市2019-2020学年高一上学期期末考试 数学试卷—附答案


    市2019—2020学年第-学期期末 高一数学试卷 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选國)两部分.第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟. 第I卷(选择题,共60分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.考试结束,将答题卡交回. 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A = {-1,0,1,2},B = { 4<21| xx  },则 BA 等于 A.{0,1} B.{1,2} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 2.已知函数 3)(  xexf x ,则该函数的零点位于区间 A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上是增函数的是 A. 3xy  B. ||2 xy  C. ||lg xy  D. xx eey  4.已知直线 062:1  yaxl 和 01)1(: 2 2  ayaxl 平行,则实数 a 的取值是 A. -1 或 2 B. 0 或 1 C. -1 D.2 5.若 2 2log,3log,2 2 5.0  cba x ,则 cba ,, 的大小关系为 A. cba >> B. cab >> C. bac >> D. acb >> 6.在空间直角坐标系 xyzO  中,一个三棱锥的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0), (1,2,1),(2, 2,2).则该三棱锥的体积为 A. 3 2 B.l C. 3 4 D.2 7.已知函数      3<),1( 3,)2 1()( xxf xxf x ,则 )3(log2f 的值为 A. 3 1 B. 6 1 C. 12 1 D. 24 1 8.设 nm, 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,且  nm ,∥ ,则下列说法正确的是 A.若 nm∥ ,则   B.若 nm  ,则  ∥ C.若 nm∥ ,则  ∥ D.若 ,则 9.已知光线每通过一块特制玻璃板,强度要减弱20%,要使通过玻璃板的光线强度减弱到原来的 4 1 以 下,则至少需要重叠玻璃板块数为(参考数据:lg2≈0.3010) A.4 B.5 C.6 D.7 10.已知圆的方程为 9)1()1( 22  yx ,过该圆内一点P(3,3)的最长弦和最短弦分别为AC和BD, 则四边形ABCD的面积是 A. 4 B. 34 C. 6 D. 36 11.已知三棱锥 D-ABC 中,AB =BC = 1,AD = 2,BD = 5 ,AC = 2 ,BC⊥AD, 则该三棱锥的 外接球的表面积为 A. 6 B. 6 C. 5 D. 8 12.若圆 0104422  yxyx 上至少有三个不同的点到直线 kxyl : 的距离为 22 ,则 k 的 取值范围是 A. ]1,32[  B. ]32,1[  C. ),32[]32,0[   D. ]32,32[  第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分. 13. 过点A(2,3)且在 x 轴, y 轴上截距相等的直线l 的方程为 . 14.已知 )(|2|)(Raaxxf  在 ),1[[  上是增函数,则 a 的取值范围是 . 15.圆 03222  xyx 关于直线 02:  yxl 的对称圆的标准方程为 . 16.过正方体 1111 DCBAABCD  的顶点A作直线l ,使l 与棱AB,AD,AA1所在的直线均成等角,这样 的直线 可以作 条. 三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知平面直角坐标系内四点A(1,1),B(-3,-1),C(3, -3),D(-1,1). (1)判断△ABC的形状; (2)A,B,C,D四点是否共圆,并说明理由. 18.(本小题满分12分) 假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式,其中 1P 是按直线上升的房价, 2P 是 按指数增长的房价,t 是2002 年以来经过的年数. (1)求函数 )(1 tfP  的解析式; (2)求函数 )(2 tfP  的解析式; (3)完成上表空格屮的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像,然后比较两种价格增长方 式的差异. 19.(本小题满分12分) 在四面体B-ACD中,△ACD是正三角形,△ABC是直角三角 形,AB= BC,AD = BD. (1)证明:AC丄BD; (2)若E是BD的中点,求二面角B-AC-E的大小. 20.(本小题满分12分) 已知函数 x x e emxf   1)( 是定义在R上的奇函数. (1)求函数 )(xf 的解析式,判断并证明函数 )(xfy  的单调性; (2)若存在实数 ]4,1[t ,使 0>)522()2( 22  ttfkttf 成立,求实数 k 的取值范围. 21.(本小题满分12分) 如图,在棱长为2的正方体 1111 DCBAABCD  中,E,F分别是棱 111,DCDD 的中点. (1)证明:B1F∥平面 A1BE; (2)求三棱锥F —A1BE的体积. 22.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,0),动点 ),( yxC 满足 ||3|| CBCA  . (1)若 0y ,求△ABC面积的最大值; (2)已知0(1,2),是否存在点C,使得 12|||| 22  CDCA ?若存在,求点C的个数; 若不存在,说明 理由. 市2019———2020学年第一学期期末考试 高一数学试卷参考答案 一、选择题 1-5ABBCA    6-10ACDDC    11-12BD 二、填空题 13.狓+狔-5=0或3狓-2狔 =0     14.(- ∞,1 2] 15.(狓-2)2 + (狔-3)3 =4 16.4 三、解答题 17.解:∵ 狘犃犅狘= (1+3)2 + (1+1)槡 2 = 槡2 5. 狘犃犆狘= (1-3)2 + (1+3)槡 2 = 槡2 5. ∴ 狘犃犅狘=狘犃犆狘. ……2分 又犽犃犅 = 1 2 ,犽犃犆 =-2, ∴ 犽犃犅 ·犽犃犆 =-1,即 犃犅 ⊥ 犃犆. ……4分 ∴ △犃犅犆 是等腰直角三角形. ……5分 (2)由(1)知 △犃犅犆 的外接圆的方程为: 狓2 + (狔+2)2 =10. ……7分 将 犇 点坐标代入方程(-1)2 + (1+2)2 =10, 可知 犇 点坐标适合方程,即 犇 点在 △犃犅犆 的外接圆上. ……9分 ∴ 犃,犅,犆,犇 四点共圆. ……10分 18.(1)设犳(狋)=犽狋+犫,狋≥0,由犳(0)=犽×0+犫=20, 犳(10)=犽×10+犫=40,可得犽=2,犫=20, 即 犘1 =2狋+20,狋≥0. ……3分 (2)设犵(狋)=犪0犪狋,狋≥0.由犵(0)=20,犵(10)=40, 可得犪0 =20,犪=2 1 10 , 即 犘2 =20×2 狋 10 ,狋≥0. ……6分 (3)根据两个函数的图像和下表, 狋 0 5 10 15 20 犘1/万元 20 30 40 50 60 犘2/万元 20 槡20 2 40 槡40 2 80 ……8分 高一数学答案 第1页 (共4页) (2020.1)……10分 房价按函数 犘1 =犳(狋)呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度;按 函数 犘2 =犵(狋)呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越 快,但保持相同的增长比例. ……12分 19.(1)取 犃犆 的中点犉,连接 犇犉,犅犉. ∵ △犃犇犆 是正三角形, ∴ 犇犉 ⊥ 犃犆. ……1分 又 △犃犅犆 是等腰直角三角形, ∴ 犅犉 ⊥ 犃犆. ……2分 又 犇犈 ∩犅犉 = 犉,犇犉  平面 犅犉犇,犅犉犆  平面 犅犉犇, ∴ 犃犆 ⊥ 平面犅犉犇, ……4分 又 ∵ 犅犇  平面犅犉犇, ∴ 犃犆 ⊥犅犇. ……5分 (2)连接犉犈, ∵ 犃犆 ⊥ 平面犅犉犇,犅犉  平面犅犉犇,犉犈  平面犅犉犇. ∴ 犃犆 ⊥犅犉,犃犆 ⊥犉犈, ……7分 ∴ ∠犅犉犈 即为二面角犅 -犃犆 -犈 的平面角. ……8分 设 犃犅 =犅犆 =犪,则 犃犆 = 犃犇 =犆犇 =犅犇 = 槡2犪 ∴ 犅犉 = 槡2 2犪,犇犉 = 槡6 2犪, 在 △犅犉犇 中,犅犇2 =犅犉2 +犇犉2, ∴ 犅犉 ⊥ 犇犉,即 △犅犉犇 是直角三角形. ……10分 ∴ 犉犈 = 1 2犅犇 = 槡2 2犪. 故 △犅犈犉 为正三角形, ∴ ∠犅犉犈 =60°, ……11分 ∴  二面角犅-犃犆 -犈 的大小为60°. ……12分 20.解:(1)∵ 犳(狓)为奇函数,且定义域为犚, 所以犳(0)=0,即犿-犲0 1+犲0 =0,所以 犿 =1, 所以犳(狓)=1-犲狓 1+犲狓 . ……2分 函数犳(狓)在犚 上单调递减. ……3分 高一数学答案 第2页 (共4页) (2020.1)设狓1 <狓2,则 犳(狓1)-犳(狓2)=1-犲狓1 1+犲狓1 -1-犲狓2 1+犲狓2 = (1-犲狓1 )(1+犲狓2 )- (1-犲狓2 )(1+犲狓1 ) (1+犲狓1 )(1+犲狓2 ) = 2(犲狓2 -犲狓1 ) (1+犲狓1 )(1+犲狓2 ). ……5分 因为狓1 <狓2,所以犲狓2 -犲狓1 >0. 所以 2(犲狓2 -犲狓1 ) (1+犲狓1 )(1+犲狓2 )>0. ……6分 所以犳(狓1)-犳(狓2)>0,即犳(狓1)>犳(狓2), 所以函数犳(狓)在犚 上单调递减. ……7分 (2)存在实数狋∈ [1,4],使犳(狋2 +2狋+犽)+犳(-2狋2 +2狋-5)>0成立, 即存在实数狋∈ [1,4],使犳(狋2 +2狋+犽)>-犳(-2狋2 +2狋-5)成立. 因为犳(狓)为奇函数,所以犳(狋2 +2狋+犽)>犳(2狋2 -2狋+5)成立. ……8分 又因为函数犳(狓)在犚 上单调递减, 所以存在实数狋∈ [1,4],使狋2 +2狋+犽<2狋2 -2狋+5成立, ……9分 即存在实数狋∈ [1,4],使犽<狋2 -4狋+5= (狋-2)2 +1成立. ……10分 而当狋∈ [1,4]时,1≤ (狋-2)2 +1≤5, ……11分 所以犽的取值范围是(- ∞,5). ……12分 21.(1)证明:连接 犃犅1,设 犃犅1 ∩ 犃1犅 =犗,连接犈犉,犈犗. 因为犈犉 =犅1犗,且犈犉 ∥犅1犗,所以四边形犈犉犅1犗 是平行四 边形,因此犅1犉 ∥犗犈. ……3分 又犅1犉  平面 犃1犅犈,犈犗  平面 犃1犅犈, 所以犅1犉 ∥ 平面 犃1犅犈. ……6分 (2)由(1)知点犉,犅1 到平面 犃1犅犈 的距离相等, ……7分 ∴ 犞三棱锥犉-犃1犅犈 =犞三棱锥犅1-犃1犅犈 =犞三棱锥犈-犃1犅犅1 ……9分 又三棱锥犈-犃1犅犅1 的高犺=2,犛△犃1犅犅1 = 1 2 ×2×2=2, ……10分 ∴ 犞三棱锥犈-犃1犅犅1 = 1 3·犛△犃1犅犅1 ·犺= 1 3 ×2×2= 4 3. ∴ 犞三棱锥犉-犃1犅犈 = 4 3. ……12分 22.解:(1)由狘犆犃狘=3狘犆犅狘,得 (狓+1)2 +狔槡 2 =3 (狓-1)2 +狔槡 2 , 化简得狓2 +狔2 - 5 2狓+1=0,即(狓- 5 4)2 +狔2 = 9 16. ……3分 所以狔2 =- (狓- 5 4)2 + 9 16, 当狓 = 5 4 时,狔2 有最大值9 16,此时点犆 到犃犅 距离最大,为3 4. ……5分 高一数学答案 第3页 (共4页) (2020.1)所以,△犃犅犆 面积的最大值为1 2 ×2× 3 4 = 3 4. ……6分 (2)由狘犆犃狘2 +狘犆犇狘2 =12得[(狓+1)2 +狔2]+ [(狓-1)2 + (狔-2)2]=12 化简得狓2 +狔2 -2狔-3=0,即狓2 + (狔-1)2 =4. ……7分 故点犆 在以 犕(0,1)为圆心,半径为2的圆上; ……8分 结合(1)中(狓- 5 4 )2 +狔2 = 9 16 ,知 点犆 还在以犖(5 4,0)为圆心,半径为3 4 的圆上. 由于狘犕犖狘= (5 4 -0)2 + (0-1)槡 2 = 槡41 4 . ……9分 狘狉1 -狉2狘= 5 4 ,狘狉1 +狉2狘=11 4 , 且5 4 < 槡41 4 <11 4 所以两圆 犕,犖 相交,有2个公共点. ……11分 故存在2个点犆 符合要求. ……12分 高一数学答案 第4页 (共4页) (2020.1)

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