2020届高三第二轮复习测试卷理科数学(1~8)(试卷)


    — 高三理科数学(一)第 1 页(共 4 页) — 理科数学(一) 本试卷分必做题和选做题两部分.满分150 分,考试时间120 分钟. 注意事项: 1.客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答.若在试题卷上作答,答题无效. 2.选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 2{ | ln( 1) 1}, { | 2 3}Axx B y y x x    ,则 AB  A. ( 1,e 1)  B. [0,e 1) C. ( 1,3) D.  2.已知复数 z 满足| 1 i | 1z    ,则| |z 最小值为 A. 1 B. 2 C. 2 1 D. 2 1 3.已知 oo o o(cos71 ,sin 71 ), (2cos19 , 2sin19 )A B  ,则 ||AB  A. 2 B. 2 C. 5 D. 5 4.已知(,)x y 满足条件 22 2 0 44 0 x y x y x y           ,则3 2x y 的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 5.已知等差数列{}na 的前 n 项和为 nS ,且 3101, 30aS   ,则 8a  A. 7 B. 6 C. 5 D. 9 6.二项式 3 1(2 ) 2 nx  的展开式中,若有理项有11项,则 n 的最大值为 A. 26 B. 30 C. 32 D. 35 7. ABC 的水平直观图 ABC   如图所示,已知 o o1, 30 , 90ABACBABC      ,则边 AB 长为 A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 8.若函数 ()f x 是定义在(1, ) 的单调递减函数,若函数 (log 1)afx  在 1 1(,)3 2 单调递增,则实 数 a 的取值范围是 A. 2[,1)2 B. 3 2[,]3 2 C. 2[,)2  D. 3[ ,1)3 — 高三理科数学(一)第 2 页(共 4 页) — 9.已知某算法框图如图所示,则输出的结果应为 A. 10 B. 20 C. 11 D. 21 10.过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    右焦点 ( ,0)F c 作其中 一条渐近线的垂线 (FP P 为垂足),且与另一条渐近线交于点 Q ( F 在线段 PQ 内),若| | 2 | |FQ FP ,则双曲线的离心率为 A. 3 B. 2 C. 13 3 D. 2 3 3 11.已知O 为 ABC 的外心,若 2 AO BC BC    ,则 ABC 为 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定 12.已知正四面体 A BCD 的棱长为 6 2 , ,MN 分别是 ,AC AD 上的点,过 MN 作平面 , 使得 ,AB CD 均与 平行,且 ,AB CD 到 的距离分别为 2,4 ,则正四面体 A BCD 的外接球被  所截得的圆的面积为 A. 11π B. 18π C. 26π D. 27π 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知一组鞋码与身高的数据( x 表示鞋码, ()y cm 表示身高),其中 360m n  . x 40 41 42 43 44 y 172 175 m n 183 若用此数据计算得到回归直线  2.25y x a  ,则由此估计当鞋码为38时身高约为_________. 14.已知数列{}na 的前 n 项和为 nS ,且 1 ( 1)n n na a n    ,若 17 70S  ,则 2019a  _________. 15. ABC 中,角 ,,ABC 所对应的边分别为 ,,()a b c b c ,若 BC 边上的高等于 3 2 a ,当 b c c b 最大时, ::a b c  _________. 16.若对任意 ( 1, )x   都有不等式 (e )(ln( 1) ) 0x a x b    恒成立,则 a b 的取值范围是 _________. — 高三理科数学(一)第 3 页(共 4 页) — 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必做部分 17.(本小题满分 12 分)已知等比数列{}na 的首项 1 1a  ,前 n 项和为 nS ,设 1n nb S  ,且数 列{}nb 为等比数列. (Ⅰ)求{}na ,{}nb 的通项公式; (Ⅱ)若数列 2{ log }n na b 的前 n 项和为 nT ,求证: .n n nT S nb  18 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 四 棱 柱 ABCD A B C D    中 , 底 面 ABCD 为 菱 形 , o2, 4, 60AB AA BAD    , E 为 BC 中点,C 在平面 ABCD 上的投影 H 为直线 AE 与 DC 的交点. (Ⅰ)求证: BD A H ; (Ⅱ)求二面角 D BB C   的正弦值. 19.(本小题满分 12 分)2019 年 10 月 1 日,庆祝新中国成立 70 周年阅兵在北京举行,陆军、海 军、空军、火箭军和战略支援部队部分新型武器装备受阅.观看阅兵后,某校军事兴趣组决定对首 次亮相的武器装备做更加深入的了解,以完善兴趣小组的文档资料.军事兴趣组一共 6 人,分成两 个小组(第一小组研究 15 式主战坦克、轰-6N 新型战略轰炸机、直-20 直升机,第二小组研究东 风-17 常规导弹、长剑-100 巡航导弹、东风-41 核导弹),其中第一小组 ,,ABC 三位同学分别对 15 式主战坦克、轰-6N 新型战略轰炸机、直-20 直升机特别感兴趣,第二小组 ,,DEF 三位同学分别 对东风-17 常规导弹、长剑-100 巡航导弹、东风-41 核导弹特别感兴趣,现对两个小组的同学随机 分配(每人只选一项且不重复),设两个小组中调查的装备恰为自己特别感兴趣的同学个数分别为 ,XY. (Ⅰ)求 XY 的概率; (Ⅱ)设 ZXY  ,求随机变量 Z 分布列与数学期望. — 高三理科数学(一)第 4 页(共 4 页) — 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b    的左、右焦点分别为 1( ,0)F c , 2 ( ,0).F c (Ⅰ)过原点作斜率为 3 直线l 交椭圆于 ,PQ,若 o 2 90PF Q  ,求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 1b  ,过点 (1,0)N 作两条相互垂直的直线 1 2,l l ,已知 1l 交 E 于 ,AB 两点, 2l 与圆 2 2 1x y  交于另一点 M ,若 ABM 面积最大时直线 AB 与 x 轴不垂直,求 a 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 π( ) e (sin cos ) ( π)2 xf x x x ax x     有两个不同的极值点 1 2,x x . (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 ()()g x f x ,求证: 1 20 ( ) .2 x xg a  (二)选做部分 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆C 的参数方程 2cos (2 2sin x y       为参数).以O 为极点, x 轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知直线的极坐标方程为 1 π: cos( ) 33l     ,且直线 2 π: 3l    与圆C 的交点为 ,OP, 与直线 1l 的交点为Q ,求线段 PQ 的长度. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 | | 4 |.f x x x    (Ⅰ)设不等式 ( ) 4f x  的解集为 M ,求 M ; (Ⅱ)求证:当 a M 时,不等式 2 2 2 | 5 | 8a a a     恒成立. — 高三理科数学(二)第 1 页(共 4 页) — 理科数学(二) 本试卷分必做题和选做题两部分.满分150 分,考试时间120 分钟. 注意事项: 1.客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答.若在试题卷上作答,答题无效. 2.选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 2 2020{ | log (10 3 )}M x y x x  , { | 2020 1}xN y y ,则 MN  A. ( 1,2) B.  1,2 C. (1,2) D.  1,2 2.已知复数 1 i 2z   是实数,则复数 z 的虚部为 A. 1 B. 2 C. i D. 2i 3.在 ABC 中,内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,a b c ,若 sin 3cBa , ABC 的面积为 3 3 2 , 3 3a b  ,则边c 的值为 A. 21 B. 3 C. 21 或 3 D. 21 或3 4.若 x 、y 满足约束条件 4 0 2 3 3 0 41 0 x y x y x y            ,等差数列 na 满足 14,a x a y ,其前 n 项和为 nS , 则 74SS 的最小值为 A.13 B. 1 C. 5 D.5 5.函数 ( ) sin (cos 1)fx xx 在 π, π 的图像大致为 A B C D 6.已知定义在 R 上的奇函数 ()f x 满足 ( 1) (1 )fx fx   ,且当 ( 1,0)x  时 ( ) 2axf x   , 若 4 4(1 log 80) 5f  ,则 a ( ) A. 1 B. 2 C.1 D. 2 — 高三理科数学(二)第 2 页(共 4 页) — 7.已知函数 ( ) sin( )f x x   ( 0  , π π 2 2   )的图像上相邻两个最高点之间的距离 为 π ,且函数 ()f x 的图像关于直线 π 3x  对称,将函数 ()f x 的图像向右平移 π 12 个单位长度得到 ()y g x 的图像,若 ()g x 在区间 ,t t 上单调递增,则t 的最大值是 A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 8.在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD AC ,AB  平面 PAD,且CD PD =3. 若四棱锥 P ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积的最小值为 A. π B. 2π C. 4π D.6π 9.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b    的左右焦点分别为 1F , 2F ,焦距为 2c ,若圆 2 2 2:()D x c y c   上存在一点 M ,使得点 M 与 1F 关于双曲线C 的一条渐近线对称,则双曲 线C 的离心率e  A. 5 B. 2 C. 2 D. 3 10.几何体甲与几何体乙的三视图如图所示,几何体甲的 正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形,且等腰三 角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等,若 几何体甲的体积是乙的体积的 1 4 ,则几何体甲与乙的 表面积之比为 A.1: 3 B.1: 4 C.1: 2 D.1: 2 11.建设“学习强国”学习平台是贯彻落实习近平总书记关于加强学习、建设学习大国重要指示精 神、推动全党大学习的有力抓手.该平台内容丰富,极大地满足了互联网条件下广大党员干部和 人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学 习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在六大板块学习过程 中,“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 A.192 种 B. 240 种 C. 432 种 D.528种 12 . 定 义 在 (0, ) 上 的 函 数 ()f x 的 导 函 数 '( )f x , 且 2( 1) '( ) ( ) 2x f x f x x x    对 (0, )x   恒成立,现有下述四个结论: ① 2 (2) 3 (1) 5f f  ; ②若 (1) 2f  ,0 1x  ,则 2 1 1() 2 2f x x x   ; ③ (3) 2 (1) 7f f  ; ④若 (1) 2f  , 1x  ,则 2 1 1() 2 2f x x x   . 其中所有正确结论的编号是 A.①② B.①②③ C.③④ D.①③④ 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 a 与b 满足 2 2 3a b a b a        ,则 a 与b 的夹角为___. 14.从数学内部看,推动几何学发展的矛盾有很多,比如“直与曲的 矛盾”, 随着几何学的发展,人们逐渐探究曲与直的相互转化, — 高三理科数学(二)第 3 页(共 4 页) — 比如:“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题.如图,设等腰直角三角形 ABC 中, AB BC , 90ABC  ,以 AC 为直径作半圆,再以 AB 为直径作半圆 AmB ,那么可以探究 月牙形面积(图中黑色阴影部分)与 AOB 面积(图中灰色阴影部分)之间的关系,在这种关系下,若 向整个几何图形中随机投掷一点,那么该点落在图中阴影部分的概率为_________. 15.已知 A 、B 为抛物线 2 4y x 上的两个动点,且OAOB ,抛物线的焦点为 F ,则 ABF 面 积的最小值为_________. 16.在 ABC 中,内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,a b c , sin sin sin 2 sina A b B c C a B   , 则 2sin 2 tanAB 的最大值是_________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必做部分 17.(本小题满分 12 分)已知数列 na 满足 1 1( 1) n nn a na a   , *n N . (Ⅰ)证明:数列 na 为等差数列; (Ⅱ)设数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 2 1 1a a  ,且对任意 *n N , 都有 1 2 3 1 1 1 1 1 4 3 3nSSSS      ,求整数 1a 的值. 18.(本小题满分 12 分)如图 1,在等腰梯形 1 2ABF F 中,两腰 2 1 2AF BF  ,底边 6AB  , 1 2 4FF  , D ,C 是 AB 的三等分点, E 是 1 2FF 的中点,分别沿CE, DE 将四边形 1BCEF 和 2ADEF 折起,使 1F , 2F 重合于点 F ,得到如图 2 的几何体.在图 2 中, M , N 分别为CD, EF 的中点. (Ⅰ)证明: MN  平面 ABCD; (Ⅱ)求直线CN 与平面 ABF 所成 角的正弦值. 19.(本小题满分 12 分)设函数 ( ) ( 1)e (2e e )x xf x x a    . (Ⅰ)求 ()f x 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 ( ) 0f x  对 (2, )x   恒成立,求整数 a 的最大值. 20.(本小题满分 12 分)在某企业中随机抽取了 5 名员工测试他们的艺术爱好指数 (0 10)x x  和创新灵感指数 (0 10)y y  ,统计结果如下表(注:指数值越高素质越优秀): 艺术爱好指数 2 3 4 5 6 创新灵感指数 3 3.5 4 4.5 5 (Ⅰ)求创新灵感指数 y 关于艺术爱好指数 x 的线性回归方程; (Ⅱ)企业为提高员工的艺术爱好指数,要求员工选择音乐和绘画中之一进行培训,培训音乐次 数t 对艺术爱好指数 x 的提高量 20 0(10 )(1 e ) t x    ,培训绘画次数t 对艺术爱好指数 x 的提高量为 0 10(10 )(1 )10x t   ,其中 0x 为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数. — 高三理科数学(二)第 4 页(共 4 页) — (i)艺术爱好指数已达 3 的员工甲选择参加音乐培训,艺术爱好指数已达 4 的员工乙选择参加绘 画培训,在他们都培训了 20 次后,估计谁的创新灵感指数更高? (ii)若艺术爱好指数已达 4 的员工,参加培训 10 次、20 次的概率分别为 2 3 ,1 3 ,而他选择参加 音乐或绘画培训的概率分别为 2 3 ,1 3 ,估计该员工培训后创新灵感指数的数学期望(精确到0.1). 附:平均值 1 1 nx x xx n     ,计算值: 1 2e 0.6  , 1e 0.37  .回归直线方程 y a bx  的 斜率和截距的最小二乘法估计分别为 1 2 1 ( )( ) () n i i i n i i x x y y b x x         , a y bx  . 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b  ( 0a b  )的右焦点为 F ,直线 3 5: 2l y x 与椭圆C 在第一象限内的交点Q 在线段OF 的垂直平分线上(O 为坐标原点),且 OQF 的面积 为 3 5 8 . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)若 PMN 为椭圆的内接三角形,且满足 MN x 轴,设直线 PM, PN 与 x 轴的交点分 别为G , H ,求 2 2OGOH 的最小值,并求出此时点 P 的坐标. (二)选做部分 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,直线 1 : 4C x  ,圆 2C 的参数方程为 1 cos sin x y       ( 为参数).以原点O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 1C , 2C 的极坐标方程; (Ⅱ)设射线l 的极坐标方程为 π= ( 0, )2     与 1C , 2C 的交点分别为 ,AB,P 为 AB 的 中点,若 5 2 2OP  ,求点 P 的极坐标. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数   1 +3f x x x   . (Ⅰ)求不等式   5f x  的解集; (Ⅱ)证明: ( )+ ( 4) 8 1f x f x x   . — 高三理科数学(三)第 1 页(共 4 页) — 理科数学(三) 本试卷分必做题和选做题两部分.满分150 分,考试时间120 分钟. 注意事项: 1.客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答.若在试题卷上作答,答题无效. 2.选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 2 2{| 2 0}, { | log 0}Axxx Bx x  ,则()UCAB  A.(0,1) B. 0,1 C.(1,2) D. 1,2 2.已知 a R , i 是虚数单位,若 3iza  , _ 4z z  ,则 a  A.1或 1 B. 15 C. 15 D. 3 或 3 3.抛物线 22y x 的通径长为 A. 4 B. 2 C.1 D. 1 2 4.为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据 四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图,最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形 是 5.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:如上图,将 1,2,…,9 填入3 3 的 方格内,使三行,三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15.一般地,将连续的正整数 21,2,3, ,n 填入 n n 个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方 形叫做 n 阶幻方.记 ( 3)n n  阶幻方的对角线上的数字之和为 nN ,如图三阶幻方的 3 15N  ,那么 8N 的值为 A. 260 B.369 C. 400 D. 420 6.根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 得到的回归方程为 y bx a    ,则 — 高三理科数学(三)第 2 页(共 4 页) — A. 0a  , 0b  B. 0a  , 0b  C. 0a  , 0b  D. 0a  , 0b  7.设 na 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前3n 项和分别为 2 3,,n n nSSS,则下列等 式中恒成立的是 A. 3 22n n nSSS  B.    2 2 3 3n n n n n nSSSSSS   C. 2 2 3n n nSSS D.    2 2 3n n n n n nSSSSSS   8.设 2020 1 20202019 2019,2019log,2020log  cba ,则 cba ,, 的大小关系是 A. cba  B. bca  C. bac  D. abc  9.已知函数 ( ) sin( )( 0, 0)f x x         的最小正周期是 π ,将函数 ()f x 图象向左平 移 π 3 个单位长度后所得的函数图象过点 (0,1)P ,则下列结论中正确的是 A.()f x 的最大值为 2 B.()f x 在区间 π π(,)6 3 上单调递增 C.()f x 的图像关于直线 π 12x  对称 D.()f x 的图像关于点 π( ,0)3 对称 10.过正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的顶点 A 作平面 ,使得正方体的各棱与平面 所成的角都相等, 则满足条件的平面 的个数为 A.1 B.3 C. 4 D.6 11.椭圆与双曲线共焦点 1 2,FF,它们在第一象限的交点为 P ,设 1 2 2F PF   ,椭圆与双曲线 的离心率分别为 1 2,e e ,则 A. 2 2 2 2 1 2 cos sin 1e e    B. 2 2 2 2 1 2 sin cos 1e e    C. 2 2 1 2 2 2 1cos sin e e    D. 2 2 1 2 2 2 1sin cos e e    12.已知正方形 ABCD 的边长为 1 , M 为 ABC 内一点,满足 010 ,MDB MBC    则 MAD  A. o45 B. o50 C. o60 D. o70 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 62 3 2x x  展开式中 x 的系数为 . 14.设实数 ,x y 满足不等式 2 1 1 y x y x y        ,当 3z x y  取得最小值时,直线 3z x y  与以 (1,1) 为 圆心的圆相切,则圆的面积为 . 15.已知等差数列{}na 的公差 (0,π)d  , 1 π .2a  则使得集合   sin ,nM x x a n N   恰好有 两个元素的 d 的值为 . 16.已知正方形 ABCD 的边长为 2 ,当每个 ( 1,2,3,4,5,6)i i  取遍 时, 1 2 3| AB BC CD      4 5 6 |DA AC BD       的最大值为 . — 高三理科数学(三)第 3 页(共 4 页) — 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必做部分 17.(本小题满分 12 分)已知 AB、 分别在射线CM CN、 (不含端点C )上运动, 2 π,3MCN  在 ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别是 ,,a b c . (Ⅰ)若 ,,a b c 依次成等差数列,且公差为 2.求c 的值; (Ⅱ)若 3c  , ABC   ,试用 表示 ABC 的周长,并求周长的最大值. 18.(本小题满分 12 分)如图,已知斜三棱柱 1 1 1ABC A B C ,平面 1 1A ACC  平面 ABC, 90ABC  , 1 130 , 2 3, ,BAC AAACAC EF      分别是 1 1,AC A B 的中点. (Ⅰ)证明: EF BC ; (Ⅱ)求平面 1 1 1ABC 与平面 1A BC 所成锐二面角的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)已知    1,0 , 1,0 , ,A B AP AB AC     | | | | 4AP AC   . (Ⅰ)求 P 的轨迹 E ; (Ⅱ)过轨迹 E 上任意一点 P 作圆 2 2: 3O x y  的切线 1 2,l l ,设直线 1 2,,OP l l 的斜率分别是 0 1 2,,k k k ,试问在三个斜率都存在且不为 0 的条件下, 0 1 2 1 1 1 k k k      是否是定值,请说明理由, 并加以证明. 20.(本小题满分 12 分)已知函数 2 4 2() ex x xf x   . (Ⅰ)求函数 )(xf 的单调区间; (Ⅱ)若对任意的 ( 2,0],x  不等式 2 ( 1) ( )m x f x  恒成立,求实数 m 的取值范围. — 高三理科数学(三)第 4 页(共 4 页) — 21. (本小题满分 12 分)2019 年 3 月 5 日,国务院总理李克强在做政府工作报告时说,打好精准 脱贫攻坚战.江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展;2019—2020 年,稳定实现扶贫对象“两不愁、 三保障”,贫困县全部退出.围绕这个目标,江西正着力加快增收步伐,提高救助水平,改善生活条 件,打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战.为响应国家政策,老张自力更生开了一间小 型杂货店.据长期统计分析,老张的杂货店中某货物每天的需求量 ()m m N  在 17 与 26 之间,日 需求量 m (件)的频率 ()P m 分布如下表所示: 需求量 m 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 频率 ()P m 0.12 0.18 0.23 0.13 0.10 0.08 0.05 0.04 0.04 0.03 已知其成本为每件 5 元,售价为每件 10 元.若供大于求,则每件需降价处理,处理价每件 2 元. (Ⅰ)设每天的进货量为 ( 16 , 1,2, 10)n nX X n n    ,视日需求量 ( 16 , 1,2, 10)i iY Y i i    的频率为概率 ( 1,2, 10)iP i   ,求在每天进货量为 nX 的条件下,日销售量 nZ 的期望值 ()nEZ(用 iP 表示); (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,写出 ()nEZ 和 1()nEZ  的关系式,并判断 nX 为何值时,日利润的均值 最大. (二)选做部分 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 3 ,(1 ,      x t ty t 为参数) . 在以坐标原点为极点,x 轴正半 轴为极轴的极坐标系中, 曲线 π: 2 2 cos 4C       . (Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数   1 2    f x x a x a . (Ⅰ)若  1 3f ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 1, ,a x R  求证:   2f x . — 高三理科数学(四)第 1 页(共 4 页) — 理科数学(四) 本试卷分必做题和选做题两部分.满分150 分,考试时间120 分钟. 注意事项: 1.客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答.若在试题卷上作答,答题无效. 2.选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合  2 0,A ax axa x R    ,  1B x y x   ,则()RCAB  A. 04xx  B. 14x x  C. 1x x  D. 40xx x或 2.已知设i 是虚数单位, 1 3i 1 iz   ,则 3 i||2 2z    A.1 B. 2 C. 2 D. 1 2 3.已知样本数据 x 1 2 a 3 4 y 0.9 0.95 2 3.05 4.9 得到回归方程 ˆ 2 3y x  ,则实数 a 的值为 A. 2 B.3 C. 2.5 D.3.5 4.已知 ,a b  为互相垂直的单位向量,且||2, 3c a c    ,则||b c   A. 3 B. 2 C. 3 或 7 D. 3 或 2 5.已知等比数列 na , nS 为数列 na 的前 n 项和,公比为 q ,则“ 3q   ”是“ 3214S a a  ” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设 0.3 3 42 , log 4, log 5abc 则 A.b c a  B. a c b  C. a b c  D.b a c  7.已知函数 e,( )() ,() xx x af x x x a      ,若存在 Rm ,使得 ()y f x m 有三个零点,则实数 a 的取 值范围是 A. 11 ea   B. 1 ea  C. 11 ea   D. 1a   — 高三理科数学(四)第 2 页(共 4 页) — x y 俯视图 左视图主视图 8 . 已 知 函 数 π( ) 2sin(2 )4f x x  在 区 间 1 2(,)x x 有 且 仅 有 2 个 极 值 点 , 且 满 足 1 2 3π( ) ( ) 24f x f x   ,则 1 2x x 的取值范围 A. 3π 5π,4 4 ( ) B. 5ππ, 4 () C. 3π 5π,]4 4 ( D. 5ππ, 4 ( ] 9.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳 术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左, 四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从这 10 个 数中任取 3 个数,则这三个数中至少有两个阳数且成等差数列的概率为 A. 1 5 B. 1 20 C. 1 12 D. 3 40 10.已知在平面直角坐标系中圆 2 2: 4O x y  , ( 2,0), (2,0)AB ,直线 2x  ,点C 为圆O 上 一动点(不与 ,AB 两点重合),过点 B 作一直线l ,使其与直线 BC 关于直线 2x  对称,则直线 AC 与直线l 交点 P 的轨迹方程 A. 2 2 13 yx   B. 2 2 14 4 x y  C. 2 2 1( 0)3 yx y   D. 2 2 1( 0)4 4 x y y   11.已知棱长为1正方体 1 1 1 1ABCD A B C D , E 为 BC 上的动点,过 1,,ACE 三点的平面截正方体, 截面在平面 ABCD 的射影的面积为 1S ,平面 1 1BCC B 的射影的面积为 2S ,则 1 2SS 最大值为 A. 1 2 B. 1 4 C. 3 4 D. 3 8 12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如:四叶草曲线就是其中一种,其曲线C 方程 为 32 2 2 2x y x y  给出下列四个结论, ①曲线C 有四条对称轴;②曲线C 上的点到原点的最大距离为 1 4 ; ③设曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形 面积的最大值为 1 8 ;④四叶草面积小于 π 4 ,其中,所有正确结论的序号是 A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④ 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的 体积 . 14.记不等式组 0 1 1 2 y y x y kx             , 所表示的平面区域为 D , 若点(1,1) D ,则实数 k 的取值范围为 . — 高三理科数学(四)第 3 页(共 4 页) — 18题图 M DA C B S 总利润(单位:万元) 0.015 0.013 0.01 0.0045 0.005 0.0025 14012010080604020 频率 组距 15.已知数列 na , nS 为数列 na 的前 n 项和,且满足 2 2n nS a  ,若集合 2 nn n t a  有 且只有三个元素,则实数t的取值范围 . 16.已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ,过点 F 的直线与抛物线相交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点, 若 3AF FB ,则 1 2y y  . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必做部分 17.(本小题满分 12 分)已知锐角 ABC 的三个内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,a b c ,面积为 S , AD 为内角 A 的角平分线,且满足3 cos 3 cos 2 3b A a B b c   . (Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)若 ABC 的面积为 4 2 3 ,求角平分线 AD 长的最大值. 18. (本小题满分 12 分)如图:在三棱锥 S ABC 中, ABC 为等边三角形,且 ,AB a 13 2 aSA SC  , D 为 AC 的中点, M 为 SB 的中点. (Ⅰ)求证: ABC SBD平面 平面 ; (Ⅱ)若三棱锥 S ABC 的体积为 33 8 a ,且二面角 S AC B  为钝二面角,求直线 AM 与平面 SBC 成角的正弦值. 19. (本小题满分 12 分)在我国,大学生就业压力日益严峻,伴随着政府政策引导与社会观念的 转变,大学生创业意识,就业方向也悄然发生转变.大学生们在国家提供的税收,担保贷款等很多 方面的政策扶持下选择加盟某品牌的专营店自主创业,该品牌的总部为了积极响应政府的号召, 对大学生创业加盟的店,根据销售的利润实行抽奖奖励,该品牌的总部挑选某地区的 100 家专营 店,并且统计了近五年来的创收利润,经过数据统计得到了频率分布直方图: (Ⅰ)由频率分布直方图大致可认为,被抽查的专营店 5 年的总利润 ~ ( , 202)WN  ,  近似为 这 100 家专营店 5 年总利润的平均值(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表),利用正态 分布,求 (73.6 130.4)PW  ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,该品牌总部为了对 加盟专营店进行奖励,制定如下抽奖方案: ①令 m 表示“该专营店 5 年内总利润超过 的 百分点”,其中 100Wm     .若 [0,10)m , 则该品牌总部为专营店提供 1 次抽奖机会; [10,20)m ,则该品牌总部为专营店提供 2 次 抽奖机会; [20,30)m ,则该品牌总部为专营店提供 3 次抽奖机会; [30, 40)m  ,则该品牌总— 高三理科数学(四)第 4 页(共 4 页) — 部为专营店提供 4 次抽奖机会; [40,50)m  ,则该品牌总部为专营店提供 5 次抽奖机会; 50m  则该品牌总部为专营店提供 6 次抽奖机会,另外,规定 5 年内总利润低于  的专营店,则该品牌 总部不为专营店提供抽奖机会;②每次抽奖中奖获得的奖金金额为 10000 元,每次抽奖中奖的概 率为 1 3 .设该大学生加盟的专营店 A 参加了此次抽奖方案,且专营店 A 在 5 年内总利润为 122.5W  万元.记 X (单位:万元)表示专营店 A 获得的奖金总额,求 X 的分布列与数学期望. 附参考数据与公式: 202 14.2 ,若 2~ ( , )WN   ,则 ( ) 0.6827PW       , ( 2 2 ) 0.9545PW       , ( 3 3 ) 0.9973PW       . 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x yC a ba b   : 的离心率为 1 2 ,其左右两焦点分别为 1 2,FF, 1B 为其上顶点,直线l 与椭圆相交于 ,MN 两点,并且 1 2//FMFN,当 M 与 1B 重合时, 此时 8 3 3(,)5 5N . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若存在实数 ,使得 1 2FMFN  ,当 1[ , 2]2  ,记 1 2MF F 的面积为 1S , 1 2NF F 的面积为 2S ,求 1 2+SS 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 ( ) ( ) ln( )f x x a x a   ( 0x  , 0a  ). (Ⅰ)求函数 ()f x 的单调区间; (Ⅱ)若不等式: ( ) ( 1)(e 1) 0xf x x    对任意的 0x  恒成立,求 a 的取值范围. (二)选做部分 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 1l 的参 数方程为 cos 1 sin x t y t       (  0, π ,t  为参数),直线 2l 的方程为 πsin( ) 2 24    ,M 为曲 线 2l 上的动点,点 P 在线段OM 上, 且满足 8OM OP  . (Ⅰ)求点 P 的轨迹C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 (0,1)N ,直线 1l 与曲线C 相交于 ,AB 两点,则 1 1 4 3 3NANB  ,求直线 1l 的方程. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 ( ) 1 2f x x x    . (Ⅰ)对于任意 Rx ,不等式 ()f x m 恒成立,则 m 的取值范围; (Ⅱ)记满足条件的 m 的最大值为 M ,若 1, 1, 1a b c   ,且 8 ,abc M 求证:( 1)( 1)( 1) 1a b c    . — 高三理科数学(五)第 1 页(共 4 页) — 理科数学(五) 本试卷分必做题和选做题两部分.满分150 分,考试时间120 分钟. 注意事项: 1.客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答.若在试题卷上作答,答题无效. 2.选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回. 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设  1,0,1,2U   ,集合  2|1,A x x x U  ,则 UCA  A. 0,1,2 B. 1,1,2 C. 1,0, 2 D. 1,0,1 2.设函数 xxf 2log)(  ,在区间 )6,0( 上随机取一个自然数 x ,则 2)( xf 的概率为 A. 1 3 B. 2 3 C. 3 5 D. 4 5 3.已知各项均为正数的等比数列 na 中, 132 13, ,22a a a 成等差数列,则 11 13 810 a a a a   = A. 27 B.3 C. 1 或3 D.1或 27 4.某小区计划建造一个椭圆形的花坛,O 为椭圆的中心, ON 位于椭圆的长轴上, MON 为直角,欲在其中建立 一个长方形的水池,如图已知矩形OAPB ,有 8ON  , 6OM  ,则该矩形的最大面积为 A.10 B.12 C. 20 D. 24 5.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一 壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没 了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所 示,即最终输出的 0x  ,则一开始输入的 x 的值为 A. 3 4 B 7 8 . C.15 16 D. 31 32 6. x , y 满足约束条件 1 1 22 x y x y x y          ,若目标函数 z ax by  ( 0, 0)a b  的最大值为 7,则 3 4 a b 的最小值为 A.7 B.13 C.14 D.18 — 高三理科数学(五)第 2 页(共 4 页) — O A1 A B B1 C C1D1 D 7.已知| | | | 2OA OB   ,点C 在线段 AB 上,且| |OC 的最小值为 1,则| |OA tOB  (t R )的 最小值为 A. 2 B. 3 C.2 D. 5 8.已知复数 1 cos 2 ( )iz x f x  , 2 ( 3 sin cos ) iz x x   ,xR .在复平面上,设复数 1z , 2z 对 应的点分别为 1Z , 2Z ,若 1 2 90Z OZ   ,其中O 是坐标原点,则函数 ()f x 的最大值为 A. 1 4 B. 1 4 C. 1 2 D. 1 2 9.已知 2 2 0 2 4a x dx  ,若 2020(1 )ax  2 2020 0 1 2 2020 ()b b x b x b x x R     ,则 20201 2 2 20202 2 2 bb b    的值为 A. 1 B.0 C.1 D. 2 10.如图,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,点O为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 1CC 上,直线OP 与平面 1ABD 所成的角为 ,则sin 的取值范围是 A. 3[ ,1]3 B. 6[ ,1]3 C. 6 2 2[,]3 3 D. 2 2[ ,1]3 11.已知数列 na 为等差数列, nS 是其前 n 项和, 2 55, 35a S  数列 1{} na 的前 n 项和为 nT ,若对一 切 *Nn 都有 2 25n n mTT  ,则 m 能取到的最大整数为 A.3 B. 4 C.5 D. 6 12.已知双曲线C : 2 2 1( 0)x y mm    的离心率为 6 2 ,过点  2,0P 的直线 l 与双曲线C 交于不 同的两点 A 、 B ,且AOB 为钝角(其中O 为坐标原点),则直线 l 斜率的取值范围是 A. 5 5(,)5 5 B. 5 5( ,0) (0, )5 5  C. 2 2(,)2 2 D. 2 2( ,0) (0, )2 2  二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设向量 (2 tan , tan )a   ,向量 (4, 3)b   ,且| | 0a b   ,则 tan( )   ________. 14.某校高三年级组从 3 名青年语文老师、4 名数学老师、5 名英语老师中挑选 5 人组成高三学生 心理减压辅导小组,则语文、数学、英语老师都至少有一人的选择方法种数是______(用数字作答). 15.定义在R 上的函数 ()f x 满足 ()()f x f x  ,且当 0x 时, 2 1, 1 0 () 12 ( ) , 12 x x x f x x          , 若对任意的 ]1,[  mmx ,不等式 )()1( mxfxf  恒成立,则实数 m 的取值范围是_____. 16.在棱长为 446  的密封直棱柱容器内有一个半径为 1 的小球,晃动此容器,则小球可以经过 的空间的体积为_________. — 高三理科数学(五)第 3 页(共 4 页) — 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必做部分 17.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ABC 中 , 角 A , B , C 对 应 的 边 分 别 是 a , b , c , 且 tan 3( cos cos )b B a C c A  . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若函数 π( ) 2sin(2 ) 2cos26f x x x   ,且 6()2 5f A  ,求 πcos( )6A 的值. 18.(本小题满分 12 分)如图:正四面体 ABCD,点 M 、 N 分别在对棱 AB、CD 上,点 N 是线 段CD 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABN  平面 MCD; (Ⅱ)若点 P 是棱 AD 上一点,且二面角 A BC P  为30 , 求直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值. 19.(本小题满分 12 分)1885 年沙门氏菌等在霍乱流行时分离到猪霍乱沙门氏菌,故定名为沙门氏 菌.沙门氏菌属有的专对人类致病,有的只对动物致病,也有对人和动物都致病.据统计在世界各国 的种类细菌性食物中毒中,沙门氏菌引起的食物中毒常列为榜首.2019 年 10 月 26 日,江西省南昌 市发生一起食品中毒事件.截止 11 月 1 日,疾控机构对 596 名相关人员开展了流行病学调查,在 采集的 50 份病例报告中,有 43 份检查出肠炎沙门氏菌. 现某疾控中心为筛查沙门氏菌,需要检验粪便.现有 n 份样本,每个样本取的可能性相等,以下有 两种检验方式:①逐份检验,需检验 n 次;②混合检验,将其中 k 份样本分别取样混在一起检验, 若检查结果不含沙门氏菌,因而这 k 份样本只需一次检验即可;若检验结果含沙门氏菌,为了明 确这 k 份样本究竟哪几份含有,就需要对这 k 份再逐份检验。假设在接受检验的样本中,每份样 本的检查结果是相互独立的,且每份样本结果含沙门氏菌的概率为 p . 现取其中 k 份样本,记采用逐份检验方式需要检验总次数为 1X ,采用混合检验方式的检验总次数 为 2X . (Ⅰ)若 1X 与 2X 的数学期望值相等,请用 k 表示 p ,求函数 ()p f k ; (Ⅱ)若 p 与检验时使用的某药剂量 nx 有关,其中 )2(21 nxxx n,,,  满足: 11 x , 31 en n x x   . 当 3 4 11 x p  时,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次 数期望值更少,求 k 的最大值. (参考数据: 6094.15ln,3863.14ln,0986.13ln,6931.02ln  ) — 高三理科数学(五)第 4 页(共 4 页) — 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆C : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    的离心率为 3 2 ,椭圆C 四个顶 点围成的四边形的面积为 4 . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)若C 的左顶点和上顶点分别为 ,AB,P 是线段 AB 上的点,直线 )0(2 1  mmxy 交椭 圆C 于 M , N 两点.若 MNP 是斜边长为 10 的直角三角形,求直线 MN 的方程. 21.(本小题满分 12 分)已知函数    1 lnf x x x  . (Ⅰ)证明:对任意的  1,x   ,    2 1f x x  恒成立; (Ⅱ)若 1 2,x x 为函数   ln 2019 xh x x  的两个零点,且 1 2x x ,证明: 2 1 2 ex x  . (二)选做部分 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为           2 2 2 2 1 323 1 1 t tty t tx (t 为参 数).以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 02sincos   (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 (2 4)P , ,设曲线C 与直线l 交于 A, B 两点,求| | | |PA PB . 23.(本小题满分 10 分)设函数 1( ) | 3 | 2 | |2f x x x    . (Ⅰ)求函数 ()f x 的取值范围; (Ⅱ)若任意 ,s t R ,不等式 (| 1| |1 |) ( )k t t f s    恒成立,求 k 的取值范围. — 高三理科数学(六)第 1 页(共 4 页) — 理科数学(六) 本试卷分必做题和选做题两部分.满分150 分,考试时间120 分钟. 注意事项: 1.客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答.若在试题卷上作答,答题无效. 2.选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 设集合  2A x x ,  B x x a  ,全集 RU  ,若 UACB ,则有 A. 0a  B. 2a  C. 2a  D. 2a  2. 下列有关命题的说法正确的是 A. 命题“若 0xy  ,则 0x  ”的否命题为“若 0xy  ,则 0x  ” B. 命题“若 0x y  ,则 ,x y 互为相反数”的逆命题是真命题 C. 命题“ Rx  ,使得 22 1 0x   ”的否定是“ Rx  ,都有 22 1 0x   ” D. 命题“若cos cosxy ,则 x y ”的逆否命题为真命题 3. 复数 z 的共轭复数为 z,且满足 2i 3 0   zz ,则 z  A. 1 i B. 1 i C. 1 2i D. 2 i 4. 已知随机变量 X 服从正态分布  , 4N a ,且  1 0.5PX   ,  2 0.3PX   , 则 (0)PX  等于 A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 5. 函数 () sin 2cosfx xx 在区间[0, ] 上的值域为 A. [ 2, 2] B. [ 5, 5] C. [ 5, 2] D. [ 2, 5] 6. 数列 na 为等差数列,且 7421a a   , 3 0a  ,则公差 d  A. 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 2 7. 执行如图所示的程序框图,如果输入的  2,2x  ,则输出的 y 值的取值范围是 否 是 结束输出y y= x x+1 y=x+ 1 xx<0输入x开始 A. 5 2y   或 0y  B. 22 3y   C. 2y   或 20 3y  D. 2y   或 2 3y  — 高三理科数学(六)第 2 页(共 4 页) — 8. 七名同学站成 2 排照相,前排3 人后排 4 人,若各人站位是随机的,则甲乙两人中至少有一人 站在前排的概率是 A. 5 7 B. 4 7 C. 3 7 D. 2 7 9. 一个几何体三视图如图所示(图中正方形为单位正方形),则该几何体的外接球表面积为 A.112 3 π B. 41π C. 45π D. 48π 10. 如图,在矩形 ABCD 中, 4AB  , 3AD  , ,MN 分别为线段 ,BCDC 上的动点,且 2MN  ,则 AM AN  的最小值为 A. 25 7 2 B. 15 C. 16 D. 17 11. 双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    的渐近线 1 2,l l 与过点 ( ,0)A m ( 0)m  斜率为 3 的直线分 别交于 ,BC 两点,且 2AB CA  ,则双曲线的离心率为 A. 2 3 3 B. 2 C. 3 D. 5 12. 已知函数 ( ) 2 3f x x  , ( ) lng x ax x  ,若实数 ,s t 满足 ()()f s g t ,且 s t 的最小值 为 2 ,则实数a的值为 A. e B. 2 C. 1 D. 0 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知实数 x , y 满足 4 0 3 0 0 x y y x y           ,则 1 1 yz x   的最大值为 . 14. 已知函数   Rf x x 的导函数为  f x ,且  3 7f  ,   2f x  ,则   2 1f x x  的解 集为 . 15. 2 2sin 20 cos50 sin 20 cos 50     的值为 . 16. 正八面体如图所示,若用一个平面截这个正八面体,下列关于其截面形状说法: ①其截面至少是四边形; ②其截面可能是长与宽不相等的矩形; ③其截面可能是底角为 60 的等腰梯形; ④其截面可能是正五边形; ⑤其截面可能是正六边形; 其中正确的有 . 第 9 题图 CD A B N M 第 10 题图 — 高三理科数学(六)第 3 页(共 4 页) — 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必做部分 17.(本小题满分 12 分) ABC 中,内角 ,,ABC 的对边分别为 ,,a b c , π 3A  , 4a  ,AD 为 BC 边上的中线. (Ⅰ)若 5b c  ,求 ABC 的面积; (Ⅱ)若 π 2B DAC    ,求 ABC 的周长. 18. (本小题满分 12 分)以“VR+5G 开启感知新时代”为主题的 2019 世界 VR 产业大会于 10 月 19 日至 21 日在江西南昌隆重召开。本次大会共邀请国内外专家学者和企业家等代表 7000 余人, 是 VR 领域的一次顶级盛会。某校志愿者对参会代表就“VR+5G 技术能否在 5 年内进入普及阶段” 进行了随机抽样调查,被调查对象里国内代表是国外代表人数的两倍,国内外代表持“乐观”或“不 乐观”态度的占比如图所示,若有99%以上的把握认为是否持乐观态度和国内外差异有关. (Ⅰ)被调查对象里国外代表至少有多少人? (Ⅱ)为了将被调查对象中所有国内且持“乐观”态度的代表区分出来,小明设计了一个计算机算 法,算法对每个对象至多作两次判断:先判断国籍,若对象是国外代表,则判断结束;若是国内 代表,则再判断其所持态度.现在以频率估计概率,从被调查对象中随机抽取 4 个对象,对其作 出判断,记判断次数之和为 X ,求 X 的分布列和期望. 1 0 不乐观 乐观 国外代表国内代表 0.8 0.6 0.4 0.2 参考公式: n a b c d    , 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      19.(本小题满分 12 分)如图在等腰梯形 ABCD  中, //ADBC  , π 3A BC  , 2AD   , 6BC  ,过线段 AB 上一点 E 作 //EFBC 交CD 于 F ,沿着 EF 将平面 A EFD  向上折起至 AEFD,连接 ,ABDC,得到多面体 ADEBCF . (Ⅰ)若直线 ,ABDC 交于 M , ,BECF 交于 N ,求证: MNEF ; (Ⅱ))当二面角 AEFB  成直二面角时,若直线 AB 与平面 DCF 所成线面角的正弦值为 2 6 5 ,求 AE. 2 0()P K k 0.05 0.01 0.005 0.001 0k 3.841 6.635 7.879 10.828 F A CB E D F D'A' CB E— 高三理科数学(六)第 4 页(共 4 页) — 20. (本小题满分 12 分)已知 1 2,FF 分别为椭圆 2 2 2 2: 1 ( 0)x yE a ba b    的左右焦点,过 1F 的 直线 l 交椭圆 E 于 ,AB 两点,如果 1 2FAFS 最大时, 1 2F AF 为等腰直角三角形,且其周长为 4( 2 1) . (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; ( Ⅱ ) 斜 率 为 k 的 直 线 l 交 椭 圆 于 ,CD 两 点 , 且 l 与 l 交 于 点 ( 1,1)M  , 若 MA MB MC MD   ,求直线l的方程. 21.(本小题满分 12 分)设函数 ( ) ( 1)ln 2f x x x x   , '( )f x 为其导函数. (Ⅰ)求函数 ()f x 的单调区间和极值; (Ⅱ)如果 1 2x x ,且 1 2( ) ( ) 4 0f x f x   ,证明: 1 2 2x x  . (二)选做部分 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 2 1 6:( 6 x tC t y t     为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正方向为 极轴,建立极坐标系,曲线 2 : 4C   与曲线 1C 交于第一象限内的点 A . (Ⅰ)求曲线 1C 的极坐标方程及点 A 的极坐标; (Ⅱ)若 B 为曲线 1C 上一点,且OB OA ,求 AB. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 ( ) 2 1f x x a b x    . (Ⅰ)当 1a b  时,求函数 ()f x 的最小值; (Ⅱ)当 1b   时,若 ( ) 1f x  恒成立,求实数 a 的取值范围. — 高三理科数学(七)第 1 页(共 4 页) — 理科数学(七) 本试卷分必做题和选做题两部分.满分150 分,考试时间120 分钟. 注意事项: 1.客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答.若在试题卷上作答,答题无效. 2.选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知全集为 R ,集合    R()0, R ( ) 0Axfx Bxg x   ,则 ( ) ( ) 0f x g x 的解集为 A. AB B.  RCAB C.  RCAB D.  RACB 2.已知复数 z 满足  1i 3 iz    ,则复数 z 的共轭复数的模为 A. 2 B. 22 C. 2 D.1 3.已知命题 :p 00 x ,使得 0sin 00  xx ;命题 :q 对于 Rx  ,都有 1 xex .则下 列结论正确的是 A. qp  B. qp  C. qp  D. qp  4.若实数 yx, 满足不等式组       022 042 0 yx yx x ,则 22 yx  的最小值为 A. 1 B. 4 C. 2 D. 5 4 5.函数 xx xy sin cos6  的部分图象大致为 A. B. C. D. 6.执行如图所示的程序框图,若输出 M 的值为3 ,则判断框中的条件可以为 A. 6i B. 7i C. 8i D. 6i — 高三理科数学(七)第 2 页(共 4 页) — 7.在 ABC 中,D 为 AC 上的一点且 π2 2, 2, 4AD DC AB BAC     ,E 为 BD 的中 点,则 BCAE A. 4 12  B. 2 22  C. 2 12  D. 4 22  8.已知数列 na 的通项公式为 152  nan ,前 n 项和为 nS ,数列 na 的前 n 项和为 nT ,则下 列结论正确的是 ①当 8n 时, nn ST  ; ②当 8n 时, 72SST nn  ; ③当 8n 时, nn ST  ; ④当 8n 时, 7STn  ; A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 9.已知函数   sin( )( 0)6 πf x x    ,若导函数  xf  在区间 0, 2π 上有且仅有 5 个零点,则 的取值范围为 A. 23 16[,)6 3 B. 23 16(,)6 3 C. 13 8[,)6 3 D. 13 8(,)6 3 10 . 已 知 双 曲 线 1: 2 2 2 2  b y a xC 的 焦 点 为 1 2,FF, P 是 C 上 一 点 , 若 1 2 π 3FPF  , 421 FF, 1 2PF F 的面积 3 .则双曲线C 的渐近线方程为 A. 03  yx B. 03  yx C. 02  yx D. 02  yx 11.已知函数   xxaxxf 32 23  在区间 5,1 上不是单调函数,则 a 的取值范围为 A. 72( , ] [0, )5   B. 72( , ) (0, )5   C. 72( ,0)5 D. 72[ ,0]5 12.已知函数  2xf 的图像关于点 0,2 对称,且当   ,0x 时,    xfxfx  恒成立,若 3cos,2cos,1cos  cba ,则下列结论正确的是 A.      bfafcf  B.    cbfbcf  C.    acfcaf  D.    bafabf  二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 2 1 2 log (2 1)y x x   的单调递减区间为 . 14.已知 3(0, ),sin π()4 5π    ,则 cos . 15.若某师范大学数学系派 13 个实习老师来某中学实习,现教务处要将这 13 个实习生分配到高 中三个年级,一个年级分 5 个,另外两个年级各分 4 个, 则有 种分配方案. 16.已知函数   xaxxxxf 1ln  与直线 1 xy 有两个不同的交点,则实数 a 的取值范围 为 . — 高三理科数学(七)第 3 页(共 4 页) — 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必做部分 17.(本小题满分 12 分)已知 ABC 的内角 ,,ABC 所对的边长分别为 ,,a b c .若 abBc  2 1cos . (Ⅰ)求C ; (Ⅱ)若 3c ,求 ABC 面积的最大值. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA  平面 ABCD, ABC 是正三角形, 3 ABPA, CDAD  , 120CDA   . (Ⅰ)求证:平面 PBD 平面 PAC; (Ⅱ)求平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损 零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不 足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)若要求 ( ) 0.5P X n  ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 19n  与 20n  之中选其一,应选用哪 个? — 高三理科数学(七)第 4 页(共 4 页) — 20.(本小题满分 12 分)已知直线 :l 01  yx 过椭圆C :  012 2 2 2  bab y a x 焦点 F 且 与C 相交于 NM, 两点, E 为 MN 的中点,且OE 的斜率为 4 3 . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)过点 0,1 且与 x 轴不重合的直线 1l 与椭圆C 相交于 HG, ,过点 0,1 且与 1l 垂直的直线与 圆 :   161 22  yx 交于 PQ、 两点,求四边形GPHQ 面积的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)已知函数   xxxf ln22   ,其中 0  . (Ⅰ)讨论  xf 的单调性; (Ⅱ)若  0, ,        4 3212ln12  xxxg ,证明:     0 xgxf . (二)选做部分 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,已知直线l 的参数方程为      ty tx 34 2 13 (t 为参数),曲线        sin cos:1 y xC ( 为参数)经伸缩变换      yy xx 2 后得到曲线 2C ,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系. (Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线 2C 的参数方程; (Ⅱ)若 P 为曲线 2C 上一点,求点 P 到直线l 的最大距离. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)设函数    522log 2  axxxf 的定义域为 R,求 a 的取值范围; (Ⅱ)已知 zyx ,, 为互不相等的正实数,且 1 zyx .求证: xyzzyx  444 . — 高三理科数学(八)第 1 页(共 4 页) — 理科数学(八) 本试卷分必做题和选做题两部分.满分150 分,考试时间120 分钟. 注意事项: 1.客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答.若在试题卷上作答,答题无效. 2.选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.集合 6{N| N}1A x x  ,集合 6{N | N}1B xx   ,则 AB  A.{0,1,2,5} B.{1,2,3,6} C.{3,4,6} D.{1,2} 2.命题“对任意 2[1,2), 0xx a  ”为真命题的一个充分不必要条件可以是 A. 4a  B. 4a  C. 1a  D. 1a  3.欧拉公式 ie cos isinx xx (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数 的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地 位,被誉为“数学中的天桥”, πi4 i e 表示的复数位于复平面内 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.某运动队由足球运动员 18 人,篮球运动员 12 人,乒乓球运动员 6 人组成(每人只参加一项), 现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本,若分别采用系统抽样法和分层抽样法,都不用删除 个体,那么样本容量n 的最小值为 A.6 B.12 C.18 D. 24 5.设向量 ,a b  满足|| 2,||| | 3ab a b    ,则|2 |a b  A. 6 B. 3 2 C. 10 D. 4 2 6.在等比数列{}na 中,已知 1 1a  , 4 8a  ,若 3a , 5a 分别为等差数列{}nb 的第 2 项和第 6 项, 则数列{}nb 的前 7 项和为 A. 49 B. 70 C. 98 D. 140 7.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t 天后体积与天 数t 的关系式为: e k tV a    ,若新丸经过50 天后,体积变为 4 9 a ;若一个新丸体积变为 8 27 a , 则需经过的天数为 A.75天 B.100天 C.125天 D.150天 — 高三理科数学(八)第 2 页(共 4 页) — 8.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为 A. 3 B. 3 C. 0 D. 3 3 9.已知 , (0, )a b  ,且 2 91 ab a b   ,则 a b 的 取值范围是 A. 1,9 B. 1,8 C. 8, D. 9, 10.已知某几何体的三视图如图 所示,若网格纸上小正方形的边 长为 1,则该几何体的体积为 A. 16 3 B. 16 2 3 C. 16 D. 16 2 11. 在 锐 角 ABC 中 , 角 ,,ABC 的 对 边 分 别 为 ,,a b c , 若 cos cos 2 3sin 3sin BCA b c C  , cos 3 sin 2BB  ,则 a c 的取值范围 A. 3( , 3]2 B. 3( , 3]2 C. 3[ , 3]2 D. 3[ , 3]2 12. 已知 ()f x 的定义域是(0, ) ,其导函数为 ()f x ,若 ()( ) 1 lnf xf x xx    ,且 2(e) ef  (其中e 是自然对数的底数),则 A. (2) 2 (1)f f B. 4 (3) 3 (4)f f C.当 0x  时, ( ) 0f x  D.当 0x  时, ( ) e 0f x x  二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若函数 ()f x 满足 (2 ) 2 ( )f x f x    ,且 ()y f x 的图象与 2 1 xy x   的图象共有 m 个不 同的交点 ,i ix y ,则所有交点的横、纵坐标之和   1 m i i i x y    ________. 14. 4()a b c  的展开式中,共有________种不同的项. 15.已知双曲线C 2 2 2 2: 1( 0, 0)x y a ba b    的右焦点为 F ,左顶点为 A .以 F 为圆心, FA为 半径的圆交C 的右支于 ,PQ 两点, APQ 的一个内角为60 ,则C 的离心率为___________. 16.函数 () sin cos sin cosf x x x x x   的最大值是___________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必做部分 — 高三理科数学(八)第 3 页(共 4 页) — D A C M E B M D A B C 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      17.(本小题满分 12 分)已知数列{}na 满足: 1 2 11, ,2a a  且对任意的 *Nk  ,均有 2[3 ( 1) ] 2 2[( 1) 1] 0k k k ka a       . (Ⅰ)令 2 1n nb a  ,判断{}nb 是否为等差数列,并求出 nb ; (Ⅱ)记{}na 的前n项的和为 nT ,求 2nT . 18.(本小题满分 12 分)随着中国的经济快速增长,人民 生活水平逐步提升,人们的生育意愿进入下行通道,随之 出现了人口老龄化和劳动力短缺等各类问题.某大学“人口 与计划生育”课题组为了调研人们对“延迟退休年龄政策” 的 态度,从年龄在15 ~ 65 岁的人群中随机调查 100 人,调査数 据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计 结果如下: 年龄 [15 , 25) [25 ,35) [35 , 45) [45 ,55) [55 , 65) 支持“延迟退休”的人数 15 5 15 28 17 (Ⅰ)由以上统计数据填 2 2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异; 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 不支持 总计 (Ⅱ)若以 45 岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参加某项活 动.现从这 8 人中随机抽 2 人. ①若已知抽到 1 人是 45 岁以下时,求抽到的另一人是 45 岁以上的概率; ②记抽到 45 岁以上的人数为 x ,求随机变量 x 的分布列及数学期望. 2 0()PKK 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19.(本小题满分 12 分)如图,已知长方形 ABCD 中, 2AB  , 2AD  ,M 为CD 的中点.将 ADM 沿 AM 折起得到四棱锥 D ABCM ,点 E 为棱 DB 的中点. (Ⅰ)求证:直线 //CE 平面 ADM; (Ⅱ)若点 D 在平面 ABCM 上的射影恰好在直线 AC 上, 求异面直线 AE 与 DM 所成角 的余弦值. — 高三理科数学(八)第 4 页(共 4 页) — 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    的离心率为 3 2 ,左、右焦点分别为 1F 、 2F , M 为椭圆上异于长轴端点的点,且 1 2MF F 的最大面积为 3 . (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)若直线l 是过点  1,0P 点的直线,且l 与椭圆C 交于不同的点 A 、 B ,是否存在直线  0 0 0: 2l x x x  ,使得点 A 、 B 到直线 0l 的距离分别为 Ad 、 Bd ,且满足 A B d PA d PB 恒成立, 若存在,求 0x 的值,若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 12 分)已知函数      e ln , Zxf x x a x a x a      . (Ⅰ)若函数  f x 在定义域上为单调增函数, 求a最大值; (Ⅱ)证明: 2 33 4 1 eln2 (ln) (ln) (ln )2 3 e 1 nn n       , *Nn . (二)选做部分 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 cos 3 sin ( sin 3 cos x y           为参数),坐标原点O 为极 点 , x 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线 l 的 极 坐 标 方 程 为 cos( ) 2( 0,0 2 )6 π π        . (Ⅰ)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求直线l 与曲线C 交点的极坐标. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 ( ) | 1| | 2 |f x x x a    , Ra . (Ⅰ)当 0a  时,求不等式 ( ) 5f x  的解集; (Ⅱ)若 ( ) 2f x  对于 Rx  恒成立,求 a 的取值范围.

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