2019-2020学年高一上学期期末模拟(二)数学试卷—含答案


    第 1 页,共 13 页 一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. 已知集合 ൌ 1 2, 3 , ൌ ሼሼ ⛰ ,则 ൌ ༵A. --1 1,2, 3 B. --1 1, C. 13 D. 1 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查交集的求法,是基础题,解题时注意交集定义的合理运用. 先求出集合 A 和 B,由此利用交集的定义能求出 的值. 【解答】 解: 集合 ൌ 1 2, 3 , ൌ ሼሼ ⛰ൌሼ3ሼ3 , ൌ 1 . 故选 D. . ݅1݋1 ݋1݅1 ൌ ༵A. 3 B. 1 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了两角和与差的三角函数公式,属于基础题. 利用两角和的正弦函数公式计算得结论. 【解答】 解: ݅1݋1 ݋1݅1 ൌ sin༵1 1 ൌ ݅3 ൌ 1 , 故选 D. 3. 函数 ൌ sin༵ሼ 3 的图象经过下列平移,所得图象对应的函数为偶函数的是 ༵A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 1 个单位 D. 向右平移 1 个单位 【答案】C 【解析】解:函数 ൌ sin༵ሼ 3 ,设平移 个单位后,函数为偶函数,即 sin༵ሼ 3 为偶函数, 那么: 3 ൌ , . 解得: ൌ 1 .第 页,共 13 页 当 ൌ 时,可得 ൌ 1 . 向左平移 1 个单位. 故选:C. 利用函数 ൌ ༵݅ሼ 的图象变换规律,可得结论. 本题主要考查函数 ൌ ༵݅ሼ 的图象变换规律,属于基础题. 4. 3tan1 1 3tan1 ൌ ༵ A. 0 B. ൌ 1 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查两角差的正切公式,熟练公式式解题的关键. 【解答】 解:原式 ൌ ܽܽ1 1ܽܽ1 ൌ tan༵ 1 ൌ ܽܽ ൌ 1 , 故选 B. 5. 已知函数 ༵ሼ 为定义在 上的偶函数,且当 ሼ ➐ 时, ሼ ൌ lgሼ , 函数 ሼ ൌ sinሼ ,则函数 ༵ሼ 与 ༵ሼ 的交点个数为 ༵ A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查函数的奇偶性,函数的零点与方程的根的关系,属于中档题. 【解答】 解:由题意 ሼ 与 ሼ 都是偶函数, ሼ 是周期为 的周期函数, ሼ ➐ 时, ሼ ൌ ⸶ሼ 是增函数, ,在 上有两个交点, ,在 上有两个交点, ,在 上无交点,在 上有一个交点,因此在 R 上它们有 10 个交 点. 故选 C. 6. 已知幂函数 ༵ሼ ൌ ༵ 1ሼ 的图象过点 ༵ ,设 ܽ ൌ ༵ , ൌ ༵ , ൌ ༵⸶ ,则 ༵ A.B.C.D. 【答案】A 【解析】解: 幂函数 ༵ሼ ൌ ༵ 1ሼ 的图象过点 ༵ , 1 ൌ 1 ൌ ,解得 ൌ , ൌ 3 ,第 3 页,共 13 页 ༵ሼ ൌ ሼ 3 , ༵ሼ 在 ༵ 是增函数, ln 3 1 , ༵ ➐ ༵ 3 ➐ ༵ln 3 , ܽ ➐ ➐ ,即 ܽ . 故选:A. 由幂函数 ༵ሼ ൌ ༵ 1ሼ 的图象过点 ༵ ,列方程组求出 ൌ , ൌ 3 ,从而 ༵ሼ ൌ ሼ 3 ,可得 ༵ሼ 在 ༵ 是增函数,即可比较 a,b,c 的大小. 本题考查三个数的大小的比较,考查幂函数的图象与性质,对数函数的单调性等基础知 识,考查运算求解能力,是基础题. 7. 已知 ܽ ൌ .3 .ܽ ൌ . .ܽ ൌ log.3 ,则 a,b,c 的大小关系是 ༵ A. ܽ ➐ ➐ B. ➐ ܽ ➐ C. ܽ ➐ ➐ D. ➐ ➐ ܽ 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查幂函数及对数函数的性质,由幂函数的性质得 a,b 的大小,由对数函数的性 质得 c 的范围即可求解. 【解答】 解: 因为函数 ൌ ሼ .ܽ 在第一象限递增, 所以 ܽ , 又 ൌ log.3 , 所以 ➐ ܽ ➐ . 故选 B. 8. 函数 ൌ 1 ሼ ݅ሼ ሼ 的部分图象大致为 ༵第 ܽ 页,共 13 页 A.B. C.D. 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查函数的图象的判断,利用函数的奇偶性以及特殊点即可得解,属于一般题. 通过函数的解析式,利用函数的奇偶性的性质,函数的图象经过的特殊点判断函数的图 象即可. 【解答】 解:函数 ൌ 1 ሼ ݅ሼ ሼ ,可知: ༵ሼ ൌ ሼ ݅ሼ ሼ 是奇函数,所以函数 ༵ሼ 的图象关于 原点对称, 则函数 ൌ 1 ሼ ݅ሼ ሼ 的图象关于 ༵1 对称,排除 B. 当 ሼ ൌ 1 时, ,排除 A、C. 故选 D. 9. 已知函数 ༵ሼ ൌ ሼ ܽሼሼ ⸶݋ሼ ܽሼ ➐ 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ༵A. 1 B. ༵1 C. ༵1 D. ༵ 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查分段函数的零点问题解法,注意运用定义法和函数的单调性,考查方程思想, 运算求解能力,属于中档题. 由分段函数,分别判断 ሼ ➐ 时, ሼ 时, ༵ሼ 的单调性,可得恰有一个零点,由对 数函数的单调性,即可得到 a 的范围. 【解答】第 页,共 13 页 解:由函数 ༵ሼ ൌ ሼ ܽሼሼ ⸶݋ሼ ܽሼ ➐ , 可得 ሼ ➐ 时, ༵ሼ ൌ logሼ ܽ 递增, ༵ሼ 最多一个零点; ሼ 时, ༵ሼ ൌ ሼ ܽሼ ൌ ༵ሼ ܽ ,为增函数, ༵ሼ 最多一个零点. 当 ሼ ➐ 时, ༵ሼ ൌ ,即有 ܽ ൌ logሼ ,由 ሼ ➐ ,可得 ܽ ➐ 1 . 当 ሼ 时, ༵ሼ ൌ ,可得 ሼ ൌ 或 ༵ܽ 舍去 , 则实数 a 的取值范围是 ༵1 . 故选 C. 10. 若函数 ༵ሼ ൌ logܽሼ ሼ ༵ܽ ➐ ܽ 1 的两个零点是 m,n,则 ༵A. mnൌ1 B. mn➐1 C. mn1 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】解:令 ༵ሼ ൌ 得 logܽሼ ൌ 1 ሼ , 则 ൌ logܽሼ 与 ൌ 1 ሼ 的图象有 2 个交点, 不妨设 , ܽ ➐ 1 , 作出两个函数的图象如图: 1 ➐ 1 ,即 logܽ ➐ logܽ , logܽ logܽ ,即 log༵ܽ , 1 . 故选:C. 结合图象得出 logܽ 和 logܽ 的大小关系,利用对数的运算性质化简即可得出答案. 本题考查了基本初等函数的图象与性质,对数的运算性质,属于中档题. 11. 已知 为第二象限角, ݅ ݋ ൌ 3 3 ,则 ݋ ൌ ༵A. 3 B. ⛰ C. ⛰ D. 3【答案】A 【解析】【分析】 本题考查同角三角函数间的基本关系,突出二倍角的正弦与余弦的应用,求得 ݅ 第 页,共 13 页 ݋ ൌ 1 3 是关键,属于中档题. 由 为第二象限角,可知 ݅ ➐ , ݋ ,从而可求得 ݅ ݋ ൌ 1 3 ,利用 ݋ ൌ ༵݅ ݋༵݅ ݋ 可求得 ݋ 【解答】 解: ݅݋ ൌ 3 3 ,两边平方得: 1 ݅ ൌ 1 3 , ݅ ൌ 3 , ༵݅ ݋ ൌ 1 ݅ ൌ 3 , 为第二象限角, ݅ ➐ , ݋ , ݅ ݋ ൌ 1 3 , ݋ ൌ ༵݅ ݋༵݅ ݋ ൌ ༵ 1 3 3 3 ൌ 3 . 故选 A. 12. 已知函数 ༵ሼൌ݋ሼ ⋅ ݅ሼ ,给出下列四个说法: ; 函数 ༵ሼ 的周期为 ; ③ ༵ሼ 在区间 - ܽ ܽ 上单调递增; ④ ༵ሼ 的图象关于点 ༵- 中心对称. 其中正确说法的序号是 ༵ A. ②③ B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查了三角函数的单调性、奇偶性和周期性,对称性的综合应用问题,是综合 题,属于较难题. 由已知 计算 ༵ 1ܽ 3 的值即可; 计算 ༵ ܽ 与 ༵ ܽ 的值,由 ༵ ܽ ༵ ܽ 判断 错误; ሼ ܽ ܽ 时 ༵ሼ ൌ 1 ݅ሼ , ༵ሼ 是单调增函数; 计算 ༵ ܽ 与 ༵ 3 ܽ 的值,由 ༵ ܽ ༵ 3 ܽ ,判断 错误,即可得结果. 【解答】第 7 页,共 13 页 解:对于 , ༵ 1ܽ 3 ൌ ༵71 3 ൌ cos 3 sin 3 ൌ 3 ܽ ,正确; 对于 ,因为 ༵ ܽ ൌ cos ܽ sin ܽ ൌ 1 , ༵ ܽ ൌ cos ܽ sin ܽ ൌ 1 , ༵ ܽ ༵ ܽ ,错误; 对于 ,当 ሼ ܽ ܽ 时, ༵ሼ ൌ ݋ሼ ݅ሼ ൌ 1 ݅ሼ , ༵ሼ 在区间 ܽ ܽ 上单调递增,正确; 对于 , ༵ ܽ ൌ cos ܽ sin ܽ ൌ 1 , ༵ 3 ܽ ൌ cos ܽ sin ܽ ൌ 1 , 则 ༵ ܽ ༵ 3 ܽ , 所以 ༵ሼ 的图象不关于点 ༵ 中心对称,错误; 综上,正确的命题序号是 . 故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13. 已知 ݅݋ sincos ൌ 1 ,则 ܽ ൌ ______. 【答案】 1 【解析】解: ݅݋ sincos ൌ 1 , 可得: ܽ tan1 ൌ 1 , 解得 ܽ ൌ 1 . 故答案为: 1 ; 利用同角三角函数基本关系式,化简表达式为正切函数的形式,然后求解即可. 本题考查同角三角函数基本关系式的应用,三角函数化简求值,考查计算能力. 14. 函数 ൌ log༵1 ሼ 的单调减区间为________. 【答案】 ༵ 1 【解析】【分析】 主要考查了复合函数的单调区间,以及对数函数的性质问题. 【解答】 解:令 ൌ 1 ሼ , ➐ ,得 ሼ 1 .第 页,共 13 页 t 在 ༵ 1 上是减函数, 根据复合函数的单调性可知: 函数 ༵ሼ 的单调递减区间为 ༵ 1 . 故答案为 ༵ 1 . 15. 已知 ༵ሼ 3 ൌ ሼ ሼ 1 ,求 ༵ሼ ൌ ______. 【答案】 1 ܽ ሼ ሼ 1⛰ ܽ【解析】解: ༵ሼ 3 ൌ ሼ ሼ 1 , 设 ൌ ሼ 3 ,则 ሼ ൌ 1 ༵ 3 , 那么:函数 ༵ሼ 3 ൌ ሼ ሼ 1 转化为 ༵ ൌ 1 ܽ ༵ 3 1 ༵ 3 1整理得: ༵ ൌ 1 ܽ 1⛰ ܽ , 故得 ༵ሼ ൌ 1 ܽ ሼ ሼ 1⛰ ܽ , 故答案为: ༵ሼ ൌ 1 ܽ ሼ ሼ 1⛰ ܽ . 利用换元法求解即可. 本题考查了函数解析式的求法,利用了换元法,属于基础题. 16. 下列说法: 正切函数 ൌ tanሼ 在定义域内为增函数; 函数 ༵ሼ ൌ cos༵ 3 ሼ 是奇函数; ሼ ൌ 是函数 ༵ሼ ൌ sin༵ሼ ܽ 的一条对称轴方程; 扇形的周长为 8cm,面积为 ܽ ,则扇形的圆心角为 2rad; 若 是第三象限角,则 sin sin cos cos 取值的集合为 . 其中正确的是_____________ .༵ 写出所有正确答案的序号 【答案】 【解析】【分析】 本题考查命题的真假判断与应用,考查了 ൌ ༵݅ሼ 型函数的图象和性质,是中 档题. 【解答】 解:对于 ,函数 ൌ ܽሼ 在定义域内不是单调函数,故 错误;第 ⛰ 页,共 13 页 对于 ,函数 ༵ሼ ൌ cos༵ 3 ሼ ൌ sin 3 ሼ ,函数 ༵ሼ 是奇函数,故 正确; 对于 ,把 ሼ ൌ 代入函数 ሼ ൌ sin ሼ ܽ ,得到: ൌ 1 ,故 正确; 对于 ,设扇形的弧长为:l 半径为 r,所以 o ⸶ ൌ , 1 ⸶ o ൌ ܽ ,所以 ⸶ ൌ ܽ , o ൌ , 所以扇形的圆心角的弧度数是: ܽ ൌ ,故 正确; 对于 ,角 的终边在第三象限,则 3 ܽ , 当 在第二象限时,则 sin sin cos cos ൌ , 当 在第四象限时,则 sin sin cos cos ൌ , 故 不正确, 综上所述, 正确, 故答案为 . 三、解答题(本大题共 7 小题,共 70.0 分) 17. 已知函数 ༵ሼ ൌ ሼ 3 1 7ሼ 的定义域为集合 A, ൌሼሼ1 , ൌ ሼܽ ሼ ܽ 1 . ༵1 求 , ༵ ༵ 若 ൌ ,求实数 a 的取值范围. 【答案】解 ༵1ൌ ሼ3 ሼ 7 , ൌሼሼ1 ; ༵ൌሼሼ3 或 7 ሼ 1༵ܽ 分 ༵ 当 ൌ 时, ܽ ܽ 1 , ܽ 1当 时, ܽ ܽ 1 ܽ ܽ 1 1 , ܽ ⛰ 即 ܽ 1 或 ܽ ⛰ ༵ 分 【解析】 ༵1 先求出集合 A,再求 , ༵ 即可; ༵ 分 ൌ 和 两类情况来解. 本题主要考查集合的子交并补集的运算,属于基础题. 18. 计算:(1) ܽ 1 3 3 lg 1 1 3 ⸶݋3 .第 1 页,共 13 页 【答案】解: ܽ 1 3 3 lg 1 1 3 ⸶݋3 ൌ 1 3 ༵ ൌ ܽ ܽ ൌ . 【解析】利用指数、对数性质、运算法则直接求解. 本题考查对数式、指数式化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意指数、对数性 质、运算法则的合理运用. (2)已知 ܽሼ ൌ ,求 cos༵ ሼ3sin༵ሼ ܽsin༵ሼ⛰cos༵ሼ 的值. 【答案】解:由 ܽሼ ൌ ,则 ݋ ሼ 3݅ ሼ ܽ݅ ሼ ⛰݋ ሼ ൌ ݅ሼ3݅ ሼ ܽ݅ሼ ⛰݋ሼ ൌ ݅ሼ 3݋ሼ ܽ݅ሼ ⛰݋ሼ ൌ ܽሼ 3 ܽܽሼ ⛰ ൌ 3 ܽ ⛰ ൌ 1 . 【解析】本题考查诱导公式及运用,考查同角三角函数的基本关系式,考查运算能力, 属于基础题. 运用诱导公式和同角的商数关系先化简再代入求值. 19. 已知函数 ༵ሼൌ ༵݅ሼ༵ ➐ ➐ 的图象如图所示. ༵1 求 A, , 的值; ༵ 若 ሼ 1 ,求 ༵ሼ 的值域. 【答案】解: ༵1 设函数 ༵ሼ 的最小正周期为 T,由图象知: ൌ , 1 ܽ ൌ ༵ 1 ൌ ܽ , 所以周期 ൌ ,从而 ൌ ൌ .第 11 页,共 13 页 因为函数图象过点 ༵ 1 ,所以 sin༵ ൌ 1 . 因为 ,所以 , 所以 ൌ ,解得 ൌ 3 . 因此 ൌ , ൌ , ൌ 3 . ༵ 由 ༵1 知 ༵ሼ ൌ ༵݅ሼ 3 .因为 ሼ 1 ,所以 3 ሼ 3 , 所以 3 sin༵ሼ 3 1 , 从而函数 ༵ሼ 的值域为 3 . 【解析】本题主要考查由函数 ൌ ༵݅ሼ 的部分图象求解析式,由函数的图象的 顶点坐标求出 A,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值,正弦函数的定义域和值域, 属于中档题. ༵1 由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ,由五点法作图求出 的值. ༵ 由题意利用正弦函数的定义域和值域,求得 ༵ሼ 的值域. 20. 某企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比, 其关系如图 ;B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 .༵ 注:利 润和投资单位:万元 ༵1 分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式; ༵ 已知该企业已筹集到 18 万元资金,并将全部投入 A,B 两种产品的生产,怎样 分配这 18 万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】解: ༵1 根据题意可设 ༵ሼ ൌ ሼ , ༵ሼ ൌ ሼ . 则 ༵ሼ ൌ .ሼ༵ሼ , ༵ሼ ൌ ሼ༵ሼ . ༵ 设 B 产品投入 x 万元,A 产品投入 ༵1 ሼ 万元,该企业可获总利润为 y 万元. 则 ൌ 1 ܽ ༵1 ሼ ሼ , ሼ 1 , 令 ሼ ൌ , 3 , 则 ൌ 1 ܽ ༵ 1 ൌ 1 ܽ ༵ ܽ 17 . 所以当 ൌ ܽ 时, ܽሼ ൌ 17 ൌ . , 此时 ሼ ൌ 1 , 1 ሼ ൌ .第 1 页,共 13 页 所以当 A,B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使该企业获得最大利润,约为 . 万元. 【解析】 ༵1 根据题意可设 ༵ሼ ൌ ሼ , ༵ሼ ൌ ሼ ,代值即可求出相对应的参数,即可 得到函数的解析式, ༵ 设投入 B 产品 x 万元,则投入 A 产品 ༵1 ሼ 万元,利润为 y 万元.则 ൌ 1 ܽ ༵1 ሼ ሼ , ሼ 1 ,利用二次函数的性质即可求出. 本题考查的知识点是函数的选择与应用,函数的最值,难度不大,属于中档题. 21. 已知 ༵ሼ ൌ sinሼcosሼ 3cos ሼ 3 ༵1 求函数 ༵ሼ 的对称轴方程; ༵ 求函数 ༵ሼ 在 上的单调递增区间. 【答案】解: ༵1༵ሼ ൌ 1 sinሼ 3༵1cosሼ 3 ൌ 1 sinሼ 3 cosሼ ൌ sin༵ሼ 3 . 由 ሼ 3 ൌ 得 ሼ ൌ 1 ༵ 所以函数 ༵ሼ 的对称轴方程为 ሼ ൌ 1 ༵ ༵ 由 ሼ 3 得: 1 ሼ 1 ༵ 所以函数 ༵ሼ 在 上的单调递增区间为 1 和 7 1 . 【解析】本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题,是基础题. ༵1 化函数 ༵ሼ 为正弦型函数,再求它的对称轴方程; ༵ 根据正弦函数的单调性,求出 ༵ሼ 的单调递增区间,再与 取交集. 22. 已知 ༵ሼ ൌ ሼܽ ሼ ሼ1 是定义在 11 上的奇函数. ༵1 求 ༵ሼ 的解析式;第 13 页,共 13 页 ༵ 判断并证明 ༵ሼ 的单调性; ༵3 解不等式: ༵ሼ༵1ሼ . 【答案】解: ༵1 ༵ሼ ൌ ሼܽ ሼ ሼ1 是定义在 11 上的奇函数, ༵ ൌ ,即 ܽ 1 ൌ , ܽ ൌ . 又 ༵1ൌ༵1 , 1 ൌ 1 , ൌ , ༵ሼ ൌ ሼ ሼ 1 ༵ 函数 ༵ሼ 在 11 上为增函数. 证明如下, 任取 1 ሼ1 ሼ 1 , 1 ሼ1 ሼ 1 , 1 ሼ1ሼ 1 , 1 ሼ1ሼ ➐ . ༵ሼ1 ༵ሼ ൌ ሼ1 ሼ1 1 ሼ ሼ 1 , ൌ ༵ሼ1ሼ༵1ሼ1ሼ ༵ሼ1 1༵ሼ 1 , ༵ሼ1 ༵ሼ , ༵ሼ 为 11 上的增函数 ༵3 ༵ሼ༵1ሼ , 即 ༵ሼ ༵1ሼ , 1 ሼ 1 1 1 ሼ 1 ሼ 1 ሼ , 解得 ሼ 1 , 不等式解集为: ሼ ሼ 1 .【解析】本题考查奇函数的性质的应用,以及函数单调性的判断与证明,解题的关键是 掌握函数单调性的定义证明步骤:取值,作差,变形,定号下结论. ༵1 根据奇函数的性质 ༵ሼ ൌ༵ሼ ,列出方程求出 a、b 的值,代入解析式; ༵ 先判断出函数是增函数,再利用函数单调性的定义证明:取值,作差,变形,定号 下结论 ༵3 根据函数的单调性即可得到关于 x 的不等式组,解得即可.

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