ＜ ＜ ．
∴直线 y＝x+b 圆 x2+y2＝1 相交0＜b＜1必充分条件．选： B．
5．B解析题意设直线 2l 意点 ( )Axy 点 A 关点 (21) 称点 (4 2 )Bxy−−
点 B 直线 1 2l y kx k −+ 2(4 ) 2yk x k− − −+整理 ( 3)y kx − 令 30x −
3x 时 0y 直线 2l 定点 (3 0) 选 B
6．A解析直线 30xy−原点直线双曲线交点 AB 关原点称
OA OB O AB 中点 0FA FB⋅
  FA FB⊥ OF OB c
直线 30xy−斜率 3
3
BOF 30°∠ cosB
3xc30 c2
°•
sinB
1yc30 c2
°•点 ()3c cB 22
代入双曲线 ( ) ()22
22
3c c
221
ab
−
22
22
3 144
cc
ab
−
222c ab + 44224a 3c 8a c 0+− ()()22222a c 2a 3c 0−−解： 2220ac−
222a 3c 0− 1e > 2e 选 A
20192020 学年（）月考二 高三理科数学试卷答案 第 1 页 （ 8 页）
7．D解析圆标准方程（x﹣3）2+（y+1）2＝10圆心坐标 C（3﹣1）半径 10
E 短弦满足 E 恰 C 弦垂足 CE 22(3 2) [1 1 ] 5 − + −− （ ） |AB|
222 ( 10) ( 5) 2 5 −选：D．
8．C解析题意： ( ) ( )22 2
57 87 7 7 7722 222 320aaaada adaa−+−−+ +−
77
30 2aa≠∴  ： 22
2 12 7 7
9
4bb b a 题选择 C 选项
9．D解析取 AB 中点O′ 连接 OC′ OP′ 图示：
ABC∆∆ 斜边 AB 直角三角形 O′∴ ABC∆ 外接圆圆心
PA PB PO AB′∴⊥面 PAB ⊥ 面 ABC
面 PAB  面 ABC AB PO′∴⊥面 ABC 球性质知外接球球心O 必 PO′
题意知： 3OB′ 7PB 2PO′∴设外接球半径 R Rt OO B′∆ 中
2 22OO OB OB′′+ ( )2 223RR∴ − + 解： 7
4R ∴外接球表面积： 2 49 494416 4SRππ π ×
题正确选项： D
10．D解析图知 31 22A + 3112B − 72 12 12T ππ π −
2ω
( )2212 2 k kZππϕπ×+ + ∈
2
πϕ <
3
πϕ ( ) 2sin 2 13fx xπ ++令 ( )2 3x k kZπ π+ ∈
( )26
kx kZππ−∈ 0k 时
6x π − 答案：D
11．A解析
∵
函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑥𝑥
3
+
𝑎𝑎𝑥𝑥
2
+
𝑏𝑏𝑏𝑏
+
𝑐𝑐
图象称中心(01)
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
) +
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
) 2
∴ �𝑓𝑓
(
−
1) +
𝑓𝑓
(1) 2
𝑓𝑓
(
−
2) +
𝑓𝑓
(2) 2

� 𝑎𝑎
+
𝑐𝑐
1
4
𝑎𝑎
+
𝑐𝑐
1

�𝑎𝑎
0
𝑐𝑐
1

∴ 𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑥𝑥
3
+
𝑏𝑏𝑏𝑏
+ 1
𝑓𝑓′
(
𝑥𝑥
) 3
𝑥𝑥
2
+
𝑏𝑏

∵ 𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)图象点(1
𝑓𝑓
(1))处切线点(27)
∴ 𝑓𝑓′
(1)
𝑓𝑓
(
1
)
−7
1−2
3 +
𝑏𝑏

𝑏𝑏−5
−1
解
𝑏𝑏
1选 A
12．B解析设|AF|＝a|BF|＝b抛物线定义|AF|＝|AQ||BF|＝|BP|梯形 ABPQ 中
∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．余弦定理|AB|2＝a2+b2﹣2abcos60°＝a2+b2﹣ab配方
|AB|2＝（a+b）2﹣3ab∵ab≤（
2
ab+ ）2∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2 3
4
− （a+b）2 1
4
（a+b）2
|AB| 1
2
≥ （a+b）＝|CD|．∴
AB
CD
≥
  
   1
AB
CD
  
   值 1．选：B．


20192020 学年（）月考二 高三理科数学试卷答案 第 2 页 （ 8 页）
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13．30解析设该厂生产 x 车皮甲肥料 y 车皮乙肥料获利润 z 万元
约束条件
4 10
18 15 66

xy
xy
x Ny N
+≤
 +≤
 ∈∈
目标函数 10 5z xy + 图示
优解( )2 2 max 10 2 5 2 30z ×+×
14．3解析∵F1F2 椭圆 C：
22
221xy
ab
+（a＞b＞0）两焦点P 椭圆 C 点 12PF PF⊥
 

∴|PF1|+|PF2|2a|PF1|2+|PF2|24c2 1
2 |PF1||PF2|＝9∴（|PF1|+|PF2|）24c2+2|PF1||PF2|4a2∴364（a2c2）
4b2∴b3．答案 3．
15．55解析∵正实数 xy满足 2 3 42xy x y++∴ 42 2 03
xy x
− >+
0x > 解 0 21x<< ．
( )42 2 165 4 3 42 3 42 3 3 3133
xxy x y x y x xxx
− +++++ + ++ +++( ) 163 2 3 31 553x x
≥× + × + +

仅 1 10xy 时取等号．∴ 54xy x y++ 值 55．答案：55．
16．①②④解析令 2x − ( ) ( ) ( )24 2 2f ff−+ − + ( )20f −函数偶函数
( ) ( )2 20ff − ( ) ( )4fx fx+ 函数周期 4 周期函数①正确函数偶函
数 ( ) ( ) ( ) ( )4 4 48 4f xf xf xf x−+ − −− −− 4x − 函数图条称轴②
正确根前面分析结合函数区间[ ]0 2 增函数画出函数图图示图知函数
[ )6 4−− 单调递减③错误根图知 ( ) ( ) ( ) ( )2 6 10 98 0fff f L 零点周期
4 25 零点④正确综述正确命题①②④



20192020 学年（）月考二 高三理科数学试卷答案 第 3 页 （ 8 页）
三解答题（ 6 题70 分）解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17(题满分 10 分)
解析（1）
𝑐𝑐
𝑏𝑏−𝑎𝑎
+
sin𝐵𝐵
sin𝐶𝐶+sin𝐴𝐴

−
1正弦定理
𝑐𝑐
𝑏𝑏−𝑎𝑎
+
𝑏𝑏
𝑐𝑐+𝑎𝑎

−
1
整理
𝑏𝑏
2
+
𝑐𝑐
2
− 𝑎𝑎
2

−𝑏𝑏𝑏𝑏
cos
𝐴𝐴

𝑏𝑏
2
+𝑐𝑐
2
−𝑎𝑎
2
2𝑏𝑏𝑏𝑏

−
1
2
0 <
𝐴𝐴
<
𝜋𝜋

𝐴𝐴

2𝜋𝜋
3

（2）
𝑎𝑎
4
√
13
𝑐𝑐
12
𝐴𝐴

2𝜋𝜋
3
余弦定理
𝑎𝑎
2

𝑏𝑏
2
+
𝑐𝑐
2
−
2
𝑏𝑏𝑏𝑏
cos
𝐴𝐴
208
𝑏𝑏
2
+ 144
−
2 ×
12
𝑏𝑏
cos
2𝜋𝜋
3
解
𝑏𝑏
4
𝑏𝑏

−
16（舍）
𝑆𝑆

1
2 𝑏𝑏𝑏𝑏
sin
𝐴𝐴

1
2
× 12 × 4 × sin
2𝜋𝜋
3
12
√
3

18(题满分 12 分)
解析（1） ( 1)nnS na n n+− ( ) ( )1111nnS n a nn+++ ++ ( )+1 112nn n nS S n a na n+−+ − +
11n nnS Sa++− 1 2nnna na n+ + 1 2nnaa+ −−数列{ }na 公差 2− 等差数列
5a 2a 6a 等中项 2
5 26a aa ( ) ( )( )2
1 118 2 10a aa−− − 解 1 11a
13 2nan −
（2）题
1
1 11 1
2 13 2 11 2n
nn
b aa n n+
−−−−
12nnT bb b+++L
1 1 1 11 1 1
2 11 9 9 7 13 2 11 2nn
    − − + − ++ −    −−    
L
11 1
2 11 11 2 121 22
n
nn
−− −−

19(题满分 12 分)
解析（1）直线l 斜率存时直线l 方程 1x − 时圆相切符合题意
直线l 斜率存时设直线l 方程 ( 1)y kx + 0kx y k−+
直线圆相切圆心(03) 直线距离等半径 1
2
3 1
1
k
k
−+
+
解 4
3k
直线l 方程 4 ( 1)3yx + 4 3 40xy− +
综直线l 方程 1x − 4 3 40xy− +
（2）∵CM ⊥ MN ∴ () +AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN⋅+⋅⋅⋅⋅
          

20192020 学年（）月考二 高三理科数学试卷答案 第 4 页 （ 8 页）
直线l x 轴垂直时符合题意l 斜率存设直线l 方程 ( 1)y kx +

36
( 1) 13
3 60 5
13
kxy kx k
xy ky k
−−  +  +⇒+ + −   +
365( )13 13
kkN kk
−− −
++
．∴ 55()13 13
kAN kk
−− ++


5 15 5 1 13 3
kAM AN AC AN kk
−−⋅ ⋅ +−++
   
．综述 5AM AN⋅ −
  ．

20(题满分 12 分)
解析（1）证 明 ：连 接 1AB四边形 11ABB A 菱形 11A B AB⊥ 面 11ABB A ⊥ 面 ABC
AB 交线 BC AB⊥ BC∴⊥面 11ABB A 1BC A B∴⊥ 11BC B C 1 11AB BC∴⊥
1 11 1ABCBB∩ 1AB∴⊥面 11AB C
（2）取 11AB 中点 M 连接易证 BM ⊥ 面 ABC AB BC⊥
BA x 轴 BC y 轴 BM z 轴建立图示空间直角坐标系
设 BC t ( )200A ( )1 1 0 3A ( )0 0Ct
四边形 11A ACC 行四边形 ( )11111 3 3AC AA AC AA AC t+ +−
    
易知 ABC 法
量 ( )001n

1
1 2
1
35cos 512
AC n
AC n
tAC
⋅
∴ < >
+
 
 
 解 3t
( ) ( )11103 333AAAC−−
 
 设面 11AAC 法量 ( )11 11xn yz


11 1 1
1 1 11
30
3 3 30
n AA x z
n AC x y z
 ⋅−∴
⋅ −+ + 
 
     令 1 1z ( )1 3 21n

（1）面 11AB C 法量
( )1 1 0 3BA

11
11
11
6cos < 4 n BAn BA
n BA
> ⋅∴
 
 

 ∴二面角 1 11A AC B−−余弦值 6
4

21（题满分 12 分)
解析（1）〖解法 1〗Q 抛物线 2y4x − 焦点 F（10）题意知椭圆左右焦点坐标分 1F 1 0（ ）−
( )2F 1 0 椭圆点 31 2P

∴椭圆定义知 122 PF PF 4a +∴ 2a 1c ∴ 3b
∴椭圆方程
22
143
xy+．

20192020 学年（）月考二 高三理科数学试卷答案 第 5 页 （ 8 页）
（1）〖解法 2〗Q 抛物线 2y4x − 焦点 F（10） 题意知椭圆左右焦点坐标分 1F 1 0（ ）−
( )2F 1 0 椭圆点 31 2P

∴
22
22
1
9
1 4 1
ab
ab
 −

 +
解 2a 3b ∴椭圆方程
22
143
xy+．
（1）〖解法 3〗Q 抛物线 2y4x − 焦点 F（10） 题意知椭圆左右焦点坐标分 1F 1 0（ ）−
( )2F 1 0 椭圆点 31 2P

∴
2 3
2
b
a
∴
2
213 2 3 202
a aaa
− ⇒ − −∵ 0a >
∴解 2a 3b ∴椭圆方程
22
143
xy+．
（2）〖 解 法 1〗 22
143
y kx m
xy
+ +
消 y 整理 ( )22 23 4 8 4 12 0k x mkx m+ + + −  直线椭圆交
两点 ( )( )22 2 264 4 3 4 4 12 0mk k m∴∆ − + − > 整理 2243mk<+……①
设 ( ) ( )11 2 2 Mxy Nx y 线段 MN 中点 A( )00xy
2
1 2 1222
8 4 1234 34
mk mx x xxkk
−+− ++

∴ 0 2
4 34
mkx k
− +
∴
2
00 22
43
34 34
mk my kx m mkk
+− +++
∴点 A 坐标 22
4334 34
mk m
kk
−++

∴直线 AG 斜率
2
2
2
3
2434
4132 3 4
34 8
AG
m
mkk mk mk k
k
+ − −−−−+
直线 AG 直线 MN 垂直
∴ 2
24 · 132 3 4
m kmk k
−− −−
∴
234
8
km k
+ − 式代入①式
22
234 438
k kk
+ <+

整理 2 1
20k > 解 55
10 10kk> <− ． ∴实数 k 取值范围 5510 10
  −∞ − ∪ +∞      
．
（2）〖解法 2〗设 ( ) ( ) ( )11 2 2 M x y N x y Axy
22
11143
xy+
22
22143
xy+两式相减
22 22
12 12
43
xx yy−− − 12 12
12 1 2
3
4
yy xx
xx yy
−+ −−+∴点 A 满足方程 3
4yxk
− ①
 直线 AG MN⊥ 点 1 08G

∴点 A 满足方程 11
8yxk
−− ②
20192020 学年（）月考二 高三理科数学试卷答案 第 6 页 （ 8 页）
联立①②解 1328xyk
− 1328A k
−  点 A 椭圆部∴
22
143
xy+<
2
13116 64k
∴+ < 2 1
20k∴> 55
10 10kk∴ > <−
∴ k 取值范围 5510 10
  −∞ − ∪ +∞      


22(题满分 12 分)
解析（1） ( )fx定义域( )0+∞
( ) ( ) ( )( )1+1 x xaafx xa xx
++ +′ +
0a ≥ 时 ( ) 0fx′ ＞ ( )fx( )0+∞ 单调递增．
0a＜ 时 0 xa−＜ ＜ 时 ( ) 0fx′ ＜ ( )fx( )0 a− 单调递减
xa−＞ 时 ( ) 0fx′ ＞ ( )fx( )a− +∞ 单调递增．
综 0a ≥ 时 ( )fx( )0+∞ 单调递增
0a＜ 时 ( )fx( )0 a− 单调递减( )a− +∞ 单调递增．
（2） 0a＜ 时（1）知
( ) ( ) ( )2
min
1 ln2fx f a a a a a − − −+ −
令 ( ) ( )21 ln2gx x x x x− −+ − 0x＜ ( ) ( )lngx x x′ −+ −
令 ( ) ( )lnhx x x−+ − 0x＜ ( ) 1110xhx xx
′ −−+ ＜
( )hx( )0−∞ 单调递减
1 1102h
ee
−−
＞ 1110h ee
−−
＜ 存 0
11x ee
∈− −

( )0 0hx ( )00ln 0xx−+ −
( )0xx∈ −∞ 时 ( ) 0gx′ ＞ ( )gx单调递增
( )0 0xx∈ 时 ( ) 0gx′ ＜ ( )gx单调递减
20192020 学年（）月考二 高三理科数学试卷答案 第 7 页 （ 8 页）
0xx 时 ( )gx取值
( ) ( )2 2 22
0 000 0 000 00
1 11ln2 22gx xxx x xxx xx− −+ − − −+ −
( )2
0
11122x −−
令 ( ) ( )211122kx x −− 11x ee
∈− −

( )kx 11 ee
−−
单调递减
( )
21 1 1 1 1 1 2 13
2 2 5 3 15kx eee e
＜ ＜×− −− + + 
( )0
13
15gx ＜
0a＜ 时 ( )min
13
15fx ＜ 13
15M＜ ．

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