页 1 第


高三数学理科（Ⅰ）试题


填空题：题 14 题题 5 分计 70 分．请答案填写答题卡相应位置．．．．．．．．．
1 设全集 { | 5 *}U x x x N   集合 {1A  3} {3B  4} ()UC ABU_____
答案：{2}
2 已知 i 虚数单位复数 (1 2 )( )z i a i   实部虚部相等实数 a 值 ．
答案： 3
3 函数 2( ) log (1 )f x x x   定义域_____
答案：[01)
4 甲乙丙丁 4 中机选取两甲乙两中选取概率 ．
答案： 2
3

5 批产品质量（单位：克）进行抽样检测样容量 800检测结果频率分布直方图图示．根
标准单件产品质量区间[25 30) 等品区间[20 25) [30 35)二等品余次
品．样中次品件数 ．
注 意 事 项
考生答题前请认真阅读注意事项题答题求
1．试卷 4 页包含填空题（第 1~14 题）解答题（第 15~20 题）卷满分 160 分
考试时间 120 分钟考试结束请试卷答题卡交回
2．答题前请您务必姓名准考证号 05 毫米黑色墨水签字笔填写试卷
答题卡规定位置
3．作答试题必须 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡指定位置作答位
置作答律效
4．需作图须 2B 铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加粗
5请保持答题卡卡面清洁折叠破损律准胶带纸修正液擦洗圆珠
笔 页 2 第

答案：200
6 图算法流程图输出 b 值 ．
答案：8
7抛物线 2 2y px ( 0)p  焦点恰双曲线
22
45 1xy右焦点 p  ____．
答案：6
8 已知函数 ( ) 3sin(2 ) cos(2 )(0 )f x x x         定义 R 奇函数 ()8f  值 ．
答案： 2
9 已知数列{}na
2
{}na
n
均等差数列 ( *)nN 1 2a  10a  ．
答案：20
10 图 ABC 中 4AB  2AC  60BAC  已知点 EF 分边 AB AC 中点点 D
边 BC 13
4DE DF 
uuur uuur
g 线段 BD 长 ．

答案： 3
2
11 已知点 ( 30)A  ( 1 2)B  圆 2 2 2( 2) ( 0)x y r r    恰两点 MN MAB NAB 面
积均 4 r 取值范围 ．
答案： 2( 2
92)2
12 已知函数 2( ) 2 3 4x a a xf x x x lnx e e     中 e 然数底数存实数 0x 0( ) 3fx  成立
实数 a 值 ．
答案：12ln 页 3 第
13已知函数 3
2 ln 0()
0
e x xfx
x x x
  
函数 2()()g x f x ax三零点实数 a 取值范围
_____
答案：(01) { 2}U
14 锐角三角形 ABC AD 边 BC 中线 AD AB 1 1 1
tan tan tanABC值 ．
答案： 13
2
二解答题：题 6 题计 90 分．请答题卡指定区域．．．．．．．作答．解答时应写出文字说明证明
程演算步骤
15 （题满分 14 分）
图面直角坐标系 xOy 中 x 轴正半轴始边锐角 终边单位圆O 交点 A点 A
坐标 10
10
．
（1）求 3cos( )4
  值
（2） x 轴正半轴始边钝角  终边单位圆O 交点 B点 B 横坐标 5
5 求  值．

分析：（1）直接利三角函数定义应求出结果．
（2）利三角函数定义角变换应求出结果．
解：锐角 终边单位圆O 交点 A点 A 坐标 10
10

意角三角函数定义知sin 10
10  ．
cos 3 101 sin 2 10   ．
（1） 3cos( ) cos4
  cos 3 sin4
  sin 3
4

3 10 2 10 2 5()10 2 10 2 5       ．
（2）钝角  终边单位圆O 交点 B点 B 横坐标 5
5 页 4 第
cos 5
5  sin 251 cos2 5   ．
sin( ) sin cos cos  sin 10 5 3 10 2 5 2()10 5 10 5 2       ．
 锐角  钝角 ( 2
 3 )2

3
4
 ．
16 （题满分 14 分）
图正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中点 D 棱 BC 1AD C D 点 EF 分 1BB 11AB中点．
（1）求证： D BC 中点
（2）求证：EF 面 1ADC．

分析：（1）推导出 1CC ABC 1AD CC AD  面 11BCC B 进 AD BC 证明 D BC
中点．
（2）连结 1AC 1AC交点O连结 DO 1AB推导出 1OD A B 1EF A B EF OD
证明 EF 面 1ADC．
证明：（1）Q 正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中点 D 棱 BC 1AD C D
1CC ABC 1AD CC
1 1 1C D CC CQI AD面 11BCC B
AD BCD BC 中点．
（2）连结 1AC 1AC交点O连结 DO 1AB
Q 正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中 11ACC A 矩形 O 1AC中点
1OD A B
Q 点 EF 分 1BB 11AB中点 1EF A B
EF OD
EF Q 面 1ADC DO 面 1ADC． 页 5 第
EF 面 1ADC．
17 （题满分 14 分）
某市特色酒店 10 座完全相帐篷构成（图1) ．座帐篷体积 354 m 分两层中
层半径 ( 1)rr…（单位： )m 半球体层半径 rm 高 hm 圆柱体（图 2) ．测算层
半球体部分方米建造费 2 千元方圆柱体侧面隔层面三部分均方米建造费
3 千元设帐篷总建造费 y 千元．
（1）求 y 关 r 函数解析式指出该函数定义域
（2）半径 r 值时帐篷总建造费求出值

分析（ 1 ） 图 知 帐 篷 体 积  半球体积  圆 柱 体 积 322 543 r r h  表示出 h
22(2 2 2 3 2 3) 10y r r rh         化简 2 5460 ( )yrr 2
54 2 03 rr  31 3 3r „定
义域 3{ |1 3 3}rr„
（2） 2 54()f r r r 31 3 3r „根导函数求出值．
解：（1）题意 322 543 r r h   2
54 2
3hrr
2 2 2
2
54 2(2 22 32 3)10100 60 ( )3y r r rh r r rr             g 2 5460 ( )yrr  
1r… 0h  2
54 2 03 rr  31 3 3r „定义域 3{ |1 3 3}rr„
（2）设 2 54()f r r r 31 3 3r „ 2
54( ) 2f r r r   令 ( ) 0fr解 3r 
[1r  3) 时 ( ) 0fr()fr单调递减
(3r  33 3) 时 ( ) 0fr()fr单调递增
3r  时 ()fr取极值值 ( ) 1620minfr  ．
答：半径 r 3m时建造费1620 千元． 页 6 第
18．（题满分 16 分）
图已知椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab    左右焦点分 1F 2F椭圆C 点(0 3) 离心率 1
2

直线l 点 2F 椭圆C 交 AB 两点．
（1）求椭圆C 方程
（2）点 N △ 12F AF 心（三角形三条角分线交点）求△ 12FNF △ 12F AF 面积值
（3）设点 A 2FB 直线 4x  射影次点 DGE．连结 AE BD 试问：直线l 倾斜
角变化时直线 AE BD 否相交定点T？请求出定点T 坐标请说明理．

分析：（1）题意知 3b  ． 1
2
c
a  3
2
b
a  解 a 出椭圆C 方程．
（2）点 N △ 12F AF 心点 N △ 12F AF 切圆圆心设该圆半径 r
12
12
12
1 2 1 2
1 ||2
1 (| | | | | |)2
F NF
F AF
F F rS
S AF AF F F r


V
V
g
g
．
（3）直线l 斜率存时四边形 ABED 矩形时 AE BD 交 2FG中点 5( 0)2
．面证明：
直线l 倾斜角变化时直线 AE BD 相交定点 5( 0)2T．
设直线 l 方程 ( 1)y k x椭圆方程联立化简 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k     ．设 1(Ax 1)y 2(Bx
2 )y 题意 1(4 )Dy 2(4 )Ey直线 AE 方程 21
2
1
( 4)4
yyy y xx
   ．令 5
2x  时
21
2
1
5( 4)42
yyyy x
   根系数关系代入 0y  点 5( 0)2T 直线 AE ．理证点
5( 0)2T 直线 BD ．出结．
解：（1）题意知 3b  ． 1
2
c
a  3
2
b
a  解 2a 
椭圆C 方程：
22
143
xy．
（2）点 N △ 12F AF 心
点 N △ 12F AF 切圆圆心设该圆半径 r 页 7 第
12
12
12
1 2 1 2
1 || 212
1 2 2 3(| | | | | |)2
F NF
F AF
F F rS cc
S a c a cAF AF F F r
   
V
V
g
g
．
（3）直线l 斜率存时四边形 ABED 矩形
时 AE BD 交 2FG中点 5( 0)2
．
面证明：直线 l 倾斜角变化时直线 AE BD 相交定点 5( 0)2T．
设直线 l 方程 ( 1)y k x
联立 22
( 1)
143
y k x
xy
 
化简 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k     ．
直线 l 椭圆C 点 (10) △ 0 ．
设 1(Ax 1)y 2(Bx 2 )y
2
12 2
8
34
kxx k
2
12 2
4 12
34
kxx k
  ．
题意 1(4 )Dy 2(4 )Ey直线 AE 方程 21
2
1
( 4)4
yyy y xx
   ．
令 5
2x  时 2 1 1 2 2 1
2
11
2( 4) 3( )5( 4)4 2 2( 4)
y y x y y yyy xx
      
1 2 2 1 1 2 1 2
11
2( 4)( 1)3( )82 5( )
2( 4) 2( 4)
x kx kxx kkxx kxx
xx
      
22
22
1
4 12 88 2 53 4 3 4
2( 4)
kkk k kkk
x
 
gg

3 3 3
2
1
24 32 8 24 40 02( 4)(3 4 )
k k k k k
xk
   

点 5( 0)2T 直线 AE ．
理证点 5( 0)2T 直线 BD ．
直线 l 倾斜角变化时直线 AE BD 相交定点 5( 0)2T．
19 （题满分 16 分）
设数列{}na {}nb 分项实数穷等差数列穷等数列．
（1）已知 1 1b  2 3 2 60b b b   求数列{}nb 前 n 项 nS
（2）已知 2 2a  4 7 10+ + 21a a a  数列{ + }nnab前三项成等数列数列{}nb 唯求 1b 值
（3）已知数列{}na 公差 ( 0)dd 1
1 1 2 2 ( 1)2 2n
nna b a b a b n      求数列{}na {}nb 通项公
式（含 n d 式子表达）
（1）解：设{}nb 公 q
3 60qq   2( 2)( 2 3) 0q q q    页 8 第
解 2q 
 1 ( 2)
3
n
nS 
（2）∵{}na 等差数列∵ 2 2a  4 7 10+ + 21a a a 
∴ 73 21a  7 7a  公差 1d  nan
数列{ + }nnab前三项成等数列 11+b 22+b 33+b 成等
2
2 1 3(2+ ) (1+ )(3+ )b b b 整理 131+ bb
设数列{}nb 公 q 显然 1 0b 
2
111+ b b q 2
1110b q b  
∵数列{}nb 唯确定
∴ 110 4 (1 ) 0bb    
解： 1 1b  1 0b  （舍）

（3）解：Q 1
1 1 2 2 ( 1)2 2n
nna b a b a b n      ①
1 1 2 2 1 1 ( 2)2 2n
nna b a b a b n     ②
①  ② 2 ( 2)n
nna b n n g …
11 2ab Q
 *2 ( )n
nna b n n N  g ③
 1
11( 1)2 ( 2)n
nna b n n
  … ④
令③  ④
1
2 ( 2)1
n
n
a nqnan
g … ⑤中 q 数列{}nb 公
 1
2
2( 1) ( 3)2
n
n
a nqnan


g … ⑥
令⑤  ⑥ 2
22
1
( 2) ( 3)( 1)
nn
n
aa nn nan


  …
 31
2
3
4
aa
a  11
2
1
( 2 ) 3
( ) 4
a d a
ad
 
解 1ad 1 3ad
1 3ad 4 0a  4
444 2 0ab   矛盾
1ad满足条件时 na dn 2n
nb d
20 （题满分 16 分） 页 9 第
设 a 实数已知函数 () xf x axe ()aR ．
（1） 0a  时求函数 ()fx单调区间
（2）设 b 实数等式 2( ) 2f x x bx… 意 1a… 意 0x  恒成立求 b 取值范围
（3）函数 ( ) ( ) lng x f x x x   ( 0)x  两相异零点求 a 取值范围．
分析：（1）根导数函数单调性关系求出
（2）分离参数 2xe x b … 意 0x  恒成立构造函数 ( ) 2xx e x 利导数求出函数值
求出 b 范围
（3）先求导分类讨根导数函数单调性值关系求出 a 范围．
解：（1） 0a  时 ( ) ( 1) xf x a x e   1x  时 ( ) 0fx
1x  时 ( ) 0fx．函数 ()fx单调减区间( 1)  单调增区间( 1 )  ．
（2） 2( ) 2f x x bx… 22xaxe x bx… 0x 
2xae x b… 意 1a… 意 0x  恒成立．
0xe  xxae e… 2xe x b … 意 0x  恒成立．
设 ( ) 2xx e x  0x  ( ) 2xxe  
函数 ()x (0 ln 2) 单调递减 (ln 2) 单调递增
()(minx ln 2) 2 2ln 2
22b ln„ 2．
（3） ( ) lnxg x axe x x   1 ( 1)( 1)( ) ( 1) 1
x
x x axeg x a x e xx
      中 0x  ．
① 0a… 时 ( ) 0gx函数 ()gx (0 ) 单调递增函数 ()gx零点合题意
② 0a  时令 ( ) 0gx 1 0xxe a   ．
第（2）题知 0x  时 ( ) 2 2 2xx e x ln   … 20 2xex 22xxe x 0x  时
函数 xxe 值域(0 ) ．
存 0 0x  0010ax ex  00 1ax ex  ①
0xx 时 ( ) 0gx函数 ()gx 0(0 )x 单调递增 0(x ) 单调递减．
函数两零点 1x 2x
0 0 0 0()()maxgx gx axex x ln    001x x ln    0 0x  ②．
设 ( ) 1 lnx x x     0x  1( ) 1 0x x    函数 ()x (0 ) 单调递增．
(1) 0 1x  时 ( ) 0x  ②式中 0 1x  ． 页 10 第
①式 00
1x ex a ．
第（1）题知 0a  时函数 ()fx(0 ) 单调递减 1 ea
1(a e 0) ．
()i
1
11( ) ( 1) 0
eaeg e e e    0
1( ) ( ) 0g g xe g ．
0
1 1 xe  函数 ()gx 0(0 )x 单调递减函数 ()gx图象 0(0 )x 间断
函数 ()gx 0(0 )x 恰零点
()ii 1 1 1 1()()g e lna a a a       令 1tea  
设 () tF t e t ln    t te
te 时ln tt 2tet 设 ( ) 0Ft  1( ) 0g a．
①式 0 1x  时 0 0 0
1 x ex xa   0
1( ) ( ) 0g g xag
理函数 ()gx 0(x ) 恰零点．
综 1(a e 0) ．





























页 11 第



高三数学理（Ⅱ）试题


21．题 2 题题 10 分计 20 分请答题卡指定区域作答解答应写出文字说明证明
程演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵变换
已知矩阵 1
1
aA b
 
A 特征值 2  应特征量 1
2
1  

（1）求矩阵
（2）设直线l 矩阵 1A 应变换作直线 4m x y求直线 方程．
分析：（1） 11
12
11
aA b          
求出 a b
（ 2 ） 设 直 线 意点 ()xy 矩 阵 应变换作点 ()xy 根
1 2 2
1 4 4
x x x y
y y x y
                         

2 3
6
xyx
xyy
       
进 方程．
解：（1） 1
1 2 2
1 1 2
aaA bb                  
Q 1
242 12          

 2 4
2 2
a
b

  
解 2
4
a
b

 

12
14A  

（2） 12
14A  
Q 1
21
33
11
66
A





设直线 意点 矩阵 应变换作点
注 意 事 项
考生答题前请认真阅读注意事项题答题求
1．试卷 4 页包含填空题（第 1~14 题）解答题（第 15~20 题）卷满分 160 分
考试时间 120 分钟考试结束请试卷答题卡交回
2．答题前请您务必姓名准考证号 05 毫米黑色墨水签字笔填写试卷
答题卡规定位置
3．作答试题必须 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡指定位置作答位
置作答律效
4．需作图须 2B 铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加粗
5请保持答题卡卡面清洁折叠破损律准胶带纸修正液擦洗圆珠
笔 页 12 第

2 1 2 1
3 3 3 3
1 1 1 1
6 6 6 6
xyxx
yyxy
                             


2133
1166
x x y
y x y
   
   
 2
4
x x y
y x y

 

4xyQ 2
3y  
直线l 方程 2
3y  ．
B．选修 4—4：坐标系参数方程
极坐标系中直线l 极坐标方程 ()4 R极点原点极轴 x 轴正半轴建立面直角坐
标系曲线C 参数方程 4cos (1 cos2
x
y
 

 
参数）求直线l 曲线C 交点 P 直角坐标．
分析：化直线l 极坐标方程直角坐标方程化曲线C 参数方程普通方程联立求解答案．
解：直线 l 直角坐标方程 yx ．
方程 4cos
1 cos2
x
y



 
2 2 212cos 2( )48
xyx  
1 cos 1Q 剟 44x 剟 ．
曲线C 普通方程 21 ( 4 4)8y x x剟 ．
直线 l 方程代入曲线方程中 21
8 xx 解 0x  8x  （舍）．
直线l 曲线C 交点 P 直角坐标 (00) ．
第 22 题第 23 题题 10 分计 20 分请答题卡指定区域作答解答应写出文字说明证明
程演算步骤．
22．（题满分 10 分）
图直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中底面四边形 ABCD菱形 1 2A A AB
3ABC EF 分
BC 1AC中点．
（1）求异面直线 EF AD 成角余弦值
（2）点 M 线段 1AD 1
1
AM
AD  ． CM 面 AEF 求实数  值． 页 13 第

分析：（1）建立坐标系求出直线量坐标利夹角公式求异面直线 EF AD 成角余弦值
（2）点 M 线段 1AD 1
1
AM
AD  ．求出面 AEF 法量利 CM 面 AEF 求实数 
值．
解：四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 直四棱柱
1AA 面 ABCD．
AE  面 ABCD AD  面 ABCD
1A A AE 1A A AD ．
菱形 ABCD中
3ABC  ABC 等边三角形．
E BC 中点 BC AE ．
BC AD AE AD ．
建立空间直角坐标系． (0A0 0) (3C10) (0D20)
1(0A0 2) (3E0 0) 3( 2F 1
2
1) ．
（1）(0AD 
uuur
2 0) 3( 2EF 
uuur
1
2
1)
异面直线 EF AD 成角余弦值 12
42 1 1


．
（2）设 (Mx y )z 点 M 线段 1AD 1
1
AM
AD 
(x y 2) (0z  2 2) ．
(0M 2 2 2 ) (3CM 
uuuur
21  2 2 ) ．
设面 AEF 法量 0(nxr 0y 0 )z ．
(3AE 
uuur
0 0) 3( 2AF 
uuur
1
2
1)

0
0 0 0
30
31 022
x
x y z
 
  
0 0x  00
1 02 yz．
取 0 2y  0 1z 
面 AEF 法量 (0n  2 1) ． 页 14 第
CM 面 AEF 0n CM 
uuuurrg 2(2 1) (2 2 ) 0    解 2
3  ．

23．（题满分 10 分）
已知袋中装相 2 白球2 红球 1 黄球．项游戏规定白球红球黄球分值
分 0 分1 分 2 分局袋中次性取出三球 3 球应分值相加称该局
分计算完分球放回袋中．出现第 n 局 n 分 ( *)nN 情况算游戏关时游戏结束
四局未关游戏结束．
（1）求局游戏中 3 分概率
（2）求游戏结束时局数 X 分布列数学期 ()EX ．
分析：（1）根相互独立事件概率公式求出应概率值
（2）题意知机变量 X 取值计算局游戏中 2 分概率值
求出应概率值写出分布列计算数学期．
解：（1）设局游戏中 3 分事件 A
P（A）
111
2 2 1
3
5
2
5
CCC
Cgg
（2）题意机变量 X 取值 1234
局游戏中 2 分概率
1 2 2 1
2 2 2 1
3
5
3
10
CCCC
C
 gg

21
22
3
5
1( 1) 5
CCPX C  g
4 3 6( 2) 5 10 25PX   
4 3 2 28( 3) (1 )5 10 5 125PX     
4 3 3 42( 4) (1 )5 10 5 125PX     
X 分布列：
X 1 2 3 4 页 15 第
P 1
5
6
25
28
125
42
125

1 6 28 42 337( ) 1 2 3 45 25 125 125 125EX          ．



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