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理科数学()


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合 2{ | ln( 1) 1} { | 2 3}Axx B y y x x    AB 
A ( 1e 1) 

B [0e 1)

C ( 13)

D 
2．已知复数 z 满足| 1 i | 1z    | |z 值
A 1

B 2

C 2 1

D 2 1
3．已知 oooo(cos71 sin 71 ) (2cos19 2sin19 )AB  ||AB 
A 2

B 2

C 5

D 5

4．已知()x y 满足条件
22
2 0
44 0
x y
x y
x y
 
   
   
3 2x y 值
A 1

B 2

C 3

D 6
5．已知等差数列{}na 前 n 项 nS 3101 30aS   8a 
A 7

B 6

C 5

D 9

6．二项式 3
1(2 )
2
nx  展开式中理项11项 n 值
A 26

B 30
C 32

D 35
7． ABC 水直观图 ABC   图示已知
oo1 30 90ABACBABC      边 AB 长
A 1

B 2
C 2 2

D 3

8．函数 ()f x 定义(1 ) 单调递减函数函数 (log 1)afx  1 1()3 2
单调递增实
数 a 取值范围
A 2[1)2
B 3 2[]3 2
C 2[)2 

D 3[ 1)3 — 高三理科数学()第 2 页( 4 页) —
9．已知某算法框图图示输出结果应
A 10

B 20
C 11

D 21

10．双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b   右焦点 ( 0)F c 作中
条渐线垂线 (FP P 垂足）条渐线交点
Q ( F 线段 PQ )| |2| |FQ FP 双曲线离心率
A 3

B 2

C 13
3
D 2 3
3
11．已知O ABC 外心 2
AO BC BC    ABC
A 锐角

B 直角

C 钝角

D 确定

12．已知正四面体 A BCD 棱长 6 2 M N 分 AC AD 点 MN 作面
AB CD 均 行 AB CD  距离分 24 正四面体 A BCD 外接球
 截圆面积
A 11π

B 18π

C 26π

D 27π

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分

13．已知组鞋码身高数（ x 表示鞋码 ( )y cm 表示身高）中 360m n 
x 40 41 42 43 44
y 172 175 m n 183
数计算回直线  225y x a  估计鞋码38时身高约_________．
14．已知数列{ }na 前 n 项 nS 1 ( 1)n
n na a n   17 70S  2019a  _________．
15．ABC 中角 ABC 应边分 ( )abcb c BC 边高等 3
2
a b c
c b
时 abc  _________．
16．意 ( 1 )x  等式 (e )(ln( 1) ) 0x a x b  恒成立 a b 取值范围
_________． — 高三理科数学()第 3 页( 4 页) —
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）已知等数列{ }na 首项 1 1a  前 n 项 nS设 1n nb S  数
列{ }nb 等数列
（Ⅰ）求{ }na { }nb 通项公式
（Ⅱ）数列 2{ log }n na b 前 n 项 nT求证： n n nT S nb 





18 ．（ 题 满 分 12 分 ） 已 知 四 棱 柱 ABCD ABCD 中 底 面 ABCD 菱 形
o2 4 60AB AA BAD   E BC 中点C 面 ABCD 投影 H 直线 AE DC
交点
（Ⅰ）求证： BD AH
（Ⅱ）求二面角 D BB C   正弦值



















19．（题满分 12 分）2019 年 10 月 1 日庆祝新中国成立 70 周年阅兵北京举行陆军海
军空军火箭军战略支援部队部分新型武器装备受阅观阅兵某校军事兴趣组决定首
次亮相武器装备做更加深入解完善兴趣组文档资料军事兴趣组 6 分成两
组（第组研究 15 式战坦克轰6N 新型战略轰炸机直20 直升机第二组研究东
风17 常规导弹长剑100 巡航导弹东风41 核导弹）中第组 ABC 三位学分 15
式战坦克轰6N 新型战略轰炸机直20 直升机特感兴趣第二组 DEF 三位学分
东风17 常规导弹长剑100 巡航导弹东风41 核导弹特感兴趣现两组学机
分配（选项重复）设两组中调查装备恰特感兴趣学数分
X Y
（Ⅰ）求 X Y 概率
（Ⅱ）设 Z X Y  求机变量 Z 分布列数学期





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20．（题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x yE a ba b   左右焦点分 1( 0)F c
2 ( 0)F c
（Ⅰ）原点作斜率 3 直线l 交椭圆 P Q o
2 90PF Q  求椭圆离心率
（Ⅱ）设 1b  点 (10)N 作两条相互垂直直线 1 2l l 已知 1l 交 E A B 两点 2l 圆
2 2 1x y  交点 M ABM 面积时直线 AB x 轴垂直求 a 取值范围




21．（题满分 12 分）已知函数 π()e(sin cos) ( π)2
xf x x x ax x    两极值点
1 2x x
（Ⅰ）求实数 a 取值范围
（Ⅱ）设 () ()gx fx 求证： 1 20 ( ) 2
x xg a 



（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．

22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中圆C 参数方程
2cos (2 2sin
x
y
 

  
参数)O 极点 x 轴非负半
轴极轴建立极坐标系
（Ⅰ）求圆C 极坐标方程
（Ⅱ）已知直线极坐标方程 1
π cos( ) 33l     直线 2
π 3l   圆C 交点 O P
直线 1l 交点Q求线段 PQ 长度



23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 ( ) | 2 | | 4 | fxx x  
（Ⅰ）设等式 ( ) 4f x  解集 M求 M
（Ⅱ）求证： a M 时等式 2 2 2 | 5 | 8a a a  恒成立


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理科数学()
．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C C A C D A B D C C

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13．169 14．3 15．1 3 1 16． [1 )
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．解析（Ⅰ）设{}na 公 q 2
1232 2 2bb q b q q     
222( 2) ( 2)qq q    解 2q  12 2 1 2 nnn
nnnaSb  
（Ⅱ） 1
2log 2n
nnab n   0122112 2232 ( 1)2 2nn
nTnn 
1231212 22 32 ( 1)2 2nn
nTnn  两式相减：
21(1 2 2 2 ) 22nnn
nnnnTnnS nb S        nnnT S nb 
18．解析（Ⅰ）证明：CH  面 ABCD C H BD 
BD A C  BD  面 ACHBDAH  
（Ⅱ）取 AB 中点 M CD DM
D 原点分 DM DC x y 轴
D 行CH 直线 z 轴建立
空间直角坐标系 ＇CC H 中
＇C H CH 4 2CC AA CH
2 3CH 
(000) ( 3 10) ( 310) (020) (042 3)DABCC
(020) (0 2 2 3)ABDC D   (310) ( 332 3)CBCB B     
( 310) (022 3) ( 310)DBBB BC     — 高三理科数学()第 6 页( 4 页) —
设 1 1 1 1( )n xyz 面 BB D  法量
1 11 1 1
1 11 1 1
0 3 0
30 2 2 3 0
x znDB xy
y znBB y z
           
 
  令 1 1z  1 (1 31)n  
设 2 2 2 2( )n xyz 面 BB D  法量
2 21 2 2
2 21 2 2
0 3 0
30 2 2 3 0
x znBC xy
y znBB y z
         
 
  令 2 1z  2 ( 1 31)n  
1 2
1 2 1 2
1 2
3 4cos sin 5 5| || |
n nn n n n
n n
   

    
  二面角 ＇ ＇D BB C  正弦值 45
19．解析
（Ⅰ）
1 1
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2 2 1 1 1 1( 0) ( 1) ( 3)9 4 36
C CPXY PXY PXYAA AA AA
       
1 1 1 7()9 4 36 18PX Y  
（Ⅱ） 013X Y  3 3
3 3
2 1 3 1( 0) ( 0) ( 1) ( 1)3 2PX PY PX PYA A   
3
3
1 1( 3) ( 3) 6PX PY A  
1 1 1 1( 0) ( 0) ( 1) ( 0 1) ( 1 0) 23 3 6 3PZ PXY PZ PXY PXY     
1 1 1 1( 2) ( 1) ( 3) ( 0 3) ( 3 0) 22 2 3 6PZ PXY PZ PXY PXY      
1 1( 4) ( 1 3) ( 3 1) 2 2 6PZ PX Y PX Y     1 1( 6) ( 3) 6 6PZ PXY 
1 1 1 1 1 10 1 2 3 4 6 29 3 4 9 6 36EZ  
20．解析（Ⅰ）连接 1PF称性 o
1 2 90FPF  o
2 60POF 
1 2 1 23 2 ( 3 1) e 3 1cPF cPFc aPFPF c a  
（Ⅱ）设直线 1AB x my  直线 1 1MNx ym  设 1 1 2 2( )( )Axy Bx y
直 线 AB 椭 圆 方 程 联 立 消 x 2 2 2 2( ) 2 1 0m a y my a   — 高三理科数学()第 7 页( 4 页) —
2
1 2 1 22 2 2 2
2 1m ayy yym a m a
  

2 2
2
1 2 1 2 1 2 2 2
2 1| | ( ) 4 a m ayy yy yy m a
    


2 2 2
2
1 2 2 2
2 1 1| | | | 1 ama mAByy m m a
    
直线 MN 2 2 1x y  联立消 x
2
2
2
1 2 0m y ym m
   解 2
2
1M
my m 

2 2
1 2| | | | 1
1M NMN y y m m
 


2 2
2 2
1 2 1| || |2ABM
a m aS AB MN m a
    

令 2 2 1t m a  2
2
2 2 ( 1)11ABM
at aS t at t t
    

20 1 1a  1 2a  时 ABMS 值 2
12
a a
t t


（ 仅 1t 
22m a  时取）
2 1 1a   2a  时 ABMS 关 t 单 调 递 增 时 ABMS 值
2
2
2
2 2 1
11
1
a a
aa
a

 

（仅 2 1t a  0m  时取）（合题意）
综 ABM 面积时直线 AB x 轴垂直 a 取值范围(1 2)
21．解析（Ⅰ）已知 ( ) ( ) 2e sinxg x f x x a   1 2x x ( )g x π( π)2
两
零点 π( ) 2e (sin cos ) 2 2e sin( )4
x xgx xx x    π 3π( )2 4x  时 ( ) 0g x 
3π( π)4x 时 ( ) 0g x  π 3π( )2 4x  时 ( )g x 单调递增 3π( π)4x 时 ( )g x 单调递减
( )g x π( π)2x 两 实 根 时 π 3π( ) 0 (π) 0 ( ) 02 4g g g   解
π 3π
2 42e 2e a  — 高三理科数学()第 8 页( 4 页) —
（Ⅱ）妨假设 1 2x x 1 2
π 3π π2 4x x  π() 2 2esin( )4
xgx x   π( π)2
单调
递减 1 2 1 23π π 3π( )0 ()2 4 2 2 4
xx xxg g    
1 2 2 1 2 1 1 1
3π 3π 3π 3π 3ππ ()( ) ()( )2 4 2 2 2xx x x gxgxgxgx    
设 3π π 3π()()( )( )2 2 4Fxgxg x x   
3π 3π
2 23π π 7π π() () ( ) 22[esin( )e sin( )] 22sin( )(e e )2 4 4 4
x xx xFxgxgx x x x      
π 3π
2 4x  时
3π 3π 3π3π
2 4 2 4πsin( )0ee e e 04
xxx  
    ( ) 0F x 
( )F x π 3π( )2 4
单调递减 3π( ) ( ) 04Fx F  1 1
3π()( )2gx g x  成立
1 2
3π
2x x  1 2 1 2π 3π 3π π() ( ) ()2 2 4 4 2 2
xx xxg g g      

π
1 2 20 ( ) 2e 2
x xg a  综述 1 20 ( ) 2
x xg a 
22．解析（Ⅰ）消参圆C 化： 2 2 4xy y  圆C 极坐标方程： 4sin 
（Ⅱ）
ππ π π3(23) (6)3 π3 34sin cos( ) 33
P Q

   
     
    

| | 6 2 3PQ  
23．解析（Ⅰ）
6 2 2
( ) 22 4
2 6 4
x x
fx x
x x
 
 
  
2x  时6 2 4 1 2x x  2 4x  时
2 4 恒成立 4x  时 2 6 4 4 5x x 综 ( ) 4f x  解集[15]
（ Ⅱ ） （ Ⅰ ） 知 1 5a  等 式 化 2 2 2(5 ) 8a a a  
2 22 [2(5 ) 8] 3 4 ( 4)( 1) 0a a a a a a a  
等式 2 2 2 | 5 | 8a a a  成立



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高三理科数学（）选择填空详细解析

1B解析 {|1 e1} {| 0}Ax x Byy    [0e 1)A B  
2C解析z 复面应点轨迹 ( 11)C  圆心1 半径圆| |z 表示 z
应点原点距离值 2 1
3C解析 o o o(2cos( 19 )2sin( 19 ))| | 1| | 2 90B OAOB AOB  
2 2| | 1 2 5AB   
4C解析行域 (0 2) (2 4) (10)A B C 顶点三角形部边界区域3 2x y 点
C 处取值 3
5A解析 1 10 3 8 8
10 8
110 10 10 30 72 2 2
a a a a aS a     
6C解析
4
3
1 ( 1) 2n rrr nr
r nT C x 
   03630r  时理项 n 值32
7D解析 A作 y轴行线交 x 轴点 D 2 1AD DB   xOy 坐标
系中 o2 2 1 90AD DB ADB   勾股定理 3AB 
8A解析已知0 1a  ( )f x 定义域(1 ) 1 1( )3 2x 时等式log 1 1a x  
恒成立 1 1( )3 2x 时等式 20 x a  恒成立 2 12 a 
9 B解析算法原理求数列 ( 1) (2 1)(2 1)
n
n
na n n   
前 n 项 nS
(1)11 1111 1 1( ) ( 1 ( 1) ( 1) )42121 4 335 21 21
n
n n
n na Sn n n n
    

1 1( 1 ( 1) )4 2 1
n
nS n  
令 10
41nS  解 20n 
10D解析设 POF QOF    90 2OQF   
已知 FPO 中| | sinPF c  | | 2 sinQF c  QFO 中
| | | | 2 sin 1 πcos 2sin sin(90 2) sin sin(90 2) 2 6
QF OF c c        

23 2 3tan e 1 ( ) 3 3
b b
a a   
11C 解 析 设 M 边 BC 中 点 设 角 ABC 应 边 分 abc
2 21( ) ( )( )2 2
b cAOBC AM MO BC AMBC AB AC AC AB             

2 2
2 2 2 222
b c a b c a   
2 2 2 2
cos 02 2
a c b aB ac ac
   ABC 钝角
12 C解析正四面体 A BCD 补形成棱长 6 正方体 APBQ ECFD A BCD 外— 高三理科数学()第 10 页( 4 页) —
接球球心O正方体中心球O半径 6 3 3 32R    面 APBQ ECFD 行
面 APBQ ECFD 距离分 2 4 时 O  距离1 球 O 截圆半径
2 21 26r R  截面圆面积 26π
13 169 解析 42 178x y  ( )x y 代入回直线 835a  鞋码38 时身高
约 225 38 835 169( )cm 
14 3解析 n 奇数时 1 2 1 1n n n na a n a a n    2 1n na a   （奇数项
周期 2） n 偶数时 1 2 1 1n n n na a n a a n    2 2 1n na a n   
3 5 7 9 11 13 15 17( ) ( ) ( ) ( ) 4a a a a a a a a 
2 4 6 8 10 12 14 16( ) ( ) ( ) ( ) 5 13 21 29 68a a a a a a a a    
17 1 1 14 68 72 2S S S a a a    奇 偶 2019 3 11 3a a a  
15 1 3 1 解 析 1 3 1 sin2 2 2ABC ABCS a aS bcA   23 sin2 a bc A
2 2 2
cos 2
b c aA bc
  2 4π 4sin 2cos sin( )33 3 3
b c A A Ac b    取值时
π
6
4 3 sin 3 sin
3
A
b c b B Ccb c
 
   
πsin 3sin( )6B B  解 2π
3B 
π
6C  1 3 1a b c 
16 [1 ) 解析首先 0a  次方程 (e )(ln( 1) ) 0x a x b  两根应重根设根
( 1)t t  e ln( 1)ta b t   e ln( 1)tab t  设 函 数
1() e ln( 1) () e 1
t tft t ft t
   
中 ( )f t 单调递增 (0) 0f   0t  ( )f t
极（）值点 ( ) (0) 1ft f  [1 )a b   — 高三理科数学(二)第 1 页( 4 页) —
高三第二轮复测试卷
理科数学(二)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合 2
2020{ | log (10 3 )}Mxy x x  { | 2020 1}xN y y MN 
A ( 12) B  12 C (12) D  12
2．已知复数
1 i
2z  
实数复数 z 虚部
A 1 B 2 C i D 2i
3． ABC 中角 ABC 边分 a b c sin 3cBa ABC 面积 3 3
2

3 3a b  边c 值
A． 21 B． 3 C． 21 3 D． 21 3
4． x y 满足约束条件
4 0
2 3 3 0
41 0
x y
x y
x y
  
   
   
等差数列 na 满足 14a x a y 前 n 项 nS
74SS 值
A．13 B． 1 C． 5 D．5
5．函数 () sin (cos 1)fx xx  π π 图致






A B C D
6．已知定义 R 奇函数 ()f x 满足 ( 1) (1 )fx fx   ( 10)x  时 ( ) 2axf x  
4
4(1 log 80) 5f  a （ ）
A． 1 B． 2 C．1 D． 2 — 高三理科数学(二)第 2 页( 4 页) —
7．已知函数 ( ) sin( )fx x   （ 0  π π
2 2   ）图相邻两高点间距离
π 函数 ( )f x 图关直线 π
3x  称函数 ( )f x 图右移 π
12
单位长度
( )y gx 图 ( )g x 区间 t t 单调递增t 值
A． π
12 B． π
6 C． π
4 D． π
3
8．四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD 正方形PD AC AB  面 PADCD PD 3
四棱锥 P ABCD 顶点球O 球面球O 表面积值
A． π B． 2π C． 4π D．6π
9．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x yC a ba b   左右焦点分 1F 2F焦距 2c 圆
2 2 2 ( )Dxc y c   存点 M点 M 1F 关双曲线C 条渐线称双曲
线C 离心率e 
A． 5 B． 2 C． 2 D． 3
10．体甲体乙三视图图示体甲
正视图侧视图两全等等腰三角形等腰三
角形高体乙三视图中圆直径相等
体甲体积乙体积 1
4
体甲乙
表面积
A．1 3 B．1 4
C．1 2 D．1 2
11．建设学强国学台贯彻落实总书记关加强学建设学国重指示精
神推动全学力抓手．该台容丰富极满足互联网条件广员干部
民群众样化化便捷化学需求．该款软件设阅读文章视听学两学
板块日答题周答题专项答题挑战答题四答题板块．某六板块学程
中阅读文章视听学两学板块间间隔答题板块学方法
A．192 种 B． 240 种 C． 432 种 D．528种
12 ． 定 义 (0 ) 函 数 ( )f x 导 函 数 ＇( )f x 2( 1) ＇( ) ( ) 2x fxfxx x  
(0 )x   恒成立现述四结：
① 2 (2) 3 (1) 5f f  ② (1) 2f  0 1x  2 1 1( ) 2 2fx x x  
③ (3) 2 (1) 7f f  ④ (1) 2f  1x  2 1 1( ) 2 2fx x x   ．
中正确结编号
A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④
二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．已知 a b 满足 2 2 3a b a b a      a b 夹角___．
14．数学部推动学发展矛盾直曲
矛盾 着学发展逐渐探究曲直相互转化 — 高三理科数学(二)第 3 页( 4 页) —
：化圆方解决曲直两图形等积问题图设等腰直角三角形 ABC 中
AB BC 90ABC  AC 直径作半圆 AB 直径作半圆 AmB 探究
月牙形面积(图中黑色阴影部分) AOB 面积(图中灰色阴影部分)间关系种关系
整图形中机投掷点该点落图中阴影部分概率_________．
15．已知 AB 抛物线 2 4y x 两动点OA OB 抛物线焦点 F ABF 面
积值_________．
16． ABC 中角 ABC 边分 abc sin sin sin 2sinaAbBcC aB  
2sin 2 tanA B 值_________．

三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）已知数列 na 满足 1 1( 1) n nn a na a   *n N ．
（Ⅰ）证明：数列 na 等差数列
（Ⅱ）设数列 na 前 n 项 nS 2 1 1a a  意 *n N

1 2 3
1 1 1 1 1 4
3 3nSSSS  求整数 1a 值．

18．（题满分 12 分）图 1等腰梯形 1 2ABF F 中两腰 2 1 2AF BF  底边 6AB 
1 2 4FF  DC AB 三等分点 E 1 2FF 中点分CEDE 四边形 1BCEF
2ADEF 折起 1F 2F 重合点 F图 2 体．图 2 中 MN 分CD
EF 中点．

（Ⅰ）证明： MN  面 ABCD
（Ⅱ）求直线CN 面 ABF 成
角正弦值．


19．（题满分 12 分）设函数 () ( 1)e (2e e)x xf x x a   ．
（Ⅰ）求 ( )f x 单调区间
（Ⅱ）等式 ( ) 0f x  (2 )x   恒成立求整数 a 值．

20．（题满分 12 分）某企业中机抽取 5 名员工测试艺术爱指数 (0 10)x x 
创新灵感指数 (0 10)y y  统计结果表（注：指数值越高素质越优秀）：
艺术爱指数 2 3 4 5 6
创新灵感指数 3 35 4 45 5
（Ⅰ）求创新灵感指数 y 关艺术爱指数 x 线性回方程
（Ⅱ）企业提高员工艺术爱指数求员工选择音乐绘画中进行培训培训音乐次
数t 艺术爱指数 x 提高量 20
0(10 )(1 e )
t
x 
  培训绘画次数t 艺术爱指数 x 提高量
0
10(10 )(1 )10x t  
中 0x 参加培训某员工已达艺术爱指数． — 高三理科数学(二)第 4 页( 4 页) —
（i）艺术爱指数已达 3 员工甲选择参加音乐培训艺术爱指数已达 4 员工乙选择参加绘
画培训培训 20 次估计谁创新灵感指数更高？
（ii）艺术爱指数已达 4 员工参加培训 10 次20 次概率分 2
3
1
3
选择参加
音乐绘画培训概率分 2
3
1
3
估计该员工培训创新灵感指数数学期（精确01）．
附：均值 1 1 nxx xx n
    计算值：
1
2e 06
 1e 037  ．回直线方程 y a bx 
斜率截距二法估计分 1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x xy y
b
x x


 




a y bx  ．

21．（题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1x yC a b  （ 0a b  ）右焦点 F直线 3 5 2ly x
椭圆C 第象限交点Q 线段OF 垂直分线（O 坐标原点） OQF 面积
3 5
8
．
（Ⅰ）求椭圆C 方程
（Ⅱ） PMN 椭圆接三角形满足 MN x 轴设直线 PMPN x 轴交点分
GH求 2 2OG OH 值求出时点 P 坐标．

（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xoy 中直线 1 4C x  圆 2C 参数方程 1 cos
sin
x
y


 
 
（ 参数）．原点O
极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求 1C 2C 极坐标方程
（Ⅱ）设射线l 极坐标方程 π ( 0 )2   1C 2C 交点分 A B P AB
中点 5 2
2OP  求点 P 极坐标．

23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
设函数   1 +3fx x x   ．
（Ⅰ）求等式   5f x  解集
（Ⅱ）证明： ( )+ ( 4) 8 1fxfx x  ．
— 高三理科数学(二)第 5 页( 4 页) —

理科数学(二)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D C D D A D C D C B
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 2π
3 14． 2
π+1 15．12 16．3 2 2
三解答题(题 6 题 70 分)
17．解析（Ⅰ） 11( 1) nnn a na a  *n N ①
11( 2) ( 1)nnn a n a a  2n  ②
①②： 11( 1) 2( 1) ( 1) 0nnnna n a n a  2n  *n N
1120nnnaa a   2n  *n N 1121nnnnaaaa a a     
数列 na 等差数列
（Ⅱ） 21 1a a  数列 na 公差1意 *n N

123
1111 1 4
33nSSSS     
1
1 1 4
33S  1
3 34 S  1 1a  2 ．
1 1a  时 2 2a  时 1 1S  2 3S 
12
11 1 41 3 3SS    题意矛盾 1 1a  ．
1 2a  时 1na n  时 ( 3) 02n
n nS 
1
1 1 1
2 3S  
123
111 1 1
3nSSSS    
恒成立． 1 2 1 1()33nSn n 

123
111 1211111 1111 1 1(1 )342536 21123nSSSSnnnnn n   
2111 1111 4(1 )323 123 9 3nnn  

综述整数 1a 值 2 ．
18．解析（Ⅰ）四边形 BCEF ADEF 均菱形 AD BC AD BC
四边形 ABCD 行四边形．
AD CD 称性知 90ADC BCD     四边形 ABCD 正方形．
N EF 中点 1EN  1EC  3CN  222NECNCE
CN NE CN BC ．
BC  面CDN MN BC ．
称性知CN DN M CD 中点 MN CD ． — 高三理科数学(二)第 6 页( 4 页) —
MN  面 ABCD．
（Ⅱ）设 AB 中点G M 原点 MG MC MN 分 x yz 轴建立空间直角坐标
系．
2MN  (2 10) (210) (010) (00 2) (10 2)A BCN F ．
(0 1 2)CN   (020)AB  ( 11 2)AF   ．
设面 ABF 法量 ( )n xyz 0
0
n AB
n AF
    
 
 
2 0
2 0
y
xy z
 
．
取 ( 201)n  2sin 3
n CN
n CN


 

 
  直线CN 面 ABF 成角正弦值 2
3
．
19．解析（Ⅰ） ＇() e e ( )exx xf x x a x a   令 ＇( ) 0f x  x a ．
( )x a  时 ＇( ) 0f x  ( )x a  时 ＇( ) 0f x  ．
( )f x 单调递增区间( )a  单调递减区间( )a ．
（Ⅱ） (2 )x  时( 1)e (2e e ) 0x xx a   恒成立等价 (2 )x  时( 1)e
e 2e
x
x
x a 
恒成立
min
( 1)e
e 2e
x
x
xa     
(2 )x  恒成立．
令 ( 1)e( ) e 2e
x
x
xg x  
(2 )x   ． 2
e(e 2e)＇( ) (e 2e)
x x
x
xg x  
．令 () e 2exhx x  (2 )x  
＇( ) e 2e 0xh x    () e 2exhx x  (2 ) 单调递增
2(2) e 4e 0h    2(3) e 6e 0h   
＇( )g x (2 ) 唯零点 0x 0
0 0e 2e (23)x x x  ．
( )g x 0(2 )x 单调递减 0( )x  单调递增

0
0
0
min 0 0
( 1)e( ) ( ) (23)e 2e
x
x
xgxgx x  
整数 a 值 2 ．
20．解析（Ⅰ）设 y a bx 
5
1
1 45 i
i
x x

 
5
1
1 45 i
i
y y

 

5
1
5
2
1
( )( ) 5 1
10 2( )
i i
i
i
i
x xy y
b
x x


 
 



14 4 22a y bx  12 2y x  ．
（ Ⅱ ）（ i ） 员 工 甲 20 次培训估计艺术爱指数达
20
1203 (10 3)(1 e ) 10 7ex    
估计创新灵感指数 11 12 (10 7e) 7(1 )2 2ey     ．
员工乙 20 次培训估计艺术爱指数达 104 (10 4)(1 ) 820 10x  
— 高三理科数学(二)第 7 页( 4 页) —
估计创新灵感指数 12 8 62y    ．
17(1 ) 62e  培训乙创新灵感指数更高．
（ii）该员工参加 10 次20 次音乐培训创新灵感指数估计分 37
e
 37 e
该员工参加 10 次20 次绘画培训创新灵感指数估计分11
2
6
参加 10 次音乐培训概率 2 2 4
3 3 9  参加 20 次音乐培训概率 1 2 2
3 3 9 
参加 10 次绘画培训概率 2 1 2
3 3 9  参加 20 次音乐培训概率 1 1 1
3 3 9 
创新灵感指数期估计
3 4 3 2 11 2 1 1 12 6(7 ) (7 ) 6 (59 ) 559 e929 99 ee e
EY     ．
21．解析（Ⅰ）题意知 ( 0)F c 3 5( )2 4
c cQ点Q 坐标代入椭圆方程
2 2
2 2
45 14 16
c c
a b 

①
OQF 面积 3 5
8
1 3 5 3 5
2 4 8
c c  1c  ②
2 2 2a b c  ③①②③椭圆方程
2 2
14 3
x y  ．
（Ⅱ）设点 0 0( )Px y 1 1( )Mx y 1 1( )Nx y 直线 PM 方程 0 1
0 0
0 1
( )y yyy xxx x
 
．
令 0y  0 1 1 0
0 1
yx yxx y y
 
0 1 1 0
0 1
yx yxOG y y
 
．
直线 PN 方程 0 1
0 0
0 1
( )y yyy xxx x
 
．
令 0y  0 1 1 0
0 1
yx yxx y y
 
0 1 1 0
0 1
yx yxOH y y
 
．

2 2
2 2 0110 0110 01 10
2 2
0 1 0 1 0 1
( )( )2 2 2yx yx yx yx yx yxOG OH OGOH yy yy yy
      
．

2
2 0
0
33 4
xy  
2
2 1
1
33 4
xy   代入
2 2
0 1 1 0
2 2
0 1
( )( )2 yx yx
y y



2 2
2 20 1
1 0
2 2
0 1
3 3(3 ) (3 )4 42 83 33 34 4
x xx x
x x
 
 
 

2 2 8OG OH  仅 OG OH 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1
yx yx yx yx
yy yy
  
时取等号． — 高三理科数学(二)第 8 页( 4 页) —
① 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1
yx yx yx yx
yy yy
  
时化简 1 0 1 0( ) 0yy x x  
根题意知 1 0x x 1 0y  题意符 0 0y  时 0 2x  0 2x 
② 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1
yx yx yx yx
yy yy
  
时化简 2 2
0 1 1 0yx yx

2
2 0
0
33 4
xy  
2
2 1
1
33 4
xy   代入式化简 0 1 1 0
3(3 )( ) 04 xx x x 
根题意知 1 0x x 0 1
33 04 x x  0 1 4x x  02 2x  12 2x 
0 1 4x x  成立 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1
yx yx yx yx
yy yy
  
成立．
综 2 2OG OH 值8 时点 P 坐标(20) ( 20) ．
22．解析（Ⅰ） 1 4C x  极坐标方程 cos 4   2
1 cos sin
xC y


 
 
直角坐标方程
2 2 2 0x y x   2C 极坐标方程 2cos  ．
（Ⅱ）设 ( )P   射线l极坐标方程 π ( 0 )2   1C 2C 交点 A B 极坐标
分满足 1
4
cos  2 2cos  ． 5 2
2OP  1 2+ 2 5 2cos2 cos 2
     ．
22cos 5 2 cos 4 0   (2cos 2)(cos 2) 0   ．
2cos 2 π 4  点 P 极坐标 5 2 π( )2 4 ．
23．解析（Ⅰ）   1 +3 5fx x x 
3x  时等式化( 1) ( +3) 5x x  ( 2) ( +4) 0x x  4 3x  
3 1x  时等式化 ( 1) ( +3) 5x x  2( 1) +1 0x   3 1x 
1x  时等式化( 1) ( +3) 5x x  ( 2) ( +4) 0x x  1 2x  ．
原等式解集 4 2x x  ．
（Ⅱ） ()+(4) 1 3 5 1 1(3 5)fxfx xx x x x x x  
1 ( 3 5 ) 8 1xx xx    ．





— 高三理科数学(二)第 9 页( 4 页) —
高三理科数学（二）选择填空详细解析
1．C解析 2
2020{ | log (10 3 )} { | 5 2}Mxy xx x x   
{ | 2020 1} { | 1}xNyy xx    {|1 2}MN x x    答案选 C．
2．A解析 2 2(1 ) 11 (1 (1
i
i) ii i)
  

1 i
2z  
实数复数 i( )za aR  
答案选 A．
3．D解析 sin 3c B a 正弦定理sin sin 3sinCB A sin 0B 
3sin 3sin sin
A aC B b  ．
ABC 面积 3 3
2
21 3 3 3sin2 2 2ab C a  3a  ．
3 3a b  2 3b  3sin 2C  1cos 2C  ．
根余弦定理 2 2 2 2 cosc ab ab C   21c  3c  答案选 D．
4．C解析等差数列 na 中 1 4a xa y 
3
y xd 
7 4 1 17 21 4 6 3 15 2 53
y xSSadadx xy   
令 2 5z xy  作出行域知点 (0 1) 处取值
7 4 min min( ) 2 0 5 ( 1) 5SS z   答案选 C．
5．D解析判断函数 ( )f x 奇函数排答案 A B (0π)x 时
2＇( ) cos (cos 1) sin ( sin ) 2cos cos 1fxxx x x xx      令 ＇( ) 0f x  1cos 2x 
者cos 1x  （舍）函数 ( )f x 2π(0 )3
单调递减 2π( π)3
单调递增答案选 D．
6．D解析奇函数 ( )f x 满足 ( 1) (1 )fx f x  函数周期 4T 
4 4 4
4(1 log80) (3 log5) ( 1 log5) 5f f f    2
4(1 log 5) 5f  
21 log 5 ( 10)  21 log 5 4(2 ) 5
a  2 4( ) 55
a  2a  答案选 D．
7．A解析题意知 ( )f x 正周期 2πT    解 2  ( ) sin(2 )fx x   ．
函数 ( )f x 图关直线 π
3x  称 2πsin( ) 13   π π6 k   k Z
π π
2 2   π
6  π( ) sin(2 )6fx x  ．函数 ( )f x 图右移 π
12
单位长
度 π π π( ) sin 2( ) sin(2 )12 6 3gx x x     
图 ． 1 1
π ππ2 π 2 2 π2 3 2kx k  — 高三理科数学(二)第 10 页( 4 页) —
（ 1k Z ） 1 1
π 5ππ π12 12kx k   （ 1k Z ） ( )g x  t t 单调递增

π
12
5π
12
t
t
 
 
解 π
12t  π0 12t  t 值 π
12
答案选 A．
8．D解析设 PD x （0 3x  ） 3PD x  AB  面 PAD AB  PD．
AC  PD PD  面 ABCD四棱锥 P ABCD 补形成长方体球O 球心
PB 中点球O 表面积
2 2 2
2 2(3 )4 ( ) 3 ( 1) 2 62π π πxx x x       答案
选 D．
9．C解析题意知 1( 0)F c 2 ( 0)F c 设 1F M 关渐线 by xa 称 1F 该渐
线距离
2 2
bc b
a b


．连接 1F M 记 1F M 该渐线交点 N 1 2F M b N 1F M
中点．连接 2F M 坐标原点O 1 2FF 中点 2ON FM 1 2FMF 直角
1 2F MF 直角三角形勾股定理 2 2 24 4c c b  2 2 23 4( )c c a  2 24c a
2e  答案选 C．
10．D解析三视图知甲圆锥乙球．设球半径 R圆锥底面半径 r 圆锥
高 2h R 母线长 2 2l r h  甲乙体积 14 3 24 4π π3 3R r h
2 22R r 2 24 3lr R r   ．
2 2
1
2 2
2
π π 3 1
4π 8 2
S r rlr rr
S R r
     答案选 D．
11．C解析阅读文章视听学相邻 2 5
2 5A A 种阅读文章视听学
相隔答题模块 2 1 4
2 4 4A C A  种 432 种答案选 C．
12．B解析设函数
2( )( ) 1
fx xg x x
 
  2
2
＇( ) 2 ( 1) ( )
＇( ) ( 1)
fx xx fxx
g x x
     
2
2
( 1)＇() ()( 2)
( 1)
x fxfx x x
x
   

2( 1) ＇( ) ( ) 2x fxfxx x   ＇( ) 0g x  ( )g x (0 ) 单调递减
(1) (2) (3)g g g  整理 2 (2) 3 (1) 5f f  (3) 2 (1) 7f f  ①③正确．
0 1x  时 (1) 2f  ( )g x (0 ) 单调递减 1( ) (1) 2g x g 

2( ) 1
1 2
fx x
x
 
2 1 1( ) 2 2fx x x   ②正确④正确答案选 B．
13． 2π
3
解析 2 2 3a b a b a      22(2 ) 3a b a    22( 2 ) 3a b a    两式— 高三理科数学(二)第 11 页( 4 页) —
相减 b a  代入
21
2a b a    1cos 2
a ba b
a b
 

  
   0a b    
a b 夹角 2π
3
．
14． 2
π+1
解析已知妨设 2 2AC  2AB  图月牙形面积等半圆 AmB 面
积减弓形 I 面积 2 21 1π1 π(2)2 2 AOB AOBSSS 
     月牙形 见月牙形面积
AOB 面积相等 1 2 212AOBS   整图形面积 21 π(2) 1π 12S  
阴影部分面积 2 2AOBS 概型概率计算公式求概率 2
π+1
．
15．12解析设 AB 直线方程 x my t  1 1( )Ax y 2 2( )Bx y ．题意知 1 0y  2 0y 
联立方程组 2 4
x my t
y x
 
 
2 4 4 0y my t  ． 1 2 1 24 4yy myy t  ．
OA OB 1 2 1 2 0xx yy 
2 2
1 2
1 2 04 4
y y y y   解 1 2 16y y 
4t  直线 AB 恒定点 (40)M． (10)F 3MF  ．

2
1 2
1 3 364( 1) 8 122 2 4 2ABF
mS MFyy    仅 0m  时等号成立答
案12 ．
16．3 2 2 解析题意 2 2 2 2a b c ab   2 cos 2ab C ab
2cos 2C  3π π4 4C A B 

2 2
2 2
2
(1 tan ) tansin 2 tan cos 2 tan 1 tan
B BAB B B B
    
．
令 21 tan (12)t B 
2 2
2
(1tan )tan (2 )( 1) 2( ) 3 3 2 21 tan
B B tt tB t t
  

仅时 2t  取等号 2sin 2 tanA B 值3 2 2 答案3 2 2 ． — 高三理科数学(三)第 1 页( 4 页) —
高三第二轮复测试试卷
理科数学(三)
试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1已知集合 2
2{| 2 0} { | log 0}Axxx Bx x  ()UCAB 
A(01) B 01 C(12) D 12
2已知 a R i 虚数单位 3iza 
_
4z z  a 
A1 1 B 15 C 15

D 3 3
3抛物线 22y x 通径长
A 4

B 2

C1

D 1
2
4考察某种药物预防禽流感效果四实验室取相体进行动物试验根
四实验室列联表画出图四等高条形图体现该药物预防禽流感效果图形


5国古代洛书中记载着世界古老幻方：图 12…9 填入3 3
方格三行三列两条角线三数字等 15般连续正整数
2123 n 填入 n n 方格中行列两条角线数字相等正方
形做 n 阶幻方记 ( 3)n n  阶幻方角线数字 nN 图三阶幻方 3 15N 
8N 值
A 260

B369

C 400

D 420
6根样数
x 3 4 5 6 7 8
y 40 25 05 05 20 30
回方程 y bx a

  — 高三理科数学(三)第 2 页( 4 页) —
A 0a  0b  B 0a  0b  C 0a  0b  D 0a  0b 
7设 na 意等数列前 n 项前 2n 项前3n 项分 2 3n n nSSS列等
式中恒成立
A 3 22n n nSSS  B    2 2 3 3n n n n n nSSSSSS 
C 2
2 3n n nSSS D    2 2 3n n n n n nSSSSSS 
8设 2020
1
20202019 20192019log2020log  cba cba 关系
A cba  B bca 

C bac 

D abc 
9已知函数 ()sin( )( 0 0)fx x    正周期 π 函数 ( )f x 图象左
移 π
3
单位长度函数图象点 (01)P列结中正确
A( )f x 值 2 B( )f x 区间 π π( )6 3 单调递增
C( )f x 图关直线 π
12x  称 D( )f x 图关点 π( 0)3
称
10正方体 1 1 1 1ABCD ABCD 顶点 A 作面 正方体棱面 成角相等
满足条件面 数
A1

B3

C 4

D6
11椭圆双曲线焦点 1 2F F 第象限交点 P设 1 2 2FPF   椭圆双曲线
离心率分 1 2e e
A．
2 2
2 2
1 2
cos sin 1e e
   B．
2 2
2 2
1 2
sin cos 1e e
   C．
2 2
1 2
2 2 1cos sin
e e
   D．
2 2
1 2
2 2 1sin cos
e e
  
12已知 正方形 ABCD 边 长 1 M ABC 点满足 010 MDB MBC  
MAD 
A o45 B o50 C o60 D o70

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13 62 3 2x x  展开式中 x 系数 ．
14设实数 x y 满足等式
2
1
1
y
x y
x y

  
  
3z xy  取值时直线 3z xy  (11)
圆心圆相切圆面积 ．
15已知等差数列{ }na 公差 (0π)d  1
π 2a  集合   sin nM xx anN  恰
两元素 d 值 ．
16已知正方形 ABCD 边长 2 ( 123456)i i  取遍 时 1 2 3| AB BC CD     
4 5 6 |DA AC BD       值 ． — 高三理科数学(三)第 3 页( 4 页) —
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）已知 A B 分射线CM CN（含端点C）运动 2 π3MCN 
ABC 中角 ABC 边分 a b c ．
（Ⅰ） a b c 次成等差数列公差 2．求c 值
（Ⅱ） 3c  ABC  试 表示 ABC 周长求周长值．





18．（题满分 12 分）图已知斜三棱柱 1 1 1ABC ABC 面 1 1A ACC  面
ABC 90ABC  1 130 2 3 BAC AAAC AC EF   
分 1 1AC AB 中点．
（Ⅰ）证明： EF BC
（Ⅱ）求面 1 1 1ABC 面 1ABC 成锐二面角余弦值．






19（题满分 12 分）已知    10 10 A B APABAC    | | | | 4AP AC   ．
（Ⅰ）求 P 轨迹 E
（Ⅱ）轨迹 E 意点 P 作圆 2 2 3Ox y  切线 1 2l l 设直线 1 2OPl l 斜率分
0 1 2k kk 试问三斜率存 0 条件
0 1 2
1 1 1
k k k
  
 
否定值请说明理
加证明．




20．（题满分 12 分）已知函数
2 4 2( ) ex
x xf x   ．
（Ⅰ）求函数 )(xf 单调区间
（Ⅱ）意 ( 20]x  等式 2 ( 1) ( )mx fx  恒成立求实数 m 取值范围．





— 高三理科数学(三)第 4 页( 4 页) —
21 （题满分 12 分）2019 年 3 月 5 日国务院总理李克强做政府工作报告时说精准
脱贫攻坚战江西省贫困县脱贫摘帽取突破性进展2019—2020 年稳定实现扶贫象两愁
三保障贫困县全部退出围绕目标江西正着力加快增收步伐提高救助水改善生活条
件产业扶贫保障扶贫安居扶贫三场攻坚战响应国家政策老张力更生开间
型杂货店长期统计分析老张杂货店中某货物天需求量 ( )mm N  17 26 间日
需求量 m （件）频率 ( )P m 分布表示：
需求量 m 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
频率 ( )P m 012 018 023 013 010 008 005 004 004 003
已知成件 5 元售价件 10 元供求件需降价处理处理价件 2 元
（Ⅰ）设天进货量 ( 16 12 10)n nX X n n    视日需求量 ( 16 12 10)i iYY ii   
频率概率 ( 12 10)iP i   求天进货量 nX 条件日销售量 nZ 期值 ( )nE Z （
iP 表示）
（Ⅱ）（Ⅰ）条件写出 ( )nE Z 1( )nE Z  关系式判断 nX 值时日利润均值






（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中直线l 参数方程 3 (1
 
  
x t ty t
参数) 坐标原点极点x 轴正半
轴极轴极坐标系中 曲线 π 2 2 cos 4C      
．

（Ⅰ）求直线l 普通方程曲线C 直角坐标方程
（Ⅱ）求曲线C 点直线l 距离值．




23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数   1 2  f x x a x a ．
（Ⅰ）  1 3f 求实数 a 取值范围
（Ⅱ） 1 a xR  求证：   2f x ．





— 高三理科数学(三)第 5 页( 4 页) —
M
N
θ
A
CB

理科数学(三)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A D D A A D C B C B D
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13 576 14 5 π2 15 2 π3 16 4 5
三解答题(题 6 题 70 分)
17解析（Ⅰ） a b c 成等差公差 2 4a c  2b c  
2 π3MCN
1cos 2C    
 
22 242 1
2422
ccc
cc
      
恒等变形 2 9 14 0cc   解 7c 
2c   4c   7c 
（Ⅱ） ABC 中
sin sin sin
ACBCAB
ABCBAC ACB

 3 22ππsin sinsin 33
AC BC
 


2sinAC  π2sin 3BC 

 ABC 周长  f  AC BC AB   π2sin 2sin 33 

132sin cos 322

π2sin 33 

π0 3 
 ππ 2π
33 3  
 π π
3 2   π
6  时  f  取值 2 3 ．

18解析(Ⅰ)图示连结 11AEBE等边 1AAC 中AE EC 3sin 0 sin 2BA   
面 ABC  面 11A ACC 面 ABC  面 11A ACC AC 面面垂直性质定理：
1AE  面 ABC 1A E BC⊥ 三棱柱性质知 1 1A B AB∥ — 高三理科数学(三)第 6 页( 4 页) —
AB BC 1 1AB BC 1 1 1 1AB AE A
线面垂直判定定理： BC  面 1 1ABE
结合 EF ⊆面 1 1ABE EF BC
（Ⅱ）底面 ABC 作 EH⊥AC点 E 坐标原点
1EH EC EA 方分 xyz 轴正方建立空间直
角坐标系 E xyz 1 1 2 3AA CA  3 3BC AB 
：      1
3 30 30 0 003 0 302 2A B AC     
设面 1ABC 法量
 m xyz ：
 
 
1
3 3 3 3 3 3 02 2 2 2
3 3 3 3 0 02 2 2 2
mABxyz x yz
mBCxyz x y


                    

面 1ABC 法量  1 31m 
1AE  面 ABC
面 ABC 法量  1 00 3AE   时 1
3 5cos 55 3
AE m   

 
面 ABC 面 1ABC 成锐二面角余弦值 5
5
19解析(Ⅰ)方法：
图 AP AB AC    四边形 ACPB 行四边形
BP AC  4AP AC   4AP BP  
P 轨迹 A B 焦点椭圆易知 2 4a 
1c  方程
2 2
14 3
x y 
方法二：设  P xy AP AB AC     1AC AP AB BP x y      
4AP AC      2 22 21 1 4x yx y 
移项    2 22 21 4 1xy xy  方化简：
2 2
14 3
x y 
（    2 22 21 1 4x yx y  发现椭圆方程直接 2 4a  1c  ）
（Ⅱ）设  0 0Px y P 斜率 k 直线  0 0yy kxx  直线圆O 相切
0
2
3
1
y kx
k
 

： 2 2 2
0 0 0 03 2 3 0x k xyky   — 高三理科数学(三)第 7 页( 4 页) —
已知知 1 2k k 方程（关 k ） 2 2 2
0 0 0 03 2 3 0x k xyky   两根
韦达定理：
0 0
1 2 2
0
2
0
1 2 2
0
2
3
3
3
x yk k x
yk k x
       
两式相： 0 01 2
2
1 2 0
2
3
x yk k
kk y
  

2 2
0 0 14 3
x y  2 2
0 0
33 4y x 
代入式： 01 2
1 2 0
8
3
yk k
kk x
 
：
0 1 2
1 1 1 8
3k k k
   
 
定值
20解析（I）
2( 2 2)＇( ) ex
x xf x    记 2( ) 2 2gx x x  
令 ( ) 0g x  1 3 1 3x   函数 ( )f x (1 31 3)  单调递增
令 ( ) 0g x  1 3 1 3x x 
函数 ( )f x ( 1 3)(1 3 )   单调递减
（Ⅱ）记 2( ) 2 e ( 1) 4 2xhx mx x x  (0) 0 2 2 1h mm 
＇( ) 2 e ( 2) 2 4 2( 2)( e 1)x xhxmx x xm  
＇( ) 0h x  2x  lnx m ( 20]x  2( 2) 0x  
① 21 em  时 ln ( 20)m  ( 2 ln )x m  时 ＇( ) 0h x 
( ln 0)x m  时 ＇( ) 0h x  min() (ln)ln (2ln)0hx hm m m   
( 20]x  时 ( ) 0h x  恒成立
② 2em  时 2＇( ) 2( 2)(e 1)xhx x   ( 20]x  ＇( ) 0h x 
时 ( )h x 单调递增 2 2( 2) 2e e ( 1) 4 8 2 0h  
( 20]x  时 ( ) ( 2) 0h x h   成立
③ 2em  时 2( 2) 2 2 0e
mh    (0) 2 2 0h m 
存 0 ( 20)x   0( ) 0h x  ( ) 0h x  恒成立．
综 m 取值范围 2(1e ] ．
21解析(Ⅰ)日需求量 nm X 时日销售量 nZ m 日需求量 nm X 时日销售量 nZ
nX日销售量 nZ 期值 ( )nE Z ：
1 9n  时
10
1 1
() (16) (16 )
n
n i i
i i n
EZ iP nP
 
   
10n  时
10
10
1
( ) (16 ) i
i
EZ iP

 
（Ⅱ） — 高三理科数学(三)第 8 页( 4 页) —
1 10 10 10
1
1 2 1 1 1
( ) (16 ) (16 1) (16 ) (16 1) ( )
n n
n i i i ini
i i n i i n i n
EZ iP nP iP nPEZ P


    
       
设天进货量 nX日利润 n
           5 3[ 16 ] 8 3 16n n n nE E Z n E Z E Z n    
         1 1 1 2 108[ ] 3 8 3n n n n n nE E EZEZ PP P        
  1 1 2
50 8n n nE E PP P      
1 2 3 4 1 2 3
5 5066 053 8 8PPPP PPP   
 4E  应进货 20 件时日利润均值
22解析（Ⅰ） 3
1
x t
y t
 
  
消t 4 0  x y 直线l 普通方程 4 0  x y
π2 2cos 4     
π π2 2 cos cos sin sin 2cos 2sin4 4       


2 2 cos 2 sin   2 2 2 cos sin   xy x y 代入式
曲线C 直角坐标方程 2 2 2 2  xy xy   2 21 1 2  x y
（Ⅱ）设曲线C 点  1 2 cos 1 2 sin  P
点 P 直线l 距离
1 2 cos 1 2 sin 4
2
  

 
d
 2 sin cos 2
2
 

 

π2sin 24
2
    

πsin 14    
时 max 2 2d
曲线C 点直线l 距离值2 2
23解析（Ⅰ）  1 3f 1 2 3 a a
① 0a 时  1 2 3 a a 解 2
3a 2 03  a
② 10 2 a 时  1 2 3 a a 解 2a 10 2 a
③ 1
2a  时  1 2 3 a a 解 4
3a 1 4
2 3a 
综述实数 a 取值范围 2 43 3
   

（Ⅱ） 1 a x R
     1 2 1 2  f x x a x a x a x a
3 1 a 3 1 a 2
— 高三理科数学(三)第 9 页( 4 页) —
理科数学（三）选择填空详细解析
1A解析  2 0A xx x    0 1B x x  (01)UCA B  选 A
2A解析复数 3 iz a  3 iz a

  2 3 4z z a

  1a  选 A
3D解析标准化 2 1
2x y 通径 12 2p 
4D解析图知服药患病概率高服药患病概率低选 D
5A解析根题意知幻方角线数成等差数列
3
1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9) 153N   
4
1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16) 344N   
5
1(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25) 655N   

2 2 2
21 1 (1 ) ( 1)(12345 ) 2 2n
n n n nN nn n
      ．
6A解析画出散点图知 0 0b a  选 A．
7D解析等数列性质： 2 3 2n n n n nSSSSS  成等数列
  2
2 3 2n n n n nSSSSS   化简    2 2 3n n n n n nSSSSSS 
8C解析 2
2019 2019 2019 2019
1 1 1 1log 2019 log 2020 log 2020 log 2019 12 2 2 2a    
2020 2020 2020
1 1 10 log 2019 log 2019 log 2020 2 2 2b   
1
20202019 1c  
9B解析条件知   πsin 2 6fx x    
结合图 B
10C解析正方体 1 1 1 1ABCD ABCD 中四面体 1 1A BDC 四面 12 条棱成角相等
∴正方体 12 条棱直线成角均相等面 4 选 C
11B解析设椭圆长轴长 12a 双曲线实轴轴长 22a
交点 P 两焦点距离分   0m n m n  焦距 2c  22 2 2 2 2m n mncos c 
1 22 2m n a m n a  1 2 1 2m a a n a a 
   2 2 2
1 21cos2 1cos2 2a a c   
2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
sin cos sin cos1 1a a
c c ee
    
12D解析设正方形 ABCD 边长 1 — 高三理科数学(三)第 10 页( 4 页) —
BMD 中正弦定理 o
o o 2sin 35 sin 35 sin135
DM DB DM 
AMD 中余弦定理 2 2 o o o1 4sin 35 4sin 35 cos55 1AM   
AMD 等腰三角形 o70 MAD 
13576解析 62 3 2x x  展开式中含 x 项  1 5 5
6 53 2 6 3 32 576CxC x x   x
系数 576
14 5 π2
解析直线点 12 时 3z xy  取值 1 3 1 1 10
210
r d   
圆面积 5 π2
15 2 π3
解析集合 S 恰两元素 2a 3a 终边关 y 轴称时 2 π3d 
16 4 5 解析
   1 2 3 4 5 6 1356 2456ABBCCDDAACBD AB AD              
2 2
1 2 3 4 5 6 1356 2456| ||( )( )|ABBCCDDAACBD AB AD                    
2 2 2 2
1356 2456 1356 24564( ) 4( ) 4( ) 4( )         
2 2 2 2
56 56 565656 564[(2 ) (2 ) ] 32 16( ) 4( ) 4( )         
2 2 2 2 2 2 2
5656 56 5656 56
2 2 2 2
5 6 5 6
32 16 ( ) 8( ) 48 16 ( ) ( ) 2
48 16 2( ) 2 80
   
 
    
 

等号成立仅 1 3 5 6    均非负者均非正 2 4 5 6   均非负者均非正
1 2 3 4 5 61 1 1 1 11     
1 2 3 4 5 6 max
4 5AB BC CD DA AC BD            — 高三理科数学(四)第 1 页( 4 页) —
高三第二轮复测试试卷
理科数学(四)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合  2 0A ax axa x R     1B x y x   ()RCAB 
A． 04xx  B． 14x x  C． 1x x  D． 40xx x
2．已知设i 虚数单位 1 3i
1 iz  
3 i||2 2z   
A．1 B． 2 C． 2 D． 1
2
3．已知样数
x 1 2 a 3 4
y 09 095 2 305 49
回方程 ˆ 2 3y x  实数 a 值
A． 2 B．3 C． 25 D．35
4．已知 a b  互相垂直单位量||2 3c a c    ||b c  
A． 3 B． 2 C． 3 7 D． 3 2
5．已知等数列 na nS 数列 na 前 n 项公 q 3q   3214S a a 

A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
6．设 03
342 log 4 log 5abc
A．b c a  B． a c b  C． a b c  D．b a c 
7．已知函数 e( )()
()
xx x af x
x x a
    
存 Rm ()y f x m 三零点实数 a 取
值范围
A． 11 ea   B． 1
ea  C． 11 ea   D． 1a   — 高三理科数学(四)第 2 页( 4 页) —
x
y
俯视图
左视图视图
8 ． 已 知 函 数 π( ) 2sin(2 )4fx x  区 间 1 2( )x x 仅 2 极 值 点 满 足
1 2
3π( ) ( ) 24fx f x  1 2x x 取值范围
A． 3π 5π4 4
（） B． 5ππ 4
() C． 3π 5π ]4 4
( D． 5ππ 4
（]
9．易·系辞河出图洛出书说河图洛书中华文化阴阳
术数源中河图排列结构六二七前三八左
四九右五十背中图白圈阳数黑点阴数 10
数中取 3 数三数中少两阳数成等差数列概率
A． 1
5 B． 1
20 C． 1
12 D． 3
40
10．已知面直角坐标系中圆 2 2 4Ox y  ( 20) (20)A B 直线 2x  点C 圆O
动点（ A B 两点重合）点 B 作直线l 直线 BC 关直线 2x  称直线
AC 直线l 交点 P 轨迹方程
A
2
2 13
yx   B
2 2
14 4
x y  C
2
2 1( 0)3
yx y   D
2 2
1( 0)4 4
x y y  
11．已知棱长1正方体 1 1 1 1ABCD ABCD E BC 动点 1AC E 三点面截正方体
截面面 ABCD 射影面积 1S面 1 1BCC B 射影面积 2S 1 2SS 值
A 1
2 B 1
4 C 3
4 D 3
8
12．数学中许形状优美寓意美曲线例：四叶草曲线中种曲线C 方程
 32 2 2 2x y xy  出列四结
①曲线C 四条称轴②曲线C 点原点距离 1
4

③设曲线C 第象限意点作两坐标轴垂线两坐标轴围成矩形
面积值 1
8
④四叶草面积 π
4
中正确结序号
A①② B①③ C①③④ D①②④

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．图示网格纸正方形边长1粗实线画出某体三视图该体
体积 ．

14．记等式组
0
1
1
2
y
y x
y kx





 
 




表示面区域 D
点(11) D 实数 k 取值范围 ． — 高三理科数学(四)第 3 页( 4 页) —
18题图
M
DAC
B
S
总利润（单位：万元）
0015
0013
001
00045
0005
00025
14012010080604020
频率
组距
15．已知数列 na nS 数列 na 前 n 项满足 2 2n nS a  集合 2 nn n t a 
三元素实数t取值范围 ．
16．已知抛物线 2 4Cy x 焦点 F点 F 直线抛物线相交 1 1 2 2( )( )Axy Bx y 两点
3AF FB 1 2y y  ．

三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17（题满分 12 分）已知锐角 ABC 三角 ABC 边分 abc 面积 S
AD 角 A 角分线满足3 cos 3 cos 2 3b Aa Bbc  ．
（Ⅰ）求cos A 值
（Ⅱ） ABC 面积 4 2
3
求角分线 AD 长值．

18 （题满分 12 分）图：三棱锥 S ABC 中 ABC 等边三角形 AB a
13
2
aSA SC  D AC 中点 M SB 中点．
（Ⅰ）求证： ABC SBD面 面
（Ⅱ）三棱锥 S ABC 体积 33
8 a 二面角 S AC B 
钝二面角求直线 AM 面 SBC 成角正弦值．





19 （题满分 12 分）国学生业压力日益严峻伴着政府政策引导社会观念
转变学生创业意识业方悄然发生转变学生国家提供税收担保贷款等
方面政策扶持选择加盟某品牌专营店创业该品牌总部积极响应政府号召
学生创业加盟店根销售利润实行抽奖奖励该品牌总部挑选某区 100 家专营
店统计五年创收利润数统计频率分布直方图：
（Ⅰ）频率分布直方图致认抽查专营店 5 年总利润 ~ ( 202)W N   似
100 家专营店 5 年总利润均值(组中
数该组区间中点值作代表）利正态
分布求 (736 1304)P W 
（Ⅱ）（Ⅰ）条件该品牌总部
加盟专营店进行奖励制定抽奖方案：
①令 m 表示该专营店 5 年总利润超 
百分点中 100Wm 

  [010)m
该品牌总部专营店提供 1 次抽奖机会
[10 20)m 该品牌总部专营店提供 2 次
抽奖机会 [2030)m 该品牌总部专营店提供 3 次抽奖机会 [3040)m  该品牌总— 高三理科数学(四)第 4 页( 4 页) —
部专营店提供 4 次抽奖机会 [4050)m  该品牌总部专营店提供 5 次抽奖机会 50m 
该品牌总部专营店提供 6 次抽奖机会外规定 5 年总利润低  专营店该品牌
总部专营店提供抽奖机会②次抽奖中奖获奖金金额 10000 元次抽奖中奖概
率 1
3
．设该学生加盟专营店 A 参加次抽奖方案专营店 A 5 年总利润
1225W  万元记 X（单位：万元)表示专营店 A 获奖金总额求 X 分布列数学期．
附参考数公式： 202 142 2~ ( )W N   ( ) 06827P W  
( 2 2 ) 09545P W    ( 3 3 ) 09973P W    ．

20（题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b  ： 离心率 1
2
左右两焦点分
1 2F F 1B 顶点直线l 椭圆相交 M N 两点 1 2FM FN M 1B 重合时
时 8 3 3( )5 5N．
（Ⅰ）求椭圆标准方程
（Ⅱ）存实数 1 2FM FN  1[ 2]2  记 1 2MF F 面积 1S 1 2NFF 面积
2S求 1 2+SS 取值范围．

21 （题满分 12 分）已知函数 () ( )ln( )f x x a x a  （ 0x  0a  ）．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 单调区间
（Ⅱ）等式： ( ) ( 1)(e 1) 0xfx x  意 0x  恒成立求 a 取值范围．

（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xoy 中 坐标原点极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系已知直线 1l 参
数方程
cos
1 sin
x t
y t



  
（  0 π t  参数）直线 2l 方程 πsin( ) 2 24    M 曲
线 2l 动点点 P 线段OM 满足 8OM OP  ．
（Ⅰ）求点 P 轨迹C 直角坐标方程
（Ⅱ）设点 (01)N直线 1l 曲线C 相交 A B 两点 1 1 4 3
3NA NB  求直线 1l 方程．

23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 ( ) 1 2fx x x   ．
（Ⅰ）意 Rx 等式 ( )fx m 恒成立 m 取值范围
（Ⅱ）记满足条件 m 值 M 1 1 1a b c   8 abc M
求证：( 1)( 1)( 1) 1a b c   ． — 高三理科数学(四)第 5 页( 4 页) —

理科数学(四)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C C A B A C C D B C
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13 22π+ 3 14 1(]2 15 3 5(]8 8 16 4 3
3
三解答题(题 6 题 70 分)
17 解析（Ⅰ） 3 cos 3 cos 2 3b A a B b c 
正弦定理化3sin cos 3sin cos 2sin 3sinBAABBC
 3sin cos 3sin cos 2sin 3sinBAABBAB
3sin cos 3sin cos 2sin 3sin cos 3sin cosBAABBABBA
6sin cos 2sinBAB
 0 π sin 0BB   1cos 3A 
（Ⅱ） 12 2cos sin33AA   1 cos 6cos 223
AA
14 2sin23ABCSbc A  4bc 
ABC ABD ACDSSS  111sin sin sin2222 2
AAbcA cAD b AD

2 cos 86 8 6 2 62
336
Abc
AD bc b c bc
 

仅 2b c  时角分线 AD 长值 2 6
3

18解析（Ⅰ） ABC 等边三角形 D AC 中点 BD AC 
SASCSDAC  
BD SD D  AC  面 SBD
AC  面 ABC 面 ABC  面 SBD
(Ⅱ)(1)知 SDB 二面角 S AC B  面角 SDB 钝角
S 作直线 BD 垂线垂足 E
AC  面 SBD AC SE 
SE BD BD SE E SE  面 ABC — 高三理科数学(四)第 6 页( 4 页) —
M
DAC
B
Sz
y
x
E
2 31 3 3
3 12 8SABC ABCV S SE a SE a    3
2SE a
2 2 3SD SC DC a   2 2 3
2DE SD SE a  
D 原点 DB DC 分 x y 轴 D 引行 ES 射线 z 轴建立空间直角坐标系
3 3 3(0 0) ( 00) (0 0) ( 0 )2 2 2 2 2
a a a a aABCS  3(00 )4
aM
3 3 3(0 ) ( 0) ( 30 )2 4 2 2 2
a a a a aAM BC BS a    
设面 SBC 法量 ( )n xyz AM 面 SBC 成角

0
0
n BC
n BS
  
 

 


3 02 2
33 02
a ax y
aax z
 
  

取 2x 2 3(1 3 )3n 
3 3 13sin cos 134 13
43
n AM an AM
an AM


  

 
 
 
直线 AM 面 SBC 成角正弦值 3 13
13

19解析(Ⅰ) 20 40 40 60 60 8000025 20 0005 20 001 202 2 2       
80 100 100 120 120 1400015 20 0013 20 00045 20 8782 2 2
     
202 142  
~ ( 202)W N  (736 1304) ( 3 )PW P W    
 1( )(3 3)2 PW P W     084
(Ⅱ)  1225 878100 100 3040878
Wm 

   
专营店 A获品牌总店提供 4 次抽奖机会
X 值010000200003000040000

4
0
4
2 16(0) 3 81PX C      

3
1
4
1 2 32( 10000) 3 3 81PX C         

2 2
2
4
1 2 24( 20000) 3 3 81PX C         

3
3
4
1 2 8( 30000) 3 3 81PX C         
— 高三理科数学(四)第 7 页( 4 页) —

4
4
4
1 1( 40000) 3 81PX C      

X 分布列：
X 0 10000 20000 30000 40000
P 16
81 32
81 24
81 8
81 1
81
数学期 16 32 24 8 1 400000 10000 20000 30000 +4000081 81 81 81 81 3EX     
20 解析（Ⅰ）令 )0()()0( 121 bBocFcF  题意：
①


cc
bKKNFBFNFBF
5
8
5
33
211211
② 2
1
a
ce 联立①②： 32  ba
椭圆标准方程： 134
22
 yx
（Ⅱ）延长 1MF 交椭圆 1N 1 2FM FN 椭圆称性： 21 NFFN  2S 等
1 1 2NFF 面积 1 2+SS 等 1 2N MF 面积设直线 1MN 直线方程： 1 tyx
令 )()( 2211 yxNyxM： 096)43(
1
134 22
22





 tyyt
tyx
yx


2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2
6 9 12 1 ( ) 43 4 3 4 3 4
t tyy yy yy yy yytt t
    

：
2
1 2 1 2 1 2 2
1 12 1+ 2 3 4
tSS FFy y t
  


2
1 2 2 2
1 2 1 2
21 2 2 2
9
1 13 4 2 3 16(1 ) 43 4
yy y tFM FNy y tyy y tt
 


  
    
   

21 42 02 5t     
令 )5
531(12  t
：
2
1 2 2 2
12 1 12 12+ 13 4 3 +1 3 +
tSS t

  

 — 高三理科数学(四)第 8 页( 4 页) —
1 2 3 5[1 ]1 53 
 单调递减 1 2
9 5[ 3]8SS 
21 解析（Ⅰ）
 1 11 ln( )1ln10e ea f x x a  时 ( )f x 单调增区间 0+
12 0 ea  时    1 1 ln( ) 1 0 0 0e ef x x a x a f x x a  
( )f x 单调增区间 1 e a    
( )f x 单调减区间 10 e a   

（Ⅱ）令 ( ) ( )ln( ) ( 1)(e 1)( 0)xhxxaxax x   ：
  ln( ) (e 1) 1xhx xax      1 ( 1)e 1 0xhx xx a
   

   0h x   单调递增
11 ea  时    0 ln 1 0h x h a       0h x  单调递增
  (0) ln 0 1h x h a a a  
12 0 ea  时     10 ln 1 0 1 1 (1 )(e 1) 0ah a h a a     
  (01 )h x a  唯零点 0x x 易知 0x x  h x 极值点：
0
min 0 0 0 0( ) ( ) ( )ln( ) ( 1)(e 1)xhx hx xa xa x    0
0 0ln( ) (e 1) 10xx a x 
  02
0 0 0 0 (1 ) 1(e 1)( )xh x x a x x a     
令   2 (1 ) 1( (01 ))g x x a x x a    ：
2
max
1 (1 )( ) ( ) 1 02 4
a ag x g    
 0 0h x  符题意 综： 1a 
22 解析（Ⅰ）设点 P 坐标  点 M 坐标 1  8OM OP 

1
1
8
πsin( ) 2 24
 
 
   
整理轨迹C极坐标方程 π2 2 sin 4     

轨迹C 直角坐标方程    211 22  yx
（Ⅱ） 1l 参数方程代曲线C 直角坐标方程    2sin1cos 22   tt
整理 01cos22  tt  1cos2 2121  tttt  点 (01)N 曲线C 部
 2 2
1 2 1 2 1 2+ 4 4cos 4NANBtt tt tt  
2
1 2
1 2
+1 1 4cos 4 4 3 1 3
NA NB t t
NA NB NA NB t t
    — 高三理科数学(四)第 9 页( 4 页) —
解
3
1cos 2 
3
3cos  2k 直线 1l 方程 12  xy
23 解析（Ⅰ）







232
211
123
)(
xx
x
xx
xf 1)(21 min  xfx 时
题意： 恒成立 Rxmxf )( mxf  min)( 1m
（Ⅱ）（Ⅰ）知： 1M  8abc ：
14441)1(1)1(1)1()1)(1)(1(
222
 cbacbacba
取等条件： 2 cba




































— 高三理科数学(四)第 10 页( 4 页) —
高三理科数学（四）选择填空详细解析
1B解析  2 0RCA ax axa xR   042  aa  04RC A 
 1 xxBRCA B   1 4x x  选 B
2A解析 1 3i (1 3i)( +i) 1 3 (1 3)i1 (1 i)( +i) 2z i
    
1
1
3
2 2
iz   1 3(1 3)i 3i 1 3+ i 12 2 2 2 2
    选 A
3 C解析回方程定点 x y 2y 代入回方程 25x a 25选 C
4 C解析 a b  互相垂直单位量 2 cos 3c ac ac      
2
3cos  a c 夹角 30° b c 夹角 60° 120°右图
 2 2 2
2 3bc bc b bcc          7 选 C
5A解析 3 2 14S a a 
1 2 3 2 14 a a a a a   2
1 1( 2 1) 4 a q q a   na 等数列 1 0a  2 2 1 4q q 
1q  3q   3q   3 2 14S a a  充分必条件选 A
6 B解析 03
4 32 1 log 5 1 log 4 1a c b  
 2
3 4
ln 4 ln 3ln 5ln 4 ln 5log 4 log 5 ln 3 ln 4 ln 3ln 4b c   
 
2 2 2
2ln 3 ln 5 ln15 ln16ln 3ln 5 ln 42 2 2
    

 2ln 4 ln 3ln 5 0ln 3ln 4b c   cb 选 B
7A解析 exy x  +1 exy x  函数 1
递减 1 递增 1x 时 0y 图
存 m R ( )y fx m  三零点 ( )y m fx
三交点图 11 ea  选 A
8C解析 π() 2sin(2 )4fx x  区间 1 2( )x x 仅 2 极值点 1 2
3
2 2
T Tx x  
1 2
3π( ) ( ) 24fx f x  2 2 2
3π 3π π 3π π π( )2sin2 2sin 24 4 4 2 2 4fx x x           

2 2
π2sin 2 ( )4x fx     
1 2( )+ ( ) 2fx fx  — 高三理科数学(四)第 11 页( 4 页) —
π() 2sin(2 )4fx x 
1( ) 0f x  2( ) 0f x 
   212121 bbxaax  符合题意
1 2 1 1min
3 3 π4 4xx ba T  
1 2 2 2max
5 5 π4 4xx ba T   选 C
9C解析1～10 中13579 阳数三数中少两阳数成等差数列：
三阳数：135357579159（4 种）
两阳数：123345567789147369（6 种）
3
10
10 10 1
120 12PC   选 C
10D解析设直线 AC 直线l斜率 1 2k k 直线l直线 BC 关直线 2x 称
2BCk k AC BC 1 1BCkk  1 2 1kk  设点 ( )Px y 1 22 2
y yk kx x  

1 2 1kk  12 2
y y
x x  
2 2 4( 0)xy y  选 D
11B解析图点 1C 作 AEHC1 交 11DA 点 H连接 AH截面 HAEC 1 截面
面 ABCD射影行四边形 AECL截面面 1 1BCC B 射影行四边形 JBEC1 设
EC x  1 01BC xx  易知 1S x 21S x  1 2 1SS x x 1 2x 时 1 2SS
值 1
4 选 B
12C解析①曲线C四条称轴 x 轴 y轴 y x y x
②令 y x 易知曲线C点 2 24 4
 
   
该点原点距离 1
2

 
22 232 2 2 2
2
x yx y xy       
仅 x y 时取易知曲线C点原点距离
2 2
max
1
2d xy  
③   3 32 2 2 2 2x y xy xy   仅 x y 时取 max
1
8S xy 
④② 00 圆心 1
2
半径作圆圆半径 π
4
四叶草面积 π
4 选 C
13 22π+ 3
解析三视图知该体圆柱三棱锥组合成体积— 高三理科数学(四)第 12 页( 4 页) —
2 1 1 2π1 2+ 2122π+3 2 3 
14 12
   
解析点(11) D (11) 代入等式组 11 2k  1
2k 
15
3 58 8
   
解 析 2 1n nS a   1 12 1 2n nS a n    两 式 相 减
 12 2 2n n na a a n  12n na a   na 首项 2公 2 等数列 2n
na 
2 nn ta  2
2n
nt  令 2
2n n
nb  1 1 1
3 2 1 02 2 2n n n n n
n n nb b  
       nb
递减数列
集合 2 nn n t a  三元素需 3
4
t b
t b

 
解 3 58 8t    

16 4 3
3 解析 设直线 AB 方程： 1x ty  C联立 2 4 4 0y ty 
1 2 4yy  ① 3AF FB 1 23y y ② ① ② 解
1
2
2 3
2 3
3
y
y
 


1
2
2 3
2 3
3
y
y
 

1 2
4 3
3y y  — 高三理科数学(五)第 1 页( 4 页) —
高三第二轮复测试试卷
理科数学(五)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．设  1012U   集合  2|1A x x x U  UCA 
A． 012 B． 112 C． 10 2 D． 101
2设函数 xxf 2log)(  区间 )60( 机取然数 x 2)( xf 概率
A． 1
3 B． 2
3 C． 3
5 D． 4
5
3．已知项均正数等数列 na 中 132
13 22a a a 成等差数列 11 13
810
a a
a a


A． 27 B．3 C． 1 3 D．1 27
4．某区计划建造椭圆形花坛O 椭圆中心
ON 位椭圆长轴 MON 直角欲中建立
长方形水池图已知矩形OAPB 8ON 
6OM  该矩形面积
A．10 B．12 C． 20 D． 24
5．元著名数学家朱世杰四元玉鉴中首诗：
壶酒携着游春走遇店添倍逢友饮斗店友四处没
壶中酒问壶中原少酒？程序框图表达图
示终输出 0x  开始输入 x 值
A 3
4 B 7
8 C15
16 D 31
32
6． x y 满足约束条件
1
1
22
x y
x y
x y
 
   
  
目标函数 z ax by 
( 0 0)a b  值 7 3 4
a b 值
A7 B13 C14 D18 — 高三理科数学(五)第 2 页( 4 页) —
O
A1
AB
B1
C
C1D1
D
7已知| | | | 2OA OB   点C 线段 AB | |OC 值 1| |OA tOB  (t R )
值
A 2 B 3 C2 D 5
8已知复数 1 cos 2 ( )iz x fx  2 ( 3 sin cos ) iz xx   xR复面设复数 1z 2z
应点分 1Z 2Z 1 2 90Z OZ   中O 坐标原点函数 ( )f x 值
A． 1
4 B． 1
4 C． 1
2 D． 1
2
9已知 2 2
0
2 4a xdx  2020(1 )ax  2 2020
0 1 2 2020 ( )bbxbx bx xR   
20201 2
2 20202 2 2
bb b  值
A 1 B0 C1 D 2
10图正方体 1 1 1 1ABCD ABCD 中点O线段 BD 中点．设点 P 线段 1CC 直线OP
面 1ABD 成角 sin 取值范围
A． 3[ 1]3

B． 6[ 1]3
C． 6 2 2[ ]3 3 D． 2 2[ 1]3
11已知数列 na 等差数列 nS 前 n 项 2 55 35a S  数列 1{ }
na 前 n 项 nT
切 *Nn 2 25n n
mT T  m 取整数
A3 B 4 C5 D 6
12已知双曲线C：
2
2 1( 0)x y mm   离心率 6
2
点  20P 直线 l 双曲线C 交
两点 ABAOB 钝角（中O 坐标原点）直线 l 斜率取值范围
A 5 5( )5 5 B 5 5( 0) (0 )5 5  C 2 2( )2 2 D 2 2( 0) (0 )2 2 
二填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13设量 (2tan tan )a   量 (4 3)b   | | 0a b   tan( )   ________．
14某校高三年级组 3 名青年语文老师4 名数学老师5 名英语老师中挑选 5 组成高三学生
心理减压辅导组语文数学英语老师少选择方法种数______(数字作答)．
15定义R 函数 ( )f x 满足 ( ) ()f x fx  0x 时
2 1 1 0
( ) 12 ( ) 12
x
x x
f x
x
     

意 ]1[  mmx 等式 )()1( mxfxf  恒成立实数 m 取值范围_____．
16棱长 446  密封直棱柱容器半径 1 球晃动容器球
空间体积_________． — 高三理科数学(五)第 3 页( 4 页) —
三解答题题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤
（）必做部分
17( 题 满 分 12 分 ） ABC 中 角 ABC 应 边 分 a b c
tan 3( cos cos )bB aCcA  ．
（Ⅰ）求角 B
（Ⅱ）函数 π( ) 2sin(2 ) 2cos26fx x x  6( )2 5f A  求 πcos( )6A 值．



18(题满分 12 分）图：正四面体 ABCD点 MN 分棱 ABCD 点 N 线
段CD 中点
（Ⅰ）求证：面 ABN  面 MCD
（Ⅱ）点 P 棱 AD 点二面角 A BC P  30
求直线 AC 面 PBC 成角正弦值







19(题满分 12 分）1885 年沙门氏菌等霍乱流行时分离猪霍乱沙门氏菌定名沙门氏
菌沙门氏菌属专类致病动物致病动物致病统计世界国
种类细菌性食物中毒中沙门氏菌引起食物中毒常列榜首2019 年 10 月 26 日江西省南昌
市发生起食品中毒事件截止 11 月 1 日疾控机构 596 名相关员开展流行病学调查
采集 50 份病例报告中 43 份检查出肠炎沙门氏菌
现某疾控中心筛查沙门氏菌需检验粪便现 n 份样样取性相等
两种检验方式：①逐份检验需检验 n 次②混合检验中 k 份样分取样混起检验
检查结果含沙门氏菌 k 份样需次检验检验结果含沙门氏菌明
确 k 份样究竟份含需 k 份逐份检验假设接受检验样中份样
检查结果相互独立份样结果含沙门氏菌概率 p
现取中 k 份样记采逐份检验方式需检验总次数 1X采混合检验方式检验总次数
2X
（Ⅰ） 1X 2X 数学期值相等请 k 表示 p 求函数 ( )p fk
（Ⅱ） p 检验时某药剂量 nx 关中 )2(21 nxxx n  满足： 11 x 31 en
n
x
x
 
3
4
11
x
p  时采混合检验方式样需检验总次数期值逐份检验总次
数期值更少求 k 值
（参考数： 609415ln386314ln098613ln693102ln  ）


— 高三理科数学(五)第 4 页( 4 页) —
20（题满分 12 分）已知椭圆C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b    离心率 3
2
椭圆C 四顶
点围成四边形面积 4
（Ⅰ）求椭圆C 方程
（Ⅱ）C 左顶点顶点分 A B P 线段 AB 点直线 )0(2
1  mmxy 交椭
圆C MN 两点． MNP 斜边长 10 直角三角形求直线 MN 方程．





21(题满分 12 分）已知函数    1 lnfx x x 
（Ⅰ）证明：意  1x     2 1fx x  恒成立
（Ⅱ） 1 2x x 函数   ln 2019
xhx x  两零点 1 2x x 证明： 2
1 2 ex x 





（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22（题满分 10 分）直角坐标系 xOy 中曲线C 参数方程










2
2
2
2
1
323
1
1
t
tty
t
tx
（t 参
数）．坐标原点 O 极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系直线 l 极坐标方程
02sincos  
（Ⅰ）求曲线 C 普通方程直线l 直角坐标方程
（Ⅱ）点 (2 4)P设曲线C 直线l 交 AB 两点求| || |PA PB



23（题满分 10 分）设函数 1()|3 |2| |2fx x x  ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 取值范围
（Ⅱ）意 st R 等式 (| 1| |1 |) ()kt t fs  恒成立求 k 取值范围．



— 高三理科数学(五)第 5 页( 4 页) —

理科数学(五)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D C A B B A B B D
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 1
7
14．590 15． 1[ 1 ]3 

16． 2856
3

三解答题题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．解析（Ⅰ）  tan 3 cos cosbB a C c A 正弦定理
 sin tan 3 sin cos sin cosBBACCA
 sin tan 3sin 3 sinBBACB 
0 πC  sin 0B  tan 3B  π
3B 
（Ⅱ）   πππ2sin(2 ) 2cos2 2sin2 cos 2cos2 sin 2cos 2666fx xxxxx 
π3sin2 cos2 2sin(2 )6xxx π 6( ) 2sin( )26 5AAf   ∴
π 3sin( )6 5A 
(1) π
3B  2π(0 )3A  ππ π()66 2A   
2ππ 4cos( ) 1sin( )66 5AA  
ππ πππ πcos( ) cos( ) cos( )cos sin( )sin663 636 3AAAA   
4 1 3 3 4 3 3
5252 10
    

18．解析（Ⅰ）证明：∵ 正四面体 ABCD∴ ACD BCD 均等边三角形
N CD 中点∴ CD AN CD BN AN BN N
∴ CD  面 ABNCD  面 MCD
∴ 面 ABN 面 MCD
（Ⅱ）失般性设正四面体棱长 2
解法：设点 A 面 PBC 射影 A AA  面 PBC取棱 BC 中点 E 连 AE
∵ ABC 等边三角形∴ AE BC AA  面 PBC∴ AA BC  ∴ BC  面 AA E
BC A E ∴ AEA 二面角 A BC P  面角 030AEA  — 高三理科数学(五)第 6 页( 4 页) —
∵ 3 32AE AB 
∴
1sin 23
AA AAAEAAE
     ∴ 3
2AA 
∵ AA  面 PBC点 A面 PBC
∴ ACA 直线 AC 面 PBC 成角面角
∴
3
32sin 2 4
AAACAAC
  
直线 AC 面 PBC 成角正弦值 3
4

解法二：图：点 A 面 BCD射影O原点点O BC 行直线 x 轴OD
直线 y 轴OA直线 z 轴建立空间直角坐标系
2 3 3 3 2 6(0 0) ( 1 0) (1 0) (00 )3 3 3 3D B C A 
设 ( (01))AP AD    2 3 2 6 2 6(0 )3 3 3P  
∴ (200)BC  3 2 6( 1 )3 3CA  
3 2 3 2 6 2 6( 1 )3 3 3 3CP   
设面 ABC 面 PBC 法量分 1 1 1 2 2 2() ()m xyz n xyz  

1
1 1 1
2 00
3 2 6 00 3 3
xm BC mBC
x y zm AC mAC
               
   
   
⊥
⊥
取 1 1z  (0 2 21)m  
理
2
2 2 2
2 0
3 2 3 2 6 2 6( ) ( ) 03 3 3 3
x
x y z 
  
取 2 1z  2 2( 1)(0 1)2 1n 

 

∵ 二面角 A BC P  030 ∴ 2
2
8( 1)| 1|| | 32 1cos30 2| || | 8(1 )3 1 (2 1)
m n
m n




   
  

 
 
解 3( 6 1)
10  ∴ 8 2 9 3(0 1)5n  — 高三理科数学(五)第 7 页( 4 页) —
设直线 AC 面 PBC 成角
2
3 8 2 9 3 2 6| || | 33 5 3sin 4| || | 8 2 9 32 ( ) 15
CA n
CA n

  
 
 
 
∴ 直线 AC 面 PBC 成角正弦值 3
4

19．解析（Ⅰ）题意知 kEX 1
kkk pkkpkpEX)1()1(])1(1)[1()1(12 
21 EXEX  kpkkk )1()1(  整理
111()()kp f k k  
（Ⅱ） }{ nx 等数列
1
3e
n
nx

 3 e
11p ∵ 21 EXEX  kpkkk )1()1( 
∴ 3
1 1 1(1 ) ( ) ln 3e
k kp kkk  
设函数 )0(3
1ln)(  xxxxf
x
xxf 3
3)(＇  )(xf )3[  单调递减

03
55ln)5(609415ln
03
44ln)4(386314ln
013ln)3(098613ln
03
22ln)2(693102ln




f
f
f
f
k 值 4
20．解析（Ⅰ）题意 4222
12
3  baSa
ce 2 2 2a b c  2 1a b
椭圆C 方程
2
2 14
x y 
（Ⅱ）设 )()( 2211 yxNyxM







14
2
1
2
2
yx
mxy
消 y 012
1 22  mmxx
02 2  m mxx 221  22 2
21  mxx
2
21 510||2
5|| mxxMN  ． — 高三理科数学(五)第 8 页( 4 页) —
① MN 斜边时 10510 2  m 解 0m 满足 0 时 MN 直径圆方程
2 2 5
2x y  点 )10()02(BA  分圆外圆线段 AB 存点 P时直线 MN
方程 xy 2
1 满足题意
② MN 直角边时两行直线 AB MN 距离 2 5 | 1|5d m 
10)510(|1|5
4|| 2222  mmMNd 04821 2  mm
解
7
2m
3
2m （舍） 0
7
2m
点 A作直线 MN
7
2
2
1  xy 垂线垂足坐标 )7
47
12(  垂足椭圆外线段
AB 存点 P直线 MN 方程
7
2
2
1  xy 符合题意．
综述直线 MN 方程 xy 2
1
7
2
2
1  xy ．
21．解析（Ⅰ）意  1x     2 1fx x  恒成立等价    2 1ln 0 11
xx xx
 
恒成立令      2 1ln 11
xgx x xx
 
   
 
2
2
1 0
1
xg x
x x
  


 1x    0g x  恒成立  g x  1 单调递增    1 0g x g 
（Ⅱ） 2
1 2 1 2e ln ln 2xx xx   注意   2019
2019
xh x x
 
     0 2019 0x fx fx  单调递增      2019 0x fxfx   单调递减
（I）知令  0ax a bb  (*)ln ln 2
a b a b
a b
 
已知：
1
1
2
2
ln (1)2019
ln (2)2019
xx
xx
 
 

（1）式（2）式： 1 2
1 2ln ln 2019
x xx x   （*）式 1 2 4038x x 
（1）式+（2）式： 1 2
1 2ln ln 2019
x xx x   1 2
1 2ln ln 22019
x xx x    2
1 2 ex x  — 高三理科数学(五)第 9 页( 4 页) —
22．解析（Ⅰ）曲线 C 参数方程










2
2
2
2
1
323
1
1
t
tty
t
tx
（t 参数）
2
2
11 11
t
t
 

1)1
2()1
1()3(x 2
2
2
2
2
22 
 t
t
t
ty 曲 线 C 普 通 方 程
2 2( 3) 1 ( 1)xy x     
直线 l 极坐标方程 02sincos   直线 l 直角坐标方程 2 0x y  
（Ⅱ）（Ⅰ）直线 l 参数方程
22 2
24 2
x t
y t
  
  
代入 2 2( 3) 1x y  
2 22 2(2 ) (4 3) 12 2t t   2 3 2 4 0t t  设点 AB 应参数分 1t 2t
1 2
1 2
3 2 0
4 0
t t
tt
     
 1 2 1 2 3 2PAPB t t tt   
23．解析（Ⅰ） 1()|3 |2| |2fx x x  1
2x  时 ( ) 3 4fx x 
1 32 x  时 ( ) 2fx x  3x  时 ( )3 4fx x  ( )f x 值 5
2
5( ) 2f x 
（Ⅱ）题意知：意 st R 等式 (| 1| |1 |) ()kt t fs  恒成立
等价 5(| 1| |1 |) 2kt t  恒成立设 | 1| |1 |ut t   | 1| |1 | 2ut t  
2 2u  52 2k  52 2k  解 5 5
4 4k  











高三理科数学（五）选择填空详细解析
1．B解析 2 1x  ： 1 1x   0A   112UC A  
2C解析已知 2( ) logfx x 区间(06) 机取然数 x 12345五数— 高三理科数学(五)第 10 页( 4 页) —
( ) 2f x  0 4x  123三数概率 3
5
3．A解析题意 3 1 23 2a a a  2
1 1 13 2a q a a q  解 3q  1q  （舍）
11 13
8 10
a a
a a

 ＝
3 5
38 8
2
8 8
27a q a q qa a q
   ．
4D解析设 )sin6cos8( P  2sin24sin6cos8 OAPBS矩形

4
  24OAPBS 矩形 选 D
5．C解析 1 2 1i x x   2 2 (2 1) 1 4 3ix x x    3 2 (4 3) 1 8 7ix x x   
4 2 (8 7) 1 16 15ixx x    16 15 0x   时解： 15
16x 
6．A解析作出等式组
1
1
2 2
x y
x y
x y
 
  
  
表示面区域
图 ABC 部中      10 01 34A B C
设     0 0z F x y ax by a b   直线 l z ax by  进行移
l 点C 时目标函数 z 达值  34 3 4 7F a b    1 3 4 17 a b 
3 4 1 3 4 1 12 12(3 4)( ) (25 )7 7
b aa ba b a b a b   
12 12 12 122 24b a b a
a b a b 
1 12 12 1 1(25 ) (25 24) 49 77 7 7
b a
a b   
仅 1a b  时 3 4
a b 值 7
7B解析∵ 2OA OB   ∴ 点 O 线段 AB 垂直分线．
∵ 点C 线段 AB OC 值 1∴ C AB 中点时 OC 时 1OC 
∴ OB OC 夹角60∴ OA OB  夹角120 ．
2 2 22 2OA tOB OA t OB tOA OB          24 4 2 2 cos120t t   24 2 4t t 
214( ) 3 32t   仅 1
2t  时等号成立．
∴
2
OA tOB  值 3∴ OA tOB  值 3 ．
8B解析条件 1(cos 2 ( ))Z xfx 2 3 sin()cos 1x xZ  1 2OZ OZ — 高三理科数学(五)第 11 页( 4 页) —
cos ( 3 sin cos ) 2 ( ) 0x x xfx   化简 1 π 1() sin(2 )2 6 4fx x 
sin(2 ) 1π
6x   时 1 π 1() sin(2 )2 6 4fx x  取值 1
4
9 A解析积分意义知 22 1( π 2 ) 2π 4a   
2020 2 2020
0 1 2 2020(1 2 )  x bbxbx bx 中 0 1b 
令 1
2x  20201 2
0 2 2020 02 2 2 
bb bb ∴ 20201 2
2 2020 12 2 2  
bb b ．选 A
10．B解析直线OP 面 1ABD 成角 取值范围
1 1 12
πAOA C OA  1
6sin 3AOA 
1 1
6 3 2 2 6sin 2 3 3 3 3C OA   sin π 12 
sin 取值范围 6[ 1]3
．
11B解析题意 1 12 1 2 1  n
n
a n a n
令 2 n n nA T T 1 1 12 3 2 5 4 1   nA n n n
1
1 1 1 1 12 5 2 7 4 1 4 3 4 5      nA n n n n n
1
1 1 1 1 1 1 0434523464623         n nA A n n n n n n
1 n nA A 切 *n N 成立 1n  nA 取值 1
5
1 525 5 m m m 取整数 4选 B
12D解析解法：题意双曲线 C
2
2 12  x y
设直线 l： 2 x ty 双曲线 C 联立： 2 22 4 2 0  t y ty
设点    1 1 2 2BAxy xy  
2
2
1 2 1 2 1 2 1 22 2
2 2 8 2 42 2
    
tyy xxtyy tyyt t

AOB 钝角 1 2 1 2 0 xx yy

2
2
2 6 02
  
t
t
出 2 2 0t   直线 l 斜率 2
2
1 1
2k t  解 2 2
2 2k 
0k  时 AOB 钝角直线 l 斜率取值范围 2 2( 0) (0 )2 2  选 D — 高三理科数学(五)第 12 页( 4 页) —
解法二：题意双曲线 C
2
2 12  x y 两条渐线方程 2
2y x 点(20) 双曲线
部直线l 双曲线支交 AB o90AOB  合题意直线l 双曲线左右两
支分交 AB o90AOB  恒成立 2 2
2 2k  0k  时 AOB
钝角直线 l 斜率取值范围 2 2( 0) (0 )2 2  选 D
13
7
1 解析：| | 0a b   2 tan 4 0   tan 3 0   3tan2tan  

7
1)tan(  
14590解析分三种情况：选名英语老师选两名英语老师三名英语老师考虑方
法数360 210 20 590  
15 1[ 1 ]3  解析题意函数 ( )f x 定义 R 区间( 0) 单调递增偶函数
等式 ( 1) ( )fx fxm   恒成立| 1|| |x xm  
2(2 2) 1 0m xm   意 [ 1]x mm  恒成立代入端点
3
11  m
16 2856 3
π 解析容器八角附区域满足题意 3
1
π1 4 48(1 1 ) 88 3
π
3V    
容器十二条棱附区域满足题意体积 2 2
2 8(1 )2 4(1 )4 3284 4
π π πV   
球空间体积 1 2
286 4 5 π4 6 3V VV   — 高三理科数学(六)第 1 页( 4 页) —
高三第二轮复测试试卷
理科数学(六)

试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1 设集合  2A x x  B x x a  全集 RU  UACB
A 0a  B 2a  C 2a  D 2a 
2 列关命题说法正确
A 命题 0xy  0x  否命题 0xy  0x 
B 命题 0x y  x y 互相反数逆命题真命题
C 命题 Rx  22 1 0x   否定 Rx  22 1 0x  
D 命题cos cosxy x y 逆否命题真命题
3 复数 z 轭复数 z满足 2i 3 0   zz z 
A 1 i B 1 i C 1 2i D 2 i
4 已知机变量 X 服正态分布   4N a  1 05PX    2 03PX  
(0)PX  等
A 02 B 03 C 07 D 08
5 函数 () sin 2cosfx xx 区间[0 ] 值域
A [ 2 2] B [ 5 5] C [ 5 2] D [ 2 5]
6 数列 na 等差数列 7421a a   3 0a  公差 d 
A 2 B 1
2 C 1
2 D 2
7 执行图示程序框图果输入  22x  输出 y 值取值范围
否

结束输出y
y
x
x+1
yx+
1
xx<0输入x开始

A 5
2y   0y  B 22 3y   C 2y   20 3y  D 2y   2
3y 
— 高三理科数学(六)第 2 页( 4 页) —
8 七名学站成 2 排相前排3 排 4 站位机甲乙两中少
站前排概率
A 5
7 B 4
7 C 3
7 D 2
7
9 体三视图图示（图中正方形单位正方形）该体外接球表面积
A112
3 π
B 41π
C 45π
D 48π

10 图矩形 ABCD 中 4AB  3AD  M N 分线段 BC DC 动点
2MN  AM AN  值
A 25 7 2 B 15 C 16 D 17
11 双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b   渐线 1 2l l 点 ( 0)A m ( 0)m  斜率 3 直线分
交 B C 两点 2AB CA  双曲线离心率
A 2 3
3 B 2 C 3 D 5
12 已知函数 ( ) 2 3fx x  ( ) lngx ax x  实数 s t 满足 () ()fs gt s t 值
2 实数a值
A e B 2 C 1 D 0

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13 已知实数 x y 满足
4 0
3 0
0
x y
y
x y
  
 
 



1
1
yz x
 
值 ．
14 已知函数   Rfx x 导函数  f x  3 7f    2f x    2 1fx x  解
集 ．
15 2 2sin 20 cos50 sin 20 cos 50   值 ．
16 正八面体图示面截正八面体列关截面形状说法：
①截面少四边形
②截面长宽相等矩形
③截面底角 60 等腰梯形
④截面正五边形
⑤截面正六边形
中正确 ．

第 9 题图
CD
AB
N
M
第 10 题图 — 高三理科数学(六)第 3 页( 4 页) —
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分） ABC 中角 ABC 边分 abc π
3A  4a  AD
BC 边中线．
（Ⅰ） 5b c  求 ABC 面积
（Ⅱ） π
2B DAC  求 ABC 周长．


18 （题满分 12 分）VR+5G 开启感知新时代题 2019 世界 VR 产业会 10 月
19 日 21 日江西南昌隆重召开次会邀请国外专家学者企业家等代表 7000 余
VR 领域次顶级盛会某校志愿者参会代表VR+5G 技术否 5 年进入普阶段
进行机抽样调查调查象里国代表国外代表数两倍国外代表持乐观
乐观态度占图示99握认否持乐观态度国外差异关．
（Ⅰ）调查象里国外代表少少？
（Ⅱ）调查象中国持乐观态度代表区分出明设计计算机算
法算法象作两次判断：先判断国籍象国外代表判断结束国
代表判断持态度．现频率估计概率调查象中机抽取 4 象作
出判断记判断次数 X求 X 分布列期．
1
0
乐观
乐观
国外代表国代表
08
06
04
02

参考公式： n a b c d 
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
    

19．（题满分 12 分）图等腰梯形 A BCD  中 AD BC  π
3A BC  2AD  
6BC  线段 AB 点 E 作 EF BC 交CD F着 EF 面 A EFD  折起
AEFD连接 AB DC 面体 AD EBCF ．
（Ⅰ）直线 AB DC 交 MBE CF 交 N求证： MN EF
（Ⅱ）)二面角 A EF B  成直二面角时直线 AB 面 DCF 成线面角正弦值
2 6
5
求 AE．





2
0( )PK k 005 001 0005 0001
0k 3841 6635 7879 10828
F
A
CB
E
D
F
D＇A＇
CB
E— 高三理科数学(六)第 4 页( 4 页) —
20 （题满分 12 分）已知 1 2F F 分椭圆
2 2
2 2 1 ( 0)x yE a ba b   左右焦点 1F
直线 l 交椭圆 E A B 两点果
1 2F AFS 时 1 2F AF 等腰直角三角形周长
4( 2 1) ．
（Ⅰ）求椭圆 E 标准方程
（ Ⅱ ） 斜 率 k 直 线 l 交 椭 圆 C D 两 点 l l 交 点 ( 11)M 
MA MB MC MD   求直线l方程．




21．（题满分 12 分）设函数 ( ) ( 1)ln 2fx x xx  ＇( )f x 导函数．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 单调区间极值
（Ⅱ）果 1 2x x 1 2( ) ( ) 4 0fx fx  证明： 1 2 2x x  ．




（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系 xoy 中已知曲线
2
1
6 (
6
x tC t
y t
 
 
参数)坐标原点极点x 轴正方
极轴建立极坐标系曲线 2 4C   曲线 1C 交第象限点 A．
（Ⅰ）求曲线 1C 极坐标方程点 A 极坐标
（Ⅱ） B 曲线 1C 点OB OA 求 AB．





23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
设函数 ( ) 2 1fx xabx   ．
（Ⅰ） 1a b  时求函数 ( )f x 值
（Ⅱ） 1b  时 ( ) 1f x  恒成立求实数 a 取值范围．





— 高三理科数学(六)第 5 页( 4 页) —
D
E
B C
A
理科数学(六)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C B D B C A B B A C
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13 1 14 (3 ) 15 3
4 16 ①⑤
三解答题(题 6 题 70 分)
17解析（Ⅰ） ABC 中 222 2 cosa b c bc A   222()316bcbcbc bc     
5b c  3bc  13 3sin24ABCSbc A
(Ⅱ) π
2B DAC    三角形角 π
2CBAD   
ABD 中
sin sin
ADBD
BBAD 

ADC 中
sin sin
ADDC
CDAC 

sin sin
sin sin
ADBC
BDBAD DAC 
sin sin
cos cos
BC
CB
sin2 sin 2BC
2
πBC   （舍） BC
ABC 等边三角形 ABC 周长12
（解：图作 ABC 外接圆延长 AD 交圆 E 连接 EB EC EAC EBC  
π
2EAC ABC   
2
πABE  AE 外接圆直径 AD BC  ABC 等边
三角形 ABC 周长12）
18 解析（Ⅰ）设国外代表数 x 国代表数 2x *x N

2
2
2
()
()( )( )( )
6 3 2 43( ) 35 5 5 5 66358 7 2825 5
n ad bcK a b c d a c b d
x x x xx
xx x x x
    




6193x  *5 x n n N  x 值65
(Ⅱ) 调查象中机抽取抽国代表概率 2
3

乐观 乐观 总计
国代表
6
5 x 4
5 x 2x
国外代表
2
5 x 3
5 x x
总计
8
5 x 7
5 x 3x — 高三理科数学(六)第 6 页( 4 页) —
Z
yO
x
M
F
BC
N
A
E
D
抽国外代表概率 1
3
机抽取 4 X 取值 45678

4
0
4
1( 4) 3PX C      

3
1
4
2 1( 5) 3 3PX C         

2 2
2
4
2 1( 6) 3 3PX C         

3
3
4
2 1( 7) 3 3PX C      

4
4
4
2( 8) 3PX C      

X 4 5 6 7 8
P
1
81 8
81 24
81 32
81 16
81
1 8 24 32 16 204 5 6 7 881 81 81 81 81 3EX      
19．解析（Ⅰ）取 BC 中点 P等腰 BCN 中 BC PN
等腰 BCM 中 BC PM BC  面 MNP BC MN 
EF BC MN EF 
(Ⅱ)图建立空间直角坐标系设 (0 0)F b ( 3 00)N b
易知直线 MN z 轴交点坐标 (00 3 )T b 易面 DCF
法量 ( 1 31)n   (0 1( 1) 3)A b 
((3 ) 3 30)B b  ((3 ) 3 2(1 ) 3)AB b b 

2
4 3 2 6sin cos 56 24 34 5
AB n
AB n
AB n b b


  
   
 
 
 
解 2b  2 4 6AD EF BC     知 1
2AE AB 2AE 
20．解析（Ⅰ）
1 2F AFS 时 1 2F AF 等腰直角三角形点 A 椭圆短轴端点
2 2
2 2 4( 2 1)
a b c
a c
  
 
解 2 2a  2b c  椭圆 E 标准方程
2 2
18 4
x y 
(Ⅱ)题意设 1 1 2 2( ) ( )Cxy Dx y 直线l倾斜角 方程 ( 1) 1y kx  椭圆联
立： 2 2
( 1) 1
2 8 0
y kx
x y
 
  
 22 2
1 22( 1)1 80(12)( )( )xkx kxxxx    ①
1 1
cos
xMC 
 2 1
cos
xMD 
 2
1 2cos ( 1)( 1)MC MD x x   
① 1 2 2
5( 1)( 1) 1 2x x k
  
2 2 2 2
5 5
cos (1 2 ) cos 2sinMC MD k   

设直线l 倾斜角  斜率 ＇k
理 2 2 2 2
5 5
cos (1 2 ) cos 2sinMA MB k   
MA MB MC MD   2 2sin sin     （舍） π   0k k  — 高三理科数学(六)第 7 页( 4 页) —
题意知直线l 方程 2y x  1k  直线l方程 0x y  (直线参
数方程求解略)
21．解析（Ⅰ） 1 1( ) ln 2 ln 1xfxx xx x
     2 2
1 1 1( ) xf x xx x
  
(01)x 时 ( ) 0f x  ( )f x 单调递减 (1 )x  时 ( ) 0f x  ( )f x 单调递减
1x  时 ( )f x 极值 (1) 0f  
(Ⅱ) （Ⅰ）知 ( ) (1) 0fx f   函数 ( )f x (0 ) 单调递增函数 (1) 2f 
1 2x x 妨设 1 2x x 1 20 1x x  1( ) 2f x  2( ) 2f x 
证 1 2 2x x  证 2 12x x  中 12 (1 )x   证 2 1() (2 )fx f x 
1 2( ) ( ) 4 0fx fx  需证 1 14 () (2 )fx f x   证 1 1( ) (2 ) 4fx f x  
设 () () (2 )( (1 ))Fx fx f xx   
1 1( ) ( ) (2 ) ln 1 ln(2 ) 12Fxfxfx x xx x
      
1 1ln ln(2 ) 2x x x x   

2 2 2 2
1 1 1 1 1 1( ) 2 (2) (2)
x xF x xxx xx x
       
2
2 2
4( 1) 0(2 )
x
x x
  
恒成立
( )F x (1 ) 单调减函数 ( ) (1) 0Fx F   ( )F x (1 ) 单调减函
数 ( ) (1) (1) (2 1) 2 (1) 4FxF f f f     成立 1 2 2x x  证
22．解析（Ⅰ）
26
6
x t
y t
 
 
知曲线 1C 普通直角坐标方程 2 6y x
化极坐标方程： 2sin 6cos 0   4  代入 24sin 6cos 0   解
π
3  点 A 极坐标(4 π)3
(Ⅱ)设 B 点极坐标( )  OB OA π
3
π
2 
6
π 

6
π  代入曲线 1C 极坐标方程 2
6cos 12 3sin
   2 24 8 7AB   
23．解析（Ⅰ） 1a  时
2 1
1( ) 2 1 1 3 1 2
12 2
x x
fxx x x x
x x

  
  

  
min
1 3() ()2 2fx f  
(Ⅱ) 1b  时 ( ) 2 1 2 1 12 2
a afxxax x x x x   12
a  仅
02
ax   ( )( 1) 02
ax x  取等号
2
ax  时 min( ) 12
af x   ( ) 1f x  恒成立
1 12
a   4a  0a  — 高三理科数学(六)第 8 页( 4 页) —
O
B
A
C
D
O＇
高三理科数学（六）选择填空详细解析
1 C解析  2 2Ax x   UC B x x a  2 a 选 C
2 B解析 0xy  0x  否命题 0xy  0x  A 错误
0x y  x y 互相反数逆命题 x y 互相反数 0x y  B 正确
Rx  22 1 0x   否定Rx  22 1 0x   C 错误
cos cosx y x y 假命题逆否命题假命题D 错误选 B
3C解析设 i z a b i 2i( i) 3 0  a b a b
2 3 0
2 0
a b
b a
 
  
1
2
a
b
  
选 C
4 B解析  ~ 4X N a 曲线关 x a 称   05P X a 
 1 05P X   知 1a   选 B
5D解析 ( ) 5 sin( )fx x   中 tan 2 )π(0 2   π[0 ]x 时 () [2 5]f x  
选 D
6 B解析 7 42 1a a   3 34 2 1a d a d    4 2 1d d   1
2d  选 B
7C解析题意知该程序功求函数  
0 21
1 2 0
x xxf x
x xx
    
  


值域
①0 2x  时      0 2f fxf    20 3f x 
② 2 0x  时   1 1 12 2fxx x xx x x
       
仅 1x x  

1x  时等号成立．综输出 y 值取值范围 2y  20 3y  选 C
8 A解析7 机站成两排排列方法 7
7A 种甲乙排排列 2 5
4 5A A 种

2 5
4 5
7
7
51 7
A APA
 
2
4
2
7
51 7
CPC  选 A
9 B解析体直观图图示 2 52 54sin
2 5
ABOABCA
  

2 2 2 2 25 414 4 4R OA OO OA     2 4 π4π 1S R 
选 B
10 B解析 A 坐标原点建立面直角坐标系 xoy 设 CNM   (0 )2
π 
(43 2sin )M  (4 2cos 3)N  — 高三理科数学(六)第 9 页( 4 页) —
x
y
H
D
C
B
OA
(43 2sin ) (4 2cos 3) 25 6sin 8cosAM AN       
25 10sin( )AM AN     中 4 3sin cos5 5   15AM AN    选 B
11 A解析图 B 点作 BH x 轴 H延长 BH 交OC D易 BH HD
设 2 2AB AC t   60BAH  2 2 3BD BH t 
3BC t 30CBD  BC CD 60BDC 
2 60BOD BOA  
3
3
b
a 
2
2
2 31 3
be a   选 A
12 C解析 2 3y x  右移2 单位会曲线 lny ax x  相切 ( ) 2 1fx x 
( ) lngx ax x  相切令切点 0 0( )x y 0
0
1＇( ) 2g x a x  0 0 02 1 lnx ax x 
0
0 0 0 0 0
0
2 12 1 ln ln 0 1xx xxx xx
    1a  选 C
13 1解析 z 意义区域点定点  11P  斜率图象知直线  13B 时
直线斜率时直线斜率 1 1
1
yz x
 
值 1
14 (3 ) 解 析 构 造 函数 ( ) ( ) 2 1Fx fx x  ( ) ( ) 2 0Fx fx    ( )F x 单 减
( ) 0 3Fx x  ( ) 2 1fx x  解集(3 )
15 3
4
解析 2 2 2 2sin 20 cos50 sin 20 cos 50 sin 20 sin 40 sin 20 sin 40       
2 2sin 20 sin 40 2sin 20 sin 40 cos120     
2 2 2(2 sin120 ) (2 sin 20 ) (2 sin 40 ) 2(2 sin 20 ) (2 sin 40 ) cos120R R R RR     
2 2 2 3sin 20 sin 40 2sin 20 sin 40 cos120 sin 120 4      
(解： 2 2sin 20 cos50 sin 20 cos 50    2(sin 20 cos50 ) cos50 sin 20    
2(sin 20 cos(30 20 )) cos(30 20 ) sin 20    
23 1 3 1[sin 20 ( cos 20 sin 20 )]( cos 20 sin 20 ) sin 202 2 2 2      
23 1 3 1( cos 20 sin 20 )( cos 20 sin 20 ) sin 202 2 2 2     
2 2 23 1 3cos 20 sin 20 sin 204 4 4    )
16 ①⑤解析①顶点截面左侧右侧数分类：(1)105时四边形1
14四边形123时梯形141时正方形204时六边形213
时五边形222时菱形303时六边形正确
②正确证明略③等腰梯形需105123形式两种形式等腰梯形
较底角均60 正确④错误证明略⑤图示正确正确①⑤ — 高三理科数学(六)第 10 页( 4 页) —
105形式 114形式形式 123形式 213形式 222形式 303形式
— 高三理科数学(七)第 1 页( 4 页) —
高三第二轮复测试试卷
理科数学(七)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知全集 R 集合    R()0 R ( ) 0Axfx Bxg x   ( ) ( ) 0f x g x 解集
A AB B  RCAB C  RCAB D  RACB
2．已知复数 z 满足  1i 3 iz    复数 z 轭复数模
A 2 B 22 C 2 D1
3．已知命题 p 00 x 0sin 00  xx 命题 q Rx  1 xex ．
列结正确
A qp  B qp  C qp  D qp 
4．实数 yx 满足等式组






022
042
0
yx
yx
x
22 yx  值
A 1 B 4 C 2 D
5
4
5．函数
xx
xy sin
cos6
 部分图象致
A B
C D
6．执行图示程序框图输出 M 值3 判断框中条件
A 6i B 7i C 8i D 6i — 高三理科数学(七)第 2 页( 4 页) —
7． ABC 中D AC 点 π2 2 2 4AD DC AB BAC    E BD 中
点 BCAE
A
4
12  B
2
22  C
2
12  D
4
22 
8．已知数列 na 通项公式 152  nan 前 n 项 nS数列 na 前 n 项 nT
列结正确
① 8n 时 nn ST  ② 8n 时 72SST nn 
③ 8n 时 nn ST  ④ 8n 时 7STn 
A ①③ B ②④ C ②③ D ①④
9．已知函数   sin( )( 0)6
πfx x    导函数  xf  区间 0 2π 仅 5 零点
取值范围
A 23 16[ )6 3
B 23 16( )6 3
C 13 8[ )6 3
D 13 8( )6 3

10 ． 已 知 双 曲 线 1 2
2
2
2
 b
y
a
xC 焦 点 1 2F F P C 点 1 2
π
3FPF 
421 FF 1 2PFF 面积 3 双曲线C 渐线方程
A 03  yx B 03  yx C 02  yx D 02  yx
11．已知函数   xxaxxf 32
23  区间 51 单调函数 a 取值范围
A 72( ][0 )5   B 72( )(0 )5  C 72( 0)5 D 72[ 0]5
12．已知函数  2xf 图关点 02 称   0x 时    xfxfx  恒成立
3cos2cos1cos  cba 列结正确
A      bfafcf  B    cbfbcf  C    acfcaf  D    bafabf 

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．函数 2
1
2
log (2 1)y xx  单调递减区间 ．
14．已知 3(0 )sin π( )4 5π   cos ．
15．某师范学数学系派 13 实老师某中学实现教务处 13 实生分配高
中三年级年级分 5 外两年级分 4 种分配方案．
16．已知函数   xaxxxxf 1ln  直线 1 xy 两交点实数 a 取值范围
． — 高三理科数学(七)第 3 页( 4 页) —
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）已知 ABC 角 ABC 边长分 abc ． abBc  2
1cos
（Ⅰ）求C
（Ⅱ） 3c 求 ABC 面积值．





18．（题满分 12 分） 图四棱锥 P ABCD 中 PA  面 ABCD
ABC 正三角形 3 ABPACDAD  120CDA   ．
（Ⅰ）求证：面 PBD 面 PAC
（Ⅱ）求面 PBC 面 PAD 成锐二面角余弦值．






19．（题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器该种机器三年淘汰．机器易损
零件购进机器时额外购买种零件作备件 200 元．机器期间果备件
足购买 500 元．现需决策购买机器时应时购买易损零件搜集整理 100
台种机器三年期更换易损零件数面柱状图：











100 台机器更换易损零件数频率代 1 台机器更换易损零件数发生概率记 X 表示
2 台机器三年需更换易损零件数 n 表示购买 2 台机器时购买易损零件数．
（Ⅰ）求 X 分布列
（Ⅱ）求 ( ) 05P X n  确定 n 值
（III）购买易损零件需费期值决策 19n  20n  中选应选
？


— 高三理科数学(七)第 4 页( 4 页) —
20．（题满分 12 分）已知直线 l 01  yx 椭圆C：  012
2
2
2
 bab
y
a
x 焦点 F
C 相交 NM 两点 E MN 中点OE 斜率
4
3 ．
（Ⅰ）求椭圆C 方程
（Ⅱ）点 01 x 轴重合直线 1l 椭圆C 相交 HG点 01 1l 垂直直线
圆    161 22  yx 交 P Q 两点求四边形GPHQ 面积取值范围．




21．（题满分 12 分）已知函数   xxxf ln22   中 0  ．
（Ⅰ）讨  xf 单调性
（Ⅱ）  0        4
3212ln12  xxxg 证明：     0 xgxf ．





（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系中已知直线l 参数方程





ty
tx
34
2
13 （t 参数）曲线







sin
cos1 y
xC(
参数）伸缩变换





yy
xx 2 曲线 2C坐标原点 O 极点x 轴正半轴极轴建立极坐
标系．
（Ⅰ）求直线l 普通方程曲线 2C 参数方程
（Ⅱ） P 曲线 2C 点求点 P 直线l 距离．



23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
（Ⅰ）设函数    522log 2  axxxf 定义域 R求 a 取值范围
（Ⅱ）已知 zyx 互相等正实数 1 zyx 求证： xyzzyx  444


— 高三理科数学(七)第 5 页( 4 页) —

理科数学(七)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D D A B B C C A C C
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 1 14．
10
2 15．270270 16． 



  2ln4
1
三解答题(题 6 题 70 分)
17．解析（Ⅰ） abBc  2
1cos 正弦定理：
 BCCBBBCCBABBC cossincossinsin2
1cossinsinsinsin2
1cossin 
1cos 23
πCC   
（Ⅱ）余弦定理：
ababababbaCabbac  23cos2 22222 (仅 ba  时取等号)
 4
33
4
33
2
332
1sin2
1
max   ABCABC SCabS
18．解析（Ⅰ）证明：取 AC 中点 M ABC 正三角形 CDAD 
ACBD  PA  面 ABCD BDPA   BD 面 PAC
BD 面 PBD面 PBD 面 PAC
（Ⅱ）易求：  90BAD 1 CDAD PA  面 ABCD
图示建立空间直角坐标系
    




 02
32
3300010003000 CPDBA
 31032
32
3303 




  PDPCPB
设面 PBC 法量  zyxm  面 PAD 法量 n 求锐二面角











032
3
2
3
033
0
0
zyx
zx
PCm
PBm 取 2x 2 3(2 2)3m 
易证： AB 面 PAD  003 ABn — 高三理科数学(七)第 6 页( 4 页) —
2 3 21cos 772 33
m n
m n
   
 
 
 

19．解析（Ⅰ）柱状图知频率代概率台机器三年需更换易损零件数 8
91011 概率分 02040202：
( 16) 02 02 004P X     ( 17) 2 02 04 016P X    
( 18) 2 02 02 04 04 024P X    ( 19) 2 02 02 2 04 02 024P X     
( 20) 2 02 04 02 02 02P X    ( 21) 2 02 02 008P X    
( 22) 02 02 004P X     ．
X 分布列
X 16 17 18 19 20 21 22
P 040 160 240 240 20 080 040
（Ⅱ）（Ⅰ）知 440)18( XP 680)19( XP n 值 19．
（Ⅲ）记Y 表示 2 台机器购买易损零件需费（单位：元）．
19n 时 ( ) 19 200 068 (19 200 500) 02 (19 200 2 500) 008E Y    
4040040)500320019(  20n 时
( ) 20 200 088 (20 200 500) 008 (20 200 2 500) 004E Y      4080 ．
知 19n 时需费期值 20n 时需费期值应选 19n ．

20．解析（Ⅰ）设 1 1 2 2() ()Mxy Nxy 0 0( )Ex y
2 2
1 1
2 2 1x y
a b 
2 2
2 2
2 2 1x y
a b  2 1
2 1
1y y
x x
 


2
1 2 2 1
2
1 2 2 1
( ) 1( )
bxx yy
ayy xx
   
1 2 02xx x  1 2 02yy y  0
0
3
4
y
x 
2
2
3
4
b
a 
题意知C 焦点 (10) 2 2 1a b  2 4a  2 3b 
C 方程
2 2
14 3
x y 
（Ⅱ） 1l 方程 1x 时妨设 3(1 )2G 3(1 )2H  l PQ 方程： 0y
妨设 (30)P( 50)Q  3GH  8PQ  ∴S 四边形ＧＰＨＱ 1 1 3 8 122 2GH PQ  
1l 方程 ( 1) ( 0)ykx k   时设 1 1( )Gx y 2 2( )Hx y
2 2
( 1)
14 3
y kx
x y
   
2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0kx kx k  
4 2 2 264 4(4 12)(3 4 ) 144 144 0kk k k   恒成立
∴
2 2
1 2 1 22 2
8 4 123 4 3 4
k kxx xxk k
  
∴
2 2
2
1 2 2 2
(1 )1 12 (3 4 )
kGH kxx k
  
l PQ： 1 ( 1)y xk  设 3 3( )Px y 4 4( )Qx y — 高三理科数学(七)第 7 页( 4 页) —

2 2
1 ( 1)
2 15 0
y xk
x y x
  
   
2 2 2 2( 1) (2 2) 1 15 0kxkx k   
2 2 2 2 4 2(2 2) 4( 1)(1 15 ) 64 88 0k k kkk    恒成立
∴
2 2
3 4 3 42 2
2 2 1 151 1
k kxx xxk k
   
∴
2
3 42 2
1 64 481 1
kPQ xxk k
  

∴S 四边形ＧＰＨＱ 1
2 GH PQ
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 (1 ) 64 48 16( 1)(4 3)12 62 (3 4 ) 1 (3 4 )
k k kk
kk k
      

2 2
2 2
1 124 24 123 4 4 4
k k
k k
    

2 2
2 2
1 124 24 8 34 3 3 3
k k
k k
   

综知四边形 GPHQ 面积取值范围[128 3)
21．解析（Ⅰ）   x
x
xxxf )2(2
22   （ 0x ）
0 时   0 xf  xf  0 单调递减
0 时   2
200  xxf   xxf 
2
20 
 xf 2(0 )2
 单调递减 2( )2
  单调递增
（Ⅱ）设      xgxfxF     4
3212ln2  xxxxF
    
x
xxxF 121    0x
令   2
10  xxF 0a  xF 1(0 )2 单调递增
1[ )2  单调递减  max
1 1 1( ) ln( ) 12 2 2Fx F      
设   xxxG ln1    xGxx
xxG  )0(1  10 单调递减 1 单调递增
    1ln01  xxGxG
 max
1 1 1 1ln( ) 1 1 1 02 2 2 2F x         等式证
22．解析（Ⅰ）





ty
tx
34
2
13 （t 参数） 036432  yx
直线l 普通方程 036432  yx — 高三理科数学(七)第 8 页( 4 页) —






yy
xx 2 代入曲线







sin
cos1 y
xC







sin
2
cos
y
x
曲线 2C 参数方程







sin
2
cos
y
x ( 参数）．
（Ⅱ）设 cos( sin )2P   P 直线l 距离
2cos( ) 4 6 33 cos sin 4 6 3 6
13
π
13
d
    
 
πcos( ) 16   时  
13
13396
max
d
23．解析（Ⅰ）题意知： 522  axx Rx  恒成立
  522 min  axx
      2222222222 min  aaxxaaxxaxx

2
3
2
7522  aaa
（Ⅱ）证明： 222222444
2244
2244
2244
2
2
2
zyzxyxzyx
zyzy
zxzx
yxyx








222222222
22222
22222
22222
2
2
2
xyzzxyyzxzyzxyx
xyzzyzx
zxyyxzy
yzxzxyx








  xyzzyxxyzzyx  444 等式证









— 高三理科数学(七)第 9 页( 4 页) —
高三理科数学（七）选择填空详细解析
1 B解析    ( ) ( ) 0 0 0fxgx fx gx   解集 RCA B
2 A解析   21 i 3 i 1 i 21 iz z zz  

3 D解析直角坐标系中作半径 1 圆（图）设 xAOP 
1 1 11 sin 1 1 tan 2 2 2AOP AOAOPSSS xx x    Ｔ扇形
2
π0x    
sin tanxx x 
π
2x  时 1 sπ in2x x  0sin0  xxx p 假
0x 时e 1 1x x  q 假
选 D
4 D解析等式组表示行域（图） 22 yx  表示点
 yx  00 间距离方   5
4
21
2 2
22min
22 






 yx
5 A解析函数奇函数排 B C
2
π0x    
时 0cos0sin  xxx
排 D
6 B解析执行程序知：
87
8log6
7log5
6log4
5log3
4log2
3log1
2log57 2222222
 Mi 时

8i 时 38loglog 22  MM时输出符合题意选 B
7 B解析 ABC 中 E BD 中点
  ABACBCACABADABAE 



  3
2
2
1
2
1
 



  ABACACABBCAE 3
2
2
1
  2
22
2
2236
1236
1
2
1
3
1
2
1
3
1 22 



  ACABABACABACABAC

8 C解析




 8
7
na
naa
n
n
n
8n 时   nnnn SaaaaaaT   2121
8n 时    nnn aaaaaaaaT   872121
    77211 22 SSaaaaa nn   选 C
9 C解析设  xf   0 2π 零点 ix 仅 5 零点— 高三理科数学(七)第 10 页( 4 页) —
9 11π ππ 13 822 6 2 6 3   


10 A解析 1332cot 22
21
 bbbSFPF

3314242 222
21  abcaccFF
渐线方程 03
3
1  yxxy
11 C解析   33 2  axxxf 易  xf  开口   30 f
 xf  51 单调函数  
  05
72
05
01 




 af
f
12 C解析已知  xf 奇函数   0x 时     02 





x
xfxfx
x
xf
设    
x
xfxF    0x 时   0 xF  xF 偶函数
 xF  0 单调递增    xFxF 
  02cos1cos3cos22130  
             2cos1cos3cos2cos1cos3cos FFFFFF  
        
b
bf
a
af
c
cfbFaFcF  （ 000  cba ）选 C
13 1 解析    12
10112012 2  xxxxxx 设 12 2  xxt
ty
2
1log 12 2  xxt 



  2
1 单调递减 1 单调递增 ty
2
1log
单调递减
函数  12log 2
2
1  xxy 单调递减区间 1
14
10
2 解析
  







 



 4042
2
5
3
4sin4
3440  
10
2
2
2
5
3
2
2
5
4
44coscos5
4
4cos 


 



 



  
15 270270解析 2702703
32
2
4
4
4
8
5
13  AA
CCC — 高三理科数学(七)第 11 页( 4 页) —
16 



  2ln4
1解析原问题转化 )0(ln111 2  xxxxa 两等实根
设       
32
12ln111 x
xxxFxxxxF 
 xF  20 单调递增 2 单调递减   2ln4
12max  FxF
0x 时   xF x 时   xF
a 取值范围 



  2ln4
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理科数学(八)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分．题出四选项中项符
合题目求．
1．集合 6{N| N}1A x x 
集合 6{N | N}1Bxx  
AB 
A．{0125} B．{1236} C．{346} D．{12}
2．命题意 2[12) 0xx a  真命题充分必条件
A． 4a  B． 4a  C． 1a  D． 1a 
3．欧拉公式 ie cos isinx xx （i 虚数单位）瑞士著名数学家欧拉发明指数函数
定义域扩复数建立三角函数指数函数关系复变函数里占非常重
位誉数学中天桥 πi4
i
e
表示复数位复面
A． 第象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
4．某运动队足球运动员 18 篮球运动员 12 乒乓球运动员 6 组成（参加项）
现运动员中抽取容量n 样分采系统抽样法分层抽样法删
体样容量n 值
A．6 B．12 C．18 D． 24
5．设量 a b  满足|| 2||| | 3ab a b    |2 |a b 
A． 6 B． 3 2 C． 10 D． 4 2
6．等数列{}na 中已知 1 1a  4 8a  3a 5a 分等差数列{}nb 第 2 项第 6 项
数列{}nb 前 7 项
A． 49 B． 70 C． 98 D． 140
7．衣柜里樟脑丸着时间会挥发体积缩刚放进新丸体积at 天体积天
数t 关系式： e k tV a    新丸50 天体积变 4
9 a 新丸体积变 8
27 a
需天数
A．75天 B．100天 C．125天 D．150天 — 高三理科数学(八)第 2 页( 4 页) —
8．执行图示程序框图输出 S 值
A． 3 B． 3
C． 0 D． 3
3

9．已知 (0 )a b  2 91 ab a b  
a b
取值范围
A． 19 B． 18
C． 8 D． 9
10．已知某体三视图图
示网格纸正方形边
长 1该体体积
A． 16
3 B． 16 2
3

C． 16 D． 16 2
11． 锐 角 ABC 中 角 ABC 边 分 abc cos cos 2 3sin
3sin
BC A
bc C 
cos 3 sin 2B B  a c 取值范围
A． 3( 3]2
B． 3( 3]2 C． 3[ 3]2
D． 3[ 3]2
12． 已知 ( )f x 定义域(0 ) 导函数 ( )f x ( )( ) 1 lnf xfx xx  2(e) ef 
（中e 然数底数）
A．(2) 2 (1)f f B． 4 (3) 3 (4)f f
C． 0x  时 ( ) 0f x  D． 0x  时 ( ) e 0fx x 
二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．函数 ( )f x 满足 (2 ) 2 ()f x fx  ( )y fx 图象 2
1
xy x
 
图象 m
交点 i ix y 交点横坐标  
1
m
i i
i
x y

  ________．
14． 4( )a b c  展开式中________种项．
15．已知双曲线C
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b   右焦点 F左顶点 A． F 圆心 FA
半径圆交C 右支 P Q 两点 APQ 角60 C 离心率___________．
16．函数 () sin cos sin cosfx x x xx   值___________．
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分 — 高三理科数学(八)第 3 页( 4 页) —
D
A
C M
E
B
M D
A B
C
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
    
17．(题满分 12 分)已知数列{ }na 满足： 1 2
11 2a a  意 *Nk  均
2[3 ( 1) ] 2 2[( 1) 1] 0k k
k ka a   ．
（Ⅰ）令 2 1n nb a  判断{ }nb 否等差数列求出 nb
（Ⅱ）记{ }na 前n项 nT求 2nT．

18．（题满分 12 分）着中国济快速增长民
生活水逐步提升生育意愿进入行通道
出现口老龄化劳动力短缺等类问题．某学口
计划生育课题组调研延迟退休年龄政策
态度年龄15 ~ 65 岁群中机调查 100 调査数
频率分布直方图支持延迟退休数年龄统计
结果：
年龄 [15 25) [25 35) [35 45) [45 55) [55 65)
支持延迟退休数 15 5 15 28 17

（Ⅰ）统计数填 2 2 列联表判断否犯错误概率超 005 前提认 45
岁分界点群延迟退休年龄政策支持度差异
45 岁 45 岁 总计
支持
支持
总计
（Ⅱ） 45 岁分界点支持延迟退休中分层抽样方法抽取 8 参加某项活
动．现 8 中机抽 2 ．
①已知抽 1 45 岁时求抽 45 岁概率
②记抽 45 岁数 x 求机变量 x 分布列数学期．
2
0( )PK K

0．150 0．100 0．050 0．025 0．010
0K 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635

19．（题满分 12 分）图已知长方形 ABCD 中 2AB  2AD  M CD 中点．
ADM AM 折起四棱锥 D ABCM 点 E 棱 DB 中点．
（Ⅰ）求证：直线 CE 面 ADM
（Ⅱ）点 D 面 ABCM
射影恰直线 AC
求异面直线 AE DM 成角
余弦值．




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20．(题满分 12 分)已知椭圆  
2 2
2 2 1 0x yC a ba b   离心率 3
2
左右焦点分 1F
2FM 椭圆异长轴端点点 1 2MF F 面积 3 ．
（Ⅰ）求椭圆C 标准方程
（Ⅱ）直线l 点  10P 点直线l 椭圆C 交点 AB否存直线
 0 0 0 2l x xx  点 AB 直线 0l 距离分 Ad Bd 满足 A
B
d PA
d PB 恒成立
存求 0x 值存说明理．




21．(题满分 12 分)已知函数      e ln Zxf x x a x a x a  ．
（Ⅰ）函数  f x 定义域单调增函数 求a值
（Ⅱ）证明： 2 334 1eln2 (ln ) (ln ) (ln )2 3 e 1
nn
n
     *Nn ．




（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中曲线C 参数方程 cos 3 sin (
sin 3 cos
x
y
  
 
  
 
参数）坐标原点O 极
点 x 轴正半轴极轴取相长度单位建立极坐标系直线 l 极 坐 标 方 程
cos( ) 2( 00 2 )6
π π     ．
（Ⅰ）求曲线C 直线l 直角坐标方程
（Ⅱ）求直线l 曲线C 交点极坐标．



23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 ()| 1||2 |f x x x a  Ra ．
（Ⅰ） 0a  时求等式 ( ) 5f x  解集
（Ⅱ） ( ) 2f x  Rx  恒成立求 a 取值范围．



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理科数学(八)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A A D B A C B A B D
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 0 14．15 15． 4
3
16． 6
2

三解答题(题 6 题 70 分)
17．解析（Ⅰ）令 2 1k n  *Nn 21 2 1
21 2 1[3 ( 1) ] 22[( 1) 1] 0nn
nnaa
    化
简 21 2 1224 0nnaa  21 2 1 2nnaa  ． 2 1nnb a  12 1nnb a
121 2 1 2nnnnbba a     {}nb 11 1b a  首项2 公差等差数列
1 ( 1) 2 2 1nbnn      ．
（Ⅱ）令 2k n *Nn 22 2(31) 22(1 1) 0nnaa   2 2
2
1
2
n
n
a
a
 
2462 naaa a 2
1
2a  首项 1
2
公等数列
（Ⅰ）知 1352 1 na a a a  1 1a  首项2 公差等差数列．
21321 242( )( )nnnTaa aaa a    
11[(1 ( ) ]1 22[1 ( 1) 2] 12 1 2
n
nn n

   

2 11 2nn   ．
18．解析（Ⅰ）频率分布直方图知 45 岁 45 岁 50
2 2 列联表：
45 岁 45 岁 总计
支持 35 45 80
支持 15 5 20
总计 50 50 100
列联表
2
2 100 (35 5 45 15) 625 384150 50 80 20K       

犯错误概率超 0．05 前提认 45 岁分界点群
延迟退休年龄政策支持度差异
（Ⅱ）①设抽 1 45 岁事件 A 抽 45 岁事件 B — 高三理科数学(八)第 6 页( 4 页) —
( )P A
1 1
6 2 6
2
2
8
27
28
CC C
C 
1 1
6 2
2
8
3( ) 7
C CP AB C
  27 9
3
( ) 47( )
28
)(
P ABPB A P A  
抽 1 45 岁时求抽 45 岁概率 4
9

②支持延迟退休中抽取 8 45 岁应抽 6 45 岁应抽 2 ．
题意 X 取值 012．
2
6
2
8
15( 0) 28
CP X C 
1 1
6 2
2
8
12 3( 1) 28 7
C CP X C
 
2
2
2
8
1( 2) 28
CP X C  
机变量 X 分布列：
X 0 1 2
P 15
28 3
7 1
28
15 3 1 1( ) 0 1 228 7 28 2E X    ．
19．解析(Ⅰ)设线段 AD 中点 F连结 EF MF EF MC
∴四边形 EFMC 形四边形∴ FM EC ．
FM  面 ADMCE  面 ADM直线 CE 面 ADM
（Ⅱ）连结 AC BD AC BD O AM BD N
AB AD
AD DM RT ADM ～ RT BAD ∴ 90ADB DAM DMA DAM    
∴ 90DAN  DB AM ．
∵点 D 面 ABCM 射影恰落直线 AC ∴点 D 面 ABCM 射影O．
∵ 2 1AD DM  ∴ 3AM  ∴ 6
3DN  ． 6
2DO  ∴ 6 6 6
2 3 6NO   
∴ 2 2 2 26 6 2( )( )3 6 2DO DM NO    ．
O 原点行 CB AB 直线分 x 轴y 轴
OD 直线 z 轴建立空间直角坐标系图示．
2( 10)2A  2( 10)2B 2( 00)2M 
2(00 )2D 2 1 2( )4 2 4E．
∴ 2 3 2( )4 2 4AE   2 2( 0 )2 2DM  
∴ cos | cos | 0AE DM    ．∴异面直线 AE DM 成角余弦值 0．
— 高三理科数学(八)第 7 页( 4 页) —
20．解析（Ⅰ）设椭圆焦距  2 0c c  1 2MF F 面积 3 3bc 
已知条件
2 2 2
3
2
3
c
a
bc
a b c
 
 
  

解
2
1
3
a
b
c
 
 
 
椭圆C 标准方程
2
2 14
x y 
（Ⅱ）直线l x 轴重合时设直线l 方程 1x my  设点  1 1Ax y  2 2Bx y
直线l 方程椭圆方程联立 2
2
1
14
x my
x y
   
消 x 整理 2 24 2 3 0m y my  
   2 2 24 12 4 16 3 0mm m    韦达定理 1 2 2
2
4
my y m  

1 2 2
3
4y y m 
．A
B
d PA
d PB 0 1 1
0 2 2
x x y
xx y
  0 1 1
0 2 2
1
1
x my y
xmy y
   
整理
2
1 2
0
1 2
2
32 ( )2 41 1 42
4
mmy y mx my y
m
      

直线l x 轴重合时直线l 椭圆C 交点左右顶点设点  20A  20B 
1
3
PA
PB  0
0
2
2
A
B
xd
d x
  A
B
d PA
d PB 0
0
2 1
2 3
x
x
  解 0 4x  ．
综述存直线 0 4l x  A
B
d PA
d PB ．
21．解析（Ⅰ）题意知    e lnxf x x a 
函数  f x 定义域单调增函数   0f x  恒成立．
先证明e 1x x  ．设   e 1xgx x    e 1xg x  
函数  g x  0 单调递减 0 单调递增
∴    0 0g x g  e 1x x  ．
理证ln 1x x 
∴ 2a  时    eln (1)( 1)2 0xf x x a x x a a 
3a  时  0 1 ln 0f a     e ln 0xf x x a   恒成立．
综述 a整数值 2．
（Ⅱ）①知  e ln 2x x  令 1tx t
  — 高三理科数学(八)第 8 页( 4 页) —
∴
1 1 1e ln( 2) ln( )
t
t t t
t t
     ∴ 1 1e (ln )t tt
t
   ．
知 1t  时 0e ln2 ． 2t  时 1 23e (ln )2
 
3t  时 2 34e (ln )3
   t n 时 1 1e (ln )n nn
n
   ．
累加 0 1 2 1 2 33 4 1e e e e ln2(ln) (ln) (ln )2 3
n nn
n
        ．
0 1 2 1
11 ( ) 1 eeee e 1 1 e 11 1e e
n
n n  

     

∴ 2 334 1eln2 (ln ) (ln ) (ln )2 3 e 1
nn
n
     ．

22．解析（Ⅰ） 2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3 cos ) 4x y      
曲线 2 2 4Cx y  ．直线l 极坐标方程展开 3 1cos sin 22 2   
l 直角坐标方程 3 4 0x y   ．
（Ⅱ）曲线C 极坐标方程 2  代入直线l 极坐标方程 3 1 cos sin 22 2   
3 cos sin 2   πcos( ) 16   11π
6 
直线l 曲线C 交点极坐标 11π(2 )6
．

23．解析（Ⅰ） 0a  时 ()| 1||2 || 1||2|fxx xax x  ．
( ) 5f x  
1
3 1 5
x
x

  
1 0
1 5
x
x

 
 

0
3 1 5
x
x

  

2 1x  1 0x   40 3x   42 3x   等式解集 4[ 2 ]3 ．
（ Ⅱ ） ()| 1||2 || 1|| ||1 |2 2
a afxx xax x    仅
2
ax  时 取 等 号
() ( )|1 |2 2min
a afx f  ．( ) 2f x  x R  恒成立 |1 | 22
a   2a  6a 
a 取值范围( 2] [6 )  ．



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高三理科数学（八）选择填空详细解析
1． D解析 {0125}A  {1236}B  A B  {12}A B  ．
2． B解析命题等价条件： 2
max( )a x 4a  ．A 充条件CD 必充分
条件 B 充分必条件．
3．A解析 πi4
i i ππ 2 2i(cos isin ) iπ π 4 4 2 2cos isine 4 4
  
 ．
4．A解析题已知总体样容量 36 样容量n时系统抽样样距 36
n
分
层抽样样
36
n 采分层抽样抽取足球运动员数 1836 2
n n  篮球运动员数
1236 3
n n  乒乓球运动员数 636 6
n n  知n 6 整数倍值 6．
5．D解析已知 2( ) 2 9 2 9a b a b      2a b  
2| 2 | ( 2 ) 4 36 8 4 2a b a b      ．
6．B解析等数列{ }na 中 1 1a  4 8a  2q  3 4a  5 16a  2 4b 
6 16b  1 7 2 6
7
7( )7( ) 7(4 6) 702 2 2
b b b bS       选 B．
7．A．解析题意 504 e9
ka a  解 25 2e 3
ka   令 8e 27
kta a 
3 25 3 752e () (e ) e3
kt t t   需天数 75 天．
8．C 解析次循环步长 3进行 674 次循环次循环产生周期数列：
3 3 3 3  中项输出前 674 项 0．
9． B解析 2
2 9 81 1 ( )ab a b a b    2( ) 9( ) 8 0a b a b   1 8a b   ．
10． A解析三视图知该体三棱锥记三棱锥 A BCD
放棱长 4 正方体中图示 2 2 4AD BC BD 
AD BDAD BC  BC BD AD  面 BCD
三棱锥 A BCD 体积
1 1 1 162 2 2 2 43 3 2 3ABCD BCDVADS      ．


11． B解析 cos cos 2 3sin
3sin
BC A
bc C  cos cosc Bb C
bc
 
sin cos sin cos
sin
CB BC
b C
 sin( ) sin 23sin
sin sin 3sin
BC A A
bCbC C
   解 3
2b  ． — 高三理科数学(八)第 10 页( 4 页) —
πcos 3 sin 2sin( ) 26B B B   ∴ π π
6 2B   π
3B  1sin
b
B  ．∴ 2π
3A C 
2π π0 3 2C A  π0 2A  π π
6 2A 
∴ sin sinac A C   2π 3 3 πsin sin( ) sin cos 3sin( )3 2 2 6A AA A A   
∵ π π
6 2A  ∴ π π 2π
3 6 3A   ∴ 3 πsin( ) 12 6A  ∴ 3 π3 sin( ) 32 6A 
3( 3]2a c  ．
12． D解答构造函数 ( )( ) f xg x x 2
( ) ( ) 1 ln( ) xfxfx xg x x xx
   两边积分
21( ) ln (ln )2gx x xc  2(e) ef  (e) 1(e) ee 2
fg C  1e 2C  
21 1( ) (ln ) ln e2 2gx x x   令 lnt x 二次函数 21 1e2 2y tt  称轴
1t  ex  图象开口 (2) (1)g g (2) (1)
2 1
f f (2) 2 (1)f f A 项
错误
(3) (4)g g 4 (3) 3 (4)f f B 项错误
根开口二次函数图象知 0x  时 ( ) 0f x  正确C 项错误
0x  时 ( ) e 0fx x  成立需 ( ) e 0f x
x   成立显然二次函数 21 1
2 2y tte 
称轴 1t  处取值e 明显 ( ) e 0f x
x   成立 D 项正确．
13． 0解析  f x 满足    2 2f x fx   y fx 图象关点 1 1 称
2 1 11 1
xy x x
   
图象关点 1 1 称交点关点(1 1) 称．
交点横坐标等 m ．交点坐标等 m
交点横坐标等 0．
14． 15 解析 4( )a b c  项结构 x y zabc 中 Nxyz  4x y z  
隔板法 2
6 15C  种情形15种项．
15． 4
3
解析图设左焦点 1F圆 x 轴交点
B APQ 角60 30PAF  
1 3PF a c  1PFF 中
余弦定理
2 o2 2
1 1 12 cos120PF PF FF PFFF    ． — 高三理科数学(八)第 11 页( 4 页) —
2 2 2 43 4 0 3 4 0 3c ac a e e e   ．
16． 6
2
解析令sin cosx xt 
21sin cos 2
tx x 
21() () 2
tfx gt t  

21 1 1sincos sin2 [0]2 2 2
txx x   [ 11]t   ．
方法：∵
2
2 2 21 1 3( )(1)(1)2 2 2
tt tt   ∴
21 6
2 2
tt   ( )f x 值
6
2
时 6
3t  ．
方法二： 2
( ) 1
1
2
tg t
t
  
 易知 6[ 1 ]3t   时 ( ) 0g t  函数 ( )g t 单调递增
6[ 1]3t  时 ( ) 0g t  函数 ( )g t 单调递减．∴ max
6 6() ()3 2f x g  ．

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