理科数学试题 第 1 页 5 页


理科数学试题
注意事项：
1试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分答题前考生务必
姓名考生号填写答题卡
2回答第Ⅰ卷时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑
需改动橡皮擦干净选涂答案标号写试卷效
3回答第Ⅱ卷时答案填写答题卡写试卷效
4考试结束试卷答题卡交回
第Ⅰ卷（60 分）
选择题：题 12 题题 5 分 60 分．题出四选项中
项符合题目求．
1设全集UR ()RCAB  （ ）
A B C D
2已知数列 na 等差数列 值( )
A． B． C． D．
3．某校 1000 参加某次模拟考试中数学考试成绩似服正态分布   2105 0N  试卷满
分 150 分统计结果显示数学成绩优秀(高 120 分)数占总数 1
5
次数学考试成绩 90 分
105 分间数约( )A．150 B．200 C．300 D．400
4出列四结：
①命题 2
0 0 0 R 1 0p x x x     2 R 1 0p x x x     
②集合 A 满足：   a b A a b c d 符合条件集合 数 3
③命题 0m  方程 2 0x x m   实数根逆否命题：方程 没实数根
m  0
④设复数 z 满足 2z i i   i 虚数单位复数 z 复面应点第三象限
中正确结数（ ） A1 B 2 C 3 D 4
 22A x y x x    2xB y y x R  
 0xx  01xx  12xx＜  2xx
1 7 13 4a a a    2 12tan( )aa
3 3 3 3
3

理科数学试题 第 2 页 5 页

5直线 0x y m   圆 222 1 0x y x    两交点充分必条件（ ）
A． 01m B． 1m  C． 41m   D． 31m  
6函数 4cos xy x e图象( )

7设 01 30log 2 log 2ab （ ）
4 2( ) 3A ab a b ab   4 2( ) 3B ab a b ab  
2 3( ) 4C ab a b ab   2 3( ) 4D ab a b ab  
8已知等数列 na 前 n 项  131n
nSR    8
7
2( 1)S
a
  （ ）
A． 1
3
B．3 C． 6 D． 9
9图网格纸正方形边长 1粗线画出某面体三视
图该体体积( )
A 2 5 4 2 10 B 4
3
C 8
3
D 16
3

10设双曲线
22
221xyC ab( 00ab)左右焦点分 12FF 1F 直线分交双曲线左右两支
点 MN连结 22MF NF 220MF NF
  22MF NF
  双曲线 C 离心率( )
A 2 B 3 C 5 D 6
11函数    2sin 2 2 cos 0 2f x x x     
图象点 02 列结中
(1) 函数  y f x 周期函数 (2) 函数  y f x 关直线 x  称
(3) 函数  y f x 关点 02

称中心 (4) 函数 值 6
2

正确结数( )
A 1 B 2 C 3 D 4

理科数学试题 第 3 页 5 页

12函数 2( ) ln (ln ) ( )f x x x ax ax a R    三零点实数 a 取值范围（ ）
A． 2
1 1ee

B． 2
10 ee

C． 22
110 1e e e e
         
 D． 2
1 ee


第Ⅱ卷（90 分）
卷包括必考题选考题两部分第 13 题—第 21 题必考题试题考生必须作答第 22 题
第 23 题选考题考生根求作答
二填空题：题 4 题题 5 分答案填答题卡相应位置
13三棱锥 D ABC 中CD  底面 ABC AC BC 5AB BD 4BC  三棱锥外接球
表面积______．
14非零量 ab

满足  2a a b
  
ab
b






15直线 4yx 曲线 3yx 第象限围成封闭图形面积 a
5a xx

展开式中 x
系数
16庙会国古老传统民俗文化活动称庙市节场．庙会春节元宵节等节日举
行．庙会丰富彩文化娱乐活动砸金蛋（游玩者次砸碎颗金蛋果奖品中
奖）．年春节期间某校甲乙丙丁四位学相约某庙会均获砸颗金蛋机会．游
戏开始前甲乙丙丁四位学游戏中奖结果进行预测预测结果：
甲说：乙中奖乙说：丁中奖’
丙说：乙中奖丁说：甲中奖．
游戏结束四位学中位学中奖位学预测结果正确中奖
学_____．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17 (题满分 12 分)
ABC 角 ABC 边分 abc点 D AC 中点已知
22sin 3sin 1 3 42
AB C a b    
（1）求角 C BD 长
（2）设 ACB 角分线交 BD E求 CED 面积



理科数学试题 第 4 页 5 页

18(题满分 12 分)
四棱锥 P ABCD 中 23BC BD DC  
2AD AB PD PB   
(Ⅰ)点 E PC 中点求证： BE ∥面 PAD
(Ⅱ)面 PBD  面 ABCD 时求二面角C PD B余弦值



19(题满分 12 分)
某学校解该校高三年级学生数学科学情况广模考试数学成绩进行分析中抽取 n 名
学生成绩作样进行统计该校全体学生成绩均[ퟔퟎ ퟏퟒퟎ)[ퟔퟎ ퟕퟎ)[ퟕퟎퟖퟎ)[ퟖퟎ ퟗퟎ)
[ퟗퟎ ퟏퟎퟎ)[ퟏퟎퟎퟏퟏퟎ)[ퟏퟏퟎ ퟏퟐퟎ)[ퟏퟐퟎ ퟏퟑퟎ)[ퟏퟑퟎퟏퟒퟎ)分组作出频率分布直方图图(풂)示
样中分数[ퟕퟎ ퟗퟎ)数茎叶图图(풃)示根级统计划出预录分数线列分数
录取院校层次表表(풄)

(ퟏ)求 n 频率分布直方图中풙 풚值
(ퟐ)根样估计总体思想事件发生频率作概率该校高三年级学生中取 3 求少
录取重层次院校概率
(ퟑ)选取样中录取重专科两层次学生中机抽取 3 名学生进行调研흃表示
抽取 3 名学生中重数求机变量흃分布列数学期．


20(题满分 12 分)
已知函数    ln 1xf x e x   ( e 然数底数)
(Ⅰ)求函数  fx单调区间
(Ⅱ)    g x f x ax aR 试求函数  gx极值值

B
D
P
C
E
A
理科数学试题 第 5 页 5 页

21(题满分 12 分)
设椭圆
22
221xyC ab( 0ab)离心率 2
2
圆 222O x y x 轴正半轴交点 A圆 O 点 A
处切线椭圆C 截弦长 22．
(Ⅰ)求椭圆 方程
(Ⅱ)设圆 O 意点 P 处切线交椭圆C 点 MN试判断 PM PN 否定值？定值
求出该定值定值请说明理



请考生第 2223 题中选题作答注意：做选定题目果做做第题
目计分作答时请 2B 铅笔答题卡选题号应方框涂黑
22(题满分 10 分)选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系 xOy 中已知曲线 C1：x＋y＝1 曲线 C2：

x＝2＋2cos φ
y＝2sin φ (φ 参数)
坐标原点极点x 轴正半轴极轴建立极坐标系
(1)写出曲线 C1C2 极坐标方程
(2)极坐标系中已知 l：θ＝α(ρ>0) C1C2 公点分 ABα∈
0π
2
|OB|
|OA|＝4 时求 α 值

23(题满分 10 分)选修 45：等式选讲
设函数   1f x x
(Ⅰ)   22f x x求实数 x 取值范围
(Ⅱ)设      g x f x f ax ( 1a  )  gx值 1
2
求 a 值
1 6

2020 级高三理科数学第二次模拟试题答案
选择题：题 12 题题 5 分 60 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B C B A A B D C B C B
二填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13 34 14 1 15 20 16 甲
三三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17 (题满分 12 分)
ABC 角 ABC 边分 abc点 D AC 中点已知
22sin 3sin 1 3 42
AB C a b    
（1）求角 C BD 长
（2）设 ACB 角分线交 BD E求 CED 面积
解：(1) ABC 中 22sin 3sin 12
AB C  21 2sin 3sin2
AB C   
： 3cos( ) 3sin tan 3ABCC     06CC   
BCD 中 3 22
bBC CD   余弦定理知
2 2 2 32 cos 3 4 2 3 2 12BD BC CD BC CD C          1BD  ……………6 分
(2) 中 CE C 分线
1 sin2
1 sin2
DCE
BCE
CD CE DCES DE
S EB CB CE BCE



  


2
3
DE CD
BE CB   2(2 3) 2(2 3) (2 3)CDE CDB ACBDE DB S S S         
1 sin 3 2 3 32ACB CDES CA CB C S      ……………12 分

18(题满分 12 分)
四棱锥 P ABCD 中 23BC BD DC  
2AD AB PD PB   
B
D
P
C
E
A
2 6

(Ⅰ)点 E PC 中点求证： BE ∥面 PAD
(Ⅱ)面 PBD  面 ABCD 时求二面角C PD B余弦值
18(题满分 12 分)
(Ⅰ)取 CD 中点 M连结 EM BM
已知 BCD 等边三角形 BM CD
∵ 2AD AB 23BD 
∴ 30ADB ABD   
∴ 90ADC∴ BM AD
∵ BM  面 PAD AD  面 PAD
∴ BM ∥面 PAD
∵ E PC 中点 中点∴ EM ∥ PD
∵ EM  面 PAD PD 面 PAD
∴ EM ∥面 PAD
∵ EM BM M ∴面 BEM ∥面 PAD
∵ BE  面 BEM ∴ BE ∥面 PAD …………………………5 分
(Ⅱ)连结 AC 交 BD 点 O连结 PO 称性知O BD 中点 AC BD PO BD
∵面 PBD  面 ABCD PO BD
∴ PO  面 ABCD 1PO AO 3CO 
坐标原点OC 方 x 轴正方建立空间直角坐标系 D xyz
D(0 3 0)C(300)P(001)
易知面 PBD 法量  1 1 0 0n 
设面 PCD法量  2n x y z
2n DC 2n DP ∴ 2
2
0
0
n DC
n DP
  

∵  3 3 0DC   0 3 1DP  ∴ 3 3 0
30
xy
yz
 


令 3y  13xz   ∴  2 1 3 3n   ∴ 12
12
12
1 13cos 1313
nnnn
nn
    


设二面角C PD B 13cos 13  ………………………12 分
19(题满分 12 分)
某学校解该校高三年级学生数学科学情况广模考试数学成绩进行分析中抽取 n 名
学生成绩作样进行统计该校全体学生成绩均
分组作出频率分布直方图图 示
B
D
P
C
E
MA
3 6

样中分数 数茎叶图图 示 根级统计划出预录分数线列分数
录取院校层次表表

求 n 频率分布直方图中 值
根样估计总体思想事件发生频率作概率该校高三年级学生中取 3 求少
录取重层次院校概率
选取样中录取重专科两层次学生中机抽取 3 名学生进行调研 表示
抽取 3 名学生中重数求机变量 分布列数学期．
解： 题意知样容量
解


．
成绩重点学录取数
抽取 50 中成绩重点学录取频率


该校高三年级学生中取 1 重概率
．
记该校高三年级学生中取 3 少重点学录取事件 E


．
成绩重点学录取数 15 成绩专科学校录取数

机变量 取值 0123．




















机变量 分布列
0 1 2 3
P




4 6

机变量 数学期





．
20(题满分 12 分)
已知函数    ln 1xf x e x   ( e 然数底数)
(Ⅰ)求函数  fx单调区间(Ⅱ)    g x f x ax aR 试求函数  gx极值值
20(题满分 12 分)
(Ⅰ)易知 1x    1
1
xf x e x
 
令   1
1
xh x e x
   2
1 0
1
xh x e
x
   


∴函数   1
1
xh x e x
 1x    单调递增    0 0 0hf
知  1 0x 时     0h x f x    ln 1xf x e x   单调递减
 0x   时     0h x f x    ln 1xf x e x   单调递增
∴函数  fx单调递减区间 1 0 单调递增区间 0 …………………………5 分
(Ⅱ)∵      ln 1xg x f x ax e x ax      ∴    g x f x a
(Ⅰ)知  gx  1x    单调递增
1x  时  gx   x  时  gx     0gx  唯解 0x
知  01xx 时   0gx     ln 1xg x e x ax    单调递减
 0xx   时   0gx     ln 1xg x e x ax    单调递增
∴函数  gx 0xx 处取极值    0
0 0 0ln 1xg x e x ax    0x 满足 0
0
1
1
xeax

∴      0
0 0 0
0
11 ln 1 1 1
xg x x e x x      

令       11 ln 1 1 1
xx x e x x       
   2
1
1
xx x e
x


   


知  1 0x 时   0x   x 单调递增
 0x   时   0x   x 单调递减∴    max 01x
∴函数  gx极值值 1 …………………………12 分
21(题满分 12 分)
设椭圆
22
221xyC ab( 0ab)离心率 2
2
圆 222O x y x 轴正半轴交点 A圆 O 点 A
处切线椭圆 C 截弦长 22．
(Ⅰ)求椭圆 方程
(Ⅱ)设圆 O 意点 P 处切线交椭圆C 点 MN试判断 PM PN 否定值？定值
求出该定值定值请说明理
5 6

21(题满分 12 分)
(Ⅰ)设椭圆半焦距 c 椭圆离心率 2
2
知 2b c a b
∴椭圆 C 方程设
22
2212
xy
bb易求  2 0A∴点 2 2 椭圆∴ 22
2212bb

解
2
2
6
3
a
b
 
 
∴椭圆 方程
22
163
xy …………………………5 分
(Ⅱ)点 P 圆O 相切切线斜率存时妨设切线方程 2x  (Ⅰ)知
   2 2 2 2MN    2 2 2 2 0OM ON OM ON    ∴OM ON
点 P 圆O 相切切线斜率存时设切线方程 y kx m    1 1 2 2M x y N x y
∴
2
2
1
m
k


 2221mk
联立直线椭圆方程  22 26x kx m  
∴ 2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m    
    2 22
12 2
2
12 2
4 4 1 2 2 6 0
4
21
26
21
km k m
kmxx k
mxx k

     

    
  

∵    1 1 2 2 OM x y ON x y
∴   1 2 1 2 1 2 1 2OMON xx yy xx kx mkx m      
      2
2 2 2 2
1 2 1 2 22
2 6 4112 1 2 1
m kmkxxkmxxm k km mkk
    

      2 2 2 2 2 2 2 222
2 2 2
1264 21 322663 6 6 02 1 2 1 2 1
k m k m m k k kmk
k k k
            

∴OM ON
综述圆O 意点 P 处切线交椭圆C 点 MNOM ON
Rt OMN 中 OMP NOP 相似 2 2OP PM PN   定值 …………………………12 分
请考生第 2223 题中选题作答注意：做选定题目果做做第题
目计分作答时请 2B 铅笔答题卡选题号应方框涂黑
22(题满分 10 分)选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系 xOy 中已知曲线 C1：x＋y＝1 曲线 C2：

x＝2＋2cos φ
y＝2sin φ (φ 参数)
坐标原点极点x 轴正半轴极轴建立极坐标系
(1)写出曲线 C1C2 极坐标方程
6 6

(2)极坐标系中已知 l：θ＝α(ρ>0) C1C2 公点分 ABα∈
0π
2
|OB|
|OA|＝4 时求 α 值
22(题满分 10 分)(Ⅰ)解：直角坐标极坐标互化关系 cos
sin
x
y



 
代入曲线 1 1C x y
cos sin 1   ： 1
2 sin( )4
 


曲线 C1 极坐标方程：
曲线 C2：

x＝2＋2cos φ
y＝2sin φ (φ 参数)利 22sin cos 1 消参数 2240x y x  
直角坐标极坐标互化关系 代入式化简 4cos
曲线 C2 极坐标方程： ………………5 分
(Ⅱ) ( 0)l    曲线 C1C2 公点分 AB ( 0)  代入

1
2 sin( )4
OA 


4cosOB 
4 2 cos sin( ) 1 0 sin cos42
OB
OA
           4
  ……………10 分
23(题满分 10 分)选修 45：等式选讲
设函数   1f x x(Ⅰ)   22f x x求实数 x 取值范围
(Ⅱ)设      g x f x f ax ( 1a  )  gx值 1
2
求 a 值
23(题满分 10 分)(Ⅰ)   22f x x 1 >2 2xx 1 0
1>2 2
x
xx

 
1 0
1 2 2
x
xx

   
1
3x
∴实数 x 取值范围 1 3

………………………5 分
(Ⅱ)∵ 1a  ∴ 11 a   ∴  
   
 
 
1 2 1
111
112
a x x
g x a x x a
a x x a

     
      
       




易知函数  gx 1x a
  
时单调递减 1x a
   
时单调递增∴  min
111g x g aa
   

∴ 111 2a解 2a  ………………………10 分

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