2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题试卷—附答案


    高二数学期末试卷 第 页1 2019——2020 学年度上学期期末考试 高 二 数 学 试 题 本试卷共 4 页,22 小题,全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.本试卷分为试题卷[含选择题和非选择题]和答题卡[含填涂卡和答题框]两大部分。 2.考试在答题前,请先将自己的学校、班级、姓名、考号填在答题卡密封线内指定的地方。 3.选择题的答案选出后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标涂黑。非选择题请在答 题卡指定的地方作答,本试卷上作答无效。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。) 1.已知复数 iiz 21 2  ,则下列结论中正确的是 A. z 的虚部为i B. z 2 C. z 1 i   D. 2z 为纯虚数 2.已知等差数列 na 的首项为 1,且 235 aaa  ,则 3a A.2 B.3 C.4 D.5 3.若直线 l 经过 ))(,1(),1,2( 2 RmmBA  两点,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是 A. 40   B. 24   C. 4 3 2   D.   4 3 4.已知数列 na 为等比数列,则“ na 为递减数列”是“ 21 aa  ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知点 ),(),,( 222111 yxPyxP 满足 7,,,1 21 xx 依次成等差数列, 8,,,1 21 yy 依次成 等比数列,若 21 , PP 两点关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 A. 01 yx B. 01 yx C. 07  yx D. 052  yx高二数学期末试卷 第 页2 6.已知直线 01  kykx 恒过定点 A,且点 A 在直线 )0,0(02  nmnymx 上, 则 mn 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.若双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的渐近 线方程是 A. xy 3 4 B. xy 4 3 C. xy 4 5 D. xy 5 4 8.设等差数列   nn ba , 的前 n 项和分别为 ,, nn TS 若 3 333   n n T S n n ,则使 Zb a n n  的 n 的 个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 9.直线 l 过抛物线 C: xy 22  的焦点 F,且与抛物线 C 交于 A,B 两点,若|BF|=2,则|AF|= A. 5 2 B. 5 12 C. 3 2 D. 3 8 10.已知向量 )sin2,cos2(),sin,(cos   ba  ,若 a 与b  的夹角为 60o,则直线 01sin2cos2   yx 与圆     1sincos 22   yx 的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交但不过圆心 D.相交且过圆心 11.已知椭圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 的长轴端点为 A、B,若椭圆上存在一点 P 使 120APB ,则椭圆离心率的取值范围是 A.       3 6,0 B.       1,3 6 C.       1,3 6 D.       ,3 6 12.已知曲线 C1 的方程为 122  yx ,过平面上一点 P1 作 C1 的两条切线,切点分别为 A1,B1 且满足∠A1P1B1= 60 ,记 P1 的轨迹为 C2,过一点 P2 作 C2 的两条切线,切点分别为 A2,B2 且满足∠A2P2B2= 60 ,记 P2 的轨迹为 C3,按上述规律一直进行下去……,设点 An 与 An+1 之间距离的最小值为 na ,且 nS 为数列       na 1 的前 n 项和,则满足 100 12 nS 的最小的 n 为 A.5 B.6 C.7 D.8高二数学期末试卷 第 页3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把正确答案填写在答题卡中对应的横 线上。) 13.在空间直角坐标系中,已知两点 P(5,1,a )与 Q(5,b ,4)关于坐标平面 xOy 对称, 则  ba ____________. 14.已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 ,28,7 63  SS 则 9S _____________. 15.若圆 922  yx 上恰有3个点到直线l: 0 tyx 的距离为1,则实数 t ___________. 16.已知椭圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 的离心率为 2 2 ,三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆上, 设它的三条边 AB、BC、AC 的中点分别为 D、E、F,且三条边所在直线的斜率分别为 )0(,, 321321 kkkkkk .若直线 OD、OE、OF 的斜率之和为 1 (O 为坐标原点),则  321 111 kkk _________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。) 17.(本小题满分 10 分) 若直线 l 的方程为 )(022 Raayax  . (1)若直线 l 与直线 m: 02  yx 垂直,求实数 a 的值; (2)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 18.(本小题满分 12 分) 已知 nS 为数列 na 的前 n 项和,点列 ))(,(  Nnn Sn n 在直线 xy  上. (1)求数列 na 的通项公式 na ; (2)求数列       1 1 nn aa 的前 n 项和 nT . 19.(本小题满分 12 分) 已知圆 M:     121 22  yx ,直线 l 过原点 O(0,0). (1)若直线 l 与圆 M 相切,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 与圆 M 交于 P,Q 两点,当△MPQ 的面积最大时,求直线 l 的方程.高二数学期末试卷 第 页4 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: )0(12 2 2 2  bab y a x 的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为 4 1 . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若直线 )1(2 1  xy 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,若△AOB 的面积为 4 7 (O 为坐 标原点),求椭圆 C 的标准方程. 21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: )0(22  ppyx 的焦点为 F,准线 l 与 y 轴的交点为 M,动点 A 在抛物 线 C 上,当 AF 与 y 轴垂直时, 2AF . (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 AF 与抛物线 C 交于另一点 B,证明: BMFAMF  . 22.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 na 满足 28543  aaa ,且 24 a 是 53 , aa 的等差中项;数列 nb 满 足 11 b ,数列 nnn abb )( 1  的前 n 项和为 nn 22  . (1)求数列 na 公比 q 的值; (2)若数列 na 的公比 1q ,求数列 nb 的通项公式.高二年级上学期期末考试数学参考答案 13. 3 14. 91 15. 22 16. 2 17. 解析: (1)∵直线 l 与直线 m:2x-y=0 垂直, ∴2a-2=0,解得 a=1. ………………………4 分 (2)当 a=0 时,直线 l 化为:y=1.不满足题意 ……………5 分 当 a≠0 时,可得直线 l 与坐标轴的交点为 (0, a+2 2 ),( a+2 a ,0). ………………7 分 ∵直线 l 在两轴上的截距相等,∴ a+2 2 = a+2 a , 解得:a=±2. ∴该直线的方程为:x-y=0,x+y-2=0 ………………10 分 18. 解析: (1)依题意有 Sn n =n,即 Sn=n2 当 n=1 时,a1=S1=1 ……………………3 分 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1 又 n=1 时时上式也成立 ∴an=2n-1 ……………………6 分 (2) 1 anan+1 = 1 2n − 1 (2n+1) = 1 2 ( 1 2n − 1 − 1 2n+1 ) ………………9 分 ∴Tn= 1 2 [(1− 1 3 )+( 1 3 − 1 5 )+……+( 1 2n − 1 − 1 2n+1 )] = 1 2 ( 1 − 1 2n+1 )= n 2n+1 ………………………………12 分 19. 解析: (1)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=0, 此时直线 l 与圆 M 相切, ∴x=0 符合题意; ……………………2 分 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的斜率为 k, 则直线 l 方程为 y=kx,即 kx-y=0. 则 1 1 2 2    k k ,解得 k= 4 3 , 即直线 l 的方程为 x=0 或 3x+4y=0;…………………6 分 (2)∵直线 l 与圆 M 交于 P,Q 两点,∴直线 l 的斜率存在, 设直线方程为 y=kx,圆心到直线 l 的距离为 d, 由于 PMQPMQMQMPS MPQ  sin2 1sin2 1 ∴ 90,1sin  PMQPMQ 即取最大值当 时△MPQ 的面积最大 此时△MPQ 为等腰直角三角形 2 2d ……………9 分 ∴ 2 2 1 2 2    k k , 解得 k=-1 或 k=−7. 故直线 l 的方程为:x+y=0 或 7x+y=0. ……………12 分 20. 解析: (1)由题,椭圆上顶点的坐标为(0,b) 左右顶点的坐标分别为(-a,0)、(a,0), ∴ 4 1     a b a b 即 a2=4b2, 则 a=2b, 又 a2=b2+c2,∴c= 3 b, 所以椭圆的离心率 2 3 a ce ; …………………5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B A C A A C C D B D(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 x2 4b2 + y2 b2 = 1 y = 1 2 (x + 1) 得:2x2+2x+1-4b2=0, ∴x1+x2=-1,x1x2= 1 − 4b2 2 , …………………7 分 ∴|AB|= (x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 = 5 2 (x1 + x2) 2 − 4x1x2 = 5 2 8b 2 − 1 ………………9 分 又原点 O 到直线的距离 d= 1 5 ∴ 1 2 •|AB|•d= 4 7 解得 8b 2 − 1 = 7 , ∴b2= 1 ,则 a2= 4 ∴ 椭圆 C 的方程为 14 2 2  yx .……………………12 分 21. 解析: (1)抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F(0, P 2 ), 当 AF 与 y 轴垂直时,易得 A(  p, P 2 ) 即 2 pAF 则抛物线方程为 x2=4y; …………………5 分 (2)由题意可得 F( 0 ,1),M( 0 ,-1), 设点 A( 4, 2 1 1 xx ),B( 4, 2 2 2 xx ), 设直线 AB:y=kx+ 1 ,代入抛物线方程 x2=4y, 可得 x2-4kx-4=0, ∴ kxx 421  , 421 xx ………………………8 分 04 )4)((1414 21 2121 2 2 2 1 2 1      xx xxxx x x x x kk BMAM 因此可得 BMFAMF  ………………………12 分 22. 解析: (1)由题可得 2a4+4=a3+a5=28-a4, 解得 a4=8, 所以 8 q +8+8q=28, 解得 q= 1 2 或 2 …………………4 分 (2)由于 ,1q 则 2q , 12  n na 设 cn=(bn+1-bn)an=(bn+1-bn)2n-1, 可得 n=1 时,c1=1+2=3, n≥2 时,可得 cn=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1, 上式对 n=1 也成立, 则(bn+1-bn)an=2n+1, 即有 bn+1-bn=(2n+1)•( 1 2 )n-1, …………………7 分 则当 n≥2 时, bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1) =1+3•( 1 2 )0+5•( 1 2 )1+…+(2n-1)•( 1 2 )n-2, 1 2 bn= 1 2 +3•( 1 2 )1+5•( 1 2 )2+…+(2n-1)•( 1 2 )n-1, 两式相减可得 1 2 bn= 7 2 +2[( 1 2 )+( 1 2 )2+…+( 1 2 )n-2]-(2n-1)•( 1 2 )n-1 = 7 2 + 2 11 )2 1(12 1 2 2       n -(2n-1)•( 1 2 )n-1, 化简可得 bn=11-(2n+3)•( 1 2 )n-2(b1 也符合).…………12 分

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